为了确定这个数量，有必要引入斯蒂尔杰斯变换的函数逆，也被称为蓝色变换[64]B（g（z））=z，（2.15），而R变换仅由R（ω）=B（ω）定义-ω。（2.16）注意，可以从（2.13）中推断出以下性质：对于任何∈ R、 一个很好的性质是，R变换允许在极限ω上进行泰勒展开→ 实际上，通过将ω=g（z）插入公式（2.16），我们得到了公式（g（z））+g（z）=z（2.18），然后，我们可以在z的幂展开Stieltjes变换后发现-1 R（ω）可扩展为R（ω）=∞X`=1κ`（M）ω`-1（2.19）其中序列{κ`}`≥0表示阶自由累积量`，表示为矩阵矩的函数。为了完整性，我们给出了前四个自由累积量：κ=Дκ=Д- Дκ=Д- 3ДИ+2Дκ=Д- 4ДИ- 2х+10х- 5х。（2.20）请注意，前三个累积量等效于普通随机变量的“标准”累积量，且仅与`>4不同。例如，请注意，当Д=0时，一个结果是κ=Д-2х，而标准峰度应为-3х。结果表明，独立随机矩阵之和的自由累积量（在下文规定的意义上）由这些随机矩阵的累积量之和给出，即κ`（M）=κ`（a）+κ`（B），见下文第2.3节。矩母函数和S变换。LSDρ的矩母函数由t（z）…=zg（z）- 1=Zduρ（u）uz-u、 （2.21）通常称为T（或有时为η[54]）变换[39]。实际上，通过取z→ ∞, 一个即时投资（z）=∞Xk=1Д（Mk）zk。（2.22）然后我们可以引入所谓的S变换，如[62]：S（ω）=ω+1ωT-1（ω）（2.23），其中T-1（ω）是T变换的函数逆。利用TM（z）的z次幂级数展开-1和等式。

（2.20），我们发现S变换也允许泰勒级数，其表示为：SM（ω）=Д+ωД（Д- Д）+ωД（2Д）- ИИ- ИИ）+O（ω）=κ-κκω+2κ- κκω+O（ω）。（2.24）从最后一个等式中不难看出，具有零迹的矩阵M的S变换是不确定的。因此，Wigner矩阵的S变换没有意义，但在处理正有限协方差矩阵时，它会非常有用（见第2.3.3节）。最后，请注意，R变换和S变换之间存在关系R（ω）=S（ωR（ω）），S（ω）=R（ωS（ω））（2.25），这允许从S（z）推导R（z），反之亦然。R和Stransforms上的其他属性可以在[65]中找到。为了完整起见，让我们显示（2.25）的第二个等式。FirstId实体的推导过程类似，我们省略了细节。使用（2.16）和（2.23），得到一个sr（ωS（ω））=Bω+1T-1（ω）！-T-1（ω）ω+1。（2.26）接下来，通过设置z=T-1（ω），我们可以将（2.21）重写为ω+1T-1（ω）=gT-1（ω）. （2.27）因此，我们得出结论，R（ωS（ω））=T-1（ω）-g级T-1（ω）=ωgT-1（ω）. （2.28）然后根据（2.27）得出结论。2.2。库仑气体类比。有几种技术可以计算斯蒂尔特耶斯变换的极限值：（i）库仑气体法，（ii）矩量法，（iii）费曼图解展开，（iv）戴森布朗运动，（v）复制，（vi）自由概率，（vii）递归公式，（viii）超对称性。。。我们将在本节的其余部分向读者简要介绍（i）、（v）和（vi）。附录C和D.1.2中提到了戴森布朗运动（iv）和递归方法（vii）。力矩法（ii）参考文献[52]，费曼图（iii）参考文献[41，66]，或RMT求和参考文献参考文献[67]。

我们再次强调，本演示文稿在数学意义上并不严谨，更多细节请参考标准RMT教科书，如[49、52、53、56]。我们从库仑气体类比开始，粗略地说，它包括将M的IGENVALUE视为带电粒子的位置，通过2-D库仑（对数）势相互排斥（参见[68]中的自我介绍，或参见[41、50、69]中的具体应用）。在本节中，我们将强调当矩阵集合上的概率测度是旋转不变的，即形式为等式（2.1）时，势函数和Stieltjes变换g（z）之间的强联系。2.2.1。Stieltjes变换和势函数。首先，我们从（2.1）编写模型asZ的分区函数∝Ze公司-βNTrV（M）DM，这可以作为使用鞍点方法获得LSD的起点，或者更确切地说是其Stieltjes变换。这一关系首次在Br’ezinItzykson Parisi Zuber的开创性论文中得到，我们在此重复推导的主要思想（另见[70，第2.1节]）。让我们首先用M的特征值和特征向量表示配分函数，使用（2.2）：Z∝ZNYi=1dνi经验值-NNXi=1V（νi）-β2NXi6=jlog |νi- νj|,直到通过Haar测度d积分得到的常数因子Ohm. 然后通常引入动作S（{νi}）≡ S（ν，ν，…，νN），这样我们可以重写分区函数：Z∝ZNYi=1dνie-NS（{νi}），其中S（{νi}）=NNXi=1V（νi）-β2NXi6=jlog |νi- νj |，（2.29）注意，作用是归一化的，因此其大N限值为1阶。本征值可以视为一维粒子在外电势V（z）中的热气体，并受到（对数）“静电”排斥相互作用：这是库仑气体类比。

在热平衡条件下，本征值通常聚集在势阱中，但由于斥力的作用，本征值不能在最小值附近聚集，从而使它们保持在O（N）级的距离-1） 。例如，如果我们取二次势函数V（x）=x/2，那么所有粒子都倾向于聚集在零附近，如图2.1所示。我们记得，我们只考虑在唯一紧支集上定义的密度（单切假设），因此我们要求活性粒子在一个限定的凸势V（z）中演化。我们所考虑的这类势函数的导数给出了一个洛朗多项式，即V（z）=pkckzk，其中k个整数是有益的。因为我们总是可以重写V（z）=z-`P（z），用V（z）的最小（负）幂和P（z）多项式的“阶”，我们用d定义V（z）的“阶”，它对应于P（z）的阶。特别地，如果V（z）是多项式，则`=0-2 0 2x012345V（x）图2.1。排斥性库仑气体的典型构型为：N=20个粒子（红点），电势V（x）=x/2，作为x的函数。在大N极限下，可以通过鞍点法计算特征值上的积分，该方法产生以下“力平衡”条件：V（νi）=βNNXj=1；j6=iνi- νj，i=1，N、 （2.30）似乎无法找到解这些N方程的特征值{λi}。然而，我们可能会发现LSDρMin为极限N→ ∞, 对应于满足这些鞍点方程的特征值的配置。在一次切割假设的情况下，结果为[41]：g（z）=V（z）- Q（z）p（z-ν++p（z-ν-), （2.31）其中ν-< ν+表示supp[ρ]的边，Q（z）也是d次洛朗多项式-1和订单“”。因此，我们看到需要确定d+1未知数，即q（z），ν的系数-和ν+，使用级数展开（2.12）确定。

