巨灾债券和其他长期债券的加载定价，

2022-5-26 22:20:30

巨灾债券和其他长期保险型合同的加载定价悉尼理工大学金融学科组和数学与物理科学学院，新南威尔士州百老汇123号邮政信箱，2007年，澳大利亚阿卜杜特。南非Cape Town大学，Private Bag X3，Rondebosch 7701，精算科学和非洲定量金融与风险研究合作组织灾难风险是个人、公司和整个经济体面临的主要威胁。巨灾（CAT）债券已成为一种设置这种风险的方法，并已开发出相应的文献，试图为这些和其他长期保险类合同提供市场一致的定价方法。本文旨在统一和概括几种广泛使用的长期合同定价方法，重点关注风格化的CAT债券和市场一致性估值。它提出了一种负荷定价概念，将合同理论上可能的最小价格与其正式获得的风险中性价格相结合，而不创造有经济意义的套利。负荷程度控制正式确定的风险中性价格对市场价格的影响程度。一个关键的发现是，对于最小波动的合同，这种负荷程度必须是恒定的，并且是长期合同价格的一个重要、可衡量的特征。与传统定价方法相比，装载定价允许长期保险类型合同的定价更低，投资回报更高。

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kedemingshi

2022-5-26 22:20:34

装货定价使保险公司能够系统地积累储备，以便以市场一致的方式管理其破产风险。JEL分类：G10、G131991数学学科分类：小学65C20；次级60H10。关键词和短语：长期合同、CAT债券、真实世界定价、风险中性定价、加载定价、基准法、市场一致性估值。预印本于2016年11月1日提交给爱思唯尔。简介长期合同对于保险、养老基金和银行业的风险管理和投资至关重要。长期CAT债券是此类合同的典型例子。本文认为，经典的无套利（风险中性）定价理论产生的长期合同价格可能对许多投资者来说过于昂贵，而产生的投资回报太低。这可能解释了为什么猫债只会逐渐流行起来。一种比目前更具吸引力的定价方法可能会刺激CAT债券获得所需的市场份额，以弥补灾难造成的大部分经济损失。为了进一步说明为什么可能需要新的定价理论，请注意，根据经典的定价理论，在到期时产生一单位储蓄账户的收益，一个价格定律建议只投资一单位储蓄账户。然而，这与通常给出的财务规划建议不一致：年轻人应该投资于风险证券，而接近退休的人应该更多地投资于储蓄账户等无风险证券。尽管这一建议很流行，但古典资产定价理论并不支持这一建议。然而，这种财务规划建议很常见，因为它已经成功了好几代人。

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何人来此

2022-5-26 22:20:37

由于风险证券是在生命周期开始时持有的，因此该策略比在一个人的整个生命周期中单纯投资无风险证券提供了更高的平均投资回报。这一建议没有经典资产定价理论的支持，这一事实很重要。这很重要，因为经典的资产定价理论使得无风险支付的长期证券的当前价格高于其需要的价格。之所以如此，是因为无风险证券的低投资回报率决定了目标无风险支出的高价格。因此，经典的资产定价理论与财务规划中的典型实践不兼容，但通过设定高于必要的价格影响实践。迫切需要在广义定价概念下巩固这一做法。特别是对于利率较低甚至为负的发达经济体，要求养老基金、人寿保险合同、绿色基础设施融资和长期保险合同（如CAT债券）获得更高的投资回报的要求已经变得极端。通过避免经典资产定价方法的限制性假设，本文提出了负荷定价的新概念，其中理论上可能的最小价格与正式获得的风险中性价格相结合。装货程度决定了正式获得的风险中性价格对装货价格的影响程度。我们将证明，如果负荷度是局部鞅且正交于已交易的不确定性，则不存在具有经济意义的套利。对于长期合同而言，负荷程度代表了一种新的、重要的、可观察到的平等性。它使asCAT债券等合约的市场一致性设计能够获得比以前想象的更高的投资回报。

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何人来此

2022-5-26 22:20:41

这使得这些产品更便宜，对长期投资者更有吸引力。我们的装载定价新概念广泛适用。我们通过对长期CAT债券的市场一致性评估的挑战，在本文中激发了这一点。本文概述如下：在第二节中，我们简要概述了加拿大国债和其他长期保险类产品的定价。第3节介绍了作为通用建模框架基础的基准方法。第4节定义了装载定价的新概念。第5节推导了正式获得的风险中性价格。风格化CAT债券的示例说明了第6节中的新定价概念。第7节讨论对冲，第8节和第9节讨论风险最小化。2、CAT债券和长期保险类合同定价简要回顾20世纪90年代初，保险和再保险公司与银行一起，一直在探索将巨灾风险转移到资本市场的创新方法；部分原因是国际资本市场每日波动的规模与自然灾害保险索赔相比。2015年，经通货膨胀调整的自然灾害和人为灾害造成的10年平均总经济损失为1920亿美元（SwissRe（2016）），这一价值很容易被全球资本的每日波动所淹没。出现了相互关联的转移机制来促进这种转移，所有这些机制最初都是基于构建的损失指数。这些机制包括交易所交易的灾难期货和期权、CATbonds，以及最近的场外灾难掉期。最初，定价和合规工作主要集中在灾难期货和期权上，因为它们的价值参考了交易所报价的指数。

