杠杆{ETF}隐含{ETF}动态波动

nandehutu2022

1134

收藏 2022-05-06

英文标题：
《Leveraged {ETF} implied volatilities from {ETF} dynamics》
---
作者：
Tim Leung, Matthew Lorig, Andrea Pascucci
---
最新提交年份：
2015
---
英文摘要：
The growth of the exhange-traded fund (ETF) industry has given rise to the trading of options written on ETFs and their leveraged counterparts {(LETFs)}. We study the relationship between the ETF and LETF implied volatility surfaces when the underlying ETF is modeled by a general class of local-stochastic volatility models. A closed-form approximation for prices is derived for European-style options whose payoff depends on the terminal value of the ETF and/or LETF. Rigorous error bounds for this pricing approximation are established. A closed-form approximation for implied volatilities is also derived. We also discuss a scaling procedure for comparing implied volatilities across leverage ratios. The implied volatility expansions and scalings are tested in three well-known settings: CEV, Heston and SABR.
---
中文摘要：
埃芬奇交易基金（ETF）行业的增长导致了ETF及其杠杆交易对手{（LETFs）}的期权交易。我们研究了当标的ETF由一类一般的局部随机波动率模型建模时，ETF和LETF隐含波动率曲面之间的关系。对于收益取决于ETF和/或LETF终值的欧式期权，导出了价格的封闭形式近似值。建立了这种定价近似的严格误差界。还导出了隐含挥发率的闭合形式近似。我们还讨论了一个比较杠杆比率隐含波动率的标度程序。隐含波动率扩展和标度在三个著名的环境中进行了测试：CEV、Heston和SABR。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
-->

Leveraged_{ETF}_implied_volatilities_from_{ETF}_dynamics.pdf
大小:(604.25 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

nandehutu2022

2022-5-6 04:01:03

杠杆化ETF隐含波动率来自ETF dynamicsTim Leung*Matthew Lorig+Andrea Pascucci此版本：2015年4月16日摘要交易所交易基金（ETF）行业的增长导致ETF及其杠杆交易对手（LETF）的期权交易。我们研究了当标的ETF由一类一般的局部随机波动率模型建模时，ETF和LETF隐含波动率曲面之间的关系。对于欧式期权，其支付取决于ETF和/或LETF的终值，推导出了价格的封闭形式近似值。建立了该定价近似的严格误差界。还导出了隐含挥发率的封闭形式近似。我们还讨论了一个比较杠杆比率隐含波动率的标度程序。隐含波动率扩展和标度在三个众所周知的环境中进行了测试：CEV、Heston和SABR。关键词：隐含波动率、局部随机波动率、杠杆式交易所买卖基金、隐含波动率标度介绍自年推出以来，交易所买卖基金（ETF）市场一直以强劲的速度增长。截至2012年底，全球ETF行业拥有超过1.8万亿美元的资产管理规模（AUM），包括4272种产品，并有近2000亿美元的正向资本流入。近年来，一种被称为杠杆式ETF（leveraged ETF，简称LETF）的ETF子类因其杠杆化头寸的可操作性和流动性而在投资者中广受欢迎。这些基金旨在复制某些参考指数或资产的日收益倍数。例如，ProShares S&P 500 Ultra（SSO）和UltraPro（UPR）的广告分别产生标准普尔500指数日收益的2倍和3倍，减去少量费用。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:01:07

另一方面，杠杆率为负的LETF允许投资者*哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，纽约州纽约市，邮编10027。电子邮件：leung@ieor.columbia.edu.+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，98195。电子邮件：mattlorig@gmail.com.部分工作由NSF拨款DMS-0739195支持意大利奥洛尼亚博洛尼亚大学马特马蒂卡分校。电子邮件：安德里亚。pascucci@unibo.it.The第一只在美国上市的ETF，SPDR标准普尔500 ETF（SPY）于1993年1月29日推出。《2013年ETF和投资展望》，由道富环球顾问公司SPDR ETF战略与咨询公司David Mazza撰写。可在http://www.spdr-etfs.com.take基金对基础指数的看跌。一个例子是ProShares S&P 500UltraShort（SDS），其杠杆率为-2.最典型的杠杆比率是{-3.-2.-1, 2, 3}. 对于相同的参考，例如标准普尔500指数，这些LETF具有非常相似的随机性来源，但它们也表现出不同的路径行为（参见Cheng和Madhavan（2009）以及Avellaneda和Zhang（2010））。ETF的使用也导致了ETF期权交易的增加。2012年，芝加哥期权交易所（CBO E）的期权合约总量为10.6亿份，其中2.82亿份为ETF期权，4.73亿份为股票期权。这就产生了一个重要的问题，即ETF和LETF的期权定价是否一致。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:01:10

由于期权通常是根据隐含波动率进行报价和比较的，因此考虑LETF期权之间的隐含波动率关系是很自然的，不仅是在履约和成熟度之间，而且对于各种杠杆也是如此。在本文中，我们分析了一类一般的局部随机波动率（LSV）模型中与欧式LETF期权相关的隐含波动率曲面。我们的方法是（i）找到近似的LETF期权价格的表达式（ii）为该近似值建立严格的误差范围，以及（iii）将价格近似值转换为近似的隐含波动率。在一般LSV设置下，显然不可能获得准确的定价和隐含波动率公式。有许多方法可以用来估算欧式期权价格及其相关的隐含波动率。我们在这里回顾了一些无杠杆产品的最新方法。Gatheral等人（20 12）在局部波动性设置中使用热核方法。Benhamou等人（2010年）对时间相关的Heston模型使用了波动率扩展的小波动率。最近，Bompis和Gobet（2013）使用Malliavin演算在相当普遍的LSV设置中获得近似值。Forde和Jacquier（2011）使用Freidlin-Wentzell大偏差理论来分析不相关的LSV模型。在本文中，我们使用多项式算子展开技术来获得近似价格和隐含效用。在Pagliarani和Pascucci（2012年）以及Pagliarani等人（2013年）中首次引入了多项式算子展开技术，以计算标量跳跃扩散环境下的期权价格。Lorig et al.（2015b）进一步发展了该方法，以获得多维随机波动率环境下的近似价格和隐含波动率（另见Lorig et al。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-6 04:01:13

（2015c）用于带有跳跃的模型的定价近似值）。基于Lorig等人（2015b）开发的方法进行扩展的原因是，这些方法允许我们考虑ETF的一大类LSV模型；上述许多方法仅适用于特定ETF动态。然而，在没有进一步发展的情况下，Lorig等人（2015b）中描述的方法不足以满足我们在本文中建立的严格误差范围。事实上，inLorig等人（2015b）在一致椭圆假设下建立了误差界。正如我们将看到的，ETF/LETF联合过程的产生者不是椭圆的。因此，要建立LETF期权价格的严格界限，我们必须在这种具有挑战性的非椭圆环境下工作。也许我们分析的最有用的结果是我们得到的隐含挥发性膨胀的一般表达式。这种扩展使我们能够精确定位杠杆率β所起的重要作用，从而将（无杠杆）ETF和LETF期权之间的隐含波动率表面联系起来。这也促使我们应用对数货币性比例的思想，目的是在相同的规模和方向上查看杠杆率的隐含波动率。特别是，对于负杠杆率和高达对数货币性的一阶，已知LETF隐含波动率呈上升趋势，而ETF和LONG LETF隐含波动率呈下降趋势（见Leung和Sircar（2015））。标度能够适当调整隐含波动率的水平和形状，以便ETF和LETF隐含波动率在给定模型下紧密匹配。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:01:16