读者可能想知道，为什么处于热平衡的系统最终会被描述为零温度下的简单机械平衡。结果表明，该系统的有效温度非常低，熵效应为N级-1关于互动效应的比较，请参见示例[69]了解详细讨论。Entropye效应开始在扩展的β系综中发挥作用，其中β=c/N，其中c是有限的，参见【71】。下文第2.2.3节对该程序进行了说明。我们观察到，一旦我们能够描述控制M入口的V（z）的势函数，我们就能够找到相应的LSDρM。我们将在本节的其余部分显示，库仑气体类比允许我们检索RMT中的一些重要定律。让我们展示如何获得（2.31）。下面我们将β设为1。首先，我们在（2.30）中引入预解式g（z）的正规化迹，将其两边乘以N-1（z- νi）-1对所有i求和，其中ieldsnnxi=1V（νi）z- νi=NNXi=1NXj=1；j6=i（z- νi）（νi- νj）。（2.32）注意，最后一个方程实际上是z的分析函数∈ C\\Supp[ρM]。然后，我们使用一些代数操作重写LH，使toNNXi=1V（νi）z- νi=V（z）g（z）-NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi，对于RHS，我们得到nnxi=1NXj=1；j6=i（z- νi）（νi- νj）≡g（z）+Ng（z）.将最后两个方程重新组合为鞍点方程（2.32），得出g（z）+Ng（z）= V（z）g（z）-NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi.由于我们对大N的极限感兴趣，因此我们必须为g（z）求解以下二次方程g（z）- 2V（z）g（z）+NNXi=1V（z）- V（νi）z- νi=0。（2.33）最困难的术语是最后一个，因为总和不明确。为了简单起见，我们考虑V（z）是d次>0的多项式的情况，因为洛朗多项式（即具有负幂的多项式）的扩展是直接的。

对于V（z）是z中的多项式函数，我们得到了p（z）=NNXi=1V（z）- V（νi）z- νiis也是一个多项式，但具有d次-1其系数可以稍后通过normalizationconstraint或通过匹配一些矩来确定。然后，式（2.33）的解为：g（z）=V（z）±qV（z）- 2P（z）。单切框架（即ρ的独特紧凑支撑）的优良特性是，上述表达式可以简化为（当d>1时）：g（z）=V（z）±Q（z）p（z- ν+（z- ν-)其中ν-ν+表示supp[ρ]的边，Q（z）是d次多项式-1得到（2.31）。在正定义协方差矩阵的情况下，我们可以使用与limitz对应的序列（3.23→ 02.2.2。维格纳半圆定律。作为热身练习，我们从维格纳半圆定律开始，这是RMT中最重要的结果之一。请注意，这一结果首先是在具有独立且相同分布项的高斯矩阵的情况下获得的（同时保持矩阵的对称性）。对于实项，我们将这类随机矩阵称为高斯北正交系综（GOE）。已经证明，例如[52]，半圆定律可以扩展到更广泛的一类随机矩阵，称为Wigner系综，它处理具有独立且相同分布项的amatrix M，例如：Mij公司= 0和EMij公司= σ/N.（2.34）让我们在此考虑GOE矩阵的具体情况。对于高斯项，不难看出相关的概率测度Pβ（M）确实是具有电势函数V（M）=M/2σ的Boltzmann类型。从公式（2.31）中，我们注意到未知多项式Q（z）是一个常数，因为势的导数的阶数d=1。为了确定该常数，我们实施了Riemann-Hilbert问题的性质（ii），这使我们能够通过识别得到：Q（z）=1，ν±=±2σ。

因此，我们最终得出：gW（z）=z-√z+2σ√z-2σ2σ，（2.35），其中√· 表示以下所有的主平方根，即非负实数的非负平方根。方程（2.35）实际上是维格纳半圆定律的斯蒂尔杰斯变换。请注意，经常会看到上述结果写为gw（z）=z±√z- 4σ2σ，其中约定“±”表示我们必须选择正确的符号，例如g（z）~ z-1对于大z（Riemann-Hilbert问题的性质（ii））。然后使用反演公式（2.11）检索密度函数，该公式产生著名的维格纳半圆定律：ρW（x）=2πσp4σ- x、 | x |<2σ。（2.36）我们在图2.2中绘制了半圆的密度，并与从尺寸为N=500的aGOE矩阵中获得的ESD进行了比较。如本节开头所述，我们发现极限密度与大但有限尺寸矩阵的ESD非常一致。事实上，我们可以严格估计在有限N的ESD和N=∞,以N的形式消失-1/4只要Mij有一个固定的第四时刻-2/5如果Mijare finite的所有时刻（见[75]）。由于公式（2.35）的表达式相对简单，人们可以很容易地反转该表达式，以找到蓝色变换，从而发现半圆定律的R变换读数srw（z）=σz。（2.37）由于平均轨迹ν正好为0，Wigner矩阵的S变换是一个不明确的对象。矩阵元素的方差发散对应于L'evy矩阵的情况，见【72】。对于严格的方法，我们请读者参考[73]。有关最新发展，请参见[74]-2-1 0 1 2λ00.10.20.30.40.5ρ（λ）维格纳图2.2。