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2022-5-26 22:20:44

三次尝试对这些期货和期权进行报价和交易：首先，在1992年至1995年间，芝加哥期货交易所（CBOT）引用了自己的损失指数；其次，1995年至2000年间，该指数引用了财产索赔服务（PCS）构建的指数；最后，在2007年至2010年期间，纽约商品交易所（NYMEX）根据再交易损失指数（反过来又根据个人电脑提供的数据构建）结算。保险公司和投资者对这三次尝试都没有表现出多大兴趣，导致市场交易量不足，部分原因是交易所缺乏相关专业知识。根据康明斯（2008），交易对手信用风险、道德风险、与再保险人的长期关系中断以及基差风险过高的可能性进一步削弱了流动性。正如导言中所建议的那样，人们可能还必须归咎于根据经典资产定价理论为这些证券定价时产生的低投资回报。最后，标的指数的非交易性质使得做市商几乎不可能进行对冲。渐渐地，CAT期货和期权在受欢迎程度上让位给了CAT债券，后者已成为设定灾难风险的主要方法。SvenskExportkredit最早的CAT债券发行是在1984年。最近的数据显示，2004年至2016年间，未偿发行额从37亿美元增加到232亿美元，占灾难造成的平均经济损失的10%以上；参见《市场》（2016）。猫债券设计简单，我们稍后将用于插图的风格化猫债券被选为极其简单。他们的价格是自然灾害的意外保险索赔，并提高收益率以补偿本金和/或息票的部分或全部损失。

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能者818

2022-5-26 22:20:47

或有价值可能是保险人自身的损失（从而消除基差风险）或行业范围的损失，如贪婪指数所反映。关于CAT期货、期权和债券、保险产品和再保险的设计、特征、以往和当前定价的描述，请参见Litzenberger et al.（1996）、Canabarro et al.（2000）、Cox et al.（2000）、Froot（2001）、Cummins（2008）、CumminsandWeiss（2009）、Cummins（2012）、Huynh et al.（2013）、Markets（2016）、Gibson et al.（2014）和g¨urtler et al.（2016）。迄今为止，似乎已经提出了四种不同的CAT债券定价方法。Embrechtsand Meister（1997）提出了基于效用最大化的一般定价框架，其中包括对市场完整性的讨论以及对使用标准无套利定价方法的警告。Aase（1999）选择了一个具有恒定绝对风险厌恶的部分均衡框架，其中CAT风险被视为系统性风险。Cox和Pedersen（2000）也采用了均衡定价理论，并包含了时间可分的效用函数，而Christensenand Schmidli（2000）在类似的框架下引入了指数效用模型。Aase（2001）将其早期工作扩展到具有恒定相对风险厌恶的竞争均衡方法。继B¨uhlmann（1984、1985）的基础工作之后，Lane（2000）和Lane and Mahul（2008）采用了精算定价方法，其中明确指出了CAT风险证券化和再保险之间的联系。这些理论很快就围绕着一些无偏好、无套利的框架融合在一起。这种方法的动机源于默顿（1976）所考虑的不完整的市场框架。在这些模型中，自然灾害被视为可以（几乎）完全分散的特殊风险。

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2022-5-26 22:20:51

后续定价方法假设风险中性概率度量已经预先确定，通常通过假设CAT风险与市场风险正交，从而避免复杂的度量变化。Hoyt和McCullough（1999）以及Cummins和Weiss（2009）的实证研究支持了这一假设，Carayannopoulos和Perez（2015）以及G¨urtler等人（2016）对此提出了争议。在假设的风险中性概率测度下，用于定价CAT债券的随机过程和分布与真实世界概率测度下的特征相同。不幸的是，由于缺乏数据，这些模型的校准似乎几乎是不可能的。许多模型只是简单地提出一个合理的指数过程，然后利用模拟来定价和对冲CAT衍生品。Sondermann（1991）引入了再保险合同的无套利方法。康明斯和杰曼（1994、1995）首次将风险中性方法应用于CAT期货。Changet al.（1996）开发了基于随机时间变化的CAT期货期权模型。Baryshnikov等人（1998年）在不考虑市场完整性的情况下，利用复合泊松过程和度量参数变化，开发了一个经典的CAT债券无套利模型。Burnecki和Kukla（2003）对该模型进行了扩展，Dassios和Jang（2003）使用该模型对止损再保险合同和CAT衍生品进行了建模。此后，这些初始工作的各种扩展被应用于CAT期货、期权、债券和掉期；参见Geman andYor（1997）、Louberg\'e et al.（1999）、Lee and Yu（2002）、Bakshi and Madan（2002）、M¨urmann（2002、2003、2008）、Schmidli（2003）、Vaugirard（2003a、b、2004）、Albrecher et al.（2004）、Jaimungaland Wang（2006）、Lee and Yu（2007）、Zimbidis et al.（2007）、Biagini et al.（2008）、Egami and Young（2008）、Lin and Wang（2009）、Lin et al。

