（6.1）使用方程（5.6）、（5.7）和（5.10），我们计算σ=|β| pe2x（γ）-1)δ,σ= τ(β - 1)(γ - 1)σ4β+(γ - 1)σ2β（k）- z） ，σ=τ(γ - 1)σ24β+ τ(2β(6β - 13) + 13)(γ - 1)σ96β+ τ7(β - 1)(γ - 1)σ24β（k）- z）+(γ - 1)σ12β（k）- z） ，σ=τ5(β - 1)(γ - 1)σ32β+ τ(β - 1)26β- 70β + 35(γ - 1)σ384β!+ τ(γ -1)σ16β（k）- z） +τ5(2β(4β - 9) + 9)(γ - 1)σ192β（k）- z） +τ7(β - 1)(γ - 1)σ48β（k）- z） 。我们观察到因子（γ- 1） 出现在这些表达式的每个术语中。特别是，当γ=1时，σ=|β|δ和σ=σ=σ=0。在这种情况下，由于a（x，y）=δ，高阶项也消失了（见（6.1））。因此，正如Black-Scholes案一样，隐含的容积膨胀随着费用的增加而变得明显。在图2中，我们用杠杆β={+2，绘制了CEV模型中标度隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）的三阶近似值，-2} 到期日τ={0.25,0.5,1}年。为了进行比较，我们还绘制了ETF的精确标度隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）a和exac t隐含波动率σX（τ，λ）。LETF的exa-ct标度隐含波动率σ（1/β）Zof的计算方法是：通过蒙特卡罗模拟获得买入价格，然后通过数值反转Black-Scholes公式。

ETF的确切隐含波动率σX（τ，λ）是使用exa c t看涨期权价格公式计算的，该公式可在Cox（1975）中找到，然后用数值反演Black-Scholes公式。6.2 Heston在Heston模型中，由于Heston（1993），底层S的动力学由DST=pVtStdWxt，S>0，dVt=κ（θ）给出- Vt）dt+δpVtdWyt，V>0，dhWx，Wyit=ρdt。在对数表示法（X，Y，Z）：=（对数S，对数V，对数L）中，我们有以下dynamicsdXt=-eYtdt+eYtdWxt，X=X:=logs，dYt=(κθ -δ） e-Yt- κdt+δe-YtdWyt，Y=Y:=log V，dZt=-βeYtdt+βeYtdWxt，Z=Z:=logl，dhWx，Wyit=ρdt。（X，Y，Z）的生成器由a=ey给出(十、- x） +β(Z- z） +2β十、Z+(κθ -δ） e-Y- κy+δe-Yy+ρδ(十、y+β十、z） 。因此，从（3.3）中，我们识别出a（x，y）=ey，b（x，y）=δe-y、 c（x，y）=(κθ -δ） e-Y- κ, f（x，y）=ρδ。利用方程（5.6）、（5.7）和（5.10），我们得到σ=|β|√ey，（6.2）σ=τ8σσ(βδρ - 2κ) - βδ- 2θκ+4σ（βΔρ）（k）- z） ，σ=τ96σβδρ+ 8+τ384σ-3βδ- 2θκ- 2βσδ- 2θκ(βδρ - 2κ) + 4σβδβδ2ρ- 1.- 5κρ+ 5κ+τ96σβδρ5βδ- 2θκ+ σ(2κ - βδρ)（k）- z） +48σβδ2.- 5ρ（k）- z） ，σ=τ768σβδβ5ρ+ 4δ- 2θκ+ 3ρσ(βδρ - 2κ)+τ3072σ-3βδ- 2θκ+ βσδ- 2θκ(βδρ - 2κ) + 4βκσδ- 2θκ(βδρ - κ)+τ3072σ2σ(βδρ - 2κ)βδβδ5ρ- 6.- 6κρ+ 6κ+τ384σ-βδρ9ρ+ 8（k）- z） +τ1536σβδρ21βδ- 2θκ- 10βσδ- 2θκ(βδρ - 2κ)（k）- z） +τ1536σβδρ4σβδβδ - 2δρ+ 3κρ- 3κ（k）- z） +τ384σ-βδβ23ρ- 8.δ- 2θκ+7ρ- 2.σ(2κ - βδρ)（k）- z） +96σβδρ8ρ- 5.（k）- z） 。（6.3）对于更长期限的债券，可以通过为Y过程选择一个时间相关的扩展点来提高隐含波动率扩展的准确性：`Y（t）=EYYYT。在这种情况下，σ、σ、σ和σ的公式仍然是明确的。然而，由于表达式很长，我们省略了它们。安等人。