Wigner半圆密度（2.36）与来自一个样本的N=500（直方图）的经验结果进行比较，说明了ESD在有限N时收敛于渐近LSD。2.2.3。马申科牧场法。正如引言中所述，随机矩阵的研究始于约翰·威斯哈特（John Wishart）[8]。更准确地说，让我们考虑N×T矩阵Y，该矩阵由大小为N且协方差为C的随机中心高斯向量的T相关实现组成，然后将Wishart矩阵定义为N×N矩阵M as M..=T-1年*. 在多元统计中，这个矩阵M更被称为样本协方差矩阵（见第3章）。对于任何N和T>N，Wishart导出条目M的精确PDF，其内容为：Pw（M | C）=NT/2ΓN（T/2）det（M）T-N-1ET（C）T/2e-TTrC公司-1米。（2.38）正如引言中所提到的，我们说M（给定C）遵循Wishart（N，T，C/T）分布。在“各向同性”的情况下，即当C=In时，我们可以从（2.38）Pw（M | In）推断出∝ det（M）T-N-1e级-TTrM：=e-TTrM+T-N-1Tr log M，（2.39），显然属于玻尔兹曼系综（2.1）的类别。在下文中，我们将用W表示N×N矩阵，其分布由（2.39）给出。忽略次前导项，相应的势函数由：V（z）=2q[z]给出-（1）- q） log z]，当q：=N/T.（2.40）时，很容易看出导数确实给出了z中的洛朗多项式，因为v（z）=2qz[z-（1）- q） 】。按照我们的约定，V（z）是一个1次且`=-因此，我们推断（2.32）中的Q（z）是c/z形式，c是一个常数，用（2.12）确定。我们将Stieltjes变换g（z）的计算推迟到本节末尾。最终结果为：g（z）=（z+q- （1）-√z-ν-√z-ν+2qz，ν±..=（1±√q） （2.41），这是Marˇcentko和Pastur在[17]中发现的解决方案，在特殊情况下C=in。

现在，我们可以使用反演公式（2.11）来确定著名的马钦科牧场（MP）定律（forq∈ （0，1））ρMP（ν）=p4νq- （ν+q-1） 2qπν，ν∈ν-, ν+. （2.42）注意，对于q>1，很明显可以看到M有N- T贡献（1）的零特征值- q） δ至密度公式（2.42）。注意，当q<1时，ESD向渐近MP定律的收敛速度与Wigner情形相同，即N-2/5在当前情况下，Y的随机元素是高斯的（有关此问题的详细讨论，请参见[76]）。同样，g（z）的表达式非常简单，可以获得Blue变换的闭合公式，并从公式（2.41）推导出MP定律的R变换：RMP（ω）=1-qω。（2.43）可以使用关系式（2.25）计算MP定律的S变换：SMP（ω）=1+qω。（2.44）我们现在通过完整应用等式（2.32）中引入的BIPZ形式推导出Stieltjes变换（2.41）。如上所述，各向同性Wishartmatrix的Stieltjes变换（2.32）的形式为g（z）=2q“1-1.- qz公司#-czpz公司- ν+pz- ν-, （2.45），我们必须确定的常数是c，ν+和ν-. 为此，我们使用（2.12）告诉我们当| z |→ ∞g（z）=z+Д（M）z+O（z-3） 。（2.46）另一方面，通过取极限z来结束→ ∞ 转化为（2.45）thatg（z）=2q“1-1.- qz公司#- c“1-ν++ν-2z-（ν）+- ν-)8z#+O（z-3） ，（2.47）然后，通过将最后一个等式与（2.46）进行比较，我们可以通过注意到我们有一个leadingorder2q来验证c- c=0，因为g（z）表现为O（z-1） 对于非常大的z，因此我们有c=2q。（2.48）接下来，我们在订单O（z-1） ：1=-（1）- q） 2q+ν++ν-4q，（2.49），也就是说ν+=2（1+q）- ν-. （2.50）最后，根据O（z）级条件确定最后一个常数-2） ，ν（M）=（ν）+- ν-)16q，（2.51），相当于ν-= ν+- 4pqД（M）=（1+q）- 2.√q=（1-√q） ，（2.52），其中我们在第三步中使用（2.50）和Д（M）=1。

因此，我们从（2.50）推断出ν+=（1+√q） 结果（2.41）来自方程式（2.48）、（2.50）和（2.52）。2.2.4。逆Wishart矩阵。另一个非常有趣的例子是Wishart矩阵的逆矩阵，简称“逆Wishart”矩阵。根据Marˋcentko Pastur定律（2.42），相应特征值密度的推导非常简单。实际上，我们只需要改变变量u=（（1- q） ν）-1根据公式（2.42）得出：ρIMP（u）=κπup（u+- u） （u）- u-), u±=κκ+1±√2κ+1, （2.53）其中，下标IMP表示“逆Marˇcenko Pastur”，κ与q相关，通过hq=2κ+1∈ （0，1）。（2.54）特别注意到，u±=（1- q） /ν其中ν在公式（2.41）中定义。我们在图2.3中绘制了Marˇcentko Pastur的密度（2.42）及其逆密度（2.53），参数q=0.5。除了特征值密度（2.53），还可以推导第2.1.2节中所述其他变换的显式表达式。对于Stieltjes变换，必须应用变量u=（（1）的相同变化- q） z）-1并使用属性（2.13）和（2.14）获得：giw（u）=u（κ+1）- κ- κ√u-u-√u-u+u，（2.55），其中边界u±在等式（2.53）中给出。我们可以很容易地用反演公式（2.9）检查，我们确实按照预期检索到了态密度（2.53）。然后，使用Stieltjes变换（2.55），可以计算逆马尔ˋ岑科牧场密度到密度（ω）=κ的R变换-pκ（κ-2ω）ω，κ>0，（2.56），然后，从（2.25）开始，S变换readsSIMP（ω）=1-ω2κ。（2.57）系数（1- q）-1引入1以将平均值保持在1，如下所述。0 1 2 3 4 5 6λ00.511.5ρ（λ）MPI图2.3。红色虚线对应于q=0.5的马伦科牧场密度（2.42）。

我们用q=0.5（纯蓝色曲线）的逆Wishart矩阵进行实验。在统计学中，逆Wishart分布的推导略有不同。设M是N×N实对称矩阵，我们假设它是可逆的，并且假设M-1福洛萨·维斯哈特（N、T、C-1） C是一个N×N实对称正定“参考”矩阵，t>N- 1、在这种情况下，M的PDF也是显式的。更准确地说，我们说M是根据逆Wishart（N，T，C）分布的，其PDF由[9]给出：Piw（M-1 | C）=NT/2ΓN（T/2）det（C）T/2 et（M）（T+N+1）/2）e-Tr CM-（2.58）为了得到这种分布，我们应该注意到，变换的雅可比矩阵M→ M-1等于（det M）-N-1，可通过使用测量值的特征值/特征向量表示得出，见等式（2.2）。变量变化的详细推导可参见【77，公式（15.15）】。逆Wishart分布的一个重要特性是以下期望值的闭合公式：MPiw=CT- N- 1.（2.59）该结果的推导可使用[78]的不同恒等式获得。我们现在可以解释这个因素（1-q） 在上述变量的变化中。如果我们考虑C=IN/T，我们可以从（2.59）中推断出MPiw=TT- N- 1英寸~LDL1-秦。（2.60）以获得归一化光谱密度，即N-1TrM=1，我们发现需要应用▄M=（1- q） M，使hMi=IN。这正是变量u=（1）变化的目的-q） ν）-式（2.53）中。我们在本节结束时指出，可以通过势函数完全刻画一大类随机矩阵M的特征值密度函数。这使得我们可以通过充分选择凸约束势来产生各种各样的经验光谱密度。2.3。自由概率。

