公平退休收入tontines：混合队列

2022-5-26 21:46:43

公平的退休收入TONTINES：无歧视地混合同龄人。A、 MILEVSKY和T.S.SALISBURYAbstract。人们对养老金的设计越来越感兴趣，这种养老金能够在汇集和分担系统风险的同时，确保不受制度异质性长寿风险的影响。这部分是由于希望降低资本和准备金要求，同时保持死亡率信贷的价值；例如，见Piggott、Valdez和Detzel（2005）或Donnelly、Guillenand Nielsen（2014）。在本文中，我们通过将异质队列合并到一个池中，概括了米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）提出的自然退休收入Tontinei。我们通过根据投资者的年龄和投资金额以溢价或折价面值分配tontine股票来设计这一方案。例如，一个55岁的人向tontine分配10000美元，他可能被要求支付每股200美元，然后获得50股，而一个75岁的人分配8000美元，他可能支付每股40美元，然后获得200股。他们将全部混合在同一个tontine池中，每个tontine份额将拥有平等的收入权。当前的论文讨论了存在性和唯一性问题，并讨论了该方案可以公平构建的条件，这是与公平不同的，即使它对于任何队列都不是最优的。因此，这也让我们有机会比较和对比文献中提出的各种集合计划，区分社会公平、精算公平和经济最优的安排。日期：最终验收版本：2016年4月14日。米列夫斯基是约克大学Schulich商学院的金融学副教授，也是IFID中心的执行主任。索尔兹伯里是约克大学数学与统计系的教授。

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2022-5-26 21:46:47

作者感谢IFID中心（Milevsky）和NSERC（索尔兹伯里）的资助，以及两位ASTIN评论员、编辑（DanielBauer）以及新南威尔士大学、麦格理大学、悉尼CFA协会的研讨会参与者，特别是Anthony Asher、David Blake、Steven Haberman、Geo Off Kingston、Sachi Purcal、，约翰·皮戈特和迈克尔·谢里斯。联系作者（Milevsky）的电话：milevsky@yorku.ca.2M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY1。简介托丁年金（Lorenzodi Tonti于1653年首次将其作为退休收入工具推广）在过去三个半世纪中没有从最好的宣传中获益。尽管英国和法国ZF最初使用固定利率为战争融资（对抗对方），但传统的固定利率债券最终取代了它们，成为首选的融资方式。18世纪的私营保险公司提供类似托汀的产品，但它们也被更熟悉的有保障的终身年金和养老金所取代。事实上，19世纪初的美国监管机构。S、英国禁止了（一种叫做tontine的衍生产品）tontine保险，尽管对于禁令是否真的适用于Tonti设想的tontine存在一些争议。撇开法律不谈，用著名金融作家爱德华·格伦的话说，托尼·蒂尼是“历史上最不可信的金融工具之一”我们请感兴趣的读者阅读米列夫斯基（2015）的书，书中讲述了托丁丰富多彩的历史。在本文中，我们的重点（和贡献）是精算，而不是政治或历史。在其最纯粹的财务形式中，托丁年金可以被视为永久年金（即。

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2022-5-26 21:46:50

由一群同意只在幸存者中分享定期息票的投资者从发行人处购买的债券。随着投资者死亡并离开tontine池，那些避免死亡的人所赚取的团队或现金流会随着时间的推移呈指数级增长。理论上，最后剩下的幸存者将收到所有优惠券，直到他或她最终去世，发行人的付款义务终止。人们也可以将tontine年金视为由零息债券（ZCB）组成的投资组合，其期限或票面价值为分期到期，最终的ZCB在池中投资者的最大可能期限到期，例如125岁。到期ZCB产生的现金流在幸存者中平均分配。从这个角度来看，只要现金流的现值等于集团投资的金额，现金流模式就可以调整到任何期望的利润。tontine池保留了长寿风险，因为如果人们活得比预期的长，那么他们的支付相对于他们在零时的预期会减少。与其他集合计划一样，我们将讨论-例如Piggottte中描述的那些计划。Stamos（2005）、Donnelly（2008）或Donnelly et al.（2014）——tontinethere有退休收入，因此没有实体担保终身固定付款，从而消除了资本要求。我们使用退休收入这一术语来区分我们的计划与“赢家通吃”的赌博，在这种赌博中，支付推迟到最后一个幸存者，并提醒读者类似于压力的结构。公平退休收入TONTINES 31.1。音调问题。在过去的几个世纪里，有相当多的大众和学者批评托汀计划。

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2022-5-26 21:46:54

总的来说，这些问题可分为三大类。第一个担忧是托尼人本身是不道德的，因为一个人从某人的死亡中立即受益。这种担忧的一个更明确的版本是，它们会激发欺诈、谋杀和其他犯罪活动。这些批评者认为，随着托尼池的规模缩小，幸存的成员被激励互相残杀，以获得托尼池更大的份额。这种对音调的丰富多彩的理解渗透到文学作品中，是许多小说的主题，但在现实中没有依据。大多数历史上的tontineschemes在一小部分（比如说5到10名成员）留在池中时会限制或限制支出。尽管有所有的电影小说，但没有任何文件证明，一个国家托丁岛的最后几个幸存者曾经相互残杀。事实上，由于tontine池中有数百人，恶意减少池规模的经济效益微乎其微。精算界对投资者将从死亡中直接受益的伦理担忧可能会彻底动摇，因为这是所有养老金和年金定价的基础。至于对欺诈的担忧，这在17世纪和18世纪确实是一个问题，当时记录生死是不可靠的，但在21世纪，现代记录保存系统也可以消除这一问题。tontine年金的第二个问题涉及经济最优和现金流模式。在Lorenzo的tontine方案中，支付给该集团的现金保持相对稳定（即分子），但幸存者的数量（即分母）随着时间的推移以指数级以上的速度下降，导致向幸存成员支付的款项迅速增加。这种爆炸式的收入增长与（稳定的）消费平滑的经济愿望不符。

