基于小波的SWIFT方法求解倒向随机微分方程

2022-5-30 20:42:43

关于基于小波的后向随机微分方程SWIFT方法Ski Wai Chau和Cornelis W.Oosterlee 2018年10月12日摘要我们提出了一种基于时间离散和三角小波的后向随机微分方程数值算法。这种方法结合了基于傅立叶的方法的有效性和基于小波的公式的简单性，从而产生了一种既准确又易于实现的算法。此外，我们还通过反反射边界技术缓解了计算边界附近的误差问题，给出了改进的近似。我们用不同的数值实验来测试我们的算法。1引言自从[15]中引入倒向随机微分方程（BSDE）的一般概念以来，它一直是一个热门的研究课题。特别是在数学金融和保险领域，无论是在通常的完全市场环境下，还是在结合市场缺陷和抵押品要求的情况下，BSDE都是评估或有债权的有力工具。通过直接求解或将问题转化为偏微分方程（见[16]），找到此类方程的解析解通常很困难，甚至是不可能的。因此，对数值方法的需求很大。虽然解决BSDE的大多数所谓概率方法依赖于随机过程的时间离散化，但它们不同于计算出现的条件期望的方法。使用的技术包括【12】中的最小二乘蒙特卡罗回归、【5】中的混沌分解公式、【6】中的容积法等。特别是，我们对基于Fourier级数的方法感兴趣。

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2022-5-30 20:42:46

这些方法将期望值的计算与传递概率密度函数的特征函数联系起来，传递概率密度函数要么给定，要么易于近似。一种特殊的方法是【18】中提出的BCOS方法，该方法源自期权定价的COS方法【8】。基于傅立叶级数的期权定价方法有了新的发展。【14】中提出了萨农小波逆傅立叶技术（SWIFT方法）用于定价欧洲期权，而【13】中开发了一种所谓的快速SWIFT变体，用于定价美国和障碍期权。快速SWIFT方法虽然也基于香农小波，但它的另一个好处是简化了算法和误差公式。此外，由于小波形成局部基，因此调整单个近似值更容易。我们提出了一种新的解决BSDE的方法，将[11]和[18]中使用的时间积分的一般θ-方法与SWIFT方法相结合。我们还改进了以前关于SWIFT的工作，提供了一个考虑计算范围的替代推导。在第2节中，将介绍我们正在考虑的BSDE的类别以及一些符号和标准假设。第3节介绍了SWIFT公式的推导和我们的BSDE数值算法，而第4节则涉及我们算法的误差和计算复杂性。我们在第5节的计算基础上进一步改进了我们的算法。第6节中进行了各种数值实验，第7.2节给出了结论性意见，给出了过滤后的完全概率空间的倒向随机微分方程2.1设置(Ohm, F、 F，P），F：=（Ft）0≤t型≤在最终时间T>0的固定期限内，满足通常条件的过滤。

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2022-5-30 20:42:50

过程ω：=（ωt）0≤t型≤这是一种适应过滤F的布朗运动，我们感兴趣的是数值求解以下一维解耦正反向随机微分方程，称为FBSDEs。dXt=u（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dωt；dYt=-f（t，Xt，Yt，Zt）dt+Ztdωt，（2.1），其中0≤ t型≤ T功能u：Ohm ×【0，T】×R→ R和σ：Ohm ×【0，T】×R→ R指正向随机过程X和X的漂移和微分系数∈ f是X的初始条件。函数f：Ohm ×[0，T]×R×R×R称为反向过程的驱动函数，g（XT）给出了函数g的终端条件yti：Ohm ×R→ R、所有含ω的随机积分都是It^o型的。假设u（t，x）和σ（t，x）都是可测函数，其均为L等规壳聚糖x，并在x中满足线性增长条件。因此，正向随机微分方程存在唯一的强解，Xt=x+Ztu（τ，xτ）dτ+Ztσ（τ，xτ）dωτ。该过程也满足马尔可夫性质，即τ的E[Xτ| Ft]=E[Xτ| Xt]≥ t、式中，E[·]表示对概率测度P的期望。一对适应过程（Y，Z）被称为FBSDE的解。如果Y是连续实值适应过程，Z是实值可预测过程，因此rt | Zt | dt<∞ 几乎可以肯定的是，P和配对满足方程（2.1）。我们希望通过及时向后解决问题来发现（Y，Z）。我们通过沿时间方向∧：0=t<t<t<t<…<tP=T。在本文中，我们假设我们有一个固定的统一时间步长t=tp+1- tp，p和定义ωp+1：=ωtp+1- ωtp~ N（0，t），一个正态分布过程。离散化正演过程X是由byX定义的t： =x，xtp+1：=Xtp+u（tp，Xtp）t+σ（tp，Xtp）ωp+1，p=0。

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2022-5-30 20:42:53

P-1，它是从经典的Euler离散化导出的。请注意，我们在此仅定义了离散时间点的离散化过程。虽然可以将定义扩展到[0，T]，但我们的演示没有必要这样做。采用符号X=（X，Y，Z），我们可以从后向方程中观察到，Ytp=Ytp+1+Ztp+1tpf（τ，Xτ）dτ-Ztp+1tpZτdωτ，（2.2）简单离散化不足以产生近似值。这是因为我们需要Ytp+1的值来近似Ytp，但Ytp+1不适用。为了解决这个问题，我们遵循文献中的标准方法，例如，在[4]中。通过对方程（2.2）两侧取条件期望，并通过θ-时间离散化近似时间积分，asin[18]，我们得到了Ytp=Ep[Ytp+1]+Ztp+1tpEp[f（τ，Xτ）]dτ≈ Ep【Ytp+1】+tθf（tp，Xtp）+t（1- θ） Ep[f（tp+1，Xtp+1）]，θ∈ [0，1]。符号Epand Exp定义为P[·]：=E[·| Xtp]=E[·| Ftp]，Exp[·]=E[·| Xtp=x]。对于过程Z，我们通过乘以ωp+1到方程（2.2）的两侧，取条件期望，0=Ep[Ytp+1ωp+1）+Ztp+1tpEp[f（τ，Xτ）ωp+1]dτ-Ztp+1tpEp[Zτ]dτ≈Ep[年初至今+1ωp+1]+t（1- θ） Ep[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]-tθZtp- t（1- θ） Ep【Ztp+1】，θ∈ （0，1）。我们再次将θ-方法应用于时间积分。然而，θ方法的两个参数θ和θ不一定是相同的。我们定义了一个不同的时间近似值（Y, Z) 对于（Y，Z）：YtP：=克（XtP），ZtP=σ（tP，XtP）Dxg（XtP），（2.3a）表示p=p- 1.0，Ztp：=-1.- θθEp【Z】tp+1]+θtEp【Y】tp+1ωp+1]+1- θθEp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]，（2.3b）Ytp：=Ep【Y】tp+1]+tθf（tp，Xtp）+t（1- θ） Ep[f（tp+1，X（2.3c）再次使用简化符号X= （十）, Y, Z). 注意，θ和θ的各种组合给出了不同的近似方案。