（2012）从SDEs中注意到，当X具有带参数的赫斯顿动力学（κ，θ，δ，ρ，y），那么Z具有带参数的赫斯顿动力学（κZ，θZ，δZ，ρZ，yZ）=（κ，βθ，|β|δ，符号（β）ρ，y+logβ）。（6.4）Heston（1993）和Bakshi，Cao，Chen（1997）明确计算了Xτ的特征函数ηX（τ，X，y，ξ）：=loge[eiξXτX|X=X，y=y]=iξX+C（τ，ξ）+D（τ，ξ）ey，C（τ，ξ）=κθδ(κ - ρδiξ+d（ξ））τ- 2卢格1.- f（ξ）ed（ξ）τ1- f（ξ）,D（τ，ξ）=κ- ρδiξ+d（ξ）δ1- ed（ξ）τ1- f（ξ）ed（ξ）τ，f（ξ）=κ- ρδiξ+d（ξ）κ- ρδiξ- d（ξ），d（ξ）=pδ（ξ+iξ）+（κ）- ρiξδ）。由于Z-also具有赫斯顿动力学，Zτ的特征函数直接遵循ηZ（τ，Z，y，ξ）：=loge[eiξZτ| y=y，Z=Z]=ηX（τ，Z，y，ξ）和（κ，θ，δ，ρ，y）→ （κZ，θZ，δZ，ρZ，yZ）。欧式看涨期权的价格- ek）+然后可以使用标准的傅里叶方法计算（τ，z，y）=2πZRdξreηz（τ，z，y，ξ）bа（ξ），bа（ξ）=-埃克-ikξiξ+ξ，ξ=ξr+iξi，ξi<-1.（6.5）注意，由于看涨期权支付- ek）+不在L（R）中，它的傅里叶变换bH（ξ）必须用傅里叶变量ξi<-1.使用（6.5）可计算出准确的隐含波动率σ，以数值方式求解（5.2）。此外，值得注意的是，关系（6.4）可以从我们隐含的容量表达式中推断出来。事实上，膨胀式（6.2）-（6.3）中对β的依赖性只存在于系数的βθ、|β|δ、符号（β）ρ、y+logβ中。例如，我们可以写出零阶项σ=√ey+logβ=√eyZ和（k）的效率-z） 根据（6.4）中的符号，inσ为βΔρ/4σ=|β|δ符号（β）ρ/4σ=δzρz/4σ。

其他条款确认关系的类似程序（6.4）。在图3中，我们绘制了Heston模型中杠杆β={+2的标度隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）的三阶近似值，-2} 到期日τ={0.25,0.5,1}年。对于最长到期日τ=1，我们使用对应于y（t）=y（t）的隐含波动率展开。为了进行比较，我们还绘制了e xact标度的隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）和ETF的确切隐含波动率σX（τ，λ）。LET F的精确标度隐含波动率σ（1/β）Zof通过从（6.5）中获得买入价格，然后通过数值反转Black-Scholes公式来计算。

ETFI的准确隐含波动率σX（τ，λ）的计算方法相同。6.3 SABR Hagan、Kumar、Lesniews ki和Woodward（2002）的SABR模型是一种局部随机波动率模型，其中S的风险中性动态由DST=VtSγ给出- 1stdwxt，S>0，dVt=δVtdWyt，V>0，dhWx，Wzit=ρdt。在对数表示法中（X，Y，Z）：=（对数S，对数V，对数L）我们有，我们有以下动力学：dXt=-e2Yt+2（γ）-1） Xtdt+eYt+（γ）-1） XtdWxt，X=X:=logs，dYt=-δdt+δdWyt，Y=Y:=logv，dZt=-βe2Yt+2（γ-1） Xtdt+βeYt+（γ-1） XtdWxt，Z=Z:=logl，dhWx，Wyit=ρdt。（X，Y，Z）的生成元由a=e2y+2（γ）给出-1） x(十、- x） +β(Z- z） +2β十、Y-δy+δy+ρδey+（γ-1） x(十、y+βYz） 。因此，使用（3.3），我们确定a（x，y）=e2y+2（γ-1） x，b（x，y）=δ，c（x，y）=-δ、 f（x，y）=ρδey+（γ-1） x.使用方程（5.6）、（5.7）和（5.10），我们计算σ=|β| pe2y+2x(-1+γ），σ=σ1,0+σ0,1，σ=σ2,0+σ1,1+σ0,2，其中σ1,0=τ(β - 1)(γ - 1)σ4β+(γ - 1)σ2β（k）- z） ，σ0,1=τ-δσ(δ - ρσsgn（β））+Δρsgn（β）（k）- z） ，σ2,0=τ(γ - 1)σ24β+ τ(2β(6β - 13) + 13)(γ - 1)σ96β+ τ7(β - 1)(γ - 1)σ24β（k）- z）+(γ -1)σ12β（k）- z） ，σ1,1=τ(γ - 1)δρσ12 |β|+ τ(γ -1)δσ(β(6β - 7)ρσ- 5(β - 1)δ |β|)48 |β|!+ τ(γ -1)δσ(δ |β| + (2β -1)ρσ)24β |β|（k）- z）+-(γ - 1)δρ3 |β|（k）- z） ，σ0,2=τδ8.- 3ρσ+ τδσ5δ+ 43ρ- 1.σ-14Δρσsgn（β）+ τ-δρ (δ - 3ρσsgn（β））24sgn（β）（k）- z） +δ2.- 3ρ12σ!（k）- z） 。为了方便起见，我们省略了σ的表达式。然而，显式计算表明σ包含τ、τ、τ（k）阶项- z） ，τ（k）- z） ，τ（k）- z） 和（k）- z） 。在图4中，我们绘制了SABR模型中杠杆β={+2的标度隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）的三阶近似值，-2} 到期日τ={0.25,0.5,1}年。为了进行比较，我们还绘制了ETF的精确标度隐含波动率σ（1/β）Z（τ，λ）和精确隐含波动率σX（τ，λ）。

