杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅

2022-5-30 22:13:33

杠杆ETF预期效用的长期增长率：鞅提取法Tim Leung*Hyungbin Pa rk+2016年12月6日摘要本文研究了持有平均汇率交易基金（LETF）的预期效用的长期增长率，该基金是参考资产的固定比例投资组合。利用幂效用函数，我们开发了一种分析方法，该方法采用鞅提取，并涉及找到与马尔可夫时间齐次微分的微元生成器相关的特征对。我们明确推导了参考集合的多个模型f下的长期增长率，包括几何布朗运动模型、GARCH模型、逆GARCHmodel、扩展CIR模型、3/2模型、q-uadratic模型以及赫斯顿和3/2斯托克斯波动率模型。我们还研究了Vasicek模型和逆GARCH短期利率模型等随机利率的影响。我们确定了长期投资者的最佳杠杆率，并检查了模型参数的影响。*华盛顿大学应用数学、计算金融和风险管理项目系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.通讯作者+美国马萨诸塞州伍斯特市伍斯特理工学院数学科学系，邮编：01609。电子邮件：hpark@wpi.edu.Contents1简介32 LETFs 52.1 LETF价格动态的鞅提取方法。52.2鞅提取。63单变量过程83.1 GBM模型。93.2 GARCH模型。103.3逆GARCH模型。

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2022-5-30 22:13:37

。113.4扩展CIR模型。123.5 3/2模型。144随机波动率模型154.1赫斯顿模型。164.2 3/2波动率模型。185随机参考和利率为205.1 Vasicek利率的LETF。205.2反向GARCH利率。216二次模型237结论25A扩展CIR模型25B反向GARCH模型27C二次模型281 Introducti OneExchange交易基金（ETF）是流行的金融产品，旨在验证参考资产或指数的价值。由于管理着超过2万亿美元的资产证券交易所，ETF在股票等主要交易所交易，即使参考本身可能无法交易。在不断增长的ETF市场中，杠杆ETF（LETFs）的创建是为了产生一个恒定的倍数β，称为杠杆率，即参考指数的每日回报。例如，ProSharesUltra标准普尔500指数（SSO）的日收益率是标准普尔500指数的两倍（β=2）。在LETF市场中，最常见的杠杆率为β∈ {1，2，3}和β∈ {-1.-2.-3} 。特别是，投资者可以通过在β<0的LETF中持有多头头寸，而无需借入股票或保证金账户，从而对参考进行看跌。

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2022-5-30 22:13:41

对于许多投机性投资者来说，LETF是一种非常容易获得且流动性很强的工具，可以提供平均敞口，尤其是在动量较大的时期，LETF表现活跃。对于LETF持有人和潜在投资者来说，了解价格动态以及杠杆率对每个LETF的风险和回报的影响至关重要。大量市场观察表明，LETF受到波动性衰减效应的影响，这反映了价值侵蚀与参考指数的已实现方差的比例。最近的研究，包括Avellaneda和Zhang（2010）、Cheng和Madhavan（2009）、Leung和Ward（2015）以及Leung和Santoli（2016），提出了离散时间和连续时间随机框架，以说明LETF对参考的路径依赖性，包括波动性衰减效应。事实上，SEC在2009年发布了一份关于LETF风险的警告公告，特别是当长期持有LETF时。Leung和Sa ntoli（2012）就不同风险措施得出了LETF的容许持有期限。这促使我们分析持有LETF的预期效用的长期增长率，并检查对杠杆率和参考动态的依赖性。在本文中，我们研究了holdinga-LETF期望效用的长期增长率。具体而言，我们考虑了不同的LETF价格随机模型（以T表示），并分析了以limt表示的长期增长率→∞tlog E[u（Lt）]，（1.1），其中u（·）是投资者的幂形式效用：u（w）=wα，0<α≤ 因此，相对风险规避系数由下式得出： := -wu′（w）/u′（w）=1- α，w>0。当α=1时，对应于零相对风险规避，极限为LETF预期收益的长期增长率。

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2022-5-30 22:13:45

因此，通过分析（1.1），我们可以分别了解对风险规避投资者和风险中性投资者有用的预期效用和预期回报的长期增长率。本文的主要贡献之一是提出一种新的方法来解析地确定上述极限。为此，我们采用鞅提取方法，通过该方法，发现长期增长的问题转化为二阶微分算子的特征对（特征值和特征函数）问题，该二阶微分算子与参考过程的微型生成器相关。我们的结果使我们能够确定长期风险规避投资者的最佳杠杆率。对于价格由Lt表示的β-LETF≡ Lt（β），我们找到了最佳杠杆率参见SEC警报http://www.sec.gov/investor/pubs/le veragedetfs警报。htm。比率β*使长期增长率最大化，即β*= arg最大β∈Rlimt公司→∞tlog E[u（Lt（β））]。（1.2）此外，我们还通过显式表达式检验了风险规避和模型参数对最优杠杆选择的综合影响。关于预期效用的长期增长率有许多相关研究。Fleming和Sheu（1999）的开创性工作研究了财富预期效用的最佳增长率。效用为双曲线绝对风险规避（HARA）型，针对不同的HARA参数和政策约束，开发了动态规划方案。Akian等人（1999年）研究了具有交易成本的最优投资策略，目的是在对数效用下使长期平均增长率最大化。在另一项相关研究中，Zhu（2014）还研究了单一风险资产中财富比例固定的非杠杆投资组合的预期电力效用的长期增长率，并得出了一些模型下的明确限制。

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2022-5-30 22:13:48

相比之下，我们研究了额外的单因素和多因素差异模型下的杠杆投资组合。Christensen和Wittlinger（2012）考虑了基于脉冲控制策略的增长率最大化问题，该策略具有有限的单位时间交易数量和比例交易成本。Guasoni和Mayerhofer（2016）分析了在Black-Scholes模型下，考虑到平均波动率和比例成本，最大化长期回报的最佳策略。Hat a和Sekine（2006）研究了一个长期最优投资问题，其目标是在Cox-Ingersoll-Ross利率下，使投资组合价值超过给定水平的概率最大化。应用大偏差理论，Pham（2003）得出了CARA效用下的最优长期投资策略，Pham（2015）检验了最优港口的长期渐近性，其中涉及最大化港口资本的盈利能力，以超过目标增长率。鞅提取法是一种相对较新的分析技术，用于研究许多金融和经济问题。在我们的主要参考文献中，Hansen和Scheinkman（200 9）以及Hansen（2012）开发了鞅提取方法来研究连续时间马尔科夫市场中的长期风险。Borovicka等人（2011年）利用鞅提取法，根据测量冲击影响的冲击弹性来检验冲击波。在这些研究中，作者将定价算子分解为三个组成部分：一个经验项、一个鞅和一个过渡项，每个都根据问题的背景进行财务解释。Park（20 16）利用鞅提取方法研究了长期现金流对底层过程扰动的敏感性。

