更一般地，f（ψ（t；t））t的自协方差函数∈[0，T]isEψ（t；t）ψ（t′；t）= C类(（t，t′；t）），C() =R∞杜邦u型+||+1.√1.-H-- 嗯-u型+||+1.√1.-H--u+2||√1.-H-R∞杜邦（1+u）小时-- 嗯-,具有（t，t′；t）=t′- t | 2T- （t+t′），（6.2），表明过程的相关函数（ψ（t；t））t∈[0，T]依赖于这个相对分离，给出了一个典型的相对去相关的情况，它只取决于到达概率τ=T的时间- t、 τ′=t- t′。因此，我们引入过程（ψ（τ；T））τ∈ [0，T]定义为ψ（τ；T）=ψT-τ、 T，τ∈ [0，T]。（6.3）过程（ψ（τ；T））τ∈ [0，T]是具有均值为零和自协方差函数的高斯函数ψ（τ；T）ψ（τ′；T）= C类(（τ，τ′），C如上所述（τ，τ′）=τ- τ′|τ+τ′|。（6.4）对于|τ- τ′|<< τ，过程在时间尺度τ上解相关，从而使过程波动更快地接近成熟。接近成熟期时，价格波动将持续。然而，当我们放大它们时，我们会看到当到期时间较短时，sma所有时间段上的波动，这反映了提取波动率因子的自相似性。在图6.1中，我们显示了相关函数7.→ C类()作为相对分离时间的函数∈ [-1，1]和H=0。6、该过程在短时间内与马尔可夫过程无关；事实上，作为一个时间-1-0.5 0 0.5 1差异成熟度0.20.40.60.8相关性图。6.1。t-t过程ψ（τ；1）的自协方差函数作为相对成熟时间分离的函数= （τ）- τ′）/|τ+τ′，H=0.6。

相关性在原点处近似衰减，当其中一个成熟时间变为零时迅速衰减。到到期日为零（相对于其他到期日），相关性迅速变为零。请注意，以下表达式（6.4）表示它是尺度不变的（aτ，aτ′）=（τ，τ′）对于>0，在短时间内对成熟度进行快速波动。这个过程确实有一个自相似的特性。我们正在分发ψ（τ；1）τ∈ [0,1]~ψ（τT；T）τ∈ [0,1]，对于任何T>0。在图6.2中，我们展示了作为成熟时间τ函数的过程ψ（τ；1）的两种实现。我们还可以研究固定时间成熟度τ的t-t过程结构，作为时间t的函数。因此，如果我们观察给定时间成熟度的价格，我们想知道价格修正（和隐含波动率）将如何影响当前时间或时间换算。相应地，-6-4-2相对成熟度-2-1.5-1-0.50.5t-T过程图。6.2。对于f执行饱和度T=1，H=0.6，过程ψ（τ；1）作为成熟时间τ的函数的实现。我们考虑过程ψ（t；τ）=ψt，τ+t，t≥ 0，（6.5）表示固定τ>0。过程（ψ（t；τ））t∈[0，∞)具有均值zero和自协方差函数的高斯函数ψ（t；τ）ψ（t′；τ）= C类(（t，t′；τ）），（6.6）C() =R∞杜邦（u+1）小时-- 嗯-（u+1+||)H-- （u+||)H-R∞杜邦（1+u）小时-- 嗯-,具有（t，t′；τ）=t′- tτ。（6.7）的表达式表明该过程的相干时间与成熟时间τ成正比。我们再次看到，重新调整后的隐含波动率表面波动在接近成熟时更为迅速。我们还看到，在t，t平面上，与成熟度边界平行的收缩，这些波动为-1-0.5 0 0.5 1差异时间0.40.50.60.70.80.9表面相关性图。6.3。