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nandehutu2022

2022-5-26 22:20:54

（2009）、Jarrow（2010）、Braun（2011）、Chang等人（2011）、Ma和Ma（2013）、Nowak和Romaniuk（2013）以及Jaimungal和Chong（2014）。有越来越多的文献介绍了经典无套利定价理论无法适应的市场模型。许多现实模型可能不存在等效的风险中性概率度量，如Delbaen和Schachermayer（1995）、Loewenstein和Willard（2000）、Fernholz（2002）、Platen（2002、2006）、Fernholz et al.（2005）、Platen和Heath（2006）、Jarrow et al.（2010）、Karatzas和Kardaras（2007）、Heston et al.（2007）、Christensenand Larsen（2007）、Fernholz和Karatzas（2009），Biagini和Cretarola（2009年）、Galesso和Runggaldier（2010年）、Fernholz和Karatzas（2010年）、Davis和Lleo（2011年）、Biagini（2013年）、Hulley（2010年）、Ruf（2013年）、Biagini等人（2014年）和Baldeaux等人（2015年）。Heath和Platen（2002）证明，在超越classicalasset定价框架的模型中，定价和对冲仍然是可能的。Platen（2002）和Platen and Heath（2006）的研究表明，对于现实的长期建模，必须超越经典的风险中性定价。Platen（2002、2006）提出的基准方法为不完全市场中的定价和套期保值提供了一个通用建模框架。除了经典风险中性定价方法所涵盖的模型和定价方法之外，它还可以适应广泛的模型和定价方法。在基准法下，资产价格根据真实世界的概率度量进行建模，通常以num'eraire投资组合（NP）的单位计价；见Long（1990）。然后，NP被称为基准，任何以NP为单位的价格都是相应的基准价格。

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2022-5-26 22:20:59

从长期来看，几乎可以肯定，该投资组合可以产生最高的投资组合，并最大化预期的对数效用。这意味着它相当于Kelly（1956）发现的增长最优投资组合。在Platen（2002）和B¨uhlmann and Platen（2003）中指出，在基准方法下，可以避免存在等效风险中性概率测度的限制性假设。例如，一个人可以执行所谓的真实世界定价，而不是风险中性定价，使用真实世界的概率度量并使用NP作为数字。如果一个给定的市场模型存在一个等价的风险中性概率度量，那么风险中性定价就与现实世界的定价等价。在完整市场中，基准储蓄账户，即以NP为单位的储蓄账户，是假定风险中性概率测度的Radon-Nikodym导数。当这个过程不是真正的鞅时，经典风险中性定价方法的假设就失效了。在这种情况下，基准方法仍然有效。特别是，可以执行真实世界的定价。然后可以形成一系列其他价格过程，而不会产生任何有经济意义的套利。正如我们稍后将展示的那样，现实世界的价格是理论上可能的最低价格的特征，在基准方法下定价的自由度很低。长期保险类合同的套期保值一直是一项具有挑战性的任务，这些合同总是涉及不完全可复制的或有索赔。处理这个问题的几种方法也出现在我们前面提到的猫债文献中。旨在提供不完全可复制的或有权益的战略通常会产生一个具有影响力的盈亏过程。

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nandehutu2022

2022-5-26 22:21:02

F¨ollmer和Sondermann（1986）（在F¨ollmer和Schweizer（1989）、Schweizer（1991、2000）和M¨oller（2001）中进一步发展）的经典风险最小化方法，通过在假设的最小等效鞅测度下使用二次准则最小化贴现损益过程的影响。在这种假设的风险中性概率度量下，产生的贴现损益过程形成了一个与贴现交易财富正交的局部鞅。这种定价和套期保值方法要求respectiveRadon Nikodym衍生品，即基准储蓄账户，是真正的鞅。这是一个强有力的假设，被质疑为不现实；参见Baldeauxet等人（2015）、Platen和Heath（2006）以及Fergusson和Platen（2014）。此外，它需要二阶矩特性，不容易实现；见Heath等人（2001年）。为了克服这些缺点，Du和Platen（2016）提出了基准风险最小化的概念，这为不完全可复制的索赔产生了理论上可能的最低价格，其中，在现实世界的概率度量下，基准盈亏是一个局部鞅，与基准交易财富正交。当满足经典的风险中性消费时，它恢复了在最小等价可分配测度下获得的风险中性价格；见Schweizer（2000）。然而，与经典的风险最小化不同；参见M¨oller（2001），由此产生的对冲策略考虑了基准或有权益中不可对冲部分的不断变化的信息。现实世界的定价也可以通过效用差异定价获得，如Platen和Heath（2006）第12章所示。正如Du和Platen（2016）所述，真实世界的价格为可能的价格提供了一个下限。

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kedemingshi

2022-5-26 22:21:05

一旦确定并建模了NP和基准未定权益，即可对其进行评估。保险公司需要控制破产概率，并且必须满足监管资本要求。市场价格中包含的风险溢价在文献中被称为安全、安保或应急负荷；参见例如B¨uhlmann（1970）、B¨uhlmann（19841985）、Christensen和Schmidli（2000）、Lane（2000）、B¨uhlmann和Gisler（2005）以及Buchwalder等人（2007）。这些是保险人管理破产风险的必要负担。很难提出一个理论上一致的定价概念，该概念将有助于以系统的方式累积储量，而不会对特定产品定价过高。此外，已经存在广泛的价格，可用于对冲部分保险类型合同或为类似类型合同定价的工具。最后，提出“市场一致性”估值概念是一个挑战，它需要从理论上可能的最低价格的角度考虑负载程度，以避免发行人破产。本论文对文献做出了以下贡献：它指出，对于不完全可复制的未定权益，理论上可以有广泛的定价规则，而不会产生任何有经济意义的套利。使用基准法，确定理论上可能的最低价格（以下简称“最低价格”）以及正式获得的风险中性价格（以下简称“风险中性价格”）。使用负荷度的新概念，它以与NP和其他市场价格一致的方式将这两种价格结合起来。

