首先，当自回归过程无相关性或中度相关性（α=0.0或α=0.4）时，检验的经验大小要么略微保守，要么接近标称大小。鉴于样本量较小，此尺寸特性令人满意。当自回归参数接近非平稳区域的边界时，例如α=0.8，正如预期的那样，存在一些自由尺寸扭曲。当断裂幅度很小时，检验往往会过度拒绝无效假设。这是因为，对于非常小的休息时间，休息日期的估计值非常不精确，更可能受到高度依赖序列的影响，而不是休息时间大小本身，因此测试取决于真实休息日期周围以外评估的对数可能性。当断裂大小的大小增加时，测试的大小很快接近标称水平。鉴于样本量较小，这些结果令人鼓舞。为了分析功率，我们还将ui1设置为1，同时考虑平均偏移量的值{0.50，1.00，1.50}。第一个等式中的中断日期保持在k=35，而第二个等式中的中断日期取k=35、40、45、50、55。功率是休息日期之间差异的函数，k- k、 结果如图1所示，其中每个框中的水平轴表示差异k- K纵轴显示经验抑制频率。和以前一样，当断裂的幅度很小时，数据的信息量不足以拒绝常见的断裂无效假设，检验的威力也很小。然而，当变化幅度达到1时，功率会随着中断日期之间的距离增加而迅速增加。

所有α值的结果在性质上相似。另一种方法：基于直接模拟的程序涉及一个组合优化问题，计算负担随着测试的常见中断数呈指数增长。在一个节俭的系统中，这样的程序对于少量的中断是可行的。然而，在更一般的情况下，这可能是禁止的。因此，我们还提出了另一种解决此问题的方法，即使用启发式算法来找到近似的（如果不是最优的）解决方案。由于启发式算法主要用于优化具有显式形式的函数，我们使用随机过程的KarhunenLo\'eve（KL）表示，它将布朗运动表示为具有独立高斯

无论误差是否相关，在中度依赖（α=0.0或α=0.4）的情况下，检验的经验大小要么保守，要么接近名义大小。此外，修剪参数的影响也很小。对于不相关误差，在高度依赖性（α=0.8）和小中断大小的情况下，存在大小失真。然而，当误差相关时，在所有情况下，经验规模都会接近名义水平。这可能是由于使用aSUR估计方法的效率提高所致。表2的第（5）-（6）列报告了案例（k，k）=（35，50）的经验功效，结果显示了令人满意的功效，与直接法相比。对于我们的模拟，我们使用Matlab全局优化工具箱中的粒子群算法“particleswarm”。我们还尝试了Matlab中的遗传算法“ga”，发现这两种算法非常相似，经常是相同的临界值，而粒子群算法速度更快。5应用在本节中，我们按照Clark（2006）的要求，对膨胀系列应用常见断裂试验。他基于AR模型中自回归（AR）系数的总和，分析了许多分类通货膨胀序列的持续性，并记录了持续性非常高且接近1，不考虑均值偏移，而考虑均值偏移时，持续性大幅下降。虽然这些特征在理论上已在文献中得到记录（例如Perron，1990），但他发现，与各种总量指标相比，分类指标的持久性下降更为明显。重要的问题是，继Bai等人之后，Clark（2006）假设所有序列都存在共同的均值漂移。

（1998），但这一假设的有效性尚未确定。我们考虑Clark（2006）分析的系列的一个子集，即耐用品、非耐用品和服务的通货膨胀措施。这些数据取自NIPA账户，以季度频率覆盖1984-2002年期间；详见Clark（2006）。让{（y1t，y2t，y3t）}Tt=1确定耐用品、非耐用品和服务的波动序列，并考虑AR模型，该模型允许每个序列i=1，2，3的平均位移：yit=ui+δi{ki+1≤t} +α（1）iyi，t-1+···+α（pi）iyi，t-pi+uit，t=1，T、 式中，uiis为截距参数，δiis为平均偏移量，Ki为中断日期。参数α（1）i，α（pi）i是与滞后长度相关的AR系数，并且是一个误差项。