在滚动的时间段内，我们的分析通常会选择一组更加多样化的TF，表明人们应该随着市场的变化调整其投资组合。事实上，我们的分析很大程度上倾向于小盘股和价值型基金，通过被动投资的RSPOPTIMAL ETF选择与动量因素挂钩，获得了一些同等的权重。这一发现为流行的民间智慧投资圈提供了统计依据。34 DAVID PUELZ，CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD Hahnapendix A.矩阵变量随机搜索为了进行模型比较，我们在没有任何协变量的情况下计算关于零模型的Bayes因子。首先，我们计算一个边际可能性。这种可能性是通过将βγ和σ上的完整模型与这些参数的先验值相乘而得到的。阿吉文模型γ与零模型的贝叶斯因子，Bγ0=mγ（R）m（R），其中：mγ（R）=ZMNT，qR | Xγβγ，σIT X T，Iq X q'πγ，σ'dβγdσ。（A.1）根据APT假设，我们得出R的列是独立的。此外，我们假设R列中的被积函数是独立的，因此我们可以将A.1中的被积函数写成每个目标资产的乘积：mγ（R）=Z∏qi=1NTRi | Xγβiγ，σIT X T'πiγiγ，σ'dβiγdσ<==>mγ（R）=ZNTR | Xγβγ，σIT X T'πγβγ，σ'dβγd∑··································································~ NTXγβiγ，σIT x T'。（A.2）被动投资的最佳ETF选择35因此，该矩阵变量模型的Bayes因子只是单个多元正态模型的Bayes因子的乘积，这是APT模型假设的直接结果。Bγ0=eBγ0×···×eBqγ0（A.3），带：eBiγ0=mγ、Ri、m、Ri。（A.4）边际似然计算的简化对于分析的简化以及由此产生的SSVS算法依赖于已经为向量响应模型开发的技术至关重要。

为了计算每个Bayes因子的积分，我们需要参数βγ和σ的先验值。由于优先级在R列中是独立的，我们的目标是定义πiγβiγ，σ'我∈ {1，…，q}，我们表示为乘积：πiγ（σ）πiγβiγ|σ'。在Zellner、Jeffreys和Siow关于回归问题的工作的推动下，我们为σ选择了一个非信息先验，并为βiγ上的条件先验选择了流行的g先验，（Zellner，1986），（Zellner和Siow，1980），（Zellner和Siow，1984），（Jeffreys，1961）：πiγiγiγ，σ| g'=σ-1Nkαβiγ| 0，giγσ（XTγ（i- T-1T）Xγ）-1'.（A.5）在此前提下，我们有一个贝叶斯因子的分析形式：36 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNBγ0=eBγ0×····×eBqγ0（A.6）=∏qi=11+giγ'（T-kγ-1） /2u1+giγSSEiγSSEi¨（T+1）/2，（A.7），其中SSEiγ和SSEi是列变量Xγ和kγ线性回归的平方误差之和，是模型Mγ中的协变量数。我们允许超参数gto在R列中变化，并取决于模型，用giγ表示。我们的目的是探索模型空间的后验性，给出我们的数据：P | Mγ| R×=Bγ0P∑γBγ0P∑Mγ，（A.8），其中分母是一个归一化因子。本着传统随机搜索变量选择的精神，Garcia Donato和Martinez Beneito（2013），我们建议使用以下Gibbssampler对后验数据进行采样。A.1。吉布斯采样算法。一旦参数βγ和σ被积分，我们就知道了γi |γ，···，γi的完整条件分布的形式-1，γi+1，··，γp。

