我们假设每个人最初投资1美元，因此e（t，k，w）=η（t，k）w/n。我们在文献中没有看到的观察结果是，当γ=1（在上述设置中）时，从最优PAF中的总提取量变得具有确定性。换句话说，这个PAF是一个音调（因此必须是自然音调）：命题8。假设一个同质池，资产以r率无风险投资。假设对数效用。那么，最优PAF有e（t，Nt，Wt）=axtpx。我们在附录中给出了证明。为了了解差异，图3模拟了总支出d（t）和e（t，Nt，Wt），以及单个支出d（t）/n和e（t，Nt，Wt），γ=5，x=65，以及规模为n=10的小资金池。Pafa的效用改善似乎源于个人支出波动性的适度降低。如果一个规模更大的资金池的规模为n=100，那么无论是总支出还是个人支出（未显示）的差异都可以忽略不计，除非年龄较大。在此处插入图3和图4。6.2。团体自年金（GSA）。Piggott、Valdez和Detzel（2005）提出了GSA计划。它提供了管理资产池支付的规则，因此不依赖于风险规避，也不试图优化效用。另一方面，它允许异质池和可变资产回报，尽管在本文的其他章节中，我们将重点讨论固定回报率r的情况。一般GSA计划还允许新个人在t>0时加入，通过评估每个幸存者的流动资产份额，然后允许新的个人以22 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury实际公平的价格买进。可以使用类似的方法将此功能添加到本文所考虑的色调中，但我们在这里不追求此想法。

因此，我们将只处理所有投资者在时间0买入的GSA。GSA方案在离散时间内的工作如下：第i个队列的成员在时间0时各贡献wi。这使他们有权获得与年金相匹配的初始付款。在以后的tk时期，每个人的支付都会根据共同的养老金系数MK进行上调或下调，因此，如果实现的死亡率与此后的预期死亡率相匹配，则无需进一步调整。在符号中，第i个队列的幸存者接受gi，kat时间tk=kt、 最初，gi为0=wi/˙axis，其中˙axis为每个周期1美元的离散年金价格t、 即˙ax=P∞k=0e-rtktkpx。后来，gi，k=Mkgi，0其中pigi，kNi（tk）˙axi+tk=wkandwk是tk时的财富。后者递归确定为Wk+1=（Wk- gk）erTw其中gk=Pigi，kNi（tk）是在tk时支付的总额。首先，假设所有队列的年龄x相同，但初始贡献wi可能不同。那么gk=Wk˙ax+tkso上述重现性意味着gk和Wk都是确定性的（即类tontine）。我们还没有在文献中看到这一结论。此外，gk+1=周+1˙ax+tk+1=周-gk˙ax+tk+1ert=gk˙ax+tk-1˙ax+tk+1ert、 根据标准精算递归，这意味着gk+1=gktpx+tk，从中我们得到命题9。假设一个池，其队列在时间0时具有相同的初始年龄X和供款E。假设资产按利率r进行无风险投资。那么总GSA支出为gk=Pnjwj˙axtkpx，而个人支出为gi，k=gkwiPjwjNj（tk）。如果我们现在把极限作为t型↓ 0，我们获得了一个自然tontine（适用于年龄x），该tontine以Pnjwjaxtpx的费率持续支付。在我们前面介绍的语言中，这个tontine的参与率都是πi=1，因此它是不公平的（除非在单一队列的同质情况下）。

这与Donnelly（2015）的结果一致，Donnelly的结果表明，GSA计划仅在同质情况下才是公平的。如前所述，为了实现公平，她必须包括对房地产的付款。在这种情况下，在任何人活着的最后一段时间内，所有死亡的人都被视为收到GSA规则规定的按比例分配的剩余资产。在完全异质的情况下（初始年龄和初始投资的可变性），没有理由认为财富或总取款是确定的。换句话说，GSA不再像tontine了。事实证明，在这种情况下，要比较的合适音调是我们所说的比例音调。首先，GSA支出（分别按比例支付）始终与初始公平退休收入TONTINES 23支出gi成比例，0=wi˙axi（分别按初始支付率wiaxi）。事实上，GSA和比例tontine支出之间的任何偏差都源于GSA的离散时间公式，或者源于生存计数Ni（t）与其均值的偏差——可以表明（虽然我们不会给出详细信息），如果每个Ni（tk）与Ni×tkpxi一致，则在以下限值内：t型↓ 0时，两个现金流将完全一致。更具体地说，如图5所示，即使对于较小的n，实际支付流也非常接近。请在此插入图5。6.3。其他设计。Donnelly、Guillen和Nielsen（2014）提出了另一种设计，即所谓的年金叠加基金（AOF），作为汇集个人投资账户以获取死亡积分的一种方式。叠加支付期内死亡个人的资产，与期初属于该池的所有人员（包括死亡人员）成比例。

