相对偏差由ξ/z给出。最后，二维图形是财富水平固定的平面上的切割。这些颜色包含如何进行最佳交易的信息，其含义如下表所示。白色非交易黄色资产交易1红色资产交易2两种资产的范围交易购买或出售是否最优并不由颜色表示，因为最优策略总是使投资组合更接近默顿比例。这可以通过黑点来体现，黑点是投资者选择交易的点。5.5基准测试由于离散问题的DPE是脉冲控制问题的惩罚版本的方程，我们预计解决方案将收敛到第一个修正方程的解。我们在此不进行严格的收敛性分析。相反，我们证明了schemeagree使用可用的分析基准计算的解。这些基准包括：一维固定成本和比例成本，以及二维固定成本。在具有固定交易成本和比例交易成本的一维中，可以找到第一修正方程的分析特征。这是通过在贸易区域内的四阶多项式和外部的线性增长之间使用光滑的fit条件来实现的，然后求解任意程度上重合的两个解。在二维环境中，在没有比例交易成本的情况下，交易策略在分析上是已知的（参见[]）。在图4中，在迭代解的顶部绘制了无分析边界，其结果接近完美。

此外，解析解告诉我们所有交易都是默顿比例，我们验证了这确实也是政策迭代的结果。请注意，第二种情况下的长期分布与描述非贸易区的椭圆的任何主轴都不一致。我们认为这是因为风险规避和市场参数比资产二（横轴）更容易诱发风险。因此，Portfolio位置的大部分变化将在相应的方向上。该信息包含在矩阵α>α中。实际上，α>α≈42607.9 669.990669.990 147.787.Altarovici、Reppen和Soner 34-1 0 1ξw（z，ξ）分析迭代-1.-0.5 0.5 110002000ξw（z，ξ）分析图3：两种不同参数配置的已知分析解与政策迭代解一起绘制。因此，ξ的波动率大约是ξ的288倍，相关性大约为10-4.5.6比例交易成本在仅设置比例交易成本的情况下，图5显示了协方差矩阵变化的贸易区域边界。为了与[36]进行比较，我们在此通过σ定义协方差矩阵=0.4- κκ0.4- κ,κ-.-....λp。这只影响区域的大小，因为相对偏差与财富水平无关。请注意这些区域不是凸的。5.7混合交易成本为上述任一问题产生额外的交易成本，导致投资者必须平衡与交易距离相关的比例成本与发起交易产生的固定成本。这条曲线。

当投资组合退出非交易区域，即达到交易边界时，最佳措施是重新平衡投资组合，使新头寸处于目标曲线。形状与形状相似，仅具有比例成本，但具有35个固定和比例成本-0.1 0.1-0.10.1数值解-0.1 0.1-0.10.1分析溶液-0.1 0.1-0.10.1比较-0.1 0.1-0.10.1长期投资组合分布-0.02 0 0.02-0.020.02数值解-0.02 0 0.02-0.020.02分析溶液-0.02 0 0.02-0.020.02比较-0.02 0 0.02-0.020.02长期投资组合分布图4：数值解和解析解的两个比较，绘制为与风险资产中所持财富百分比的默顿比例的偏差。蓝色中心是投资组合头寸（模拟）长期分布的热图（和水平集）。相关信息。位置βγr||||∑∑ρλfλpzTop 1 2 0.03 0.08 0.08 0.4 0.4-0.75$1 0%$12’345.67底部1 7 0.03 0.08 0.04 0.4 0.2 0.35$1 0%$12’345.67 Altarovici，Reppen&Soner 36κ=-0.1κ=0.075-0.1-0.08-0.06-0.04-0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.040.060.080.1图5：当相关参数κ达到值时，具有纯比例交易成本的贸易区边界-.1.-.05、0、0.025、0.05和。无风险利率为3%，u=（0，.08），γ=2，交易成本为2%。37固定成本和比例成本，其他条件相同。这种变化的定性影响与比例交易成本问题非常相似。在财富水平较低的情况下，固定交易成本是主要成本。8显示，由于财富在其他条件相同的情况下有所不同，因此非贸易区是主要成本。在二维情况下，非贸易区似乎介于低财富水平下与固定成本相关的椭圆形和高财富水平下与比例成本相关的平行四边形之间。

