我们对q的m的行为感兴趣≤ 对于q<0，我们有l（q） <m（q）和交易成本下的最优消费和投资21q0.5 1.5 2 2.5 3-0.2-0.10.10.20.30.40.5n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型解决方案NR和mandl.ξ0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.51.52.53.5（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.5：。案例1AbIi。参数值为=13/4、δ=3/2和R=2/3。对于小ξ，没有解决方案。对于大ξ，我们想要的候选解通过奇点（1，m（1））和q的值*与ξ无关。q0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.32.442.462.482.52.522.542.56n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10.90.951.051.11.151.21.251.3（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.6。案例2AI。参数值为=5/2、δ=1和R=2。与前一种情况一样，对于大ξ，我们想要的候选解通过单角点（1，m（1）），q的值*与ξ无关。当n＞m（q），O（q，n）＞0时。对于qM<r<0，让nr=（nr（q））在域q上求解（2.8）≤ r和letζ（r）=sup{q≤ r：nr（q）<m（q）。可以方便地将∧的定义改写为∧（r）=Zrζ（r）dq | q |（1- q） nr（q）- m（q）nr（q）- l（q） 交易成本22下的最优消费和投资与1AbIIii情况一样，∧随着∧（qM）=0和∧（0）=∞. 设置∑（r）=e∧（r）- 1，∑在[qm，0）上连续且严格递增，且具有定义良好的投资集q*= ∑-1（ξ）和Q*= ζ（q*). 自由边界问题的解由nq给出*on[开]q*, q*].q-3-2.5-2-1.5-1-0.5 00.70.750.80.850.90.95n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型解决方案NR和mandl.ξ0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2.5-2-1.5-1-0.5（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*). 对于<0（情况B），我们为q定义了解决方案nr（q）≤r、 图4.7：。案例1Bii。参数值为=-1，δ=1，R=2/3。

现在<0，我们对m感兴趣，l q上的n<0.4.9。案例1Bi：R<1，<-δq2R1-R、 本案例结合了案例1AaIIi和1Bii的特点。无交易楔位于第四象限，但对于非常小的交易成本，问题是不适定的。见图4.8。不适定和适定d问题之间的往返交易成本由ξ=e∧给出- 其中∧如推论14.4.10所示。案例2B：R>1，<0。在这种情况下l（q） q<0时>m（q），q<0时O（q，n）<0，n<m（q）<l（q） 。我们想要的解决方案在q上减少*< q<q*, 和一个带有Q的解决方案*< qM<q*< 对于每个可能的往返交易成本，都存在0。见图4.9.4.11。边界情况。如果m′（0）=0或等效=0，则q*= q*= qM=0。最好是立即出售风险资产中的任何初始捐赠。此后无需进一步交易。注：在这种情况下，默顿问题（无交易成本）的解决方案也是对风险资产进行零投资，因为持有资产会带来风险，但不会带来回报。因此，现在销售比以后更好。如果R<1且m（1）=0或等效=1-R+δR当问题不适定时。如果m′（1）=0（且m（1）>0）或等效的=δR（且，如果R<1，则<1-R） 然后q*< q*= 1交易成本的任何价值。默顿问题的最佳解决方案是只投资于风险资产，并保持零现金持有。消费来自瑞斯基资产的销售。对于交易成本问题，如果现金财富为零，则被投资方的现金财富为零（并通过出售风险资产为消费融资）。

但是，如果公司拥有少量正现金财富，那么在出售任何风险资产之前，他首先在交易成本23q-9-8-7-6-5-4-3-2-1 0-1-0.50.5n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）下为消费和投资融资。典型解决方案包括l.ξ0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-9-8-7-6-5-4-3-2-1（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.8：。案例1Bi。参数值为=-3，δ=1，R=2/3。对于小交易成本，这个问题是不适定的。q-1-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 01.051.11.151.21.251.31.351.4n（q）n（q）n（q）m（q）和l（q）（a）典型溶液NR和mandl.ξ0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1（b）q*= ∑-1（ξ）和q*= ζ（q*)图4.9：。案例2B。参数值为=-1，δ=1，R=2。由于R>1，我们有n<m<l 在感兴趣的区域。来自现金财富。事实上，如果风险资产的价格出现不利变动，a Genta可能会购买风险资产的单位。如果mM=0（且m′（1）6=0）或等效=δq2R1-R（和δ6=R（1-R） ）问题在于零交易成本，但对于任何正水平的往返交易成本都是适用的。交易成本下的最优消费和投资245。本文的主要定理是定理6。回忆（4.1）中∧的公式，并设置ξ=e∧- 1.（1）假设（a）R>1或（b）R<1且|<δq2R1-Ror（c）R<1，δq2R1-R<<1-R+δRandξ>ξ或（d）R<1，<-δq2R1-Randξ>ξ。那么问题是适定的。（2） 假设（a）R<1且>1-R+δRor（b）R<1，δq2R1-R<<1-R+δRandξ≤ ξ或（c）R<1，<-δq2R1-兰特ξ≤ ξ。那么问题就不适定了。证据由于Choi等人[1]中包含了这一结果的大部分，我们只提供了一个证明的草图。

