在命题3.3的条件下，对于1≤ l≤ n、 莱克斯lbe中的唯一常量[-∞, ∞) 使得H（l）f（x）（>0，x>xl、，≤ 0，x≤ x个l、 其中，当l=k+1时，h（l）f（·）在（46）中给出。那么我们有x=x个, 对于任何k≥ 2： （一）ifxk<xk-1，然后是xk=xk（二）ifxk≥ x个k-1，然后是xk-1.≤ x个k≤x个k、 特别是在特殊情况下l≡ x个对于所有2个≤ l≤ n： 1。如果x< x个, 然后阈值{xl} 1个≤l≤nsatisfyx公司= x个n=…=x个< x个;2、如果x≥ x个, 然后阈值{xl} 1个≤l≤nsatisfyx公司≤ x个≤ . . . ≤ x个n≤ x个.可视化见图3。证据声称x=x个显然是这样。对于k≥ 2，如果xk<xk-1，则h（k）f（x）>0和h（k-1） g（x）>0对于所有x>xk-由（48）可知，对于所有x>x，h（k）g（x）>0k-1、这意味着xk≤ x个k-1、另一方面，对于所有x≤ x个k-1，我们有h（k）g（x）=h（k）f（x），所以xk=xk、 Ifx公司k≥ x个k-1，然后通过一个类似的参数，我们知道对于所有x>x，h（k）g（x）>0k、 so xk≤x个k、 另一方面，对于所有x≤ x个k-1，h（k）g（x）=h（k）f（x）≤ 0 . 所以我们知道xk-1.≤ x个k≤x个k、 特例中的结果现在遵循ma主题归纳法。备注3.6。假设等式（51）成立，且C（·）+f（·），f（·）是连续的，并且属于tΥζ，则wehavexl≡ x个对于所有2个≤ l≤ n、 因此，我们处于命题3.4的特例中。具体来说，我们可以写ec（x）+f（x）=Ex[h（xζ）]，f（x）=Ex[h（xζ）]，x个∈ R、 其中，h（·）和h（·）是定义2.1中规定的非减量函数。

此外，我们可以定义x和xH（x）（>0，x>x,≤ 0，x≤ x个,h（x）（>0，x>x,≤ 0，x≤ x个.在这种情况下，命题3.4通过比较l=1，x的最佳阈值，为我们提供了一个非常简单的解决最优停止问题（40）-（41）的规则, 和x:如果x< x个, 然后最好使用第一个（n- 1） 在跨越阈值x时，机会同时出现仅当基础流程跨越x时，才使用最后一次练习机会从下面。这背后的直觉是成本构成-从永恒的意义上讲，C（·）实际上是有益的-C（·）趋向于正（一个恒定的永久函数C（·））≡ C<0将导致xtobe大于x). 在这种情况下，应该稍微有点耐心，当基础达到更高的目标x时，利用最后的锻炼机会. 见图3（a）。如果x≥ x个, 那么，在穿越x时，最好利用所有n个机会n从下面开始。在这种情况下，成本构成-C（·）不是有益的，因为-C（·）趋向于非正（一个恒定的永久fu nctionC（·））≡ C≥ 0将导致x不大于x), 因此，一个人应该尽快利用所有的机会。见图3（b）。在这两种情况下，最好至少锻炼第一次（n- 1） 同时还有机会。这是因为成本函数是相同的，单独连续停车没有好处，可能是最后一次停车。同样的直觉也适用于命题3.4的一般情况。例如，xk<xk-1表示在（n+1）之间支付的成本- k） -th和（n+2- k） -th练习是有益的，建议单独、持续的停止；相反，xk≥ x个k-1表示单独使用这两个练习机会没有好处。推论3.2。