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2022-5-26 22:21:08

然后，市场可以通过选择各自的加载程度过程自由形成一个加载价格。我们将表明，加载程度过程需要具有某些属性，但可以反映出应对最近灾难或市场低迷的行为效应。当在基准风险最小化的情况下进行定价和套期保值时，对于给定的未定权益，负荷程度必须随时间保持不变。从建模角度来看，这是一个重要的见解，暗示理想情况下负载度只有轻微变化，而随机负载度会在市场中引入额外的不确定性。它还提供了对拟议装载定价概念分支的直观理解。虽然我们在长期CAT债券定价和对冲的背景下激励和说明了拟议的加载定价，但我们强调，这种市场一致性估值方法适用于保险、养老基金、财务规划和金融领域的许多其他意外事件。基准方法简介我们在过滤概率空间上建立了一个半鞅市场模型(Ohm, F、 F，P），过滤系数F=（Ft）t≥0，满足通常条件。我们经常使用的一个中心概念是局部鞅；见Protter（2005）。直觉上，可以说在一个极小的时间段内，局部鞅的当前值是对其瞬时未来值的最佳预测。局部鞅的一个特例是鞅，其中其当前值是其所有未来值的最佳预测值。显然，局部鞅和鞅过程依赖于潜在的概率测度P和通过Ft，t建模的时间t的可用信息∈ [0，∞).

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2022-5-26 22:21:11

我们对基准法作出以下关键假设：；参见Platen和Heath（2006）以及Du和Platen（2016）：假设1：存在一个自我融资的严格正投资组合，称为num'eraireportfolio（NP），其特点是，它使所有交易证券的自我融资投资组合，包括红利股、储蓄账户和衍生品、当地鞅，当这些都是基准时，即。，以NP为单位。这使我们进入了基准法的一般建模世界，我们将NPA称为基准，并将以基准单位计价的价格称为基准价格。假设1是一个非常弱的条件。在假设NP存在的一般半鞅市场环境中，Christensen和Larsen（2007）表明，所有基准、自我融资投资组合都是局部鞅。在假设1中，我们还假设NP的存在，这意味着它在任何时间都有一定的值，并且不会爆炸。这种爆炸性增长必须被解释为存在一些具有经济意义的套利行为。如Platen和Heath（2006）所示，NP是严格正投资组合，从长期来看，其表现几乎肯定优于所有其他严格正投资组合。在经典的风险中性、无套利定价假设和完整的市场环境下，Long（1990）首次发现，通过使用NP作为数字，基准证券和基准风险中性衍生产品价格成为现实世界概率测度P下的鞅。在我们更广阔的建模世界中，我们允许基准价格形成局部鞅。因此，我们可以对可能不是真鞅的基准价格和证券进行建模。这为风险管理策略利用新现象提供了可能性。

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2022-5-26 22:21:16

正如我们稍后将解释的那样，这可能会使长期金融合同（如CAT债券）的价格低于目前经典假设下的价格。请注意，市场参与者可以在其投资组合中持有多头或空头证券。由于交易证券的基准值是局部鞅，因此市场参与者的基准总投资组合值也是局部鞅。这意味着所有这些值过程通过其基准值的局部鞅性质与NP一致。这也意味着，从长远来看，不存在任何允许构建一个优于NP的严格正投资组合的策略。特别是，它自动排除了具有经济意义的套利，因为可能存在一个严格正的投资组合，在有限的时间内爆炸式增长。这将我们引向第二个假设：假设2：如果向市场添加一个新的价格过程，那么这必须与现有的NP一致，因此其基准值是局部鞅。因此，扩展市场的NP与之前相同，新的价格过程与现有NP保持一致。我们将看到，假设2中新基准价格所需的上述局部鞅性质是一个自然条件。它还允许我们建立潜在新定价规则的属性。由法头引理；参见Protter（2005），非负局部鞅是超鞅。非负超鞅的当前值大于或等于其预期的未来值。

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何人来此

2022-5-26 22:21:20

由于这是基准非负证券的一个基本属性，我们将其概括如下：推论1：基准非负价格过程是超级马丁格尔。对于有界停止时间τ∈ [0，∞), 我们称之为Fτ-可测量的非负支付bHτ时间τ基准或有权益ifE（bHτ）<∞.通过推论1，我们知道基准非负价格过程bRbHτ={bRbHτ（t），t∈ [0，τ]}评估基准或有类别τ时，必须是一个超鞅。这意味着brbhτ（t）≥ E（bRbHτ（s）| Ft）（1）表示0≤ t型≤ s≤ τ<∞. 在到期日τ的任何合理定价规则下，基准持续索赔是可观察的，并且等于其基准价格。根据Du和Platen（2016）中的Lemma11.1，在适当的时间τ与给定的非负Fτ重合的最小非负上鞅-可测随机变量bhτ是鞅bVbHτ={bVbHτ（t），t∈ [0，τ]}bvbhτ（τ）=bHτa.s。这导致我们得出以下结果：推论2：对于基准或有类别τ，在时间τ交付∈ [0，∞), 基准最低价格过程bvbhτ由实际定价公式bvbhτ（t）=E确定bHτ| Ft（2）对于0≤ t型≤ τ<∞.最小价格为我们提供了与NP一致的价格过程的下界。Du和Platen（2016）表明，这是在竞争激烈的市场中出现的价格，金融机构消除了所有可对冲的不确定性，并在交易账簿中完全分散了所有不可对冲的风险，而不收取任何费用。上述下限的存在并不会迫使市场同意这一最低价格。为了避免发行公司破产，市场需要商定更高的价格。

