我们将参考历史平均值和协方差结合当前价格得出的马科维茨市场作为历史马科维茨模型。然而，正如上文所述，我们发现历史上的马科维茨模型在实践中表现不佳。解决这个问题的一个诱人的方法是考虑模型的不确定性。历史收益的任何统计度量都会有一些不确定性，这应该纳入优化问题中。预期收益和收益协方差矩阵都很难根据历史数据进行估计。在不确定性条件下有许多优化方法，其中许多方法已应用于该投资问题。例如，在（Jorion，1986）中使用贝叶斯方法，在（Ceria&Stubbs，2006）中使用稳健优化方法，在（Garlappi等人，2006）中使用基于多先验决策模型的方法。对于所有这些方法，必须做出一些额外的建模决策，但在每种情况下，都有一个基于历史马科维茨模型数据的自然选择。让我们举一个具体的例子。在稳健优化方法中，需要为资产支付选择一组可能的概率分布P。可以选择在一定的Hellinger距离内的高斯分布集P，d历史马科维茨模型中产生的标准高斯测度（参见（Ay，Jost，V^an L^e和Schwachh¨ofer，2015），了解Hellinger度量的定义）。我们可以将海林格距离视为两种分布统计差异的度量。让我们为概率分布定义的协方差形式写rP∈ 与P相关的预期付款的P和PP。

一个典型的鲁棒优化问题是findargminv，c（v）=c最大P∈P（rP（v，v）- λpP（v））（11） 对于风险规避参数λ和投资组合成本C的选定值。尽管这种设置很复杂，但我们看到，在马科维茨同构下，问题是不变性的。关键的一步是要注意P是不变量定义的。要了解这一点，请首先回顾，Hellinger度量是在有限维实向量空间的度量空间上不变定义的，即使我们忽略了r、c和p的额外结构。高斯度量是不变定义的。高斯度量集可以仅使用参考度量ur不变量定义。因此，P是不变量定义的，因此（11）定义的集也是不变量定义的。因此，如果这个问题确实有唯一的解决方案，那么该解决方案必须是由两个共同基金定理确定的投资组合的加权和。我们不需要限制自己使用Hellinger度量来查找P等不变定义集。在分布空间上定义了许多度量和分歧，如Lpmetrics、Wasserstein度量和Kullback–Leibler分歧（必要的定义再次参见（Ay等人，2015）。所有这些都是仅使用结构ur不变地定义的。因此，我们可以使用这些定义P的方法中的任何一种重复我们的分析，我们将获得相同的结果。类似地，正如我们的理论所预测的（Garlappi et al.，2006）第2.2.3节中描述的不变多先验问题和（Garlappi et al.，2006）第3.3节中描述的不变贝叶斯问题也确定了来自两个共同基金定理的投资组合的线性组合。这些例子说明了定理3.1所隐含的一般原则，即历史马科维茨模型的观察问题不能通过暗示使用更高级的优化概念来解决。

还需要额外的数据。事实上，（Black&Litterman，1992），（Garlappi et al.，2006），（Jorion，1986）和（Ceria&Stubbs，2006）的方法都提出了可以纳入优化问题中的额外数据，以确定备选投资组合。3.3最优hedging我们给出了定理3.1的第二个财务应用。假设一个基金经理已经根据两个共同基金定理创建了两个投资基金，目标是目前没有负债的投资者。然而，拥有现有负债的投资者将拥有不同的TRISK偏好，因为他们可能能够利用市场中的对冲机会。为了吸引这些投资者，基金经理希望再创建一只可用于对冲的基金。由于基金管理的间接费用，基金经理只希望创建一个额外的基金。他们问对冲基金的最佳选择是什么？代替潜在投资者现有负债的任何数据，他们认为，潜在投资者之前一直在股市投资，以增加其负债，并根据自己的估计，使用最优投资策略，即支付函数p。因此，他们推测，潜在投资者的负债通常分布在定理2.2中的一个风险最小化投资组合周围，其中双线性形式r给出的协方差。正如我们在前一个示例中看到的，现在可以使用许多最优性概念来定义最佳hedgingfund。然而，正如之前一样，最优对冲基金的任何合理定义在Markowitz态射下都是不变的。在不丧失一般性的情况下，基金管理人还可以确保基金独立于其现有基金，并进行规模调整，以便购买1个基金单位的成本为1。

