具有瞬时价格影响的最优投资

2022-6-10 00:25:47

具有瞬时价格影响的最优投资Peter Bank*Moritz Voss+2018年4月23日摘要我们引入了一个价格影响模型，该模型解释了有限的市场深度、紧密性和弹性。其耦合的买卖价格动态导致了凸流动性成本。我们提供了一个非最优解的存在性，以解决在有限规划范围内，终端清算财富的期望效用最大化的经典问题。在特定情况下，当市场不确定性由带漂移的算术布朗运动产生，且投资者表现出恒定的风险厌恶时，我们证明了由此产生的奇异最优随机控制问题很容易退化为存在凸成本的最优无摩擦常数Merton投资组合的确定性最优跟踪问题。我们没有研究关联的Hamilton-Jacobi-Bellmann偏微分方程，而是利用凸分析和变分法技术，可以明确地构造解，并描述底层状态空间中动作和非动作区域的自由边界。正如预期的那样，考虑到初始买卖价差以及接近终点时应计头寸的最佳清算，最好向无摩擦默顿头寸交易。事实证明，这导致了一个关于最优持股可能轨迹的惊人丰富的现象学。数学学科分类（2010）：91G10、91G80、91B06、49K21、35R35JEL分类：G11、C61关键词：效用最大化、瞬时价格影响、奇异控制、凸分析、变分法、自由边界问题*柏林理工大学数学研究所，17街。Juni 13610623，德国柏林，电子邮件bank@math.tu-柏林。判定元件。

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2022-6-10 00:25:50

感谢EinsteinFoundation通过“博弈期权和有摩擦的市场”项目提供的财务支持。+加利福尼亚大学圣巴巴拉分校统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉93106-3110，美国，电子邮件voss@pstat.ucsb.edu.1引言通过在金融市场中动态交易风险资产，从终端财富中最大化预期效用的经典默顿问题【23】、【22】目前已在具有交易成本等市场摩擦的模型中得到深入研究和充分理解。我们参考MuhleKarbe等人最近的调查【25】了解概况。相比之下，对于非流动性市场模型中的效用最大化问题知之甚少，因为摩擦是由价格影响引起的：投资者以买价和卖价进行交易，而买价和卖价受其当前和过去交易的数量或速度的影响较大。在这些模型中，现有文献的绝大多数主要关注的是最优执行外源给予者的问题；参见g¨okay等人【14】和Gatheral及Schied【13】的调查。然而，对于更复杂的优化问题，如最优投资组合选择，到目前为止，最优策略的显式描述似乎还很难实现。

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2022-6-10 00:25:52

值得注意的是，在存在买卖价差和价格影响的情况下，有限时间范围内的最优投资问题就是这种情况，这种影响不是纯粹的暂时性或完全永久性的，而是暂时性的，因为投资者当前和过去的交易对执行价格的影响不会瞬间消失，而是以一定的弹性率持续并随时间衰减。目前关于非流动性金融市场中最优投资组合选择问题的大部分工作都集中在纯粹具有暂时性价格影响的模型上，即有限弹性、零买卖价差，并限制长期投资者，例如Guasoni和Weber[18]、[16]、[17]，具有恒定的风险规避，Forde等人[10]采用恒定绝对风险规避，G^arleanu和Pedersen[11]，[12]采用均值-方差偏好。在后一篇论文中，作者还考虑了有限的弹性。对于计划期限有限但仍仅面临暂时价格影响的投资者，Moreau等人[24]和Cay\'e等人[5]已获得渐近结果；参见Chandra和Papanicolaou【7】中的管道分析。在Kallsen和Muhle Karbe【20】中，或在Ekren和Muhle Karbe【9】中，在【11】的设置下，来自【24】的结果也被用作描述高弹性价格影响下渐近最优交易策略的基石。在上述所有引用的论文中，交易策略被认为是绝对连续的。在本文中，我们提出了一个价格影响模型，该模型超越了Obizhaeva和Wang[26]的块状限制订单模型，同时考虑了股票的买卖。

