关于单纯形和递归型门限策略的最优性

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收藏 2022-06-01

英文标题：
《On the optimality of threshold type strategies in single and recursive
optimal stopping under L\\\'evy models》
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作者：
Mingsi Long and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In the spirit of [Surya07\'], we develop an average problem approach to prove the optimality of threshold type strategies for optimal stopping of L\\\'evy models with a continuous additive functional (CAF) discounting. Under spectrally negative models, we specialize this in terms of conditions on the reward function and random discounting, where we present two examples of local time and occupation time discounting. We then apply this approach to recursive optimal stopping problems, and present simpler and neater proofs for a number of important results on qualitative properties of the optimal thresholds, which are only known under a few special cases.
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中文摘要：
本着[Surya07\'的精神，我们开发了一种平均问题方法来证明阈值型策略的最优性，用于在连续加性泛函（CAF）贴现的情况下最优停止L挈vy模型。在谱负模型下，我们专门针对奖励函数和随机折扣的条件进行研究，其中我们给出了两个当地时间和占用时间折扣的例子。然后，我们将这种方法应用于递归最优停止问题，并对一些关于最优阈值定性性质的重要结果给出了更简单、更简洁的证明，这些结果仅在少数特殊情况下已知。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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On_the_optimality_of_threshold_type_strategies_in_single_and_recursive_optimal_s.pdf
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可人4

2022-6-1 04:31:31

L'evy模型下单次递归最优停车门限型策略的最优性*张洪忠+2018年8月9日摘要本着Surya[22]的精神，我们开发了一种平均问题方法，以证明具有连续加性泛函（CAF）贴现的L'evy模型最优停止的保留型策略的最优性。在谱负模型下，我们根据反向函数和随机贴现的条件对此进行了专门化，其中我们给出了两个当地时间和职业时间贴现的例子。然后，我们将这种方法应用于递归最优停止问题，并对关于最优阈值的量化性质的一些重要结果给出了更简单、更简洁的证明，这些结果仅在少数特殊情况下存在[3、15、23]。1引言let X·=（Xt）t≥0be a general L L'evy process，with c'adl'ag path，living on a filtered probability space(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中F假设为X·的增强自然过滤。我们研究了一类由X··驱动的最优排序问题中阈值型策略的最优性。特别是，我们用连续加性泛函（CAF）随机贴现和一系列由摆动期权和收缩期权定价引起的递归最优停止问题来解决单次最优停止问题。对于所有这些问题，我们证明了阈值型策略最优性的一个充分条件可以用一个关于双随机时间上X·的运行最大值的辅助平均问题来表示。当X·是一个谱负L'evy过程时，我们证明了这个平均问题可以通过“一阶条件”方程显式求解。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:31:34

然后，reshold型策略的最优性来自于该平均问题解的单调性。此外，我们还证明了文献[9]中关于对数凹报酬最优停止的一个主要结果可以看作定理2.2的特例。这项工作概括了[1，13，18，22]中的类似观点，其中研究了在恒定贴现率下L'evy过程的最优停止。他们表明，上跨阈值类型策略的最优性源自奖励函数的一种特殊形式，即存在一个非减损函数h（·），使得h（Xer）的期望值等于奖励函数，其中ERI是一个具有参数r的独立指数随机变量≥ 0等于贴现率。在[15]中，作者使用度量变化技术将这种方法推广到负贴现率的情况。该方法在[20]中进一步应用，以评估具有占用时间类型贴现的永久美式看涨期权。*纽约大学数据科学中心，纽约，NY 10011，电子邮件：longmingsi01@gmail.com+美国纽约哥伦比亚大学IEOR系，邮编：NY 10027。电子邮件：hz2244@columbia.edu.By考虑到列维过程-X·，可以很容易地调整参数以合并X·的运行最小值。如【14，第4节】所示，了解阈值类型策略的最优性和最优性阈值的单调性，有助于将最优排序问题中的复杂随机优化简化为参数优化，然后将其发展为有效的数值算法。本研究的目的是在一般情况下，提出平均问题法在随机贴现下的应用。