每个系列的持续性通过i=1、2、3时的α（1）i+····+α（pi）之和来测量。Clark（2006）使用Akaike信息标准（AIC）选择AR滞后长度，使（p，p，p）=（4，5，3），并通过对每个系列和组进行断裂测试，提供了一些证据支持AR模型中的均值偏移。我们在表3中给出了我们的实证结果。我们首先复制inClark（2006）的部分结果。我们发现，在不考虑均值漂移的情况下，持久性度量值在0.855到0.921之间的范围相当高。此外，对于非耐用品和服务，持久性度量在很大程度上下降，但对于耐用品，当在中断日期1993年：Q1对截距施加公共中断时，持久性度量下降幅度不大，这在Clark（2006）中未进行估计。继Bai等人（1998）之后，当我们使用具有未知公共中断日期的看似不相关回归（SUR）方法时，点估计值类似，预计中断日期估计为1992年：Q1。我们现在使用我们的测试来评估常见断裂规范的有效性。

在表3中，我们报告了几个无效假设的检验统计量值，以及通过第4节所述的计算效率算法获得的5%显著水平的临界值（3000次重复）。首先，我们考虑三个波动序列中常见断裂的零假设，即H：k=k=k。测试统计量的值为9.015，临界值为5.242，因此测试在5%显著性水平上拒绝了常见断裂的零假设。接下来，我们分别在三个洪水系列的完整系统中测试两个洪水系列的常见断裂。也就是说，我们分别计算了H:k=k、H:k=k和H:k=k的检验统计量。检验统计量的值分别为9.735和7.684，H:k=k和H:k=k的相应临界值分别为3.473和3.259，因此这两个假设在5%的显著性水平上被拒绝。另一方面，H的统计量值：k=kis0.749，临界值为2.501。因此，我们不能拒绝非耐久性产品和服务系列中常见中断的无效假设。然后，我们估计一个系统，其中三个膨胀系列仅在非耐久性和服务系列中施加一个公共中断（即k=k），估计为1992年：Q1，考虑到所有系列中未知的公共中断日期，这是相同的（参数估计也大致相似）。耐用品系列的情况截然不同。在这种情况下，预计中断日期为1995年：Q1。有趣的是，对于这个中断日期，持久性的降低非常重要，估计值为0.324，而假设三个系列中有一个共同的中断日期，则估计值为0.805。因此，考虑到耐用品和其他系列的不同突破日期，我们记录了所有三个系列的持久性指标大幅下降。

此外，我们报告了耐用品[1994:Q2，1995:Q4]和其他[1991:Q3，1992:Q3]的估计休息日期的95%置信区间。这些非重叠区间与我们的结果一致。6结论本文提供了一个测试方程之间或方程内常见断裂的程序。我们的框架非常通用，允许使用综合回归和趋势以及平稳回归。所考虑的测试是假设正态误差的准似然比测试，尽管通常测试的极限分布对于非正态误差仍然有效。出于独立的兴趣，我们在搜索整体可能分区时提供了关于收敛速度的结果，这些分区仅受以下要求的约束，即每个区域至少包含作为样本大小的正分数的多个观测值，允许中断日期不被方程中样本大小的正分数分隔。我们提出了两种获得临界值的方法。仿真结果表明，该测试具有良好的有限样本特性。我们还提供了一个应用程序，用于解决与水平变化和持续性相关的问题，以说明其有用性。参考Andrews，D.W.K.，1991年。异方差和自相关一致协方差矩阵估计。计量经济学59（3），817–58。安德鲁斯，D.W.K.，1993年。未知变化点的参数不稳定性和结构变化测试。计量经济学61（4），821–56。Aue，A.，Lee，T.C.M.，2011年。基于信息论准则的图像分割。安。统计学家。39（6），2912–2935。Bai，J.，1994年。线性过程中位移的最小二乘估计。《时间序列分析杂志》15（5），453–472。Bai，J.，1995年。偏移的最小绝对偏差估计。计量经济学理论11（03），403–436。Bai，J.，1997年。多元回归模型中变化点的估计。

