具有S型市场影响函数的最优执行问题

2022-6-1 01:11:13

具有S型市场影响函数的最优执行问题*Takashi Kato+第一版：2017年6月28日本版：2017年10月2日摘要在本研究中，我们将Kato[14]中研究的凸市场影响函数的最优执行问题扩展到市场影响函数为S形的情况，即[0，\'x]上凹，[\'x]上凸，∞) 对于某些“x”≥ 0.我们研究了相应的Hamilton–Jacobi–Bellman方程，并表明S形市场冲击下的最优执行速度等于零或大于'x。此外，我们还提供了Black–Scholes模型的一些示例。我们证明，当市场影响函数为S形时，风险中性的小股交易者的最优策略是时间加权平均价格策略。关键词：最优执行问题、市场影响、Hamilton–Jacobi–Bellman方程、时间加权平均价格（TWAP）1简介作为一种随机控制问题，最优执行问题在数学金融领域得到了广泛的研究。有各种关于最优执行的研究，如[1、2、4、7、23]和其中的参考文献，Gatheral和Schied[8]调查了几种最优执行的动态模型。要研究这类问题，我们不能忽视市场影响（MI），这是一个市场流动性问题。在这里，我们考虑一种情况，即单个交易员持有一种证券的多股，并试图出售（清算）该证券，直到一段时间。慷慨的销售订单导致供需缺口，导致证券价格下降。这种影响被称为MI，交易员应降低清算速度以避免MI成本。然而，降低清算速度也会增加时间成本，这是由证券价格随时间的随机波动造成的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:16

交易者应该通过考虑MI成本和时间成本来优化执行策略。因此，MIfunction g（x）在研究最优执行问题中起着重要作用。这里，g（x）意味着通过卖出x股（或卖出率）来降低证券价格。*即将出版的《随机分析通讯》+数学金融实验室协会（AMFiL），2–10号，千代田小町，东京102-0083，日本，电子邮箱：takashi。kato@mathfi-lab.com g的最简单设置是线性函数。例如，在[2，4，23]中，最优执行问题主要用线性MI函数来处理，并导出最优执行策略。然而，有一些关于无n线性g的优化问题的研究[1,10–12,14,15]。特别地，当g是严格凸的时，我们在[14]中导出了作为离散时间优化问题极限的最优执行问题的数学上充分的连续时间模型。目前尚不清楚g的自然形式是什么。最近，有人提出，S形函数适用于g。也就是说，g（x）在[0，\'x]上应该是凹的，在[\'x]上应该是凸的，∞) 对于某些“x”≥ 许多交易者直觉地认为MI函数是S形的[15]。此外，在【24】中，我们发现了驼峰形极限指令簿的经验预测，该预测对应于S形MI函数。因此，我们之前的研究【14】应该扩展到包括S形MI函数g。我们在【15】中已经部分解决了这个问题，但在这个阶段仍然存在许多数学和金融问题。事实上，当我们考虑S形g的最优执行问题时，根据直觉，最优执行速度不应达到范围（0，(R)x）。然而，我们尚未从数学上证明这一发现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-1 01:11:19

此外，我们还没有充分讨论与优化问题对应的Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程。在本文中，我们解决了这些问题，作为我们之前研究的延续[1 5]。我们将之前的结果完全推广到S形g的情况，并研究了上述问题。此外，我们发现，在Black-Scholes市场模型中，风险中性交易者的最佳执行策略是时间加权平均价格（TWAP）策略，即以恒定速度出售。这与文献[14]中的定理5.4（ii）的结果相同，当g是水函数时；然而，没有必要假设g的显式形式。我们证明了当g是S形时，这个结果是正确的。这个结果推广了文献[14]中的定理5.4（ii），并在文献[12]的第5.2节中提供了具有不确定模型的最优执行问题的解析解。本文的其余部分如下。在第2节中，我们在前面工作的基础上介绍了一个优化问题的数学模型，并回顾了前面的结果。在第3节中，我们将我们的值函数描述为相应Jb方程的粘度解。在适当的条件下，我们证明了HJB方程粘性解的唯一性。为了研究最优策略的性能，我们引入了平均定理，并证明了最优执行策略不考虑（0，’x）在第4节中。在第5节中，我们给出了一些示例。特别是，我们在具有一般形状MI函数的Black-Scholes模型中证明了TWAP策略作为最优策略的稳健性。我们总结了我们的论点，并在第6节中介绍了未来的任务。A节给出了补充论点，以确保我们现有模型A和以前模型[15]之间的一致性.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:22