为了举例说明，我们在三个著名的环境中测试了隐含波动率扩展和对数货币的缩放：CEV、Heston和SABR，并发现它们非常准确。在最近的论文中，Leung和Sircar（2015）应用渐近技术来理解在多尺度随机波动性框架内，ET F的叠加波动率和不同杠杆率的LETF之间的联系（参见Fouque等人（2011）对多尺度方法的回顾）。他们还引入了与我们不同的隐含可扩展性调整程序，以确定ETF和LETF期权市场中可能存在的价格互换。与他们的工作相反，本文在一般LSV框架中研究了这个问题，该框架自然包括著名的模型，如CEV、Heston和SABRmodels等。此外，虽然Leung和Sircar（2015）获得了对数正态线性的隐含波动率近似值，但我们提供了L ETF隐含波动率的一般表达式，即二次对数正态。我们还提供了三种特定模型（CEV、Heston和SABR）的计算公式，它们的对数均为立方。Ahn等人（2012年）提出了一种启发式近似方法，用Hesto n随机波动率和标的资产的跳跃来计算期权价格。虽然他们没有研究隐含的波动性，但他们指出，如果基础ETF承认Heston（无跳跃）动态，那么LETF也具有不同参数的Hestondynamics。作为LSV模型的一个特殊例子，我们还得到了通过隐含波动率扩展揭示的相同结果（见第6.2节）。本文的研究成果如下。在第2节中，我们回顾了在一般差异环境中，LETF动态与TF动态的关系。然后，我们为ETF的一类LSV模型引入马尔可夫动力学。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-5-6 04:01:20

接下来，在第3节中，我们正式构造了欧式期权的渐近展开式，其收益取决于ETF和/或LETF的终值。我们的定价近似值的严格误差界在第4节中建立。在第5节中，我们将价格的渐近展开式转化为隐含价值的渐近展开式。我们还讨论了LETF隐含波动面的一些自然条件。最后，在第6节中，我们在三个著名的环境中实现了隐含波动率扩展：CEV、Hes ton和SABR。第7.2节杠杆式ETF动态中给出了一些结论，我们将其视为一个等价的鞅测度Q，由市场在一个完整的过滤概率空间中选择(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，Q）。过滤{Ft，t≥ 0}代表市场的历史。下面定义的所有随机过程都存在于这个概率空间中，并且所有的预期都是关于Q的。为了隐含性，我们假设一个摩擦市场，没有套利，零利率，没有股息。我们将在Rema rk 3.2中讨论如何放松这些假设。让我们来看看交易所买卖基金（ETF）的价格过程。作为消费者，我们可以在严格积极的信息技术差异下进行建模。具体来说，我们有ETF:St=eXt，dXt=-σtdt+σtdWxt，（2.1），其中σ是严格正随机过程。请注意，漂移是由波动率固定的，因此S是鞅。Le t L是一只杠杆式交易所买卖基金（Let F）的价格过程，其基础是杠杆率β。β的典型值为{- 3.-2.-1, 2, 3} . LETF的管理方式如下：对于交易员投资于L的每一种货币单位，LETF管理人借入（β）- 1）货币单位，并将β货币单位投资于S。基金经理通常还会向交易员收取一个小的费用率，为简单起见，我们假设该费用率为零。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-6 04:01:23

那么L的动力学与S有关，如下所示：Dltlt=βdStSt=βσtdWxt，因此我们得到了Lt=eZt，dZt=-βσtdt+βσtdWxt。（2.2）将（2.1）与（2.2）进行比较，我们观察到L的波动性由β因子来衡量。此外，正如Avellaneda和Zhang（2010）所示，一个c可以明确地解出Z的SDE，以获得X的表达式，以及X到时间t的二次变化（综合方差）。具体来说，我们有- Z=β（Xt）- 十）-β(β - 1） Ztσsds。（2.3）等式（2.3）表明，一个LETF的对数收益率是两项之和。第一项与基础ETF的对数回报成比例。第二项与X的综合方差成正比，并强调了LETF上的期权是路径依赖型期权这一事实。请注意，对于杠杆率β∈ {-3.-2.-1,2,3}，效率-β(β-1）已实现方差的绝对值为负。还要注意-β(β-1）是β.2.1局部随机波动率框架的非对称函数。我们现在专门研究马尔可夫环境。我们引入了一个辅助过程Y，旨在捕捉随机波动性等效应。我们认为三重（X，Y，Z）可以用以下随机微分方程（SDE）建模：dXt=-σ（t，Xt，Yt）dt+σ（t，Xt，Yt）dWxt，dYt=c（t，Xt，Yt）dt+g（t，Xt，Yt）dWyt，dZt=-βσ（t，Xt，Yt）dt+βσ（t，Xt，Yt）dWxt，dhWx，Wyit=ρ（t，Xt，Yt）dt。（2.4）我们假设SDE（2.4）有唯一的强解，并且系数（σ，c，ρ）是光滑的。池田和渡边（1989）给出了唯一强解的充分条件。（2.4）描述的模型类具有以下特点：1。随机波动率：当σ和ρ仅为（t，y）的函数时（就像在赫斯顿这样的随机波动率模型中那样），那么（X，y）和（y，Z）对就是马尔可夫过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-6 04:01:26

从数学角度来看，相关性ρ和波动率σg缺乏x依赖性，这大大简化了定价和隐含波动率分析，因为写在Z上的调用可以独立于x.2上的调用进行分析。局部波动性：如果σ和ρ都只依赖于（t，x）（就像它们在局部波动性模型（如CEV）中一样），那么x单独和对（x，Z）是一个马尔可夫过程。在这种情况下，对XC的调用可以与对Z的调用分开进行分析。但是，对Z的调用必须与X.3一起进行分析。局部随机波动率：如果σ和ρ依赖于（x，y）（在局部随机波动率设置中，如SABR中的情况），那么pa ir（x，y）是一个马尔可夫过程，就像三重过程（x，y，Z）一样。在这种情况下，X上的选项可以独立于Z进行分析。相比之下，要分析Z上的选项，必须考虑tr（X，Y，Z）。如果β=1，那么从（2.4）我们可以看到dXt=dZt。因此，我们只需要获得Z上写的期权的价格和隐含效用。通过考虑特殊情况β=1.3期权定价风险中性定价和过程（X，Y，Z）的马尔可夫性质，始终可以获得X上写的期权，我们可以写出期权u（t，x，y，z）的时间t价格，到期日期t>t，支付金额（ZT）作为支付金额u（t，x，y，z）=E[~n（ZT）|Xt=x，Yt=y，ZT=z]的风险中性预期。（3.1）在温和假设下，函数u满足科尔莫戈罗夫向后方程(t+A（t））u（t）=0，u（t）=~n，（3.2），其中算符A（t）由A（t）=A（t，x，y）给出十、- 十、+ βZ- Z+ 2β 十、Z+ b（t，x，y）y+c（t，x，y）y+f（t，x，y）(十、y+βYz）函数（a，b，f）定义为asa（t，x，y）=σ（t，x，y），b（t，x，y）=g（t，x，y），f（t，x，y）=g（t，x，y）σ（t，x，y）ρ（t，x，y）。对于一般（a，b，c，f），没有（3.2）的显式解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-6 04:01:29