它与池中个人的风险资产和个人的风险率成比例。AOF旨在处理参与者的任意投资和退出决策，因此它寻求在每个时期实现精算公平，而不是在整个生命周期中实现简单。这与托丁或年金的目标截然不同，托丁或年金旨在提供稳定的终身收入。因此，我们不应期望这两种设计具有相似性。另一个设计是萨宾（2010）的公平转让计划（FTP）。只有活着的参与者才能获得付款。因此（正如本文所述），萨宾的目标不是精算公平，而是确保任何个人都不比另一个人有优势（即我们所说的公平性）。另一方面，他要求在每个时期（如Donnelly et al（2014））实现这一点，而不是在整个生命周期中实现一次，这意味着他的设计无法与我们的设计相比。我们注意到，在他的背景下，他确实获得了公平FTP存在的必要和充分条件。结论从业者和学者对疲劳消除累积产品的优化设计越来越感兴趣，这种产品可以在一个群体内共享总风险的同时，防止特殊的长寿风险。在本文中，我们研究了疲劳收入托汀方案的设计，该方案允许不同死亡率的个体参与同一个群体。虽然该计划在精算上可能不公平，但在Donnelly（2015）的观点中，该计划是公平的，因为该计划不歧视任何特定子集团的24 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburya，并且所有参与者都获得了完全相同的预期收益现值。

尽管替代设计有时可以提供比tontine更大的效用，但tontine的退休收入具有透明、简单的优势，并且几乎不需要任何精算专业知识来操作。它为不断减少的幸存者群体支付了合理、稳定和可预测的现金流。定性分析也更简单，可以得出有趣的数学性质和见解。本文介绍的结构是米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2015）的延伸，通过将Atonite股票的价格调整为（i.）投资者数量（ii）的函数，任何年龄段的人都可以参与该计划他们的年龄，以及（iii.）他们投资的资本。在Lorenzo Tonti的原始计划中，以及Milevsky和Salisbury（2015）提出的结构中，所有投资者（在同一集合类别中）被视为年龄相同，支付相同的价格。当较小的群体被分为不同的年龄段时，他们失去了大群体的好处。在本文中，我们已经证明，如果池的多样性满足一定的分散条件，则可以无差别地混合队列，并且我们提出了一种在实践中效果良好的特定设计。最后，本文详细比较了文献中提出的各种死亡率池模式，以及在何种条件下，它们都会坍塌成一个类似音调的结构。事实上，不管他们在实践中被称为什么，他们似乎都有一个共同的祖先。公平退休收入TONTINES 25参考文献[1]Ashraf，B.（2015）《退休收入产品的优化设计》，约克大学数学与统计系硕士研究论文。[2] Cannon，E.和I.Tonks（2008），年金市场，牛津大学出版社，英国。[3] 康普顿，C。

（1833），一篇关于托汀的论文：其中展示了旧制度的弊端，并提出了一个公平的计划，以使托汀的宝贵原则更有益地适用于终身年金，由J.Powell印刷，伦敦泰晤士河上街Hand Court。[4] Donnelly，C.、M.Guillen和J.P.Nielsen（2013），《用死亡率换取成本》，《保险：数学与经济学》，第52卷（1），第65-76页。[5] Donnelly，C.、M.Guill'en和J.P.Nielsen（2014），《为人寿年金市场带来成本透明度》，《保险：数学与经济学》，第56（1）卷，第14-27页。[6] Donnelly，C.（2015）《集合年金基金中的精算公平与团结》，ASTIN Bulletin，第45卷，第49-74页[7]Doob，J.L.（1984），经典势理论及其概率对应理论，Springer Verlag，纽约。[8] Hanewald，K，J.Piggott和M.Sherris（2013），《系统死亡风险下的个人退休后长寿风险管理》，保险：数学和经济学，第52卷（1），第87-97页。[9] Jennings，R.M.和A.P.Trout（1982），《托尼人：从路易十四统治到法国进化时代》，S.S.Huebner保险教育基金会，宾夕法尼亚大学，91页。[10] Milevsky，M.A.（2015），《威廉国王的托尼：为什么未来的退休年金应该与过去相似》，剑桥大学出版社，纽约市。[11] Milevsky，M.A.和T.S.Salisbury（2015），《最佳退休收入Tontines》，《保险：数学和经济学》，第64卷，第91-105页【12】Piggott，J.、E.A.Valdez和B.Detzel（2005），《集合年金基金的简单分析》，《风险与保险杂志》，第72（3）卷，第497-520页。[13] Qiao，C和M.Sherris（2013年），《利用集团自池和年金计划管理系统性死亡风险》，《风险与保险杂志》，第80卷（4），第949-974页。[14] 萨宾，M.J。