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2022-5-26 21:46:57

据推测，退休的老年投资者希望随着时间的推移，实际现金流保持稳定甚至下降，尽管他们担心医疗费用和老年人的通货膨胀。根据这些批评者的说法，托丁年金并不是一种最佳的经济契约。但这种担忧也可以通过适当的产品设计来解决。没有理由认为流向该集团的现金流应在结构上始终保持不变。如上所述，ZCBs对该池的付款可能以与（预期）死亡率相同的速度呈指数级下降（快于）。事实上，这就是米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）的精髓所在。总而言之，我们认为第二个反对意见是可以轻易克服的。威廉·夏普教授最近在法国金融协会（French FinanceAssociation）的一次演讲中提出了这一观点，米列夫斯基（Milevsky，2015，第164页）引用了这一观点。4 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburyth第三个问题是一个更微妙的问题，与队列的集合和tontine的年龄比例有关。这是本文的核心重点。如果允许任何年龄较小的人平等参与同一托丁年金池（我们不这样做），那么预期早逝的成员（即老年人）的财富将立即转移到预期寿命最长的成员（即年轻人）。历史音调（Historicaltontines）——如17世纪末英国ZF首次发布的音调——歧视老年人而青睐年轻人。因此，例如，在早期的英国tontine计划中，tontine的寿命取决于被提名人的年龄，从几个月到50岁以上不等。在平衡状态下，每个人都应该指定最健康的年龄（女性大约10岁），但如果被提名人和年金受益人不是同一个人，这会导致设计问题。

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2022-5-26 21:47:00

如果确实需要同质死亡率池来运行非歧视性tontine方案，那么这就限制了池的可能大小和大量差异的有效性。18世纪的托丁计划将投资者分为小型定制类别，根据年龄进行不同的支付，减少了资金池和风险分散。一个现代养老金基金试图实施一个具有可预测现金流的托尼特支付结构，除非它有一个非常大的自愿退休人员池，他们的年龄和健康状况都相同，否则它将面临同样的担忧。从某种意义上说，我们认为这是对在现代养老金计划背景下恢复退休收入的最严厉批评。一种是要求数百名年龄完全相同的人在同一天退休，以减少支付的可变性。事实上，这也是Piggot、Valdez和Detzel（2005）orDonnelly、Guillen和Nielsen（2014）等作者提出集合年金计划或覆盖计划的原因之一，这些计划允许在多代人中混合不同的队列。请注意，我们不会卷入一场关于在众多联营计划中哪一个更好的辩论。事实上，正如我们将很快演示的那样，它们之间有相当多的重叠。此外，还将有atradeo off。一个为团队挤出最大可能效用的方案也可能更复杂，更难分析和解释。综上所述，我们选择分析tontines，它提供了“良好”的实用性，同时保持足够简单，我们可以建立一系列定性结果。我们理解并承认其他设计有其自身的吸引力和作用。1.2。使异质音调公平。如上所述，这是我们在本论文中针对（退休收入）tontines提出的第三个批评。

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2022-5-26 21:47:04

我们对这一问题的补救措施是，允许不同年龄（和死亡率）的队列通过根据购买时的年龄分配不同的参与率或份额，将公平的退休收入混合到同一个池中。例如，一个55岁的人向tontine分配10000美元，可能会被要求支付每股200美元，然后获得50股，而一个75岁的人分配8000美元，可能会支付每股40美元，然后获得200股。他们将全部混合在同一个tontine池中，每个tontine份额将拥有平等的收入权。现在，根据投资者的年龄和投资规模来分配tontine的股票似乎相当琐碎（精算）。毕竟，有了即时年金，45岁和75岁的人将分别花费一生收入的1美元和1美元。在精算文献中，死亡率未定权益的相对价格是很好理解的。但可能不明显的是，事实上，有些情况（例如反例）无法以公平（甚至公平）的方式实现，尤其是当群体规模较小时。换言之，在某些情况下，任何映射或股价都不允许群体无歧视地混合。我们的目标是了解何时（或何时）可能做到这一点。大型资金池分散风险的必要性与本文所述问题有关，也是Donnelly（2015）最近强调的一个问题。

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2022-5-26 21:47:07

我们稍后再讨论这个问题。就术语而言，在本文中，我们仔细区分公平的方案和公平的方案，这是一个较弱的要求。在Donnelly（2015）的观点中，退休收入托尼汀计划中，池中的每个人都有可能在最大年龄之前死亡，从而留下剩余的人，除非它包含某种形式的遗产付款，否则永远不可能是公平的。“公平”一词的意思是，收入的预期现值将始终低于投入或投资于托丁的金额。然而，通过确保计划所有参与者的收入现值（尽管低于出资额）相同，异质tontine计划通常（尽管并非总是）是公平的。历史上，Charles Compton先生（1833）在近200年前提出了“fix”tontine的建议，他是英国皇家邮政的总会计师。他写道：“国王陛下政府应创建一种年利率一定的托尼汀股票，并允许一定年龄的人按面值购买此类股票，年轻人或老年人根据其年龄购买高于或低于面值的同一股票。”他认为，这比将贡献者分成班级更可取，因为班级最终会创建非常小的群体，而共享的收益很少。他质问道：“年轻的购买者会比老年人花更多的钱购买100英镑的股票，并会放弃部分收入以换取老年人的福利，而老年人则会将养老金作为补偿遗赠给年轻人。”康普顿（1833）接着列出了一个将年龄映射到股价的价值表，这与我们的数字非常相似（至少在精神上是如此），我们稍后将在论文中介绍这些数字。6 M.A.米列夫斯基和T.S。