因此，我们的目标是为期权价格u找到一个封闭的形式近似，并为我们的近似推导出严格的误差界。备注3.1。我们注意到A（t）的二阶导数矩阵2a f2βaf 2bβf2βaβf2βa（3.4）是单数；特征向量（β，0，- 1）对应于特征值0。因此，运算符A（t）是非椭圆的。这为建立pricingapproximation的误差范围提供了额外的数学挑战，我们将在第4节中进行。备注3.2（确定性利率、股息和费用比率）。假设利率是时间的决定性函数r（t）。还支持ETF持有人在单位时间内收到股息q（t）t，并且LETF提供商在q（t）和c（t）为确定性函数的情况下，按单位时间收取费用率c（t）t。在这种情况下，期权价格的计算方法为：贴现期望值（t，ex，y，ez）：=E[E-RTtds r（s）|（eZT）| eXt=ex，Yt=y，eZT=z]，deXt=dXt+（r（t）- q（t））dt，deZt=dZt+（r（t）- c（t）- βq（t））dt，其中（X，Y，Z）如（2.4）所示。在对变量su（t，x（t，ex），y，z（t，ez））进行以下更改时：=eRTtds r（s）eu（t，ex，y，ez），（3.5）x（t，ex）：=ex+ZTtds r（s），z（t，ez）：=ez+ZTtds（r（s）- 丙(s)- βq（s）），链式规则的简单应用表明，（3.5）中定义的u满足柯西问题（3.2）。因此，当前的框架允许我们方便地适应这些附加功能。3.1渐近价格通过Taylor和Dyson级数在本节中，我们展示了如何将Taylor和Dyson级数结合起来，以便正式构造Cauchy问题（3.2）解u的无符号近似。在随后的整个推导过程中，我们假设对于每个t，算子a（t）的系数（a，b，c，f）在（x，y）中是解析的，因此我们可以将这些函数中的每一个展开为泰勒级数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-6 04:01:32

正如我们将看到的，这种假设对于u的四阶近似是不必要的，我们将在定义3.3中给出。然而，做出这个假设将简化接下来的推导。设（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ Rbe是一个分段连续映射。对于任何（t，x，y），我们有：χ（t，x，y）=∞Xn=0nXk=0χn-k、 k（t）（x）- \'x（t））n-k（y）- y（t））k，χn-k、 k（t）=N-kxkyχ（t，\'x（t），\'y（t））（n- k） !！Kχ ∈ {a，b，c，f}。形式上，操作符A（t）现在可以写成asA（t）=A（t）+B（t），B（t）=∞Xn=1An（t），An（t）=nXk=0（x- \'x（t））n-k（y）- \"y(t))kAn-k、 k（t），（3.6）在哪里-k、 k（t）=an-k、 k（t）十、- 十、+ βZ- Z+ 2β 十、Z+ bn-k、 k（t）y+cn-k、 k（t）y+fn-k、 k（t）(十、y+βYz），将A（t）的展开式（3.6）插入柯西问题（3.2），我们发现(t+A（t））u（t）=-B（t）u（t），u（t）=~n。通过构造，算子A（t）是一个微分的发生器，其系数仅决定时间的微函数。根据杜哈默尔的原理，我们有u（t）=P（t，t）~n+zttdttp（t，t）B（t）u（t），（3.7），其中P（t，t）=expRTtds A（s），是由A（t）生成的算子的半群；我们将在第3.2节中为P（t，t）提供一个明确的表格。将u的表达式（3.7）插回（3.7）的右侧，然后迭代得到u（t）=P（t，t）~n+∞Xk=1ZTtdtZTtdt··ZTtk-1dtkP（t，t）B（t）P（t，t）B（t）·P（tk）-1，tk）B（tk）P（tk，T）~n（3.8）=P（T，T）~n+∞Xn=1nXk=1ZTTDTTZTTDT··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，（3.9）In，k={i=（i，i，·ik）∈ Nk:i+i+···+ik=n}。（3.10）注意，倒数第二个等式（3.8）是u的经典Dyson级数展开，对应于零阶g生成器A（t）和扰动B（t）。为了从（3.8）中获得（3.9），我们使用了这样一个事实，即在（3.6）中，运算器B（t）是一个有限和。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-6 04:01:35

此时不打算对交换有限和和和积分进行严格的调整，这需要额外的假设。在定义3.3中可以清楚地看到，u的N阶近似值只包含有限和。表达（3.9）激发了以下定义：定义3.3。让u由（3.1）给出。假设每个t∈ [0，T]算子a（T）的系数（a，b，c，f）在空间变量（x，y）中是N倍可微的。对于固定分段连续映射（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ R、 u的n阶近似值表示为“uN”，定义为“uN=NXn=0un，其中u（t）：=P（t，t）~n，（3.11）和uN（t）：=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n。（3.12）这里，Ai（t）和In，kare分别如（3.6）和（3.10）所示，P（t，t）是由A（t）生成的半群。3.2表示A（t）生成的半群P（t，t）在作用于函数θ：R时的作用→ R isP（t，t）θ（x，y，z）=ZRdξdηdζδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）θ（ξ，η，ζ），（3.13），其中δ′zi是以‘z=z+β（ξ）为中心的狄拉克质量- 十）- β(β - 1） Zta0,0（s）ds，（3.14）和Γ（t，x，y；t，ξ，η）=2πp | C | exp-mTC-1米, （3.15）协方差矩阵C和向量m由以下公式给出：C=RTta0,0（s）dsRTtf0,0（s）dsRTtf0,0（s）ds 2RTB0,0（s）ds！，m=ξ- x+RTta0,0（s）dsη- Y-RTtc0,0（s）ds！。利用（3.11），我们得到了u（t）=P（t，t）~n。因此，从（3.13）中，直接t计算得出第零次或反近似u（t，z）=ZRdζp2πs（t，t）exp-(ζ - m（t，t））2s（t，t）η（ζ），（3.16），其中平均值m（t，t）和方差s（t，t）由m（t，t）=z给出- βZTtdta0,0（t），s（t，t）=2βZTtdta0,0（t）。3.3以下定理的表达式和随后的证明表明，un（t）可以写成作用于u（t）的微分算子。这个定理是专门为看跌期权而写的，看跌期权在衍生品市场中扮演着重要角色。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:01:38