参数组合子集适定性的证明也可以在inDavis和Norman【4】以及Herczegh和Prokaj【6】中找到。与[1]相比，d的主要创新之处在于我们涵盖了案例≤ 0，我们给出了ξ的显式公式。另一个重要区别是，我们通过值函数和Hamilton-Jacobi-Bellman方程采用经典方法，而Choi等人通过对偶问题和影子价格构建了一个解决方案。我们的论点是，虽然这两种方法是等效的，但最终我们的分析是简单的，因为解决方案的特征是一个简单的二次函数的行为。适定情形：对于列出的导致适定d问题的参数组合（暂时排除ξ=ξ的情况），我们可以构造自由边界问题的正C-解n，然后构造一个函数G和一个候选值函数vc（Xt，Yt，Θt，t）=e-βt（x+yθ）1-R1级-RG（yθx+yθ）。该候选值函数是最优消费/投资问题的值函数V，有待证明。注意，由于n是Cwe，候选值函数VCis在s olvencyregion上。因此，我们可以应用It^o的公式。设置Mt=VC（x，y，θ，t）+Rte-βsCs1-R1级-Rds。然后在任何容许策略下dMt≤ σYtVCy（Xt，Yt，Θt，t）Db和Mt≤ M+^Mt=VC（x，y，θ，0）+^Mt，其中^Mt=RtσYtVydBt。假设R<1。则^M是0处的局部鞅null。还有M≥ 所以局部鞅^M的下界为-因此需要一个辅助材料。

然后E【Mt】≤ 任何可接受策略的需求中兴通讯-βsC1-Rs1- Rds≤ E中兴通讯-βsC1-Rs1- Rds+ EVC（Xt、Yt、Θt、t）= E[公吨]≤ 在交易费用为25且单调收敛的条件下，对于任何可容许的策略，M最优消费和投资Z∞C1类-Rs1- Rds= lim E公司ZtC1-Rs1- Rds≤ M=VC（x，y，θ，0）。因此V≤ VC。为了展示相反的情况，我们需要展示一个可接受的策略，对于该策略，EhR∞e-βsC1-Rs1-Rdsi=VC（x，y，θ，0）。然后V≥ vc，我们完成了。Let（C*, Θ*) 成为候选人的最佳策略，以及相关的财富流程X*. 然后，C*t型=G（P*t）-P*tG′（P*t） 1个- R-1/RβR（X*t+Θ*Yt）和Θ*这是一种单一的控制、当地时间策略，包括出售/购买风险足够大的资产，以保持Ptin在区间内[p*, p*]. 定义M*通过M*t=RtσYsVCy（X*s、 Ys，Θ*s、 s）dBs。然后，由于vc包含一个随时间呈指数衰减的因子，因此可以显示在任何地平线T上，（M*t） 0个≤t型≤这是一个鞅和VC（X*T、 YT，Θ*T、 T）→ 几乎可以肯定为0和inL（有关此结果，请参见[4、7、13]）。然后，从M的鞅性质出发*,VC（x，y，θ，0）=E[VC（x*T、 YT，θT，T）]+中兴通讯-βs（C*s） 1个-R1级- Rds#并让T↑ ∞ 我们得出Vc（x，y，θ，0）=EZ∞（C）*s） 1个-R1级- Rds≤ V（x，y，θ，0）按要求。如果R>1，则局部鞅^M是超马氏ale的论点失败，因为它不在下有界。Howe ver Davis和Norman[4]，另见[7，13]，给出了一个巧妙的论点，基于对一系列扰动效用函数的限制，以表明结果适用于R>1。如果ξ=ξ，则相同的想法也适用，除了我们通过n构造值函数来解决n=n（q），n（q*) = m（q*). 那么n′（1）=m′（1）6=0。请注意，q处仍然光滑*= 1，但没有第二个或第二个平滑函数。因此，G′在p=1时是不连续的，但我们仍然可以将其公式应用于（3.2）。

在这种情况下，yθ轴是无事务区域的边界。一旦代理达到杠杆状态，现金财富为负，那么现金财富将永远为负。病态情况：在这种情况下，有必要展示一种具有有限预期效用的策略。详见Choi等人【1】。无事务楔块对参数6.1的依赖性。对交易成本的依赖。在本文的大部分内容中，我们认为购买的交易成本λ和销售的交易成本γ仅通过往返交易成本ξ=λ+γ1进入问题-γ。而对于n的构造（以及自由边界的位置q*和q*无交易楔子的边界取决于交易成本26下的最优消费和投资，取决于单个交易成本，我们有p*= p*（λ，γ）和p*= p*（λ，γ），其中（6.1）p*（λ，γ）=q*（ξ） 1+λ- λq*（ξ） ；p*（λ，γ）=q*（ξ） 1个- γ+γq*（ξ） ，ξ=λ+γ1-γ。定理7。假设除交易成本λ和γ外，所有参数都是固定的。假设问题是适定的。然后（a）（i）q*ξ和q不递减*ξ增加。（ii）如果>δR和ξ≥ξ然后q*≤ 1和q*不依赖于ξ。（b） （i）如果0<<δR，则采购边界p*和销售边界p*λ增加，γ增加，默顿线位于无交易楔内。我们有0<p*< qM=δR<p*< 1.（ii）假设>δR或<0。然后是p*和p*个人交易成本不必是单调的，默顿线也不必位于无交易楔子内。如果>δR，则p*> 代理人（至少有时）会采取杠杆式头寸。如果<0，则p*< p*< 0，代理将做空头寸。证据