通过Monte Carlo模拟获得看涨价格，然后通过数值反转Black-Scholes公式，计算LETF的精确标度隐含可用性σ（1/β）Zof。ETF的确切隐含波动率σX（τ，λ）使用Antonov和Spector（2012）中针对特殊情况ρ=0的确切买入价格公式计算，然后用数值反转Black-Scholes公式。7结论在本文中，我们从一般时间非均匀LSV环境下的ETF动力学出发，推导出相关LE TFs上的近似欧式期权价格。期权价格近似值只需要计算正常CDF。因此，价格的计算时间与托布莱克-斯科尔斯相当。我们还为定价近似值建立了严格的误差界限。这些误差边界是通过正则化过程建立的，这使我们能够克服使用非椭圆的生成器a（t）时出现的挑战。此外，我们推导出了一个完全显式的隐含波动率展开式——对数货币度λ=（k）中的多项式- z） 以及（对于时间齐次模型）成熟时间多项式。为了帮助分析隐含波动率表面，我们讨论了隐含波动率的一些自然标度。此外，我们在三个著名的LSV模型（CEV、Heston和SABR）上测试了我们的隐含波动率扩展，发现该扩展提供了对真实隐含波动率的极好近似。杠杆式ETF及其期权的市场继续增长，不仅在股票市场，在商品、固定收益和货币等其他行业也是如此。一致性定价的问题，正如我们在隐含波动率方面对股权LETF期权进行的调查一样，也与其他行业的LETF期权有关。

自然地，租赁基金期权的估值将取决于租赁基金的动态和基础价格过程，这可能会在各个行业产生重大影响（见郭和梁（2015）；Leung和Ward（2015年）为商品LE TFs）。然而，采用本文中的技术来研究不同杠杆率下的隐含波动率，在实践和数学上都是有趣的。从市场稳定的角度来看，投资者和监管者都必须了解电子交易工具之间的风险和依赖结构，以及它们交易的衍生品的价格关系。致谢作者感谢彼得·卡尔、伊曼纽尔·德尔曼、马丁·豪、塞巴斯蒂安·贾蒙加尔和罗尼·瑟卡尔的有益讨论，我们感谢摩根士丹利、哥伦比亚大学和菲尔德研究所的研讨会参与者的评论。作者还想对两位匿名的审稿人和一位匿名的副主编表示感谢，他们的评论帮助提高了本文的数学严谨性和清晰度。ReferencesAhn，A.，M.Haugh和A.Jain（2012）。杠杆ETF期权的一致定价。SSRN预印本。安东诺夫，A.和M.斯佩克特（2012）。SABR模型的高级分析。SSRN预印本。Armstrong，J.，M.Forde，M.Lorig和H.Zhang（2014）。一个跳跃到默认值的一般局部随机波动模型的小时间渐近性：曲率和热核展开。ArXiv预印本ArXiv:1312.2281。Avellaneda，M.和S.Z hang（2010年）。杠杆化ETF回报的路径依赖性。暹罗金融数学杂志1586-603。Bakshi，G.，C.Cao和Z.Chen（1997年12月）。替代期权定价模型的实证表现。《金融杂志》52（5），2003-2049年。Benhamou，E.，E.Gobet和M.Miri（2010）。时间依赖于模型。

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如预期，随着τ的增加，实线和虚线分开，而虚线和实线保持接近。