这将得到所需的结果。C二次模型我们现在使用fromula Xt=E | Yt |推导Xt的SD E，其中dyt=（b+BYt）dt+σdWt，X=0d。定义f（y）=e | y |，则梯度行向量和Hessian矩阵分别为，f（y）=2f（y）y, Hf（y）=2f（y）1+2y2yy···2yyd2yy1+2y···2yyd。。。。。。。。。。。。2码2码···1+2码. （C.1）根据伊藤公式，dxt=df（Yt）=f（Yt）（b+BYt）+Xi，j（Hf（Yt））ij（σσ)ij！dt+f（Yt）σd Wt.（C.2）将（C.1）应用于（C.2），我们得到dxtxt=。dt+2年tσdWt，这里我们抽象了漂移项，因为这里不需要它的表达式。在此和（2.2）之间，LETF价格可以表示为lt=Xtβe-r（β-1） t型-2β（β-1） Rt |σ于都。由此我们观察到了lto对d维OU过程Y的路径依赖性。参考Sahn，D.-H.，Dittmar，R.F.，和Gallant，A.R.（2002）。二次项结构模型：理论和证据。《金融研究回顾》，15（1）：243–288。Ahn，D.-H.和Gao，B.（1999年）。期限结构动力学的p参数非线性模型。Revi ewof Financial Studies，12（4）：721–762。Akian，M.、Sulem，A.和Taksar，M.I.（1999年）。具有交易成本的混合投资组合长期增长率的动态优化：对数效用案例。技术报告RR-3626，INRIA。Avellaneda，M.和Zhang，S.（2010）。杠杆ETF回报的路径依赖性。《暹罗金融数学杂志》，1:586–603。Borovicka，J.、Hansen，L.、Hendricks，M.和Scheinkman，J.（2011）。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3–65。Carr，P.和Sun，J.（2007）。随机波动下期权定价的一种新方法。衍生品研究综述，10（2）：87–150。Cheng，M.和Madhavan，A.（2009年）。杠杆和反向交易所买卖基金的动态。《投资管理杂志》，4。克里斯滕森，S。Wittlinger，M.（2012）。

具有交易成本的增长率最大化问题的最优宽松投资组合策略。arXiv预印本arXiv:1209.0305。Cox，J.C.、Ingersoll Jr，J.E.和Ross，S.A.（1985）。利率期限结构理论。计量经济学：计量经济学社会杂志，第385-407页。Fleming，W.和Sheu，S.（1999年）。财富预期效用的最佳长期增长率。应用概率年鉴，9（3）：871–903。Guasoni，P.和Mayerhofer，E.（2016）。杠杆的限制。SSRN 2446817提供。Hansen，L.P.（2012年）。随机经济中的动态估值分解。《计量经济学》，80（3）：911–967。Hansen，L.P.和Scheink man，J.A.（2009）。长期风险：运营商方法。《计量经济学》，77（1）：177–234。Hata，H.和Sekine，J.（2006年）。用Cox-IngersollRoss利率求解长期最优投资问题。《数理经济学进展》，第231-255页。赫斯顿·S·L.（1993年）。随机波动期权的闭式解，适用于债券和货币期权。金融研究回顾，6（2）：327–343。赫德，T.和库兹涅佐夫，A.（2008）。随机积分拉普拉斯变换的显式公式。马尔可夫过程和相关领域，14（2）：277–290。Leung，T.、L orig，M.和Pascucci，A.（2016）。杠杆化ETF意味着ETF动态的波动性。数学金融。显示。Leung，T.和Santoli，M.（2012）。杠杆式交易所买卖基金：容许杠杆和风险地平线。《投资策略杂志》，2（1）：39–61。Leung，T.和Santoli，M.（2016）。杠杆式交易所交易基金：价格动态和期权估值。SpringerBriefs in Quantitative Fin and ce，Springer。Leung，T.和Sircar，R.（2015）。杠杆ETF期权的隐含波动率。《应用数学金融》，22（2）：162–188。Leung，T.和Ward，B.（2015）。

黄金目标：分析杠杆agedgold ETF的跟踪性能。经济学和金融学研究，32（3）：278–297。Lewis，A.（2000年）。随机波动下的期权定价：Mathematica代码。FinancePress，加利福尼亚州纽波特海滩。Linetsky，V.（2004年）。期权价值的光谱分解。《国际理论和应用金融杂志》，7（3）：337-384。Park，H.（2016）。长期现金流的敏感性分析。ArXiv预印本ArXiv:1511.03744。Pham，H.（2003年）。大偏差接近最优长期投资。《金融与随机》，7（2）：169–195。Pham，H.（2015）。最优投资的长时间渐近性。《金融学中的大偏差和同情方法》，第507–528页。斯普林格。Pinsky，R.（1995年）。《正调和函数与扩散》，第45卷。剑桥大学出版社。Qin，L.和Linetsky，V.（2015年）。马尔可夫定价算子的正特征函数：HansenScheinkman因子分解和Ross恢复。ArXiv预印本ArXiv:1411.3075。塔克韦尔，H.（1974）。关于人口增长的一些差异模型的研究。理论人口生物学，5（3）：345–357。Vasicek，O.（1977年）。术语结构的平衡表征。《金融经济学杂志》，5（2）：177–188。赵，B.（2009）。非齐次几何布朗运动。SSRN 1429449提供。Zhu，L.（2014）。长期静态投资者的最佳策略。随机模型，30（3）：300–318。