（a） （i）回顾定义ζ（r）=inf{u>r：nr（u）>m（u）}和∧（r）=Zζ（r）rq（1- q） nr（q）- m（q）l（q）- n（q）dq。从解的非交叉性质来看，nr得出∧在r和that q中递减*在ξ和q中增加*ξ减小。隐函数定理给出了ξ=0和ξ=ξ，q*和q*是可区分的。（a） （ii）这遵循引理3。（b） 我们有DP*dλ=ξλq*ξdp*dq公司*=（1）- γ）q*ξ1- γ（1- γ+γq*)> 0和DP*dγ=q*（1）- q*)（1）- γ（1- q*))+ξγq*ξdp*dq公司*=q*（1）- q*)（1）- γ（1- q*))+1+λ（1- γ）q*ξ1- γ（1- γ+γq*)如果0<<δR，则0<q*< 1，两项的符号都是正的，但如果q*/∈ [0，1]则所有术语可能占主导地位。同样，dp*dγ=ξγq*ξdp*dq公司*=1+λ（1- γ）q*ξ1+λ（1+λ- λq*)< 0和DP*dλ=-q*（1）- q*)（1+λ（1- q*))+ξλq*ξdp*dq公司*=-q*（1）- q*)（1+λ）- λq*))+（1）- γ）q*ξ1+λ（1+λ- λq*)如果0<<δR，则0<q*< 1，两项的符号均为负，但如果q*/∈ [0，1]则所有术语可能占主导地位。请注意，偿付能力要求p*<γ。所以，当>δRγ时，我们有1<p*<γ<qm且梅顿线位于无事务楔块外部。在交易成本为27%的情况下，最优消费和投资是无交易楔子的位置以及无交易楔子和无交易楔子之间的关系。与之前的文献（[4，11]）相比，我们的主要优势在于，我们已将无交易楔子基础位置的表达式解耦为两部分：我们有*和p*由（6.1）给出，其中q*< qM<q*.Davis和Norman[4]认为，如果0<<δR∧ δq2R1-R（以及进一步的技术条件，条件B成立）则无交易楔块位于第一象限，包含默顿线。我们在第2节的最后评论中看到了这一点。

他们还推测[4，p704]，如果问题是适定的，且>δR，则无事务楔子位于第二象限。正如我们所看到的，如果交易成本非常大，则不必如此。Shreve和Soner[11]给出了p的界*和p*. 他们在[11]的（11.4）、（11.5）和（11.6）中指出，（6.2）p*<（1- γ） δR+γ；如果0<<δq2R1-R（6.3）p*>（1- γ） δR+γ；如果0<<δq2R1-Rand<δR1+λλ（6.4）p*<（1+λ）δR- λ。从我们的结果可以看出，界限（6.2），（6.3）和（6.4），有时在较弱的情况下。如果0<qM<1（相当于0<<δR），并且pr问题是适定的，那么由于m是二次的，n是单调的，我们必须有（1- R） m（q*) = （1）- R） n（q*) < （1）- R） n（q*) =（1）- R） m（q*) 所以q*- qM<qM- q*< 质量管理。我们得出结论，q*< 最小值{2qM，1}。那么，既然*< qM<q*,p*=q*（1）- γ） +γq*<2qM（1- γ） +γ2qM=（1- γ） δR+γ；（6.5）p*=q*（1）- γ） +γq*>qM（1- γ） +γqM=（1- γ） δR+γ；（6.6）0<p*=q*（1+λ）- λq*<qM（1+λ）- λqM=（1+λ）δR- λ。（6.7）注意，从q*< 1我们还有界p*< 1，而无交易楔子则存在于FirstQuadrant中。如果qM>1（等价地>δR），并且问题是适定的，那么因为（1- R） m（q*) =（1）- R） n（q*) < （1）- R） n（1）=（1）- R） m（1）我们有q*- qM<qM- 最大{q*, 1}≤ qM公司- 1、然后1<qM<q*< 2qM- 1和（6.5）可重新定义为顶部*<2qM- 1（1- γ） +γ（2 qM- 1） =2- δR（1- 2γ）δR+2γ。（6.6）和（6.7）保持不变，（6.7）前提是<δR1+λλ。交易成本下的最优消费和投资28Shreve和Soner[11，p675]还推测，如果qM>1，则p*< QM和默顿线避开了无交易楔子。如果qM>1，则我们有q*< 2qM- 1和p*<2qM-1（1-γ） +γ（2qM-1） 。如果2qm<γ<1，那么销售的交易成本很大，我们有p*<2qM-1（1-γ） +γ（2qM-1） Shreve-Soner猜想是真的。