所有价格在衍生品市场中也很重要，可以通过看跌期权平价从看跌期权价格中获得。定理3.4。假设每个t∈ [0，T]算子a（T）的系数（a，b，c，f）在空间变量（x，y）中是n次可微的。还假设φ是Z上看跌期权的支付。也就是说，φ（Z）=埃克- 简单+. 然后，对于固定的分段连续MAP（\'x（·），\'y（·））：[0，T]→ R、（3.12）中定义的函数由un（t）=Ln（t，t）u（t），（3.17）明确给出，其中ui由（3.16）和Ln（t，t）=nXk=1ZTtdtZTtdt··ZTtk给出-1dtkXi∈In，kGi（t，t）Gi（t，t）·Gik（t，tk），（3.18）与In，kas定义在（3.10）和gn（t，ti）：=nXk=0（Mx（t，ti）- \'x（ti））n-k（My（t，ti）- “y（ti））kAn-k、 k（ti）（3.19）Mx（t，ti）：=x+Ztitdsa0,0（s）（2）x+2βZ- 1） +f0,0（s）Y,My（t，ti）：=y+zitdsf0,0（s）(x+βz） +2b0,0（s）y+c0,0（s）.证据证明包括证明（3.19）中的算子Gi（t，tk）满足（t，tk）Ai（tk）=Gi（t，tk）P（t，tk）。（3.20）假设（3.20）成立，我们可以使用P（t，t）满足半群性质yp（t，t）=P（t，t）P（t，t）·P（tk）的事实-1，tk）P（tk，T），（3.21），我们可以重写（3.12）asun（T）=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kGi（t，t）Gi（t，t）··Gik（t，tk）P（t，t）~n。（3.22）注意，在推导（3.22）时，我们反复使用d（3.20）来移动（3.12）中的半群算子P（ti，ti+1）经过Ai（ti+1）算子。然后，我们使用d（3.21）。最后，使用P（t，t）~n=u（t），等式（3.17）-（3.18）直接从（3.22）推导而来，因此，我们只需要证明Gi（t，tk）满足（3.20）。为了说明这一点（3.20），我们注意到mx（t，t）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= ξδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）, （3.23）我的（t，t）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= ηδ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）, （3.24）其中“z”在（3.14）中定义，“Γ”在（3.15）中定义。这是一个直接计算，可以手动检查。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:01:42

根据（3.23）和（3.24）的重复应用，如果p:R→ R是一个多项式函数，我们有p（Mx（t，t），My（t，t））δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）= p（ξ，η）δ′z（ζ）Γ（t，x，y；t，ξ，η）. （3.25）在下面我们写出一个ξ，η，ζn-k、 k（s）和Ax，y，zn-k、 k（s），以明确指示这些运算符作用于哪些变量。我们也用（Aξ，η，ζn）表示-k、 k（s））*Aξ，η，ζn的形式伴随-k、 k（s）。假设θ：R→ R是c（R），最多呈指数增长。然后我们有p（t，s）Ai（s）θ（x，y，z）=ZRdξdηdζδ′z（ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）nXk=0（ξ- \'x（s））n-k（η）- y（s）kAξ，η，ζn-k、 k（s）θ（ξ，η，ζ）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s））kZRdξdηdζδz（ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）Aξ，η，ζn-k、 k（s）θ（ξ，η，ζ）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s））kZRdξdηdζδz（ζ）θ（ξ，η，ζ）Aξ，η，ζn-k、 k(s)*Γ（t，x，y；s，ξ，η）=nXk=0（Mx（t，s）- \'x（s））n-k（我的t，s）- y（s）kAx，y，zn-k、 k（s）ZRdξdηdζδ′z（ζ）θ（ξ，η，ζ）Γ（t，x，y；s，ξ，η）=Gi（t，s）P（t，s）θ（x，y，z）。第一个等式源自P（t，s）和Ai（s）的定义。在第二个等式中，我们使用（3.25）并将运算器MX和Myout从积分中拉出，因为它们作用于后向变量（x，y，z）。在第三个等式中，我们通过部分进行积分。在第四个等式中，我们使用了核δ′z（z）Γ（t，x，y；s，ξ，η）的对称性来替换Aξ，η，ζn-k、 k(s)*用斧头，y，zn-k、 k（s）。然后我们拔出斧头，y，zn-k、 k（s）超出积分，因为它作用于后向变量（x，y，z）。最后一个等式来自Gi（t，s）和P（t，s）的定义。因此，我们建立了P（t，s）Ai（s）=Gi（t，s）P（t，s），当作用于至多呈指数增长的函数θ即C（R）时。为了完成证明，我们必须证明形式P（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）的项-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，（3.26）至少为C（R），且最多呈指数增长。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:01:45

事实上，我们将证明这些术语是C∞e（R），其中C∞e（R）表示函数的空间∞（R）所有阶数的导数都呈指数增长。为了说明这一点，我们注意到P（tk，T）~n=瑞银（tk），其中瑞银是看跌期权的布莱克-斯科尔斯价格。因为Black-Scholes的导数，关于z的价格是C∞e（R）紧随其后的是P（tk，T）~n∈ C∞e（R）。现在，不要再提C了∞e（R）在微分、非多项式乘法和半群算子P（t，s）变换下是不变的。因此，任何形式（3.26）的术语都是C的成员∞e（R）。备注3.5。事实上，定理3.4也直接适用于看涨期权，因为BlackScholes的所有价格相对于z的导数都是C∞e（R）。在下面的建议中，我们提供了近似序列（un）的另一种特征，作为PDE嵌套序列的解。使用Lorig等人（2015a）中的替代方法得出的这种替代表征，将在第4节中用于分析近似的精度。提议3.6。设φ为看跌期权的收益：φ（z）=（ek）- ez）+。（3.17）中的函数序列（un）解决了以下柯西问题的嵌套序列(t+A（t））u=0，u（t）=~n，（3.27）(t+A（t））un=-nXk=1Ak（t）un-k、 un（T）=0，n≥ 1.（3.28）证据。证据是归纳法。根据杜哈默尔原理，（3.27）的解和（3.28）的解n=1 areu（t）=P（t，t）Д，u（t）=ZTtdtP（t，t）A（t）P（t，t）Д，与（3.11）和（3.12）一致。我们现在假设表达式（3.12）适用于第一个（n-1）并表明它适用于第n个术语。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-6 04:01:48