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2022-5-26 22:21:23

稍后，我们将提出加载定价的新概念，在这一点上可以始终如一地做到。为了使我们能够系统地考虑定价和套期保值，我们在市场中引入了d∈ {2，3，…}具有非负值St、St、…、，Sdtat时间t∈ [0，∞), 以本国货币单位计价。这些可能包括流动股票和股息股票、给定货币的储蓄账户、衍生产品价格过程以及各种合同的交易价格过程。为方便起见，我们用本国货币的储蓄账户的时间t值表示，实际上，这近似于一个展期的短期债券账户。我们市场的核心组成部分是NP，我们用Ntat时间t表示∈ [0，∞) 并用作num'eraireor基准。然后，第j个主要安全帐户Sjt的基准值（即以Nt为单位的值）用BSJT=SJTNTF表示∈ [0，∞) 和j∈ {1，2，…，d}。因此，进程bs={bSt=（bSt，…，bSdt）>，t∈ [0，∞)}根据假设1，形成一个向量局部鞅。基准值Bδtat timet∈ [0，∞) 持有第j个主要证券账户δjtunits的投资组合，j∈ {1，2，…，d}，时间t由bsδt=dXj=1δjtbSjt=δ>tbSt给出。A策略δ={δt=（δt，δt，…，δdt）>，t∈ [0，∞)} 如果过程δ是可预测的，且其中一个过程δt=bSδ+Ztδ>sdbSs（3）表示t，则称为自融资∈ [0，∞). 假设（3）中的随机积分为向量It^o积分；参见Duand Platen（2016）。根据假设1和2，所有基准自我融资投资组合都是局部鞅。其价值的变化只是由于主要证券账户价值的变化，而不是战略的变化。让我们强调一下，在我们的基准框架中，我们的限制性假设比经典金融中的假设要少。

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2022-5-26 22:21:27

Delbaen和Schachermayer（1998）对后者进行了概括，以允许通过度量转换应用风险中性定价规则。在假设1和2中，我们只要求所有交易的和潜在的新证券都存在NP。在Karatzas和Kardaras（2007）中，半鞅市场得到了确保NP存在的必要和充分条件。NP在有限时间内所需的完整性是一个非常明确且具有经济意义的无套利条件。由于我们的工作超越了经典假设，这也意味着我们可以在我们的一般环境中对各种经典套利现象和形式进行建模，这些现象和形式迄今为止在经典方法中被排除在外。4、如Du和Platen（2016）所示，实际定价公式（2）引入了给定、潜在不完全可复制、基准或有类别τ的最低价格。我们已经强调，理论上可以选择范围广泛的价格过程，以使Claimbhτ的价格与NP一致。此外，我们需要预计，为了建立和维持资本储备，不完全可复制索赔的发行人将需要一些加载。这些准备金用于减少和管理发行人破产的可能性；见。g、 B¨uhlmann（1970）、B¨uhlmann（1984、1985）、Christensen和Schmidli（2000）、Lane（2000）和Buchwalder等人（2007）。对于某些合并负载的保险合同，其定价方法差异很大，通常不透明。我们的目标是至少推广正式应用的风险中性定价规则和上述现实世界定价规则。

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2022-5-26 22:21:31

风险中性定价在市场上得到广泛应用，而现实世界的定价提供了一个客观的最低价格。根据假设2，我们假设我们有一个非负的基准连续claimbHτ的定价规则，该规则在时间t产生一个价格RbHτ（t），当基准和表示为RbHτ（t）=RbHτ（t）/Nt时，形成一个局部鞅。理论上，对于时间t时高于最低价格VbHτ（t）的给定未定权益，一系列价格是可能的。根据推论2，BVbhτ（t）=VbHτ（t）/ntf这一事实形成了提供基准未定权益的最小可能上鞅，从而得出以下结果：推论3：对于非负，满足假设2的基准或有类别τ及其最小价格VbHτ（t）和价格RbHτ（t）由不等式VbHτ（t）关联≤ 所有t的RbHτ（t）∈ [0，τ]。这种不平等表明，如果两个价格不相等，那么就有可能形成一个从最小价格VbHτ（t）到更昂贵价格RbHτ（t）的装载价格族。目前，市场上许多短期可对冲债权的价格很可能是通过使用经典的风险中性定价确定的。为了承认这一事实，我们将RbHτ（t）设置为风险中性价格，这将在下一节中具体说明。现在，对于一个非负的、基准化的偶然事件，我们引入一个非负的、可预测的加载程度过程LbHτ={LbHτt，t∈ [0，τ]}这是一个半鞅，左连续右极限。我们形成时间t的装货价格BbHτ（t）∈ [0，τ]通过方程式bbhτ（t）=LbHτtRbHτ（t）+（1- LbHτt）VbHτ（t）。（4）通过推论3，我们直接得出以下结论：推论4：对于非负、基准或有类别τ和加载程度过程lbhτ，加载价格BbHτ（t）满足不等式vbhτ（t）≤ t的BbHτ（t）∈ [0，τ]。回想一下，VbHτ（t）是最低价格。