所有请购单见第B.2节模型设置(Ohm, F、（英尺）0≤t型≤T、 P）为随机基，设（Bt）0≤t型≤T为一维布朗运动（T＞0）。设置D=R×[0，∞)用C表示非递减、非负和连续的f函数集，其多项式增长定义在D上∈ C、我们定义函数，J（·；u）：[0，T]×D-→ R、 asJ（t，c，x，s；u）=sup（xr）R∈在（x）E[u（Ct，Xt，St）]，（2.1），其中（Cr）r，（Xr）r和（Sr）稀有随机过程由dcr=xrSrdr，dXr=-xrdr，dSr=^b（Sr）dr+^σ（Sr）dBr- Srg（xr）dr，（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S），At（X）是非负（Fr）r-渐进可测量过程的集合，（xr）0≤r≤t、令人满意的ZTXRDR≤ 我们把At（x）的一个元素称为可接受策略。此处，^b和^σ定义为^b（s）=b（对数s）+σ（对数s）s、 ^σ（s）=σ（log s）s，s>0且^b（0）=^σ（0）=0，其中b，σ：R-→ R是Bounded和Lipschitz连续函数。g级∈ C（[0，∞)) ∩ C（（0，∞)) 是一个g（0）=0的非负函数。函数J表示具有MI函数的最优执行问题的值函数，在[14]中，当g是凸的，在[15]中，当g是S形的，即当h：=g′满足以下条件时，导出了离散时间值函数的极限。[A1]h（x）≥ 0，x>0。[A2]极限→0xh（x）=0。[A3]有一个“x”≥ 0使得h在（0，\'x）上严格递减，在[\'x]上严格递增，∞).【A4】小时(∞) = 林克斯→0h（x）=∞.条件[A3]表示g在[0，\'x]上是凹的，在[\'x]上是凸的，∞). 在本文中，我们总是假设[A1]–[A4]。我们简要介绍了我们的模型的财务含义（更多详情请参见[11,12,14]）。我们假设有一个交易者拥有一个证券的许多股票，其价格在初始时间为。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:25

交易者试图在时间范围内的市场上出售证券，但出售行为通过MI的影响影响证券价格（表示为术语-g（xr）dr in（2.3））。sr是时间r的证券价格，Cr（resp，Xr）描述了时间r持有的现金量（resp，证券份额）。交易员的目的是通过控制执行策略（Xr）r，最大化终端预期效用J（t，c，x，s；u）=E[u（CT，XT，ST）]∈ 在（x）处。这里，xrimplies时间r的清算速度；换句话说，thetrader在最短的时间间隔内销售xrdr数量【r，r+dr】。为了解决这个问题，我们为每个t、c、x和s引入函数J（t、c、x、s；u）的值，以应用动态编程方法。备注1。（i）对数冰过程Yr=对数满足随机微分方程（SDE），dYr=b（Yr）dr+σ（Yr）dBr- g（xr）dr，（2.3）每当Sr>0，r≥ 0.（ii）在随机控制理论中，（xr）r∈ At（x）称为控制过程，（2.2）中定义的（Cr、Xr、Sr）是其控制过程。然而，在我们的案例中，每个（Xr）ris的（Cr，Xr，Sr）Rf的存在性和唯一性并不明显，因为（Yr）Rma可能因该术语而发生分歧-g（xr）dr.我们可以通过在yr发散到-∞ （详见A节）。（iii）在[11,14,15]中，我们需要一个额外的假设，使得每个可容许策略都是本质有界的；也就是说，我们考虑优化问题j∞（t，c，x，s；u）=sup（xr）r∈A.∞t（x）E[u（Ct，Xt，St）]（2.4）而不是（2.1），其中∞t（x）=（xr）r∈ At（x）；esssupr，ωxr（ω）<∞.这种情况发生在将离散时间模型的极限值转换为连续时间模型的过程中；然而，这是一个数学技术条件，与融资有关，是不自然的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 01:11:28

我们可以证明J与J重合∞, 因此，我们对这个问题并不过分关注（另见A节）。在[15]中，我们证明了J（·；u）在[0，T]×D和J（r，·；u）上是连续的∈ 每个r的C≥ 0和u∈ C、此外，对于每个（C，x，s），J满足动态规划原理J（t+r，C，x，s；u）=J（t，C，x，s；J（r，·；u））∈ D、 u型∈ C和t，r≥ 带t+r的0≤ T利用这些结果，我们在下一节中将J描述为相应HJBE方程的粘度解。从现在起，我们将∈ C并表示J（t，C，x，s；u）=J（t，C，x，s）以表示简洁。3主要结果I：粘度特性我们的第一个主要结果如下。定理1。（i）我们假设lim infε→0ε（J（t，c，x，s+ε）- J（t，c，x，s））>0，（t，c，x，s）∈ （0，T）×D，（3.1），其中D=intD=R×（0，∞). 那么，J是（0，T）×D上以下HJBequation的粘度解：tJ公司- 苏比≥0LyJ=0，（3.2），其中=（^b（s）- sg（y））s+σ（s）s+ysc-x个.（ii）我们假设（3.1），^b和^σ是Lipschitz连续的，并且lim infx→∞h（x）/x>0。然后，我们看到了（3.2）粘度解在以下意义上的唯一性。If a连续函数v:[0，T]×D-→ 多项式增长的R是（3.2）的粘度解，满足边界条件，v（0，c，x，s）=u（c，x，s），（3.3）v（t，c，0，s）=E[u（c，0，Zt（s））]，（3.4）v（t，c，x，0）=u（c，x，0），（3.5），则J=v，其中（Zr（s））是s的唯一解：dZr（s）=b（Zr（s））dr+σ（Zr dBr，Z（s）=s.（3.6）备注2。（i）定理1的断言与[14]中定理3.3和3.6的断言相同。因此，当g是凸的，即当'x=0时，已经得到了定理1。如【14】的备注3.7所述，我们的HJB方程（3.2）不满足标准假设，无法将标准参数应用于粘度表征，例如【5、6、18、21】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:31