（2010），《公平托丁年金》，SSRN摘要#1579932[15]Stamos，M.Z.（2008），《集合年金基金的最佳消费和投资组合选择》，保险：数学和经济学，第43卷（1），第56-68页。[16] Tonti，L.（1654），国王创建皇家Tontine协会的法令，由V翻译。Gasseau Dryer，《精算科学史》，第五卷，S.Haberman和T.A.Sibbett编辑，William Pickering出版，伦敦，1995年[17]Valdez，E.A.，J.Piggott和L.Wang（2006），《集合年金基金中的需求和逆向选择》，《保险：数学和经济学》，第39卷（2），第251-266页。[18] Yaari，M.（1965）《不确定寿命、人寿保险和消费者理论》，《经济学研究评论》，第32卷（2），第137-150.26页M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburycerty等价额为100n 10 100 10 100γ=0.5γ=1A 101.53 100.15 102.68 100.28B 101.55 100.15 102.68 100.28C 101.67 100.15 102.68 100.28γ=2γ=5A 104.62 100.53 109.20 101.22 b 104.65 100.53 109.47 101.24假设r=4%，Gompertz死亡率（M=88.72，b=10）。大小为n的同质池，初始年龄为65岁。表1：。显示投资于三种产品所需的金额，以产生与保险公司担保的100美元人寿年金相同的效用。产品设计为：A=集合年金基金，γ-优化；Donnelly、Guillen和Nielsen（2013）B=Tontine，γ-优化；Milevsky和Salisbury（2015）C=集团自我年金计划；Piggott、Valdez和Detzel（2005）公平退休收入TONTINES 27公平费率，关于55岁组、90岁组、60岁组、85岁组、65岁组、80岁组的共同参与率年龄大小的单一异常值图1。显示了在存在单个异常值（n=1）的情况下，平均参与率π与年龄为x的队列规模之比。

Tontine对于xcohort这个年龄段来说是很自然的，每个人投资1美元（w=w=1）。归一化soπ=1。假设Gompertz死亡率（m=88.72，b=10）和r=4%。28 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYEquitable rates，单离群值与美元投资离群值投资的共同参与率大小离群值投资50美元离群值投资25美元离群值投资10美元离群值投资20 10美元40 501 3 5 7 9图2。显示了公平参与率π与每个人投资1美元（w=1）的港口规模nof的对比，其中存在一个投资w美元的离群者。所有订阅者的年龄都相同（x=x=65），而且这个年龄段的订阅者是天生的。归一化soπ=1。假设GompertzMortality（m=88.72，b=10）和r=4%。公平退休收入TONTINES 29公平费率和池中负荷K=2个队列：n=nage 65年龄75年龄65年龄75ΔΔπΔπn=1=nn=50=nA-235.4-2604.4 1.829 239.4 30.0 1.501B-495.0-2819.3 1.631-3.7-69.8 1.375C-1266.7-2012.0 1.370-20.6-52.9 1.370D 277.7-2759.3 1.506 696.1 74.3 1.265n=5=nn=500=nA 177.7-496.8 1.550 240.0 92.8 1.495B-69.7-612.3 1.413-0.22-7.71.371C-219.9-458.7 1.370-2.0-5.9 1.370D 646.5-485.6 1.302 700.2 135.7 1.262n=10=nn=n→ ∞A 218.4-213.3 1.523 239.7 100.7 1.494B-28.9-317.9 1.392 0 0 1.370C-106.3-239.5 1.3700 0 0 1.370D 676.4-179.5 1.281 700.7 143.2 1.261假设r=4%，Gompertz死亡率（m=88.72，b=10）；δi在b.p.中给出。；速率被归一化，因此π=1表2。显示了当池中有两组认购者：年龄x=65和x=75时，参与率π（=股价的倒数）和相应的效用负荷δ，δ。效用是对数的。每个人都投资1美元（w=w=1）。