然而，如果销售的交易成本很低，我们可能会发现*< qM<p*, 默顿线位于无交易楔子内。在第r节中，如果γ=0，则p*= q*和p*> 质量管理。6.2。依赖漂移。定理8。假设除漂移外的所有参数都是常数，并且问题是适定的。然后，在标的资产的漂移中，无交易楔子的买卖界限都在增加。证据我们想表明，p*和p*以u为单位增加，相当于q*和q*以为单位增加。我们认为情况>0；类似的参数适用于<0。固定n′=O（q，m，n）和n′=O（q，m，n）的解，其中O（q，m，n）=-1.- RRn1型- qn公司- m（q）m（q）+δ（1- R） q（1- q）- n.这里，^m（q）（分别为m）是二次^m（q）=1- ^（1- R） q+δR（1- R） q（分别为m（q）=1- （1- R） q+δR（1- R） q）。通常，让^·和·SYMBOL表示相对于^和定义的解决方案。设m（q）=1+δR（1- R） q.Let^a（q）=^ar（q）=^nr（q）- ^m（q）。则^a′（q）=O（q，m（q）- ^（1- R） q，m（q）- ^（1- R） q+^a（q））+^（1）- R）- δR（1- R） q=O（q，m（q），m（q）+^a）- δR（1- R） q+^（1- R）1.- RRq（1- q） ^a（δ（1- R） q（1- q）- ^a）+1=:^O（q，^a）。对于R<1和q<1，我们有0<a<l（q）- m（q）和^O（q，a）>O（q，a），我们得出结论，离开q=r，^arand^arcannot cross。考虑R>1和/或q>1的情况，得出类似的结论。首先假设^<δR，以便我们可以将注意力限制在R<q<1。固定r。然后^ar（q）>^ar（q），至少直到^ζ（r）∧接下来是^ζ（r）>^ζ（r）和^∧（r）>^∧（r），其中我们使用a=n- m表示∧（r）=Zζ（r）rdqq（1- q） a（q）δR（1- R） q（1- q）- 我们注意到的a（q）只依赖于到a。

因为∑（r）=e∧（r）- 1在r中减少，我们得出以下结论：*=^∑-1（ξ）>￠∑-1（ξ）=q*那q*正在增加。为了考虑销售边界p*通过边界点q可以方便地将自由边界问题的解参数化*而不是q*. 求解n′=O（q，n）in q≤ s服从ns（s）=m（s），设as（q）=ns（q）- m（q）。那么，我们有ζ-1（s）=sup{u≤ s:ns（u）<m（s）}交易成本下的最优消费和投资29我们再次得到解（as（q））{ζ-1（s）≤q≤s} 正在增加；因此ζ-1（s）在中增加，∧在中增加。因此q*也在增加。现在，我们放宽了^<δR的假设。如果≤ δR<^，然后▄q*≤ 1<^q*. 对于q*可以使用上述相同的防护。最后，如果>δR，那么对于足够小的交易成本，我们有q*> 1，然后通过上面的论证，我们可以得出以下结论：*和q*都是单调的。唯一的微妙之处是当交易成本更大时，我们必须考虑这两种情况*和▄q*位于奇点以下。然后，对于r<1，则^ar（1）=ar（1）=0。尽管如此，对于r<1，我们有他们的IneQuality^ar≥ 在（r，1）上有str ic t不等式，因此^∧（r）>^∧（r）。注意，^q*= q*对于大额交易成本。结论本文的目的是通过经典方法和原始问题分析具有交易费用的默顿问题。我们能够通过明智的变换证明，这个问题可以简化为求解一阶常微分方程的自由边界问题。这个自由基问题有一系列的解，我们想要的解满足一个附加的积分方程。我们的第一个主要结果反映了Choi等人[1]的主要结果。我们涵盖了一些其他情况（负漂移），但这不是我们的主要贡献。

相反我们的主要贡献是证明不同的制度（确定所有交易成本的问题何时适定，仅大型交易成本的问题何时适定，以及问题何时适定；以及确定无交易区域是否位于第一、第二、第四或第二象限）取决于二次m=m的形状（q） ，其在0和1处的值和一阶导数，以及在转折点处的值。Choi et a l[1]还将问题简化为求解一阶ODE，受fr e边界上的光滑条件和积分条件的约束。但在他们的例子中，自由边界上的点位于椭圆上（而不是四边形），相图要复杂得多。继Davis和Norman【4】和Shreve a and Soner【11】之后，我们的方法是通过primalproblem，而不是[8，1，6]的影子价格方法。因此，我们的方法不同于[8、1、6]。在一个层面上，我们的结果是对Choi etal[1]结果的重新参数化，尽管推导过程完全不同。尽管如此，这种重新参数化在分析中带来了显著的简化。首先，如上所述，我们可以将不同的案例与一名志愿者的不同可能行为联系起来。其次，在问题是不适定且交易成本为零的情况下，我们可以给出问题不适定时交易成本值的代数表达式。（Cho i et al只能将其作为涉及二次方根的积分给出，s e Choi et al[1，引理6.11]。）第三，从我们的方法来看，决定我们想要的频率边界候选解族的积分方程具有单调性。

特别是，∑严格递减并有一个倒数的直接同调方法：Choi等人[1，备注6.15]为其等价函数给出了相应的单音参数。第四，我们可以直接解释在无交易楔子的基础上，交易成本30条件下，非最优消费和投资的First order ODE解的自由边界点。这使我们能够将通过奇异点的节点的解识别为对应于包含半直线（x=0，yθ>0）的非交易楔的解。这导致了【1】中没有的进一步见解。Choi等人给出了一个结果，该结果等价于所有在q=1处通过单点的n′=O（q，n）的解在奇点右侧是相同的，并得出结论，影子价格和价值函数与交易成本的价值无关（前提是交易成本的水平高于某个临界值）。然而，他们没有对这一结果进行财务解释。相反，我们可以给出解释。我们观察到，值函数基于一个函数n，当且仅当半直线（x=0，yθ>0）位于无事务楔内时，该函数n在q=1处通过奇点。如果这条线在非交易楔子内，那么在最佳行为下，因为现金财富只会在销售边界上增加，一旦我们的现金等于零，此后的任何时候都是负值。因此，由于非交易区域的购买边界位于第一象限，因此未来不会发生对天空资产的购买。