再次，根据Duhamel的原理，（3.28）的解是un（t）=nXk=1zttdttp（t，t）Ak（t）un-k（t）=zttdttp（t，t）和（t）P（t，t）~n+n-1Xk=1ZTtdtP（t，t）Ak（t）n-kXm=1ZTtdtZTtdt··ZTtm-1dtmXi∈在里面-k、 mP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tm）-1，tm）Aim（tm）P（tm，T）~n=zttdttp（T，T）An（T）P（T，T）~n+n-1Xk=1ZTTDTZTTT··ZTtm-1dtmn-kXm=1Xi∈在里面-k、 mP（t，t）Ak（t）P（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tm）-1，tm）Aim（tm）P（tm，T）~n=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kP（t，t）Ai（t）P（t，t）Ai（t）·P（tk）-1，tk）Aik（tk）P（tk，T）~n，与表达式（3.12）一致。备注3.7。请注意，根据（3.16），零阶价格uis只是期权支付μversusa Gaussian kernelΓ的积分，就像Black-Scholes模型一样。从定理3.4中，我们可以看到，通过将微分算子Lnu应用于后向变量z，可以获得高阶项。后向变量z只存在于高斯核Γ中，在前向变量ζ乘以Γ时产生（厄米）多项式。因此，价格展开式中的每一项的形式为（t，z）=ZRdζpn（ζ）p2πs（t，t）exp-(ζ - m（t，t））2s（t，t）φ(ζ).其中函数pn是多项式。因此，近似价格的计算时间与Black-Scholes模型相当。4期权定价近似值的准确性本节的目标是为前几节所述的N阶定价近似值建立严格的误差范围。我们将采用Pagliarani和Pascucci（2014）的方法，将局部椭圆的算子A（t）处理为我们当前的情况，其中算子A（t）是单数的（见备注3.1）。我们的主要误差界在本节末尾的定理4.8中给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:01:51

为了证明这个定理，我们引入了（t，x，y）过程的对称正半有限差分矩阵A（t，x，y）：=2a（t，x，y）f（t，x，y）f（t，x，y）2b（t，x，y）！。我们还介绍了Dr（x，y），欧几里得ballDr（x，y）={（x，y）∈ R:|（x，y）- （x，y）|<r}，为任何（x，y）定义∈ 兰德r>0。通过第4节，我们假设如下：假设4.1。（3.1）中的函数u解决了向后柯西问题(t+A（t））u（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×D，u（T，x，y，z）=φ（z），（x，y，z）∈ D、其中D是R中的一个域。D=R是可能的，但不是必需的。假设4.2。i）局部有界性和全局正则性：系数a，b，c，f属于L∞loc（[0，T]×D）和满意度（T，·，·，·），b（T，·，·），c（T，·，·，·），f（T，·，·）∈ CN+1（D）表示任何t∈ [0，T]。ii）局部非简并性：A=A（t，x，y）的扩散矩阵在某些圆柱[0，t]×Dr（x，y）上为正定义。更精确地说，A=eA in[0，T]×Dr（x，y），其中eA∈ L∞（[0，T]×R）是公式a（T，x，y）=2ea（T，x，y）ef（T，x，y）ef（T，x，y）2eb（T，x，y）！，例如ea（t，·，·）∈ CN+1b（R）表示任何t∈ [0，T]，其中，Cnbde注意到具有高达N阶有界导数的连续可微函数的空间，以及m-1|ξ|≤Xi，j=1eAij（t，x，y）ξiξj≤ M |ξ|，t∈ [0，T]，（x，y），ξ∈ R、对于某些正常数M，我们要求函数ec的存在性∈ L∞（[0，T]×R）这样的ec（T，·，·）∈ CN+1b（R）表示任何t∈ [0，T]和c=ec in[0，T]×Dr（x，y）。假设4.3。我们假设支付函数是Z上的看跌期权的函数。也就是说，支付函数是（Z）=埃克- 简单+.备注4.4。假设4.1和4.2得到了许多著名模型的满足，包括赫斯顿、恒定方差弹性（CEV）和SABR。因此，对于这些模型，我们可以建立欧洲看跌期权价格的严格误差界限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:01:54

通过看涨期权平价获得的看涨期权价格的误差范围保持了相同的精度顺序。备注4.5。注意，尽管过程（X，Y）的扩散矩阵a是局部正定义的，但过程（X，Y，Z）的扩散矩阵（3.4）仍然是奇异的。因此，柯西问题（3.2）不是抛物线问题。帕利亚拉尼和帕斯库奇（2014）没有处理这个问题，这是一个必须克服的技术挑战，以便为我们的定价近似值建立误差估计。为了处理定价算子的双简并（回想一下，（x，y）变量有部分简并，z变量有全局简并），我们现在使用椭圆正则化技术。具体地说，我们引入了一个过程Zε，它是（2.4）中Z动力学的修正。Wede finedzεt:=dZt-εdt+εdWzt，dhWx，Wzi=0，dhWy，Wzi=0，ε≥ 0.我们用Aε（t）表示马尔可夫过程（X，Y，Zε）的最小生成元，用uε表示与Aε（t）相关的柯西问题的解，最后的数据为。具体而言(t+Aε（t））uε（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×Dε，uε（T，x，y，z）=φ（z），（x，y，z）∈ Dε，其中Dε是R的某个域。因此，uε表示（X，Y，Zε）上的欧式看跌期权的价格。假设4.2-i）保证我们可以通过在定义3.3中用ε（t）替换A（t）来构造uεN，即uε的N阶近似值。此外，对于任何ε>0，Aε（t）和|满足Pagliarani和Pascucci（2014）中定理3.1的假设，其中| uε的局部误差估计- 建立了“uεN”。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-6 04:01:57

下面我们证明，这种误差估计在ε中是一致的，因此，在马尔可夫过程（X，Y，Z）上写出的期权价格近似值的误差界将遵循ε→ 0.在这一点上，引入过程Vε是有用的，它满足以下SDE:dVεt=β(1 - β） σ（t，Xt，Yt）- εdt+εdWzt。我们注意到，Zε的动力学可以写成如下dzεt=βdXt+dVεt。因此，除了考虑（X，Y，Zε）的生成元外，我们还可以考虑（X，Y，Vε）的生成元，它（稍微滥用符号）表示aε（t）的增益。这个算符分为一个算符x（t）和一个算符Vε（t），前者对（x，y）求导数，后者对V求导数。也就是说，Aε（t）=x（t）+Vε（t），x（t）=A（t，x，y）十、- 十、+ b（t，x，y）y+f（t，x，y）十、y+c（t，x，y）y、 Vε（t）=ε五、- 五、+ a（t，x，y）β（1）- β)v、 Pagliarani和Pascucci（2014）定理3.1证明的第一步是将[0，t]×D上定义的算子aε（t）扩展为[0，t]×R上的一致椭圆算子aε（t）。这可以通过假设4.2-ii实现。事实上，对于一个nyε≥ 0时，必须定义ε（t）=eX（t）+eVε（t），eX（t）=ea（t，x，y）十、- 十、+eb（t，x，y）y+ef（t，x，y）十、y+ec（t，x，y）y、 eVε（t）=ε五、- 五、+ ea（t，x，y）β（1）- β)v、根据假设4.2，Aε（t）=eAε（t）和X（t）=eX（t）在[0，t]×Dr（X，y）×R中。注意，eAε（t）和X（t）分别是[0，t]×Rand[0，t]×上的一致椭圆算子。不管怎样(t+eAε（t））是均匀分解的，有一个基本解，用ε=eε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）表示，t<t，（4.1），这（通过定义）是(t+eAε（t））eΓε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）=0，（t，x，y，v）∈ [0，T）×R，eΓε（T，·，·；T，x′，y′，v′）=δx′，y′，v′。在下面的引理中，我们证明eΓε满足一些高斯估计。引理4.6。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-6 04:02:01