Tontine设计为：A=仅基于65岁队列的自然Tontine，公平比率；B=基于年龄范围的自然色调，公平比率；C=比例音调；D=仅基于75岁队列的自然tontine，公平比率；30 M.A.MILEVSKY和T.S.SalisburyPools三个队列的参与率和效用负荷：2n=n=2年龄60年龄65年龄70年龄60年龄65年龄70ππΔδn=5 n=10 n=5 n=5 n=10 n=5A 0.886 1 1 1.161-186.9-136.1-594.3B 0.884 1 1 1 1.161-216.0-136.6-586.8C 0.889 1 1 1 1 1.153-275.0-138.7-586.8n=10 n=20 n=10 n=10 n=20 n=10A 0.889 1 1.157-79.4-68.9-301.0B 0.887 1 1.157-102.9-70.4-297.2C 0.889 1 1.153-133.3-71.3-264.5n=20 n=40 n=20 n=40 n=20A 0.890 1 1.155-29.8-20.8-153.3B 0.888 1 1 1.155-49.7-23.0-151.8C 0.889 1 1 1 1.153-65.4-23.4-135.1假设r=4%和Gompertz死亡率（m=88.72，b=10）；δi在b.p.中给出。；速率被归一化，因此π=1表3。显示了参与率π、π、π（与共享价格成反比）以及相应的公用事业负荷δ、δ、δ，当池中有三组用户：年龄x=60、x=65和x=70。效用是对数的。每个人投资1美元（w=w=w=1）。Tontine设计：A=仅基于65岁队列的自然Tontine，公平比率；B=基于年龄范围的自然色调，公平比率；C=比例音调。公平退休收入TONTINES 310 10 20 30 400.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25个人支出，自然和公平Tontinee过期时间支出率第二组：年龄851组：年龄65图3。具有2个队列的自然公平托汀的模拟个人支付率的一条路径。第一个队列有n=200个x=65岁的个体，第二个队列有n=50个x=85岁的个体。所有个人投资1美元（w=w=1），但收入取决于他们的群体。

模拟假设Gompertz死亡率（m=88.72，b=10）和R=4%。32 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYTotal支出，PAF vs.tontineagepayout rate TontineApaf70 80 90 100 1100.00 0.02 0.04 0.06 0.08个人支出，PAF vs.tontineagepayout rate TontineApaf70 80 90 100 1100.00 0.05 0.10 0.15 0.20图4。显示了由10个65岁的个体组成的同质人群的模拟总（左）和个人（右）支付率。Tontine和PAF对于风险规避γ=5都是最优的。在110岁之前，托汀的总计划支出显示；其他阴谋在最后一次死亡时停止。假设GompertzMortality（m=88.72，b=10）和r=4%。公平退休收入TONTINES 330 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10总支出，GSA与比例TontineeDelived timepayout Rate Tontineegsafigure 5。显示比例tontine和aGSA的模拟总付款率（每月付款）。代表2个队列，年龄x=65和x=75，大小n=n=5，所有个人投资1美元（w=w=1）。假设Gompertz死亡率（m=88.72，b=10）和r=4%。34 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY8。附录：证明和计算8.1。定理4的证明。目前，我们假设每个队列由单个个体组成，即n=K，每个ni=1，ni（t）为伯努利。只要证明了唯一性，这样做就不会失去一般性。要看到这一点，只需将cohorts分解。然而，如果存在，则需要一个额外的参数来确定（3）的效率。事实上，可以从下面的表13的证明中提取一个简短的必要性证明（见公式（7））。我们在下面开发的更复杂的结构主要是为了提高效率。设P={（π，…，πn）：0<πi≤ 每个i取1，最大值πi=1}。缩放π不会影响Fi，因此F=（F，…，Fn）的每个值都可以通过一些π来实现∈ P