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2022-5-30 20:42:56

我们对Y有一个明确的sch-eme如果θ=0，则使用隐式格式。变量Ztp取决于Ep[Ztp+1]仅当θ6=1时。而且，由于终端进程Yt和Zt相对于X具有确定性t和X是一个马尔可夫过程，通过归纳可以证明tp=yp（Xtp），Ztp=zp（Xtp），wher e zpand y公司与Discretization方案相关的pare确定性函数。我们将使用符号（yp（x），zp（x））当我们想强调我们的近似值的依赖性时。在求解方程（2.3）中的近似值时，需要在每个时间步计算多个条件期望。在这篇文章中，我们选择的方法是一种基于小波的方法，在[14]中介绍。2.2假设在本文中，除了u和σ的条件外，我们还假设以下是正确的：（A1）函数f（t，x，y，z）相对于（x，y，z）是连续的，并且存在所有单侧导数。（A2）函数g（x）在x中是连续的，并且存在所有左侧和右侧导数。在处理θ6=1的离散格式时，我们又增加了一个假设：（A3）函数f是Lips chitz in（y，z），即| f（t，x，y，z）- f（t，x，y，z）|≤ M（| y- y |+| z- z |）；x、 y，y，z，z∈ R、 t型∈ [0，T]，对于某些常数M。在假设（A1）-（A3）（（A1）-（A2）如果θ=1）下，第3节中给出的FBSDE的数值算法定义良好。虽然方程式（2.3a）中的Dxg可能在可数的许多不同点上未定义，但它只能由这些点上的e边导数代替。上述条件也可以确保我们的算法总体上具有令人满意的性能，更多细节将在第4节中介绍。

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2022-5-30 20:43:00

然而，上述条件不足以保证一对自适应过程（Y，Z）的存在，这是任何数值算法的基础。我们引入一个额外的假设来确保方程（2.1）的解（Y，Z）的存在唯一性。（A4）存在一个常数M，使得| f（t，x，y，z）|+| g（x）|≤ M（1+| x |ν+| y |+| z |）），x、 y，z∈ R、 t型∈ [0，T]，ν≥.有关BSDE解的存在性和唯一性的进一步结果，请参考文献[16]，并进一步研究扩展此结果。我们想提出的最后一点是，离散化过程与原始过程的收敛速度也取决于函数u、σ、f和g。我们将在第4.1节中讨论这些要求；这些条件不包括在现有假设中。3 SWIFT方法为了计算离散FBSDE（2.3）中出现的期望值，我们将使用基于小波的SWIFT方法。在本节中，我们首先为【14】和【13】中使用的SWIFT公式提供一个替代推导。我们没有在整条实线上使用基于hannon小波的近似空间，而是在有限域上构造一个Shannon小波尺度函数，并用该尺度函数推导出我们的公式。这种方法是有益的，因为在计算斯威夫特公式的小波系数时需要计算积分范围。在标度函数中加入截断范围简化了近似误差的公式。接下来，我们应用SWIFT方法计算方程（2.3）中FBSDE的离散时间近似中的条件期望，并生成递归、向后求解FBSDE的算法。在第3.1节和第3.2节中，我们用有限差分法推导了SWIFT公式，并计算了对FBSDE算法的相关期望值。

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2022-5-30 20:43:03

第3.3节和第3.4节讨论了函数z的近似值p（x）andyp（x）。3.1比例函数我们从一些初步定义和结果开始讨论。对于任何固定实数形式和整数J 6=0，我们定义了内积和范数：<v，w>：=mJZ-mJ公司-2.-mJv（x）w（x）dx，| | v | |：=√< v、 v>。函数v在L中((-2.-mJ，2-如果| | v | |是一个整数，则为mJ]）空格。可以看出，集合Γm，J：=cos公司2n个- 12Jπmx公司, 罪2n个- 12Jπmx公司n=1，2。,对于内积是正交的，并且在L中是稠密的((-2.-mJ，2-mJ]）。利用上述定义，我们一起构造了一个具有局部化基的近似空间，这是Truncated SWIFT近似方法的基础。考虑2J干扰函数ДJ，r:r→ R、 ДJ，R（x）：=JXk=1cos公司2公里- 12Jπmx公司cos公司2公里- 12Jπm级rm+ 罪2公里- 12Jπmx公司罪2公里- 12Jπm级rm=JXk=1cos2公里- 12Jπ（2mx- r）（3.1）=J如果x=2Jml+rm，则l为偶数整数，-J如果x=2Jml+rml，则l为奇数整数，sin（π（2mx-r））2 sin（π2J（2mx-r））否则，其中r=1- J、 2- JJ、这种定义是[9]中不等式（2.13）给出的标度函数的特例，其中作者提出了一种基于正交多项式构造小波的统一方法。文献[9]中广泛研究了ДJ，r的性质，与我们的数值方法相关的性质在下一个定理中列出，并给出了它们的证明。定理3.1。方程（3.1）中定义的标度函数φJ，r满足以下性质：（a）两个标度函数之间的内积由以下方程给出：<φJ，r，φJ，s>=φJ，rsm, r、 s=1- J、 2- JJ、因此，{ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 形成一个正交集。（b）标度函数ДJ，ris位于rm周围。