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2022-6-10 00:25:55

具体而言，我们的模型通过一个耦合的受控差异系统确定买卖价格，使我们有可能指定市场深度、紧密性和弹性：Kyle在开创性工作中确定的流动性的三个维度【21】。耦合的买价和卖价动态在交易策略上引发凸流动性成本，这些策略允许是单数的，并且包括非整数大宗交易，如【26】所示。事实上，我们的模型与Roch和Soner[28]中提出的模型密切相关，这是C,etin等人[6]引入的非流动市场模型方法的扩展，因为它还考虑了有限的弹性和买卖价差。与此相反，我们的模型通过相互逆转，而不是通过一些辅助参考价格过程，捕获了买卖价格的恢复。此外，我们的非流动性参数，即市场深度和弹性，保持不变，以保持可跟踪性。我们为相应的经典问题提供了一个最优解的存在性，该问题是在某个有限的规划期内，终端清算财富的期望效用最大化。在其最简单的版本中，我们的价格影响模型是Bachelier模型的非流动性变体，该模型具有凸流动性成本，该成本对代理人的交易活动征收。对于表现出恒定绝对风险厌恶的投资者，结果表明，由此产生的奇异最优随机控制问题很容易退化为凸成本存在下最优无摩擦买入并持有默顿投资组合的确定性最优跟踪问题。我们采用了凸分析方法，而不是解决由Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程引起的三维自由边界问题的更常见的动态规划方法。

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2022-6-10 00:25:58

根据convexcost泛函的（有限维）次梯度导出一阶条件，使我们能够通过变分法明确构建奇异控制问题的解决方案。因此，我们能够在基本的三维状态空间中分析描述买入、卖出和非交易区域的自由边界，以实现利差和风险资产持有相对于剩余到期时间的最优控制动态。我们的明确结果清楚地表明了最优策略必须在多个方面进行比较。正如Guasoni和Weber【18】、【16】、【17】、Forde等人【10】、G^arleanu和Pedersen【11】、【12】的工作所预期的那样，在考虑初始买卖价差和可用时间范围的情况下，向最佳无摩擦组合交易确实是最佳的。具体而言，由于在当前设置中清算成本高昂，优化器还必须在接近终端时间时以最佳方式平仓其应计头寸。事实证明，在这一基本的非流动性单身汉模型中，市场紧缩、最终弹性、预期头寸目标和最终期限内的最优清算之间的相互作用，使得最优持股的可能轨迹有了惊人丰富的现象学。在这方面，我们的优化问题与上述论文中考虑的有限期和零差价框架有很大不同。我们的发现还补充和扩展了Obizhaeva和Wang[26]在类似Bachelier类型背景下研究的最优订单执行问题的显式结果。与我们的论文关系最密切的是Soner和Vukelja[30]。

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2022-6-10 00:26:01

其中，作者采用了Roch和Soner[28]提出的模型，在Black-Scholes框架下，无需买卖价差，具有与风险资产价格成比例的恒定弹性和随机市场深度。利用动态规划原理和粘性解的概念，研究了具有有限规划期的CRRA投资者从最终清算财富中获得最大预期效用的问题。与我们的结果相比，他们更一般的框架付出的代价是，最优策略的表征只能通过离散时间近似格式在数值上实现。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了aprice冲击模型。第3节概述了在我们的模型中，终端清算财富的预期效用最大化问题，并在一般设置中提供了最优解的存在性。在市场不确定性由带漂移的算术布朗运动产生且投资者表现出常数绝对风险厌恶的特定情况下，我们证明了最优奇异随机控制问题具有我们明确构造的确定性解。第4节介绍了这一点。技术证明推迟到第5.2节A价格影响模型我们定义了过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）满足正确连续性和完整性的通常条件，并考虑投资风险资产的投资者以不利的方式影响其市场价格。为了说明她的价格影响，我们提出了一种由Obizhaeva和Wang引入的块状限额订单模型的变体【26】。具体而言，投资者的交易策略由一对X=（X）来描述↑, 十、↓) 可预测的、非减量的、右连续过程，其中X↑= （十）↑t） t型≥0，X↓= （十）↓t） t型≥0分别表示截至时间t的风险资产累计买入和卖出≥ 0、设置X↑0-, 十、↓0-, 0