我们从唯一性问题开始。定理4（a）的证明。假设π6=~π都是相等的，而不是彼此的倍数。使用π（s）=sπ+（1）在它们之间插值- s） π。thendsfi（π（s））=Z∞e-rttpxiwd（t）Eihddsπi（s）Pjπj（s）wjNj（t）idt=Z∞e-rttpxiwd（t）EihPj[πi（s）πj（s）- πi（s）πj（s）]wjNj（t）（Pjπj（s）wjNj（t））idt。（4） 此外，πi（s）πj（s）- πi（s）πj（s）=（πi- ~πi）hs（πj- ~πj）+~πji-h（s（πi- ~πi）+~πii（πj- ~πj）=（πi- ~πi）~πj- （πj- ~πj）~πi=πi ~πj- πjπi=πiπj~πjπj-~πiπi对于每个s∈ [0，1]。特别是，如果我们选择i来最小化∧πiπi，那么这个表现主义≥ 对于每个j为0，对于某些j大于0（因为∧π不是π的倍数）。因此，对于这个i的选择，我们得到ddsfi（π（s））>0。因此Fi（￠π）>Fi（π），这是一个矛盾。因此，唯一性是成立的。为了证明存在，特别是为了理解（3），我们需要深入研究最优π的结构。特别地，考虑一些πi→ 为了做到这一点，我们借用了马丁边界理论（例如Doob（1984））的思想，将P嵌入到一个紧集P中。集η={1，…，n}。对于非空A η和π∈ P、 设πA=（πimaxj∈Aπj）i∈A、 设置g（π）=（πA）6=Aη、 so g:P→ [0，1]m，其中m=P6=Aη| A |=Pnk=1knk公司=Pn编号-1j=0nn-1j= n2n-1、设Pbe是g（P）在[0，1]m中的闭包，因此g是P在P中的连续嵌入。我们将公平退休收入TONTINES 35认为P是P的子集，因此在某种程度上我们将使用表示π的符号∈ P带g（π）∈ P、 特别是，我们将自由使用π来表示P的元素或P的元素，并且在这两种情况下，将对其组件使用相同的符号πA，如上所述。Letπ∈ P、 然后πη∈ [0，1]n可能有一些（但不是全部）组件=0。写出πη=（πη，1，…，πη，n），我们让A={i |πη，i6=0}。如果A6=η，则πη\\a可以依次使其部分（但不是全部）分量=0。

设A={i∈ η\\ A |πη\\ A，i6=0}。以πη继续∪Aetc。，我们将η划分为一定数量的非空子集a，a，aj使得每个πaj的分量都是非零的。当然，如果π实际上∈ P thenA=η。事实上，π可以从这些Aj和πAj中恢复，如下引理所示。引理10。让A η为非空，设π∈ P、 定义上述AJA，leti=min{j | A∩ Aj6=}. 那么对于k∈ A、 πA，k=πAi，kmaxj∈A.∩AiπAi，j，k∈ A.∩ Ai0，k∈ A\\Ai。证据要查看此信息，请选择π（m）∈ P使得g（π（m））→ π。设置B=∪j≥iAj，所以A B、 叉子∈ B、 我们有πB，k=limm→∞π（m）B，k=limm→∞π（m）kmaxj∈Bπ（m）j。通过定义πB，k，这对于k来说是非零的∈ Ai，所以如果j∈ A和k∈ B\\Aithenπ（m）kπ（m）j→ 0因此maxj∈Aπ（m）j=maxj∈A.∩Aiπ（m）js对于足够大的m，如果k∈ AthenπA，k=limm→∞π（m）A，k=limm→∞π（m）kmaxj∈Aπ（m）j=limm→∞π（m）kmaxj∈A.∩Aiπ（m）j。根据上述公式，如果k，这=0∈ A\\Ai。如果k∈ A.∩我们可以用maxj除以分子和分母∈Aiπ（m）jt，以确定它=limm→∞π（m）Ai，kmaxj∈A.∩Aiπ（m）Ai，j=πAi，kmaxj∈A.∩AiπAi，j，根据需要。这个论点中的情况是π∈ Pand A，A，上述AJas，具有序列π（n）∈ P在pm的拓扑中收敛到π意味着π（m）jconverge到36 m.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYnon的零值j∈ A、 它们以j的共同速率收敛到0∈ A（在πAgivinga适当重整化极限下），它们以更快的速度收敛到0，对于j∈ A、 等。对于给定的支付函数d（t），我们定义了上述tontine，对应于任何π∈ P、 我们可以把它推广到任何π∈ P、 它只向A中的个人支付，只要他们中的任何一个幸存下来，就使用参与率πi。一旦最后一个个人死亡，它开始向A中的个人支付，使用参与率πA，i。一旦他们全部死亡，它开始向A中的个人支付，使用利率πA，i，等等。