假设贴现率为常数r>0，奖励函数（fl（·））1≤l≤nare连续且属于Υer，f（·）具有表示h（·）。假设对于所有1≤ l≤ n、 成本函数Cl（x）≡ C（x）=-L+Pki=1cieαix，其中L>0，ci，αi>0，E[Eαix]<∞ ψ（αi）<r表示alli=1，2，k或C（x）≡中的某个常量(-r·h(∞), ∞). 然后得出命题3.3和3.4成立。证据在这种情况下，我们注意到CL（·）- 氯-1（·）+fl（·）=2的fl（·）≤ l≤ n、 所以我们只需要验证C（·）+f（·）∈ Υer。如果C（·）是一个以(-r·h(∞), ∞), 那么结论显然成立。否则，我们计算C（·）如下：C（x）=Ex[Z∞e-rtC（Xt）dt]=-Lr+kXi=1cz∞e-rtEx[eαiXt]dt=-Lr+kXi=1cieαixZ∞e-（r）-ψ（αi））tdt=-Lr+kXi=1cir- ψ（αi）eαix.（52）从上述计算中也可以看出，假设3.1成立。另一方面，与推论3.1的证明类似，我们有c（x）=Ex[hc（Xer）]，其中hc（x）：=kXi=1cir- ψ（αi）eαixE[eαiXer]-Lr。所以函数C（·）+f（·）∈ Υer。因此，Pro位置3.3和3.4的结果适用。致谢我们感谢副主编和匿名推荐人，他们提供了有益的意见，改进了这项工作。引理2.1的一个证明。作为z→ ∞, 我们知道t+z→ ∞, Px-a.s.因此，如果假设假设2.1成立，则1。如果Px（A∞= ∞) = 1，我们有0≤ 林茨→∞Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}] ≤ 林茨→∞Ex[经验(-AT+z）]=Ex[exp(-A.∞)] = 0，其中我们使用有界收敛定理得到第一个等式；2、如果P（lim支持→∞Xt<∞) = 1，我们知道X∞几乎可以肯定是一个有限的随机变量，so0≤ 林茨→∞Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}] ≤ 林茨→∞Px（T+z<∞) = 林茨→∞Px（X∞> z） =0。另一方面，从A·的加性和非负性，我们知道A∞≥ AT+z保持事件{T+z<∞}. So0公司≤ Ex[经验(-A.∞)1{T+z<∞}] ≤ Ex[经验(-在+z）1{T+z<∞}].如果（4）成立，那么我们有limz→∞Ex[经验(-A.∞)1{T+z<∞}] = 0

（53）为了证明假设2.1成立，我们只需要证明，如果P（lim supt→∞Xt<∞) = 1未能保持，则Px（A∞= ∞) = 但通过【2，定理VI.12】，我们知道在这种情况下，X·要么漂移到∞,或振荡，因此Px（T+z<∞) = 对于所有z>x，均为1。这意味着（53）实际上读取为Ex[exp(-A.∞)] = 0，so Px（A∞= ∞) = 引理的证明2.2。考虑功能Z 7→ E【E】-AT+zf（XT+z）1{T+z<∞}] = f（z）P（Xζ>z）=f（z）exp(-Zz∧（y）dy），z>0。通过注释2.6中讨论的函数的单调性和假设2.2（i），我们知道（15）中的极限存在，极限c∈ [0, ∞) 如果x< ∞, 和c∈ [0, ∞] 如果x= ∞. 要了解为什么c=0，c不能与x匹配= ∞, 注意f′（x）≥ ∧（x）f（x）对于所有x∈ 在这种情况下，通过Gr¨onwall不等式，我们得到了f（z）e-Rz∧（y）dy≥ f（x）e-Rx∧（y）Dy用于ll z≥ x、 选择一个足够大的x，使得f（x）>0意味着极限c≥ f（x）e-Rx∧（y）dy>0。引理2.3的证明。利用[17]的推论2（i）和方程（11），我们知道，对于0<，x<c，Ex[e-qRT+c(-，）（Xt）dt{T+c<∞}] =eΦ（0）（x+）+qR-W（x- y） H（q）（y+）染料Φ（0）（c+）+qR-W（c- y） H（q）（y+）dy，（54）其中，对于任何q≥ 0，我们定义h（q）（x）=eΦ（0）x+qZxeΦ（0）（x-y） W（q）（y）dy.（55）为了获得当地时间LT+c的规律，我们使用占用时间密度公式：LT+c=lim↓02ZT+c(-，）（Xt）dt，Px-a.s.在e出口{T+c<∞}.特别是，通过让q=r2并将极限取为↓ 在（54）中，我们将得到结果，这要归功于有界收敛定理。然而，这个极限需要一个微妙的估计，以便在上述积分中正确控制H（q）项。