让我，j，h，k∈ N带h+k≤ N+2和¨T>0。然后，在假设4.2下，我们有（十）-x′）i（y）- y′）jhxkyeΓε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ c（T）- t） i+j-H-kΓ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）（4.2）对于任何x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t≤\'T和ε∈ 这里，Γ（M，ε）heat表示热算符的基本解t+M(xx+yy）+εvv和Cs是一个仅依赖于M、N、i、j和¨T的正常数。特别是，常数cis与ε无关。证据估计值（4.2）与经典高斯估计值略有不同（参见Friedma n（1964）；另见Di Francesco和Pascucci（2005年），Pascucci（2011年）的最新和一般性介绍），因为(t+eAε（t）），而pa-rabolic，不是关于ε的一致抛物线∈ （0，1）。然而，通过模仿基于Parameterix方法的经典参数，并仔细检查常数CI是否独立于ε，可以证明本文的论点。尤其是，Parameterix构造中的主要成分是一些统一的In-ε高斯估计（例如，见Di Frances co和Pascucci（2005）中的命题3.1），我们现在描述了这些。对于任何固定（\'x，\'y）∈ R、 wedenote byeX\'x，\'y（t）通过冻结在（\'x，\'y）处的系数获得的算子，我们设置εx，\'y（t）：=eX\'x，\'y（t）+εv、 LeteΓεΓx，\'yandeΓx，\'Yb是对应于(t+eAεx，y）和(分别为t+eX\'x和y）。然后对于每个‘x，’y，x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t≤\'T和ε∈ （0，1），我们有-2Γ（M）-1，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤eΓεx，y（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ MΓ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）。（4.3）估算（4.3）可以很容易地证明，如Di France sco和Pascucci（2005）中的命题3.1所示，通过notingtateΓεΓx，\'y=eΓx，\'yΓε，其中Γε是一维热（抛物线）算子的基本解(εt+vv）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:02:04

注意，（4.3）在ε中是一致的（即，估算中的常数与ε无关）。基于这一事实，估计值（4.2）与ε的cindependent相关联，然后是Parameterx方法。引理4.7。让假设4.2保持不变。表示（4.1）中的基本解，对应于(t+eAε（t））。用ε表示εε的n阶近似，使用（\'x（·），\'y（·））=（x，y）构造。然后我们有了ε（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）-εN（t，x，y，v；t，x′，y′，v′）≤ c（T）- t） N+1Γ（M，ε）热（t，x，y，v；t，x′，y′，v′，（4.4）对于任何x，y，v，x′，y′，v′∈ R、 0≤ t<t和ε∈ （0，1），其中cis是一个正常数，依赖于m，N，T，但与ε无关。证明。使用ε估计中的一致性（4.2）和ε（T）的椭圆度，我们可以一步一步地重复proo fof（Lorig et al.，2015a，定理3.10）。修改后的pro中的关键成分是验证t，因为cin（4.2）不依赖于ε，也不依赖于c。我们现在可以陈述我们的主要误差估计。对于任何ε≥ 0，设euε为柯西问题的经典有界解t+eAε（t）euε（t，x，y，z）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×R，euε（T，x，y，z）=埃克- 简单+, （x，y，z）∈ R.对于ε=0，我们通常会省略上标，只写eu而不是eu。定理4.8。假设4.1、4.2和4.3成立。设uεN，ε≥ 0，表示euε的N阶近似值，其构造如（3.11）中所述，用（`x（·），`y（·））=（x，y）和A（t）替换为eaε（t）。设“uN:=”uεN |ε=0。注意，当（x，y，z）时，与u的N阶近似无关∈ （Dδr（x，y）×r）∩D.那么对于任何δ∈ （0，1）我们有| u（t，x，y，z）- \'uN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+2,0≤ t<t，（x，y，z）∈ （Dδr（x，y）×r）∩ D.常数CDE仅在δ、k、M、N和T上结束。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:02:07

首先，我们明确指出如果（x，y）∈ Dr（x，y）那么，对于任何ε≥ 0，\'uεn包含uε的次近似值，因为A（t）≡[0，t]×Dr（x，y）×R中的eA（t）。然后，将估计（4.4）与支付函数积分，我们得到| euε（t，x，y，z）- \'uεN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+1,0≤ t<t，（x，y，z）∈ R.（4.5）通过利用Lipschitz正则性和看跌期权的有界性，我们对指数（T）中的幂n+2置换n+1进行了更精确的估计-t）在（4.5）中。由于算符Aε（t）、ε>0和支付函数φ满足Pagliarani和Pascucci（2014）中定理3.1的假设，我们可以从euε的全局误差估计传递到uε| uε（t，x，y，z）的局部估计- \'uεN（t，x，y，z）|≤ c（T）- t） N+2,0≤ t<t，（x，y，z）∈ （Dδr（x，y）×r）∩ D.通过引理4.6，上述估计在ε中是一致的，这足以得出证明。5隐含波动性在本节中，我们将c all期权的价格扩展转化为支付函数φ（z）=（ez- 这将导致隐含波动率的扩大。为了简化符号，我们将抑制对（t，t，x，y，z，k）的大部分依赖。然而，任何人都应该记住，价格和隐含波动率确实取决于这些数量，即使没有明确说明。我们首先回顾Black-Scholes看涨期权价格和隐含波动率的定义。定义5.1。布莱克-斯科尔斯通话价格瑞银：R+→ R+由UBS（σ）给出：=ezN（d+（σ））- ekN（d）-（σ）），d±（σ）：=σ√τZ- k±∑τ, τ：=T- t、（5.1）其中N是标准正态随机变量的CDF。定义5.2。对于固定（t，t，z，k），与买入价格u相关的隐含波动率∈ （（ez）-ek）+，ez）定义为方程UBS（σ）=u（5.2）的唯一严格正实解σ，其中UBS由（5.1）给出。定理5.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:02:10

