然而，封闭的、CAPM一致的市场的例子似乎和真实的股票市场并没有什么相似之处。4作为计价市场的一个例子，我们希望构建一个渐近稳定的计价市场模型，因为我们知道一阶模型是渐近稳定的，所以我们将从一个结构类似于一阶模型的股权宇宙开始（例如，见Banner等人（2005）的Fernholz（2002））。让我们考虑一下权益宇宙X定义的比亚迪对数Xi（t）=grt（i）（t）+Gdt+srt（i）dWi（t）+S dW（t），a.S.，（4.1），对于i=1，N、 带N≥ 2，常数G，常数S≥ 0，正常数s，sN，N+1维布朗运动（W，…，WN，W），过程g，Gk（t）=Д（k，ζ（1）（t），ζ（N）（t））>0，其中，Д是有界连续函数，对于某些ε>0，g（t）+···+gN（t）=0，g（t）+···+gk（t）<-ε、 对于1≤ k<N.（4.2）模型（4.1）与Banner et al.（2005）中的一阶模型和Ichiba et al.（2011）中的混合Atlasmodels非常相似，这些模型的结果通常在我们当前的设置中仍然有效。我们可以看到（4.1）是具有a.s.连续样本路径的马尔可夫矩阵，且方差矩阵的特征值远离零。因此，我们可以遵循Ichiba et al.（2011）定理1的推理，来确定间隙过程log（X（k）/Xk+1）的稳定分布的存在性（另请参见Khasminskii（1980）的定理4.1和5.1）。然后，Ichiba et al.（2011）引理1的证明可以用来证明系统将在三个点花费零本地时间。由于gk都是由相同的函数Д定义的，因此过程xi将是可交换的，因此它们将在每个秩上渐近地花费相等的时间，Banner等人（2005）中的一阶模型就是这样。

因此，所有的XI将渐近共享平均增长率G，这将是宇宙的增长率，因此系统将是一致的。Ichiba等人（2011）对混合Atlas模型的分析在此仍然有效，因此系统（4.1）将是渐近稳定的。现在，对于一些n<n，让我们考虑开放子市场X*n X与市场组合流程u。然后ui（t）={rt（i）≤n} Xi（t）X[n]（t），i=1，N、 和u（k）（t）={k≤n} X（k）（t）X[n]（t），k=1，N、 （4.3）可以方便地将这些重量的定义扩展到ui（t），Xi（t）X【N】（t），i=1，N、 对于rt（i），我们有ui（t）=eui（t）≤ n和u（k）（t）=k的eu（k）（t）≤ n、 使用此符号，子市场X*（4.1）定义的nde将满足（2.3）ifgrt（i）（t）+G=ui（t）srt（i）+S-srt（i）+S, a、 s.，（4.4）对于i=1，n、 因此，如果过程gk由gk（t）定义=eu（k）（t）-sk公司- G+S，（4.5）对于k=1，…，为a.S.负值，N- 1，andgN（t）=-g（t）+…+gN公司-1（t）, （4.6）则（2.3）和（4.2）将得到满足，并且X*N将成为计分市场。因此，我们构建数字市场的策略将是找到正常数s，S和常数G和S≥ （4.5）定义的gk（t）满足条件（4.2）。5模拟计分市场在这里，我们将按照刚才概述的策略构建一个形式（4.1）的计分市场。Letn=500，N=550，sk=0.06，k=1，N、 S=0.04，G=0.051，（5.1），GK（t）=0.06eu（k）（t）-- 0.031 < -0.001，k=1，N- 1，gN（t）=-（g（t）+···+gN-1（t）），（5.2），对应于（4.5）。我们从（5.2）中看到，当k=1时，gk（t）<0，N- 因此，条件（4.2）已满足。该市场的模拟结果如图1和图2所示。模拟运行了200万次迭代，其中前100万次用于收敛，第二100万次记录在图表中。

图1显示了以黑曲线表示的模拟排名市场权重的平均分布，以及以红曲线表示的一阶近似分布曲线。Fernholz（2002）第5.5节中定义的一阶近似值使用估计限值→∞TZTlogX（k）（t）/X（k+1）（t）dt=σk，k+12λk，k+1，a.s.，如果间隙过程log（X（k）/X（k+1））的稳定分布是指数分布，则其保持不变（见Banner et al.（2005））。这两条曲线的接近性表明，间隙过程的稳定分布接近指数分布。λk，k+1通过（3.2）的模拟估算，σk，k+1=sk+sk+1直接通过参数定义估算。图2显示了模拟计价市场的市场投资组合和市场资本的累积对数增长。我们发现，市场资本X【n】的增长速度快于市场投资组合的价值过程Zu，正如我们从（3.2）中所预期的那样。用于此模拟的R代码如下所示。备注2。带参数的模型（5.1）比（4.1）稍微简单一些。实际上，我们可以写日志Xi（t）=gi（t）+G-{rt（i）=N}g（t）dt+σdWi（t）+S dW（t），a.S.，（5.3），对于i=1，N、 其中布朗运动wi和W如（4.1）所示，参数为=500，N=550，σ=0.06，S=0.04，G=0.051，其中gi（t）=eui（t）σ- G级+S- σ< -0.001，其中g（t）=g（t）+····+gN（t）。自进程Dyi（t）=d log Xi（t）- S dW（t），对于i=1，N是独立的，且均具有相同的方差率σ，Girsanov定理（见Karatzasand Shreve（1991））暗示Y，yn将等价于N维布朗运动。因此，过程yi将没有三个点，因此过程Xi也是如此。