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mingdashike22

2022-5-26 21:47:12

SALISBURYregardless的年龄。这项计划不会歧视任何一个群体，尽管它不公平。所有这些都将得到详细解决，包括对不可能实现公平的场景的分析。综上所述，在本文中，我们研究了如何构建一个多年龄托汀方案，并确定向参与者收取费用的适当股价，以使其公平且不歧视任何年龄或任何群体。我们建议的tontine是一个封闭的池，不允许任何人在初始设置后进入（或明显退出）。这是我们与Piggott et al.（2005）、Donnelly et al.（2014）或（在tontine背景下）Sabin（2010）的设计不同的另一个地方。也就是说，我们主张对新加入者关闭集团，但允许在封闭的人才库中有多个年龄和贡献水平。同样，我们避免争辩这比任何其他设计更好或更差。这就是说，随着时间的推移，我们的模型要求并假设精算师很少（如果有的话）酌情决定权。规则在时间零点设置，现金分配算法非常清晰。我们相信这个设计有优点。1.3。概述本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们总结了米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）的研究结果，以及tontines在单一同质用户群背景下的经济最优性。事实上，有许多可能的支付函数d（t）可以用来构建托丁方案——历史上，d（t）曲线是恒定的，例如每年8%——而最优函数（至少）取决于代表投资者的风险规避系数。作为优化对数效用偏好的d（t），一个特别自然的支付函数出现了。在本节中，我们还将与其他联营方案进行简要比较。

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2022-5-26 21:47:15

第3节从单一队列的观点转移到多队列的介绍，这是本论文的贡献。它精确地描述了给定特定支付函数d（t）的托丁方案中所有参与者的公平股价的含义。在这一部分中，我们对公平的概念以及公平与公平的区别有了更准确的定义。第4节回到经济最优的问题。通常不可能找到一个对所有队列都是最优的支付函数d（t），就像在单个队列的情况下一样，即使所有参与者的风险厌恶程度相同。事实上，当混合队列时，人们所能期望的最佳方案是一个公平的方案，而不是一个统一的最优方案。在第5节中，我们建议从所有可能的股本模式中进行一个很好的选择，即支付函数d（t）与未来任何时候的预期流通股数量成比例。唉，我们还不能证明这个方案的唯一性，而把它作为一个猜测。然而，我们确实讨论了该方案的福利收益和损失，并提供了一些数值例子。第6节对文献中存在的其他7种产品设计与公平退休收入进行了比较，并讨论了它们超越的条件。第7节总结并提出了一些建议和进一步研究的途径。证据见附录（第8节）。2、年金与最佳托汀支付函数在本节中，我们简要回顾了米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）提出的最佳托汀方案。我们假设一个目标生存函数tpx，对于一个年龄在x到t岁之间的个体。

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2022-5-26 21:47:18

tontine结构的一个目的是使发行人免受随机（或简单地说是不明确）生存函数的风险，但在本文中，我们假设了给定的轴，并适用于所有个人。我们打算在后续工作中解决随机情况。我们假设tontine持续付款，而不是每季度或每月付款。为了便于说明，我们假设一个恒定的无风险利率r，尽管很容易合并期限结构。tontine之所以成为一款简单而廉价的产品来构建和管理，是因为从一开始就知道支出，并且可以通过一个简单的ZCB投资组合来设计（无需积极管理）。2.1。最佳年金。托丁的基本比较标准是年金，其中年金受益人每人最初向保险公司支付1美元，然后获得终身的c（t）DTD收入流。对这些年金的限制是，它们的定价是公平的，换言之，如果客户基数足够大，以无风险利率投资的初始付款将为所要求的永久付款提供资金。这意味着年金支付函数c（t）受到约束，即（1）Z∞e-rttpxc（t）dt=1。同样，c（t）是每个幸存者的支付率。每初始投资美元的支付率为pxc（t）。让U（c）表示消费的瞬时效用，没有遗赠动机的理性年金受益人（终身ζ）将选择终身年金支付函数，其中c（t）最大化贴现终身效用：E[ZζE-rtU（c（t））dt]=Z∞e-rttpxU（c（t））dtr是主观贴现率（SDR），所有都受约束（1）。假设u是严格凹的，那么下面是Euler-Lagrange定理。定理1（Milevsky和Salisbury（2015）的定理1）。优化终身年金haveconstant c（t）≡ax，其中ax=R∞e-rttpxdt。8 M.A.米列夫斯基和T.S。