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2022-5-30 20:43:06

我们的意思是，对于子空间vj：=spancos公司（2k- 1） π2Jmx, 罪（2k- 1） π2Jmxk=1，2，J,我们有ДJ，rДJ，r（2-mr）= minn | |χ| |：χ∈ VJ，χrm= 1o。（c） {ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 是VJ的基础。（d）尺度函数νJ，ris也是一个核多项式，因为对于任何函数v inVj，我们都有<v，ДJ，r>=vrm.证据我们可以通过直接计算和应用集合Γm，J的正交性来证明（a），使得<ΓJ，r，ΓJ，s>=nXk=1cos公司2公里- 12Jπm级rmcos公司2公里- 12Jπm级sm+ 罪2公里- 12Jπm级rm罪2公里- 12Jπm级sm=^1J，rsm=J、如果s=r，sin（（s-r） π）2 sin（s）-r） π2J= 0，否则。接下来，让χ（x）=JXk=1ckcos公司（2k- 1） π2Jmx+ dksin公司（2k- 1） π2Jmx,和χrm= 1表示某些常数ckand dk。通过Cauchy-Schwarzinequality的一个简单应用，我们得到1=χrm=JXk=1ckcos公司（2k- 1） π2Jr+ dksin公司（2k- 1） π2Jr!≤JXk=1（ck+dk）！JXk=1cos公司（2k- 1） π2Jr+罪（2k- 1） π2Jr!!= J | |χ| |。最后一个等式来自集合Γm，Jand的正交性，因为ck和dk是任意的，| |χ||≥Jfor anyχ∈ VJ，因此χrm= 1、另一方面，如ДJ，rrm=JXk=1cos公司（2k- 1） π2Jmrm+罪（2k- 1） π2Jmrm!= J、我们知道这一点ДJ，rДJ，r（2-mr）=< ДJ，r，ДJ，r>J=J，这得出了（b）的证明。语句（c）为真，因为{ДJ，r | r=1- J、 2- JJ} 具有与VJ的生成集相同的元素数；它的元素是正交的，因此相互独立。第（d）部分来自第（a）和（c）部分。对于任何v∈ VJ，v（·）=PJs=1-根据（c）和（a）部分，我们得到了<v，ДJ，r>=JXs=1-JVs<ДJ，s，ДJ，r>=JXs=1-合资企业ДJ，srm= vrm.空间VJand和s标度函数{ДJ，r}r=1-JJare分别是我们的近似空间和我们的基函数。

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2022-5-30 20:43:09

因此，对于L中的任何函数v((-2.-mJ，2-mJ]）sp ace，其在VJ上的投影，表示为HVJv，可以用JPJR=1的形式书写-J<HVJv，~nJ，r>~nJ，r=JPJr=1-J<v，ДJ，r>ДJ，r.3.2快速计算公式和系数假设我们希望近似一个有限积分rrv（）q（）d，其中v在L范围内((-2.-mJ，2-mJ]），我们有RRQ（）d<∞. 我们将用HVJv代替v来解决这个问题。这给出了以下近似值：ZRv（）q（）d≈ZRq（）JJXr=1-J<v，ДJ，r>ДJ，r（）d=ZRq（）JJXr=1-JmJZ公司-mJ公司-2.-mJv公司()JXk=1cos（Ck（2m - r））dJXk=1cos（Ck（2m- r））d=JXr=1-JZRq（）MJXK=1cos（Ck（2m- r））dZ-mJ公司-2.-mJv公司()mJJXk=1个COS（Ck（2米 - r））d,这是【14】中提出的SWIFT公式，其中Ck：=2k- 12Jπ。在上面的推导中，我们只列出了函数v和q对伪变量的依赖关系。实际上，v和q将依赖于其他变量，例如时间。在本文的其余部分，我们将在符号中添加额外的依赖项，而无需另行通知，只要有必要进行表示。备注3.2。而近似的精度取决于函数v和q的其他性质，应在本文的其余部分进行研究，v∈ L((-2.-mJ，2-mJ]）和q可积是确定上述近似值所需的唯一条件。备注3.3。我们只确定了现场的近似值(-2.-mJ，2-以零为中心。对于任何函数v，使得rba（v（））d<∞ 对于有限的范围（a，b），我们需要执行变量′=的更改-a+b，用于′∈ （a）-a+b，b-a+b]，设v′（′）=v（′+a+b）=v（）。然后，我们可以相应地选取J和m，并对v′进行逼近。

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2022-5-30 20:43:14

通过稍微滥用旋转，我们假设我们隐式地执行了这一繁琐的步骤，并将SWIFT公式应用于任何有限的范围【a，b】。在本文中，我们将采用[13]中提出的SWIFT公式的快速变体。代替用HVJv代替v，我们近似v byv（x）≈JJXr=1-合资企业rm^1J，r（x）。这背后的原因留给了错误部分，但这给出了Exp[v（tp+1，X）的近似值tp+1）]，我们在FBSDE的离散时间近似中看到，Exp[v（tp+1，Xtp+1）]≈Exp“JJXr=1-合资企业tp+1，rm^1J，r（Xtp+1）#=JJXr=1-合资企业tp+1，rmExp[ДJ，r（Xtp+1）]。期望值Exp[ДJ，r（Xtp+1）]可通过exp[ДJ，r（X）计算tp+1）]=Exp“JXk=1cosmCkX公司tp+1- Ckr公司#= R（JXk=1Exp（x+u（tp，x））t+σ（tp，x）ωp+1））exp(-iCkr）]）=R（JXk=1exp（i2mCkx）Φ（tp，x，2mCk）exp(-（3.2），其中复数的实部表示为R{}和Φ是x的特征函数tp+1- 十、tp，即Φ（τ，，) := 经验值iu（τ，）t型-σ（τ，）t型.【13】的作者演示了如何计算向量（Exp【ДJ，r（Xtp+1）]）r=（1-JJ）使用快速傅立叶变换（FFT）算法。我们的算法中由方程（3.2）导出的计算复杂度为O（J log（J））。Exp[v（X）表中的期望值tp+1）ωp+1]也出现在FBSDE的离散时间近似中，它们可以通过以下公式计算：Exp[v（tp+1，Xtp+1）ωp+1]≈Exp“JJXr=1-合资企业tp+1，rm^1J，r（Xtp+1）ωp+1#=JJXr=1-合资企业tp+1，rmExp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1），Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]由以下公式给出：Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]=σ（tp，x）tExp[DxаJ，r（Xtp+1）]=R（σ（tp，x）tJXk=1mCkExp[经验（μ2mCk）（x+u（tp，x））t+σ（tp，x）ωp+1））exp(-iCkr）]）=R（σ（tp，x）tJXk=1mCkexp（i2mCkx）Φ（tp，x，2mCk）exp(-iCkr）），（3.3）其中，第一个等号来自“按部分积分”参数，我们还注意到dxДJ，r（x）=-PJk=1mCksin（2mCkx- Ckr）。