对于支付函数为φ（z）=（ez）的欧式看涨期权- ek）+we haveu=uBS（σ），σ=2βT- tZTtds a0,0（s）。（5.3）证据。该证明直接从m（3.16）开始，并加上φ（z）=（ez- ek）+。从定理5.3中，我们注意到价格扩张（3.11）的形式为u=uBS（σ）+∞Xn=1un。（5.4）如Lorig et al.（2015 b）和Jacquier and L orig（2013）所示，特殊形式（5.4）有助于扩展σ=σ+η，η=∞Xn=隐含波动率的1σn。为了看到这一点，有人把瑞银（σ）称为泰勒公司（Taylor ser ie s ab），指出了σ这一点。对于η足够小（即，在关于点σ的瑞银泰勒级数展开的收敛半径内），我们有瑞银（σ）=瑞银（σ+η）=瑞银（σ）+η）σuBS（σ）+2！ησuBS（σ）+3！ησuBS（σ）+。（5.5）将e展开式（5.4）和（5.5）插入方程（5.2），可以迭代求解序列（σn）n中的每一项≥1.我们将隐含波动率的n阶近似值定义为“σn=nXk=0σn”。总和中的前四项足以提供隐含波动率的精确近似值，为σ，由（5.3）给出，σ=uσuBS（σ），σ=u-σσuBS（σ）σuBS（σ），σ=u-σσσ+3!σσ瑞银（σ）σuBS（σ）。（5.6）N阶项的一般表达式可在Lorig等人（20 15b）中找到；Jacquier和Lorig（2013）。如前所述，（5.6）中的表达式并不是特别有用。实际上，uBS（σ）和unare Gaussianintegrals，它们的计算不需要大量的数值计算，但并没有给出多少关于隐含波动率依赖于（t，t，x，y，z，k，β）的明确信息。然而，使用（5.1）直接计算显示σuBS（σ）σuBS（σ）=（k- z） τσ-τσ,σuBS（σ）σuBS（σ）=（k- z） τσ-τσ-2σ（k）- z） +τσ-τ. （5.7）一般而言，表格中的每个术语nσuBS（σ）/σuBS（σ）可以显式计算。此外，联合国的条款/σuBS（σ）也可以显式计算。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:02:15

为了说明这一点，我们从定理3.4和5.3中注意到，un=Ln（t，t）u=eLn（t，t）uBS（σ），其中eLn（t，t）=nXk=1zttdtdtzttdt··ZTtk-1dtkXi∈In，kGi（t，t）·Gik-1（t，tk-1） eGik（t，tk），eGn（t，ti）：=nXk=0（Mx（t，ti）- \'x（ti））n-k（My（t，ti）- “y（ti））kan-k、 k（ti）β(Z- z）瑞银（σ）。因此，unis是formun=XmXn，m的有限和mz(Z- z） uBS（σ），（5.8），其中系数（Xn，m）是（t，t，x，y）相关常数，可根据定理3.4计算。现在，使用（5.1），直接计算显示mz(Z- z）瑞银（σ）σuBS（σ）=-1p2στ！mHn（w）τσ，w:=z- K-στσp2στ，（5.9），其中Hn（z）：=(-1）内兹nze-Zi是第n个Hermite多项式。把（5.8）和（5.9）结合起来σuBS（σ）=XmXn，m-1p2στ！mHn（w）τσ。（5.10）最后，从（5.7）和（5.10）中，我们可以看到隐含波动率扩展（5.6）中的所有项都是对数货币性λ=（k）中的多项式- z）。（σn）n的显式表达式≤3在不同的模型下，将给出第6节。（σn）n的一般表达式≤2在时间上，均匀LSV设置如下所示。我们用λ=k表示- z、 τ=T- t、（Xt，Yt）=（x，y），我们选择泰勒级数近似的展开点为（\'x（·），\'y（·））=（x，y）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:02:18

我们有σ=|β| p2a0,0，σ=σ1,0+σ0,1，σ=σ2,0+σ1,1+σ0,2，其中σ1,0=τ（（β- 1） σa1,0）+2σ（βa1,0）λ，σ0,1=τ4σβa0,1（2c0,0+βf0,0）+2σβa0,1f0,0λ,σ2,0=τ24σ2σa2,0- 3βa1,0+τ96ββ(2β(2β - 5） +5）σa1,0+4（β）- 1） σa2,0+τ24βσ-(β - 1)βa1,0- 4σa2,0λ +12σ2σa2,0- 3βa1,0λ,σ1,1=τ12σβa0,1βa1,0f0,0- 2σf1,0+ σa1,1f0,0+τ48σa0,1βa1,0（2）（β- 1） c0,0- βf0,0）+2（β- 1） σ（2c1,0+βf1,0）+ 2(β - 1） σa1,1（2c0,0+βf0,0）+τ24σβa0,15βa1,0（（1- 2β）f0,0- 2c0,0）+2σ（2c1,0+（2β- 1） f1,0）+ 2σa1,1（2c0,0+（2β- 1） f0,0）λ+6σβa0,1σf1,0- 5βa1,0f0,0+ σa1,1f0,0λ,σ0,2=τ24σ12βσa0,2b0,0- 4βσ2a0,1b0,0+a0,1f0,0f0,1+a0,2f0,0+ 9βa0,1f0,0+τ24σβσ-2βa0,1b0,0+a0,1（2c0,0+βf0,0）（2c0,1+βf0,1）+a0,2（2c0,0+βf0,0）- 3βa0,1c0,0（c0,0+βf0,0）+τ24σβ-9βa0,1f0,0（2c0,0+βf0,0）+4σa0,2f0,0（2c0,0+βf0,0）+4σa0,1（f0,1（c0,0+βf0,0）+c0,1f0,0）λ+12σβ2σ2a0,1b0,0+a0,1f0,0f0,1+a0,2f0,0- 9βa0,1f0,0λ、 5.1与前面提到的其他隐含波动率扩展相比，当β=1时，写在对数ETF Z上的期权等同于写在对数ETF X上的期权。在这种特殊情况下，本手册中讨论的隐含波动率扩展减少到Lorig et al.（2015b）中开发的隐含波动率扩展。如果另外选择（\'x，\'y）=（x，y），则Lorig等人（2015b）给出的隐含波动率近似值相当于Bompis和Gob等人（2013）给出的隐含波动率扩展。然而，本文和inLorig等人（2015b）提出的扩展是使用偏微分方程方法推导的，而Bompis和Gobet（2013）提出的扩展是使用Malliavin ca lc ulus的工具开发的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-6 04:02:21

截至目前，OMPIS和Gobet（2013）的隐含波动率近似值尚未扩展到LETF的期权。我们注意到，对于ETF X上的期权，Lorig等人（2015b）对其他隐含波动率扩展进行了广泛比较。特别是，对于赫斯顿模型，此处给出的近似方法与Forde et al.（2012）中的近似方法进行了比较，对于CEV，它与Hagan和Woodward（1999）的近似方法进行了比较，对于SABR，它与Haga n et al.（2002）的近似方法进行了比较。然而，Forde e t al.（2012）、Hag-an和Woodward（19 99）以及Hagan et al.（2002）都没有像我们在这里所做的那样，对LETF Z上的隐含波动率进行近似。人们可能会使用另外两种方法来计算LETF上的近似期权价格和隐含波动率，即热核法和大偏差法，例如Inramstrong等人（2014年）讨论了这两种方法；亨利·劳德埃（1909）；Ga theral等人（2012年）。通常来说，这些方法都依赖于计算黎曼流形上的测地距离，黎曼流形的度量是基础微分的子午线矩阵的逆。目前尚不清楚如何计算与过程（X，Y，Z）相关的度量的大偏差估计和测地距离，因为差异矩阵是单数的（见备注3.1）。5.2隐含波动率和对数货币比例让我们继续在时间均匀的环境下工作。设σZ（τ，λ）为到期时间为τ且对数货币性为λ=（k）的LETF Z上的赎回的隐含波动率-z）设σX（τ，λ）为ETF上的看涨期权的隐含有效性X到期时间τ和对数货币sλ=（k）-x）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-6 04:02:24