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可人4

2022-6-1 04:31:37

虽然在arandom折扣设置中，阈值型策略的最优性往往无法保持（如[5，20]所示），但利用这项工作中的结果对广泛的问题给出结论性答案仍然很有价值。另一个同样重要的考虑是，通过遵循平均问题方法，可以很容易地证明最优多重停止问题和递归最优s Toping问题（例如阈值类型策略的最优性、最优阈值的单调性等）中许多重要但难以证明的定性结果。尽管这种方法多年来一直为人所知，但据我们所知，上述应用是新颖的，将有助于在实践中更广泛的问题中传播这种强大的方法。具有随机贴现的最优停止问题在许多领域都有应用，如金融和应用概率（例如，由连续时变马尔可夫过程驱动的问题[4]，或具有随机成熟度的问题[20]）。Dayanik[5]利用Dynkin对过度函数的凹刻画，研究了具有随机贴现率的时间齐次微分的永久最优停止。特别是，作者设法直接“构造”了值函数，而没有假定（和验证）任何关于最优停止区域结构的先验信息。虽然这是一种在差异框架内非常有前途的方法，但当跳跃出现时，它显示出了局限性。例如，对于指数L'evy模型上的永久美式看涨期权，在占用时间型贴现下【20】，可以发现连续区域和停止区域都有两个不相交的成分，它们交替出现。

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可人4

2022-6-1 04:31:40

因此，可能的超调使得直接应用[5]的方法变得困难。在金融和运筹学的许多应用中，具有多次运动和折射时间的最优停车问题都存在。例如，Carmona和Touzi[3]在Black-Scholesmodel下，将swingput期权的估值表述为具有恒定折射周期的最优多重停止问题。在一项相关的研究中，Zeghal和Mnif【24】在Spectrypositive-Positional-evy模型下对永久美式摇摆看跌期权进行了定价。后来，Leung等人[15]认为具有多重还款的股票贷款是一个具有负贴现率和一般i.i.d.正折射期的最优多重停止问题。其中，[3]和[24]随后建立了不执行永久l美式摆动看跌期权的阈值型策略的最优性，并在两种特殊模型下利用次梯度技术证明了最优性阈值的单调性。通过使用数学归纳法和值函数的超鞅性质，[15]证明了在具有任意负跳和相位型正跳的一般L'evy模型下，多重行使看涨期权的类似结果。此外，Yamazaki[23]研究了具有运行成本的最优多重停止问题，以解决分阶段退出项目的最佳时机。特别是，在特别负的L'evy模型下，[23]根据所填充的尺度函数明确计算了下穿阈值类型策略的值，然后将其与平滑函数结合使用，以显示阈值类型策略的最优性。其余文件的结构如下。在第二节中，我们用平均问题方法研究了具有随机分布的单个最优停止问题。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:31:43

在第2.1节中，我们将L'evymodel具体化为谱负过程的L'evymodel，并给出了平均问题解的显式构造。为了说明这一观点，我们在第2.2节中给出了两个例子：局部时间的推广[24，命题3.1]证明了阈值类型策略的最优性，使用值函数的单调性和凸性，这是不完全合法的，因为多重最优停止问题中的奖励函数可以是曲线、凸函数，基于put Payoff的保留参数无效。将[5]中研究的最优停车问题折现为谱负β-稳定过程，以及占领时间折现下的Novikov-Shiryaev问题（见[13，19]）。在第3节中，我们将平均问题方法应用于递归最优停止问题，并在此背景下对一些重要结果给出更简单的证明。具体而言，在一般L'evy模型下，我们在第3.1节中研究了无确定贴现率和折射时间但无运行成本的情况，并在第3.2节中研究了arandom贴现和运行成本的情况。省略的技术证明可在附录A中找到。关于光谱负L’evy过程的标度函数的一些有用事实在附录B中重新审查。在整篇文章中，我们使用px和Exto表示概率定律和相应的期望，给定X=X，我们将抑制px中的下标，Exif X=0.2随机折扣的单最优s Topping问题。我们考虑以下最优停止问题：V（X）：=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], （1）其中，T是所有F-stopping时间的集合，其值为[0，∞], f（·）是奖励函数，它是低半连续的，满足以下定义2.1中的条件（M）。这里A·=（At）t≥0是X·的连续加法函数或CAF。