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2022-5-30 20:43:17

同样，我们可以使用FFT来计算这些期望值。在接下来的两节中，我们将结合SWIFT公式的快速变量和方程式（2.3）中FBSDE的离散时间近似值。3.3函数z的快速近似p（x）有三种不同的期望，Exp[Ztp+1]，经验值[Yp+1ωtp+1]和Exp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]，需要在方程（2.3b）中进行近似。应用quick-SWIFT公式，我们得到：Exp[Ztp+1]≈JJXr=1-Jz公司p+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；Exp[是tp+1ωp+1]≈JJXr=1-Jy公司p+1rmR（σ（tp，x）tJXk=1mCkei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；Exp[f（tp+1，Xtp+1）ωp+1]≈JJXr=1-Jf公司tp+1，rm，yp+1rm, zp+1rm·R（σ（tp，x）tJXk=1mCkei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）。我们用一个SWIFT型f公式表示FBSDE的近似值，该公式结合了点（tp，x）处的w和E离散化（^yp（x），^zp（x）），然后是^zpsatis定义了以下关系：^zp（x）=R（JJXk=1ei2mCkx“Φ（tp，x，2mCk）JXr=1-J-1.- θθ^zp+1rme-iCkr公司#)+R（iJσ（tp，x）JXk=1ei2mCkxmCkΦ（tp，x，2mCk）·“JXr=1-Jθ^yp+1rm+（1）- θ）tθftp+1，rm，^yp+1rm, ^zp+1rme-iCkr公司#),（3.4）对于p=0，1，P- 1.3.4函数y的快速近似Y的p（x）方程（2.3c）如果θ>0，则tp包含显式部分和隐式部分。显式部分由：h（tp，x）：=Exp[Y]表示tp+1]+t（1- θ） Exp[f（tp+1，Xtp+1）]。

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2022-5-30 20:43:20

（3.5）函数h是两个期望的线性组合，Exp[Ytp+1]和Exp[f（tp+1，Xtp+1）]，可通过以下快速SWIFT公式进行近似计算：Exp[Ytp+1]≈JJXr=1-Jy公司p+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；（3.6a）膨胀[f（tp+1，Xtp+1）]≈JJXr=1-Jf公司tp+1，rm，yp+1rm, zp+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）。（3.6b）因此，我们得到了h的近似值：^h（tp，x）：=Exp[^yp+1（Xtp+1）]+t（1- θ） Exp[f（tp+1，Xtp+1，^yp+1（Xtp+1），^zp+1（Xtp+1））]=R（JJXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）·JXr=1-Jh^yp+1rm+ t（1- θ） f级tp+1，rm，^yp+1rm, ^zp+1rmie-iCkr），（3.7）和函数^yP由：^y隐含定义p（x）=tθf（tp，x，^yp（x），^zp（x））+^h（tp，x）。（3.8）每当θ6=0时，执行Picard迭代I次以恢复^yp（x），这与[10]和[18]中使用的程序相同。迭代的初始猜测定义为经验的近似值tp+1]如评估（3.6a）所示。第4.3节将讨论收敛迭代和引入的额外误差的条件。生成近似值（^y）的总体算法（x），^z（x））因为（Y，Z）已在算法1.4错误和计算复杂性中总结。在本节中，我们将讨论使用aSWIFT-ty-pe方法求解FBSDE时错误的主要组成部分。它们是FBSDE的离散化误差、S WIFT公式的近似误差和Picard迭代引入的误差。我们还将讨论SWIFT方法的计算复杂性。

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2022-5-30 20:43:24

为了符号的简单性，我们将使用M来表示一个通用常量，其中的值和依赖关系可能会随着行的变化而变化。beginfor s=1- J至J do^yP（2-ms）=g（2-ms），^zP（2-ms）=σDxg（2-ms）和^fP（2-ms）=f（T，2-ms，^yP（2-ms），^zP（2-ms））。endCompute（E-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）ωP]）r，k=1-JJwith（3.2）和（3.3）。对于p=p-1对1文件计算函数（^zp（2-ms））s=1-JJwith（3.4）。计算函数（^yp（2-ms））s=1-JJwith（3.8）和Picard迭代（如有必要）。计算函数（f（tp，2-ms，^yp（2-ms），^zp（2-ms）））s=1-JJ、计算（E-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）ωp]）r，k=1-J如果（X）的分布tp- 十、tp-1）与时间相关。endCompute^z（x）和^y（x）。endAlgorithm 1：快速SWIFT方法。4.1 FBSDE的离散化误差由于随机过程的离散时间近似而产生的误差取决于参数θ和θ、漂移u、波动率σ、驱动函数f和终端条件g。很难为所有FBSDE提供一个统一的结果，我们的方法可以应用于此。然而，在某些特定的假设下，我们可以推导出由于时间离散化引起的全局误差的误差界。采用以下错误符号：εyp（Xp）：=yp（Xtp）- yp（Xtp），εzp：=zp（Xtp）- zp（Xtp），εfp（Xtp）：=f（tp，Xtp）- f（tp，Xtp），离散化err或的结果之一在以下定理中。定理4.1（[18]，定理1]）。假设正演过程具有常数系数u和σ，而离散化方案具有θ=θ=。