还要注意的是，对于更富有的代理而言，总交易成本相对较小，因此与财富相关的非交易区域较小。图8中的1-d图精确地说明了最佳触发和最佳重启屏障的依赖性。区域并不总是凸的。事实上，图7表明，非凸性通常是固定成本和相应的近似非贸易区，是所有财富水平的椭圆。Altarovici、Reppen和Soner 38-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.1-0.05 0.05 0.1-0.1-0.050.050.1-0.1-0.05 0.05 0.1-0.1-0.050.050.1-0.05 0.05-0.050.05图6：作为财富百分比偏差的市场参数相关性。相关信息。位置βγr|||||∑∑ρλfλpz左上1 3 0.03 0.08 0.08 0.4 0.4 0.30$1 3%$10\'000右上1 3 0.03 0.08 0.30$1 3%$10\'000左中1 3 0.03 0.08 0.08 0.4 0$1 3 0.08 0.08 0.08 0.4 0.4-0.30$1 3%$10\'000左下1 3 0.03 0.08 0.08 0.08 0.4 0.3 0.30美元1 3%$10\'000右下1 3 0.03 0.08 0.06 0.4 0.3 0.30美元1 3%$10\'00039固定成本和比例成本-0.5 0.5-0.50.5-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.20.20.4-0.4-0.2 0 0.2 0.4-0.4-0.20.20.4-0.2 0.2-0.20.2投资组合，以财富为单位。这一系列图表显示了两种成本结构制度之间的过渡。与图4和图5的比较强调了在极端财富情况下与纯固定成本和纯比例成本的相似性。相关信息。位置：。

βγruuσρλfλpz左上1 3 0.03 0.08 0.08 0.4 0.30$1 3%$100右上1 3 0.03 0.08 0.08 0.4 0.4 0.30$1 3%$1\'000左下1 3 0.03 0.08 0.4 0.4 0.30$1 3%$5\'000右下1 3 0.03 0.08 0.08 0.08 0.4 0.4 0.30$1 3%$5\'000\'000 Altarovici Reppen&Soner 4020 60 80 100个-0.4-0.20.20.4zTriggerTargetMerton管线0.2 0.4 0.6 0.8 1·10-0.10.1zTriggerTargetMerton管线0.2 0.4 0.6 0.8 1·10-5·10-2zTriggerTargetMerton线-2.-1Ztrigger目标图8：这些图说明了最佳财富交易的财富依赖性。右下角图中的汇聚线清楚地显示了随着财富的增加，从低财富的固定成本制度向比例成本制度的转变。βγrσuλfλp1 5 0.01 0.2 0.04美元1 3%41固定成本和比例成本5.8两个固定成本和两个风险资产适当修改计算方案中的成本结构，使我们能够试验更一般的场景。例如，我们现在希望检查无贸易区和最优策略，即为每一个重新平衡的风险头寸支付1美元的多重固定成本，而不是为重新平衡整个资产组合支付固定费用。因此，我们是每项资产，但我们也对不同成本结构之间的相互作用以及如何在最佳战略中体现这一点有了更深入的了解。-0.2-0.1 0 0.1 0.2-0.2-0.10.10.2-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05图9：交易两项资产会产生两个固定成本，从左上角开始分割targetportfolio，可视化最优策略。相关信息。位置：。