我们在前两个例子中看到，可以从势函数中得出一些关于ESD的分析结果，这些结果对于统计曲线（例如逆Wishart密度）非常有趣。然而，库仑气体方法不允许oneto研究受某些噪声源干扰的矩阵的频谱。这是统计学中的一个经典问题，人们通常对从噪声观测中提取“真实”信号感兴趣。统计学中的标准模型要么处理加性噪声，要么处理乘性噪声（就像经验相关矩阵一样）。除非人们能够准确地写出受损矩阵的PDF（这种情况很少发生），否则库仑气体类比就没有直接的用处。本节致力于简要介绍自由概率理论，这是研究一些大维随机矩阵渐近行为的另一种方法。更准确地说，自由概率为研究具有特定对称性的随机矩阵的和或积的LSD提供了一种稳健的方法。在这里，我们将只给出应用于对称实随机矩阵的自由概率的基本概念，我们参考例如[63]或[65]以获得更详尽的介绍。2.3.1。自由。自由概率理论是由Dan Voiculescu于1985年提出的，目的是通过建立基于自由度概念的非交换算子的微积分规则来理解冯·诺依曼代数的特殊类[43]，下文定义了矩阵的特殊情况。几年后，Voiculescu【62】和Speicher【79】发现旋转不变随机矩阵渐近满足自由度标准，这对RMT产生了巨大影响。粗略地说，如果两个矩阵A和B的特征基通过随机旋转相互关联，即。

当它们的特征向量几乎肯定是正交的。对于随机矩阵，我们使用“渐近”自由度的概念。精确的表述如下【62】：设A和B是两个大小为N的独立自伴矩阵。如果每个矩阵的谱密度几乎肯定在大N极限内收敛，如果B在旋转下不变，那么A和B是渐近自由的。这种说法也可以在[79]中不同的上下文中找到。随机矩阵的自由度概念与随机变量的独立性相对应。事实上，回想一下，归一化跟踪运算符，定义为Д（M）：=NTrM，（2.61）等于ρM的第一个时刻。然后，假设Д（A）=Д（B）=0，我们说，如果满足所谓的自由度特性，则A和Bare free，也就是说：Д（AnBmAnBm…AnkBmk）=Д（An）Д（Bm）Д（An）Д（Bm）（Bm）。ν（Ank）Д（Bmk），（2.62）对于任何整数n，NK和m，MK带k∈ N+。请注意，如果Д（A）6=0且Д（B）6=0，则需要考虑居中矩阵A-~n（A）和B-^1（B）英寸。让我们在最简单的情况下探索（2.62）。对于上述定义的任何自由矩阵A和B，onehas^1（（A- ^1（A））（B-Д（B））=0，（2.63），由此我们推断出Д（AB）=Д（A）Д（B）。因此，如果将迹算子（2.61）视为非交换随机变量期望值的分析，则自由度性质类似于矩因式分解性质。更一般地，自由度允许根据A和B的矩的知识计算矩阵乘积的混合矩，类似于概率论中的经典独立性。例如，从Д（（A- ^1（A））（B-^1（B））（A- Д（A））=0，（2.64）我们可以推断出Д（ABA）=Д（AB）=Д（A）Д（B）。（2.65）自由矩阵对的一个典型示例是当A是固定矩阵，而B是属于旋转不变系综的arandom矩阵时，即。

B=OhmBdiag公司Ohm*, 其中Bdiag为对角线，且Ohm 根据正交组上的Haar（fl at）测量值分布，在N非常大的限制范围内。这种渐近自由度的概念也与消失非平面图的概念有关[80]。正如我们将在第7章中看到的，混合矩的计算将用于推导一些有用的关系，用于估计统计图像问题的过度拟合。2.3.2。自由矩阵的和。除了计算公式（2.64）等混合矩外，自由概率理论还允许我们计算不变随机矩阵的和和和积的LSD，正如我们现在讨论的那样。让我们先看看加法情况。假设我们观察到一个矩阵M，该矩阵由固定的“信号”矩阵a和噪声（或随机）矩阵B相加而成，我们假设该矩阵在旋转时是可变的，即M=a+OhmBOhm*,对于任意N×N矩阵Ohm 属于正交群O（N）的。一个典型的问题是评估M的LSD，并根据信号特征值的修改来估计噪声对信号的影响。假设A和B的ESD收敛到一个明确的极限，可以使用非交换算子的加法定律计算M的谱密度，即Voiculescu的自由加法Rm（ω）=RA（ω）+RB（ω）。（2.66）因此，我们可以将R变换（2.16）解释为标准加性卷积的傅里叶变换对数的RMT模拟。可以将公式（2.66）重写为M的Stieltjes变换的函数，该变换包含了关于M的光谱密度的所有信息。公式（2.66）等效于toBM（ω）=BA（ω）+RB（ω）。接下来，我们引入ω=gM（z），yieldsBA（gM（z））=z- RB（gM（z））。现在需要在两侧应用函数GAO，以获得GM（z）=gA（z-RB（gM（z）））。