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2022-5-30 20:43:27

IfExP-1[|εzP |]~ O((t）），经验值-1[|εyP |]~ O((t）），然后是exh |εyp |+√t |εzp | i≤ M级(t），对于1≤ p≤ P、其中，常数M取决于数字T、u和σ以及函数g和f。对于一般漂移和扩散系数，对于正向过程X的不规则离散化，我们可能只有一阶弱收敛，这可能成为我们算法的主要误差。关于定理4.1和其他收敛结果的证明，读者可参考文献[18]及其参考文献。4.2 SWIFT公式的误差在本小节中，我们将讨论SWIFT类型公式的数值近似误差。为了使我们的公式适用于一步近似和递归情况，我们采用以下设置。考虑期望值E[v（Xt型+t） | Xt=x]对于定义在R和假设e上的函数v，v是连续的，且其所有左侧和右侧导数都定义得很好，我们将我们的期望近似值定义为^e[v（xt型+t） | Xt=x]：=JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]，（4.1），其中{ρv（2-mr）}r=1-JJis是与函数v相关的近似向量，有待定义。对于任意函数v:R→ R和给定范围(-2.-mJ，2-mJ]，我们将v与下面定义的交替扩展相关联。定义4.2。

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kedemingshi

2022-5-30 20:43:32

函数v的交替扩展，用▄v表示，是定义在r上的函数，它满足：（a）▄v（x）=v（x）x个∈ (-2.-mJ，2-mJ]；（b） v（x+21-mJ）=-v（x）x个∈ R、近似值和真值之间的差异由[v（X）给出t型+t） | Xt=x]-^E[v（Xt型+t） | Xt=x]=E[v（xt型+t） | Xt=x]- E【】v（Xt型+t） | Xt=x]+E[v（xt型+t） | Xt=x]- E[HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+E“JJXr=1-J<HVJv，ДJ，r>ДJ，r（Xt型+t）十、t=x#-JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]=E[v（xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]+E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- ρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]（4.2）=E[v（xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]+E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]+JJXr=1-Jvrm- ρvrmE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]。（4.3）我们通过伸缩和利用标度函数的性质推导出上述公式。通过在方程（4.3）两侧取绝对值，我们得到近似误差的一个简单界限：E[v（Xt型+t） | Xt=x]-^E[v（Xt型+t） | Xt=x]≤ |E[v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|+E[| | v（xt型+t） | 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x）+E[|v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | | Xt=x]+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrm|E[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]|+JJXr=1-Jvrm- ρvrm|E[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]|。SWIFT型方法的误差可分为四部分（方程式（4.2））或五部分（不等式（4.3）），并将逐一讨论。请注意，前三项不等式（4.2）和（4.3）是相同的。第一个误差项与概率测度和函数V的尾部行为有关。它是有限的，否则最初的期望将是有限的。此外，当使用更广泛的计算域（computationaldomain）时，它的值应该减少（从启发式的角度来说，而不是严格的数学意义上）。

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2022-5-30 20:43:35

假设v是一致的，ly以一个数M为界，该项以M·P（X）为界t型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x）。类似地，第二项与尾部概率有关。由于v的连续性和∧v的周期性，∧v由某个数rm′一致有界，第二个误差项由M′·P（X）约束t型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x）。第三部分是关于VJ上的投影误差。假设v是连续的，且v的所有左右侧导数都存在，~v=limJ→∞HVJv，a.e。。这可以通过采用经典的Dirichlet核参数来说明。应用支配收敛定理，E【~v（Xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]=∞Xk=J+1<v，cos（2mCj·）>E[cos（2mCjXt型+t） | Xt=x]+∞Xk=J+1<v，sin（2mCj·）>E[sin（2mCjXt型+t） | Xt=x]。请注意，在本部分中，我们只需要▄v=limJ→∞HVJv，a.e.，这样我们就可以将对v的要求从连续放宽到分段连续。使用分部积分参数，如果正向过程具有平滑密度，则该误差相对于Jbut呈指数收敛，并随着计算范围的增大而增大。备注4.3。在f act中，SWIFT公式中的投影误差可以在交替条件下进行控制。假设X的概率密度函数qt型+t | Xt=x，在L（R）中，然后，| E[v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） | Xt=x]- E【】v（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|=| E[| v（xt型+t）- HVJv（Xt型+t） 1{Xt型+t型∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]-E[HVJv（Xt型+t） 1{Xt型+t型/∈(-2.-mJ，2-mJ]}| Xt=x]|≤||v- HVJv公司||ZRq（| x）d+ MP（Xt型+t型/∈ (-2.-mJ，2-mJ]| Xt=x），以HVJv为基础。

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2022-5-30 20:43:38

虽然我们在本文中不使用这种替代证明，但这意味着SWIFT公式可以在更一般的环境中使用，并且也适用于其他应用程序。在SWIFT公式的常见变体中，我们设置ρv（2-mr）=<v，ДJ，r>，因此方程（4.2）的第四项定义为零，应用SWIFT公式的误差仅包含第一项。然而，如果在实践中不是不可能的话，<v，ДJ，r>的计算是困难和耗时的，尤其是在递归情况下。因此，我们提出ρv（2-mr）=^v（2-mr），原始函数v的近似值。虽然它会引入额外的误差，但我们将证明这种误差是可以控制的，并且计算更加简单。对于方程（4.3）第四项中的和，我们需要考虑两种情况。当r 6=J时，HVJv的点W向收敛保证HVJv公司rm- vrm→ 因此，当J足够大时，这些项是有界的。当r=J时，v很可能在2处是连续的-MJ和上述论点不成立。然而，我们注意到该误差项也是HVJv（2）的加权和-mr）- 五（2-mr），重量由je[ДJ，r（X）给出t型+t） | Xt=x]。假设P（Xt型+t6∈ （λ-b、 λ+b））<和JДJ，J（x）<，当x∈ （λ-b、 λ+b），对于一些正数sb，和，以及一些数λ，thenJE[ДJ，r（Xt型+t） | Xt=x]<P（xt型+t6∈ （λ- b、 λ+b））+P（Xt型+t型∈ （λ- b、 λ+b））<+。当X的分布以点λ为中心，这对于扩散过程是正确的，其扩散系数很小，计算范围很大，因此λ远离边界，小波阶很高。如果满足这些条件，则术语的权重HVJv公司Jm公司- vJm公司很小，权重项可以有界。