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2022-5-26 21:47:22

Salisburyth这一结果可以追溯到Yaari（1965年），他表明，最佳（退休）消费比例是恒定的（flat），并且当没有最大动机、主观贴现率等于利率并且有完整的年金市场（精算票据）可用时，100%的财富都是年金化的。2.2。最佳Tontine支出。在实践中，为人寿年金（t）提供资金的保险公司面临着系统性长寿风险（由于PX中的随机性或不确定性）、模型风险（TPXIS规定错误的风险）以及再投资或利率风险——静态债券投资组合可以在中期复制托尼汀支付，但不会超过30年。后者不是我们在这里的重点，因此我们将继续假设，对于接下来的大多数情况，r是阿吉文常数。这就引出了米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2015）引入的托丁结构，在该结构中，幸存者之间按每t分享预定的美元金额。让d（t）为每初始投资美元的资金支付率，即托丁支付函数。托丁支付函数没有理由像历史上那样是初始投资美元的固定百分比（例如4%或7%）。回到最优性问题，我们可以提出与上述年金问题相同的问题：什么样的d（t）最适合认购者？现在比较的是d（t）和TPxC（t），其中c（t）是上述最佳年金支付。假设tontine计划最初有n个订户，每个订户向tontine发起人存入一美元。设N（t）为t时刻实时订阅者的随机数。考虑其中一个订阅者。假设这个人还活着，N（t）- 1.~ 箱子（n-1，tpx）。

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2022-5-26 21:47:25

换句话说，在任何时间t的其他（实时）订阅者的数量是用概率参数tpx二元分布的。与Yaari（1965）模型一样，该个体的贴现寿命效用isE[Zζe-rtund（t）N（t）dt]=Z∞e-rttpxE[单位nd（t）N（t）| ζ>t]dt=Z∞e-rttpxn-1Xk=0n- 1公里tpkx（1-tpx）n-1.-ku公司nd（t）k+1dt。tontine支付函数d（t）的约束条件是，初始存款n应足以永久维持取款。当然，在某个时候，所有订阅者都会死亡。因此，事实上，tontine赞助商最终将能够停止付款，留下一小部分余款或意外之财。这就涉及到了公平问题，我们将在下一节中重新讨论这个问题。但这一最终死亡时间并不是预先确定的，所以我们将这一比例视为一个公平的退休收入，这是一个不可避免的特征。请记住，我们不想让赞助商面临任何长寿风险。正是该池完全承担了这一风险。因此，我们的预算或定价限制为（2）Z∞e-rtd（t）dt=1。因此，例如，如果d（t）=d被迫为常数，即通常历史上的波动，那么波动支付函数（比率）就是d=r（或对允许的年龄施加更多的ifa上限，将（2）中的积分上限替换为avalue小于in finity）。最优d（t）实际上远非常数。米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2015）在某种普遍性上发现了这一最佳值。以下总结了可靠性U（c）=c1的情况下的结论-γ1-γ>0时，γ6=1（或γ=1时，U（c）=对数c）。设置βn，γ（p）=pn-1Xk=0n- 1公里pk（1- p） n个-1.-knk+11.-γ。定理2（米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）的推论2）。最佳的中间层结构为d（t）=d（0）βn，γ（tpx）1/γ，其中选择d（0）使（2）保持不变。有关典型d（t）的图示，请参见图3.2.3。与其他人相比。

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2022-5-26 21:47:28

托尼汀并不是精算文献中研究过的年金的唯一替代品。两个这样的产品设计是Piggott、Valdez和Detzel（2005）的团体自年金计划（GSA）和Stamos（2008）分析的最优集合年金基金（PAF）。我们将在第6节中描述这些设计。但对于那些已经熟悉它们的人，我们现在进行一些比较，这可能有助于为我们的结果确定背景。首先，这三种设计之间有一定程度的重叠。事实上，对于如上所述的投资于无风险资产的同质池，结果是GSA与支付d（t）=axtpx的tontine一致。继米列夫斯基（Milevsky）和索尔兹伯里（Salisbury）（2015年）之后，我们将这种设计称为x年龄组的天然色调。该论文表明，这种设计对于对数效用（γ=1）是最优的，因为βn，1（p）=p。对于异质性的poolshowever，GSA将根本不是托汀，因为总支出将是随机的（且路径依赖），而不是确定性的（这是托汀的定义特征）。在同样的背景下，对于对数效用来说最优的PAF也与自然色调一致。相比之下，对于风险规避γ6=1，总PAF支出将取决于路径，因此它也不是托丁。回想一下，托宁的主要定义特征是分配给池的现金流（分子）的可预测性。我们将在第6节中对这些说法进行精确描述，但现在我们只满足于表1。在此插入表1。它比较了所有三种产品投资的确定性等价物，得出年金中的相同性为100美元。必须如此，一份（合理定价的）年金提供的效用最高，其次是PAF，然后是tontine，然后是GSA。此外，当γ=1时，三者一致。

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2022-5-26 21:47:33

但主要结论是，这三种设计产生的公用事业非常相似，即使投资者（非常）少。如果年金定价不公平，例如，如果对年金征收资本风险费用，以保护系统死亡风险的负荷系数的形式，那么三种设计中的任何一种都可以轻松地为消费者提供比年金更高的效用。注意，在表1中，我们没有包括γ=2或5的GSA方案，因为实际上它的平均效用=-∞ 一旦γ>2。这是一个在有限的地平线上拍摄的人工制品，在米列夫斯基和索尔兹伯里（2015）附录a.3节中详细讨论了自然色调的背景。如图所示，可以通过在某些高龄（如110.3岁）设定支付上限来规避极端情况的不成比例影响。混合队列：当d（t）给定时的公平股价现在假设托汀的退休收入为每一初始投资美元支付d（t），这可能（也可能不是）对特定年龄的人来说是最优的。换言之，一组不均匀的个人认购tontine的股份。每位认购人将按所持股份数量的比例获得所支付资金总额的一部分，唯一的警告是，认购人在支付时必须活着。一旦知道认购者名单以及他们将投资的美元价值，他们每个人都会根据年龄和投资规模（更一般地说，是所有认购者的年龄和投资）报出每股价格。当然，价格决定了他们将从宣布的投资中获得的股份数量。