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如果我们证明{XtT∑，则证明该断言-1t，Kut}和{ηtηt-In}满足Bai和Perron（1998）引理A6中的Lmixingale条件，这表明了L-混合序列的HajeK-renyi不等式。我们只考虑{XtT∑-因为{ηtηt的证明- In}类似，实际上更简单。我们使用符号Et（·）：=E（·| Ft）fort∈ Z、 我们可以写XtT∑-1t，Kut=S（Iq∑-1t，K（∑t，K）1/2）（xtTηt），其中kS（Iq∑-1t，K（∑t，K）1/2）K≤C根据假设A5和术语（xtTηt）是Ft可测量的。因此，必须证明存在非负常数{ψj}j≥0这样，对于所有≥ 1和j≥ 0，Et公司-jxtT公司 ηt- ExtT公司 ηt≤ Cψj，（A.1）以及ψj→ 0作为j→ ∞ andP公司∞j=1j1+θψj<∞ 对于某些θ>0。为了显示（A.1），我们编写了xtT ηt=zt公司 ηt，Д（t/t） ηt，t-1/2重量 ηt观察E[zt ηt]=0和E[ηt]=0。根据闵可夫斯基的不等式Et公司-j（xtT ηt）-E（xtT ηt）≤Et公司-j（zt ηt）+^1（吨/吨）Et公司-j（ηt）+T-1/2Et公司-j（重量 ηt）-E（重量 ηt）=: Bai和Perron（1998）的A+A+A引理A6得到了一个具有上确界takenover的Hajek-Renyi不等式[k，∞] 而不是像在这个引理的评估中那个样，上确界占据了一个有限的范围【k，k】。然而，他们的论点可以很容易地扩展到这里所考虑的情况。A-1对于A和A，应用Ibragimov（1962）的混合不等式得出≤ 2(√2+1）α1/2-1/φjkzt ηtkφ和A≤ 2(√2+1）α1/2-1/φjkηtkφ，（A.2），其中φ：=4+δ，δ在假设A2中定义。对于A项，我们分别考虑两种情况：（i）t<j和（ii）t≥ j、 给定t≥ 1、首先，我们考虑案例（i），即t-j<0。

Wehave wt=w+Pt-1l=0uw，t-l、 Minkowski的不平等意味着√T A公司≤Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）+t型-1Xl=0Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt.自kEt以来-j（V）- E（V）k≤ 基特岛-j（V）k对于随机向量V，应用Jensen\'sinequality和Davidson（1994）的推论14.3（α-混合序列的协方差不等式）得出Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）≤w ηt≤ Cα1/2-1/φt，（A.3）和0≤ l≤ t型-1.Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt≤uw，t-l ηt≤ Cα1/2-1/φl.（A.4）同样，利用Ibragimov（1962）的混合不等式，我们可以证明Et公司-j（w ηt）-E（w ηt）≤ 2(√2+1）α1/2-1/φj-t型w ηtφ、 （A.5）和0≤ l≤ t型-1.Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt≤ 2(√2+1）α1/2-1/φj-luw，t-l ηtφ、 （A.6）（A.5）和（A.6）右侧的力矩均以假设A2为界。