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2022-5-30 22:13:51

Qin和Linetsky（2015）进一步分析了Hansen-Scheinkman因式分解（鞅提取）对马尔可夫定价算子正函数的影响。我们在这方面的贡献是首次应用martinga-le提取技术来明确计算预期效用的长期增长率。本文的其余部分如下。在第2节中，我们讨论了LETFs的鞅提取方法。在第3节中，我们解决了当参考价格服从一维马尔可夫微分时的长期增长率问题。第4、5和6节分别介绍了随机波动率模型、利率模型和二次模型。我们计算长期增长率并确定最佳杠杆率。第7节总结了本文。LETFsLet的2鞅提取方法(Ohm, F、 P）是一个概率空间，其中P是主观概率度量。表示byF≡ （Ft）t≥0由d维标准布朗运动B生成的过滤。考虑参考指数，如标准普尔500指数，其价格过程X是一个一维正时齐次马尔可夫扩散过程，满足dxtxt=utdt+σt·dBt，t≥ 0，（2.1），其中漂移过程u和向量波动过程σ皮重均为F适应。目前，我们没有指定参数随机漂移或波动率模型，尽管许多众所周知的模型，如赫斯顿模型以及其他随机或局部波动率模型也在上述框架内。此外，无风险利率过程用（rt）t表示≥0可能是常数或随机的，具体取决于模型。2.1 LETF价格动态参考X中杠杆ETF是一个固定比例的投资组合。基于X的长期LETF的杠杆率为β≥ 1.

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2022-5-30 22:13:55

在任何时间t，βLt的现金金额（β乘以fundvalue）投资于X，金额（β-1） LTI以无风险利率rt借入。严格峰值，用于β∈ [0，1），基金没有杠杆化，因为只有基金价值的一部分投资于风险资产，并且没有借款。对于比率β<0的短期LETF，a MOUNT |β| LTI的短期头寸为X，而a MOUNT（1- β） LTI以无风险利率rt保存在货币市场账户中。因此，LETF价格满足度DLT=βdXtXt文件- （（β- 1） rt）dt=（βut- （β- 1） rt）dt+βσt·dBt。在不丧失一般性的情况下，我们将L=X=1。时间t的LETF值允许表达式lt=XβteRt(-（β-1）卢比-β（β- 1） |σs |）ds（2.2）=eRt（βus-（β-1）卢比-β|σs |）ds+βRtσs·dBs，其中|·|是常用的d维范数。投资者的风险偏好由功率效用函数u（w）=wα建模，w>0，0<α≤ 因此，相对风险规避系数由下式得出： := -wu′（w）/u′（w）=1- α，w>0。将LETF保持到时间t的预期效用由EP【Lαt】=EP【XαβteRt】给出(-α（β-1）卢比-αβ（β-1） |σs |）ds]（2.3）=EP[eRt（αβus-α（β-1）卢比-αβ|σs |）ds+αβRtσs·dBs]=EP[HteRt（αβus-α（β-1）卢比-α（1-α） β|σs |）ds]，（2.4）在整个过程中，我们使用点符号·进行列向量的乘法，而省略点进行矩阵乘法。其中，我们定义了随机指数ht：=eαβRtσs·dBs-αβRt |σs | ds。（2.5）特别是，当α=1时，风险规避为零，因此期望值（2.3）是从保持LETF L超过[0，t]的预期回报。假设一个局部鞅Htin（2.5）是一个mart-ingale。然后，我们可以通过PdP定义一个新的度量值Ft=Ht。（2.6）根据G ir sanov定理，由^Bt定义的过程^B：=-αβZtσsds+bt用于t≥ 0（2.7）是^P下的标准布朗运动。

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2022-5-30 22:13:58

将（2.7）应用于（2.1）和（2.4），我们得到dxtxt=（ut+αβ|σt |）dt+σt·d^BtandEP[Lαt]=E^PheRt（αβus-α（β-1）卢比-α（1-α） β|σs |）dsi。（2.8）为了分析预期效用，我们采用鞅提取法，这将在第2.2节中描述。这种方法允许我们以更便于分析和计算的形式表达预期效用。2.2鞅提取我们现在用一个通用的多维时间齐次马尔可夫扩散过程Gton讨论鞅提取方法(Ohm, F、 P）具有dr ift b（Gt）和波动率σ（Gt）。在SDE形式中，我们可以写bydGt=b（Gt）dt+v（Gt）dBt，其中b是d维列向量，v是d×d矩阵。b和σ的成分是可微分函数，并假设SDE具有强解。d维过程GT可能代表模型的多个组成部分，如参考、随机波动率、随机利率或其他随机因素。固定一个连续可微的多变量函数k（·）。用L表示杀死老鼠的GT的微型生成器e k。假设（λ，φ）是对应toLφ=-λφ，（2.9），其中λ∈ R和φ是一个正的连续二次可微函数。可以看出mt：=eλt-Rtk（Gs）dsφ（Gt）φ-1（G）（2.10）是一个局部鞅，通过检查dMtis的dt项为零。有关主题，请参阅赫德和库兹涅佐夫（2008）。定义2.1。设（λ，φ）为-L满足（2.9）。当方程（2.10）中定义的过程mt是鞅e时，我们可以说该对（λ，φ）包含了e的鞅抽取-Rtk（Gs）ds。在这种情况下，本征对（λ，φ）称为容许本征对。在这种情况下，我们可以表示方程（2.10）ase-Rtk（Gs）ds=Mte-λtφ-1（Gt）φ（G），并将其解释为从e中提取的鞅mt-Rtk（Gs）ds。