（2.67）最后一个关系确定了来自矩阵B的加性噪声对A的“信号”（或真实）特征值的影响。为了更深入地了解这个结果，让我们假设噪声矩阵B是一个简单的GOE矩阵，其中心元素为方差σ/N。我们从式（2.37）中知道RB（z）=σBz。因此，样本矩阵M的谱由以下定点方程表征：gM（z）=gA（z-σBgM（z））。（2.68）这是变形GOE矩阵的Stieltjes变换，GOE矩阵是一种著名的无序系统不稳定物理模型。事实上，该模型可以被视为一个哈密顿量，由受外部加性扰动B影响的固定源组成【82】。以A为例，我们发现M是方差σA+σB的GOE，正如预期的那样。在推理理论的上下文中，该模型可能有助于描述我们试图推断的信号被加性噪声破坏的一般线性模型。另一个有趣的应用是当矩阵B具有低秩时，通常称为factormodel。在股票市场的例子中，这个模型可以转化为一个事实，即所有股票几乎不存在共同因素，例如全球经济新闻。为了简单起见，我们考虑秩-1的情况，但以下论点可以很容易地推广到一个有限的秩r N、 让我们将B的唯一非平凡特征值表示为β>0，并且askourselves表示添加（随机定向）秩-1矩阵a如何影响M的频谱。这个问题可以使用LDL中的自由矩阵工具显式解决。实际上，正如我们下面所示，只要存在z，最大的本征值就会从A的光谱中弹出∈ R\\supp[ρA]使Ga（z）=β。

（2.69）例如，如果A是方差σ>0的维格纳矩阵，可以很容易地从（2.69）和（2.37）中检查M的最大特征值ν是由ν=（β+σ/β，如果β>σ2σ，否则）给出的。（2.70）当β>σ时，我们说ν是一个异常值，即它位于ρA的谱之外。因此，我们发现自由概率允许我们找到异常值可能存在的简单标准。该方程也可以解释为Burgers方程的解，该方程出现在同一问题的DysonBrownian运动解释中–有关更多信息，请参见附录D。这一结果可以推广到变形维格纳矩阵类，即噪声由（2.34）给出，但不一定是高斯的，参见例如[81]。现在我们来推导标准（2.69）。首先，我们需要计算秩一矩阵B的R变换，以便使用（2.66）。从（2.8）中，我们很容易发现GB（u）=Nu- β+1-Nu=u“1+Nβ1- u-1β#。（2.71）利用微扰理论，我们可以反转最后一个方程来找到Blue变换，这个yieldsat前导阶，BB（ω）=ω+βN（1- ωβ）+O（N-2） 。（2.72）因此，我们可以从（2.16）得出结论，Rb（ω）=βN（1- βω）+O（N-2） 。（2.73）因此，我们通过应用（2.66）和（2.16）得出bm（ω）=BA（ω）+βN（1- βω）+O（N-2） 。（2.74）接下来，我们设置ω=gM（z），使后一个方程成为ω=BA（gM（z））+βN（1- βgM（z））+O（N-2） 。（2.75）根据该方程，我们期望ρMto的Stieltjes变换的形式为gm（z）=g（z）+g（z）N+O（N-2） 。（2.76）通过将此ansatz插入（2.75），我们可以看到g（z）和g（z）满意度z=BA（g（z））g（z）=-βBA（g（z））（1- g（z）β）。（2.77）很容易发现g（z）=gA（z）与预期一致。现在我们关注1/N校正项，利用BA（gA（z））=1/gA（z），我们得出g（z）=-βgA（z）1- gA（z）β。

（2.78）最后，我们得到了thatgM（z）≈ gA（z）-NβgA（z）1- gA（z）β，（2.79），我们看到，如果gA（z）=β，校正项仅在大N极限下存在-1有一个非常重要的解决方案。不同的是，如果存在z，z是M的特征值，而不是A的特征值∈ R\\supp[ρA]这样的gA（z）=β-1这导致了标准（2.69）。2.3.3。自由矩阵的乘积。自由乘法卷积也有类似的结果。在说明如何获得自由矩阵乘积的LSD之前，我们首先强调必须仔细定义自由矩阵的乘积。实际上，自由加法的简单类比是定义M=AB。然而，当A和b是自伴但不是交换时，乘积AB通常不是自伴的。在A为正定义的情况下，我们可以看到产品A1/2BA1/2比产品AB有意义并共享相同的力矩。因此，我们通过m定义自由矩阵的产品：=√AB公司√A、 （2.80）注意，在这种情况下，B不一定是正定义，但必须有一个与零不同的轨迹（见下面的泰勒展开式）。出于技术原因，我们需要明确B的LSD。在此假设下，随机矩阵的自由乘法卷积规则由m（ω）=SA（ω）SB（ω）给出。（2.81）这就是所谓的自由乘法，它首先由Voiclescu（62）获得，然后由物理学形式主义者（83）获得。同样，如果有人对M的极限光谱密度感兴趣，那么可以将其Stieltjes变换写成（2.81）interms。利用S变换的定义，我们重写了（2.81）asT-1M（ω）=SB（ω）T-1A（ω）。技巧与上述相同，因此我们将ω=TM（z）设置为findt-1A（TM（z））=zSB（TM（z））。

（2.82）现在立即得到乘法情况下的（2.67）的类似物TM（z）=TA（zSB（TM（z）），（2.83），根据Stieltjes变换zgm（z）=z（z）gA（z（z）），z（z）…=zSB（zgM（z）- 1） 。（2.84）这当然是RMT对统计推断最重要的结果之一。它允许我们将样本协方差矩阵的Marˇcenko Pastur定律推广到任意总体协方差矩阵C（见下一节），并获得关于特征向量的结果。我们强调，关于自由积的文献可以适用于非厄米矩阵，有关随机矩阵乘法的最新综述，请参见[65]或[84]。2.4。副本分析。2.4.1。解决方案和副本技巧。正如我们在上文中所注意到的（等式2.6），可以通过预解式研究特征向量的相关信息。然而，库仑气体类比和自由概率工具都对特征向量的结构视而不见，因为它们只给出预解式的归一化轨迹的信息。为了研究预解矩阵，我们需要引入其他工具，例如从统计物理中借用的一种称为复制方法的工具。简而言之，复制方法允许重写对数的期望值，以动量表示，表示为初始系统的多个副本（称为副本）的期望值。这种方法在各种情况下都非常成功，包括RMT和无序系统，参见[46，45]或[47]以获取最近的综述。我们强调，即使这种方法被证明是一种非常强大的启发式方法，但从数学上讲，它并不严格（见下文）。因此，必须使用其他方法（例如数值模拟）验证从复制方法获得的结果。