为此，我们回顾了[12，引理8.3]证明中出现的q-s c ale函数的估计：0≤ W（q）（x）≤Xk公司≥0qkxkk！Wk+1（x）=W（x）eqxW（x）。上述不等式意味着，对于任何y∈ (-通过0<y+2<1，我们得到了所有z的2z<r∈ （0，y+），so0≤ H（r2）（y+）- eΦ（0）（y+）≤r2Zy+eΦ（0）（y+-z） W（z）erW（z）dz≤ re2Φ（0）W（2）erW（2）。因此，r2Z-W（x- y） H（r2）（y+）dy≥r2Z-W（x- y） eΦ（0）（y+）dy→ rW（x），as↓ 0.另一方面，r2Z-W（x- y） H（r）（y+y）dy≤r2Z-W（x- y）eΦ（0）（y+）+re2Φ（0）W（2）erW（2）dy公司→rW（x）（1+rW（0）erW（0））=rW（x），如↓ 0，因为W（0）=0。方程式（26）如下所示，取极限为↓ （54）的算数和分母均为0。引理A.1。让（an）n≥1和（bn）n≥1be两个非负序列，and（an）n≥1有界且不减损。Thenlim infn公司→∞（anbn）=limn→∞安·林信息→∞bn。我们省略了引理A.1的证明，因为它是真实分析中的标准练习。引理A.2。过程（exp(-At+RXt∧（y）dy））t≥0是局部鞅。证据让我们表示Ut=exp(- At+RXt∧（y）dy）。考虑停车时间的顺序（T+n）n≥1，几乎可以肯定是增加和发散（即T+n→ ∞, P-a.s.）。那么对于所有t≥ 0，我们有∧T+n]=U=eRx∧（y）dy，n≤ x；对于任何固定x∈ R和所有n>x，我们有u=eRx∧（y）dy=eRn∧（y）dyEx[e-AT+n{T+n<∞}] = Ex[UT+n{T+n<∞}]= Ex[Ex[UT+n{T+n<∞}|英尺∧T+n]]=Ex[e-在∧T+n·eRn∧（y）dy·EXt∧T+n[e-AT+n{T+n<∞}]]= Ex[经验(-在∧T+n+ZXt∧T+n∧（y）dy）]=Ex[Ut∧（56），其中s第二行来自条件期望的tower性质和X·的强Markov性质。因此（Ut∧T+n）T≥0是所有n的鞅≥ 引理A.3。如果f（·）是下半连续且属于Υer，则值函数v（x）=supτ∈特克斯[东]-rτf（Xτ）1{τ<∞}]在x.Proof中是非减量的和下半连续的。

假设存在一个非减量函数h（·），使得f（x）=e[h（x+Xer）]，且常数为∈ [-∞, ∞) 当且仅当x>x时，h（x）>0. 然后通过定理2.1，我们知道V（x）=E[h（x+Xer）1{x+Xer>x}], 和V（·）∈ Υer，通过备注2.2，这意味着V（·）是不递减的。回想一下，对于非减量函数，下半连续性等效于左连续性。特别地，f（·）是左连续的。为了证明V（·）是连续的，考虑任何x>x，注意非负随机变量定义为（x，x）=h（x+Xer）- h（x+Xer）在x中递减，在x中递减，而满足度（通过Fato u引理）为0≤ E[极限↑x个（x，x）]≤ lim infx↑xE[h（x+Xer）- h（x+Xer）]=直线感应↑x（f（x）- f（x））=f（x）- lim supx公司↑xf（x）=f（x）- 林克斯↑xf（x）=0，（57），其中最后两步是由于f（·）的左连续性。因此，无负性随机变量limx↑x个（x，x）=0，P-a.s.T即limx↑xh（x+Xer）=h（x+Xer），P-a.s.，这意味着limx↑xh（x+Xer）1{x+Xer>x}= h（x+Xer）1{x+Xer>x}, 另一方面，P-a.s.因为0≤h（x+Xer）1{x+Xer>x}- h（x+Xer）1{x+Xer>x}≤ h（x+Xer）1{x+Xer>x},根据支配收敛定理，我们知道值函数V（x）=E[h（x+Xer）1{x+Xer>x}]在x处是左连续的，因此在x处也是下半连续的。谱负L'evy过程的B标度函数设x·是一个特殊的负L'evy过程，拉普拉斯表达式ψ（λ）=log E[Eλx]，这对于所有实数λ都是很好的定义≥ 0（参见，例如，【12，第78页】）。对于q≥ 0，过程X·的q-scale函数是[0]支持的唯一函数，∞), 通过Laplace transformZ定义∞e-λyW（q）（y）dy=ψ（λ）- q、 对于λ>Φ（q），（58）和Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φ（q）=sup{λ≥ 0：ψ（λ）=q}，使得ψ（Φ（q））=q，q≥ 0