上述表达式提供了一般时间齐次LSV设置中σZ（τ，λ）和σX（τ，λ）的显式近似值（对于σX（τ，λ），只需设置β=1）。这些表达式显示了隐含效用对杠杆率β的高度非平凡依赖性，并对校准目的有用。隐含波动率面（τ，λ）7→ σZ（τ，λ）和（τ，λ）7→ σX（τ，λ）可能表现出非常不同的行为。然而，对于杠杆比率之间的价格比较，将它们联系起来是可行的，尽管是试探性的或近似的。为此，我们现在介绍一些直观的缩放。检查最低阶项σ和σweobserveLETF:σZ≈ |β| p2a0,0+|β| a1,0p2a0,0+a0,1f0,02（2a0,0）3/2！λβ+O（τ），（5.11）ETF:σX≈p2a0,0+a1,0p2a0,0+a0,1f0,02（2a0,0）3/2！λ+O（τ）。（5.12）比较σz和σX，我们发现杠杆率β有两个影响。首先，σZis的垂直轴按|β|的因子缩放。其次，水平轴的比例为1/β。特别是，这意味着如果β<0，σx和σz的斜率将有相反的符号。对于SMALLτ，O（τ）项在表达式中的贡献很小。根据上述观察结果，自然引入σ（β）X和σ（1/β）Z，即标度隐含波动率，我们将其定义为σ（β）X（τ，λ）：=|β|σX（τ，λ/β），σ（1/β）Z（τ，λ）：=|β|σZ（τ，βλ）。（5.13）这些定义通过两种方式将隐含波动率表面σX和σZ联系起来。从一种方式来看，ETF隐含波动率σX（τ，λ）应大致与LETF隐含波动率|β|σZ（τ，βλ）一致。相反，LETF隐含波动率σZ（τ，λ）应接近ETF隐含波动率|β|σX（τ，λ/β）。换句话说，从（5.11）、（5.12）和（5.13）中，我们可以看到对于小的τσZ（τ，λ）≈ σ（β）X（τ，λ），σX（τ，λ）≈ σ（1/β）Z（τ，λ）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:02:27

（5.14）在图1中，使用来自标准普尔500指数ETF和LETF的经验期权数据，我们分别绘制了σZand和σ（1/β）Z，即未标度和标度隐含波动率。该图显示了缩放参数的显著影响。在标度（左面板）之前，LETF、SSO（β=+2）和SDS（β=-2），其值远高于无杠杆ETF SPY（β=+1）。此外，DSS隐含波动率在对数货币中增加。根据（5.13）（右图）调整了LETF隐含波动率后，它们与ETF隐含波动率非常接近，现在都在下降。在第6节中，我们将为三个著名模型：CEV、Heston和SABR计算σX（τ，λ）和σ（1/β）Z（τ，λ）的显式近似。正如我们将看到的，尽管这三个模型产生了不同的隐含波动率面，但对于小τ，β在关联σXtoσz中的作用将由（5.14）捕捉。然而，我们要强调的是，单凭s c标记不足以证明波动率表面的复杂性。事实上，随着τ的增加，我们预计σ（1/β）Zto偏离σX。这种离散性是由于综合方差对Z终值的贡献，如（2.3）所示。因此，对于较长的成熟度，LETF隐含波动率曲面的精确近似值必须包含较高的τ。从一般的隐含波动率表达式中，我们可以看到β在O（τ）项中的作用很复杂，不适合于简单的标度论证。因此，完整的隐含波动率扩展——而不仅仅是缩放参数——非常重要。备注5.4。Leung和Sircar（2015）最近的一篇论文提出了一种基于随机参数的替代隐含波动率标定方法。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:02:32

给定终端ETF值Xτ=k，他们计算出预期的未来收益率Zτ- zEx，y，z[ZT- z | XT=k]=β（k- 十）-β(β - 1） ZτEx，y，Z[σ（s，Xs，Ys）| Xτ=k]ds，（5.15），其中Ex，y，Z[·]=E[·| X=X，y=y，Z=Z]。他们还注意到，从ETF和LETF SDE中，Z的波动率是X的波动率的|β|倍。作者建议以上述为启发，进行规模化-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1 0.1 0.2 0.3 0.40.10.150.20.250.30.350.40.450.5间谍软件-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05 0.05 0.1 0.150.10.120.140.160.180.20.220.240.260.28 SPYSSOSDSFigure 1：左图：SPY（红色钻石，β=+1）、SSO（紫色圆圈，β=+2）和S DS（蓝色十字，β=-2） 2013年8月15日，τ=155天。请注意，在LETF对数货币中，SDS的隐含波动率正在增加。右图：使用samedata，标度的LETF隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）几乎一致。隐含波动率如下σZ（τ，λ）=|β|σX（τ，βλ）-β(β - 1） I（τ）），I（τ）=ZτEx，y，Z[σ（s，Xs，Ys）|Xτ=k]ds。在Leung and Sircar（2015）中，I（τ）的值是使用观察到的隐含波动率的平均值估计的。相比之下，（5.13）中提出的比例并没有试图解释（5.15）中的积分。然而，综合方差的影响由一般隐含波动率扩展中的O（τ）项捕捉。6例在本节中，我们提供了三种不同模型动力学下隐含波动率的显式表达式：CEV、Heston和SABR。将特别关注β的作用，即杠杆率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-6 04:02:35

在下面的例子中，我们计算了时间t=0和时间t=τ的隐含波动率。我们注意到，尽管定理4.8确定了定价近似的精度顺序为τ→ 0，我们的数值测试表明，隐含波动率扩展给出了多年到期的σ（1/β）ZF的精确近似值。尽管如此，LETF的期权目前只交易期限小于1.25年的期权。Leung和Sircar（2015）绘制了四种基于S&P500的LETF期权（β=±2，±3）的经验隐含波动率，所有这些期权的到期日都不到一年。因此，在数字样本中，我们关注这些到期日。所有交易性质的ETF和LETF期权的延迟报价可在CBOE和雅虎财经网站上获得。6.1 CEVIn在Cox（1975）的恒定方差弹性（CEV）局部波动模型中，基础S的动力学由DST=δSγ给出- 1tStdWxt，S>0，其中，为了保持过程S的鞅性质（参见Heston等人（2007）），假设参数γ小于或等于1。（X，Z）=（logs，logl）的动力学为-δe2（γ）- 1） Xtdt+δe（γ-1） XtdWxt，X=X:=log S.dZt=-βδe2（γ- 1） Xtdt+βδe（γ-1） XtdWxt，Z=Z:=logl。由a=δe2（γ）给出（X，Z）的生成元- 1） x(十、- x） +β(Z- z） +2β十、Z.因此，从（3.3）中，我们确定a（x，y）=δe2（γ- 1） x，b（x，y）=0，c（x，y）=0，f（x，y）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群