由于付款是一个早期群体灭绝的偶然事件，我们称之为偶然事件。如果有一个偶然的音调有利于最后一组开始收集，那么很有可能没有π可以实现公平。定理4的内容是，这两个陈述实际上是等价的。此外，在证明过程中，我们将看到方程（3）准确地捕捉到了第一个陈述的失败。我们现在可以概括现值函数Fi（π）的定义。Letπ∈ P、 假设我∈ Ak。设T=0，对于1≤ j≤ J+1让Tkbe计算从∪ · · · ∪ Ak公司-1英寸。设ζibe为单个i的寿命。定义（5）Fi（π）=Z∞e-rtwd（t）EhπAk，iPj∈AkπAk，jwjNj（t）{Tk<t<ζi}idt。传递到更复杂的索引集Pis的点如下：引理11。每个Fi:P→ R是连续的。证据Letπ∈ P、 假设π（m）→ π。假设从每个π（m）开始∈ P、 定义A，上述AJas（使用π），以及同样的T，TJ+1，让我∈ A `。设置Bk=Ak∪ · · · ∪ AJ。ThenFi（π（m））=Z∞e-rtwd（t）Ehπ（m）iPj∈ηπ（m）jwjNj（t）{t<ζi}idt=XkZ∞e-rtwd（t）Ehπ（m）iPj∈ηπ（m）jwjNj（t）{Tk<t<ζi∧Tk+1}idt=Xk≤`Z∞e-rtwd（t）Ehπ（m）iPj∈Bkπ（m）jwjNj（t）{Tk<t<ζi∧Tk+1}idt=Xk≤`Z∞e-rtwd（t）Eh∏（m）i，kPj∈Bk￠π（m）j，kwjNj（t）{Tk<t<ζi∧Tk+1}idt。公平退休收入TONTINES 37式中▄π（m）q，k=π（m）qmaxj∈Akπ（m）j.现在发送m→ ∞. 如果j∈ Akthen∧π（m）j，k→ πAk，j，如果j∈ Bk+1然后∧π（m）j，k→ 特别是，支配收敛意味着k<`的项在极限内消失，而k=`项收敛到Fi（π）。一般情况如下。Ifπ（m）→ π，但我们不再假设π（m）∈ P、 简单选择∏π（m）∈ P使得| Fi（π（m））- Fi（△π（m））|→ 0和kπ（m）- ~π（m）k→ 0。然后￠π（m）→ πso lim Fi（π（m））=lim Fi（∧π（m））=Fi（π）。

将非常公平的参与率定义为任意π∈ p最小θ（π）=最大值，k | Fi（π）- Fk（π）|在π上∈ P、 根据引理11和P的紧性，这样的π是存在的。当然，π是相等的当且仅当θ（π）=0和π∈ P、 引理12。让π非常公平。设a=迷你∈ηFi（π），aJ=最大值∈ηFi（π）。ThenFi（π）=a对于每个i∈ A、 对于每个i，Fi（π）=aj∈ AJ。证据让π非常公平。在唯一性证明中，我们将扰动π以改善公平性。固定j。让▄A由i组成∈ Aj最小化Aj上的Fi（π），并设置πAj，i（s）=πAj，i（1+s），i∈~AπAj，i，i∈ Aj \\~A。我们不扰动πAk，qf或任何k 6=j，因此对q的fq没有影响/∈ Aj。注意，这个π（s）可能不存在∈ P、 作为maxi∈AjπAj，i（s）现在可能是6=1。这不会变得更糟，而且在任何情况下都可以通过在论点中的适当点重新缩放来纠正。如（4）所示的计算表明∈ Aj，ddsFi（π（s））=Z∞e-rttpxiwd（t）EhPk∈Aj[πAj，i（s）πAj，k（s）- πAj，i（s）πAj，k（s）]wkNk（t）（Pk∈AjπAj，k（s）wkNk（t））{Tk<t<ζi∧Tk+1}idt。假设A 6=Aj，即Fi（π）在Aj上不是常数。我声称ddsfi（π（s））是> 0，i∈A<0，i∈ 换句话说，这种扰动会使最低的Fi上升，而另一个Fi下降。假设我∈A.如果k∈~A然后πAj，i（s）πAj，k（s）-πAj，i（s）πAj，k（s）=πAj，iπAj，k-πAj，iπAj，k=0。如果k∈ Aj \\~A然后πAj，i（s）πAj，k（s）- πAj，i（s）πAj，k（s）=πAj，iπAj，k>0。因此，总和也大于0 soddsFi（π（s））>0。38 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURYNow假设我∈ Aj \\~A.如果k∈~A然后πAj，i（s）πAj，k（s）-πAj，i（s）πAj，k（s）=-πAj，iπAj，k<0。如果k/∈ A然后πAj，i（s）πAj，k（s）-πAj，i（s）πAj，k（s）=0。