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2022-5-30 20:43:41

通过结合上述两个参数，我们可以在计算范围非常大且小波阶非常高的情况下限制此错误项。在一步情况下，我们选择ρv=v。方程（4.2）以及上述分析涵盖了所有近似误差。在向后递归的情况下，我们可以使用方程（4.3）来研究每个时间步的误差传播。例如，在我们的BSDE算法中，我们让v=yp+1或zp+1和ρv=^yp+1或^zp+1。在这些情况下，方程（4.3）的第五项将我们的近似值与下一时间步的真实值进行比较。通过将此错误分析从时间步长应用到tp，错误以递归方式累积-第4.4节将进一步讨论错误或传播。近似E[v（X）的误差t型+t）ωp+1 | Xt=x]带^E[v（xt型+t）（ωt+t型- ωt）| Xt=x]：=JJXr=1-JρvrmE[ДJ，r（Xt型+t）（ωt+- ωt）| Xt=x]，（4.4）可以用类似的方法进行研究。备注4.4。从推导中可以清楚地看出，函数v与左右导数连续的假设对于应用SWIFT公式的快速版本至关重要。在我们的FBSDE算法中，f函数y和z在中间时间点，p=1，P- 1、满足上述条件。这可以从方程（3.4）和（3.8）中观察到。然而，由于Dxg可能包含不连续性，我们最终可能仍会面临iss ue。我们提出了一种混合算法来处理这种情况。

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可人4

2022-5-30 20:43:45

在结束时间，使用通常的SWIFT公式，然后算法在所有后续时间步骤中切换到快速版本，请参见算法2。beginfor s=1- J至J do^yP（2-ms）=<g，ДJ，s>，^zP（2-ms）=<σDxg，ДJ，s>和^fP（2-ms）=<f（T，·，g（·），σDx（·）），ДJ，r>。endCompute（E-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（XtP）ωP]）r，k=1-JJwith（3.2）和（3.3）。对于p=p-1对1文件计算函数（^zp（2-ms））s=1-JJwith（3.4）。计算函数（^yp（2-ms））s=1-JJwith（3.8）和Picard迭代（如有必要）。计算函数（f（tp，2-ms，^yp（2-ms），^zp（2-ms）））s=1-JJ、计算（E-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）]）r，k=1-JJand（E）-物料需求计划-1[ДJ，k（Xtp）ωp]）r，k=1-J如果（X）的分布tp- 十、tp-1）与时间相关。endCompute^z（x）和^y（x）。endAlgorithm 2：混合快速SWIFT方法。4.3 Picard迭代错误当θ6=0时，必须使用以下等式执行Picard迭代：y=tθf（tp，x，y，^zp（x））+^h（tp，x），以找到固定点y。众所周知，如果函数tθf是y的收缩映射，即|tθf（tp，x，y，^zp（x））- tθf（tp，x，y，^zp（x））|≤ ξ| y- y |，带ξ∈ [0，1）对于所有x∈ (-2.-mJ，2-mJ]。当驱动程序功能为y中的IPSCHITZ且t足够小。我们采用以下符号：^y,IP（x）：=g（x）；^y,0p（x）：=JJXr=1-J^y,Ip+1rmR（JXk=1ei2mCkxΦ（tp，x，2mCk）e-iCkr）；^y,i+1p（x）：=tθf（tp，x，^y,ip（x），^zp（x））+^h（tp，x），对于p=0，P-1且i=0，我-1、很明显，^y,当θ=0和I时，Ip（x）=^h（tp，x）≥ 1，这是显式方案。上述符号与第3.4节中的符号一致，但我们应替换^yp+1带^y,公式（3.5）中的Ip+1。

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可人4

2022-5-30 20:43:48

此外，对于任何给定的x，我们通过定义知道yp（x）是满意度=tθf（tp，x，y，zp（x））+h（tp，x）。注意，符号^ypwas由方程式（3.8）定义。利用上述符号，并给出f是Lipschitz关于Z的额外信息，我们可以导出函数y的一步近似误差:|^y,Ip（x）- yp（x）|≤ |^y,Ip（x）- ^yp（x）|+| yp（x）- yp（x）|≤εP ic ardp+tθ| f（tp，x，^yp（x），^zp（x））- f（tp，x，yp（x），zp（x））|+| h（tp，x）- h（tp，x）|≤εP ic ardp+ξ|^yp（x）- yp（x）|+ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）-h（tp，x）|≤（1+ξ）εP ic ardp+ξ| y,Ip（x）- yp（x）|+ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）- h（tp，x）|。术语εP ic ardp：=|^y,Ip（x）- ^yp（x）|是应用Picard迭代的错误，它取决于t和f相对于y的Lipschitz系数，如本节前面所述。constantM与立定假设（A3）中f的Lipschitz系数有关，ξ：=Mtθ≤ 最后一个不等式是由| y一词的伸缩参数引起的p（x）-yp（x）|。重新排列这些项可以得到以下误差范围：| y,Ip（x）- yp（x）|≤1+ξ1- ξεP ic ardp+1- ξ（ξ|^zp（x）- zp（x）|+| h（tp，x）- h（tp，x）|）。（4.5）4.4 FBSDE递归模式的误差对于FBSDE系统、时间分割和离散化模式，我们可以应用第4.2节的结果，推导出相关预期的局部近似误差。当我们用函数y逼近期望值时p+1和zp+1在BSDE格式中，近似向量由（ρy）给出p+1={y,Ip+1（2-mr）}r=1-JJρzp+1={^zp+1（2-mr）}r=1-JJ、对于p=0，P- 2、在终端时间tP=T时，它们定义为（ρyP={YT | XT=2-mr}r=1-JJρzP={ZT | XT=2-mr}r=1-JJ、或（ρyP={<YT、 ^1J，r>}r=1-JJρzP={<ZT、 ^1J，r>}r=1-JJ、取决于我们使用的方案。