从（A.3）-（A.6）可以看出，当t<j时，我们有≤ CT-1/2tXl=0分钟{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l}≤ Cj1/2α1/2-1/φ[j/2]，（A.7），其中最后一个不等式是由于min{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l}≤ α1/2-每0个1/φ[j/2]≤ l≤ t和那个t-1/2吨≤ t1/2≤ j1/2对于t<j。接下来，我们考虑情况（ii），即0≤ t型- j、 因为wt=wt-j+Pj-1l=0uw，t-l、 Minkowski的品质导致√T A公司≤wt公司-j Et公司-j（ηt）+j-1Xl=0Et公司-juw，t-l ηt- Euw，t-l ηt. （A.8）利用Cauchy-Schwarz和Ibragimov的混合不等式，我们可以证明wt公司-j Et公司-j（ηt）≤wt公司-jEt公司-j（ηt）≤wt公司-jCα1/2-1/φj.（A.9）此外，我们可以写kwt-jk=Pt-js=1E【uwsuws】+2Pt-j-1k=1Pt-j-ks=1E[uwsuw，s+k]，这与戴维森（1994）的推论14.3最为相似-1kwt-jk公司≤ Ct型-jT+t-j-1Xk=1t-j- kTα1/2-1/φk≤ C、 对于A，我们使用事实k^1（t/t）ηtk=E[（Д（t/t）ηt）（Д（t/t）ηt）]=Д（t/t）Д（t/t）E[ηtηt]，这表示kД（t/t） ηtk≤ Ckηtk。A-2同样，应用案例（i）中使用的相同参数，我们可以显示j-1Xl=0Et公司-j（uw，t-l ηt）-E（uw，t-l ηt）≤ Cj公司-1Xl=0min{α1/2-1/φl，α1/2-1/φj-l} 。

（A.10）结合（A.9）-（A.10）中的结果，我们得出≤ Cα1/2-1/φj+T-1/2jα1/2-1/φ【j/2】≤ Cj1/2α1/2-1/φ【j/2】。因此，从上述方程和（A.7）中，我们得到≤ Cj1/2α1/2-每个月1/φ[j/2]≥ 1、该结果与（A.2）和（A.8）一起得出Et公司-j（xtT ηt）-E（xtT ηt）≤ Cj1/2α1/2-1/φ【j/2】。我们设置ψj=j1/2α1/2-1/φ[j/2]，它仍然显示P∞j=1j1+θψj<∞ 对于某些θ>0。观察α1/2-1/φ[j/2]=O（j-1.-2Δδ）在假设A2下。因此，对于θ<（1- 2δ）/δ，我们可以证明p∞j=1j1+θψj≤ CP公司∞j=1j-1.-1.-2δδ+θ<∞. 这就完成了证明。在下面的内容中，我们将使用子区间{[τl]的集合-1+1，τl]}Nl=1，τ=0，τN=T作为间隔的一个分区，根据中断日期K和K的集合，因此真实的基本参数及其估计在每个子间隔内都是恒定的，并且N被设置为此类子间隔的最小数目；也就是说，（βt，K，βt，K，∑t，K，∑t，K）=（βτl，K，βτl，K，∑τl，K）对于τl-1+1≤ t型≤ τl.对于每个参数组g∈ {1，…，G}，我们类似地考虑一个集合{[τG，l-1+1，τgl]}Ngl=1，τ=0，τNg=T作为给定Kg和Kg区间[1，T]的分区，其中GTH组的真实基本参数及其估计值在每个子区间内都是常数，ngi是此类区间的最小数目。因此，对于τg，l，我们有（βg，t，K，βg，t，K）=（βg，τgl，K，βg，τgl，K）-1+1≤ t型≤ τG，l的τ压盖（∑t，K，∑t，K）=（τG，l，K，∑τG，l，K）-1+1≤ t型≤ τG，l，而其他基团的基本参数可能会改变。