t-t过程ψ（t；1）的自协方差函数作为时间t′的函数- t固定到期时间τ=1，H=0.6。在短时间尺度上，该过程与马尔可夫过程不相关；在长时间尺度上，它表现出长程相关性。不动的这与我们有一个具有平稳波动驱动因素的基本一致性模型这一事实是一致的。这些函数具有相似的性质。我们正在分发ψ（t；1）t型∈[0，∞)~ψ（τt；τ）t型∈[0，∞),对于任何τ>0的情况。（ψ（t；1））t的自协方差函数∈[0，∞)如图6.3所示。在图中，我们可以看到原点处的快速衰减，然后是长距离行为。这显示了隐含的表面是如何随着时间的推移而变化的。在图6.4中，我们在对数-对数图中显示了自动相关函数，其中虚线对应于相关衰减| t′- t | 2H-在图6.5中，我们展示了过程ψ（t；1）的两种实现。最后，值得考虑的是我们评估随机差分时间-5-4-3-2表面相关性的情况。6.4。t-t过程ψ（t；1）的自协方差函数，如图6.3所示，但在对数刻度上，虚线显示衰变| t′- t | 2H-2.0相对电流时间t-3-2-1t-t过程图。6.5。H=0.6的过程ψ（t；1）的实现。固定当前时间t的校正系数，ψ（τ；t）=ψt，t+τ，τ≥ 0。（6.8）过程（ψ（τ；t））τ∈ [0，∞)具有平均零和自协方差函数的高斯函数ψ（τ；t）ψ（τ′；t）= C类(（τ，τ′），C() =R∞杜邦（u+1/p1+||)H-- 嗯-（u+p1+||)H-- 嗯-R∞杜邦（1+u）小时-- 嗯-,具有（τ，τ′）=τ- τ′τ∧ τ′。（6.9）图6.6绘制了该协方差函数。

请注意，它来自以下表达式（6.9）：它是尺度不变的（aτ，aτ′）=（τ，τ′）对于>0，因此对于小型到期债券，该过程的发展速度也更快。过程（ψ（τ；t））τ的分布∈ [0，∞)不依赖于t，并且它具有自相似性。对于任何a>0，我们都有in分布ψ（τ；t）τ∈ [0，∞)~ψ（aτ；t）τ∈ [0，∞).在图6.7中，我们展示了过程（ψ（τ；t））τ的两种实现∈ [0,1）.7.结论。我们考虑了一个具有长期相关性的连续时间随机波动性模型。我们讨论了fas t均值回归的机制。这使得我们能够导出近似欧洲看涨期权价格和隐含波动性的显式表达式。具体而言，波动性是分数Ornstein–Uhlenbeck的平滑函数过程分析这种非马尔可夫情况是一项挑战。据我们所知，当波动率波动为o阶时，我们提出了一般到期日价格近似值的第一个分析表达式。到目前为止，此类交易的价格计算都是基于数值近似。从应用的角度来看，主要结果是我们得到的隐含波动率曲面的分数期限结构的形式。事实上，我们得到了一个隐含波动率，其增长幅度为10-5 0 5 10期限差0.860.880.90.920.940.960.98表面相关性图。6.6。t-t过程ψ（τ；1）的自协方差函数作为相对成熟度分离的函数= （τ）- τ′）/（τ∧ τ′），H=0.6。请注意，相关函数表现出缓慢的衰减-6-4-2相对成熟度-0.50.51.5t-T流程图。6.7。

在固定电流时间t=1和H=0.6时，过程ψ（τ；1）的实现，即相关性的平滑和缓慢衰减提供了平滑的成熟时间依赖性。随着成熟时间的推移，同时对短期成熟时间产生强烈的倾斜，这与常见的观察结果一致。我们强调，在我们的公式中，与任何固定到期相比，平均反转时间很短，因为我们考虑了快速的mea n回复过程。最后，让我们注意到，我们考虑了具有长期相关性的过程的情况，Hurst指数H>1/2解释了大到期隐含波动率的增长。确认。本文基于古诺中心、古诺基金会和巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）部分支持的研究。A、 随机波动率模型的Hermite分解。我们表示ef（z）=F（σouz）。（A.1）因为E[eF（Z）]<∞ 当Z是标准正态变量时，函数f可以用Hermite多项式mialsHk（Z）=(-1） kez/2dkdzke-z/2，（A.2）和系列∞Xk=0Ckk！Hk（z），（A.3），其中CK=E香港（Z）eF（Z）=ZRHk（z）eF（z）p（z）dz，（A.4）收敛于L（R，p（z）dz）toeF（z）。Hermite po lynomicals satisfyE[Hk（Z）Hj（Z）]=ZRHk（Z）Hj（Z）p（Z）dz=δkjk！，我们有∞k=0Ckk！=E[eF（Z）]<∞. 请注意，C=F.引理A.1。如果存在α>2，使得（A.1）定义的功能满足∞Xk=0αkCkk！<∞, （A.5）然后随机过程iεt=ZtF（Zεs）-Fds（A.6）满意度∈[0，T]E[（IεT）]≤ Kε4-4H，（A.7）对于某些常数K.Proof。

