被动投资的最优ETF选择

2022-5-9 07:07:49

被动投资的最佳ETF选择David PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNABSTRACT。本文考虑了隔离少量交易所交易基金（ETF）的问题，这些基金足以捕捉美国金融市场变化的基本维度。首先，数据适用于向量值贝叶斯回归模型，这是Georgeand McCulloch（1993）著名的随机搜索变量选择（SSVS）的矩阵变量推广。然后，使用Hahn和Carvalho（2015）中描述的“解耦收缩和选择”程序进行ETF选择，以两种方式进行调整：向量响应设置和纳入随机协变量。选择的ETF集合是在许多不同的惩罚和建模选择下获得的。通过最大化夏普比率后验均值，从选定的ETF构建最优投资组合，并将其与基于完整贝叶斯模型的（未知）最优投资组合进行比较。我们将我们的选择结果与受欢迎的ETF顾问Wealthfront进行比较。通用域名格式。此外，我们考虑通过对大量共同基金建模来选择ETF。关键词：标杆管理；降维；交易所交易基金；因子模型；个人财务；变量选择。1.简介交易所买卖基金（ETF）是近年来出现的一种低费用的个人投资股票市场的方式。过去20年ETF受欢迎程度的增长源于投资者被动参与整体市场股票回报的愿望。Firstef于1993年1月开始交易，被称为标准普尔500存托凭证，也称为SPDR。自那时以来，ETF市场规模已超过1万亿美元，而由State Street Global Advisors衍生的SPDR公司是全球第二大ETF提供商，资产近3500亿美元。

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2022-5-9 07:07:52

ETF投资涵盖多种资产类别，基金持有货币、外国股票、债券、房地产和大宗商品。DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNETF行业的爆炸式增长突显出普通投资者希望以低廉的费用持有多元化和广泛暴露的投资组合。尽管ETF的数量远少于一般可交易资产，但决定完全投资ETF的个人投资者仍有决策权。一个人是否应该持有各种专业ETF，比如专注于房地产或生物技术的基金？或者，持有一只单一的广谱“市场”基金就足够了吗？比如罗素4000（Russell 4000），它持有大量个股的头寸。在本文中，我们对ETF进行变量选择，以减少期权a（长期）投资者只面对少数几个不同的基金。为了确定最适合个人投资的一小部分ETF，我们的策略将是隔离那些捕获股市中绝大多数波动性的ETF。具体来说，我们的分析侧重于资产定价文献中的八个“财务异常”。这些资产本身是许多单个股票的线性组合（根据一个既定的配方，其中包括根据各种标准对股票进行预排序）.我们的工作前提是，这八项资产代表了投资者所面临的理想的市场风险横截面，见Fama and French（1992）和Fama and French（2015）。在这个前提下，投资者出于实际原因仍然不能直接投资于这八个因素；数千笔买卖交易的交易成本禁止了这种策略（尽管Dimensional fund Advisors等多家共同基金提供商销售的产品试图模仿这些理论策略）。

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2022-5-9 07:07:56

因此，我们将我们的响应向量称为“无法实现或目标资产”。“在这种背景下，我们的目标只是找到一小部分ETF，将无法获得的资产的协方差结构复制到合理的实际容差。一旦选择了这些ETF，就可以实施各种投资组合优化策略。我们将这些投资组合的表现与（未知）的推断表现进行比较我们的统计模型所暗示的最优投资组合。在方法上，我们的分析结合并扩展了之前的两种技术。首先，我们将Hahn和Carvalho（2015）的决策论变量选择（DSS）方法扩展到向量值响应设置下被动投资的最优ETF选择。DSS方法包括两个阶段，一个建模阶段和一个变量选择阶段。在模型拟合阶段，我们对向量值响应的随机搜索变量选择（SSVS）（George和McCulloch，1993；Brown和Vannucci，1998）进行了调整和扩展。该模型不同于简单地将SSV应用于向量值响应，因为变量包含是在单个单变量回归中同时确定的；也就是说，变量要么出现在所有回归中，要么出现在其中一个回归中。此外，在选择阶段，我们考虑一个随机设计矩阵；Hahn and Carvalho（2015）只考虑固定的设计效用函数，该函数将高斯图形模型中的模型选择自然联系起来，因为我们将寻求探索ETF和目标资产之间的条件独立关系（Jones等人，2005；Wang等人，2011；Wang，2015）。这种调整在投资环境中很重要，因为ETF的未来收益在选择时是未知的。1.1. 之前的ETF研究。