对于τG，l-1+1≤ t型≤ τG，l带l∈ {1，…，Ng}，我们定义ψl：=（σt，K）-1/2（∑t，K- ∑t，K）（∑t，K）-1/2，（A.11），其中In+ψl=（τG，l，K）-1/2∑τG，l，K（∑τG，l，K）-1/2。由于ψ是一个n×n对称矩阵，因此存在一个正交矩阵U，使得UψU=diag{λψl1，…，λψln}和U（In+ψ）U=diag{1+λψl1，…，1+λψln}，其中λψl1。

，λψln是ψl的特征值。在下面的引理中，我们将获得基于子区间的归一化对数似然度的上界。作为简写符号，我们定义为1≤ t型≤ T和1≤ g级≤ Gβt，K：=βt，K- βt，Kandβg，t，K：=βg，t，K- βg，t，K引理A.3。假设假设A1-A5成立。那么，`T（K，θ）≤ CGXg=1NgXl=1’’g，l（K，θ）+NGXl=1’’g+1，l（K，θ）+T（K，θ）,A-3其中，对于g=1，G和l=1，Ng，\'\'g，l（K，θ）：=τglXt=τg，l-1+1XtT∑-1t，Kut- （τgl- τg，l-（1）βg，τgl，Kβg，τgl，K,\'\'G+1，l（K，θ）：=nXi=1τGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）- （τGl- τG，l-1） |λψil||λψil |，T（K，θ）：=最大值1≤t型≤Tk公司βt，Kk。证据我们可以写日志f（yt | XtT，θt，K）=-（1/2）log（2π）n+log |∑t，K |+K∑-1/2t，K（ut-XtT公司βt，K）K,这意味着\'T（K，θ）=-TXt=1日志∑t，K- 日志∑t，K+∑-1/2吨，Kut-（σt，K）-1/2 UT+TXt=1βt，KXtT∑-1t，Kut-TXt=1∑-1/2吨，KXtTβt，K=: A+A+A。对于术语A，我们写日志∑t，K- 日志∑t，K= 日志（σt，K）-1/2∑t，K（∑t，K）-1/2andalso ut=（∑t，K）1/2ηt。由于A仅依赖于KG和KG，因此A=NGXl=1-τGlXt=τG，l-1+1日志In+ψl+ tr公司（英寸+ψl）-1ηtηt- tr公司ηtηt=:NGXl=1A1，l。对于每l=1，NG，我们有日志In+ψl=Pni=1log（1+λψli）和thattr（英寸+ψl）-1ηtηt= tr公司诊断1+λψlini=1UηtηtU,这导致1，l=-τGl- τG，l-1nXi=1log（1+λψli）+tr诊断λψli1+λψlini=1UτGlXt=τG，l-1+1ηtηtU.我们可以证明-对数（1+a）+a/（1+a）≤ -a/（1+a）表示0<a<∞ （例如，见Dragomir，2016）。因此，A1，l≤ -τGl- τG，l-1nXi=1 |λψi | 1+λψli+tr诊断λψli1+λψlini=1UτGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）U.由于U的对角线元素的最大值PτGlt=τG，l-1+1（ηtηt-英寸）U从上方以kU为界PτGlt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）英国，kUk=1，我们有A1，l≤nXi=1- （τGl- τG，l-1） |λψli | 1+λψli+|λψli | 1+λψliτGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）.