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2022-5-26 22:21:34

从（4）中，我们通过公式lbhτt=BbHτ（t）从（潜在交易的）装载价格、最小价格和风险中性价格中获得装载程度- VbHτ（t）RbHτ（t）- t的VbHτ（t）（5）∈ [0，τ]，只要RbHτ（t）>VbHτ（t）。假设我们有一个提供最小风险中性价格的模型，这使得负荷程度可以观察到。当RbHτ（t）=VbHτ（t）时，我们在（5）中设置LbHτt=1。我们可以在（4）asbBbHτ（t）=LbHτtbRbHτ（t）+（1）中重写基准装载价格- LbHτt）bVbHτ（t）=bVbHτ（t）+LbHτt（bRbHτ（t）-bVbHτ（t））。（6）为了满足假设2，仅注意brbhτ和bvbhτ是局部鞅是不够的。我们还需要bbbhτ来形成局部鞅。为了促进这一点，以下正交性概念；参见Du和Platen（2016），Will be important：如果两个局部鞅的乘积形成局部鞅，则称其为正交。由于（6）中的bvbhτ是局部鞅，且局部鞅之和本身就是局部鞅，因此这里我们要求乘积LbHτt（bRbHτ（t））-bVbHτ（t））形成一个局部鞅。通过使用上述正交性的概念，我们直接得到以下结果：推论5：对于给定的基准或有claimbHτ，如果相应的负荷度LbHτt形成一个局部鞅，则基准负荷价格过程bbbhτ是一个局部鞅，正交tobRbHτ（t）-bVbHτ（t）。请注意，这一结果相当普遍，使得装载定价的概念非常容易理解。只需检查局部鞅条件，即给定模型下相应随机微分方程中的零漂移。最简单的加载度过程应该是一个常数过程。

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2022-5-26 22:21:38

我们稍后将看到，恒定的负荷程度与风险最小化方面的某种最佳选择相一致，因为它避免了通过市场负荷程度引入额外的不确定性来源。一般来说，LbHτt不必是常数，根据推论5，它是一个局部鞅，其影响（由于正交性）与RbHτ（t）非常不同- VbHτ（t）。这意味着这种流动性负荷程度为市场增加了一个新的不确定性来源，这可以解释为通过供需或行为特征等发现市场价格而产生的不确定性。我们注意到，使用加载定价的概念对长期或有权益进行定价有很大的自由度。这种灵活性在经典方法下是不可用的，而经典方法的效果将加载程度设置为1。稍后，我们将看到，可以将加载程度设置为值小于1的过程，从而形成一种与市场一致的估价形式，允许较低的合同价格。当然，加载度过程也可以大于1，但不能小于零。5、正式获得的风险中性价格在我们的基准方法建模框架中，我们涵盖了一系列没有形成真正鞅的基准储蓄账户流程的模型。在这种情况下，当我们有一个完整的市场时，氡-尼科德姆导数∧Qt=bStbS=dQdP假定的风险中性概率测度Q的Ftof形成了严格的局部鞅，不存在等价的风险中性概率测度。

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2022-5-26 22:21:41

在这种情况下，人们无法应用经典理论为给定或有权益形成理论风险中性价格，因为违反了其关键假设，该假设允许从真实世界概率测度P变为等价的K中性概率测度Q。在缺乏等效的风险中性概率测度的情况下，人们仍然可以正式形成风险中性价格，这似乎在现实中得到了广泛的应用。现在，我们将描述在满足假设1和2的一般不完全市场中，我们如何在基准方法下正常获得风险中性价格。首先，在给定的P下的真实市场模型中，将可变风险中性测度的Radon-Nikodym导数设置为∧Qt=BStbs，用于t∈ [0，∞). 这提供了一个度量Q下的模型。其次，将Q解释为概率度量，即使它很可能不是给定现实模型下的概率度量。当写下风险中性模型动力学并假设其风险中性度量是等效的概率度量时，这一步骤被广泛采用，而没有在真实世界概率度量下制定相应的模型。这意味着模型的Radon-Nikodym导数被正式假定为真正的鞅，尽管情况很可能并非如此，因为现实的市场模型可能会使基准储蓄账户的鞅属性失效，如Baldeaux et al.（2015）所示。第三，在不检查∧qf是否构成鞅的情况下，我们在q所描述的风险中性模型下正式地取期望值，并用等式（·）表示这些期望值。

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2022-5-26 22:21:44

这导致我们得出给定非负性基准或有类别τ的风险中性价格，通过风险中性定价公式RBHτ（t）=StEQbHτbSτ英尺！=StEQ公司HτSτ英尺（7）对于t∈ [0，τ]Hτ=bHτNτ，假设（7）的右侧是有限的。通过应用贝叶斯规则，很容易证明，如果∧qt是一个鞅，那么基准风险中性价格brbhτ（t）=RbHτ（t）/nt将形成一个真正的鞅，并且将与（2）中给出的基准现实世界价格bvbhτ（t）一致。然而，一般来说，bRbHτ（t）只形成一个局部鞅；参见假设2，因此，通过Fatou引理，它形成了一个满足（1）的Permartingale。作为风险中性定价的一个方便例证，考虑一种零息票债券，到期时支付储蓄账户的一个单位∈ （0，∞), i、 e.HT=标准BHT=ST/NT=bST。然后，通过（7），该债券的风险中性价格等于RbST（t）=ST，即储蓄账户的一个单位。显然，这种风险中性价格的非负基准值是BRBST（t）=bSt，（8），这形成了一个局部鞅，因此是一个超鞅，其中不等式（1）是满足的。根据推论3，我们知道各自（理论上可能）的最小零息票债券价格VbST（t）满足（2）和不等式VbST（t）≤ RbST（t）=t的St（9）∈ [0，T]。由于（2），其基准值bvbst（t）=VbST（t）/ntf形成了一个真正的鞅，而bRbST（t）形成了一个具有相同支付bHT=bsat到期t的超级鞅。为了将我们的讨论与CAT债券的定价联系起来，现在让我们考虑固定到期日T的风格化CAT债券的支付，其中（储蓄账户）贴现支付额HT=HT/ST=bHT/BST被假设为独立于基准储蓄账户价值BST，这可以被解释为独立于金融市场。