请注意，处理预解式的一种严格但更困难的方法是使用线性代数结果的递归技术，如附录C所述。其他可用的技术包括费曼图[66，85]。作为热身练习，我们简要介绍了Stieltjes变换的方法，然后解释如何将其扩展到完全预解的研究。我们注意到，任何Stieltjes变换都可以表示为g（z）=NXi=1z-νi=兹洛尼=1（z-νi）=zlog det（zI- M） 。（2.85）然后，使用det（zI）的高斯表示- M）-1/2，我们有z（z）≡ （det（zI- M） （）-1/2=Zexp“-NXi，j=1ηi（zI- M） ijηj#NYj=1dηj√2π！。（2.86）将最后一个方程代入（2.85）并假设Stieltjes变换是自平均的，我们看到我们需要计算Z（Z）的对数的平均值：g（Z）=-2.zE log Z（Z），（2.87），其中平均值取概率分布PM。然而，计算力矩EZn（z）比计算E log z（z）更容易，这正是复制技巧的目的，复制技巧最初被表述为以下等式z=limn→0Zn- 1n，（2.88），所以一个形式上有g（z）=limn→0泽锌- 1n。（2.89）因此，我们将问题（2.87）转化为计算Zn（z）中涉及的系统的n个副本。该方法的不严格部分在现阶段非常明显。虽然Z的积分矩确实可以表示为复制系统的平均值，但恒等式（2.88）需要非常小的实值n。通常，我们使用整数n，然后在取极限n之前，对结果进行分析延拓，直到实值n→ 0（事实证明，在将矩阵N的大小发送到in finity之后！）。因此，该方法的主要关注点是，我们假设解析延拓不存在任何问题，但情况未必如此。

在某些情况下，正是这最后一步可能导致不受控制的近似值[86]，这就是为什么数字（或其他）检查是强制性的。尽管如此，Replicatrick提供了一个简单的启发式方法来计算Stieltjes变换g（z），如下所示，它与本综述中考虑的量是正确的。出于我们的目的，我们需要将上述副本形式主义扩展到整个预解式，而不仅仅是它的规范化跟踪。在这种情况下，我们将需要一个略有不同的副本标识，扩展（2.88），现在我们将展示它。起点是使用逆矩阵（zIN）的高斯积分表示重写预解矩阵g（z）的条目- M）-1ij=RQNk=1dηkηiηjexpn-PNk，l=1ηk（zδkl- Mkl）ηloRQNk=1dηkexpn公司-PNk，l=1ηk（zδkl- Mkl）ηlo。（2.90）如附录C所述，由于中心极限定理，我们预计（2.90）是LDL的自平均值，因此：（zIN- M）-1ij=*ZZNYk=1dηk！ηiηjexp-NXk，l=1ηk（zδkl- Mkl）ηl+PM，（2.91），其中Z等于配分函数，即等式（2.90）中的分母。预解式的副本标识由gij（z）=limn给出→0*Zn-1ZNYk=1dηk！ηiηjexp-NXk，l=1ηk（zδkl- Mkl）ηl+PM=limn→0ZNYk=1nYα=1dηαk！ηiηj*nYα=1exp-NXk，l=1ηαk（zδkl- Mkl）ηαl+PM。（2.92）同样，我们设法将初始问题（2.91）重写为n个副本的计算。Weemphasis表示（2.92）对任何随机矩阵M都有效，如果我们能够计算概率密度PM的平均值，那么它是有用的。标识（2.92）是本节的中心工具。特别是，它允许我们研究预解项的渐近行为，它包含了关于M的谱分解的更多信息，而不仅仅是归一化trace（normalizedtrace）[37]。如下文所述，我们考虑一个受自由概率理论启发的随机矩阵模型，即。

M=A+OhmBOhm*M=A1/2OhmBOhm*A1/2（详见上文第2.3节）。我们将重点讨论自由乘法模型，因为对于自由加法情况，下面的参数可能几乎一字不差地重复（见附录D）。2.4.2。使用副本的矩阵乘法。我们重新考虑了模型（2.80），并在不损失一般性的情况下假设A是对角的。在这种情况下，我们可以看到PMis仅仅是正交群O（N）上的Haar测度。我们将副本标识（2.92）专门化为M=A1/2OhmBOhm*1/2因此，我们得到gij（z）=limn→0ZNYk=1nYα=1dηαk！ηiηje-zPnα=1PNk=1（ηαk）InXα=1ηαA1/2ηαA1/2*, B（2.93）其中iβ（A，B）=Zexph公司-βNTr AOhmBOhm*iD号Ohm, （2.94）是所谓的Harish Chandra–Itzykson-Zuber积分【87，88】。该积分的显式结果已知于任意整数维N的厄米矩阵（β=2），但不适用于实正交矩阵。甚至研究（2.94）在极限N→ ∞ 非常重要（见附录A）。然而，在Ais排名有限的情况下，N的主要贡献→ ∞ 已知任何对称群。幸运的是，我们看到我们的案例为n级，结果由附录A中的公式（A.5）得出：InXα=1ηαA1/2ηαA1/2*, B~N→∞exp“NnXα=1WBNNXi=1（ηαi）ai！#，，（2.95）回想一下，我们在计算的整个中间步骤中将n作为一个整数进行处理。withWB（.）=RB（.），（2.96）其中我们假设向量[ηα]nα=1彼此正交，这通常是由n提供的 N、 然后，我们将这个结果插入（2.93）中，并引入一个辅助变量pα=NPNi=1（ηαi），我们使用狄拉克δ函数δ的指数表示来强制执行该变量pα-NNXi=1（ηαi）ai=Z2πexp“iζαpα-NNXi=1（ηαi）ai#dζα，（2.97）对于每个α=1，n、 这允许检索ηα上的高斯积分。

重命名ζα=-2iζα/Nyields结果gij（z）∝Z ZnYα=1dpαdζα！δijz-ζaiexp“-NnF（pα，ζα）#（2.98），其中Fis由f（pα，ζα）=nnXα=1“NNXk=1log（z）给出的自由能- ζαak）+ζαpα- WB（pα）#。（2.99）现在，我们可以看到dpαdζα上的积分涉及到Nn/2乘以自由能的指数，这是一阶单位。如果n不为零，可以通过鞍点法估计该积分（当然n最终将被发送到零…）。我们假设鞍点具有复型对称性Satz，即pα=p*和ζα=ζ*, α=1，n、 这是很自然的，因为Fis在置换群Pn下是不变的。然而，请注意，复制对称ANSATZ可能会导致错误的结果，这种现象被称为复制对称破缺，参见例如[46、86]或[89]及其参考文献中的数学形式。其余的计算依赖于鞍点分析，我们将其细节推迟到下面，最终我们得到了所谓的“全局定律”来解M:zGM（z）i，j~N→∞Z（Z）GA（Z（Z））i，j，Z（Z）…=zSB（zgM（z）- 1） ，（2.100），这通常被称为M和a的预解式之间的从属关系。考虑到上述方程的两边的轨迹，我们注意到（2.100）是公式（2.84）作为矩阵的推广。我们应该强调，公式（2.100）是矩阵GM（z）的逐元素自平均，即Gij（z）=hGij（z）i+O（N-1/2）。作为一个整体的矩阵GM（z）不能被认为是确定性的，例如hGM（z）II通常不同于hGM（z）i。