（A.12）根据Θ和（A.11）的紧性，我们得到了max1≤我≤n（1+λψli）=kIn+ψlk≤ Cand1+min1≤我≤nλψli=mina∈Rna（In+ψl）aaa≥minb公司∈Rnb∑τGl，Kbbb×米纳∈Rna（∑τGl，K）-1aaa≥ C、 A-4我们有那个C≤ 1+λψli≤ C对于所有i=1，n、 这与（A.12）yieldsA1，l≤ CnXi=1- （τGl- τG，l-1） |λψli |+|λψli|τGlXt=τG，l-1+1（ηtηt- 英寸）.因此≤ CPNGl=1‘‘G+1，l（K，θ）。我们现在考虑A和A。注意βt，K=PGg=1βg，t，K，andA=GXg=1TXt=1βg，t，KXtT∑-1t，Kut。（A.13）同样，给定XtT∑-1t，KXtT=S（xtxtt ∑-1τl，K）S表示τl-1+1≤ t型≤ τl，我们可以表示a=NXl=1-τlXt=τl-1+1xtxtt ∑-1τl，K1/2秒βτl，K=:NXl=1A3，l。在假设A1下，存在一个有限整数k，其最小特征值为（τl- τl-（1）-1Pτlt=τl-1+1xtxttis对每个（τl）严格正- τl-（1）≥ k还应根据假设A5确定∑τl，k的初始值，以Θ为单位。因此，应用min1≤我≤nλi（A）kbk≤ 巴布≤ 最大值1≤我≤nλi（A）kbk对于特征值{λi（A）}ni=1的n×1向量b和n×n对称矩阵A，当τl- τl-1.≥ k、 A3，l≤ -C（τl- τl-1） 堪萨斯州βτl，Kk≤ -C（τl- τl-1） k级βτl，Kk，（A.14），其中最后一个不等式是由于SS是正定义的事实。当τl-τl-1<k，我们有（τl- τl-1） k级βτl，Kk≤ Ck公司βτl，Kk，其中yieldsA3，l≤ 0≤ -C（τl- τl-1） k级βτl，Kk+Ckβτl，Kk。（A.15）从（A.14）和（A.15）可以看出≤ -CPNl=1（τl-τl-（1）βτl，K-βτl，K+CT（K，θ）。此外，我们可以证明pnl=1（τl- τl-（1）βτl，K=PTt=1βt，K还有那个βt，K=PGg=1βg，t，K因为(βg，t，K）βg，t，K=0，对于所有g，g∈{1，…，G}，其中g6=G。因此，A≤ -CGXg=1TXt=1βg，t，K+ CT（K，θ）。（A.16）对于每个g=1，G、 我们有划分{[τG，l-区间[1，T]的1+1，τgl]}。从（A.13）和（A.16），A+A≤ C{PGg=1PNgl=1‘\'g，l（K，θ）+T（K，θ）}。因此，结果如下。

基于无结构变化的子样本，我们将建立项{'` g，l（K，θ）}g+1g=1的若干性质。为此，我们考虑了满足引理a.2中Hajek-Renyi不等式成立条件的一些随机向量矩阵的序列{ξt}Tt=1。设γ是一个参数向量或矩阵，作为有界参数空间的元素Γ：={γ：kγk≤ C} 。我们根据无γ结构变化的k个观测子样本确定一个物体，即k=1，T，`（0）k（γ）：=kXt=1ξt- kkγkkγk。选择矩阵S的维数为nq×p，具有全列秩，因此对于所有v∈ RPV 6=0。因此，对于所有v，vSSv 6=0∈ Rp，v 6=0，SS正定义。这意味着存在一个常数c>0，使得kSbk≥ 任何b的ckbk∈ Rp.A-5我们现在建立了一系列与似然函数相关的性质，这将使我们能够证明估计的收敛速度。在此处采用的一般性水平下，可以应用Bai et al.（1998）中使用的参数，通过一些修改来证明似然函数的性质。然而，由于这些性质是证明定理的关键因素，我们提供了完整的证明。属性1。sup1≤k≤Tsupγ∈Γ`（0）k（γ）≤ |Op公司日志T|.证据设D>0，定义Γ1，k（D）：={γ∈ G:√kkγk≤ 1的D（对数T）1/2}≤ k≤ T我们可以写`（0）k（γ）=k-1/2kPkt=1ξtk-√kkγk√kkγk每1≤ k≤ T接下来，对于任何1≤ k≤ T，supγ∈Γ\\Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ supγ∈Γ\\Γ1，k（D）√kkXt=1ξt- D（对数T）1/2√kkγk和supγ∈Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤√kkXt=1ξtD（对数T）1/2。引理A.2意味着，对于任何B>0，Prsup1≤k≤T√k对数TkXt=1ξt≥ B≤CBlog TTXk=1k。对于足够大的bbecauseptk=1k，上述不等式的右侧变得任意小-1=O（对数T）。