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2022-5-9 07:07:59

最近的研究侧重于将ETF作为单一投资进行评估。Poterba和Spown（2002）从税收效率的角度研究了ETF的运作。他们得出结论，ETF比股票型共同基金更具税收效率，因为ETF的应税收益小于可比共同基金，这表明它们是应税投资者合理的低成本投资。Agapova（2011）比较了被动、指数化的共同基金和ETF。她使用集合OLS模型研究基金流动，发现ETF几乎是被动共同基金的完美替代品。Dillelio和Jakob（2011）研究了公布的ETF交易策略是否优于市场。他们发现，许多策略的表现优于标准普尔500指数，但统计意义较弱。其他几篇论文研究了ETF的投资特征，包括Huang和Lin（2011年）、Shin和Soydemir（2010年）、Pennathur等人（2002年）、Ackert和Tian（2008年）以及Kostovetsky（2005年）。我们将ETF作为唯一的金融产品，为普通投资者提出一种投资方法，为这一多元化的研究做出贡献。4 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahn被动投资组合的构建是文献中的一个独立领域，但也与我们的研究相关。这些问题通常是在一个变量选择框架中提出的，在这个框架中，规则化和优化成为重要的工具。指数跟踪是形成此类投资组合的一种方法。这是通过确定在保持与指数类似的性能（通常称为索引跟踪）的同时，可以投资于指数组件的子集来实现的。Rockafellar和Uryasev（2002）提出了条件风险值（CVaR）约束优化，并将其应用于跟踪标准普尔100指数。Fastrich等人（2013年）考虑惩罚优化来构建稀疏最优投资组合。

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2022-5-9 07:08:02

他们回顾了基于几种惩罚（包括lq正则化器）构建的投资组合的实证表现，并开发了一种新的惩罚，从而产生高夏普比率（风险调整回报）跟踪投资组合。在两篇独立的论文中，Wu等人（2014）分别考虑了土地利用优化中的特殊情况，即thelasso和elastic net（Wu等人，2014；Wu和Yang，2014）。他们开发了算法来解决一个非负优化问题，其中决策变量是跟踪投资组合中资产的长权重。换句话说，他们不允许卖空资产。非负不可再现（NIR）条件也可以保证变量选择的一致性。由于选择可数资产的子集是目标，因此可以使用混合整数规划（MIP）探索所有可能的资产组合。Canakgoz和Beasley（2009）开发了一种MIP方法来跟踪指数并增强指数，其目标是跑赢指数。这种方法包括交易成本和跟踪投资组合收益的线性化，以实现计算的可处理性。类似地，Chen和Kwon（2012）通过将估计误差纳入目标量，考虑了稳健的MIP公式。他们通过最大化跟踪投资组合中的资产和目标指数之间的成对相似性，开发了一种快速算法。Beasley等人（2003年）针对包含交易成本的指数跟踪问题开发了一种进化启发式算法。他们考虑了一个涉及跟踪误差和超额收益的最小化问题，并讨论了样本内和样本外的性能。被动投资的最优ETF选择5不确定性是当前问题的核心。它通过我们指定的统计模型中的参数和我们用于估计的资产回报率来提高它的效率。

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2022-5-9 07:08:05

Jacquier和Polson（2010）回顾了金融中用于处理不确定性的贝叶斯工具。他们讨论了一个框架，用于评估未知回报和参数的预测分布，以及如何从贝叶斯角度处理金融量，如夏普比率。Pastor and Veronesi（2009）调查了最近的文献，重点是“金融市场中的学习”。“执行摘要：承认参数的不确定性可以更容易地解释金融中使用的常见模型。这是我们方法的宗旨。在选择ETF之前，我们通过整合参数和回报的不确定性来考虑未知的未来。2.市场协变的ETF因子模型我们的分析围绕八个金融“异常”进行来自金融文献，其名称为：规模、价值、市场、直接盈利能力、投资、短期反转、长期反转和动量。每一个异常都是一个投资组合，由公司的各种特征对股票进行横截面排序，并根据这些特征形成线性组合构成。例如价值异常是利用一家公司的账面市值（公司“账面价值”除以市场对其价值的感知）比率构建的。高比率表示该公司的股票是“价值股票”，而低比率则表示为“成长股票”“评估。本质上，价值异常是一种投资组合，由高账面市盈率的做多股票和低账面市盈率的做空股票构成。关于第一个因素的详细定义，请参见Fama和French（2015）。我们在分析中使用的数据来自Ken French的网站。

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2022-5-9 07:08:08

人们普遍认为，这八种异常组合（或其中的一些子集）反映了股票市场独立变化的所有维度，如Fama and French（1992）和Fama and French（2015）所述。http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/6DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahnal虽然普通投资者无法轻易实施这些策略，但我们可能希望确定一组能够概括其协方差结构的ETF。为此，我们考虑ETFdb的25只交易量最高（即流动性最强）的股票基金。通用域名格式。在最近的数据期，我们能够将ETF数量增加到46只。具体而言，我们使用了证券价格研究中心（CRSP）数据库1992年2月至2015年2月（CRSP，2015）的月度ETF数据。在下一节中，我们将展示一个回归模型，该模型将这些可实现的资产（ETF，易于投资）与目标资产（八种异常情况，其回报我们可能已经观察到，但并不容易投资）。2.1。回归模型。套利定价理论（APT）（Ross，1976）将预期收益表示为系统因素和敏感性参数的线性组合：E[Rj]=rf+β1jF+·βp jFp，（2.1），其中Rj表示收益，FP表示（可能不可观察）不可分散风险的来源——将资金投入市场所固有的不可避免的风险。该理论的名字来源于它的假设，即所有与该模型不同的资产价格都将通过套利进行修正。我们的模型将假设我们可以根据ETF定义系统因素。