表示εt=σ-1 uzεt，这是一个零均值高斯过程，协方差函数E[eZεteZεt+s]=CZ（s/ε），我们有iεt=ZteF（eZεs）-Fds公司=∞Xm=1CmIεt，m，其中iεt，m=m！ZtHm（eZεs）ds，m≥ 1、从（Taqqu，1978，引理2.2）开始，Iεt，mca的四阶矩可以展开为[（Iεt，m）]=m（2m）！XZt···ZTDTDTDTMYl=1立方厘米ti公司l- tj公司lε,其中总和超过所有指数i，j，i）i，j，i2m，j2m∈ {1，2，3，4}，ii）i6=j。，i2m6=j2m，iii）每个数字1、2、3、4在（i，j，…，i2m，j2m）中正好出现m次。因此，该总和中的N2mof项数小于（4m）/m！（如果没有第二个条件，它就是这个基数；因此它小于这个数）。因为CZ（s）≤ 1.∧ K | s | 2H-对于常数K，我们有，对于任何t∈ [0，T]，E[（IεT，m）]≤2m（2m）！XZT··ZTDT2MYl=11∧ K|ti公司l- tj公司l|ε2小时-对于和的每一项，我们应用变量s=ti，s=tj，s=tmin（{1,2,3,4}{i，j}），s=tmax（{1,2,3,4}{i，j}）的变化。在产品中，我们保留首字母：K（| s- s |/ε）2H-2，第一项为：K（| s- sj |/ε）2H-2，这样我们就可以写，对于任何t∈ [0，T]，E[（IεT，m）]≤N2mK2m（2m）！ZT···ZTDSDSDSDSDS|s- s |ε2小时-2小时|s- s |ε2小时-2+|s- s |ε2小时-2+|s- s |ε2小时-2i≤ K′（4米）！2m（2m）！m！ε4-4H，对于某些常数K′（取决于H和T），b由s2H决定-2在[0，T]上可积。通过斯特林公式，我们得到（4m）！2m（2m）！m！2毫米！√因此，根据Minkowski不等式，对于任何t∈ [0，T]，E[（IεT））]1/4≤∞Xm=1 | Cm | E[（Iεm））]1/4≤ K′ε1-H∞Xm=1 | Cm|嗯！1/2≤ K′ε1-H∞Xm=1αmCmm！1/2∞Xm=1mαm1/2，对于某些常数K′，这将给出所需的结果。emma A.1中的假设（A.5）要求函数f具有一定的光滑性。下面的引理给出了一个有效条件。引理A.2。

如果（A.1）定义的函数的形式为ef（x）=Zx-∞f（y）dy，（A.8），其中函数f的傅里叶变换满足| f（ν）|≤ C扩展(-ν） 对于某些c>0，则存在K>0，这样，对于任何K≥ 0，Ckk！≤ K3级-k、 （A.9）不平等（A.9）足以确保充分满足假设（A.5）。例如，我们可以考虑f（x）=Zx-∞e-y/4dy或F（x）=Zx-∞sinc（y）dy.（A.10）证明。函数F为C类∞, 我们有，对于任何k≥ 1，使用分部积分，Ck=ZReF（z）Hk（z）p（z）dz=ZReF（k）（z）p（z）dz=ZRf（k-1） （z）p（z）dz。根据Parseval公式，我们haveCk=2πZRe-ν/2（iν）k-1^f（ν）dν。因为| f（ν）|≤ C扩展(-ν） ，我们得到| Ck |≤ 捷克共和国-3ν/2ν| k-1dν=CkZ公司∞e-ssk公司-1ds=CkΓk,使用斯特林公式Γ（z）得出所需结果~ zz公司-1/2e-z√2π。B、 技术引理。We表示G（z）=F（z）-σ. （B.1）（4.12）定义的鞅ψεtde的形式为ψεt=EhZTG（Zεs）dsFti。（B.2）引理B.1。（ψεt）t∈[0，T]是平方可积鞅，d hψε，W it=εtdt，εT=σouZTtEG′（Zεs）| FtKε（s- t） ds。（B.3）（B.5-B.6）给出了括号hψε，W的另一种表达式。证据对于t≤ s、 Zεs given-Ftis-Gaussian的条件分布Zεs | Ft= σouZt-∞Kε（s-u） DWU和由VAR给出的确定性方差Zεs | Ft= （σε0，s-t） ，其中我们定义了，对于任何0≤ t型≤ s≤ ∞,（σεt，s）=σouZstKε（u）du。（B.4）因此，我们得到σε0，s的分布-t型Zεs- σouZt-∞Kε（s-u） dWu公司英尺标准d正常。因此，我们有G（Zεs）| Ft=ZRG公司σouZt-∞Kε（s-u） dWu+σε0，s-tz公司p（z）dz，其中p（z）是标准正态分布的pdf。作为t中的一个随机过程，它是一个连续鞅。