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2022-6-10 00:26:04

交易通过一个理想化的块状限价指令簿中的市场指令进行，价格为BX和AX的最佳出价和要价。它们的动力学被指定为以下受控微分耦合系统的解Daxt=dPt+ηdX↑t型-κ（AXt-- BXt公司-)dt，dBXt=dPt- ηdX↓t+κ（AXt-- BXt公司-)dt（t≥ 0），（1）给定参数η>0，κ>0，AX0-, A> 0和BX0-, B> 0。（1）中买卖价格动态的解释如下：过程ax和bx都是由一些常见的外生基本随机冲击dpt驱动的，由连续半鞅（Pt）t建模≥0初始值P0-, （A+B）/2。工艺（Pt）t≥0也可以被视为不受影响的价格过程。由于有限的市场深度1/η∈ (0, ∞)这可以解释为一个块状的限制指令簿的高度，abuy order dX↑t通过装载ηdX增加影响和最佳要价ax↑t其中，最佳投标价格BXis不受直接影响。在每次买入交易完成后，买卖价格以一定的弹性率κ>0相互回复。销售订单的影响dX↓吨最佳投标价格BXin（1）是类似的。请注意，价格影响是暂时的，不会瞬间消失，但会以有限的指数率κ持续并随时间衰减。为简单起见，我们假设两个非流动性参数，即瞬时价格影响系数η和弹性率κ都是常数。根据（1）中的买卖价格动态，买卖价差的受控演化ζXt，AXt- BxT由dζXt=η（dX）描述↑t+dX↓t）- κζXt-dt（t≥ 0）（2），初始值为ζX0-, ζ≥ 0和右侧连续溶液ζXt=e-κ（t-s）ζXs-+ ηZ[s，t]eκ（u-s）（dX↑u+dX↓u）(0 ≤ s≤ t）。（3）现在，让我们推导对应于交易策略X=（X）的投资者财富动态↑, 十、↓).

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2022-6-10 00:26:07

首先，我们将X与自我融资投资组合流程（ξXt，ДXt）t联系起来≥0具有一些给定的初始值（ξX0-, ^1X0-) ∈ RwhereξXt表示现金金额，而ДXt，ДX0表示现金金额-+ 十、↑t型- 十、↓t在时间t持有的风险资产股份数≥ 0、假设利率为零，自我融资条件规定现金余额ξ仅因交易活动X而交换，即我们假设dξXt=-AXt公司-+η十、↑t型dX公司↑t型+BXt公司--η十、↓t型dX公司↓t（t≥ 0）具有十、↑,↓t、 X个↑,↓t型-十、↑,↓t型-, 分别地观察有效的执行价格，例如，购买不一定是最小数量的dX↑t共享时间t由AXt给定-+ η十、↑t/2，其中η十、↑t/2说明了非最小订单产生的影响；参见，例如，Alfonsi等人【1】或Predoiuet等人【27】。类似的考虑也适用于销售订单。投资者在任何时候的总财富现在都以其当前投资组合的清算价值来表示。也就是说，我们定义了投资者的清算财富过程（Vt（X））t≥0与她的投资组合流程（ξX，ДX）相关，交易策略X=（X↑, 十、↓) 和初始捐赠（ξX0-, ^1X0-) ∈ RasVt（X），ξXt+（AXt+BXt）ДXt-ζXt |ДXt |+η（ДXt）（t≥ 0). （4）我们将初始值设置为V0-（十），ξX0-+ ^1X0-（A+B）/2- （ζ|ДX0-| +η（ДX0-))/2、注意，（4）中的清算价值Vt（X）分解为两部分：第一部分代表投资组合的账面价值ξXt+ДXt（AXt+BXt）/2，其中风险资产头寸的价值按照中间报价（AXt+BXt）/2进行衡量。第二部分ζXt |ДXt |/2+η（ДXt）/2说明了买卖价差ζXt所产生的相应清算成本，以及在一个单一区块交易中清算ДXt股份时的瞬时价格影响η。