它允许在区域p>1中，价值函数（以及无交易区域的销售边界的位置）不能决定购买的交易成本水平。附录A.证明A。引理2的证明。我们的目标是证明包含在下列结果的并集中的引理2。首先，我们显示之前公布的结果，对于每个r∈ （0，1），如果R<1，则位于连接（0，1）到（1，m（1））的直线下方，如果R>1，则位于该直线上方。引理9。假设>0，m（1）>0。设c（q）=1+（1- R）δR- q、 然后对于0<r<q<ζ（r）∧ 1，（1- R） nr（q）≤ （1）- R） c（q）。证据如果R>1，则m（q）>n（q）>l（q） >c（q）开（0，1）。现在假设R<1。请注意-1<m（1）- 1和-m（1）<0，因此s ince c是一条直线，我们有不等式-c（q）<（1- q） （m（1）- 1） 打开（0，1）。那么我们有o（q，c（q））=-1.- RRc（q）（1- q） c（q）- m（q）l（q）- c（q）=-1.- RRc（q）1- qδR（1- R） q（1- q） δ（1- R） q（1- q） =-c（q）（1）- q） <米（1）-m（0）=c′（q）。因此，（2.8）的解n只能从上到下穿过c。因此nr（q）≤ c（q）。引理10。假设R<1，m′（0）<0，mM>0，m（1）>0和m′（1）>0。然后对于0≤ r<qM，qM<ζ（r）<1。证据首先注意，我们有0=n′（ζ（r））<m′（ζ（r）），因此ζ（r）>qM。如果l′（1）≥ 然后为0l 在（0，1）和m（1）>m（0）上增加。那么，对于r<1，由于nr递减，我们必须使ζ（r）<1。那么，假设l′（1） <0。假设一个矛盾，ζ（r）≥ 1、然后nr在（r，1）和nr（q）上减小∈ （m（1），l（q） ）。当O（q，n（q））<-1.-RRm（1）1-qm（1）-m（q）l（q）-l（1） 和作为q↑ 1，limq（1-q） O（q，n（q））<1-RRm（1）m′（1）l′（1） <0。因此n′r（1）=-∞ 矛盾n（q）<l（q） for q接近1。交易成本31mm＜0但m（1）＞0（且R＜1，m′（0）＜0，m′（1）＞0）且q-是m在（0，qM）中的根，那么相同的证明给出了0<r<q-, ζ（r）<1。引理11。假设qM/∈ {0，1}。

然后ζ（qM）=qM。证据我们有n′（q）=Onn′（q）+Oq、 那么，at（q，n（q）=m（q）），n′（q）=Oq（q，m（q））=1-RRm（q）（1-q） m′（q）l（q）-m（q）。如果R<1，qM6=1，则nqM（qM）=m（qM）=mM，n′qM（qM）=m′（qM）=0，n′qM（qM）=0<m′（qM）。因此，nqM（q）位于qM右侧m（q）以下，且ζ（qM）=qM。引理12。∧（qM）=0，limr↓0∧（r）=∞ 且∧是连续的且严格递减的。证据∧的严格单调性来自（2.18），并且解nr在r中是单调的。此外，∧（qM）=0是ζ（qM）=qM这一事实的直接结果。仍需说明∧（0+）=∞. 我们在R<1且>0的情况下证明了这一点，但在其他情况下，结果类似。设χ为H（x）=0的负根，其中H（x）=Rx- （1）- R）δR- R+1x个- （1- R） 很容易看出H(-（1- R） ）>0>小时（（1- R） （δ- 因此m′（0）=-（1- R） <χ<(l′（0））+=（1- R） （δ- ）∧ 事实上，如果nis在零处可微，那么根据l\'H^opital规则，n′（0）solvesn′（0）=（1- R） Rm′（0）- n′（0）l′（0）- n′（0），因此χ可以解释n′（0）的候选值。用m′（0）<ρ<χ<0固定ρ。然后H（ρ）>0。设b（q）=1+ρq。ThenO（q，b（q））- ρ=-（1）- R） R（1+ρq）（1- q） [（1+ρq）- m（q）][l（q）- （1+ρq）]- ρ=-（1）- R） R（1+ρq）（1- q） [ρ+（1- R）-δR（1- R） q][（δ- ）（1- R）- ρ-δ（1- R） q]- ρ=R（1- q） [（δ- ）（1- R）- ρ-δ（1- R） q][H（ρ）- B（ρ）q]其中，B=B（ρ）是常数tb=（1- R） ρ（ρ+（1- R） （）-δR（1- R）- Rρδ- （1）- R）- ρ- ρδR（1- R） 。由于H（ρ）>0，存在Q（1）>0，因此对于0<Q<Q（1），我们有（Q，b（Q））>ρ>m′（0）。对于r<Q（1），设ψ（r）=inf{Q:nr（Q）≥ b（q）}。如果NR在Q（1）之前穿过b，则它从下方穿过并保持在b上方，直到Q（1）。