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2022-5-30 20:43:51

当接近涉及f（tp+1，x，y）的期望值时p+1（x），zp+1（x）），近似向量ρfp+1={f（tp+1，2-mr，ρyp+1（2-mr），ρzp+1（2-mr）}r=1-JJ、对于p=0。P-从方程（4.3）中，我们知道SWIFT公式的近似误差由四部分组成。在此之前，任何函数v的SWIFT公式在点（t，x）处的局部近似误差，对于两种类型的期望，定义为ζm，Jv（tp，x）或ζm，J，ωv（tp，x），由ζm，Jv（tp，x）：=Exp[v（xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}]- Exp[￠v（Xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}]+Exp[~v（X）tp+1）- HVJv（Xtp+1）]+JJXr=1-JHVJv公司rm-vrmExp[~nJ，r（X）tp+1）]；ζm，J，ωv（tp，x）：=Exp[v（xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}ωp+1]- Exp[￠v（Xtp+1）1{Xtp+1/∈(-2.-mJ，2-mJ]}ωp+1）+Exp[（￠v（Xtp+1）- HVJv（Xtp+1））ωp+1）+JJXr=1-JHVJv公司rm- vrmExp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]。应用上述所有结果和现有假设，我们可以推导出SWIFT BSDE方案的重复误差公式：M | zp（x）- ^zp（x）|≤|ζm，Jzp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）|+|ζm，J，ωfp+1（tp，x）|+JJXr=1-Jzp+1rm- ρzp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+JJXr=1-Jyp+1rm-ρyp+1rm|Exp[~nJ，r（X）tp+1）ωp+1]|、（4.6）和m | yp（x）- ^y,Ip（x）|≤M+|ζM，Jzp+！（tp，x）|+|ζm，J，ωyp+1（tp，x）+ζm，J，ωfp+1（tp，x）+ζm，Jyp+1（tp，x）+ζm，Jfp+1（tp，x）+JJXr=1-Jzp+1rm- ^zp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|）+JJXr=1-Jyp+1rm- ^yp+1rm（| Exp[ДJ，r（Xtp+1）]|+Exp[ДJ，r（Xtp+1）ωp+1]|），（4.7），常数M，和md取决于基础的FBSDE、离散化方案和Picard迭代错误，但不取决于M和J。其证明留待附录。4.4.1误差范围和参数选择可通过重复应用方程式（4.6）和（4.7）找到将SWIFT方案应用于FBSDE系统时（0，x）处的误差范围。

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2022-5-30 20:43:54

该边界由网格{（0，x）}中每个点的局部近似误差的加权和给出∪ {（tp，2-mr）| t=1，P和r=1- JJ} ，其中（0，x）的权重为1，权重为Xu∈ДpJppYl=1（| Eul-1l[英寸J，ul（Xtl）]|+| Eul-1l[英寸J，ul（Xtl）ωl+1]|），对于{（tp，2），（4.8）-mr）| t=1，P和r=1- JJ} ，其中νpis是包含长度p+1向量u=（u，u，…，up）的集合，其中第一个元素u=x，其他元素等于2-mr forr=1- JJ、附录中提供了一个推导此类错误界限的简单示例。然而，由于该误差界使用agrid中多个点的局部近似误差，因此实际计算误差界的成本将很高。不同网格点的权重和局部误差表现不同。当| r |很小时，局部误差在数值试验中以指数形式收敛，系数为2-mJ和增加J，但当| r |接近J时，它可能无法收敛到零。另一方面，当| r |接近J时，方程式（4.8）中的权重很快趋于零，并减少了误差。我们没有一个简单的公式来描述这种平衡。最后但并非最不重要的一点是，参数P（时间点的数量）影响误差范围内的项数总数、局部误差值和方程（4.8）中的权重值。从这个误差范围中量化P对总体误差的影响是非常重要的。在实践中，我们建议使用三步方法来选择方案的参数，并全面了解可能存在的错误。首先，根据（X，Y，Z）的离散误差选取参数P。这可以通过第4.1节中的错误界限或文献中的其他现有错误界限来实现。

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kedemingshi

2022-5-30 20:43:58

原因是m和J对离散误差没有影响，而P影响近似误差的各个部分。接下来，我们应该根据误差公式（4.3）选择参数J和m。感兴趣的是方程中的第三项，它随收缩范围增大，但随小波阶J减小。因此，我们应首先确定截断范围2-mJ为常量值a，在ou r方案中，超出计算范围的尾部概率低于固定公差水平。这可以通过考虑XT的累积量来实现，参见[8]。最后，我们选取一个J值，使总误差相应地收敛于d调整，从而使截断范围保持不变。这种方法对于应用程序非常有用（与错误界限本身相比）。4.5计算复杂度在每个时间步tp，必须执行以下操作：o计算Exp[ДJ，k（Xtp+1）]和Exp[ДJ，k（Xtp+1）ωp+1]通过FFT算法，在O（J log（J））运算中。如果X的特征函数不取决于时间点；o^z的计算p（x），^h（tp，x）和^y,0p（x）通过矩阵向量乘法，在O（J）运算中；o^y的计算,x网格上的Iby-I-Picard迭代，在O（IJ）操作中f（tp，x，^y）的评估,Ip（x），^zO（J）运算中的p（x））。算法中最耗时的部分是矩阵向量乘法。所提出的算法对于时间步长P具有线性计算复杂度，并且在终端时间的起始评估为O（J）阶。

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2022-5-30 20:44:01

总的来说，SWIFT类型方法的复杂性为O（J+P[J+IJ+J log（J）+J]）。-2.-mJα2α+2-mJ 2β- 2.-mJ 2-mJβ图1：近似范围(-2.-mJ，2-mJ]和精度范围[α，β]。5抗反射边界回忆方程（4.3），E[v（X）的近似值t型+t） | X当满足两个条件时，SWIFT公式得出的t=x]可能存在显著的局部误差。第一个条件是交替延伸v在范围内偏离v[-η- 2.-mJ，-2.-mJ]或[2-mJ，η+2-对于某些数η>0，第二个条件是X的概率t型+t | X上述范围内的t=x很大。而第一个条件几乎总是正确的，因为X是一个扩散过程，只有当起点x接近边界时，第二个条件才成立- 2.-mJ或2-乔丹。在此之前，可能会有间隔(-2.-mJ，α）和（β，2-其中SWIFT公式不准确。我们建议使用反反射边界技术来处理此问题。抗反射边界条件是图像去模糊方法中常用的外推技术。关于其在图像去模糊中的应用，读者可以参考文献[7]及其参考文献。在实践中，假设我们将函数θ（x）近似为(-2.-mJ，2-我们知道近似值对于x是精确的∈ [α，β]，即|θ（x）-对于一些小的正实数。给定数字α>-2.-mJ和β<2-mJ，因此在边界附近有一些不精确性，但是（α，2α+2-mJ），（2β- 2.-mJ，β） [α，β]（见图1）。我们将推断x的θ（x）近似值∈ (-2.-mJ，α）和x∈ （β，2-mJ]通过应用具有精确近似的抗反射条件。