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2022-5-9 07:08:11

也就是说，给定一组目标资产收益率，{Rj}qj=1，ETF，{Xi}pi=1，我们将目标收益率建模为：（2.2）Rj=βj 1X+·βj pXp+^2j，^2j~ N（0，σ）。我们认为，将ETF定义为APT模型中的因素是合理的，因为有许多这样的基金，它们在多个资产类别和市场上交易。在这个公式中，模型2.1的右侧代表了averageinvestor可获得的资产集。左手边是无法获得但令人满意的资产——目标资产。被动投资7模型的线性最佳ETF选择提供了可达到和不可达到空间之间的映射，可进行严格研究。剩下的挑战是确定一小部分ETF，这些ETF同时很好地接近所有八个目标回报。对于T周期，我们的线性模型可以紧凑地表示为矩阵正态分布（Dawid，1981）。将目标资产矩阵定义为R∈ RT xq和ETF矩阵为X∈RT xp。另外，让γ∈ {0,1}pbe一个二进制向量，用于标识特定ETF模型，其中非零项指定包含哪些ETF。我们把模型Mγ写成：Mγ：R~ 矩阵法向量，qXγβγ，σIT×T，Iq×q'。（2.3）注意，行和列协方差是APT假设的对角线。3.基于效用的ETF选择我们的分析采用了Hahn和Carvalho（2015）中描述的模型选择方法，他们将模型选择作为实现目标的手段。他们认为，如果目标是选择所有协变量子集，那么这种欲望应该反映在奖励稀疏性的效用函数中（而不是通过先验知识）。他们提出了一个DSS损失函数（去耦收缩和选择），通过整合标准模型空间采样的预测分布和后验分布，如George和McCulloch（1993年）所述，得出该函数。

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2022-5-9 07:08:14

在对后验不确定性进行积分后，该损失函数用于协变量选择。假设设计矩阵和预测点相同并由X给出，则DSS损失函数为：L（γ）=T-1kX′β- Xγk+λkγk，（3.1）8 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNwhere？β是后验平均值，γ是选择变量。损失函数优雅地依赖于后验平均值β。用L1范数近似3.1中的惩罚项，选择步骤相当于解决预测损失最小化问题。βλ：=argminγT-1kX′β- Xγk+λkγk，（3.2），其中βλ是稀疏的，因为目标函数是惩罚的。因此，βλ的非零元素决定选择哪些协变量。哈恩和卡瓦略讨论了沿求解路径选择调谐参数λ的方法。我们在分析中使用了该范例的两步方法，概述如下：（1）模型拟合步骤：对边际ETF分布进行建模，并通过贝叶斯条件对条件模型空间进行采样；（2）选择步骤：对后验不确定性进行积分，并确定稀疏的变量选择。许多方法可用于选择步骤，包括3.2中的套索优化或朴素的正向逐步选择。无论采用哪种方法，都可以通过使用去噪目标Xβ来消除过度匹配的担忧。考虑到这种预先平滑的响应，很自然地，人们会认为选择步骤是“适应环境”。McCulloch（2015）.3.1. 模型拟合：边际分布和条件分布。目标资产和ETF的未来回报未知。承认这种不确定性对于选择哪些ETF的总体决策非常重要。事实上，有必要事先诚实地选择这些资产的子资产。我们通过潜在因素模型对ETF的边际分布（由矩阵X表示）进行建模来解释这一点。

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2022-5-9 07:08:17

目标资产通过APT模型有条件地建模，下一小节将描述此过程。使用联合分布的组合表示：被动投资的最佳ETF选择9p（x，r）=p（r | x）p（x）。（3.3）我们为联合分配指定了以下模型：RX~ N（u，∑），（3.4），其中，∑具有块协方差结构：∑=βT∑xβ+ψ（∑xβ）T∑xβ∑x.（3.5）请注意，右上角的方块是APT模型隐含的Y的边际方差。右下方的方块就是我们必须另外建模的X的边际方差。我们通过使用矩阵变量随机搜索算法（如下所述）对APT模型参数进行采样，并从近似正态分布的Alant因子模型中对X的协方差进行采样，从而获得∑的后验样本。重申我们的程序是∑xis从独立潜在因子模型中取样，oβ从矩阵变量MCMC中取样，oψ从矩阵变量MCMC中取样。3.1.1. 边际分布模型：潜在因素模型。我们通过以下形式的最新因素模型对ETF进行建模：10 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNXt=ux+Bft+VT~ N（0，ψ）英尺~ N（0，Ik），ux~ N（0，Φ）（3.6），其中ψ假设为对角线，k个潜在因子集是独立的。ETF的协方差受因子分解的约束，其形式为∑x=BBT+ψ。（3.7）为了估计该模型，我们使用Jared Murray（Murray，2015）的R包bfa。该软件允许我们通过simpleGibbs步骤（假设在ux.3.1.2上存在正常先验）对边际协方差和边际平均值进行采样。条件分布建模：矩阵变量随机搜索。我们通过开发一种新的变量选择算法，并通过贝叶斯条件化对样本参数建立条件分布R | X模型。