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nandehutu2022

2022-5-26 22:21:47

这意味着其在Q下的预期贴现值被假定为等于P下的预期贴现值，即EQ（HT | Ft）=e（HT | Ft）。最重要的是，尽管∧q可能不是真鞅，但在获得形式风险中性价格时，∧q被视为真鞅，即∧QT∧QT英尺被视为等于1。然后通过方程（7），并将∧Qas处理为真鞅，我们得出相应的风险中性价格为rbhτ（t）=StEQ（HT | Ft）=StE∧QT∧qttt英尺！=StE∧QT∧QT英尺！E（HT | Ft）=StE（HT | Ft）。另一方面，最小价格由公式（2）得出，asVbHτ（t）=NtE（HTbST | Ft）=NtE（bST | Ft）E（HT | Ft）=VbST（t）E（HT | Ft）。这导致我们得出以下结果：推论6：对于（储蓄账户）贴现或有债权，HT=HT/ST=bHT/bST，在固定到期日T交付，独立于基准储蓄账户价值bST，风险中性价格和最低价格的比率等于（储蓄账户）贴现的倒数，零息债券的最低价格，到期时支付一个单位的储蓄账户，即RbHT（t）VbHT（t）=VbST（t）St！-1=t的VbST（t）（10）∈ [0，T]。那么，无论风险中性CAT债券具有何种独立的贴现收益，其风险中性价格与最低价格的比率始终由（10）决定，而不取决于贴现收益的具体情况。在这种情况下，我们在风险中性和最低价格之间具有特定的比例。6、最小市场模型下的真实世界和风险中性价格为了证明等式（10）中风险中性价格与最小价格的潜在比率，并说明负荷敏感定价的工作原理，我们引入了Platen（2001）的最小市场模型（MMM）；另见Platen and Heath（2006）第13章。

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2022-5-26 22:21:50

MMM使我们能够对NP的现实、长期动态进行建模，其中基准储蓄账户变成了严格的超级鞅，而不是真正的鞅。在MMM下，用Nt=Nt/St=1/bSt表示的贴现NP满足t的随机微分方程（SDE）dNt=αtdt+pαtNtdWt（11∈ [0，∞), 初始值N>0，其中W={Wt，t∈ [0，∞)} 是标准的布朗运动。这里，αt表示t的时间αt=αexp{ηt}（12）的指数函数∈ [0，∞), 初始值α>0，净增长率η>0。根据SDE（11）和It^o公式，我们可以推断基准储蓄账户BST=1/NTS满足SDEdbSt=-√αt英国夏令时t的DWT≥ 该SDE是无漂移的，根据假设1的要求，确认基准储蓄账户是本地鞅。因为我们可以证明NTI是一个经过时间变换的四维平方贝塞尔过程；参见Revuz和Yor（1999），它是一个严格的局部鞅，我们得到了期望的ebstbst英尺！=ENtNT英尺= 1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）, （13）式中，ρt=α4η（exp{ηt}- 1）（14）对于t∈ [0，∞); 有关推导（13），请参见Platen and Heath（2006）中的第8.7节。由于（13）的右端小于t<t的右端，基准储蓄账户显然不是真正的鞅，而只是严格的局部鞅。根据Fatou引理，这使得非负的基准储蓄账户过程成为严格的超级过程。因此，假定的风险中性度量Q的拉东-尼科德姆导数∧Qt=bSt/bSt也是一个严格的超鞅，因此，经典的风险中性定价理论不适用。然而，如第5节所述，我们仍然可以正式计算给定基准未定权益（2）的风险中性价格。此外，我们有最低的价格，以及装载价格原谅装载程度。

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能者818

2022-5-26 22:21:54

所有这些价格都是可能的，因为它们的基准价格是局部鞅，而长期表现最好的投资组合是NP。该NP在有限时间内仍然是有限的，因此，该模型不允许任何具有经济意义的套利。研究表明，MMM是股票市场NP的一个合理的现实模型；参见例如Fergusson和Platen（2014）。（11）中NP的波动率σt=pαt/nto以一种自然的方式模拟了股票指数的杠杆效应。MMM的一些关键特性支持真实的长期建模；如Baldeaux等人（2015）所述。此外，Platen和Heath（2006年）以及Platen和Rendek（2012年）都表明，股票市场的NP可以通过多样化的股票指数渐近近似。这意味着一个多样化、市值加权的股票指数可以被解释为NP的代理，其动态由MMM建模。作为加载定价的一个方便说明，考虑（8）和（9）中的零息票债券，该债券在到期时支付储蓄账户的一个单位∈ （0，∞), i、 e.HT=bHT/bST=1。真实世界定价公式（2）允许我们计算时间t<t时的（储蓄账户）贴现最小零耦合债券价格VbST（t），即forbHT=ST/NT=bST，viaVbST（t）=EbSTbStFt！。（15）通过（13）和（15），我们得到表达式Vbst（t）=1- 经验值-Nt（ρT- ρt）. （16）（8）各（储蓄账户）贴现后，风险中性价格如下表RBST（t）=1。则RbST（t）=St表示风险中性的零息票债券价格，而VbST（t）=VbST（t）RbST（t）=VbST（t）St=St1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）（17）最低零息票债券价格。请注意，由于RbSTand VbST中的储蓄账户到期付款，即。