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2022-5-30 22:14:02

对于每个可容许特征对（λ，φ），我们可以定义一个新的度量QφbyQφ（a）：=ZAMtdP=EP【IAMt】，用于a∈ Ft.（2.11）该测度Qφ称为P相对于（λ，φ）的变换测度。为方便起见，我们使用符号Q代替Qφ。反过来，我们应用从P到qt的度量变化来表示期望值ep[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]=等式[（φ-1f）（Gt）]·e-λtφ（G）。（2.12）在许多情况下，右侧更易于计算和分析。例如，期望值EQ[（φ-1f）（Gt）]取决于Gtat timet的边际分布，而EP[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]取决于（Gs）0的整个路径≤s≤t、这一观察结果对于我们分析LETF特别有用，因为它们也是路径依赖的。GTI的动态也在变换后的测度Q下进行了过滤。为了看到这一点，我们定义了与MtbyД相关的Girsanov核：=v·φφ，（2.13）然后鞅Mtsatis fiesdmtmt=Д（Gt）dBt。根据Girsanov定理，由WT定义的过程：=Bt-ZtД（Gs）ds，t≥ 0，（2.14）是Q下的标准布朗运动。因此，给定一个可容许的特征对（λ，φ），过程G在Q下按照Gt=（b+vν）（Gt）dt+v（Gt）dWt演化。正如预期的那样，本征函数φ出现在Gt的漂移调整中，但不影响扩散项。此外，如果Q下的Gt密度函数也可用闭合形式，则可以计算并分析期望EQ[（φ-1f）（Gt）]。并非所有，但在许多情况下，我们将选择一个可容许的本征对，使得项EQ[（φ-1f）（Gt）]收敛到非零常数。由此，我们得出了LETFs预期效用的长期增长率。提案2.1。设（λ，φ）为L的容许特征对，Q为相应的变换测度。

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2022-5-30 22:14:05

如果公式[（φ-1f）（Gt）]收敛到一个非零常数，如t→ ∞, 然后是极限→∞tlog EP[e-Rtk（Gs）dsf（Gt）]=-λ保持不变。3个单变量过程我们现在演示了martinga-le提取技术如何应用于分析LETF预期效用的增长率。在本节中，参考资产Xt是一个一维马尔可夫微分过程，其满足DXTXT=u（Xt）dt+σ（Xt）dBt，X=1，（3.1），其中B是主观测度P下的一维标准布朗运动。系数u和σ是连续可微分的函数，因此SDE（3.1）具有天文解。在本节中，短期利率是一个常数r>0。根据（2.3），持有LETF的预期效用由EP【Lαt】=EP【Xαβte】给出-αβ（β-1） Rtσ（Xu）du]erα（1-β） t.为了利用鞅提取方法，我们可以在第2.2节中查看XTA扮演的ProcessGT角色。将L定义为具有杀灭率的XT的微型发生器-αβ（β-1） σ（·）。因此，我们有φ（x）=xσ（x）φ′（x）+xu（x）φ′（x）-αβ（β- 1） σ（x）φ（x）。我们方法中的一个关键步骤是尽可能明确地找到Lφ=-λφ带正φ。值得注意的是，只要β（β- （1）≥ 0（见（Pinsky，1995，定理3.3））。这一条件适用于所有出租金融公司，因为其杠杆率满足β/∈ [0，1]。假设存在允许e的鞅提取的特征对（λ，φ）-αβ（β-1） Rtσ（Xs）ds，预期效用可表示为asEP【Lαt】=EQ【Xαβtφ-1（Xt）]e（rα（1-β）-λ） tφ（1），（3.2），其中Q是相应的变换测度。

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mingdashike22

2022-5-30 22:14:08

自EQ[Xαβtφ-1（Xt）]仅取决于时间t的值Xtat，而不是其整个路径，这显著简化了EP【Lαt】的分析，如我们在以下模型中所示。应用命题2.1，我们得到了在这个单变量框架下持有LETF的预期效用的长期增长率。没错，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=极限→∞tlog EQ[Xαβtφ-1（Xt）]+rα（1- β）- λ，（3.3）和if EQ[Xαβtφ-1（Xt）]收敛到一个非零常数，如t→ ∞, 则（3.3）中的限值会降低tolimt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）- λ。特别是，我们通过设置α=1对应于零风险规避，恢复了LETF预期收益的长期增长率。此外，特征值在长期增长率e中起着至关重要的作用，第一个特征值明确取决于利率r、风险规避参数α和杠杆率rat ioβ。值得注意的是，特征值λ还取决于α、β、u（·）和σ（·），而不是r.3.1 GBM模型作为热身练习，我们在几何布朗运动（GBM）模型中给出了预期效用的长期增长率dxt=uXtdt+σXtdBt，t≥ 0，σ6=0。相应发电机isLφ（x）=σxφ′（x）+uxφ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。为了应用鞅提取，我们找到相应的特征对（λ，φ（x））=（-αβu+α（1- α） βσ，xαβ）。我们得到了预期效用EP【Lαt】=等式【1】e（αβu-α（β-1） r-α（1-α） βσ）t=e（αβu-α（β-1） r-α（1-α） βσ）t。这意味着极限→∞tlog EP【Lαt】=α（1- β） r+αβu- α（β- 1） r-α（1- α） βσ。（3.4）右侧由两部分组成：系数α（1- β） r和负特征值-λ。此外，长期增长率在β中是二次的。

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2022-5-30 22:14:12

利用这一结果，我们将方程（3.4）中的长期增长率最大化于β∈ R以获得最佳杠杆率β*=u- r（1- α） σ。正如我们所看到的，最佳杠杆率与财富无关，与利润率成正比，但与相对风险规避系数成反比 = 1.- α。投资者应选择正（负）β*当且仅当u>r（分别为u<r）。它对经典的默顿投资组合优化问题中的最优策略进行了描述。3.2 GARCH模型在本节中，我们考虑参考价格过程XT的正均值回复模型。具体而言，它满足连续时间GARCH扩散模型（见Lewis（2000））：dXt=（θ- aXt）dt+σXtdBt，（3.5），其中a，θ，σ>0。GARCH扩散模型有时被称为非均匀几何布朗运动（参见Zhao（2009））。相应的发电机isLφ（x）=σxφ′（x）+（θ- ax）φ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。为了应用鞅提取，我们解决了特征对问题Lφ=-λφ以获得IGENPAIR（λ，φ（x））=αβ（β- 1） σ，1.由于本征函数φ（x）=1只是一个常数，因此变换后的测度Q与原始测度P一致（参见（2.13）-（2.14））。根据（3.2），预期效用isEP【Lαt】=等式【Xαβt】e（rα（1-β）-αβ（β-1） σ）t.（3.6）为了评估（3.6），我们首先推断限制→∞公式[Xαβt]=（正常数）如果- αβ+2aσ+1>0，等式[Xαβt]=∞ 否则（3.7）证明如下。过程Yt：=2θσx收敛到参数γ=2aσ+1的γ随机变量，即Yt的密度函数p（y；t）收敛到top（y；∞) :=Γ（γ）yγ-1e级-yas t公司→ ∞ （赵（200 9）定理2.5）。通过考虑密度函数p（y；t）和极限密度函数p（y；∞) 在上面p（y，t）在y=0和y=∞ 具体如下。对于固定t和任何大于0的小值，y2aσ。p（y；t）。