因此，sup1≤k≤Tk公司-1/2kPkt=1ξtk- D（对数T）1/2<0，对于足够大的D，概率接近1，因此SUP1≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ -CDlog T和sup1≤k≤Tsupγ∈Γ1，k（D）`（0）k（γ）≤ CD log T，概率接近1。因此，预期的结论如下。财产2。对于任何D>0，存在一个常数a>0，因此对于任何确定性序列mT≥ 影音-2T，supmT≤k≤Tsupγ：kγk≥DvT`（0）kγ≤ -Op公司（DvT）mT.证据固定D>0。我们有，每1≤ k≤ T，supγ：kγk≥DvTk`（0）k（γ）≤ supγ：kγk≥DvT公司kkXt=1ξt- DvT公司kγk引理A.2得出，对于任何A>0和 > 0，PrsupAv公司-2吨≤k≤TkvT公司kXt=1ξtT> ≤CA+vTTXk=Av-2Tk. （A.17）因为Eptk=Av-2Tk-2=O（Av-2吨）-1., 我们可以证明（A.17）的右侧在A>0的情况下变得任意小。自从 可以任意小，存在这样一个thatsupAv-2吨≤k≤Tsupγ：kγk≥DvTk`（0）kγ≤ -C（DvT）。A-6，概率接近1。结果如下，因为-m级-1吨≤ -k-1K时≥ mT。财产3。设Γ（D）：={γ∈ G:√T kγk≤ D} 对于任何D>0。那么，对于任何δ∈ （0，1），（a）存在一个D>0，使得supδT≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ -|Op（D）|，（b）对于任何D>0，supδT≤k≤Tsupγ∈Γ（D）`（0）k（γ）=Op（D）。证据Letδ∈ （0，1）固定。那么，对于每个δT≤ k≤ 对于任何D>0，supγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ supγ∈Γ\\Γ（D）√TkXt=1ξt- δD√T kγk，（A.18）和SUPγ∈Γ（D）|`（0）k（γ）|≤√TkXt=1ξtD、 （A.19）引理A.2表示supδT≤k≤TPkt=1ξt= Op公司(√T）。从（A.18）可以看出，对于某些D>0，supδT≤k≤Tsupγ∈Γ\\Γ（D）`（0）k（γ）≤ -Cd概率接近1，而从（A.19）得出≤k≤Tsupγ∈Γ（D）|`（0）k（γ）|≤ 对于任何D>0的情况，概率接近1的CD。因此，预期结果如下。财产4。对于任意常数M>0和确定性序列bT>0，我们有SUP1≤k≤M v公司-2Tsupγ：kγk≤bT`（0）kγ= Op（M1/2v-1TbT）。证据

我们有sup1≤k≤M v公司-2Tsupγ：kγk≤bT |`（0）kγ| ≤ sup1≤k≤M v公司-2TkPkt=1ξTkbt，对于任何大于0的情况。引理A.2产生sup1≤k≤M v公司-2TkPkt=1ξtk≤ Op公司（毫伏-2T）1/2. 对于τG，l-1+1≤ t型≤ τGl，我们可以表示kψlk≤ k（∑t，k）-1/2kk∑t，K- ∑t，Kk和k∑t，k- ∑t，Kk≤ k（σt，k）1/2kkψlk，因为k（σt，k）1/2k和k（σt，k）-1/2k有界，kψlk=max1≤我≤n |λψil |，我们有dk∑t，K- ∑t，Kk≤ 最大值1≤我≤n |λψil |≤ dk∑t，K- ∑t，Kk，对于某些常数d，d>0。