同样，对于r<q<q（1）∧ ψ（r）通过O的第二个参数的单调性，我们得到了n′r（q）=O（q，nr（q））>O（q，b（q））>ρ。交易成本下的最优消费和投资32由于ρ>m′（0），存在q（2）>0，因此对于0<q<q（2）（q），我们有m′（0）<m′（q）<m′（0）+ρ。然后对于r<q<q（1）∧ Q（2）∧ ψ（r），n′r（q）- m′（q）>ρ-m′（0）+ρ=ρ- m′（0）=：ρ，对于r≤ q≤ Q（1）∧ Q（2）∧ ψ（r），nr（q）- m（q）≥ ^ρ（q- r） 。此外，对于ψ（r）<q<q（1）∧ Q（2）我们有m（Q）<1+（m′（0）+ρ）Q和nr（Q）- m（q）>1+ρq- 1.-m′（0）+ρq=ρq>ρ（q- r） 。回想一下q∈ （r，ζ（r）∧ 1） ，则，l（q）- nr（q）<l（q）- m（q）=δ（1- R） q（1- q） 。然后，对于0<r<q<q，其中▄q：=q（1）∧ Q（2）∧ qMwe有Γ（r）>Zqrdqq（1- q） ^ρ（q- r） q（1- q） δ（1- R） >2^ρδ（1- R） Z▄qrdq（q- r） q.ButRqrdq（q-r） q=ln（▄q/r）+r▄q- 1作为r发散↓ 0A、 2。交易成本的阈值，低于该阈值问题是不适定的。提案13。设Q和P为二次型Q（Q）=（Q+-q） （q）-q-) P（q）=（P+-q） （q）-p-).假设p-< 0<q-< q+<1<p+或p-< 0<1<p+<q-< q+或q-< q+<p-<0<p+。然后ZQ+q-dqq（1- q） q（q）P（q）=q+q-p+p-lnq+q--（1）- q+（1- q-)（p+- 1） （1）- p-)ln1- q-1.- q++（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)lnp公司+- q-p+- q+-（q）+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)lnq公司+- p-q-- p-.证据我们有（q+- q） （q）- q-)q（1- q） （p+- q） （q）- p-)=q+q-p+p-q-（1）- q+（1- q-)（p+- 1） （1）- p-)1.- q+（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)p+- q-（q）+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)q- p-.积分后得到结果。注意，在命题n的陈述中给出的q±和p±之间的关系下，[q]中没有p的根-, q+]和四个对数中的每一个都是正变元。交易成本下的最优消费和投资33推论14。假设||>δq2R1-R

那么∧=Zq+q-dqq（1- q） | m（q）|l（q） =- lnq+q-- ln1- q-1.- q++R1- R（p+- q+（p+- q-)p+（p+- 1） （p+- p-)lnp公司+- q-p+- q+-R1级- R（q+- p-)（q）-- p-)p-（1）- p-)（p+- p-)lnq公司+- p-q-- p-式中，q±是m的根，p±=是l:q±=±r- （δq2R1-R） δRp±=δ- ±q2δ+（δ- ）δ（1- R） 证明。我们有m（q）=-δR（1- R） （q）- q-)（q）+- q） 以及l（q） =δ（1- R） （q）- p-)（p+- q） andnote m（0）=1=l（0）和l（1） =m（1）。然后用命题13中的Q（Q）和P（Q），（A.1）Zq+Q-dqq（1- q） | m（q）|l（q） =R1- RZq+q-dqq（1- q） q（q）P（q）使用q+q得出结果-=δR（1-R） 和p+p-=-δ（1-R） 所以tq+q-p+p-= -1.-RRand（1- q+（1- q-) =2m（1）δR（1-R） 和（p+- 1） （1）- p-) =2.l（1） δ（1-R） 因此（1-q+（1-q-)（p+-1） （1）-p-)=1.-RR。附录B.nOur目标的奇点是理解通过奇点（1，m（1））的解的性质，并证明引理3和Lemma 4。我们假设δR<，并且如果R<1，则-R+δR.然后（1- R） m′（1）<0和m（1）>0。我们对n通过奇点（1，m（1））时的行为感兴趣。设η（x）=n（1+x）-m（1+x）δ（1-R） 。那么奇点现在在原点。我们有η′（x）=δRn（1+x）-x个-δ（1- R） （1+x）（m（1+x）-δ（1- R） x（1+x）- n（1+x））-2m′（1+x）δ（1- R） =-a（x，η）xη+b（x）（b.1），其中（x，η）=δRm（1）+（1- R） （δR- ）x+δR（1- R） x+δ（1- R） η1+x+ηxb（x）=-δ（1- R） m′（1+x）=δ- δR- δRx我们有m（1）>0和m′（1）<0，其中limx↓0a（x，0）=δRm（1）>0和b（0）>0。请注意，对于非常小的x，我们有a为正，在第二个参数中递减，B为正。我们的重点是证明关于x=0的一个邻域中解的存在性和唯一性的结果。交易成本34下的最优消费和投资出于直觉，遵循Choi等人[1，引理6.8]考虑初始值ODE（B.2）f′=-Afx+B，f（0）=0；其中A和B为正常数。