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2022-5-9 07:08:20

回想一下，条件模型的形式是2.3，我们的目标是探索模型空间上的后验概率P | Mγ| R。这是George和McCulloch（1993）的随机搜索变量选择的推广，因为我们的响应是向量值的，而不是单个随机变量。因此，观察到的目标资产数据R是amatrix。与George和McCulloch（1993）类似，我们的算法通过计算特定模型Mγ的Bayes因子来探索模型空间。假设响应R是矩阵而不是avector，我们将Bayes因子导出为向量响应Bayes因子的乘积。这是通过将目标资产的边际可能性分离为不同向量响应的产品来实现的。被动投资的最优ETF选择分别为每个目标资产的11个边际可能性。这种推导要求我们的优先权在目标资产中是独立的，如附录所示。我们的方法之所以新颖，正是因为我们将SSV调整为矩阵变量响应。请注意，我们不会对每个目标资产单独运行标准SSV。相反，我们推广了George and McCulloch（1993），并要求同时从所有目标资产的模型中包括或排除所有协变量。在我们的模型中，边际似然需要参数β和σ的先验值。我们使用众所周知的g-先验，这是线性模型的标准，因为它允许边际似然积分的解析解（Zellner，1986；Zellner和Siow，1984；Liang等人，2008a）。我们的Gibbs采样算法直接遵循标准的随机搜索变量选择。目标是扫描所有可能的协变量，并确定模型中应包含哪些协变量，这就是算法探索模型空间的方式。

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2022-5-9 07:08:23

在CMC的每个子步骤中，我们在特定模型中观察单个协变量，我们计算协变量包含的可能性，作为模型先验概率和贝叶斯因子的函数：pi=Ba0P、Mγa、Ba0P、Mγa、+Bb0P、Mγb。模型空间上的先验值PMγ，可以选择用于调整多样性或一致性——我们的结果对这两种规格都是稳健的。在该设置中，调整多重数量以使不同尺寸的模型具有相同的优先质量。相比之下，对于包含p个协变量的模型，统一的先验知识会使较大的模型具有更高的概率质量，达到最大值p。模型空间和参数的先验细节，包括g-先验超参数的经验贝叶斯选择，在附录中讨论。12 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahno使用该算法，我们根据目标资产矩阵访问最可能的ETF因子模型。在模型和先验规范下，模型参数βγ和σ的后验值有封闭形式的表达式。因此，我们可以很容易地对这些参数的任何函数进行采样，包括隐含相切投资组合收益率和夏普比率。这些指标在分析所选ETF投资组合时非常有用，将在实证结果部分进行讨论。3.2. 条件损失函数的推导。我们现在的目标是描述ETF和无法获得的资产之间的关系。

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2022-5-9 07:08:26

虽然我们模型的参数做得很精确，但我们只有这些参数的后验样本（不是简单的点估计），而且，这些参数可能“更大”“比我们希望的要多，因为它们涉及所有可能的ETF，而目标资产协方差结构的绝大多数可能是一个小得多的数字。为了找到一个简洁的总结，我们考虑了一个损失函数，其动机是给定X的R的条件分布。特别是，这种可能性的形式为：R | X~ N（γx，D）-1），（3.8）所以对数似然为：logdet（D）-“rTDr- 2xTγTDr+xTγTDγx。（3.9）将其作为损失函数，我们可能会要求一个“行动”γ来总结我们的分布；我们认为D是固定的。由于我们没有在统计能力中使用这种可能性，我们实际上希望我们的γ总结来描述未来的实现R和X。因为这些未来的实现自然无法使用，我们无法最大化（3.8）超过R和X。被动投资的最佳ETF选择13相反，我们首先考虑预期，收益率：tr[D∑r]-tr[γTDγ∑x]-uTxγTDγux+tr[γTDβ∑x]+uTxγTDur.（3.10）通过删除不涉及我们的选择变量γ的所有项，定义综合条件损失函数L（γ∑，ux，uy）=-tr[γTDγ∑x]-uTxγTDγux+tr[γTDβ∑x]+uTxγTDur.（3.11）当然，这个表达式中出现的参数也不确切，所以我们再次积分{∑x，β，ux，uy}:L（γ）=-trhDγ∑x+∑ux+uxuxT'γTi+trhDβ∑x+uxur+uruxT'γTi。（3.12）上划线用于表示模型参数的后均值。

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2022-5-9 07:08:31

定义H=∑x+∑ux+uxuxT，f=β∑x+∑uxur+uruxT，H=LLT，我们有：L（γ）=-tr-DγHγT- 2fγT∝ -tr-D（γ）- f H-1） H（γ）- f H-1） T¨=-tr（～γL）- Df L-1） T（～γL）- Df L-1)'= -vecγL- Df L-1’TvecγL- Df L-1'.（3.13）在3.13中，我们完成了关于γ的平方，忽略了不涉及这个作用的常数项。我们还将作用重新定义为γ=Dγ。最后，我们将跟踪转换为一个lnorm，并使用Kroeneker乘积（其中I是一个与D维数相同的单位矩阵）将向量化操作分布到表达式中：14 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHN（3.14）L（~γ）=-°°h[LT 一] vec（～γ）- vec（Df L-1） i°°+λ°°vec（~γ）°。我们包括一个参数为λ的lpenalty，它鼓励优化解决方案进行解析。Hahn和Carvalho的DSS论文强调了这一点，其中l正则化伴随着模型选择的不确定性积分。表达式4.1现在是标准稀疏回归损失函数的形式（Tibshirani，1996），带有协变量L，“数据”Df L-1和回归系数γ。因此，我们可以使用现有软件（如Efron等人（2004）的lars软件包）方便地优化（4.1）。惩罚参数的选择是一个必要的实际问题。在这一点上，我们还遵循了Hahn和Carvalho（2015）的实用贝叶斯方法，他们主张通过仔细检查反映λ诱导稀疏导致的预测恶化的图来选择λ。