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2022-6-10 00:26:10

下面的引理表明清算财富过程的动力学（Vt（X））t≥0in（4）可方便地分为普通无摩擦财富和非负凸成本函数。引理2.1。清算财富过程（Vt（X））t≥策略的0 X=（X↑, 十、↓) （4）中的定义允许分解vt（X）=V0-（十） +L0-（十） +ZtИXsdPs- Lt（X）（t）≥ 0）（5），其中（Lt（X））t≥0表示流动性成本定义为lt（X），4ηη|ДXt |+（ζXt- e-κtζ）+|^1Xt | e-κtζ+η（ДX0-)+Z[0，t]e-κsζ（dX↑s+dX↓s） +κ2ηZt（ζXs-- e-初始值为L0的κsζ）ds（6）-（十），ζ|ДX0-|/2+η（ДX0-)/2、特别是对于allt≥ 0函数Lt（X）在X中是凸的，满足Lt（X）≥ηe-2κt（X↑t+X↓t） +κη中兴通讯-2κs（X↑s+X↓s） ds公司≥ 0。（7）观察数量V0-（十） +L0-（十） =ξX0-+ ^1X0-P0-在（5）中，通过定义战略X的初始财富账面价值或初始无摩擦财富，以及初始捐赠（ξX0-, ^1X0-).备注2.2。1、与文献中在最优投资组合选择背景下使用的其他价格影响模型相比，我们在（1）中的价格影响取决于投资者在Obizhaeva和Wang[26]精神中的交易量，而不是像g^arleanu和Pedersen[11]、[12]或Forde等人[10]中那样取决于交易率。这些文件采用了Almgrenand Chriss[2]提出的纯暂时性价格影响。在Guasoni和Weber[18]、[16]、[17]中，临时价格影响不仅由交易率引起，还取决于投资者的总财富。我们的模型捕捉到了短暂的价格影响，这种影响只会随着时间逐渐衰减。因此，交易策略不再局限于绝对连续，而是包含非小型大宗交易。事实上，我们的建模方法类似于Roch和Soner[28]中提出的方法，其中作者考虑了市场深度和弹性率的更一般的随机动力学。

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2022-6-10 00:26:13

另一个不同之处是，我们的出价和要价（1）恢复为彼此的价格，而不是参考价格，如【28】所示。回顾一下，如David Norman[8]所述，比例交易成本在风险资产持有量中是线性的。在G^arleanu和Pedersen【11】、【12】或Guasoniand Weber【18】、【17】中考虑的绝对连续策略的交易率中呈线性的暂时价格影响会对后者产生二次流动性成本。Forde等人【10】、Guasoni和Weber【16】以及Cay’e等人【5】的作者考虑了非线性价格影响，这引入了当前交易成本对成交率分数幂的依赖性。在上述模型中，（1）中的价格影响在交易策略中仍然是线性的X=（X↑, 十、↓) 但是，由于绝对价值函数的出现，（6）中的诱导流动性成本在x中是凸的，而不是纯二次的。3最优投资问题我们考虑的是一个投资者，其目标是在第2节介绍的价格影响模型中进行最优交易。投资者的偏好由效用函数u:R描述→ C（R）中的R是严格凹的，从上面递增并有界。她希望通过遵循交易策略X=（X），在（4）中定义的某个有限规划期T>0时，最大化终端清算财富VT（X）的预期效用↑, 十、↓) 给定初始禀赋ξX0-, ξ∈ R现金和ДX0-, φ∈ R风险资产的股份。其相应的初始财富和相关清算成本由V，V0表示-（十）和L，L0-（十）对于某些给定的初始投标，askspreadζX0-= ζ≥ 0