我们分别在x中寻找解f=f（x）≥ 0和X≤ 0、我们发现x有多种解决方案≤ 0，但是x的唯一解决方案≥ 0.固定y>0，并用D（x）=RyxAzdz=A定义D（x）=Dy（x）x个-y. 然后D（0+）=∞. Alsoddx（e-D（x）f（x））=Be-D（x），因此f（x）=eD（x）（f（y）-RyxBe公司-D（z）dz）。条件f（0）=0力f（y）=RyBe-D（z）dz和thenf（x）=ZxB exp-ZxzAydy公司dz。因此，解决方案f对于x是唯一的≥ 现在我们在x中寻找解决方案≤ 0。固定y<0，并设置D（x）=Dy（x）=RxyAzdz。Thenf（x）=e-D（x）（f（y）-RxyBeD（z）dz）=e-D（x）f（y）-RxyBe公司-（D（x）-D（z））dz。f（y）的每个值都会导致一个解f，对于该解f（0）=0，我们还可以分析（b.2）的解在x=0附近的行为。我们有f（x）=BRxe-A【y】-x] dy.Thenf（x）≤ BeAxZxe-Ayxydy=BAxeAxZxe-AyAydy=BAx。对流，通过partsf（x）=BAeAxZxAye进行积分-Ayydy=BAeAxhye公司-Ayix公司- 2Zxye-艾迪=BAx公司-2BAeAxZxyAAye公司-艾迪≥BAx公司-2BAxeAxZxAye公司-Aydy=BAx-2轴承专用，（B.3）limx→0x个-2f（x）=BA。我们注意到，如果A=A（x）和B=B（x）在x=0时是连续且正的，那么上述参数的一个较小的扩展给出了（B.2）满足极限的解→0x个-2f（x）=B（0）A（0）。现在我们转向pr问题（B.4）η′=-a（x，η）ηx+b（x）η（0）=0。我们已经看到，家族的每个成员{ηr}r∈（0,1），ηrgiven乘以ηr（x）=nr（1+x）- m（1+x）δ（1- R）- （1）- r）≤ x个≤ 0 x的解算（B.4）≤ 所以我们的重点是案例x≥ 我们对（B.2）的考虑使我们期望有一个独特的解决方案。提案15。x中存在（B.4）的唯一解≥ 0.交易成本下的最优消费和投资35Proof。远离x=0标准理论（参见Walter[12，第二章，第7节]）给出了通过任意点（x，ξ）的解的存在性和唯一性。因此，我们的重点是原点附近的解决方案。对于足够小的x，a（x，ξ）是正的，且在ξ中递减。

我们研究了区间J=[0，x]，使得a（x，ξ）是正的，且在J=（0，x）上ξ是递减的，并且b是正的且有界的∈ Jwe有边界Cx≤ a（x，ξ）≤ a（x，0）=：a（x）和b（0）/2≤ b（x）≤ 2b（0）。此处C=1-rr其中，我们暂时假设R<1。定义L（x，g，h）=b（x）-a（x，g）xh。我们使用定义在J=[0，x]上的函数。设置f（x）=0，让fbe为f′=L（x，f，f）的解，f（0）=0。Thenf（x）=Zxb（y）exp-ZxyA（z）zdzdy.现在构造一系列可微分函数（fn）n≥0在j上，其中fn+1解f=L（x，fn，f），服从f（0）=0。然后fn+1（x）=Zxb（y）exp-Zxya（z，fn（z））zdzdy.我们认为，这一族解在n中不断增加。显然，f>0=fon J。假设是归纳的，而不是fn>fn-1on J.那么，由于a在其第二个ar-gument a（z，fn（z））<a（z，fn）中减少-1（z））和x∈ JZxb（y）exp公司-Zxya（z，fn（z））zdzdy>Zxb（y）exp-Zxya（z，fn-1（z））zdzdy.根据需要，fn+1（x）>fn（x）。现在我们寻找一个上限。自a（x，f）≥ Cx>0，（B.5）fn（x）≤Zxb（y）e-RxyCzdz=Zxb（y）yCxCdy≤ 2b（0）xC+1和z<x-2b（0）zh1- e-RxzCudui≤ fn（x）- fn（z）≤ 2b（0）（x）- z） 。因此，由f（x）=limnfn（x）给出的函数f在J上存在，并且与f（0）=0连续。它仍然表明f解（B.4）。我们有f（x）=limnfn（x）=limnZxb（y）exp-Zxya（z，fn（z））zdzdy=Zxb（y）exp-Zxya（z，f（z））zdzdyby单调收敛。由于该表达式的右侧是连续可微分的，因此我们得到f是连续可微分的，并且f′=L（x，f，f），如需要。我们使用R<1的唯一例子是，a（x，η）有一个正下界。