所有满足这两个性质的基金在Markowitz态射下是同构的。因此，无论基金经理决定采用什么样的最优概念，如果它是马科维茨不变的，那么它将无法确定任何最优对冲基金。因此，如果不提供更多数据，就不可能识别出这种不理想的对冲基金。致谢本文是在与蒂姆·佩纳宁和马修·格洛弗的讨论中提出的。它还得益于达米亚诺·布里戈·安杜穆特·塞廷的评论和建议，以及与詹姆斯·牛顿和阿什温·艾扬格的讨论。与投资组合优化矩阵公式的关系为了方便读者，我们详细描述了如何在马科维茨理论的标准陈述和我们的描述之间进行转换。我们将使用黑体表示RN中的向量，并使用标准字体权重表示抽象向量。与向量v关联∈ 我们有它的具体实现∈ 注册护士。第i个组成部分viof v表示投资组合v中持有的资产i的数量。我们将分别使用黑体p和c表示通过要求p v=p（v）和c v=c（v）定义的行向量。同样，我们为通过要求r（u，v）=u>r v定义的对称矩阵写黑体r。设∧为对角线矩阵，其中（i，i）-第项由∧i，i=ci给出，其中ci是c的第i个分量。我们定义了非零成本组合的组合权重w（v）=c v∧-1伏。然后，w（v）的分量之和始终等于1。我们可以将此条件写成1w=1，其中粗体1是由n个1组成的行向量。从（7）中，可根据w和满意度（v）=（p∧）计算预期回报率ER- 1） w=u>w（12），其中u=（p∧）-1） >是向量，其第i个分量是资产i的预期收益。

相对风险RR类似满足r（v）=pwT∧>r∧w=√wT∑w（13），其中∑=∧>r∧是收益的协方差矩阵。给定非零初始成本C，我们可以使用映射v→ 将经典的Markowitz优化问题转化为Minimizew∈Rnw>∑wsubject touTw=Rand 1w=1和问题最小化∈Vr（v，v）服从p（v）=（R+1）和c（v）=c，我们在定理2.2中解决了这一问题。在无风险资产的经典Markowitz问题中，我们假设∑，因此r是正定义的。这是定理1.9中k=n的情况（ii）。为了说明我们的方法与拉格朗日乘数法的经典方法相比如何，我们现在给出了一个计算风险最小化投资组合集和遵循几何方法的同构类的数值示例。这可以与（Zivot，2013）进行比较，Zivot使用拉格朗日乘数法进行了类似的数值计算。下面（Zivot，2013），我们现在假设为每项资产的预期收益向量和相关协方差矩阵提供数值，如下所示：u=0.04270.01150.0285, ∑=0.0100 0.0018 0.00110.0018 0.0109 0.00260.0011 0.0026 0.0199.在（Zivot，2013）中使用的Markowitz问题的经典公式中，成本向量c没有规定。因此，我们可以自由假设资产的价格是按比例调整的，以便一个单位资产的价格等于1。这意味着c=1，因此∧是单位矩阵。

因此，从（12）中，我们必须取p=u>+1，从（13）中，r=∑。我们首先确定对偶c*和p*关于r的c和p的对偶，f*∈ 函数f的V∈ 五、*关于r，由要求tf（v）=r（f）定义*, 五）v、 因此，如果f表示与f相关的行向量，则fv=（f*)>∑v。因此，f的双重满足f*= ∑-1f>。对于我们的具体示例，我们计算C*=83.514869.223736.5906p*=87.637469.313437.7831.我们注意到，根据我们的分类定理，风险最小化投资组合的空间（见定义2.1）由这两个向量跨越。我们还可以确定使风险最小化的投资组合权重，而不考虑回报。它们由W=c给出*抄送*=0.4411090.3656260.193264.这与中使用拉格朗日乘数获得的值相匹配（Zivot，2013）。将Gram-Schmidt过程应用于基{c*, p*, （1，0，0）>}我们得到了r-正交向量=6.069535.03092.65926, e类=7.29732-7.918360.621044, e类=3.636193.03729-6.67348.这完全决定了定理1.9中给出的形式的同构。实际上，人们只会对向量c对应用格拉姆-施密特过程*, p*因为这有助于识别向量EAN和e，进而识别市场的同构类。为了识别同构类，我们需要求解方程SMC*= ep公司*=输入法+通用电气。在这种情况下，我们发现m=0.0727，g=-0.2382，i=1.0286。正如人们所期望的那样，这些值与使用我们自己的图1从（Zivot，2013）的图1.3中的有效边界图中读取的值相匹配。ReferencesAy，N.、Jost，J.、V^an L^e，H.、Schwachh¨ofer，L.（2015）。信息几何和高效统计。概率论及相关领域，162（1-2），327–364。Best，M.J.，&Grauer，R.R.（1991）。关于均值-方差-效率组合对资产均值变化的敏感性：一些分析和计算结果。

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