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大多数88

2022-5-30 22:14:16

y2aσ-as y→ 0p（y；t）。e类(-1+）是→ ∞.这里，对于两个正函数p（y）和q（y），我们用byp（y）表示。q（y）如果存在一个正常数c，使得p（x）≤ c·q（x）。密度函数p（y；t）参考Linetsky（2004）第6.5.4节。如果-αβ+2aσ+1>0，则等于[Xαβt]=2θσαβ等式-αβt]=2θσαβZ∞y-αβp（y；t）dy→2θσαβΓ（γ）Z∞y-αβ+2aσe-ydy，作为t→ ∞,（3.8）这是有限的。否则，等式[Xαβt]=2θσαβ等式-αβt]=2θσαβZ∞y-αβp（y；t）dy=∞自y2aσ起。p（y；t）接近y=0。总之，我们得到了以下长期增长率。提案3.1。让Ltbe作为LETF的参考价格满足GARCH模型（3.5）。那么，limt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）-αβ（β- 1） σif2aσ+1>αβ，∞ 否则（3.9）这一结果意味着两种不同的情况。当n2aσ+1>αβ时，增长率存在一个有限的长期极限。有趣的是，长项极限在α中是线性的，在σ中是递减的，但不依赖于θ。当n2aσ+1时≤ αβ，长期限值非常大。当α=1时，该限制也适用，在这种情况下，条件β<2aσ+1代表杠杆率的上限，以获得有限的长期收益增长率。通过命题3.1和直接计算，我们最大化∧（β）：=rα（1- β）-αβ（β- 1）最佳杠杆率β中σ与obta的比值*对于长期投资者β*=-rσ。令人惊讶的是，与G BM模型相比，GARCHmodel模型下的最优杠杆率与α无关，这意味着在该模型下，具有不同风险厌恶系数（包括零风险厌恶）的投资者将具有相同的最优杠杆率β*. 实际上，β*仅取决于利率r和流动性参数σ。也可以将GARCH模型简化为GBM模型θ→ 0；然而，不仅最优增长率，而且最优杠杆率β*不收敛于几何布朗运动的θ→ 0

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2022-5-30 22:14:19

这是因为GARCH模型的路径行为和其他定性特征与GBM模型显著不同。3.3反向GARCH模型作为GARCH模型的替代方案，假设参考价格XT遵循反向GARCH扩散模型，该模型也称为Pearl Verhulst logistic过程inTuckwell（1974）：dXt=（θ- aXt）Xtdt+σXtdBt，（3.10），其中a，σ>0，θ>σ。GARCH模型和逆GARCH模型都是正均值回复模型。进程XT被称为逆GARCH模型，因为它的逆进程YT：=1/XT遵循GARCH模型：dYt=（a-（θ-σ） Yt）dt- σYtdBt。XtisLφ（x）=σxφ′（x）+（θ）的最小生成元- ax）xφ′（x）-αβ（β- 1） σφ（x）。通过直接替换，我们验证了（λ，φ（x））=αβ（β- 1） σ，1是Lφ=-λφ。由于本征函数φ（x）=1是一个常数，相应的变换测度Q与原始测度P相同（见（2.13）-（2.14））。根据（3.2），预期效用isEP【Lαt】=等式【Xαβt】e（rα（1-β）-αβ（β-1） σ）t。由于Yt=1/x是GARCH模型，我们从（3.7）观察到限制→∞等式[Xαβt]=极限→∞等式[Y-αβt】=（正常数）如果αβ+2θσ>1，等式[Xαβt]=∞ 否则这导致长期限制总结如下。提案3.2。设LTF为参考价格XT遵循逆GARCHmodel（3.10）的LETF。

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2022-5-30 22:14:23

那么，limt→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β）-αβ（β- 1） σ如果αβ+2θσ>1，∞ 否则（3.11）因此，预期效用的长期增长率可以是有限的，也可以是有限的，取决于杠杆率β、风险规避参数α和模型参数（θ、σ），而不是a。有趣的是，（3.9）和（3.11）中分别对GARCH和逆GARCH模型的限值是相同的，除了限值的确定条件。通过直接计算，长期投资者的最佳杠杆率为β*=-长期增长率确定时的rσ。而β*不明确依赖于α，但α在确定最终/最终增长率情景中发挥作用。作为→ 0时，逆GARCHmodel简化为GBM模型。然而，最佳增长率和最佳杠杆率*, 独立于a，不要将e转换为G BM模型中的a→ 0.在第3.2.3.4节“扩展CIR模型”中的GARCH模型案例中观察到了相同的现象。我们现在转向Cox等人（1985）提出的扩展Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型：dXt=（θ+uXt）dt+σpXtdBt，（3.12），参数u、σ>0和θ≥ σ。这一过程是一个瞬态过程，发散到初始值u>0。相应的微型生成器由φ（x）=σxφ′（x）+（θ+ux）φ′（x）给出-αβ（β- 1） σxφ（x）。设置κ：=s-θσ+ αβ（β- （1）+-θσ。如果β/∈ [0，1]，这对所有LETFs都适用。可通过直接替换（λ，φ（x））：=uκ+2θuσ，e-2uxσxκ是符合方程式（2.9）的L的容许特征对。在关于该特征对的变换后的measureQ下，过程XtfollowsdXt=（θ+κσ- uXt）dt+σpXtdWt，（3.13），其中wt是Q-布朗运动。