如果R>1，那么我们可以构造一个解，而不是在条带J×R中，而是直到它首先离开约K的角[0，x]×[0，K]，其中K的选择使得a（x，K）>xKon J。不等式a（x，f）>xKon J×[0，K]给出了一个类似于jb.5的上界，可以再次用于证明极限f的存在。设置x=min{x，K+12b（0）}和J=[0，x]我们有fn（x）≤ 然后根据需要将注意力限制在Jwe f′=L（x，f，f）。交易成本36下的最优消费和投资现在我们考虑了唯一的s。设f和g为解，对于某些x，J=[0，x]是非负的≤ x、 我们在J=（0，x）上有a（x，f（x））>0和a（x，g（x））>0。如果f（z）=g（z）在Jthen的某个z上，因为a（x，f）fx是f中的Lipschitz，远离x=0，我们在Jand上有f=g，因此在J上有f（z）>g（z）。我们想证明这导致了矛盾。由于ξa（z，ξ）在ξ中增加（对于足够小的ξ），如果f>g，我们有0<a（z，g）g<a（z，f）f。设h=f- g；然后h解算\'-a（x，f）fx+a（x，g）gx<0和0<h（x）<h（0）=0，这是所需的矛盾。我们可以用与（B.3）相同的精神对（B.4）的溶液η进行共形分析。Takef=0，则η（x）≥ f（x）≥Rxb（y）e-RxyA（z）zdz。（B.3）thatlimx之后的命令允许↓0x个-2f（x）=b（0）A（0），其中A（0）=limx↓0a（x，0）。因此limx↓0x个-2η（x）≥b（0）A（0）。相反，使用h（x）=2b（0）C+1x，我们可以得出η（x）≤ h（x），其中h表示h′=L（x，h，h）。可以看出h（x）≤ κx表示某个常数κ。重复该参数，如果hsolves h′=L（x，h，h）受制于h（0）=0，则η≤ 手部边缘↓0x个-2h（x）=b（0）A（0）。因此limx↓0x个-2η（x）=b（0）A（0）。作为abyproduct，我们得出结论，η′在0处定义良好，η′（0）=0。引理3的证明。（i） 引理的这一部分来自命题15，以及上面的论点η′（0）=0。。（ii）假设R<1。

c ase R>1类似，但有时涉及反向不等式。自m（q）起≤ nr（q）≤ l（q） 对于r<q<1和m（1）=l（1） 因此，对于r<1，我们有nr（1）=m（1）和ζ（r）>1。我们有m′（1）<0。假设n′r（1-) = m′（1）。那么要么存在SQ∈ （0，1），θ∈ (l′（1） ，m′（1）），使得n（q）>m（1）-（1）-q） θ或存在qk↑ 1，θ∈ (l′（1） ，m′（1）），使得n（qk）=m（1）- （1）- qk）θ。在前一种情况下（1- q） O（q，n（1- q） ）<-（1）- R） Rm（1）θδ（1- R） 因此n′（1-) = -∞ 矛盾n<l 打开（0，1）。在后一种情况下，aseO（qk，n（qk））=-（1）- R） Rm（1）- （1）- qk）θqkθδ（1- R） （1）- qk）<θ，以获得足够大的k。因此，如果足够接近1，n只能穿过m（1）+（1）线- q） θ从上到下，与序列qk的存在相矛盾↑ 1.（iii）这源于奇点右侧解的唯一性。引理4的证明。根据引理2中转移到这个上下文的结果，我们需要说明的是∧在r=1时是连续的。如果I和I确定为小的正X和r<1，则会出现这种情况- x其中i（x）=Z（1+x）∧ζ（1）dqq（q- 1） n（q）- m（q）n（q）- l（q） I（x）=Z1-xdqq（1- q） nr（q）- m（q）l（q）- 交易成本为37N（q）时的nr（q）最优消费与投资- m（q）~ （q）- 1） ，而n（q）- l（q）~ （q）- 1） ，其中我们写f（x）~ xαiflimx↓0x个-对于C，αf（x）=C∈ R \\{0}。因此有了定义。1的左边也有类似的扩展，我们得出结论。参考文献[1]J.H.Choi，M.Sirbu，G.Zitkovic（2013）《影子价格与具有交易成本的最优投资和消费问题的适定性》。《SIAM J.控制与优化》51（6）pp.44194449。[2] G.M.Constantinides（1986），《具有交易成本的资本市场均衡》，《政治经济学杂志》，94（4），第842-862页。[3] G.M.Constantinides，M.J.P。

M agill（1976），《具有交易成本的投资组合选择》，《经济理论杂志》，第13期，第264-271页。[4] M.H.A.Davis，A.Norman（1990），《具有交易成本的投资组合选择》，《运营数学研究》，第15期，第676-713页。[5] J.D.Evans，V.Henderson，D.Hobson（2008），《不完全市场中资产出售的最佳时机数学金融》，18（4）545-568。[6] A.Herczegh，V.Prokaj（2015）《电力公用事业案例中的影子价格》。应用概率年鉴25（5）第2671-2707页。[7] D.Hobson，Y.Zhu（2014），《最优消费和销售策略》，arXiv:1409.3394。[8] J.Kallsen，J.Muhle Karbe（2010），关于在具有交易成本的港口流量优化中使用影子价格。应用概率年鉴20（4）第1341-1358页。[9] R.C.Merton（1969），《不确定条件下的终身投资组合选择：连续时间案例》，《经济学与统计学评论》，第51期，第247-257页。[10] R.C.Merton（1971），《连续时间模型中的最优消费和投资组合规则》，经济理论杂志，3（4），第373-413页。[11] S.E.Shreve，H.M.Soner（1994），《具有交易成本的最优投资和消费》，《应用概率年鉴》，第4期，第609-692页。[12] W.Walter（1998），《普通微分方程》，斯普林格，纽约。数学研究生课程；182[13]Y.朱。（2015），具有有限交易成本的投资消费模型。华威大学博士论文。