我们通过[14]中定理3.3的证明来证明定理1（i）。在[14]中定理3.6的证明中，我们主要不使用g的凸性，因此定理1（ii）的获得方式与命题b的证明类似。21–B.23英寸【14】。（ii）以下条件是数学金融中效用函数的标准自然条件：[B]u（c，x，s）=u（c）对于某些凹函数u∈ C（R）。在[B]中，边界条件（3.3）–（3.5）简化为v（0，c，x，s）=v（t，c，0，s）=v（t，c，x，0）=U（c）。（iii）一般不容易检查（3.1）。当g是凸的时，（3.1）的自然和简单条件在[14]中被引入为[C1]满足[B]。此外，它认为U′（c）≥ δ、 c类∈ R、对于某些δ>0。[C2]b和σ是可微分的，它们的导数是Lipschitz连续且一致有界的。在我们的案例中，通过与[14]中命题3.5相同的证明，我们还验证了（3.1）在[C1]–[C2]下成立。4主要结果II：【15】中的版本Ar Guments理论7.4为我们提供了一个典型的例子，其中最优执行策略的值为零或大于'x。这一结果与财务直觉一致，这种在g的凹部（即（0，'x））范围内的速度组合会导致超流量交易成本。在本节中，我们提出了一个验证定理，以证明最佳执行速度在{0}内∪ （(R)x，∞) 一般来说首先，我们引入符号来说明我们的第二个主要结果。条件【A3】和【A4】表明存在一个反函数h-1： [高（(R)x），∞) -→ [(R)x，∞), 然后我们定义h（s，p）=spc- pxsps{sps>0}，（4.1）Ξ（s，p）=h-1（H（s，p））1∧（s，p）（4.2）表示s≥ 0和p=（pc，px，ps）\'∈ R、其中∧={（s，p）∈ （0，∞) ×R；ps>0，H（s，p）>H（(R)x），g（H-1（H（s，p））<H（s，p）H-1（H（s，p））}，A′表示A的转置。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:34

此外，对于每个连续可微函数，v:[0，T]×D-→ R、我们定义了bv（t、c、x、s）=sΞ（s，Dv（T-t、 c、x、s））-Ξ（s，D v（T- t、 c，x，s））^b（s）- sg（Ξ（s，D v（T- t、 c、x、s）））,其中D=cx，s′.现在，我们介绍第二个主要结果。定理2。我们假设（3.1）和[B]，J∈ C1,1,1,2（（0，T）×D），以及给定的（c，x，s）∈D，有一个连续的过程，（Ct、Xt、St）t，可以满足CtXtSt公司=\'bJ（t、Ct、Xt、St）dt+^σ（St）dBt，t∈ [0，\'τ]（4.3）和（C，X，S）=（C，X，S），其中\'τ=inf{t≥ 0 ; （Ct、Xt、St）∈ D}∧ T、然后，有一个优化器，（^xt）tto J（T，c，x，s），这样^xt∈ {0} ∪ （(R)x，∞), t型∈ [0，T]a.s.当执行大量安全时，降低执行速度以降低执行成本非常重要。然而，定理2告诉我们，当MI函数为S形（尤其是[0，\'x]上的凹形）时，不希望将执行速度降低到阈值\'x以上。在这种情况下，最佳执行策略是在执行速度大于\'xo的情况下出售或停止出售。如果我们验证值函数J的光滑性，我们可以应用定理2。即使我们找到（3.2）的经典（子）解，它不一定满足边界条件（3.3）–（3.5），我们也可以构造J（T，c，x，s）的最优策略。我们介绍了以下验证定理。定理3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-1 01:11:37

Let（c，x，s）∈D和let v∈ C（[0，T]×D）∩C1,1,1,2（（0，T）××D）是满足以下条件的函数。（i） K，m>0，使得| v（t，c，x，s）|≤ K（1+cm+xm+sm），t∈ [0，T]，（c，x，s）∈ D、（ii）v（0，c，x，s）≥ u（c，x，s）对每个（c，x，s）保持不变∈ D、（三）电视- 苏比≥0Lyv≥ （0，T）××D.（iv）有一个（^xt）T∈ 在（x）处，使e[u（CT，XT，ST）]≥ v（T，c，x，s），其中（^Ct，^Xt，^St）由（2.2）给出，其中（^c，^x，^s）=（c，x，s）。然后，我们有J（T，c，x，s）=E[u（^CT，^XT，^ST）]=v（T，c，x，s），并且（^XT）是它的优化器。在下一节中，我们将介绍一些例子，在这些例子中，我们使用定理3.5示例推导出最优执行策略。类似于[14]中的第5节，我们将介绍一些证券价格过程作为Black-Scholes模型给出的例子。我们假设b（·）≡ u和σ（·）≡ σ是常数，效用函数设置为uRN（c，x，s）=c；也就是说，交易者是风险中性的。通过使用与[14]中命题5.2的证明相同的论点，我们得到了以下定理。定理4。我们有J（t，c，x，s）=c+sW（t，x），其中w（t，x）=sup（xr）r∈阿斯塔特（x）ZTEP-ur-Zrg（xv）dvxrdr，Astatt（x）={（xr）r∈ At（x）；（xr）ris determini s tic}，|u=-u -σ。定理1和4将我们引向定理5。W是偏微分方程的粘度解tW+～uW+infy≥0W g（y）-1.-xW公司y= 0（5.1），边界条件W（t，0）=W（0，x）=0。（5.2）此外，如果lim infx→∞h（x）/x>0时，（5.1）–（5.2）的粘度溶液在以下意义上是唯一的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:40