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2022-5-30 22:14:27

我们注意到，这是一个标准的均值回复循环过程，Feller条件满足，因此0是一个无法达到的边界。预期效用由EP【Lαt】=等式【Xαβ】给出-κte2uσXt]e（rα（1-β）-uκ-2θuσ）t-2uσ。（3.14）对于（3.14）中的RHS，我们获得了长期限值（见附录A）：limt→∞tlog等式[Xαβ-κte2uσXt]=αβ+2θσ+κu如果αβ+2θσ+κ>0，∞ 如果αβ+2θσ+κ≤ 0。（3.15）反过来，我们得到了预期效用的长期增长率。提案3.3。假设参考价格过程满足扩展的CIR模型（3.12）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u-r）如果αβ+2θσ+κ>0，∞ 如果αβ+2θσ+κ≤ 0。这一结果有许多影响。首先，长期增长率取决于平均收益率β和超额收益率（u-r），且在α中呈线性，但它不明确地依赖于模型参数θ和σ，除非在分离两种情况的条件下。在αβ+2θσ+κ>0的场景中，将极限表示为β的函数：∧（β）：=αr+αβ（u- r）。当β=0时，长期增长率∧（0）=αr。这是因为由此产生的“杠杆化”ETF投资组合只是在rate r下确定性增长，而效用是eαrtat时间t≥ 其次，函数∧（β）揭示了最佳选择β*对于不稳定的投资者。在u>r的牛市中，优先选择更高的杠杆率，但在实践中，可用杠杆率上限为+3。相反，在u<r的熊市中，负杠杆率越高越好，而实际上，LETF中最负的杠杆率是-3.3.5 3/2模型我们现在考虑3/2模型的参考价格XT，形式为：dXt=（θ- aXt）Xtdt+σX3/2tdBt，（3.16），a，θ，σ>0。

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2022-5-30 22:14:30

这是一个正均值回复模型，已被用于建模利率和波动率（见Ahn a and Gao（1999），Carr和Sun（2007）），因此该模型适用于具有均值回复参考价格的固定收益和波动率LETF。对应于（3.16）isLφ（x）=σxφ′（x）+（θ）的微型生成器- ax）xφ′（x）-αβ（β- 1） σxφ（x）。表示κ：=s+aσ+ αβ（β- （1）-+aσ,我们发现（λ，φ（x））：=θκ，x-κ是L的容许特征对。在变换测度Q下，参考价格XtfollowsdXt=（θ- （a+σκ）Xt）Xtdt+σX3/2tdWt，其中dWt=dBt+σκX1/2tdt是Q下的布朗运动。请注意，xtsaties是Q下的参数化3/2模型。持有LETF的预期效用可以在转换度量Q下表示为ep[Lαt]=EQ[Xαβ+κt]e（rα（1-β）-θκ）t限制→∞等式[Xαβ+κt]=（正常数）if2aσ+κ-αβ+2>0，等式[Xαβ+κt]=∞ 否则证明如下。定义Yt：=1/Xt。那么Ytis是一个CIR过程，其中dyt=（a+σ（κ+1）- θYt）dt- σpYtdWt。通过考虑CIR过程的密度函数（如方程（A.1）所示），我们获得了期望的结果。总之，我们得出以下长期增长率。提案3.4。设LTF为β-LETF，其参考价格满足3/2模型（3.16）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=rα（1-β）-θκif2aσ+κ- αβ+2>0，∞ 否则一般来说，2aσ+κ的符号-αβ+2取决于模型参数（θ、a、σ）、风险规避系数α和杠杆率β。然而，我们发现β≤ 3，持有市场交易的LETF，条件2aσ+κ-满足αβ+2>0。接下来，我们研究最佳杠杆率β*对于静态投资者（见（1.2））。在2aσ+κ的场景中-αβ+2>0，我们定义∧（β）：=rα（1- β）- θκ。接下来，我们确定∧的临界点。

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2022-5-30 22:14:34

差异产生∧′（β）=-rα-θα（2β- 1） q+aσ+ αβ（β- 1）。当α≥θr，方程∧′（β）=0没有解，且∧′（β）<0表示所有β。因此，∧（β）是β的递减函数。实际上，β*= -3是最佳策略。另一方面，当α<θr时，通过考虑方程∧′（β）=0，我们得出结论∧（β）的最大值在β处达到*=-武特1+2aσ- αθr- α。注意，平方根内的数字是正的，因为α≤ 1<（1+2aσ-2）。此外，最优值满足β*= 0当且仅当1+2aσ=θr.4随机波动率模型在本节中，我们分析了随机波动率模型下LETF的鞅提取方法。设Bt为P下的标准布朗运动。参考价格通过一个常数μ、一个d维列向量σ（·）和一个马尔可夫扩散过程y作为随机波动性的驱动因素来满足SdedxTt=udt+σ（Yt）·Db。在本节中，利息率为常数>0。如第2节所述，确定一个新的衡量标准比亚迪PdPFt=eαβRtσ（Ys）dBs-αβRt |σ|（Ys）ds。然后，由^Bt定义的过程：=-αβZtσ（Ys）ds+bt是^P下的标准布朗运动。从方程（2.8）可以看出，ep[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRt |σ|（Ys）ds]eα（r+β（u-r））t.继（2.12）之后，在第2.2节中，随机波动率驱动因素Y发挥了GT的作用，其主要思想是应用e-α（1-α） βRt |σ|（Ys）dsand显式计算期望效用。4.1赫斯顿模型我们现在举一个例子，其中参考价格遵循赫斯顿模型（见赫斯顿（1993）），dXt=uXtdt+√vtXtdBt，dvt=（θ- avt）dt+δ√vtdZt，（4.1），其中bt和zt是两个相关的布朗运动，hZ，W it=ρt和相关参数ρ∈ [-1，1]。