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可人4

2022-6-1 04:31:46

也就是说，A·是一个适应F的过程，几乎可以肯定是非负的、连续的和令人满意的esA=0，As+t=As+Ato θs，s，t≥ 0 a.s.其中θ是常用的马尔可夫移位算子，即Xto θs=Xt+s对于所有t，s≥ 0（有关CAF的更完整定义，请参见[8，第133页]）。从定义上看，很明显，咖啡馆是不减损的。自始至终，我们作出以下长期假设。假设2.1。为了所有的x∈ R、我们有Px（A∞= ∞) = 1或P（lim支持→∞Xt<∞) = 给定一个独立的单位平均指数随机变量e，让我们通过a·：ζ：=inf{t>0：At>e}引入e的左逆，其中，像往常一样，我们设置inf = ∞. 因为px（ζ=∞) = Px（在≤ et>0）=Px（A∞≤ e） =Ex[exp(-A.∞)],根据假设2.1，我们得出如下结果：（i）ζ<∞ 几乎可以肯定；或（ii）lim支持→∞Xt<∞ 如果（i）未能持有，则绝对有效。我们让T+zb表示给定thre-shold z上X·的首次通过时间，即T+z：=inf{T>0:Xt>z}，（2），并用Xt表示运行的最大进程：=sups∈[0，t]Xs。然后，对随机变量Xζ进行了充分定义，并确定了a.s.和satifiespx（Xζ>z）=Px（T+z<ζ，T+z<∞) = Px（在+z<e，T+z<∞) = Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}], z≥ x、（3）事实上，我们有以下等价性：如下面的定理2.1所示，这将保证问题（1）得到很好的定义。引理2.1。假设2.1相当于托利姆兹→∞Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}] = 0, x个∈ R、（4）定义2.1（条件（M））。我们说，如果存在一个非减损函数h，使得h（x）>0当且仅当x>x，则奖励函数f（·）满足条件（M）为randomtimeζ对于一些constantx∈ [-∞, ∞), 它认为ex[| h（Xζ）|]<∞, f（x）=Ex[h（xζ）]，x个∈ R、（5）其中xζ=sups∈[0，ζ]Xs。此外，我们将用Υζ表示满足条件（M）的所有奖励函数集，其随机时间为ζ。备注2.1。集合Υζ是一个凸锥。

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2022-6-1 04:31:49

也就是说，如果f（·），g（·）∈ Υζ，然后（i）αf（·）∈ Υζ，对于任何α>0；（ii）f（·）+g（·）∈ Υζ.备注2.2。在贴现因子率为常数r>0的情况下，随机时间ζ是平均值为1/r的指数随机变量，我们将其表示为er。注意，如果f（·）∈ Υer，即f（x）=Ex[h（Xer）]=e[h（x+Xer）]，对于一些非减量函数h（·），那么我们有f（x）≤ f（y）对于任何x<y。因此，Υeris中的每个元素都是非减量的。下面我们陈述我们的主要结果。定理2.1。假设奖励函数f（·）是下半连续的，并且属于Υζ（定义为2.1），那么我们有v（x）=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}]. （6）即值函数V（·）∈ Υζ. 此外，最优停车时间为上交叉策略τ= T+x.也就是说，Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = Ex[经验(-在+x处)f（XT+x)1{T+x<∞}].证据让我们定义函数v（x）：=Ex[h（xζ）1{xζ>x}].我们首先证明（e-Atv（Xt））t≥0是任何x的Px超级鞅∈ R、作为Atis添加剂，随机变量ζ具有无记忆和Px（ζ>t | Fs，ζ>s）=Px（As+At）的关键特性-soθs<e | Fs，As<e）=PXs（At-s<e）=EXs[e-在-s] 对于t>s，在事件{t<ζ}上，标识符xζ=Xt∨ sups公司∈[t，ζ]Xs≥sups公司∈[t，ζ]X几乎肯定成立，h（Xζ）1{Xζ>X也成立}≥ h（辅助∈[t，ζ]Xs）1{sups∈[t，ζ]Xs>x}, 由于h（·）1{·>x的非递增性质}. 因此，对于任何x∈ R、 v（x）=Ex[h（xζ）1{xζ>x}]≥ 前任Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}{t<ζ}英尺，t<ζ]≥ 前任{t<ζ}Ex[h（sups∈[t，ζ]Xs）1{sups∈[t，ζ]Xs>x}|Ft，t<ζ]= 前任{t<ζ}EXt[h（M）1{M>x}]= Ex[1{t<ζ}v（Xt）]=Ex[exp(-在v（Xt）]，如果奖励函数f（·）满足条件（M），但带有x= ∞, 那么我们有f（x）≤ 0表示所有x∈ R、所以valuefunction V（x）通常为0。在这种情况下，等式。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:31:52