让我们也注意到，在基准市场X中，股票xi的参数过程γi和σi*不依赖等级。6结论我们构造了一个渐近稳定的开放计价市场的例子，并考虑了它的一些基本特征。我们已经看到，开放计价市场的渐近行为类似于由顶级一阶模型或混合Atlas模型组成的市场。对于渐近稳定的开放计价市场，从长期来看，没有任何投资组合策略将主导市场投资组合，而市场资本化过程将主导所有投资组合策略。ReferencesBanner，A.、R.Fernholz和I.Karatzas（2005年）。关于股票市场的Atlas模型。应用可能性年鉴15，2296–2330。Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。纽约：Springer Verlag。Fernholz，R.和I.Karatzas（2009年）。随机投资组合理论：概述。在A.Bensoussan和Q中。张（编辑），《金融学中的数学建模和数值方法：特别卷》，《数值分析手册》，第十五卷，第89-168页。阿姆斯特丹：荷兰北部。Fernholz，R.T.和R.Fernholz（2017年）。含时秩基随机系统Zipf定律的普适性。arXiv:1707.04285v2，1–24。Ichiba，T.、V.Papathanakos、A.Banner、I.Karatzas和R.Fernholz（2011年）。混合Atlas模型。《应用概率年鉴》21609–644。Karatzas，I.和C.Kardaras（2018年）。通过Num’eraires的套利理论。正在准备的书籍。Karatzas，I.和S.E.Shreve（1991年）。布朗运动与随机微积分。纽约：SpringServerLag。Khasminskii，R.Z.（1980年）。微分方程的随机稳定性：固体和流体力学专著和教科书：力学和分析7。马里兰州日尔曼镇：无。Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》第7期，77–91页。Markowitz，H.（1959年）。投资组合选择。

纽约：威利。Sharpe，W.（1964年）。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》19425–442.1 2 5 10 20 50 100 200 5000.001 0.002 0.005 0.010 0.020RankWeightFigure 1：与公开市场（4.1）相关的权重分布，带参数（5.1）和（5.2）。模拟；黑色

一阶；红色0 20 40 60 80 1000 1时间增长图2：市场投资组合价值过程的累积对数增长Zu，来自（3.2）；黑色市值过程的累积对数增长X【n】，来自（3.1）；红色模拟的R代码n<-500N<-550T<-1000000G0<-。051SS0<-。04ss1<-。06ss2<-。06Tfac=100/TG<-Tfac*G0if（ss1==ss2）ss<-rep（ss1，N）else ss<-seq（ss1，ss2，（ss2-ss1）/（N-1））ss<-Tfac*ssSS<-Tfac*SS0S<-sqrt（ss）s<-sqrt（ss）x<-log（1:N）x<-x-log（sum（exp（x）））xx<-exp（x）z<-rep（1，N）g<-rep（0，N）gg<-rep（0，N）LT rep（0，N）GR<-NULLGG<-NULLT1<-2*Ttt<-0for（1:T1中的t）{mu<-xx/sum（xx[1:N]）g<-（.5-mu）*ss+g-.5*SSXX<-xxng2<-sum（g）/2x<-x-g+s*rnorm（N）X1<-xGS<-g+s*rnorm（1）xx0<-log（sum（exp（x+GS）））ii<-顺序（x）x0<-0for（k in 1：（N-1））{x0<-x0+x[ii[k]]if（k*x[ii[k+1]]-x0>ng2）break}xpiv<-2*（x0+ng2）/kx[ii[k:1]]<-xpiv-x[ii[1:k]]x<-排序（-x）xx<-exp（x+GS）yy<-和（xx）xx<-log（xx）if（t%%（t%/%10）==0）打印（c（t，k，g xx[1]））如果（t>T1-t）{tt<-tt+1gg<-gg+gGG[tt]<-log（yy）GR[tt]<-xx0z<-z+xxX2<-cumsum（exp（-sort（-X1）））X1<-cumsum（exp（X1））LT<-LT+2*（X2-X1）/xx}z<-z[1:N]/和（z[1:N]）gg<-gg/ttlt<-2*cumsum（gg）LT<-LT（1:n中的i）如果（LT[i]<=0）{打印（c（i，LT[i]，LT[i]）LT[i]<-LT[i]}时间=序列（0，tt，tt/1000）时间[1]<-1GR<-cumsum（GR）[时间]GG<-cumsum（GG）[时间]ZZ<-ss/LTZZ<-exp（cumsum（ZZ[n:1]）ZZ<-ZZ/sum（ZZ）图形。off（）石英（\'1\'，宽度=8，高度=6）绘图（时间*Tfac，GR，ylim=范围（GR，GG），类型=\'l\'，xlab=\'Time\'，ylab=\'Growth\'）线条（时间*Tfac，GG，col=2）石英（\'2\'，宽度=8，高度=6）绘图（-GG/Tfac，类型=\'l\'，xlab=\'Rank\'，ylab=\'g\\U k\'）石英（\'3\'，宽度=8，高度=6）绘图（z，类型=\'l\'，ylim=范围（z，ZZ），对数=\'xy\'，AB=\'Rank\'，ylab=\'Weight\'）线条（ZZ，col（2）