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2022-5-30 22:14:38

该模型假设tu、θ、a、δ>0和2θ>δ。通过第2节中的（2.6）-（2.7）定义度量值^P，以便^Bt定义的过程=-αβZt√vsds+dBtis是一个^P-布朗运动。通过（2.8），我们表示了测度^P asEP[Lαt]=E^P[E]下的预期效用-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r）随机波动过程vt是一个重新参数化的CIR过程vt=（θ- （a）- αβδρ）vt）dt+δ√vtd^Zt，其中^Zt是^P下的另一个布朗运动。我们现在研究e的鞅提取-α（1-α） βRTVSD。为此，我们认为随机波动率过程VTA扮演着第2.2节中讨论的过程GT的角色。VT的微型发生器L可杀死大鼠eα（1- α） βvtisLφ（v）=δvφ′（v）+（θ- （a）- αβδρ）v）φ′（v）-α（1- α） βvφ（v）。通过直接计算，我们得到了L的容许特征对，由（λ，φ（v））给出=θκ，e-κv,式中，κ：=δ（p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ- a+αβΔρ）。设Q是关于这对（λ，φ（v））的变换测度。然后，过程VT满足其他重新参数化的CIR模型DVT=（θ-p（a- αβδρ）+α（1- α） βδvt）dt+δ√vtdWt，其中wt是Q-布朗运动。预期效用可以写成asEP[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r））t=EQ[eκvt]e（αr+αβ（u-r）-θκ）t-κv.注意，t EQ[eκrt]收敛到一个非零常数，即t→ ∞. 关于这个鞅抽取的更多细节，请参阅附录A。提案4.1。设Ltbe为参考价格满足赫斯顿模型（4.1）的出租金融机构。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u- r）- θκ=αr+αβ（u- r）-θδ（p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ- a+αβΔρ）。（4.2）我们现在确定最佳杠杆率β*对于规避风险的静态投资者。为了理解（4.2）中长期极限对β的依赖性，我们定义了函数∧（β）：=αδ（u- r） θ- αδρβ-p（a- αβδρ）+α（1- α） βδ。LetC=α（1- α） δ+αδρ，C=-aαδρ，C=a，D=αδ（u- r） θ- αδρ。

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2022-5-30 22:14:41

（4.3）然后，我们重写∧（β），以强调对β的依赖，即∧（β）=Dβ-pCβ+2Cβ+C。依次，我们得到导数：∧′（β）=D-Cβ+CpCβ+2Cβ+C，∧′（β）=C- CC（Cβ+2Cβ+C）3/2。自C起- CC<0，我们知道∧（β）是β的严格凹函数。（i）如果C>D，则∧′（β）=0有一个唯一的解，该解提供了最佳杠杆率β*= -CC+| D | CsCC- 抄送- D、（ii）如果C≤ D、那么∧′（β）=0没有解。此外，如果D>0，则∧′（β）对所有β都是正的，因此∧（β）是一个增函数。最佳β*= 3（或最大可用杠杆率）。如果D<0，则∧′（β）对所有β均为负，因此∧（β）是递减函数，最好是最负的杠杆率。实际上，投资者会选择β*= -这是直观的，因为D<0意味着tu<r（见（4.3））。图1描述了命题4.1中作为β函数的长期增长率。参数为：α=0.5，r=0.01，θ=0.16，δ=0.89，a=3。1，ρ=-0.5，以及u∈ {0.05，0.01，-0.05}。正如我们所见，当超额收益（u- r）则最佳杠杆率为正（β*= u时为1.93- r=0.04）。相反，当参考价格XT呈下降趋势时（u=-0.05），则投资者选择短期LETF（即β=-1.95）。β-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5长期增长率-0.3-0.25-0.2-0.15-0.1-0.0500.05u=0.05u=0.01u=-0.05图1：赫斯顿模型下预期效用的长期增长率作为杠杆率β的函数。

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2022-5-30 22:14:44

在漂移u的三个不同值下∈ {0.05，0.01，-0.05}，最佳β*最大化增长率为{1.93，0，-分别为1.95}。4.2 3/2波动率模型根据Carr和Sun（2007）提出的3/2波动率模型，参考价格XtfollowsdXt=uXtdt+√vtXtdBt，dvt=（θ- avt）vtdt+δv3/2tdZt，（4.4），其中bt和zt是两个具有瞬时相关ρ的标准布朗运动∈[-1，1]。如第2节所述，我们定义了测度^P，以便过程^Bt=-αβZt√vsds+DBT是^P下的标准布朗运动。由于（2.8），预期效用允许表达式P[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r）随机波动过程vt遵循重新参数化的3/2模型vt=（θ- （a）- αβδρ）vt）vtdt+δv3/2td^zt，其中^zt是一个^P-布朗运动。在第2.2节中，我们通过将随机波动过程VTA视为过程GT来应用鞅提取方法。具有killingrateα（1）的扩散VT的微型发生器L- α） βvtisLφ（v）=δvφ′（v）+（θ- （a）- αβδρ）v）vφ′（v）-α（1- α） βvφ（v）。可以看出（λ，φ（v））：=θκ，v-κ是L的容许特征对，其中κ：=δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ- （a）- αβδρ+δ/2））。设Q为相应的变换测度。过程vtsatiesdvt=（θ- （p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ- δ/2）vt）vtdt+δv3/2tdWt，其中wt是Q-布朗运动。因此，我们表示预期效用a sEP[Lαt]=E^P[E-α（1-α） βRtvsds]eα（r+β（u-r））t=EQ[vκt]e（αr+αβ（u-r）-θκ）tv-κ。通过考虑CIRprocess 1/vt的密度，我们证明了EQ[vκt]收敛到一个正常数，给定δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ+（a- αβδρ+δ/2））+1>0。否则，我们有EQ[vκt]=∞. 总之，我们有以下主张。提案4.2。设LTF为参考过程XT满足3/2模型（4.4）的LETF。

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2022-5-30 22:14:47

那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αr+αβ（u- r）- θκ，（4.5）如果δ（p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ+（a- αβδρ+δ/2））+1>0。否则，我们就要→∞tlog EP【Lαt】=∞ .明确的长期限制使我们能够方便地确定最佳杠杆率β*对于风险厌恶型静态投资者。为此，我们从（4.5）∧（β）中定义以下函数：=（（u-r） δ/θ- ρ） αδβ-p（a- αβδρ+δ/2）+α（1- α） βδ。我们定义了康斯坦茨=α（1- α） δ+αδρ，C=-αδρ（a+δ/2），C=（a+δ/2），D=（（u- r） δ/θ- ρ） αδ，为了突出其对β的依赖性，我们将∧（β）重写为∧（β）=Dβ-pCβ+2Cβ+C。给定∧的相同结构，最佳β*可以用与第4.1节完全相同的方法导出。总之，如果C>D，则最佳β*isβ*= -CC+| D | CsCC- 抄送- D、如果是C≤ D、然后，最佳选择可能的最正（或最负）βifD>0（或D<0）。5 LETF具有随机参考和利率在本节中，我们分析了当参考价格XT和短期利率RTA都稳定时，持有anLETF的预期效用的长期增长率。5.1 Vasicek利率我们首先考虑Vasicek（1977）引入的Vasicek利率模型。参考价格过程Xt和短期利率Rt满足SDEsdXt=uXtdt+σXtdBt，（5.1）drt=（θ- art）dt+δdZt，（5.2）对于u，σ，θ，a，δ>0，其中bt和zt是两个布朗运动，使得hZ，W it=ρt-1.≤ ρ≤ 1、如第2节所述，确定^Bt，然后由^Bt给出的过程：=-αβσt+Btis是一个^P-布朗运动。从方程式（2.8）可以看出，EP【Lαt】=E^P【E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt.rtisdrt的^P动力学=（θ+αβΔσρ）- art）dt+δd^Zt和a^P-Brownian^Zt。现在我们研究e的鞅提取-α（β-1）第2.2节中，RTRSDS的过程rtplaying therole of GT。考虑与killingrateα（β）的扩散的微型发生器L-1） rt。