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2022-5-26 21:47:38

我们希望解决的问题是如何以公平的方式分配价格，这意味着各认购人收到的资金的预期现值（每初始美元）都是相等的。数学上的问题是，是否存在实现这一点的股价集合，以及这些价格是否是唯一的。公平退休收入TONTINES 11设n为认购人数。出于计算目的，有时可以将他们分成K个同质队列（即具有相同的年龄和贡献水平），尽管这实际上不是一个限制，因为我们可以选择取K=并认为每个队列由单个个体组成。我们将使用permitsgrouping的符号，但在许多证明中（不会失去普遍性）将队列视为由单个个体组成。对于i=1，K让xibe表示第i组中个人的初始年龄，让wibe表示每个人投资的美元数。让我们计算第i组的规模，son=Pnian，初始总投资为w=Pniwi。因此，总时间t付款以wd（t）为单位。为了便于说明，我们选择以参与率πi为基础定价，换句话说，1/πi是第i个认购人的每股价格。设ui=πi为第i组中每个人购买的股份数量，u=pni为购买的股份总数。假设Ni（t）是第i个队列中存活到t的人数。d（t）函数满足预算约束t∞e-rtd（t）dt=1，其中r是利率。第i个队列中存活到时间t的个体将以i×wd（t）PjujNj（t）=wd（t）πiwiPjπjwjNj（t）的比率获得报酬。当然，只要至少有一个订阅者幸存下来，将所有订阅者的总支付率相加，就会得到wd（t）的总支付率。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:47:43

换句话说，只要asPjπjwjNj（t）>0，Piwd（t）Ni（t）πiwiPjπjwjNj（t）=wd（t）。设ζ为第i组中个体的寿命。他们支付的现值Sisehzζe-rtuiwd（t）PjujNj（t）dti=Z∞e-rttpxiπiwiEhwd（t）PjπjwjNj（t）|ζ>0idt=Z∞e-rttpxiwd（t）EihπiwiPjπjwjNj（t）idt。我们使用符号EIT来提醒我们，这是一个条件期望，其中- 1.~ 箱子（ni- 1，tpxi），而另一个Nj~ 箱子（nj、tpxj）。调用上面的表达式wifi（π，…，πK），因此如果π=（π，…，πK），那么fi（π）=Z∞e-rttpxiwd（t）EihπiPjπjwjNj（t）idtre表示第i组投资的每美元收益的现值。第i组的用户投资wi，因此理想情况下，“公平”意味着每个人支付的现值等于他们的初始费用，换句话说，对于12 M.A.MILEVSKY和T.s.SALISBURYeach i，Fi（π）=1。这是不可能的，原因很简单，因为一旦每个人都死了，钱总是有正的可能性留在桌子上。设Ai，k（t）为第i个队列中的kthindividial生存到时间t的事件。然后pniwi=w，但xniwifi（π）=Z∞e-rtwd（t）Xini·tpxiEihπiwiPjπjwjNj（t）idt=Z∞e-rtwd（t）EhXiniXk=1πiwiPjπjwjNj（t）Ai，k（t）idt=Z∞e-rtwd（t）EhXiπiwiNi（t）PjπjwjNj（t）{Ni（t）>0}idt=Z∞e-rtwd（t）PXjNj（t）>0dt<Z∞e-换句话说，我们已经证明了引理3。无论π如何，至少有一个队列的现值Fi（π）<1。我们最接近真正公平的方法是让所有Fi（π）相等。

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2022-5-26 21:47:46

换言之，按现值计算，每个认购者损失的投资比例都是相同的。我们说π是公平的ifFi（π）=Fj（π）i、 j.等效地，Fi（π）=1- 对于每个i，其中 =Z∞e-rtd（t）PXjNj（t）=0dt。如果我们想让tontine在绝对意义上公平，我们就需要将最后一次死亡后的任何moniesremaining归还给订阅者的财产（作为一个整体，或者仅仅归还给最后一个幸存者的状态）。这正是Donnelly等人（2014、2015）将adeath Benefit纳入他们分析的产品的原因，这确保了没有剩余资金，并允许设计公平。我们的做法是只关注终身收入。换句话说，我们消除了死亡福利，但保持了公平。SincePniwiwFi（π）=1- 通过上述论证，很明显，要么tontine是相等的，要么有一些指数Fi（π）>1- 还有一些Fi（π）<1-.我们称θ（π）=maxi6=j | Fi（π）- Fj（π）| tontine的不公平性。如果θ（π）<θ（π），我们说π比π更公平。衡平退休收入TONTINES 13衡平法存在障碍，如下例所示。假设n=K=2。第一个认购人将在其超过第二个认购人的期限内收到所有可用收入。因此，如果WW足够大，F（π）>wwZ∞e-rtd（t）tpxtqxdt>Z∞e-rtd（t）[1-tqxtqx]dt=1- .例如，使用合理的年龄和死亡率，不可能使一个认购人投资一美元，另一个认购人投资100万美元的时间公平。在限制情况下π=0时，此类托汀可能是最具吸引力的，因此第一个认购人只有在第二个认购人去世后才开始收到付款。我们将在附录（第8节）中讨论此类内容。本文的主要定理如下。定理4。固定d（t）以及ni，xind wi，i=1。