因此，总和也<0 soddsFi（π（s））<0。这个计算的结果是，对于小s，我们的微扰减少了Aj上i（π）的变化，除非i 7→ Fi（π）在Aj上已经是常数。转向引理的陈述，必须有一个j，使得Fi（π）=afor everyi∈ Aj，否则我们可以扰动，以提高等于a的每一个Fi（π），而降低或不改变另一个Fk（π）。（如有必要，重新缩放以保持π∈ P、 ）这将减少θ（π），这是不可能的。通过相同的微扰，我们还可以假设对于任何j，对于每个i，Fi（π）=afo∈ Aj，或Fi（π）>afor every i∈ Aj。让Jbe为前一类型的j的集合。我们的目标是显示0∈ J、 假设J≥ 1属于J，但J-1没有。考虑以下扰动。联合收割机Aj-1和Aj，通过设置πAj-1.∪Aj，i（s）=πAj-1，我，我∈ Aj公司-1sπAj，i，i∈ AJ表示s>0。这不会影响i（j除外）的Fi（π（s））-1或j代表i∈ aj这对（5）中表示时间Tj后付款的期望值没有影响，但有正概率，它会从[Tj]上的积分中添加非零贡献-1，Tj）。因此，Fi（π（s））在每i∈ Aj。类似于上面给出的导数计算表明，i∈ Aj公司-1、这种微扰可能减小θ（π），也可能不减小θ（π）。但如果0/∈ j然后我们可以将其应用于第一个j in j，然后是第二个j in j，等等，直到θ（π）最终减小。这将是一个矛盾，因此0∈ J、 我们可以对AJ应用类似的论点来证明其余的结论。我们现在准备证明定理4的存在部分，在n=K的附加限制下 η、 设αA=wPi∈A.Lemma 13的成员在初始投资总额中所占的百分比。确定d（t）和SIND wi，并假设每个队列由单个个体组成。

存在π的选择∈ P，Fi（π）=1-  对于每个i，对于每个A η带 6=A 6=η我们有（6）Z∞e-rtd（t）（Yi/∈Atqxi）（1-易∈Atqxi）dt<αA（1- ).公平退休收入TONTINES 39我们可能会想到（6）由于以下两个原因之一而失败——尤其是老年人的存在，或者是在初始投资中贡献了不成比例的大部分的个人。无论哪种情况，我们都让A由剩余的人组成（年轻人或无投资的人）。如果出现以下情况，条件（6）将失败/∈ATQXI较大（即腺苷酸个体均提前死亡），或者如果αA较小（即腺苷酸个体过度投资）。一个精心设计的EDD（t）将试图缓解这些可能性，尽管我们已经看到这并不总是可能的。特别是，如果我们选择d（t），但允许wito变化，那么withat总是会做出选择，使其中一个α足够小，从而迫使（6）失败。证据假设（6），设π∈ Pbe非常公平。让aJbe如引理12所示。ByLemma 12我们有aJ≥ 1.- , 因为Fi（π）的适当加权平均值等于1- .假设不存在公平π，或者公平π属于P。那么J>0，所以0<AJ<n。此外（1- )αAJ≤xi∈AJwiwFi（π）=Z∞e-rtd（t）Xi∈AJEhπAJ，iwiPk∈AJπAJ，kwkNk（t）{泰姬陵≤t<ζi}idt=Z∞e-rtd（t）EhXi∈AJπAJ，iwiNi（t）Pk∈AJπAJ，kwkNk（t）{Ni（t）6=0，泰姬陵≤t} idt=Z∞e-rtd（t）P西尼（t）>0，泰姬陵≤ t型dt=Z∞e-rtd（t）（Yi/∈AJtqxi）（1-易∈AJtqxi）dt，违反（6）。相反，假设π∈ P是公平的，让A η不为空，6=η。然后如上所述，（1- )αA=Xi∈AwiwFi（π）=Z∞e-rtd（t）EhXi∈AπiwiNi（t）Pk∈ηπkwkNk（t）{Ni（t）6=0}idt>Z∞e-rtd（t）Pxi∈ANi（t）>0，Xi∈η\\ANi（t）=0dt，（7），显示（6）。