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2022-5-30 22:14:50

我们知道，发电机L isLφ（r）=Δφ′（r）+（θ+αβΔσρ- ar）φ′（r）- α（β-1） rφ（r）。可以看出（λ，φ（r））：=2aα（1- β）(-αδ（1- β） +2a（θ+αβΔσρ）），e-α（1-β） ra公司是L的容许特征对。过程rtsatis fiesdrt=（θ+αβΔσρ- αδ（1- β） /a- art）dt+δdWt，其中wt是对应变换测度Q下的布朗运动。它遵循ep[Lαt]=E^P[E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt=等式[eκrt]e（αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β）（θ+αβΔσρ））t-κrand我们知道EQ[eκrt]收敛到一个正常数，因为rtis a gain an OU processunder Q。总之，我们有以下命题。提案5.1。假设参考p ri ce进程xt和间隔速率rts分别满足（5.1）和（5.2）。那么，我们有限制→∞tlog EP【Lαt】=αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β）（θ+αβΔσρ）。（5.3）我们现在发现最佳杠杆率β*对于一个静态投资者来说。为了检验极限（5.3）对β的依赖性，我们定义∧（β）=Cβ+Cβ，常数=-α（1- α） σ+αδ2a+αδσρa，C=αu-αδa+αθa-αΔσρa。注t∧（β）是一个二次函数。如果C<0，则β*= -C2Cis最佳。如果C>0，则当2C>0（C2C<0）时，更积极（或更消极）的β总是更有利。在C=0的特殊情况下，当C>0（相应C<0）时，首选更积极（相对负）的杠杆ETF。在图2中，我们将不同u值的长期增长率（5.3）显示为β的函数。参数为：α=0.8，r=0.01，θ=0.16，δ=0。89，a=3，σ=0.3，ρ=-0.5。我们可以看到，正（负）杠杆率β*是牛市（尤其是熊市）中u=0.05（尤其是u=-0.05）。具有β的正杠杆ETF*= 即使参考资产没有超额回报（即u- r=0）。

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2022-5-30 22:14:54

这与图1所示的赫斯顿模型和GBM模型形成了有趣的对比，其中最佳杠杆率β*= 0当u=r.5.2逆GARCH利率时，随机空头利率的另一个模型是逆GARCH扩散模型，第3.3节讨论了该模型。假设参考价格XT和短期利率RTS满足SDEsdXt=uXtdt+σXtdBt，drt=（θ- art）rtdt+δrtdZt，（5.4）β-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5长期增长率-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.1u=0.05u=0.01u=-0.05图2：GBM模型下预期效用的长期增长率，Vasicekinterest rate对应于u的三个值∈ {0.05，0.01，-0.05}。最佳杠杆β*（这些曲线的最大值）为{3.65，1.52，-分别为1.68}。式中，Bt和Zt是两个布朗运动，例如That hZ，W it=ρt-1.≤ ρ≤ 1、假设tu，a，δ>0，θ>δ。按照第2节中的程序，我们定义了测度^P，并在该测度下表示预期效用ep【Lαt】=E^P【E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt。随机利率按照t=（θ+αβΔσρ）演化- art）rtdt+δrtd^Zt，其中^Zt是一个^P-布朗运动。现在我们给出e的鞅抽取-α（β-1） RTRSD。rtisLφ（r）=δrφ′（r）+（θ+αβδσρ- ar）rφ′（r）- α（β- 1） rφ（r）。可以验证（λ，φ（r））=-2aαδ（β- 1）（αβ-α+a）+aα（β- 1）（θ+αβΔσρ），rα（1-β） /a是θ+αβΔσρ提供的L的容许特征对- αδ（β- 1） /a>δ，这解释了我们对参数的条件。更改转换后的度量值Q后，rtsatis fiesdrt=（θ+αβΔσρ- αδ（β-1） /a- art）rtdt+δrtdWt，其中wt是Q下的布朗运动。通过期望性连接度量，我们写出了[Lαt]=E^P[E-α（β-1） RTRSD]eαβut-α（1-α） βσt=等式[r-α（1-β） /at]e（αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（β-1）（αβ-α+a）-aα（β-1）（θ+αβΔσρ））trα（1-β） /a。

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2022-5-30 22:14:57

（5.5）检查最后一行（5.5），我们指出限制→∞等式[r-α（1-β） /at]=（正常数）如果α（1- β） /a+δ（θ+αβδσρ）- 1>0，等式[r-α（1-β） /在]=∞ 否则（5.6）关于（5.5）中的等式和（5.6）中的两个等式，我们参考附录B。提案5.2。考虑参考价格XT和满足方程式（5.4）的短期利率RTF。如果α（1-β） /a+δ（θ+αβδσρ）- 1>0，然后限制→∞tlog EP【Lαt】=αβu-α（1-α） βσ+2aαδ（1-β）-aα（1-β）（θ+αβΔσρ）。（5.7）否则，我们必须→∞tlog EP【Lαt】=∞.利用这一结果，我们可以找到最佳杠杆率β*对于长期投资者，通过将极限（5.7）分析为β的函数，即∧（β）：=αβu-α（1- α） βσ+2aαδ（1- β）-aα（1- β）（θ+αβΔσρ）。函数∧（β）是由α（1）提供的二次函数-β） /a+δ（θ+αβδσρ）-|β|上的1>0≤ 确定∧（β）最大值的程序与第5.1节中所述的程序相同，因此省略。6二次模型在本节中，我们考虑由Xt=e | Yt |给出的二次模型，其中Ytis a d-维奥尔斯坦-乌伦贝克（OU）过程dyt=（b+BYt）dt+σdBt，Y=0d。（6.1）这里，b是d维列向量，b是d×d矩阵，σ是非奇异d×d矩阵，因此a=σ是严格的正定义。我们参考Ahn等人（2002）和Qin and Linetsky（2015）了解关于该二次模型的更多详细信息。利率r假定为正常数。在qadratic模型下，LETF价格可以表示为lt=Xtβe-r（β-1） t型-2β（β-1） RtY公司附录C中推导出的uaYudu。根据方程式（2.8），预期效用由EP【Lαt】=EP【e】给出-2αβ（β-1） RtY公司uaYuduXαβt]e（rα（1-β））t=EP[e-2αβ（β-1） RtY公司uaYudueαβ| Yt |]e（rα（1-β））t。我们现在应用第2.2节中开发的鞅提取方法。