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2022-6-10 00:26:16

换句话说，根据引理2.1，代理的目标是解决优化问题lemeu（VT（X））=EuV+L+ZTИXtdPt- LT（X）→ maxX=（X↑,十、↓)∈X（8）所有可接受的交易政策ESX，n（Xt）t≥0=（X↑t、 X个↓t） t型≥0：X↑, 十、↓正确的连续、可预测、非减损流程↑0-, 十、↓0-, 0度。（8）中的最大化问题存在最优策略的主要工具由以下有限变量过程的凸紧性结果给出。引理3.1（Guasoni[15]，引理3.4）。考虑一系列策略（Xn）n≥1. X使得conv（{X↑,nT+X↓,nT：n≥ 1} ）以内部为界(Ohm, F，P）。然后存在一个策略X∈ X和a序列（~Xn）n≥1.最终凸组合的X，即▄Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…）对于alln≥ 1，在[0，T]:limn上弱收敛到X→∞X↑,↓,nt（ω）=X↑,↓所有t的t（ω）∈ {十、↑,↓(ω) = 0} ∪ {T}，ω∈ Ohm. （9）另一个重要因素是清算财富VT（X）在X中的连续性∈ （5）中给出的X。引理3.2。设T>0，设（Xn）n≥1. X是一系列具有相同初始禀赋的策略（ξX0-, ^1X0-) = （ξ，Д）使Xn→ 十、∈ 在所有的[0，T]上X弱Ohm. 那么它就坚持认为→∞VT（Xn）=所有ω的点方向VT（X）∈ Ohm.因此，由于X中流动性成本函数LT（X）的凸性∈ X借助引理2.1，我们得到了（8）中优化问题的以下存在唯一性结果。定理3.3。存在唯一的策略^X=（^X↑,^X↓) ∈ X使eu（VT（^X））≥ 所有策略的Eu（VT（X））X=（X↑, 十、↓) ∈ 十、证据考虑一个最大化序列（Xn）n≥1. X使U*, supX公司∈XEu（VT（X））=limn→∞欧盟（VT（Xn））∈ (-∞, u型(∞)).我们可以假定序列（Xn）n≥1根据水平集L：={X∈ X：Eu（VT（X））≥ Eu（VT（0））=u（V+L）}。此外，由于下面的引理5.1，它认为conv（{X↑T+X↓T： X个∈五十} ）是L(Ohm, F，P）-有界。

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2022-6-10 00:26:20

因此，根据EMMA 3.1中的紧凑性结果，存在一个策略^X∈ X和a序列（~Xn）n≥1. Xof凸组合Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…）使a.s.～Xn→n在[0，T]上的^x弱↑ ∞. 我们认为^X是问题（8）的最优解。事实上，由于流动性成本是凸的，（￠Xn）n≥1又是一个最大化序列。具体而言，给定一定数量的严格正权重（λnm）m≥不，我们有≥Xm公司≥nλnmu（VT（Xm）），其中我们还使用了u的单调性和凹性。在上述不等式中取期望值并传递到极限，得到limn→∞Eu（VT（￠Xn））≥ u*.此外，通过引理3.2和Fatou引理中提供的清算财富的连续性，我们得到了u*≥ Eu（VT（^X））≥ E lim supn公司→∞u（VT（￠Xn））≥ lim支持→∞Eu（VT（￠Xn））≥ u*.优化器^X的唯一性源于效用函数u的严格凹性和流动性成本的凸性。4具有指数效用的非流动性Bachelier模型研究（8）中所述的终端清算财富的效用最大化问题，在特定情况下，当我们的价格影响模型（1）中的市场不确定性由漂移u>0且波动率σ>0的布朗运动生成时。也就是说，我们假设未受影响的价格过程（Pt）t≥0由P0给出-=（A+B），dPt=udt+σdWt（t≥ 0）（10），其中（Wt）t≥0表示给定过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。此外，我们假设反演者的偏好由指数效用函数u（x）=-e-αx（x∈ R）在绝对风险规避参数α>0的情况下。在此设置中，（8）中的优化问题变得- expn公司- αuZTхXtdt+σZTхXtdWt- LT（X）o→ maxX公司∈十、（11）注意，对于指数效用，（11）中的最优策略并不取决于投资者的初始无摩擦财富V+L。