（6）仍然有效。其中M是一个随机变量，其在PXtis下的定律与给定Ftand{t<ζ}的sup[t，ζ]xsunderpx的条件定律相同。其次，我们将v（·）确定为上交策略T+x的预期收益. 也就是说，v（x）=Ex[exp(-在+x处)f（XT+x)1{T+x<∞}]. （7）事实上，对于任何z∈ R、通过调节，Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]=Ex[h（Xζ）1{T+z<ζ，T+z<∞}] = Ex[h（Xζ）1{AT+z<e}{T+z<∞}]=Ex[1{T+z<∞}{AT+z<e}Ex[h（Xζ）| FT+z，T+z<ζ]]。在事件{T+z<ζ}上，恒等式xζ=XT+z∨支持∈[T+z，ζ]Xt=支持∈[T+z，ζ]XT几乎肯定成立，因为EXT+z=XT+z，因此我们有ex[h（Xζ）| FT+z，T+z<ζ]=EXT+z[h（M）]=f（XT+z，其中M是一个随机变量，其在PXT+z下的定律与supt的条件定律相同∈[T+z，ζ]Xtunder px给定FT+zand{T+z<ζ}，从中得出最后的等式。它遵循条件期望的塔性质，即Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]=Ex[Ex[1{T+z<∞}{AT+z<e}f（XT+z）| FT+z]]=Ex[经验值(-AT+z）f（XT+z）1{T+z<∞}]. （8） z=x时应用（8）我们得到（7）。因此，我们知道，对于任何x≥ x个, v（x）=Ex[h（xζ）]=f（x）。很容易看出f（x）- v（x）=Ex[h（xζ）]- Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] ≤ 0，自h（Xζ）1{Xζ≤x个}是非正随机变量。总之，我们已经证明，对于任何x∈ R、（e）-Atv（Xt））t≥0是正的Px上鞅，ndv（x）≥ 最大{f（x），0}≥ f（x）表示所有x∈ R、为了证明这一点，我们需要知道，对于任何停止时间τ∈ T，我们有v（x）≥ Ex[e-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], x个∈ R

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nandehutu2022

2022-6-1 04:31:55

（9）建立上述不等式（不知道是否（e-Atv（Xt））t≥0是c\'adl\'ag），我们让n∈ N为正整数，且定义τN：=最小{mn:m∈ N、明尼苏达州≥ τ} 无论何时τ<∞.然后将可选抽样定理和Fatou引理应用于离散时间上鞅（exp(-A kn）v（X kn））k=0,1，。。。，我们得到V（x）≥Ex[e-Aτnv（Xτn）1{τn<∞}] ≥ Ex[e-Aτnmax{f（Xτn），0}1{τn<∞}], x个∈ R、（10）如果最后一个不等式来自v（x）≥ 所有x的最大{f（x），0}∈ R、另一方面，请注意{τn<∞} = {τ < ∞} 适用于所有n∈ N、和作为N→ ∞, 我们有τn↓ τon{τ<∞}. 因为L'evyprocess X·几乎肯定有c'adl'ag路径，而A·是连续且不递减的，所以我们知道，作为n→ ∞,Xτn→ Xτ和Aτn↓ 事件{τ<∞}. 此外，我们还知道函数max{f（x），0}是下半连续的，所以事件{τ<∞}, 我们有lim infn→∞最大{f（Xτn），0}≥ 最大{f（Xτ），0}。weapply Fatou的le mma和liminf的一个属性（见L e mma a.1）一起获得thatlim infn→∞Ex[e-Aτnmax{f（Xτn），0}1{τn<∞}] ≥ Ex[线性信息→∞（e）-Aτnmax{f（Xτn），0}）1{τ<∞}]= Ex[限制→∞e-Aτn·lim infn→∞最大{f（Xτn），0}·1{τ<∞}]≥ Ex[e-Aτmax{f（Xτ），0}1{τ<∞}]≥ Ex[e-Aτf（Xτ）1{τ<∞}], （11）其中，最后一个不等式从fa ct得出，max{f（x），0}≥ f（x）表示所有x∈ R、将（10）与（11）结合，得到（9）。这就完成了证明。备注2.3。仔细观察证明，下半连续性仅用于（11）的第二个不等式。更一般地说，如果奖励函数f（·）是thatlim infn，则最终结果仍然成立→∞f（Xτn）≥ 事件{τ<∞}, 对于停止时间{τn}n的任何非递增序列≥1几乎肯定会收敛到τ。备注2.4。从上述证明可以看出，如果我们放弃h（·）的单调性条件，定理2.1的结果仍然成立(-∞, x个] 定义2.1。