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2022-5-9 07:08:34

关键的是，这样的图传达了所选性能指标的后验不确定性，允许按照以下方式表达直观标准：选择λ，这样，在后验概率大于95%的情况下，稀疏预测器的预测误差不超过非稀疏最优预测的10%。“在我们的应用中，我们将使用对数条件分布作为预测性能的衡量标准，这只是我们的效用函数，没有稀疏性惩罚。3.2.1.与lasso和原始DSS的区别。损失函数4.1不同于Hahn和Carvalho（2015）的原始DSS损失函数在两个重要方面。首先，它的推导依赖于以条件分布和边际分布的组合形式表示的统计模型，而不是具有正常i.i.d.误差的标准线性回归。其次，损失度量不是显式的平方误差。相反，我们的准确度概念是由给定ETF的目标资产条件分布的负对数可能性定义的。我们被动投资方法的最佳ETF选择不同于Yuan and Lin（2006）的lasso组（其中分组协变量沿lasso解路径同时进入模型），原因与Yuan and Lin（2006）相同。在附录中，Hahn和Carvalho（2015）讨论了图形套索（Friedman et al.，2008）损失函数中的协方差估计，被称为“DSS图形模型后验汇总优化问题”。目标是使用图形DSS损失函数找到协方差的简约后验汇总。我们的方法类似，但我们的损失函数只关注协方差的非对角块，量化目标资产和ETF之间的依赖性。

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2022-5-9 07:08:37

也就是说，我们不考虑联合分布，而是关注隐含的条件分布。与所有协方差分量都是惩罚选择变量的图形套索优化不同，我们的方法只允许在条件分布中的系数矩阵上进行优化，该分布表示ETF和目标资产之间的依赖关系。附录中的一个简单示例明确说明了这种差异。损失函数的一个重要特征是公式中出现的参数（如β∑x）的交叉乘积的后验均值。它们可以具有与单个参数截然不同的分布，因为它们通过模型自然地依赖于后验概率。有趣且值得注意的是，这些时刻量化了这些参数之间的关系，出现在我们的最终损失函数中。4.实证发现我们现在将我们的模型抽样和选择算法应用于1992年2月至2015年2月的ETF和金融异常数据。使用矩阵变量CMC中采样的参数，我们沿着16 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNlasso优化的解路径计算条件损失函数的值，并在每个解上进行几个MCMC迭代。回想一下，以“套索形式”编写的损失函数是：（4.1）L（~γ）=-°°h[LT 一] vec（～γ）- vec（Df L-1） i°°+λ°°vec（~γ）°。图4.1显示了对不同的∧γ值（以及不同的稀疏度）和围绕这些评估的分位数的损失函数的评估。请注意，模型大小是指ETF和目标资产之间的连接数。

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kedemingshi

2022-5-9 07:08:40

模型规模越大，与目标资产相连的ETF越多（ETF和目标资产之间的条件依赖矩阵的更多成分为非零），由对数似然得出的条件损失函数的值越大。“模型”中的每一点“线应被视为表示ETF和目标资产之间依赖关系的图形。损失函数值在稠密模型fit处稳定，即：当我们在吉布斯算法中采样的ETF和目标资产之间的所有可能边都包括在内时。稠密模型fit的第40到60个分位数带以灰色矩形显示。由于我们只需要将模型fit与密集模型fit进行比较，以进行图形选择。我们对ETF选择的启发是在解上选择最稀疏的模型，使其系数的后验平均值包含在稠密模型分位数带中。这种选择启发法是我们方法的关键，只有在模型的不确定性区间满足我们已知的条件下才能实现。因此，我们模型的贝叶斯拟合提供了这些分位数，通过这些分位数可以进行选择。通过改变分位数带的大小，模型可以变得更稀疏或更密集（ETF和目标资产之间的边缘连接更多或更少）。这是由“ETF选择器”做出的定性判断。然而，由于第一步（模型抽样）倾向于通过只探索相关模型来减少相关ETF的数量，我们发现给定的ETF图对改变密集的模型fit分位数相对稳健。被动投资的最佳ETF选择17模型大小●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●模型Fit密集模型Fit图4.1。通过条件损失函数测量的模型系数。

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2022-5-9 07:08:43

允许选择ETF。模型大小是指图形中的边数。图4.2显示了所选ETF及其与八种金融异常的联系。在套索优化中，我们取消了SPY和市场因素（Mkt.RF）之间的联系，因为投资者直觉上希望至少持有“市场”。由于取消了SPY，SPY出现在解决方案路径上的所有模型中。请注意，IWM连接到八个异常中的四个。鉴于IWM是一个小型混合ETF，它与SMB的连接（小-大，或大小）因素是直观的。它还与LTR（长期反转）、HML（高负低，或值）和RMW（稳健负弱，或稳定性）因素有关。与STR（短期反转）类似，LTR是一种交易策略，买入具有较低平均长期收益趋势的股票，卖出具有高于平均趋势的股票。直觉是，随着时间的推移，表现优异（表现不佳）的股票将纠正其高于（低于）平均水平的表现，并系统性地“反转趋势”。“STR和LTR捕捉了在不同长度修正期内从该策略中获得的溢价。IWM与LTR的关联表明，小型混合公司面临LTR的变化。此外，18 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNits与HML和RMW的关联表明，IWM中的一些公司的交易可能低于其账面价值（即：“价值股”）以及这种可盈利性推动了回报率的变化。Mkt.rfsmbhmlrmwcmaltrmomspyiwmiwoiwvfigure 4.2.选定的ETF及其与无法实现的资产的边缘联系。IWO是一种由小型成长型公司组成的ETF。它与Mom（动量）、CMA（保守负进取）、LTR、RMW和HML因素有关。