βγruuσρλfλpz左上1 5 0.03 0.08 0.07 0.4 0.3-0.65$1 1.5%$1\'000右上1 5 0.03 0.08 0.08 0.4 0.4 0.50$1 0%$1\'000左下1 5 0.03 0.08 0.04 0.30$1 3%$1\'000右下1 5 0.03 0.08 0.08 0.4 0.60$1 3%$1\'000 Altarovici，Reppen&Soner 42与之前的结果明显不同的是，在λp>0的情况下，内部（重新启动）区域由两对线组成，当λp=0时，最终完全重叠。仔细检查后，外部边界到内部边界的映射变得非常清晰。黄色区域垂直于最近的水平线，红色区域垂直于最近的垂直线。最后，橙色映射到两条线相交的最接近点。与之前一样，相对宽度根据资产的相关性和波动性直观地表现出来。最有趣的现象之一是非贸易区的收缩，即±ξξ±（ξ- ξ） 负相关情况下的方向（虽然此处未说明，但在不相关情况下不存在此类现象，并且该区域在水平轴和垂直轴上完全对称）。让我们以图9右下角图像中的极端情况为例。在这种情况下，投资者宁愿允许他们的投资组合沿着ξ+ξ轴通过最佳默顿比例进一步偏离（可能有一个轻微的偏差，因为axis似乎会产生额外的二次成本损失，因为这会立即导致投资者交易两种资产中的一种。5.9上述长期分布ξ策略，可以生成投资组合头寸的长期分布。在图10中，这些分布如图所示为热图，其中白色表示花费更多时间一个点，蓝色意味着更少。

目标仓位，即我们选择交易的仓位，以前画有黑线，发光更亮，并且清晰可辨。正如预期的那样，由于正相关，在较短的轴上花费的时间更多。这在图4中特别明显，其中相关参数ρ非常大。43固定成本和比例成本-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05-0.05 0.05-0.050.05图10：最佳投资组合头寸的长期分布，通过曲面可视化。相关信息。位置βγr||||∑∑ρλfλpzTop 1 3 0.03 0.08 0.08 0.4 0.4 0.30$1 3%$10\'000底部1 5 0.03 0.08 0.08 0.4 0.30$1 3%$1\'000 Altarovici，Reppen&Soner 44参考文献【1】A.Altarovici，J.Muhle Karbe和H.M.Soner。已执行交易成本的渐近性。《金融与随机》，19（2）：363–4142015。[2] Morton和Pliska模型的渐近分析。数学《金融》，5（4）：357–3671995年。[3] P.Balduzzi和A.Lynch。交易成本和可预测性：一些效用成本计算。J、 财务部。经济体。，52（1）：47–781999年。[4] C.Belak、O.Menkens和J.Sass。关于无界粘性成本的唯一性。《暹罗控制与优化杂志》，53（5）：2878–28972015。[5] A.Bensoussan、R.H.Liu和S.P.Sethi。具有复合泊松和扩散需求的$（s，s）$策略的最优性：拟变分不等式方法。《暹罗控制与优化杂志》，44（5）：1650–16762005。[6] 比丘奇先生。具有交易费用的有限时间最优投资的渐近分析。暹罗J.金融数学。，3（1）：433–4582011年。[7] M.比丘奇和S.E.史莱夫。效用最大化以交易成本交易两个期货。暹罗J.金融数学。，4（1）：2013年第26–85页。[8] F.坎皮洛。非线性随机系统的最优遍历控制。物理课堂讲稿第451卷，第239-269页。

Springer BerlinHeidelberg，1995年。[9] 政治。经济。，94（4）：842–8621986年。[10] M.G.Crandall、H.Ishii和P.-L.Lions。二阶偏微分方程粘度解用户指南。公牛美国。数学Soc。，27（1）：1992年1月1日至67日。[11] J.Cvitani'c和I.Karatzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法12。数学金融，6（2）：133–165，1996年。[12] C.Czichowsky和W.Schachermayer。交易成本下投资组合优化的对偶理论。《应用概率年鉴》，2016年出版。[13] M.H.A.戴维斯和A.R.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学操作。第15（4）号决议：676–7131990.45固定成本和比例成本【14】B.杜马和E.卢西亚诺。交易费用下动态投资组合选择问题的精确解。《金融学杂志》，46（2）：577-5951991。[15] J·F·伊斯特姆和K·J·黑斯廷斯。投资组合的最优脉冲控制。数学操作。第13（4）号决议：588-6051988年。[16] N.El Karoui和X.Tan。容量、可测选择和动态编程第二部分：在随机控制问题中的应用。预印本。arXiv:1310.3364v2[数学OC]。[17] 弗莱明和索纳。受控马尔可夫过程和粘性解。Springer，纽约，第二版，2006年。[18] S.Gerhold、P.Guasoni、J.Muhle Karbe和W.Schachermayer。交易成本、交易量和流动性溢价。财务Stoch。，4（18）：2014年1月1日至37日。[19] 动态股票交易策略中的最优配置。暹罗J.应用。数学70（6）：1977-1998年，2010年。[20] A.Irle和J.Sass。交易成本下的良好投资组合策略：阿伦瓦尔理论方法。《随机金融》第321-341页。斯普林格，纽约，2006年。[21]A.Irle和J.Sass。固定和比例交易成本下的最优投资组合政策。《应用概率的进展》，38:916–9422006。[22]以及具有交易成本的消费。