如果具有多项式增长的连续函数w是（5.1）–（5.2）的粘度解，则w=w。在本节结束之前，我们假设μ>0，以关注预期证券价格随时间下降的情况。5.1混合幂函数在这里，我们考虑g由g（x）=βx|π（0）给出的情况≤ x个≤ 对于某些x，αxπ+γ（x>x）（5.3）≥ 0，α>0和0<Иπ<1<π。因为g是连续可微分的，所以β和γ必须满足β=ππα′xπ-~π, γ =π~π- 1.α′xπ。图1显示了当π=0.5和π=2时g的形式。图1：MI函数g（x）的形式o定义了一个s（5.3），其中|π=0.5，π=2。水平轴与x相对应。垂直轴与g（x）相对应。下一个结果是[14]中定理5.4的纯粹扩展。定理6。Setx公司*,1=ΔπB1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）T;π+ 1, 2,x个*,2=νπT，其中Δπ=α1/ππ~u + γπ - 1.π-1π, νπ=~u + γ(π - 1)α1/π和b（z；a，b）=Zzdxxa-1（1- x） b类-1是不完整的Beta函数。（i）如果x≥ x个*,1，我们有j（T，c，x，s）=c+sδπ1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）Tπ-1π，其优化器为giv en by^xt=νπ1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）（T- t）-1/π.（ii）如果x≤ x个*,2，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-ΔπxΔπ，其优化器是由^xt=νπ[0，x/νπ]（t）给出的。与[14]中的定理5.4类似，最优策略的形式根据初始份额x发生了巨大的变化，当x*,2<x<x*,1、此外，当x≤ x个*,最优策略是TWAP策略，即以恒定速度νπ出售。TWAP策略是Almgren-Chrismodel的策略，这是风险中性交易者的最佳执行标准模型[2,7,16,17]。定理6（ii）也是下一小节结果的推论。此外，νπ>γ(π - 1)α1/π=π - ~π~π(π - 1)1/π′x>’x；因此，我们可以验证^xt∈ {0}∪（(R)x，∞) 在定理6（i）（ii）的两种情况下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 01:11:43

这与定理2.5.2对于S小额执行的TWAP策略是一致的。接下来，我们考虑初始股份的数量xof很小的情况。这里，我们不限制没有[A1]–[A4]的g的形式。在陈述结果之前，我们准备以下建议。提案1。Se t Gh（x）=xh（x）- g（x）。然后，有一个唯一的νh∈ （(R)x，∞) 使GH（νh）=u。定理7。如果x≤ νhT，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-h（νh）xh（νh），（5.4）及其优化器由^xt=νh[0，x/νh]（t）给出。（5.5）该定理暗示了g广义形状MI函数的TWAP策略的最优性的稳健性。当xis很小时，最佳的执行策略是以νh（＞x）的速度出售证券，直到剩余股份为零为止。备注3。（i）如文献[14]中定理4.2和5.1所述，当g（x）=αx（α>0）作为线性函数给出时，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-αxα，（5.6），对应的近似最优执行策略是具有初始时间的准块清算；也就是说，^xδt=（x/δ）1[0，δ]（t）带δ→ 该策略通常对应于（5.5）取极限νh→ ∞. 注意h（x）≡ α ; 因此（5.4）与（5.6）一致。（ii）让我们考虑一个极端情况，其中g（x）=^g（x- \'x）1[\'x，∞)（x）（5.7）对于某些增凸函数^g∈ C（[0，∞); [0, ∞)) ^g（0）=^g′（0）=0和^g′时(∞) = ∞. g（x）的形式如图2所示，其中^g（x）设置为x。在这种情况下，我们可以通过低于或等于“x”的销售速度来完全避免MI成本。因此，最佳执行策略似乎是“xt=”x[0，x/“”x]（t）一目了然。按照该策略，我们得到了预期收益C：=sZx/(R)xe-ut'xdt=sι（￠u/'x；x），其中ι（y；x）=（1- e-xy）/y。然而，定理7暗示该策略不是最优的；最佳执行速度νh严格大于'x。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:46