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2022-5-9 07:08:46

动量因素投资于表现持续优于预期的股票。IWO与Mom的联系是直观的，因为成长型公司的扩张及其回报在整个市场周期中趋于持续。它与CMA的联系同样吸引人。CMA是一家投资于保守投资公司和出售积极投资公司的公司的公司。快速增长的小公司密切参与投资；无论是为了推动未来的增长而增加，还是为了保持高收入而加以抑制。因此，我必须将其与一个因素联系起来，该因素捕捉了专注于投资的公司的市场变化。被动投资的最佳ETF选择19我们选择的投资组合IWV中的最终ETF是大市值股票的混合。由于该ETF包含公司，且规模较大且相对成熟，它是“市场化”的很好替代品“ETF。尽管如此，它与跟踪S&P500的SPY一起被纳入我们的选择。因此，IWV和SPY是唯一与市场因素相关的ETF。此外，IWV与STR相关，这表明大型公司在短期内趋势逆转或纠正。与IWM与LTR因素的关系相比，这是有意义的。一般来说，大型公司与较小的公司相比，像苹果这样的公司更受媒体和公众的关注。因此，对大盘股票高于或低于平均水平表现的修正应该比小盘股票更快。4.1. 对特定分配进行基准测试。在实践中，个人投资者不仅想知道应该投资哪些基金，还想知道每个基金应该投资多少。投资组合优化及其大量文献超出了本文的范围。然而，在本节中，我们采用了一种贝叶斯、直观和简单的优化方法。

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2022-5-9 07:08:51

我们通过最大化其夏普比率的后验均值来构建所选ETF投资组合。夏普比率是一种常见的财务指标，表征资产的风险调整后回报。夏普比率将资产收益的前两个时刻分开，即夏普比率越高，则每单位标准差（风险）的回报率越高。夏普比率承认投资者喜欢高回报而不喜欢风险（风险不利）这一广泛使用且合理的假设。诺贝尔奖获得者威廉·夏普（William Sharpe）在一篇论文中首次提到了这一点，他在论文中称之为“回报与可变性比率”（夏普，1966）。权重空间是在康塞科和梅切勒（2015）的Rpackage DEoptimR中使用差分进化优化来探索的。我们能够将权重限制在100%，并将其限制为正（无卖空）.这对普通投资者来说是一个合理的限制，我们可以轻松实施。最大后验平均夏普比率投资组合为96%的大盘ETF，向小盘ETF倾斜4%。20 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNETFSPY IWM IWO IWWweight59。3%4.0%0.0%36.7%风格市场小混合小增长大混合4.1。1992年2月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验平均值构建选定ETF投资组合（SPY被迫通过套索惩罚纳入）。总之，该投资组合包括捕获八种金融异常的主要变化来源的ETF，并进行分配，以使其风险调整后的回报最大。预计市场和大盘ETF在我们的投资组合中将有大量配置是合理的。这些ETF交易的股票占美国总市值的很大一部分。

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2022-5-9 07:08:54

金融市场。向小盘股倾斜，不向增长分配，这表明我们可以进一步提高我们的利差率，增加对推动小负大（SMB）因素的变化的敞口。0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0夏普比率ETF投资组合SRFull ETF投资组合SRFull图4.3。1992年2月至2015年2月：不同投资组合的夏普比率样本基本上，这种正统的贝叶斯分配方法方便且有吸引力的原因是，最初将问题从所有资产减少到仅ETF，然后，通过我们的贡献，仅减少到ETF的一小部分。因此，人们自然会问，被动投资的可变最优ETF选择方法在多大程度上放弃了放弃ETF选择步骤的类似方法。我们在图4.3中看到了这种比较，它显示了所选ETF投资组合和完整ETF投资组合（所有25只ETF的最大后验平均夏普比率投资组合）的抽样夏普比率分布。我们发现，我们减少的投资组合的夏普比率分布略低于投资于所有ETF的投资组合的夏普比率分布（正如人们所预期的）。然而，这两种分布在很大程度上是重叠的，而且极度节俭的投资策略的价格非常低。0.0.5 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0夏普比率ETF投资组合SRFull ETF投资组合SRFIGURE 4.4。1992年2月至2015年2月：不同投资组合的夏普比率样本。此外，如果一个人可以投资（多头和空头头寸）目标资产本身，我们考虑与模型隐含最优投资组合相对应的夏普比率的分布。这一基准在两方面是无法实现的。首先，我们的分析是基于左侧资产不能直接投资的想法进行的。