当我们限制误差的方差矩阵的空间时，将使用此关系。下一个命题给出了关于中断日期估计的结果。提案A.1。在假设A1-A5下，存在一个B>0的极限→∞公关部^kgj- kgj公司> Bv公司-2Tlog T= 0，对于每（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}。A-7证明。对于常数B>0，定义（B）：=nK∈ Ξν：最大值1≤g级≤Gmax1≤j≤m | kgj- kgj |≤ Bv公司-2记录到。为了证明这一说法，我们将证明，对于一个足够大的B>0，limT→∞公关部sup（K，θ）∈ν（B）×TK、 θ≥ 0= 0。（A.20）由于在最大似然估计中评估的归一化对数似然应为非负，因此期望的结论如下（A.20）。为了显示（A.20），我们检查了引理A.3中给定的中断日期集SK 6的上界∈Ξ（B）和K。首先，观察属性1提供的概率上界不一定很明确，但很一般，参数空间是有界的。因此，sup（K，θ）∈ν（B）×g，l（K，θ）≤ |OP（log T）|和sup（K，θ）∈Ξν（B）×Ξ（K，θ）≤ C、 （A.21）每1≤ g级≤ G+1和1≤ l≤ 2（m+1）。接下来，对于K 6∈Ξ（B），存在一对（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}这样一些邻域Ngj：={t∈ [1，T]：| T- kgj |≤ Bv公司-真正中断日期kgj的2Tlog T}包含gthgroup的中断日期Kg6 Ngj。

这意味着存在一个具有子区间并集的τgl=kgj1[τg，l-1+1，τgl]∪[τgl+1，τg，l+1]最小值≤j≤l+1（τgj- τg，j-（1）≥ Bv公司-2Tlog T.自Kg6起 （τg，l-1，τg，l+1），对于τg，l，GTH组估计是常数-1+1≤ t型≤ τg，l+1以及‘’g，l（K，θ）和‘’g，l+1（K，θ）都依赖于相同的GTH组估计。注意，三角不等式产生CVT≤ 最多2个βg，τg，l+1，K- βg，τgl，K,βg，τg，l+1，K- βg，τg，l+1，K,此外，当g=g时，CvT≤ 最多2个∑τG，l+1，K- ∑τGl，K,∑τG，l+1，K- ∑τG，l+1，K.这意味着‘’g，l（K，θ）或‘’g，l+1（K，θ）满足性质2中mt=Bv的条件-2Tlog T，与（A.21）一起表示，对于足够大的B，sup（K，θ）∈Ξν（B）×Ξ\'T（K，θ）≤ -|Op（B对数T）|+Op（对数T）。这就产生了（A.20），从而完成了证明。提案A.2。假设假设A1-A5成立。然后，^βgj- βgj=op（vT）和∑j- ∑j=op（vT），对于每（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m+1}。证据允许 > 0固定并定义参数空间的子集：¨() :=nθ∈ Θ：最大1≤g级≤Gmax1≤j≤m+1kβgj- βgjk≤ VT和max1≤j≤m+1k∑j- ∑jk≤ vTo。命题A.1表明，中断日期估计值^K包含在Ξ（B）中，对于足够大的B，概率接近1，因此我们考虑K∈Ξ（B）。对于θ∈ Θ\\Θ(), 存在一对（g，j）∈ {1，…，G}×{1，…，m}使得eitherkβgj- βgjk≥ V或k∑j- ∑jk≥ vT.（A.22）A-8观察kgj- 千克，j-1.≥ νT和kgj- 千克，j-1.≥ νT，而| kgj- kgj |≤ Bv公司-2Tlog T。对于某些l∈ {1，…，Ng}，我们有τg，l-1=最大{kg，j-1，kg，j-1} τgl=满足τgl的最大{kg，j，kgj}-τg，l-1.≥ 某些δ的δT∈ （0，1）和（A.22）保持在子区间[τg，l-1+1，τgl]。因此，mT=δT的性质2意味着SUP（K，θ）∈（B）条()\'\'g，l（K，θ）≤ -|Op公司(T vT）|。对于其他子区间，属性1提供了| Op（log T）|阶的上界。