我们比较了经验收益^C：=J（T，0，x，s）=sι（h（νh）；x）由o pt imal策略获得，（^xt）t，由（^xt）t获得~C。让我们表示^G（x）=x^G′（x）- ^g（x）。然后，我们看到^G（νh- (R)x）>^G（0）=0，因此￠u=Gh（νh）=^G（νh- \'x）+\'xh（νh）>\'xh（νh）。这意味着h（νh）<u/(R)x。因为ι（·；x）在减少，所以我们有C>(R)C。这是因为以较低的速度销售会增加执行时间和计时成本。贸易商应以最佳速度νh销售，并接受MI成本。图2：MI函数g（x）的形式，定义为（5.7），其中^g（x）=x。水平轴对应于x。垂直轴对应于g（x）。5.3推广I*****ani和Kato[12]之前的结果，作为定理7的应用，我们提供了[12]第5.2节研究的具有不确定MI的最优执行问题的解析解。我们考虑优化问题sup（xt）t∈在（x）EZTStxtdt, （5.8）其中（St）由SDE给出：dSt=St(-udt+σdBt- g（xt）dLt），S=S。这里，（Lt）是L'evy过程，它独立于（Bt）并由伽马分布p（Lt）给出其分布- γt∈ dz）=Γ（αt）βαtzαt-1e级-z/β（0，∞)（z） dz，其中α、β、γ>0满足αβ≤ 8γ和Γ（z）=z∞tz公司-1e级-tdt是Gamma函数。此外，我们假设g（x）=αxis g是一个具有α的二次函数≥ 0）在[12]的第5.2节中，我们没有发现（5.8）的最优策略的明确形式，即使xis很小。然而，数值实验表明，具有小xis的最优策略是TWAP策略。在这里，我们从数学上证明了这个猜想是正确的。定理8。设^ν为γα^ν+α的解1.-1 + αβ^ν- 对数（αβ^ν+1）= ~u.如果x≤ （5.8）的最优策略由TWAP策略xt=ν1[0，x/ν]（T）给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:11:49

（5.9）6结论性意见在本文中，我们研究了S形MI函数作为[15]的一个推论的最优执行问题。我们证明了我们的值函数是相应HJB方程的粘度解。这是[14]中的扩展结果。此外我们提供了验证定理，以表明最佳执行速度不在该范围内（0，’x）。这意味着交易者不应盲目地降低执行速度以降低MI成本。在Black-Scholes市场模型中，我们发现，当持有的证券数量较少时，最佳执行策略是WAP策略。MI函数g不需要具体形式，因此此结果是稳健的，并表明了WAP策略在实际中的最佳性冰除TWAP策略外，成交量加权平均价格（VWAP）策略在阅读实践中得到广泛应用【19】。Gatheral和Schied指出，我们应该将时间参数t视为体积时间，而不是s物理时间。交易量时间意味着一个随机时钟，由市场交易量过程来衡量[3,9,20,25]。如果我们在体积时间线上考虑模型，我们可能会以与定理7类似的方式发现VWAP策略的最优性。然而，我们不能忽视市场交易量的随机性。我们未来的任务之一是在体积时间线上构建一个具有S形MI函数的最优执行模型。此外，为了应用定理2，我们要求值函数J是光滑的，而通常很难显示光滑性。此外，SDE（4.3）的可解性尚不明确。需要进一步研究。补充论证提出了以下命题，这些命题将我们先前研究的结果与当前模型联系起来。提案2。设t>0，设（c，x，s）∈ D

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 01:11:52

对于每个（xr）r≤t型∈ 在（x）处，有一个uniq ueprocess，（Cr，Xr，Sr）r≤t、满足（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S）。SDEs解的比较定理f（例如参见[13]中的命题5.2.18）告诉我们0≤ Sr公司≤ Zr（s）a.s.，（a.1），其中（Zr（s））在（3.6）中定义。此外，[14]中的引理B.1告诉我们≤r≤坦桑尼亚先令（s）m]<∞ （A.2）对于每个t，s和m>0。根据n（A.1）–（A.2），我们发现我们的价值函数J（t、c、x、s）定义明确。提案3。J（t，c，x，s）=J∞（t、c、x、s）。在[15]中，我们展示了J的一些性质∞（t、c、x、s）。命题3意味着这些结果也适用于J（t，c，x，s）。B命题1的证明。首先，[A3]表示GH（\'x）=\'xh（\'x）-Z'xh（x）dx≤ \'\'xh（\'x）\'- \'xh（\'x）=0。（B.1）[A3]也告诉我们GH（x）- Gh（y）≥ （h（x）- 对于每个x>y>x，h（y））y>0（B.2）。因此，GH在（(R)x）上严格增加，∞). 此外，让x→ ∞ 在（B.2）中，我们看到了thatlimx→∞Gh（x）=∞, （B.3）由于条件【A4】。因为GH在[(R)x上是连续的，∞) 并且|u为正，（B.1）–（B.3）立即给出断言。为了证明命题2，我们准备了一个引理。引理1。让（Дt）t为（Ft）t渐进可测量过程，以便|Дt |≤ 对于某个正常数K。Th en，有一个CK，T>0，它只依赖于K和T，所以sup0≤t型≤特克斯普Zt^1rdBr≤ CK，T.证明。Punt=expZt^1rdBr-ZtИrdr- 伊藤公式立即暗示（Nt）是一个从0开始的连续局部鞅，Dhnit=（Nt+1）νtdt。取任意R>0并确定τR=inf{t≥ 0 ; hNit公司≥ R}∧ T和mRt=E【hNit∧τR](≤ R<∞). 然后，我们观察到≤ 地铁≤ 2KEZt公司∧τR（Nr+1）dr≤ 2KT+2KZTMRRRDR。我们应用Gronwall不等式来获得MRT≤ 2KT+4KTe2KT=：C′K，T。切比雪夫不等式意味着τRT，R→ ∞ a、 s.，和henceE【hNiT】=limR→∞地铁≤C′K，tb的单调收敛定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-1 01:11:55