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2022-5-9 07:08:59

更重要的是，22 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahn获得的Sharpe比率来自一个最优模型，该模型允许在后验采样期间一次又一次地改变迭代。也就是说，我们关注的是最优投资组合绩效的分布，而不是预期中最优投资组合的绩效；我们关注的不是一个单一的投资组合，而是许多条件最优的投资组合。因此，虽然不可能实现错误的SR最优投资组合，但它确实为我们的比较提供了一个自然的尺度。在图4.4中，我们展示了相同的样本夏普比率，并去除了推断的分布。最后，我们考虑了市场ETF（SPY）与任何其他ETF同等对待的情况，因此可以从选择集中删除。由此产生的ETF图表如图4.5所示。该图与图4.2所示相同，只是间谍因受到惩罚而闹翻了。最大后验夏普比率投资组合只包含一个ETF，即IWV。这是一只追踪罗素3000指数的大盘ETF。在整合了未来收益和参数的过度不确定性后，Chosen ETF投资组合只是一个类似市场的ETF。这为“只管买市场”的民谣提供了严格的直觉。在考虑了所有未知因素后，这一结果表明，大型股票的广泛投资组合并不太糟糕。ETFIWVweight100%风格大型混合型4.2.1992年2月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验平均值来构建选定的ETF投资组合（通过套索惩罚，间谍不会被强制包括在内）。尽管这一结果证实了一个广泛的帮助立场，但也提出了一个问题，即为什么还有其他阵营支持另类投资建议。

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2022-5-9 07:09:02

在下一节中，我们将看到非平稳性可以解释其中的一些差异。被动投资23Mkt的最佳ETF选择。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMIWOIWVF图4.5。选定的ETF及其与无法获得的资产的边缘连接。4.2. 滚动分析。到目前为止，我们的分析基于APT模型，假设收益过程是平稳的，这意味着收益的分布在时间上是稳定的。质疑这一假设是很自然的。为了调查收益率随时间变化的可能性，并研究这可能会如何影响我们的ETF选择方法，在本节中，我们将我们的方法分别应用于重叠的时间段。。我们在图4.2中展示了从1995年3月到2015年2月的10年重叠期。在不同的时间段有更多的ETF可用，我们允许算法考虑更大的集合。第一期有25只ETF，最后一期有46只ETF。每个ETF集合都是未来时段数据的子集。第一次（1995年3月至2005年2月），我们看到IWDand IVE中出现了价值，IJR中出现了小盘股。否则，通常的大库存混合出现在IWV中，而小库存混合出现在IWO和IWM中。请注意动量是如何与大盘ETF分离的。这表明基于动量的交易仅在24只DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNcouple ETF之间存在孤立的协变量。就在这个时期开始之前，杰加迪什和蒂特曼（1993年）发表了他们关于动量策略的著名论文，这些想法的形式化还在婴儿期。此外，请注意，小增长ETF IWO在这一时期与市场因素有关。从1995年3月到2005年2月，科技行业经历了一次又一次的繁荣和爆发，许多小型科技公司都以惊人的速度增长。

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2022-5-9 07:09:06

这个最终的泡沫导致了市场的巨大变化，我们通过IWO与市场因素的联系看到了这一点。被动投资的最佳ETF选择2500万吨。1995年3月至2005年2月。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMIWMRSPIWOIWV（b）2000年3月至2010年2月。RFSMBHMLMWCMALTRSTRMOMVTIIWMRSPIWO（c）2005年3月至2015年2月最近的两个时间段相似。两者都有三个共同点（IWO、IWM、RSP），每个都有一个广阔的市场ETF（2000年3月至2010年2月的IWV和2005年3月至2015年2月的VTI）。这些因素与ETF之间的联系确实会在不同时期发生变化，这突出了一个合理的事实，即随着时间的推移，给定ETF内的协变量可能会由不同的26 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNfactors驱动。具体而言，我们看到IWO失去了与市场因素的联系，而WM获得了与RMW和Mom的联系。如果HWETFs与市场的关联性更大，则表明HWETFs与市场的关联性也更大。标普500等权重ETF RSP在第二个时间段通过动量和长期反转因子进入。一个有趣的比较是2005年3月至2015年2月的投资组合（表4.3）和1992年2月至2015年2月这段较长时间内形成的投资组合（表4.2）。前者的结果是一个由大型股票组成的单一ETF投资组合。在后一种情况下，广义市场ETF和市场等权重ETF之间几乎存在分歧。后一种投资组合倾向于较小的股票，使RSP的权重相等，这是由于使用了较短和较新的数据。ETFVTI IWM IWO RSPweight43。7%0.0%0.0%56.3%风格广泛市场小混合小增长市场同等权重表4.3。