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2022-5-26 21:47:49

，K.（a）如果存在π=（π，…，πK）的公平选择，使得0<πi<∞ 对于每个人来说，这个选择是唯一的，直到一个任意的乘法常数。（b）这样一个π存在的必要和充分条件如下：（3）Z∞e-rtd（t）（Yi/∈Atqnixi）（1-易∈Atqnixi）dt<αA（1- )对于每个A {1，…，K}，0<A<K，其中αA=wPk∈Ankwk公司。我们将在附录中证明这一结果，在附录中我们还扩展了条件（3）的含义。从启发性的角度来看：如果有一个群组发现tontine是有利的，即使他们必须等待收入，直到其他群组的所有订户都去世，那么公平是不可能的。请注意，我们的公式默认假设队列中的所有成员共享相同的参与率。如果存在公平费率，那么事实上必须如此。为了看到这一点，将队列i细分为尼科霍特人，每个人都有一个成员，并应用上述定理的唯一性结论。在第5节中，我们将研究一些包含实用程序的合理场景。在这里，我们处理一些极端的例子来说明公平利率可能如何变化，并给出一些它们不存在的情况。我们使用Gompertz危险率，即λx=bex，展示了两个队列病例（K=2）的值-mbat年龄x。参数为m=88.72，b=10，andr=4%。在图1中，我们考察了年龄差异，在图2中，我们考察了投资水平的差异。在此处插入图1和图2。14 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury这些图显示，随着人口规模的增加，π（最大值与最小值之比）的传播范围缩小。然而，这并不是一般规则。如果在图1中，takenx=90和x=65，则利差会先缩小，然后扩大。当x=65、x=85和n=1时，对于较小的NB值，将有公平的费率，但对于较大的NB值，则没有公平的费率。

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2022-5-26 21:47:53

在图2中，在公平利率存在之前，离群投资w越高，联合投资的规模nof w=1美元必须越大。例如，如果w=20美元，我们需要≥ 5以实现公平。但w=100美元需要n≥ 23，w=500美元需求n≥ 114、请注意，不可能实现公平不仅仅是人口少的现象。一种精心设计的tontine也能产生这种效果。例如，假设我们有两个大小为n=n=100、年龄为x=65和x的特定队列。如果第二个队列的每个成员贡献w=1，那么对于足够大的WT值，tontine必须是不公平的。有了精心设计的tontine，它通常需要大量的wto破坏性权益。但是，如果我们采用的是一种不符合要求的色调，比如一种色调，其d（t）对于50岁的人口来说是自然的，那么相当适度的WW值将产生不平等，尤其是当队列年龄存在差异时。例如，如果x=80（分别为75/70/65），则根据定理4标准，即使w=7（分别为14/37/209），也可以实现这一点。效用、渐近性和最优性4.1。效用和负荷系数。对于任意tontine支付d（t）（满足（2）但不一定最优）和任意参与率πi（不一定公平），我们可以考虑个人从第i个队列收到的现金流的效用。纳梅利兹∞e-rttpxiEihU（wd（t）PwjπjNj（t）πiwi）idt。我们对订户群体的不均匀性的影响很感兴趣。特别是，我们想了解当添加的个体与其他个体不同（在同质群体中，添加个体总是增加效用）时，添加个体是否会提高或降低效用（以及降低多少）。

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2022-5-26 21:47:57

特别是，对于一个规模庞大的群体来说，这一切实际上意味着康普顿（1833）对tontine股票收取不同股价的计划可能并不适用于所有年龄段和投资金额。公平价格在投资金额上是最基本的，不是线性的，这与年龄同质的tontine计划形成对比。虽然人们当然不能指责康普顿（1833）没有意识到这一事实，但我们相信这是他相当聪明的提议中一个有趣的方面。公平退休收入TONTINES 15NI在支付d（t）的异质tontine中，自然比较将对比其与优化tontine^d（t）的可靠性，在优化tontine^d（t）中，只有那些非同质的个体才是公平的。因此，我们定义了一个荷载系数δi，该系数（应用于均质Tontine时）使两个效用相等。换句话说，Z∞e-rttpxiEihuwd（t）PwjπjNj（t）πiwiidt=Z∞e-rttpxiEihuni^d（t）ni（t）（1- δi）wiidt。如果δi>0，这意味着队列因向池中添加异质个体而失去效用。如果δi<0，则队列从添加这些个体中获得效用。有关tontines和年金之间的不同比较，请参见Milevsky和Salisbury（2015），其中使用了不同的加载因子。另请参见Hanewald et.al.（2015）的相关研究，该研究探讨了产品装载量可能如何影响在不同重要性或有权益之间的选择。在第5节中，我们将给出各种d（t）选择的荷载的数值计算，我们将看到，在设计良好的tontine中，增加参与者会增加效用（即荷载为负）。我们将使用γ=1 so U（c）=log c，并简化上述公式。根据Milevsky和Salisbury（2015）的研究结果，最佳的^d（t）是西科霍特年龄段的天然色调，换句话说，^d（t）=axitpxi。4.2。渐近性和比例音调。