现在我们到达atEsup0≤t型≤特克斯普Zt^1rdBr≤ eKT/2（2E【hNiT】1/2+1）≤ 埃克特/2qC′K，T+1. 命题2的证明。它有助于证明过程（Sr）r的存在性和唯一性≤t每个给定值（xr）r∈ 在（x）和s>0时。第1步。对于每个n∈ N、定义τN=infr≥ 0 ;Zrg（xv）dv≥ n∧ 并置xnr=xr[0，τn]（r）。然后，我们可以通过标准参数：dYnr=b（Ynr）dr+σ（Ynr）dBr来证明下面的SDE有一个唯一的解决方案（Ynr）rto- g（xnr）dr，Yn=log s。伊藤公式表明，过程Snr：=经验（Ynr）满足DSNR=^b（Snr）dr+^σ（Snr）dBr- Snrg（xnr）dr，Sn=s。我们看到τn≤ τ和Snr=Smr，r∈ [0，τn]a.s.对于每个n<m。因此，我们可以定义∞r=limn→∞每个r的SNR∈ [0 , τ) ∩ [0，t]a.s.，其中τ=limn→∞τn.接下来，我们证明了limr→τS∞r=0 a.s.{τ≤ t} 。对于每个δ>0，我们看到0≤ S∞τ-δ=limn→∞Snτ-δ≤ {τ上的sDtGδ≤ t} ，其中dt=lim infn→∞sup0≤r≤特克斯普Zrb（Ynv）dv+Zrσ（Ynv）dBv,Gδ=exp-Zτ-δg（xr）dr.因为b和σ有界，引理1意味着e[Dt]<∞, 因此Dt<∞ a、此外，根据τ的定义，它认为Gδ{τ≤t}-→ 0, δ → 因此，我们有limδ→0秒∞τ-δ=0 a.s.{τ≤ t} 。因此，我们可以定义Sr：=S∞r∧τ作为[0，t]上的连续过程，它认为s+Zr^σ（Sv）dBv+Zr（^b（Sv）- Svg（xv））dv=s+Zr∧τ^σ（S∞v） dBv+Zr∧τ（^b（S∞五）- S∞vg（xv））dv=limn→∞信噪比∧τn=Sr，r≤ t、因此，（Sr）rsatis fies（2.2）。第2步。接下来，我们展示（2.2）的解的唯一性。假设（▄Sr）rsatis fies（2.2）a和▄S=S。我们看到∧τn=对数Sr∧τnandYr∧τn=对数Sr∧τnsatisfy（2.3）。因为b和σ是Lipschitz连续的，所以我们有e[sup0≤r≤t |年∧τn-年∧τn |]=0。这意味着SR∧τn=~Sr∧τn，r≤ 那么，我们有Sr∧τn=~Sr∧τn，r≤ t、 a.s.出租n→ ∞, 我们到达Sr∧τ=~Sr∧τ、 r≤ t a.s.基于（2.2），对于{τ上的每一个较大的t ha nτa.s，Sr=~Sr=0≤ t} ，所以我们得出结论，（Sr）ris等于（~Sr）ra。s命题3的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 01:11:58

因为J（t，c，x，s）≥ J∞（t，c，x，s）很清楚，我们可以证明相反的不等式。修复任何（xr）r∈ 在（x）处，用（Cr，Xr，Sr）r表示≤tits控制过程。取任意K>0并设置xKr=xr∧K、然后，（xKr）r∈ A.∞t（x）保持不变。设（CKr，XKr，SKr）为（XKr）r的受控过程。然后，我们得到了XKt≥ Xt。此外，【13】中的命题5.2.18意味着SKr≥ Sr，r≤ 因此，它认为CKT=c+ZtxKrSKrdr≥ c+ZtxKrSrdr a.s.，单调收敛定理告诉我们lim infK→∞CKt公司≥ Cta。s、因为你∈ C、我们有u（Ct、Xt、St）≤ 林因夫→∞u（CKt、XKt、SKt）。然后，我们应用Fatou引理来了解e[u（Ct，Xt，St）]≤ lim信息→∞E【u（CKt、XKt、SKt）】≤ J∞（t、c、x、s）。因为（xr）r∈ At（x）是任意的，我们完成了证明。为了证明定理1，我们定义F:D×R×S-→ R∪ {-∞} byF（z，p，∑）=-^σ（s）∑ss-^b（s）ps+H（s，p），H（s，p）=infy≥0f（y；s，p），f（y；s，p）=spsg（y）- （spc- px）y，其中S R Ris是三维实对称矩阵集，我们表示z=cxs, p=pcpxps, Σ =∑cc∑cx∑cs∑xc∑xx∑xs∑sc∑sx∑ss.注意，（3.2）等同于tJ+F（z，DJ，DJ）=0。（B.4）此外，putU=n（z，p，∑）∈D×R×S；F（z，p，∑）>-∞o、 R=~D×（R×（0，∞)) ×S。请注意，ps≥ 每个（z，p，∑）保持0∈ U此外，我们有R U引理2。对于每个（z，p，∑）∈ R、我们有h（s，p）=f（h-1（H（s，p）∨ h（x））；s、 p）∧ 0=f（Ξ（s，p）；s、 p），（B.5），其中H（s，p）和Ξ（s，p）由（4.1）–（4.2）给出。特别地，F在R证明上是连续的。首先，我们注意到H（s，p）=sps'H（H（s，p）），其中'H（'y）=infy≥0'f（y；'y），'f（y；'y）=g（y）- (R)年。我们看到，\'H（\'y）=\'f（H-1年∨ h（(R)x））；是）∧ 0。（B.6）确实，如果≤ h（(R)x），我们观察到y'f（y；'y）=h（y）- 是的≥ h（y）- h（(R)x）≥ 0，y≥ 0by[A3]。因此，我们得到“H（\'y）=”f（0；\'y）=0。此外，[A3]还表示“f（h-1（h（(R)x））；y）=f（\'x；\'y）=Z'xh（y′）dy'- “y”x≥ （h（(R)x）- \'y）\'x≥ 0;因此，（B.6）成立。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:12:02