我们从这些分布中取样如下：（1）选择列RIA并考虑两个模型γa和γB，例如：γa=（γ，···，γi）-1,1，γi+1，··，γp）γb=（γ，··，γi-1,0，γi+1，···，γp）（2）对于每个模型，计算A.6定义的Ba0和BB0。被动投资的最优ETF选择37（3）样本γi |γ，···，γi-1，γi+1，··，γp~ Ber（pi），其中pi=Ba0P、Mγa、Ba0P、Mγa、+Bb0P、Mγb，使用该算法，我们访问了给定目标资产集的最可能的ETF因子模型。在模型和先验规范下，模型参数βγ和σ的后验值有封闭形式的表达式。A.2。g-Previor的超参数。我们使用局部经验贝叶斯来选择a.5中g-先验的超参数。由于我们允许g是R列的函数，以及由γ定义的模型，我们为上述a.5中的每个单变量Bayes因子计算单独的g。g的经验Bayes估计使边际可能性最大化，并被限制为非负。根据Liang等人（2008b），我们得到：^gEB（i）γ=max{Fiγ- 1,0}（A.9）Fiγ=R2iγ/kγ（1- R2iγ）/（T- 1.- kγ）。（A.10）对于单变量随机搜索，文献建议选择固定的g作为数据点的数量Garcia Donato和Martinez Beneito（2013）。然而，我们的模型由多个目标资产引起的多变量性质使得这种方法不可靠。由于每个38 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNtarget asset具有不同的统计特征以及与协变量的相关性，因此有必要在不同的采样模型和目标资产之间改变g。我们发现，这种方法为ETF的包含概率提供了充分稳定的估计。被动投资的最佳ETF选择39附录B。模拟研究在附录的这一部分，我们展示了将我们的抽样算法应用于模拟数据的结果。

回想一下，我们用参数ψ和β对条件R | X进行建模，用参数uX和∑X对边际X进行独立建模。使用这些参数的后验平均值，我们在数据生成过程中构建模拟目标资产RSI和ETF Xsim：Xsim~ N（ux，∑x）（B.1）Rsim~ 矩阵法线，qXsimβ，ψ，Iq×q'，（B.2），其中上划线代表后验平均值。在B.2中，我们展示了真实的夏普比率及其从我们的算法中推断出的值。真实值是使用和模拟收益数据生成过程的知识来计算的。马尔可夫链蒙特卡罗抽样在恢复真正的夏普比率方面做得很好，因为它接近三个独立模拟数据集的后均值。40戴维·普尔茨、卡洛斯·M·卡瓦略和P·理查德·哈恩●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5-1.5-1-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5推断的贝塔斯鲁贝塔斯●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●sim卡1 sim卡2 sim卡3图B.1。三组模拟R和X的真β与推断β。此外，我们还比较了β系数的后验平均值与每个模拟中使用的真实β值。如图B.1所示，推断出的β与其真实值符合得很好。

在模拟金融资产回报的合理数据集下，我们的模型抽样算法能够很好地恢复数据生成过程中的参数。被动投资的最优ETF选择- 模拟1密度0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0真实SRS比- 模拟2密度0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0真实SRS比- 模拟3密度0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0真实SRB图B.2。三个相切投资组合的夏普比率的后验分布模拟R和X的实现。真实投资组合的夏普比率显示为垂直黑线。附录C.比较。1.条件损失函数和图形套索之间的区别。为了证明条件损失函数和图形套索（glasso）方法在选择问题上的差异，考虑一个简单的双变量均零模型，其中有一个目标资产和ETF。假设参数a、b和c具有后验均值a、b和c。42戴维·普尔茨、卡洛斯·M·卡瓦略和P·理查德·哈恩rx~ N~0，∑、∑=a抄送b.（C.1）与一般设置类似，将条件模型定义为：r | x~ Nγx，d-1c.（C.2）目标是对∑的非对角元素进行精简的后验总结。为了实现这一点，可以使用Hahnand Carvalho（2015）附录中讨论的图形套索损失函数，其中稀疏惩罚仅包括我们选择变量的非对角元素，即精度矩阵Γ：Γ=ψggκ.（C.3）Hahn和Carvalho（2015）的glasso损失函数为：L（Γ）=ρkΓk- logdet（Γ）+tr（Γ）。注意，ρ是控制处罚金额的参数。