当考虑整个矩阵GM（z）时，我们应该写：z hGM（z）i~N→∞Z（Z）GA（Z（Z）），Z（Z）…=zSB（zgM（z）- 1） ，（2.101）注意，平均预解式hGM（z）i在A的特征基中是对角的，正如对称性所期望的那样。术语“全局”假设z的虚部比N大得多-1，与在“局部”尺度上对预解式的许多不同研究不同（有关Wigner矩阵这一概念的详细介绍，请参见[90]）。对于自由加成模型M=A+OhmBOhm*, 仍然具有a=诊断（a，a，…，aN）（见附录D）。从副本标识（2.92）开始，然后应用（A.5），我们得到以下表达式【37】：Gij（z）∝Z ZnYα=1dpαdζα！δijz-ζ- aiexp公司-NnFa（pα，ζα）, （2.102）其中“自由能”fa由fa（p，ζ）给出=NnnXα=1“NXk=1log（z- ζα- ak）-WB（pα）+pαζα#。（2.103）再次调用复制对称ansatz，自由加法模型下预解式的从属关系来自鞍点分析[37]GM（z）i，j~N→∞GA（Za（z））i，j，Za（z）…=z-RB（gM（z）），（2.104），这正是在[91]中以数学形式得到的结果。再次对方程的两侧进行跟踪，可以恢复Stieltjes变换之间的关系（2.67）。2.4.3。自由乘法：副本鞍点分析。现在，我们从（2.98）导出（2.100）。我们应该知道，它实际上提供了自由乘法公式（2.81）的元素推导。在复型对称ansatz下，自由能为（pα，ζα）≡ F（p，ζ）=NNXk=1log（z- ζak）+ζp- WB（p），需要最大化。我们首先考虑关于p的一阶条件，该条件为ζ*= RB（p*). （2.105）关于ζ的其他导数给出：p*=ζ*NNXk=1akz/ζ*- ak=TAzRB（p*)RB（p*).

（2.106）因此，将（2.105）和（2.106）插入（2.98），我们得到了大N极限，然后是极限N→ 0byGij（z）ij=δiiz- RB（p*)ci。（2.107）我们可以使用与自由乘法卷积的连接，找到最后一个表达式的真正简化。通过取GM（z）的归一化轨迹，我们可以看到zgm（z）=ZgA（z），其中z≡ Z（Z）=zRB（p*), （2.108），可以重写asTM（z）=TA（z）。让我们定义ω=TM（z）=TA（z）。（2.109）使用公式（2.106），后一个公式表示p*= ω/RB（p*). 现在让我们展示如何在大N极限下从（2.108）中检索自由乘法卷积（2.81）。实际上，让我们重写（2.109）aszTM（z）=ZTA（z）RB（p*), （2.110）可以看出，使用（2.109）可以将最后一个表达式重写为ωT-1M（ω）=ωT-1A（ω）RB（p*). 最后，使用S变换（2.23）的定义，该yieldsSM（ω）=SA（ω）RB（p*). （2.111）使用（2.25），我们还得到了rb（p*)= SB（p*RB（p*)), （2.112）但回顾p*= ω/RB（p*), 我们从（2.105）、（2.109）和（2.112）得出结论，ζ*= RB（p*) = SB（TM（z））。（2.113）回到（2.111），我们看到M的谱密度由Voiclescu的自由乘法公式SM（ω）=SA（ω）SB（ω）给出，（2.114）证实了复制对称ansatz在这种情况下确实有效。最后，将（2.113）插入（2.107），得到结果（2.100）。3、大型经验协方差矩阵的谱3.1。样本协方差矩阵。3.1.1。搭建舞台。在对RMT和许多不同的分析工具进行了一般性介绍之后，我们现在准备处理本次审查的主要问题，即样本协方差矩阵的统计。作为初步说明，请注意，我们假设每个变量的方差可以独立估计，并且具有很高的精度，因为我们有 1对每一个进行观察。

因此，所有变量将被视为具有以下单位方差，我们将不再区分进一步的协方差和相关性。如引言所述，相关矩阵的研究在统计学中有着悠久的历史。假设我们考虑（随机）向量y=（y，y，…，yN）。描述这些变量之间潜在交互网络的一种标准方法是通过它们的相关性。因此，目标是尽可能精确地测量真实（或总体）协方差矩阵，定义asCij=Eyiyj公司, i、 j∈ [[1，N]]（3.1）其中我们假设{yi}i∈[[1，N]]平均值为零，不丧失一般性（见下文）。从C的定义可以看出，协方差矩阵是对称的。在下文中，我们将确定C asC=NXi=1uiviv的光谱分解*i、 （3.2）具有u>u>…>unN实特征值和v，Vn对应的特征向量。如引言所示，协方差的概念在广泛的应用中至关重要。例如，让我们考虑一个来自金融应用程序的示例。多元化投资组合出现巨额亏损的可能性主要取决于其不同组成部分的相关变动（更多详情请参见第7.1节）。事实上，多元化的概念取决于投资组合中资产之间的相关性。因此，估计这些资产价格变动之间的相关性是风险管理政策的核心。在实践中，主要关注的是真实协方差矩阵C实际上是未知的。要解决这个问题，通常需要大量的独立测量，即“样本”y，yT，构建C的经验估计。因此，我们定义了N×T矩阵∈ RN×T，其元素是变量yi的第T个度量。

在我们的财务示例中，随机变量Yitwould是时间t时资产i的回报。然后，用大小为t的整个样本数据的平均值来近似等式（3.1），从而得出样本（或经验）协方差矩阵估计值：Eij=t（YY*)ij=TTXτ=1YitYjt。（3.3）在统计文献中，该估计量被称为Pearson估计量，在RMT社区中，所得矩阵有时被称为Wishart集合。虽然WignerEnsemble一直是大量物理学研究的主题[49]，但WishartEnsemble的结果主要来自数学与统计[17、55、92]、电信[56]或金融/经济物理学文献[23、28、66]，尽管物理文献中也有一些工作[93、94、95、96]——仅举几例。我们称之为“经典”统计极限，即T→ ∞ 在N固定的情况下，大数定律告诉我们，E收敛于真正的协方差C。然而，正如引言中所述，在当前的“大数据”时代，科学家面临着大数据集，样本大小T和变量数量N都非常大，当观测比q=N/T是阶统一时，会出现特定问题。这种设置在文献中被称为高维限制器Kolmogorov机制（或更常见的大数据机制）。这一制度明显不同于传统的大T、固定N情况（即q→ 0），其中多变量统计的经典结果适用。设置q~ O（1）正是RMT工具有助于对经验协方差矩阵（3.3）做出精确陈述的地方。一个典型的问题是研究E的ESD，以量化其与真实协方差矩阵C的偏差。