相反，如果y>h（\'x），我们可以看到f（·；\'y）在h达到最小值-1（(R)y）或0。当'f（h-1年；y）<0，则认为H（\'y）=f（H-1年；是）。当'f（h-1年；是）≥ 0，我认为H（\'y）=0。在这两种情况下，我们看到（B.6）实际上都成立。（B.6）表示（B.5）的初始质量。（B.5）的第二个等式是通过使用[A3]的简单计算得到的。最后一个断言是通过^b、^σ、h、h和h（s，p）的连续性得到的。下面的命题是通过一个标准论点得出的（详见[6、18、21]）。提案4。J是（3.2）的粘度上解。提案5。假设（3.1）。那么，J是（3.2）的粘度次分辨率。证据固定每个（t、z）∈ （0，T）×D.让v∈ C1,2（（0，T）×D）是一个测试函数，使得J-V在（t，z）处获得局部最大值0。然后，我们可以找到一个r>0，使得j（t′，z′）<v（t′，z′）（B.7）对每个（t′，z′）保持f∈\'Br（（t，z））\\{（t，z）}，其中\'Br（（t，z））={（t′，z′）∈ （0，T）×D；| T′- t |+| z′- z|≤ r} 。对于每个L>0，定义FL（z，p，∑）=-^σ（s）∑ss-^b（s）ps+inf0≤y≤ Lf（y；s，p），JL（t，c，x，s）=sup（xr）r∈ALt（x）E[u（Ct，Xt，St）]，ALt（x）={（xr）r∈ At（x）|xr |≤ 五十} 。这里，（Cr，Xr，Sr）ris表示为（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S）。注意JL（t，c，x，s）J（t，c，x，s），L→ ∞. 通过与[14]中命题B.18相同的论证，我们可以看到JLis的aviscosity解决方案tJL+FL（z，D JL，DJL）=0。（B.8）因为JL- v连续，JL- v在集合Br（（t，z））上达到最大值；即有a（tL，zL）∈\'Br（（t，z）），最大\'Br（t，z）=JL（tL，zL）- v（tL，zL）。我们证明了（tL，zL）-→ （t，z），L→ ∞. （B.9）因为{（tL，zL）}是一个有界序列，我们看到对于每个递增序列，（Ln）n （0，∞) , 有一个子序列，（Lnk）k，使得（tLnk，zLnk）收敛到一个点，（t*, z*) ∈\'Br（t，z）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 01:12:05

Dini定理暗示JL-→ J、 L→ ∞ 在任何紧集上是一致收敛的；因此，我们看到j（t*, z*) - v（t*, z*) = 利姆→∞（JLnk（tLnk，zLnk）- v（（tLnk，zLnk））=0。结合（B.7），我们得出结论（t*, z*) 必须与（t，z）重合。因此，（B.9）是正确的。接下来，我们定义▄v∈ C1,2（（0，T）××D）乘以v（T′，z′）=v（T′，z′）+JL（tL，zL）- v（tL，zL）。然后，我们看到JL- v在（tL，zL）处达到局部最大值0。此外，由于JL是（B.8）的aviscosity解决方案，它认为tv（tL，zL）+FL（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））=tv（tL，zL）+FL（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））≤ 0。（B.10）注意（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））∈ R代表足够大的L。实际上，（3.1）意味着(/s） v（t，z）>0，收敛性（tL，zL）-→ （t，z）和D v导线的连续性(/s）对于足够大的L，v（tL，zL）>0。此外，再次使用引理2和Dini的Theorem，我们看到FL收敛到F a s L→ ∞ 在R中的任何紧集上一致。因此，取L→ ∞ 在（B.10）中，我们到达tv（t，z）+F（z，D v（t，z），Dv（t，z））≤ 0。这就完成了证明。定理1的证明。断言（i）是命题4-5的结果。断言（ii）是通过与[14]中命题B.21–B.23相同的论证得出的。我们注意到[14]的命题B.22只要求g在[x]上的凸性，∞) 对于足够大的x。我们准备了下面的引理来证明定理2。引理3。假设J∈ C1,1,1,2（（0，T）]×D）。它认为cJ（t，c，0，s）=U′（c），（B.11）xJ（t、c、0、s）≥ 苏′（c），（B.12）sJ（t，c，0，s）=xJ（t，c，x，0）=0，（B.13）tJ（t，c，0，s）=tJ（t，c，x，0）=0（B.14），对于每个t>0和（c，x，s）∈ D、证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-1 01:12:08