财务Stoch。，8（2）：181–2062004。【23】Y.Kabanov和M.Safarian。有交易成本的市场：数学理论。施普林格科学与商业媒体，2009年。【24】J.Kallsen和J.Muhle Karbe。具有小交易成本的最优投资和消费的一般结构。预印本，2013年。[25]J.Kallsen和J.Muhle Karbe。具有小交易成本的期权定价和套期保值。数学《金融》，即将出版，2013年。【26】R.Korn。具有严格正交易成本和脉冲控制的投资组合优化。财务Stoch。，2（2）：85–1141998年。[27]D.Kramkov和W.Schachermayer。效用函数的渐近弹性与不完全市场中的最优投资。安。应用程序。概率。，9（3）：904–950，1999年。【28】多重风险资产。J、 《金融》，59（1）：289–3382004。Altarovici、Reppen&Soner 46【29】A.W.Lo、H.Mamaysky和J.Wang。固定交易成本下的资产价格和交易量。J、 政治。经济。，112（5）：1054–10902004。[30]A.Lynch和P.Balduzzi。可预测性和交易成本：对再平衡规则和行为的影响。J、 《金融》，55（5）：2285–23102000。[31]A.Lynch和S.Tan。解释流动性溢价的规模：回报可预测性、财富冲击和依赖于国家的交易成本的可能性。J、 《金融》，66（4）：1329–13682011。[32]M.Magill和G.M.Constantinides。具有交易成本的投资组合选择。《经济理论杂志》，13（2）：245–2631976年。【33】R.Martin。比例交易成本下的最优多因素交易。预印本，2012年。【34】R.C.默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。修订版。经济。统计员。，51（3）：247–2571969年。【35】A.R.Morton和S.R.Pliska。优化投资组合管理，实现交易成本最大化。数学《金融》，5（4）：337–3561995年。【36】K.Muthuraman和S.Kumar。具有比例交易成本的多维投资组合优化。数学

《金融》，16（2）：301–3352006。【37】B.Oksendal和A.Sulem。具有固定和比例交易成本的最优消费和投资组合。暹罗J.控制优化。，40（6）：1765-17902002年。[38]D.Possama"i、H.M.Soner和N.Touzi。小交易成本的同质化和渐近性：多维案例。预印本，2012年。[39]E.Presman和S.P.Sethi。具有连续和泊松需求以及折扣和平均成本的库存模型。《生产与运营管理》，15（2）：279–2932006年。【40】M.L.Puterman。马尔可夫决策过程：离散随机动力学1994。【41】H.围巾。动态库存问题中（S，S）策略的最优性，第13章，第196–202页。斯坦福大学出版社，加利福尼亚州斯坦福，1960年。【42】施罗德先生。具有固定交易成本的最优投资组合选择：数值解。预印本，1995年。【43】科学+商业媒体，1997年。【44】S.E.Shreve和H.M.Soner。具有交易成本的最优投资和消费。安。应用程序。概率。，4（3）：609–6921994.47固定成本和比例成本【45】H.Soner。具有状态空间约束的最优控制——I.SIAM J.Cont.Optim。，24（3）：552–5611986年。【46】优化。，24（6）：1110–11221986年。【47】H.M.Soner和N.Touzi。小交易成本的同质化和渐近性。暹罗J.控制优化。，51（3）：2893–29212013年。【48】A.E.Whalley和P.Wilmott。具有交易成本的期权定价最优套期保值模型的渐近分析。数学《金融》，7（3）：307-3241997年。