众所周知，W（q）（·）在[0]上严格递增，∞), 并且在（0，∞) 如果X·的跳跃测度没有原子。假设ψ′（Φ（q））>0，即q>0或q=0，ψ′（0）>0，则为x→ ∞,我们有-Φ（q）xW（q）（x）→ 1/ψ′（Φ（q））。（59）此外，W（q）（0）=W（0）（0）=W（0）≥ 0，其中最后一个不等式变为等式当且仅当X·具有无界变差路径。如果W（q）在（0）上连续可微分，∞), 我们有w（q）′（0+）=σ、 如果σ>0∞, 如果σ=0且∏(-∞, 0) = ∞q+π(-∞, 0）γ，否则。（60）此外，已知，（例如，参见[12，引理8.2]和[7，等式（3.13）]）的证明），映射x 7→ W（q）′（x）/W（q）（x）在（0）上严格递减，∞), 使用limitlimx→∞W（q）′（x）W（q）（x）=Φ（q）。（61）参考文献【1】L.Alili和A.E.Kyprianou，《关于列维过程第一次通过的一些评论》，《美国放置和粘贴原则》，《应用概率年鉴》15（2005），第3期，2062–2080。MR2152253先生（2006b:6 0078）[2]J.Bertoin，《列维过程》，剑桥数学丛书，第121卷，剑桥大学出版社，剑桥，1996年。MR1406564先生（98e:60117）[3]R.Carmona和N.Touzi，《摆动期权的最优多重止损和估值》，MathematicalFinance 18（2008），第2期，239-268。[4] M.Ciss\'e、P.Patie和e.Tanr\'e，《一些马尔可夫过程的最优停止问题》，应用概率年鉴22（2012），第3期，1243-1265。[5] S.Dayanik，《随机贴现线性差异的最优停止》，运营数学研究33（2008），第3645-661号。MR2442645先生（2009i:60081）[6]G.Debarra，《测量理论与集成》，新时代国际（P）有限公司，1981年。[7] E.Egami，T.Leung和K.Yamazaki，《由谱负L'evy过程、随机过程及其应用驱动的违约掉期游戏》123（2013），第2期，347-384。MR MR3003355【8】R.K。

Getoor，《应用于具有独立增量的过程的马尔可夫过程的连续可加函数》，数学分析与应用杂志13（1966），132–153。[9] 萧世荣、林永胜、姚永中，《对数凹奖励函数和阈值形式的最优停止规则》，概率电子杂志19（2014），第120期，1-18。[10] I.Karatzas和S.Shreve，《数学金融方法》，斯普林格出版社，1998年。[11] A.Kuznetsov、Andreas E.Kyprianou和V.Rivero，《光谱负过程的标度函数理论》，斯普林格《数学讲义》2061（2013），9 7–186。mr3014147当q=0时，我们抑制0标度函数的上标。[12] A.E.Kyprianou，《列维过程及其应用的介绍性选择》，Universitext，Springer Verlag，Ber lin，2006年。MR2250061先生（2008a:60003）[13]A.E.Kyprianou和B.A.Surya，关于Novikov Shiryaev连续时间最优跟踪问题，概率电子通信10（2005），第15期，146–154。[14] T.Leung，K.Yamazaki，a和H.Zhang，《光学多重停止的解析递归方法：加拿大化和相位类型拟合》，国际理论与应用金融杂志18（2015），第5期，15 50032。[15] ，L’evymodels下具有负贴现率和随机折射时间的最优多重停止，SIAM Journal on Control and Optimization 53（2015），第4期，2373–24 05。[16] V.Linetsky，《Step期权》，数学金融9（1999），第1期，55–9 6。[17] R.Loeffen，J.-F.Renaud和X.Zhou，《光谱负L'evy过程、随机过程及其应用的间隔至第一次通过时间的占用时间》，124（2014），第。3, 1408–1435. MR3148018【18】E.Morde cki先生，《列维过程的最优停止和永久期权》，金融与随机6（2002），473–493。

MR1932381先生（2003j:91059）[19]A.Novikov和A.N.Shiryaev，关于具有独立增量的过程的最优停止问题的解决方案，随机：国际概率与随机过程杂志s 79（2007），第3-4期，393–406。[20] N.Rodothenous和H.Zhang，《击败欧米茄时钟：光谱负L'evy模型下随机时间范围的最优s topping问题》，《应用概率年鉴》（2018），即将出版。[21]K.Sato，《列维过程和不可完全分割分布》，剑桥大学出版社，剑桥，1999年。【22】B.A.Surya，《解决由L'evy过程驱动的永久最优停止问题的方法》，随机：国际概率与随机过程杂志ses 79（2007），第3-4期，337-361。MR2308080先生（2008 e:60114）[23]K.Yamazaki，《频谱负L'evy模型中的收缩选项和最优多重停止》，应用数学和优化72（2014），第1期，147–185。【24】A.B.Zeghal和M.Mnif，《Levy模型中摆动期权的最优多重止损和估值》，国际理论与应用金融杂志9（2006），第8期，1267-1297。