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可人4

2022-6-1 04:31:58

也就是说，对于单停问题，h（·）所需的唯一条件是h（x）>0当且仅当x>xh（·）是（x）的非减量, ∞). 此外，很容易看出，问题（1）的最佳停止区域包含在setSupp+（f）：={x中∈ R:f（x）>0}如果它是n个空的，那么如果有x∈ 使得Supp+（f）是[x]的非空子集，∞), 然后，只在x>x时应用定理2.1（并验证条件（M））。例如，如果奖励函数为（ex- K） +当K>0时，我们可以取x=log K并验证ex的条件（M）- K、 2.1对于给定奖励函数f（·）的谱负L'evy过程，我们已经看到，最优策略为阈值类型的一个有效条件是寻找定理2.1中规定的表示。一般来说，要获得这样的表示，即使不是不可能，也是一项非常具有挑战性的任务。在本节中，我们重点讨论X·是一个谱负l'evy过程的特殊情况，并基于f上的条件和随机折扣项a·，推导出h函数。备注2.5。如果X·没有正跳，那么从X·和A·的强马尔可夫性质和加性性质来看，我们注意到，对于任何z>z≥ x、 Px（xζ>z）=Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}]=Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}Ez[exp(-在+z）1{T+z<∞}]]=Px（Xζ>z）Pz（Xζ>z）。（12）因此，Xζ定律表现出一些类似于指数随机变量的性质，即px（Xζ>z | Xζ>z）=Pz（Xζ>z）。此外，在（12）之后，很明显，对于每个x，xζ在px下的累积分布函数在z处是不同的≤ z、只要x=z保持不变。换句话说，如果e存在，Px下xζ的“危险率”将不取决于起点x。这产生了以下假设。假设2.2。

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大多数88

2022-6-1 04:32:02

存在正函数∧（·）∈ Lloc（R），因此，Z∞x∧（z）dz=∞, ∧（z）=-Px（Xζ>z）dPx（Xζ>z）dz，x<z.（13）备注2.6。在贴现因子率为常数r>0的情况下，运行中的最大值Xζ=Xer遵循平均值为1/Φ（r）的指数分布，其中ERI是平均值为1/r的独立指数随机变量，Φ（r）>0是X·的拉普拉斯指数的右倒数，见附录B。因此，对于所有z，我们有∧（z）=Φ（r）∈ R、推论2.1。在假设2.2下，我们有t hatPx（Xζ>z）=exp(-Zzx∧（y）dy），z>x。特别是，（13）表示Px（xζ<∞) = 1（因此引理2.1支持假设2.1）。此外，在事件{T+z<∞}, 我们有px（Xζ>y | FT+z，Xζ>z）=exp(-Zyz∧（u）du），y>z≥ x、（14）证明。我们仅证明以下（14）。注意{Xζ>y}={T+y<ζ，T+y<∞} = {AT+y<e，T+y<∞}. 根据指数随机变量的记忆性质，我们得到了px（AT+y<e | F∞, 在+z<e，T+y<∞) = exp（在+y时- AT+z）=exp（AT+yo θT+z）。现在的结论来自给定FT+z的迭代条件期望。为了找到奖励函数f（·）的表示形式，如定义2.1所示，我们做出以下假设。假设2.3。奖励函数f（·）满足以下条件：（i）对于所有足够大的x，f（x）>0；（ii）奖励函数f（·）对于Lebesgue测度是绝对连续的。设h（x）=f（x）-f′（x）∧（x），a.e.x∈ R、然后是一个x∈ [-∞, ∞] 使（a）h（x）>0 a.e.x>x和h（x）≤ 0 a.e.x≤ x个（如果x= ∞ 然后h（x）≤ 0表示所有x∈ R）；（b）函数h（·）在（x）上不减损, ∞).备注2.7。