根据It^o公式，对于任何t≤ s、 E类G（Zεs）| Ft=ZRG公司σouZ-∞Kε（s-v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZtZRG′σouZu-∞Kε（s-v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σouZtZRG′σouZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） dWu+σouZtZRG′\'σouZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） duandG（Zεs）=GσouZs-∞Kε（s-v） dWv公司=ZRG公司σouZs-∞Kε（s-v） dWv+σε0,0zp（z）dz=ZRGσouZ-∞Kε（s-v） dWv+σε0，szp（z）dz+ZsZRG′σouZu-∞Kε（s-v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udu+σouZsZRG′σouZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） dWu+σouZsZRG′\'σouZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） 杜。因此，ψεt=ZtG（Zεs）ds+ZTtEG（Zεs）| Ftds=hZRZTGσouZ-∞Kε（s- v） dWv+σε0，szdsp（z）dzi+ZthZTuZRG′σouZu-∞Kε（s- v） dWv+σε0，s-乌兹zp（z）dzuσε0，s-udsidu+σouZthZTuZRG′σouZu-∞Kε（s-v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） dsidWu+σouZthZTuZRG′\'σouZu-∞Kε（s-v） dWv+σε0，s-乌兹p（z）dzKε（s-u） dsidu。这给出了hψε，W it=εtdt，（B.5），其中εt=σouZTtZRG′σouZt-∞Kε（s-v） dWv+σε0，s-tz公司p（z）dzKε（s- t） ds，（B.6），也可以按引理中所述编写。随机过程θεtar的重要性质在下面的引理中说明。引理B.2。对于任何t∈ [0，T]，我们有εT=ε1-Hθt+eθεt，（B.7），其中θ是确定性的，由θt=θ（t）定义- t） H类-,θ=hG′iΓ（H+），（B.8）和θε是随机的，但小于ε1-H、 lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（eθεt）1/2=0。（B.9）证明。首先从公式中调用。

（2.8）thatKε（t）=√εKtε, K（t）=σouΓ（H+）htH--Zt（t- s） H类-e-sdsi。θεt的期望值等于toEεt= σouhG′iZT-tKε（s）ds=σouhG′i√εZ（T-t） /εK（s）ds。因此，差异εt- ε1-Hθt=σouhG′iε1/2Z（t-t） /εK（s）-上海-σouΓ（H）-)Ds的范围为Eεt- ε1-Hθt≤ Cε1/2，（B.10）在t中均匀分布∈ [0，T]，对于某些常数C，因为e K（s）-上海-σouΓ（H-)在L中，我们有var（εt）=σouZTtdsZTtds′Kε（s-t） Kε（s′）- t） Cov公司EG′（Zεs）| Ft, EG′（Zεs′）| Ft≤ σouZTtdsKε（s- t） 风险值EG′（Zεs）| Ft1/2= σouZT公司-tdsKε（s）VarEG′（Zεs）| F1/2.Zεtgiven-Fis-Ga-ussian带均值的条件分布Zεt | F= σouZ-∞Kε（t- u） DWU和varianceVarZεt | F= （σε0，t）=σouZtKε（u）du。因此，VarEG′（Zεt）| F= 风险值ZRG′型EZεt | F+ σε0，tzp（z）dz.随机变量EZεt | F是具有均值零和方差（σεt，∞)= σouZ∞tKε（u）du，因此VarEG′（Zεt）| F=ZRZRdzdz′p（z）p（z′）ZRZRdudu′p（u）p（u′）×hG′σεt，∞u+σε0，tz- G′σεt，∞u′+σε0，tzi×hG′σεt，∞u+σε0，tz′- G′σεt，∞u′+σε0，tz′我≤ kG′k∞（σεt，∞)ZRZRdudu′p（u）p（u′）（u- u′）=kG′k∞（σεt，∞). （B.11）因此，Var（εt）1/2≤ kG′k∞σouZT-tdsKε（s）Z∞sduKε（u）1/2≤ kG′k∞σouε1/2Z（T-t） /εdsK（s）Z∞sduK（u）1/2。因为K（s）≤ 1.∧ 肯尼亚先令-, 这给了我们（εt）1/2≤ Cε1/2如果H<3/4，ε1/2ln（ε）如果H=3/4，ε2-2Hif H>3/4，（B.12）在t中均匀∈ [0，T]，对于某些常数C。这就完成了引理的证明。（4.7）定义的随机项φεt的形式为φεt，t=EhZTtG（Zεs）dsFti。（B.13）在这里，我们在计算不同到期日的这些随机条款的相关性时，明确地写出了参数T（到期日）。引理B.3.1。对于任何t≤ T，φεT，是一个标准偏差为ε1级的零均值随机变量-H、 ε2H-2E[（φεt，t）]ε→0-→ σφ（T- t） 2H，（B.14），其中σφ由（4.10）定义。2.