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2022-5-30 20:44:05

对于x∈ (-2.-mJ，2-mJ]，我们定义^θa（x）：=2^θ（α）-^θ（2α- x）对于x∈ (-2.-mJ，α）；^θa（x）：=^θ（x）代表x∈ [α，β]；^θa（x）：=2^θ（β）-^θ（2β- x）对于x∈ （β，2-mJ），（5.1），并使用^θain代替^θ作为我们的近似值。如果θ在R上是两次连续可微的，那么通过简单应用泰勒定理，我们得到：θ（x）=θ（α）+dθdx（α）（x- α） +dθdx（）（x- α）；θ（2α- x） =θ（α）-dθdx（α）（x- α） +dθdx（）（x- α），其中x∈ （2）-mJ，α），∈ （x，α）和∈ （α，2α-x）。x的近似误差∈ (-2.-mJ，α）然后被|θ（x）束缚-^θa（x）|≤|θ（x）- 2θ（α）+θ（2α- x） |+2 |θ（α）-^θ（α）|+|θ（2α- x）-^θ（2α- x）|≤(-2.-mJ公司-α） sup∈(-2.-mJ，2α+2-mJ）dθdx（）+ 3。可以为集合（2β）推导出类似的公式-2.-mJ，2-mJ）。对于递归方案，可以在每个时间步应用方程（5.1）。备注5.1。SWIFT公式的精确近似范围取决于X的分布t型+t | Xt=x，并且在此之前，它取决于模型。将反反射边界技术应用于SWIFT公式的性能取决于目标函数相对于起点x的平滑度、SWIFT公式在[α，β]范围内的精度以及范围的长度。6个数值实验在MATLAB 9.0.0中进行了一些数值研究。该计算机配备Intel（R）Core（TM）i5-2520M CPU@2.50GHz和7.7 GB RAM。已使用四种不同的离散格式来测试θ的不同选择对数值算法的影响。

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2022-5-30 20:44:08

它们是：方案A：θ=0，θ=1，方案C：θ=1，θ=1，方案B：θ=0.5，θ=1，方案D：θ=0.5，θ=0.5。f函数z当y方案A的pis显式求解，其他sch EME的pis隐式求解有5次Picard迭代。对于每个给定的例子，我们将数值算法与计算域[κ]相关联- L√κ、 κ+L√κ] ，其中累积量κ=x+u（0，x）T，κ=σ（0，x）T，L=10。类似于[18]中的设置。值2-mJ=L√κ是每个示例的常数。J的值被假定为2.6.1示例1该示例已在[18]中研究过，并源于[20]。考虑的FBSDE为dXt=dωt，dYt=-（YtZt- Zt+2.5Yt- sin（t+Xt）cos（t+Xt）- 2 sin（t+Xt））dt+Ztdωt.（6.1）我们取初始和终端条件x=0，YT=sin（Xt+t）。精确解由（Yt，Zt）=（sin（Xt+t），cos（Xt+t））给出。（6.2）终端时间设置为T=1和（Y，Z）=（0，1）。驱动程序函数f取决于时间t和当前状态Xt。快速SWIFT方法的结果如图2a所示，而混合SWIFT方法的结果如图2b所示。我们观察到，快速SWIFT和混合SWIFT方法之间没有显著差异。对于schemesA、B和C，Y（x）和Z（x）的近似误差均为O(t）订单，将错误与O合并((t））用于方案D。备注6.1。本节中一些示例的d河函数并非普遍为Lipschitz函数。然而，请注意，为了使第4.3节中的控制参数有效，对于任何固定的z，驱动函数应该是关于y的Lipschitz。本节中的所有驱动函数都满足这一较弱的条件。

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2022-5-30 20:44:11

当我们设计假设和条件时，我们的目标是清晰的表述，而不是一般的适用性，并且我们的方法可以应用于比我们这里描述的更广泛的BSDE。要更深入地分析Picarditerations在BSDE数值处理中的应用，请参阅[10]。6.2示例2：欧洲看涨期权下一步，我们通过求解anFBSDE计算Black-Scholes模型下看涨期权的价格v（t，ST）。发现的过程满足：dSt=‘uStdt+’σStdωt.（6.3）根据[18]中的推理，我们假设金融市场是完整的，没有交易限制，看涨期权可以完全对冲。然后（v（t，St），’σStDsv（t，St））求解FBSDE，dSt=‘uStdt+’σStdωt，dYt=-(-rYt公司-\'u-r′σZt）dt+Ztdωt，（6.4），终端条件YT=max（ST- K、 0）。驱动函数相对于y和z是连续的和线性的。我们在测试中使用以下参数值：S=100，K=100，r=0.1，(R)u=0.2，(R)σ=0.25，T=0.1。（6.5）精确解Y=3.65997和Z=14.14823由文献[3]中的Black-Scholes公式给出。我们切换到log资产域Xt=log（St）并解决dXt公司=\'u-\'\'σdt+(R)σdωt，dYt=-(-rYt公司-\'u-r′σZt）dt+Ztdωt，（6.6），其中YT=max（exp（XT）- K、 0）。关于快速SWIFT方法的结果，我们参考图3a。我们注意到，随着时间步数的增加，sch-eme D的结果并没有改善。这是因为Z的终值不连续，产生了显著的误差。对于混合快速法，如图3b中的n所示，不连续性产生的误差已被消除。

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