更准确地说，ESD会收敛到显式LSD吗？如果有，我们能得到这个LSD的易处理表达式吗？在样本{yt}Tt=1由均值和协方差为零的多变量高斯分布给出的情况下，自Wishart[8]以来，矩阵的分布是完全已知的，并由上面的等式（2.38）给出，其中M→ E、 在C=T的情况下-1在中，我们检索了上面我们在前一章中充分描述的各向同性Wishart矩阵。现在的目标是为任意真协方差矩阵xc提供E的LSD。更具体地说，我们将研究线性模型，其中数据矩阵Y可以轻松分解=√CX，（3.4），其中X是一个N×T随机矩阵，不相关项满足E[Xit]=0，E[Xit]=T。（3.5）对于多元高斯变量，上述分解总是可能的。否则，上述框架假设我们的相关随机变量yi是不相关随机变量的线性组合。此外，我们还要求随机变量√T xit有一个有界的第4阶矩，换句话说，分布不能是极端尾部的。接下来，我们介绍E的谱分解，E=NXi=1λiu*i、 （3.6）λ>λ>…>λnN特征值和u，解相应的特征向量。下面，让我们列出关于E谱的主要假设，我们将在整个审查过程中保持这些假设：（i）r>0的r+1（连接）组件的ρEconsists支持。我们将r最大的分量称为异常值，最小的分量称为批量。

体分量的边界点标记为λ-和λ+（带λ-6λ+。（ii）我们假设离群值彼此分离，并且与整体（非简并）分离。（iii）我们假设体积是规则的，即ρEvanish的密度在边界点λ处为平方根-, λ+。在本章中，我们将研究该模型特征值的统计信息，下面将讨论特征向量。我们以两条不同的评论结束这篇简短的介绍。第一个是对上述零均值假设的评论，而第二个是关于被审查的随机变量的可能厚尾特性。3.1.2。零均值假设。在实际数据集中，样本向量yt通常具有非零均值（即使真实的基础分布是零均值）。因此，可以选择以经验平均值正好为零的方式移动样本向量。这导致了对经验相关矩阵的以下定义，通常在文献中找到：Eij=T- 1Text=1Yit公司- 易Yjt公司- Yj公司, Yi=TTXτ=1Yiτ。（3.7）对于T而言，这显然是无偏的→ ∞ 具有固定的。这可以重写为：E=T- 1年（IT- ee公司*) Y*, e、 .=（1，1，…，1）*/√T∈ 然而，E和E的特征值（和特征向量）的渐近性质是相同的，当q>1时，可能会有一个额外的异常值特征值位于零。理解异常值对谱的渐近行为没有影响的最简单方法是当Y是高斯矩阵时。在这种情况下，我们知道高斯矩阵在旋转下具有统计不变性，因此可以始终在T维空间中旋转向量e，使其变为，例如，（1，0。

，0）。然后有：Eij~T- 1TXt=2yityjt，这意味着当N，T→ ∞ 高达一阶的特征值摄动~ T-1.→ 0（有关相关讨论，请参阅第2.3.2节）。对于q<1，这对光谱没有任何影响，因为相应的特征值在整体中被重新吸收。与秩1扰动相关的可能尖峰仅在N>T时存在，并且它导致最后一个方程的额外零特征值。但在q>1的情况下，我们知道有（N- T）额外的零特征值，意味着原点处的额外尖峰是无害的。Y不是旋转不变的情况更难处理，需要更复杂的参数，我们请读者参考[97，第9节]了解更多细节。因此，我们将在下面回顾的关于E特征值统计的所有结果都适用于Eas。从实际角度来看，考虑原始数据或降级数据是不同的。此后，我们将假设样本数据（y，…，yT）的平均值为零，并将在下一节中使用相应的E。3.1.3。数据项的分布。第二条注释涉及等式（3.5）中给出的矩阵Y的中心分布。例如，众所周知，财务回报率是强非高斯的，具有幂律尾[24]，因此，有界矩的充足数量的条件可以被视为限制性的。如果条目具有极端的尾部，可以说什么？这是稳健估计理论的主要目的[98，99]，其中RMTregime N 在过去的几年里，人们对T进行了大量的研究，特别是在椭圆分布的情况下[56100101102]。

特别是，所谓的C的Maronna稳健M估计是固定点方程M的（唯一）解=TTXt=1U纽约州*tM公司-1年期年初至今*t、 （3.8）其中，U是一个非递增函数。最近【103】表明，矩阵M收敛于式（2.80）中所述形式的阿玛特里克，因此与E不同。然而，除了多元学生分布中的U（x）外，可处理的公式很少~ x个-1[100、101、104、105]。在这种情况下，我们从[106]得到，M的LSD收敛（几乎可以肯定）到标准wishart矩阵E的LSD，即N→ ∞. 因此，我们将在下面给出的所有结果都适用于多元Student框架下C的稳健估计（另见[100]）。我们将有关其他类别分配的讨论推迟到第9.3.2章。批量统计。3.2.1。Marˇcenko Pastur方程。正如我们在引言中提到的，分析大样本协方差矩阵谱的基本工具是Marˇcenko Pastur方程[17]。实际上，我们已经在第2.2.3节中遇到了该方程的一个特例，其中我们考虑了零假设C=in（各向同性情况）下E的LSD。在这一节中，我们允许总体相关矩阵C是各向异性的，也就是说与恒等矩阵不成比例。正如我们将看到的，最终结果并不像公式（2.41）那么简单，但许多属性都可以从中得到。Marˇcentko Pastur（MP）方程可以追溯到他们的开创性论文【17】，该论文给出了E和C的极限Stieltjes变换之间的精确关系。这一结果是高维统计推断中许多进步的核心（参见第7章中的一些示例或【92】及其引用）。有几种方法可以获得此结果，例如使用。