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2022-5-9 07:09:09

2005年3月至2015年2月：通过最大化夏普比率的后验均值4构建选定的ETF投资组合。3.进一步申请。4.3.1. 与财富阵线的比较。在较短的数据期间（2005年3月至2015年2月），我们能够将我们选择的投资组合与Wealthfront进行比较。com，一家ETF投资公司，目前管理着26亿美元的资产。在过去五年中，随着ETF变得越来越受欢迎，出现了许多其他类似于Wealthfront的公司和产品，包括：Betterment、Charles Schwab Intelligent Portfolions、WiseBanyan和LearnVest。每家公司都面向普通投资者。根据投资者回答的一系列问题确定的风险承受能力水平，每家公司将生成相应的ETF投资组合。图4.6显示了Wealthfront网站上的分配示例。注意每个投资组合中只存在ETF；这些是这一被动工具的投资组合。这些公司的增长是由外行投资者的愿望推动的，他们不仅希望为被动投资选择指数最优的ETF 27ETFVWO VEA VTI VIG 18。3%24.4%42.7%8.6%6%styleEM非美国市场股息能源表4.4。财富前沿投资组合。投资，但要以最佳方式投资。据我们所知，尽管这些公司在提供解决方案方面做了合理的第一步，但他们的产品在两个关键领域存在不足。（1）他们对ETF的选择基于对费用比率、流动性、总体市场人气和预先确定的资产类别的定性分析。（2）最优权重是通过传统的、可能不稳定的均值-方差优化计算得到的。在本文中，我们试图对步骤（1）进行改进。图4.6。资料来源：财富阵线。comWe在表4.4中显示了Wealthfront给出的纯股权投资组合的权重。

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可人4

2022-5-9 07:09:12

如图4所示。7.我们显示采样的夏普比率。这两个投资组合具有相似的上行潜力，但请注意，Wealthfront投资组合的左尾远远大于ETF投资组合。28大卫·普尔茨、卡洛斯·M·卡瓦略和P·理查德·哈恩-0.50.0.0 0.5 1.0 1.50.0 0.5 1.0 1.5夏普比率ETF投资组合SRWealthfront SRFIGURE 4.7。2005年3月至2015年2月：WealthFront投资组合和我们提议的ETF投资组合的夏普比率样本如表4.3.4.3.2所示。共同基金作为目标资产。最后，我们考虑将共同基金作为目标资产的情况。我们从CRSP Survivor BiasFree美国共同基金数据库中随机抽取100只共同基金，并在我们的算法中使用它们作为我们的响应矩阵，我们的数据来自较长的时间段，即1992年2月至2015年2月。图4.8显示了允许我们选择适当模型的解决方案路径，图4.9显示了所选图形。被动投资模型sizefit的最优ETF选择●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●模型Fit密集模型Fit图4.8。通过条件损失函数测量的模型系数。允许选择ETF。模型大小是指图形中的边数。所选图表显示了与所选ETF相关的共同基金，结果非常显著。选择的三只ETF的策略与Fama和French（1992年）的著名论文《Fama和French》（Fama and French）中的三个因素密切相关。这表明，共同基金回报之间的协变量主要包括市场、规模和价值因素的变化。然而，因果关系的方向尚不清楚。这三个因素要么代表金融市场的真实维度，要么共同基金经理认为这就是维度和交易本身。这个例子强调了我们算法更广泛的价值和适用性。

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2022-5-9 07:09:15

在今天的世界里，有成千上万的共同基金和ETF可以投资，投资者很快就会被银行研究、晨星评级和定性建议所淹没，而她应该关注的投资中的小部分。利用贝叶斯估计和正则化优化中的现代技术，并结合APT中的经济理论，我们的选择算法能够为普通投资者稀疏这一庞大的投资选项集。30 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HahnpeopxfdsxjiesxveipxValixWebxTwBixPeyaxKtraxMawDrexFdxEtxWpGdxSgRxSLCxfRbxFbxDvLxBaraxMopaxEpCxPrPfxRxFBIwMiwd图4.9。选定的ETF及其与共同基金集合的边缘连接。为清晰起见，未显示单身共同基金（无边缘）。被动投资的最佳ETF选择315。结论投资领域是复杂的。随着数十亿美元的基金经理、涵盖所有可想象资产类别的主动和被动共同基金以及多种金融产品和对冲工具的崛起，普通投资者寻找最佳投资场所面临着挑战。对于这个投资问题，一个常见的答案是：“抓住市场。”然而，这个简单的解决方案可能并不是那么容易实现。如何定义市场？这都是公共公平吗？如果是这样，就不可能持有所有这些资产。

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2022-5-9 07:09:18

标准普尔500指数（s&P 500）由在主要交易所交易的前500家最大公司组成，可能是美国股市的一个不错的代表，但它能捕捉到所有的市场变化吗？此外，有没有一种方法可以确定这种变异产生的哪些溢价是最重要的？对这些复杂问题的回答将使普通投资者受益匪浅。交易所交易基金（exchangetraded fund，ETF）是一种以较低费用广泛接触多种资产类别的投资。ETF是解决“只持有市场”困境的有效方法吗？可能随着ETF领域扩展到新的金融市场和资产类别，毫无疑问，普通投资者面临的市场变化比以往任何时候都多。事实上，ETF在投资决策中引入了一个次要但重要的问题：我应该投资哪些ETF，以及我应该在每个ETF上投资多少？投资问题变成了ETF的选择和投资组合的分配问题。在过去五年中，这种指数投资困境导致了两个著名企业的发展：改善和财富前沿。每家公司都面向普通投资者。根据投资者回答的一系列问题确定的风险承受能力水平，每家公司将生成相应的ETF投资组合。其他包括Charles Schwab Intelligent Portfolions、WiseBanyan和LearnVest。32 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNIn在本文中，我们提出了一种方法来解决指数投资的这些不足。我们从投资者的角度，将ETF选择问题模拟为一个贝叶斯模型选择问题，我们选择的ETF最接近于所选目标资产集。

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