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2022-5-26 21:48:00

我们假设K、xi和wi在用户总数n=Pni时考虑πi的限制→ ∞. 设αi>0，pki=1αi=1。假设ni→ ∞ 以这样的方式→ αi，soαi表示归属于第i组的初始投资份额。ThenFi（π）=Z∞e-rttpxiwd（t）EihπiPπjwjNj（t）idt。→Z∞e-rtd（t）πi·tpxiPKj=1πjαj·tpxjdt。这种特殊情况需要特别注意。设ax=R∞e-rttpxdt是x岁个人终身年金的标准价格，为1美元。考虑d（t）=Pjαjaxjtpxj（这清楚地满足了r∞e-rtd（t）=1）。在这种情况下，Fi（π）→ axiπi，因此等参和率渐近变为πi=axi。我们称d（t）=Pnjwjw×tpxjaxjandπi=轴的tontine为比例tontine，并强调它仅在极限n中是公平的→ ∞. 在同质人群（即K=1）的情况下，比例音调与我们之前所称的该队列的自然音调一致。16 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisburyon这种特殊设计的动机是，在时间T时，第i组存活个体的支付率是渐近的yd（T）Pπjαj·tpxjπi=πi=轴心单位。换言之，对幸存个人的支付率在一段时间内保持不变，只是每美元初始保费的标准年金系数。从这个意义上讲，按比例的托丁复制（在限额内）每个认购人的标准固定年金的支付结构和成本。我们很快就会看到进一步的动机，当我们证明它是渐近最优的。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:48:04

在第6节中，我们将把这种设计与集团自我年金计划（GSA）联系起来。当n→ ∞ 如上所述？上面的方程式变成了hatz∞e-rttpxiu公司d（t）Pπjαj·tpxjπiwidt=Z∞e-rttpxiu公司^d（t）tpxi（1- δi）widt。取d（t）为比例tontine，so在极限中，soπj=axjis在极限中相等。如上所述，取u为对数，而^d（t）为xicohort年龄的自然值。我们得到了∞e-rttpxiu公司威西dt=Z∞e-rttpxiu公司wiaxi（1- δi）dt，从中我们立即得到以下结果：引理5。渐近地，比例tontine具有效用载荷δi=0.4.3。tontine是否适合多个队列？一个自然的问题是，是否有可能为多年龄组设计一种最佳的托汀。事实证明，这是不可能的，除非在n的极限范围内→ ∞. 为了表述这个问题，我们将equityas作为优化问题中的一组附加约束。特别是，我们希望选择d（t）和πjt，以最大化第i个cohortZ的效用∞e-rttpxiEihU（wd（t）PwjπjNj（t）πiwi）idtover d（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtd（t）dt=1，股权约束z∞e-rttpxiwd（t）EihπiPKj=1πjwjNj（t）idt=Z∞e-rttpx ` nd（t）E ` hπ` Pkj=1KπjwjNj（t）idtfor ` 6=i.公平退休收入TONTINES 17，限制为n→ ∞ 我们希望最大化∞e-rttpsui（d（t）Pαjπj·tpxjπiwi）dtover d（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtd（t）dt=1，股权约束z∞e-rttpxid（t）πiPKj=1αjπj·tpxjdt=Z∞e-rttpx\'d（t）π\'PKj=1αjπj·tpxjdtf或\'6=i。如果按照Γ（t）=d（t）PKj=1αjπj·tpxj重新表述，则此版本的问题可以简化。

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2022-5-26 21:48:08

现在我们寻求最大化∞e-rttpsui（πiwiΓ（t））dt overΓ（t）≥ 0，受预算约束∞e-rtΓ（t）Pαjπj tpxjdt=1和股权约束∞e-rtΓ（t）πi tpxidt=R∞e-rtΓ（t）π\'tpx\'dt为\'6=i。权益约束仅变为π`=πiR∞e-rtΓ（t）tpxidtR∞e-rtΓ（t）tpx\'dt。反过来，预算约束变成πiR∞e-rtΓ（t）tpxi=1。这让我们回到了优化定理1的简单年金的背景下，这意味着最优Γ（t）是常数。如果我们规范化soπi=axi，那么π`=ax，我们得到Γ（t）=1。特别是，在存在公平约束的情况下，优化第i个队列的效用，渐进地精确地给出了上一节中描述的比例音调，即d（t）=Pjαjaxjtpxj。因此，无论我选择为哪种类型进行优化，这种最佳托汀（在本例中，实际上是一种年金）都有相同的设计。我们已经证明了这一主张6。假设一个严格凹的效用函数。限值为n→ ∞, 比例托汀可以同时优化每个队列的效用。原始的优化问题（即在有限n的设置中）也可以解决，尽管没有那么干净。我们在这里不介绍这一点，只是要注意，当我们优化第i组的对数效用时，当我们改变i时，结果不再一致。换句话说，通常不可能让每个人同时快乐。这是我们认为首先确定音调结构d（t）（如上所述）是合理的一个原因，然后如果人们愿意，允许他们以公平的比率参与。当然，这意味着我们需要回答的一个问题是，这样做时，他们的效用损失有多大。18 M.A.MILEVSKY和T.S.SALISBURY5。