引理13的条件（6）的问题是，它涉及检查2n-2条件。条件（3）将这一数字降到了可管理的水平，前提是我们有40个M.a.MILEVSKY和T.S.SALISBURYof队列。因此，我们现在放弃了n=K的假设，在这种情况下，αAonce更表示SWPI∈阿尼维。定理4（b）的证明。假设条件（3），我们可以将其重述为（8）Z∞e-rtd（t）Yi/∈Atqnixidt<αA（1- ) + .条件（6）涉及订阅者的一般集合，我们将把它看作由0组成≤ ki公司≤ NI第i组的个体，i=1，K、 以这种方式表示，它变成（9）Z∞e-rtd（t）KYi=1tqni-kixidt<（1- )KXi=1kiwiw+对于每个0选项≤ ki公司≤ ni（除（0，…，0）和（n，…，nK）之外）。观察（9）的左手侧是每个ki的凹函数（当其他ki固定时），而右手侧则以一种独特的方式变化。还要注意，对于I=[0，n]×······×[0，nK]的极值点，除了（0，…，0）和（n，…，nK）之外，（8）精确地是（9）。很容易验证，同样的不平等也适用于最后两个点，但使用=而不是<。这足以得出结论，严格不等式（9）适用于除（0，…，0）和（n，…，n）之外的所有I点，因此引理13适用于给出一个等式π∈ P、 必然性也来自引理13，因为（3）是（6）的特例。8.2。计算细节。基于定理4的证明，我们通过依次提高Fi（π）<1的πifor来计算公平参与率- . 我们选择松弛率η<1，并循环通过i，在保留上述标准的同时，尽可能频繁地提高πibyη。然后重复这一过程，这次升高η，然后再次升高η，以此类推。

对于K=3，这似乎收敛到5位数的精度，使用向量F（π）的小于100次评估。表3中的每个平均（20、40、20）条目在R下运行约4小时，涉及100次向量F（π）评估。每次计算都需要计算两个积分，使用400个时间步的辛普森规则。每一个时间步依次调用nnnterms的一个名义和。K=2时，计算速度更快（25次积分，每个时间步需要求nnterms之和）；例如，表2中的平均分录（500500个）都只持续了3个多小时，尽管人数多了一个数量级。请注意，我们的代码可以很容易地进行优化以更快地运行，例如，通过使用更高效的集成方法，或者从更粗糙的时间步开始，随着迭代的进行，将公平的退休收入重新定义为第41项。对于效用计算，我们似乎确实需要400个时间步提供的精确度，但π的灵敏度较低，可以更快地找到。8.3。命题8的证明。设v（t，k，w）表示个人从aPAF中获得的效用。尺度不变性表明，对于某些函数η，e（t，k，w）=η（t，k）w。当γ=1时，italso表示v（t，k，w）=ax+tlog w+v（t，k，1）。在γ6=1的情况下，Stamos（2008）推导出了个人效用v（t，k，w）的anHJB方程。当γ=1时，同样的论点适用，并且（在我们的符号中）显示vt（t，k，w）+λx+t（k- 1） [v（t，k- 1，wkk- （1）- v（t，k，w）]- （r+λx+t）v（t，k，w）+supηhlog（ηw）+wvw（t，k，w）（r- η） 对于k，i=0≥ 2（当k=1时，除了没有第二项外，还有一个类似的方程。对η进行优化，并用我们的表达式代替v，得到ax+t=wvw（t，k，w）=1/η。因此，e（t，k，w）=wnax+t，与k无关。

因此，WT根据微分方程DWT=hr演变-ax+tiWtdt。很容易检查，溶液（初始条件W=n）为Wt=nax+t·tpxax，由此我们得出e（t，Nt，Wt）=axtpx，如要求。