（B.11）、（B.13）和（B.14）从J（t，c，0，s）=J（t，c，x，0）=U（c）中获得。显示（B.12），对于每个固定t>0和每个x∈ （0，t），设置xr=√x1[0，√x] （r）并让（Cr，Xr，Sr）rbe与（Xr）r关联的受控过程∈ 在（x）处。然后，我们看到x（J（t，c，x，s）- J（t，c，0，s））≥xE[U（Ct）- U（c）]=EZU′（c+kxAx）dkAx, （B.15）其中Ax=√xZ公司√xSrdr。根据[11]中的Doob不等式，（3.18）和（A.1）–（A.2），我们得到了- s |]-→ 0，x→ 特别是Ax在概率上收敛到s。此外，通过（A.1）–（A.2）和U的凹度，我们得到了[sup0≤x个≤税款]<∞,E[支持0≤k≤1,0≤x个≤t（U′（c+kxAx））]≤ （U′（c））。因此，我们可以将支配收敛定理应用于getEZU′（c+kxAx）dkAx-→ sU′（c），x→ 0、（B.16）（B.15）–（B.16）将我们引向（B.12）。定理2的证明。定义^xt=Ξ（St，DJ（T- t、 Ct，Xt，St）1[0，’τ）（t）。（B.17）因为∧τ≥ 0，它认为（^xt）t∈ 在（x）处。然后，命题2暗示有一个受控过程（^Ct，^Xt，^St）与（^Xt）t相关。我们看到，^Ct=Ct∧(R)τ，^Xt=Xt∧\'τ和^St∧？τ=St∧τ.Put^τR=inf{t≥ 0 ;^St≥ R}∧ （T- 1/R）+对于每个R>0。注意，（A.1）–（A.2）和切比雪夫不等式意味着^τRT，R→ ∞. 伊藤公式给出了[J（T- ^τR，^C^τR，^X^τR，^S^τR）]- J（T，c，x，s）=EZ^τR-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，^Xt，^St）dt. （B.18）基于定理1（i）、引理2和J的光滑性，我们得到-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct、^Xt、^St）=-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 Ct，Xt，St）=0，t<τ。（B.19）关于{t≥ 无论是^Xt=0还是^St=0，τ}都成立。如果^Xt=0，我们有-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 ^Ct，0，^St）=supy≥0^StU′（^Ct）-xJ（T- t、 ^Ct，0，^St）y= 0 =-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，0，^St），t≥ 引理3中的τ（B.20）。如果^St=0，引理3也意味着-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 ^Ct，^Xt，0）=0=-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，^Xt，0），t≥ ？τ。（B.21）结合（B.18）–（B.21），我们到达- ^τR，^C^τR，^X^τR，^S^τR）]=J（T，C，X，S）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 01:12:10

出租人→ ∞, 由于主导收敛定理，我们有e[u（^CT，^XT，^ST）]=J（T，c，x，s）。因此，（^xt）是J（T，c，x，s）的优化器。根据（4.2）和（B.17），我们可以看到^xt=0或^xt>(R)x。定理3的证明。固定任意（xt）t∈ A.∞T（x）和n∈ N、设xnt=（1- 1/n）xt。用（Ct，Xt，St）t（resp.，（Cnt，Xnt，Snt））表示与（Xt）t（resp.，（Xnt）t）相关的受控过程。请注意，（A.1）–（A.2）表示≤t型≤T（Snt）m]<∞ 对于每个m>0，以及（Cnt、Xnt、Snt）∈D，t∈ [0，T]保持a.s.取任何R>0并设置τR=inf{T≥ 0 ; Snt公司≥ R}∧（T-1/R）+。根据伊藤公式的标准论证，我们得到了atE[v（T- τR，CnτR，XnτR，SnτR）]- v（T、c、x、s）≤EZτR-电视+supy≥0Lyv（T- t、 Cnt、Xnt、Snt）dt.结合这个假设（iii），我们得到了- τR，CnτR，XnτR，SnτR）]≤ v（T、c、x、s）。这里，基于假设（i）–（ii）和切比雪夫不等式，我们看到τRT，R→ ∞a、 s.andE【u（CnT、XnT、SnT）】≤ v（T、c、x、s）。（B.22）由于（xt）本质上是有界的，利用[18]中的定理2.5.9，我们得到[sup0≤t型≤T |对数Snt-日志St |]-→ 0，n→ ∞. 那么，我们有≤t型≤T | Snt-St |]-→ 0和thusE[| CnT-CT |]-→ 0 .此外，我们看到- XT |]-→ 因此，让n→ ∞ 在（B.22）和[14]中的应用引理B.2中，我们得到了atE[u（CT，XT，ST）]≤ v（T、c、x、s）。因为（xt）t∈ A.∞T（x）是任意的，我们推导出T hatJ（T，c，x，s）=J∞（T、c、x、s）≤ v（T、c、x、s）。这和假设（iv）得出的结论是：j（T，c，x，s）=E[u（^CT，^XT，^ST）]=v（T，c，x，s）。定理6和7通过使用定理3的简单计算得到。定理8的证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