φεt的协方差函数是任意t的以下极限≤ T，T′≤ T′，带T≤ t′，ε2H-2E[φεt，tφεt′，t′]ε→0-→ σφ（T- t） H（t′）- t′）HCφ（t，t′；t，t′），（B.15），其中极限相关性isCφ（t，t′；t，t′）=R∞杜邦（u+r）H-- 嗯-（u+s）H-- （u+q）H-R∞杜邦（1+u）小时-- 嗯-,（B.16）Q=t′时- tp（T- t） （t′）- t′），r=√T- t型√T′型- t′，s=t′- tp（T- t） （t′）- t′）。3、Asε→ 0，随机过程εH-1φεt，t，t≤ T，在分布上（在有限维分布的意义上）收敛为高斯随机过程φT，T，T≤ T，平均值为零，协方差ε2（H-1） E[φt，tφt′，t′]=σφ（t-t） H（t′）- t′）HCφ（t，t′；t，t′）对于任何t∈ [0，T]，T′∈ [0，T′），带T≤ t′。4、εH的四阶矩-1φεt，皮重一致有界：存在一个与ε无关的常数kt，从而支持∈[0，T]E[（φεT，T）]1/4≤ KTε1-H、 （B.17）注意，对于t，t+H，极限过程φt，Tsatis fies的均方增量∈[0，T]，E（φt，t- φt+h，t）=Γ（H+）Z∞杜邦（T- t型- h+u）h-- 嗯--（T- t+u）H-- （u+h）h-+（u+h）h-- 嗯-=（T- t） 2小时-1Γ（H+）H+o（H），H→ 0。（B.18）这表明极限高斯过程φt，作为标准布朗运动的局部正则性（作为t的函数）。对于任何t<t≤ T+h，E（φt，t+h- φt，t）=（T- t） 2小时-2（2- 2H）Γ（H-)h+o（h），h→ 0。（B.19）这表明极限高斯过程φt是光滑的（均方可微分），作为成熟度t的函数。证据让我们假设T>0。对于t∈ [0，T]，T′∈ [0，T′，带T，T′的≤ T、 和T≤ t′，φεt的协方差，TisCov（φεt，t，φεt′，t′）=EhEhZTtG（Zεs）dsFtiEhZT′t′G（Zεs）dsFt′ii=EhEhZTtG（Zεs）dsFtiEhZT′t′G（Zεs）dsFtii=ZT-tdsZT′型-tt′型-tds’CovEG（Zεs）| F, EG（Zεs′）| F.然后，继续证明上一引理，我们得到var（φεt，t）≤ZT公司-tdsVarEG（Zεs）| F1/2≤ kG′k∞ZT公司-tdsσεs，∞.因为K（s）≤ 1.∧ 肯尼亚先令-, 此给定值为（φεt，t）≤ CTε2-2H，t均匀≤ T≤ T、 对于某些恒定CT。