仅惩罚r和x之间的依赖关系，我们将损失函数简化为：Lglasso（g，ψ，κ）=ρ| g |- 对数（ψκ）- g） +（aψ+bκ+2cg）。（C.4）本文中采用的条件损失函数与方程3.12类似，为：被动投资的最佳ETF选择43L（γ）=λ|γ|-γb+γc，（c.5），其中λ是惩罚参数。非常重要的一点是C.4和C.5的比较。在glasso中，g是精度矩阵中的一个元素。因此，选择g（使用2x2矩阵求逆公式）的隐含协方差块为：γ*格拉索=-g det∑。相比之下，条件损失函数选择变量γ直接是条件分布r | x中x上的系数矩阵。因此，将在γGlassoa和γ之间对两种解决方案进行比较。C.1.1。条件损失函数最优。一阶条件给出了条件损失函数C.5，γ的最佳作用*(λ):γ > 0 ==> γ*（λ） =c- λbγ<0==> γ*（λ） =c+λb，（c.6），其中我们将作用空间分为γ正和γ负，以说明惩罚中绝对值的导数。C.1.2。Glasso损失函数最佳。glasso优化有三个操作。结合ψ和κ的一阶条件，我们得出结论：ψ=baκ。（C.7）将该比率替换回ψ和κ的一阶条件，并求解结果二次方程，我们得到ψ和κ作为参数和γ的函数：44 DAVID PUELZ、CARLOS M.CARVALHO和P.RICHARD HAHNκ=2bu1+q1+4abg¨，ψ=2au1+q1+4abg¨。（C.8）我们采取积极的根源，以确保我们行动的对角线元素是积极的。这是必要的，因为glasso寻求一种正的有限矩阵。g<0时的一阶条件意味着：-ρ+2gψκ- g+2c=0。（C.9）g>0情况下的一阶条件相同，但ρ上有一个正号。

将C.8代入C.9，我们得到了最优作用g*（ρ） ：g>0==> G*(ρ) =ρ - cdet∑+cρ-ρg<0==> G*(ρ) =-ρ - cdet∑- cρ-ρ、 （C.10）式中：∑=a抄送b.（C.11）我们的条件损失函数和图形套索的非赋能解是：γ*（0）=cbγ*glasso（0）=-G*（0）det∑=c（c.12）被动投资的最佳ETF选择45C。1.3. 数值演示。给出了条件损失函数和图形lasso优化的导出解，我们给出了它们之间差异的一个数值例子。我们设定A=12，b=1，c=3。设置b=1可确保未启用的解决方案：γ*（0）和γ*glasso（0）将是相等的。此外，由于∑必须是正定义，我们有它的行列式ab- c=3，为正。图C.1显示了条件损失函数和graphicallasso的最优解如何随惩罚参数（即解路径）而变化。为简单起见，我们将两个惩罚参数绘制在同一轴上。左部分x轴是solutionpath的起点，在该路径中，惩罚足够大，足以将解决方案置零。当ρ=2C和λ=c时，会出现这种情况。x轴的右侧显示了未启用的解决方案，在我们的示例中，它们被设计为相等。我们在图C.1中看到，解决方案路径非常不同。图形套索解与惩罚参数ρ呈非线性关系。其解路径的凹度可以通过向det∑>0所需的约束值减小a来增加，这是正不确定性所必需的。如图C.2所示，当a=200时，图形套索解路径变得更加线性，两条路径开始重合（然而，由于惩罚尺度不同，它们并不相同，选择b而不是1会影响斜率）。

当det∑支配γ中的分子和分母项时，就会发生这种情况*glasso（ρ）=-G*（ρ） det∑。直觉上，这也可以通过相关性论证来理解。随着a变大，r和x的平方之间的相关性变为零。rand x之间的这种增强的“独立性”导致受惩罚的图形lasso目标函数恰好成为条件损失目标函数。事实上，人们可以将κ和ψ（C.8）的最优解替换为glasso目标函数（C.4）和Taylor展开约g（因为g*（ρ） 是smalla（当a较大时），以直接查看两个优化之间的相似性。46大卫·普尔茨、卡洛斯·M·卡瓦略和P·理查德·哈恩。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0递减ρ&λγ*ρ=2c，λ=cρ=0，λ=0条件损失函数解路径图形套索解路径图c.1。a=120.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0递减ρ&λγ*ρ=2c，λ=cρ=0，λ=0条件损失函数解路径图形套索解路径图c.2。a=200被动投资的最佳ETF选择47REFERENCESAckert，L.F.和Tian，Y.S.（2008）。套利、流动性和外汇交易基金的估值。《金融市场、机构和工具》，17（5）：331-362。阿加波娃，A.（2011）。传统共同指数基金与交易所交易基金。《金融市场杂志》，14（2）：323-343。Beasley，J.E.，Meade，N.，和Chang，T.-J.（2003）。索引跟踪问题的进化启发式算法。《欧洲运筹学杂志》，148（3）：621-643。Brown，P.和Vannucci，M.（1998年）。多元贝叶斯变量选择与预测。皇家统计学会杂志。B系列（方法学），第627-641页。卡纳克戈斯，N.A.和比斯利，J.E.（2009）。用于指数化和增强指数化的混合整数规划方法。《欧洲运筹学杂志》，196（1）：384-399。陈，C。

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