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可人4

2022-6-1 04:32:04

通过使用（3）、推论2.1和假设2.3（ii），我们知道→ Ex[e-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = f（z）Px（Xζ>z）=f（z）exp(-Zzx∧（y）dy），z>x，几乎在任何地方都是可微的，并且这个函数在[x，x]上是不递减的∨ x] ，并且在[x上是s三次递减∨ x，∞), i、 e.函数在x处最大化∨ x表示每个x。如果贴现率为常数r>0，则对于任何固定的β∈ （0，Φ（r））和K>0，函数（eβx+eΦ（r）x- K） +和（eΦ（r）x- K） +满足假设2.3（i）、（ii），x=βlog（K/（1-βΦ（r）））和x= ∞, 分别地这意味着存在一个非减量函数▄h（·），因此，h（x）=▄h（x），几乎在（x）上的所有位置, ∞).下面的引理解释了为什么假设2.3对于条件（M）成立是必要的。第2.1条提案。假设假设2.2成立，f（·）满足条件（M），并设h（·）为定义2.1中的非减量函数。那么假设2.3中的所有条件都成立。证据通过（5）和Coro llary 2.1，我们知道f（x）=Ex[h（xζ）]=Z∞xh（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz，x个∈ R、显然，对于所有x>x，f（x）>0, 因此，假设2.3（i）成立。另一方面，从f′（x）=- ∧（x）h（x）+∧（x）f（x），我们知道f（·）是绝对连续的，h（x）=f（x）-f′（x）∧（x），a.e。。因此，假设2.3（ii）成立。在我们推翻提议2之前。1，我们证明了上交叉策略T+z的值的极限为thr eshold z→ ∞ 定义明确。引理2.2。在假设2.2和假设2.3下，极限C：=limz→∞f（z）e-Rz∧（y）dy=limz→∞E【E】-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}], （15）存在。如果x< ∞, 我们有c∈ [0, ∞); 如果x= ∞, 那么我们有c∈ (0, ∞].备注2.8。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:32:07

如果条件（M）对f（·）成立，且f（x）=Ex[h（xζ）]，则从（8）我们得到f（z）e-Rzx∧（y）dy=Ex[exp(-AT+z）f（XT+z）1{T+z<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>z}]，x<z，我们知道上面的极限为z→ ∞ 是零（即c=0），因为随机变量h（Xζ）的可积性。因此，假设2.2中给出的条件比定义2.1中给出的条件更一般。第2.2条提案。假设假设假设2.2和假设2.3成立，并且（15）中定义的cde是有限的。然后它认为ex[| h（Xζ）|]<∞, f（x）- ceRx∧（y）dy=Ex[h（Xζ）]，x个∈ R、证明。我们只证明了x∈ R、剩下的情况是x是±∞ 同样可以证明。为了证明E[| h（Xζ）|]的完整性，我们证明了E[h（Xζ）1{Xζ>X}] < ∞ 和- E[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] < ∞持有为了确定前者，我们确定x和任何常数D>x, 我们使用推论2.1得到thatEx[h（Xζ）1{D>Xζ>X}] =ZDx公司h（z）Px（Xζ∈ dz）=ZD∨xx号∨xf（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz-ZD公司∨xx号∨xf′（z）e-Rzx∧（y）dydz=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- f（D∨ x） e类-研发部∨xx∧（y）dy，其中最后一步是由于各部分的积分（参见第163页的[6，定理9]）。采用极限asD→ ∞, 我们使用单调收敛定理来获得（也使用Xζ的a.s不确定性）Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] = limD公司→∞Ex[h（Xζ）1{D>Xζ>X}]= f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- limD公司→∞f（D）e-RDx∧（y）dy=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- ceRx∧（y）dy<∞, （16）其中最后一步是引理2.2。同样，对于任何固定x，-Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] = -Zx公司∨xxh（z）Px（Xζ∈ dz）=Zx∨xxf′（z）e-Rzx∧（y）dydz-Zx公司∨xxf（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz=f（x∨ x） e类-接收∨xx∧（y）dy- f（x）<∞. （17）因此，我们知道Ex[| h（Xζ）|]<∞. 此外，从（16）和（17）中，我们还得到了Ex[h（Xζ）]=Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] + Ex[h（Xζ）1{Xζ≤x个}] = f（x）- ceRx∧（y）dy.这就完成了证明。下面我们给出了本节的主要结果，即定理2.1的推广。定理2.2。