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mingdashike22

2022-5-30 22:15:01

与Ytin（6.1）相对应的最小发电机L isLφ（y）=φ（y）（b+By）+Xi，j（Hφ（y））ijaij- 2αβ（β- 1） y型ayφ（y），其中φ（y）是广义行向量，Hφ（y）是Hessian矩阵。我们可以通过以下方式找到L的容许特征对。设V为稳定解（即V对称，B-2aV是非奇异的，B的特征值-2aV具有负实部）2aV aV- B五、- V B- 2αβ（β- 1） a=0，（6.2），并通过u=2（2a）定义向量u- 五、-1B级)-1b。（6.3）在这种情况下，我们得到L的容许特征对，由（λ，φ（y））=(-uau+tr（aV）+ub、e-uy-yV y）。这就导致了马丁尼麦酒提取E-2αβ（β-1） RtY公司uaYudu。有关此特征对的更多详细信息，请参阅Qin和Linetsky（2015）中的第6.2.2节。用Q表示相对于（λ，φ）的变换度量（见（2.11））。在量度Q下，Xtevolves根据xT=（b-au+（B- 2aV）Xt）dt+σdWt，（6.4），其中wt是Q下的布朗运动。保持LETF的预期效用可以表示为p[Lαt]=EP[e-2αβ（β-1） RtY公司uaYudueαβ| Yt |]e（rα（1-β））t=EQ[欧盟Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]e（rα（1-β） +u澳大利亚-tr（aV）-ub） t.对于任何固定的t，Ytis是一个多元正态随机变量。因此，我们明确计算Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]=p（2π）ddet∑tZRdeuy+yV y+αβ| y|-（y）-uT）∑-1吨（y-ut）dy，其中utand∑分别是y在Q下的平均向量和协方差矩阵。在Q下，方程（6.4）漂移项中的Ytin系数为B- 2aV，所有whoseeingvalue都有负实部。因此，Ytis的分布收敛于不变量分布，这是一个非退化的多元正态随机变量。Let∑∞贝思不变分布的协方差矩阵。设C：=V+αβId-∑∞, 这是不对称矩阵。右边积分的收敛和发散取决于C的特征值。

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2022-5-30 22:15:05

我们总结如下：限制→∞EQ[欧盟Yt+YtV Yt+αβ| Yt |]=（正常数）如果C的所有特征值都为负，则等式[euYt+YtV Yt+αβ| Yt |]=∞ 否则提案6.1。设V为方程（6.2）的稳定解，u由方程（6.3）定义。然后，长期增长率由IMT给出→∞tlog EP【Lαt】=rα（1- β） +u澳大利亚- tr（aV）- ub如果C的所有特征值都为负，∞ 否则7结论在我们对LETF预期效用的长期增长率的研究中，我们提出了鞅提取方法，并将路径相关的期望转化为路径无关的期望，这更便于分析并得出明确的解决方案。在确定预期效用（或预期收益）的长期增长率时，我们还说明并解决了嵌入特征对（特征值和特征函数）问题。在本文研究的每一个单因素和多因素模型中，我们推导出了特征对以及增长率的极限。使用长期生长大鼠e的公式，我们还确定了最佳ima平均比率，并检查了各种模型参数的影响。这些结果不仅对个人或机构投资者有用，也对ETF提供商和监管机构有用，因为他们有权了解市场上交易的任何LETF的长期表现。未来的研究方向有很多。一个方向是调查LETF期权的长期价格行为（参见Leung和Sircar（2015）；Leung等人（2016年））。关于期权长期价格行为的最新研究可在Park（2016）中找到。

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2022-5-30 22:15:08

鉴于本文所研究的鞅提取方法对于比例不变的LETF非常有效，一个有趣且实用的扩展是将其应用于其他动态端口组合策略。A扩展CIR模型我们在扩展CIR模型下评估（3.15）中规定的限值。我们回顾了Xtin（3.13）的量子动力学：dXt=(l - uXt）dt+σpXtdWt，带l := θ+κσ。提案A.1。对于p∈ R、 we Havelimt公司→∞tlog EQ【Xpte2uσXt】=p+2lσu如果p+2lσ> 0，∞ 如果p+2lσ≤ 0。在证明这一主张之前，我们定义了以下定义。符号设p（x）和q（x）是x的两个正函数。用p（x）表示 x=xif limx时的q（x）→xp（x）/q（x）存在并且是非零常数。我们将其表示为byp。qif存在一个正常数c，使得p（x）≤ c·q（x）。证据已知在固定时间t的x的密度函数g（x；t）beg（x；t）=hte-u-vvu公司q/2Iq（2√uv），（A.1），其中IQ是第一类q阶的修正贝塞尔函数，HT=2uσ（1- e-ut），q=2lσ- 1，u=hte-ut，v=htX。稍微重写后，我们发现（x；t）=kthte-htxxq/2Iq（2hte-ut/2√x）。这里，kt=e-hte公司-uteuqt/2。数量限制→∞特洛格斯∞xpe2uσxg（x；t）d xis是我们感兴趣的。经检查，我们获得∞xp+qe-ptxdx。Z∞xpe2μσxg（x；t）d x。Z∞xp+qe-ptxe2hte-ut/2√xdx，（A.2），其中pt=ht-2uσ。以下是zq。智商（z）。zqez。我们现在证明，如果p+q+1>0，那么（A.2的右侧和左侧） e（p+q+1）在。对于（A.2）的右侧，用y=ptx，然后用Z代替∞xp+qe-ptxe2hte-ut/2√xdx=p-p-q-1tZ∞yp+qe-是的-ut/2p-1/2吨√伊迪。当t接近完整时，hte-ut/2p-1/2收敛为常数，因此积分项收敛为正常数。通过直接计算，p-p-q-1吨 e（p+q+1）ut。这意味着（A.2的右侧）） e（p+q+1）ut。假设p+q+1>0，则（A.2）左侧的证明类似。

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