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2022-5-26 21:48:12

我们建议的d（t）：在年龄为x的同质人群中，所有投资金额相等的自然和公平色调，Milevsky和Salisbury（2015）中提出的设计具有d（t）=axtpx，即年龄为x的自然色调。在这种情况下，设计在对数效用的情况下是最优的，否则接近最优。在本节中，我们希望在异构环境中提出一个合适的泛化。对于异类音调，我们已经看到，整体最优是不可行的（除了同情）。在这种情况下，我们建议采用以下设计，该设计在我们进行的数值实验中表现良好，在均匀总体的情况下简化为上述设计，并与极限中的比例tontine一致，即n→ ∞（因此是渐近最优的）。修复xi、wi和ni。我们说，如果d（t）始终与幸存tontine股份的平均数量成比例，则tontine是自然的。换句话说，d（t）=cPujnj·tpxj=cPπjwjnj·tpxj。积分，我们看到d（t）=XihπiniwiPjaxjπjwjnjitpxi。注意，一旦给出πi，自然色调完全由预算约束确定。但要构造一个既自然又公平的音调，我们必须同时计算πi和（t）。在实践中，这比（如上所述）简单地定义d（t）和计算公平π更复杂，但也不是过分复杂（至少当Kof类型的数量很小时）。以下两个表（表2针对K=2队列，表3针对K=3）在此插入表2和3。展示这些自然和公平的音调，并将其与如果人口同质（但参与率公平）就会选择的“自然”音调进行比较。我们还与相应的比例音调进行了比较，尽管这些音调并不公平。

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nandehutu2022

2022-5-26 21:48:15

虽然比例音调的理论基础不如自然音调那么吸引人，但它们更容易计算，而且在实践中确实表现得合理。如果计算资源无法计算出公平的πi和自然的d（t），我们将其视为可接受的替代方案。请注意，由于这些表对π进行规范化，使某些i的πi=1，这意味着比例tontine具有πj=axi/axj。首先考虑表2。标有“A”和“D”的行使用的是色调设计，这对于年龄分别为65岁和75岁的同质人群来说是自然的。公平合理的π是计算得出的公平合理的退休收入。在A行中，δ和δ均为负值（n=1=n），这意味着额外参与者的利益大于异质性的影响。随着n=nRIES的共同值，δibecome正值与设计中的缺陷变得更加相关。特别是，载荷保持严格的正渐近-虽然乘积本质上是一个年轮，但它不是一个最优值。请注意，载荷实际上不是单调的。增加参与者对年龄较大（75岁）的参与者比年龄较小（65岁）的参与者更有利。令人惊讶的是，在65岁的参与者面前，即使是75岁的参与者也会从65岁的设计中获得比75岁的设计更多的好处。标有“B”的行对应于真正自然和公平的设计。标有“C”的行为比例设计。在大多数情况下，两个队列中的任何一个都比同质设计表现更好。现在，设计的问题已经很清楚了——公平地说，它要求更高的参与率π，这会稀释向tontine添加个人的好处，并产生效用损失。相反，B行和C行通常显示负加载（即。

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mingdashike22

2022-5-26 21:48:19

效用增益），尽管参数选择不同（未显示），但事实上有时并非如此。比较B组和C组，通常情况下，老年组倾向于自然设计，而年轻组倾向于比例设计。比例设计更接近于均衡队列之间的效用收益。这两种设计的性能相似。导致其差异最大的因素是π的公平性，而不是d（t）的选择——使用比例d（t），但公平的π将产生与完全自然设计非常相似的效用。表3处理了三个队列病例，将自然和比例设计与仅65岁队列的自然设计进行了比较。现在，这三种设计对效用的影响非常相似。否则，该表与madeabove的经验观察结果一致：向tontine中添加人员通常是有利的（尽管存在异质性）；年龄越大，效用改善越大。请注意，这些设计的良好表现可能部分是由于60岁和70岁之间的平衡——不对称设计（未显示）不太一致。图3显示了一个2队列自然公平设计的支出模拟，其中n=200个成员，n=50个成员。请注意，在中等年龄阶段，几乎可以实现对每个幸存者的持续和稳定的支付。一旦池中的幸存者人数较少，老年人的支付波动性更大。缓解这种波动性将是一种实用的音调设计的要求。事实上，我们认为这并不难实现，原因如下：当个人没有外生收入时，我们的音调设计为20 M.A.MILEVSKY和T.S.Salisbury。在现实中，通常会有一些外源性的收入（例如。

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mingdashike22

2022-5-26 21:48:22

社会保障）。Ashraf（2015）未发表的研究表明，在存在外生收入的情况下，应设计最佳音调，以在高龄（如到100岁）时减少影响和停止支付。如果这样做了，那么当survivorpool非常小时，其大小的任何变化都将不再重要。在此处插入图3。自然和公平的音调似乎存在于广泛的参数值范围内（虽然并非普遍存在，但第3节中提出的障碍仍然有效）。但我们尚未成功地找到存在的必要和充分条件，或无法建立唯一性，如定理4所示。因此，解决以下问题仍然是进一步研究的主题。猜想7。修复xi、ni和wi，i=1，K、在广泛的条件下，将存在π=（π，…，πK）的选择，从而相应的天然音调是公平的。对于任意的乘法常数，至多有一个这样的π。6、其他产品设计如前所述，精算文献中有许多其他产品设计对冲长寿风险的特殊成分，但不对冲系统成分。在本节中，我们将讨论其中一些备选方案。6.1。集合年金基金（PAF）。在同质情况下，Stamos（2008）得出了最佳PAF，Donnelly等人（2013）研究了其效用（或我们术语中的负荷）与（可变）终身年金的比较。我们不知道在异质环境下如何实现这样的最优PAF，但类似本文的方法（即确定支付机制，然后公平分配股份）可能会在这种情况下实现。PAF通常允许多元化投资组合，但我们只考虑无风险投资组合。

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