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kedemingshi

2022-5-26 22:21:58

HT=1，无需对利率进行建模，这在本示例中简化了我们的建模和计算。同样，处理更复杂的突发事件没有任何障碍。在MMM下，方程式（16）确定了贴现的最小零息票债券价格VbST（t）比贴现的风险中性价格RbST（t）=1的0小多少≤ t<t<∞.（10）中的比率RbHτ（t）/VbHτ（t）不仅决定了风险中性零息票债券价格相对于最小零息票债券价格的价格，而且还通过图1：贴现标准普尔500指数的对数来确定。推论6，该比率对于所有确定到期日为T且与ST无关的未定权益是相同的。这也涵盖了风格化猫债券的情况，我们稍后将对此进行演示。现在，让我们为MMM设想一下我们在选择标准普尔500指数作为NP代理指数时的一些发现。我们使用的是1926年至2015年期间的月度数据，根据全球金融数据重新构建，并在图1中显示了储蓄账户的对数，即贴现和P500，我们从1926年1月开始计算，其值为10.0。我们按照Platen and Heath（2006）第13章所述的方式确定MMM的参数。为此，我们注意到，根据It^o公式和（11），贴现NP满足度的平方根等于SDEdpNt=αtpNtdt+√αtdWt。因此，通过（12）和（14），由hpn·it=Ztαsds=α4η（exp{ηt}给出的NTI的二次变化- 1） =t的ρt（18）∈ [0，∞). 这意味着我们观察到一个数量ρtvia的估计值，即pn·it的二次变化，其中净增长率η为关键参数，α为一些初始参数。在图2中，我们显示了观测到的二次变量hpn·Itan，通过（18），理论计算的ρt。

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能者818

2022-5-26 22:22:01

量η和α已通过ρt的最小二乘回归拟合，得出参数估计η=0.052和α=0.18。关键结构参数是净增长率η，它具有明确的经济意义，可以解释为贴现NP的长期平均增长率。在我们的例子中，我们使用标准普尔500指数作为NP的代表，η表示长期估计值，图2：NTP的二次变化与ρt。美国经济的平均净增长率，这意味着其增长率高于美国利率。我们现在有了将MMM应用于标准普尔500指数的可用历史数据集所需的参数。最有趣的是零耦合债券的风险中性价格与各自最低价格的比率，如（10）所述。在图3中，我们将此比率显示为成熟时间的函数（T- t），其中，我们将到期日固定为2015年1月时间序列的最终日期。根据推论6，这也是风险中性价格与或有债权各自最低价格的比率，当其贴现价值独立于基准储蓄账户（包括风格化CAT债券）时。有人指出，在大约30年的到期时间内，风险中性价格大约是最低价格的两倍。重要的是要注意，对于最长10年的到期日，各自的最低和风险中性价格之间没有太大差异。这反映了一个事实，即基准储蓄账户作为一个局部鞅，在短期内的行为类似于阿马丁格尔。如果要为NP采用比标准普尔500指数表现更好的代理，例如：。

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2022-5-26 22:22:05

Platen和Rendek（2012）中所述的净增长率η更高，因此最小和风险中性价格之间的差异更大。为了进一步说明加载定价，现在让我们研究一个程式化的猫债券。Let，HT={ξ∈[0，T]}≥ 如果在toT之前的某个停止时间ξ>0发生了特定灾难，则0是到期时储蓄账户一个单位的约定贴现付款。合同的开始时间为t=0，我们假设灾难发生的时间ξ与基准储蓄账户价值Bst无关。这就产生了基准回报图3：azero息票债券的（正式获得的）风险中性价格与（理论上可能的）最低价格的比率，作为固定到期时间的函数。bHT=HTbST={ξ∈[0，T]}b和相应的条件期望E（bHT | Ft）=E（{ξ∈[0，T]}| Ft）E（bST | Ft）=HtbVbST（T），（19），其中真实世界条件期望（条件概率）Ht=E（{ξ∈[0，T]}Ft）=P（ξ∈ [0，T]| Ft）形成鞅。对于在时间T向储蓄账户支付一个单位的程式化CAT债券，如果被保险的灾难发生在时间T之前的某个时间ξ，或者没有其他情况，则各自的最低价格为，乘以（2）、（16）和（19）的形式Vbht（T）=NtE（bHT | Ft）=HtVbST（T）=HtSt1.- 经验值-Nt（ρT- ρt）. （20）这意味着程式化CAT债券的最低价格等于灾难发生在T之前的条件概率与最低债券价格的乘积。根据推论6，对于t，相应的风险中性价格的形式为RBHT（t）=HtSt（21∈ [0，T]。

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