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nandehutu2022

2022-6-1 04:32:10

在假设2.2和假设2.3下，我们得到v（x）=supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] = Ex[h（Xζ）1{Xζ>X}] + ceRx∧（y）dy.（18）如果x< ∞, 然后，可通过停止时间T+x获得上述值. 如果∧（·）连续且c<∞,在x的情况下< ∞ 我们还有f（·）是连续可微的，那么V（·）也是连续可微的。特别是，sm ooth fit在x=x时有效如果x∈ (-∞, ∞).证据首先假设x< ∞ c=0。在这种情况下，定理2.1已经给出了值函数和最佳停止时间，因此我们只需要证明当x是有限的。为此，我们注意到v（x）=Z∞x个h（z）∧（z）e-Rzx∧（y）dydz=e-接收x∧（y）dyZ∞x个h（z）∧（z）e-Rzx公司∧（y）dydz，x个≤ x个,这在以下方面是连续可区分的(-∞, x个). 实际上，V′（x）=∧（x）V（x），所以我们有V′（x-) = ∧（x)V（x）) = ∧（x)f（x). 因此，V′（x-) - V′（x）+) = V′（x）-) - f′（x）) = ∧（x)f（x) -f′（x）)∧（x)= ∧（x)h（x) = 0，表示在x=x时，V（·）满足平滑fit如果x∈ (-∞, ∞).让我们假设x< ∞ a和c>0。在这种情况下，我们可以将定理2.1应用于奖励函数f（x）- ceRx∧（y）dy，得到thatEx[h（Xζ）1{X>X}] = supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}]= Ex[e-在+x处（f（XT+x) - cexp（ZXT+x∧（y）dy）1{T+x<∞}]= Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}] - ceRx公司∨x个∧（y）dyEx[e-在+x处{T+x<∞}]= Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}] - 另一方面，附录A中的引理A.2证明了（exp(-At+RXt∧（y）dy））t≥0是一个非负的局部鞅，因此它是一个超鞅。因此，对于任何停止时间τ∈ T，通过使用可选抽样定理和Fatou引理，我们得到了0≤ Ex[e-Aτ+RXτ∧（y）dy{τ<∞}] ≤ eRx∧（y）dy.So0≤ supτ∈特克斯[东]-Aτ·ceRXτ∧（y）dy{τ<∞}] ≤ eRx∧（y）dy。

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能者818

2022-6-1 04:32:13

（20）利用上确界的著名性质，我们从（19）和（20）中得到了thatsupτ∈特克斯[东]-Aτ·f（Xτ）1{τ<∞}]≤ supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}] + supτ∈特克斯[东]-Aτ·ceRXτ∧（y）dy{τ<∞}]≤ Ex[h（Xζ）1{X>X}] + ceRx∧（y）dy=Ex[e-在+x处f（XT+x)1{T+x<∞}].因此，上述所有不平等事实上都是平等的。这证明了T+x的最优性. 最后，在x处平滑当x可以像以前一样证明is FINITE。如果x= ∞ 和c∈ (0, ∞), 然后通过脚注4和支持位置2.2，我们知道0=Ex[h（Xζ）1{X>X}] = supτ∈特克斯[东]-Aτ（f（Xτ）- ceRXτ∧（y）dy）1{τ<∞}].使用与上述相同的参数，我们得到supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] ≤ ceRx∧（y）dy.（21）另一方面，我们有（z>x）supτ∈特克斯[东]-Aτf（Xτ）1{τ<∞}] ≥ Ex[e-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = f（z）e-Rzx∧（y）dy→ ceRx∧（y）dy，（22）as z→ ∞, 多亏了引理2.2。因此，（21）中的不等式是一个等式。价值函数是可以连续区分的。如果x= c=∞, 然后到（22），我们知道最佳值是∞.从定理2.2的证明中，我们立即得到以下结果。推论2.2。积极的过程（经验(-At+RXt∧（y）dy））t≥0是真鞅。最后，我们证明了定理2.2与文献[9，定理3.1]中关于固定贴现率r＞0且谱负L'evymodel的最优停止问题中thres-holdtype策略的最优性的结果是一致的。推论2.3。由于奖励函数f（·）是对数凹的、递增的、非负的。定义函数h（x）：=f（x）-f′（x）-)Φ（r）。然后有一个常数x∈ [-∞, ∞] 使得h（x）>0当且仅当x>x, h（·）是非减损的（x, ∞).

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