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2022-6-10 00:26:23

根据定理3.3，（11）中的最大化问题存在唯一的最优解，对于任何时间范围T>0，初始位置ν∈ 风险资产中的R和任何初始买卖价差ζ≥ 0备注4.1（无摩擦情况）。文献中众所周知，在η=ζ=0的无摩擦情况下，即对于任何X，AX=BX=P in（1），LT（X）=0in（6）∈ X，最优策略^X=（^X0，↑,^X0，↓) 问题（11）（初始位置为Д=0）只是byd^X0给出的确定性买入并持有策略，↑t=uασδ（dt）和d^X0，↓t=μασδt（dt）（在[0，t]上）。这里，δ和δTdenote分别是0和T中的狄拉克测度。不同的是，风险资产中的最佳无摩擦持股量是恒定的，由所谓的默顿投资组合φt，μασ（0）给出≤ t型≤ T）（12）分别在时间0和时间T通过初始和最终大宗交易获得和解除。当考虑到我们设置中的非流动性摩擦，即有限市场深度引起的价格影响以及买卖价差造成的市场紧张时，直觉上可以预期以下情况：与直接实施（12）中所需的无摩擦默顿头寸不同，问题（11）的最佳摩擦组合将逐渐向后者交易。事实上，在存在价格影响η>0的情况下，问题（11）很容易转化为无摩擦最优投资组合头寸的确定性最优跟踪问题。提案4.2。对于给定的时间范围T>0，初始位置Д∈ R和初始扩展ζ≥ 0，则（11）中最大化问题的最优投资策略是确定性的，并且与凸成本函数的最小值jt（X），LT（X）+ασZT一致^1Xt-uασdt公司→ minX公司∈Xd（13），带Xd，{X∈ X:X=（X↑, 十、↓) 确定性}。证据我们给出了一个类似于Schied等人的论点。

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2022-6-10 00:26:26

[29]，但将其扩展到包括无限策略。为了便于标注，让我们定义成本函数JT（X），LT（X）- uZTДXtdt+ασZT（ДXt）dt=JT（X）-u2ασt对于所有X∈ X，让我们设置▄J*T、 infX公司∈XdJT（X）。接下来，让X∈ X besuch that Eu（VT）>-∞. 我们将在下面讨论，对于这样的X，密度dpxdp，E-ασZXtdWtT=经验值-ασZTИXtdWt-ασZT（ДXt）dt（14）在上诱导概率度量(Ohm, 英尺）。然后我们可以写下E=E-经验值-αZTИXtdPt+αLT（X）= EPX公司-经验值αLT（X）- αuZTДXtdt+ασZT（ДXt）dt= EPXh公司-eαИJT（X）i≤ -eαИJ*T、（15）等式对唯一确定性极小值X成立∈ XdofJT。因此，与（11）中的原始问题相对应的（15）中所有可容许策略X的右侧的最大化子实际上是由获得值J的确定性策略决定的*T、仍需验证（14）是否确实定义了概率度量PXforX∈ 带Eu的X（VT（X））>-∞, i、 e.，因此经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）< ∞. （16）这将通过验证Kazamaki的流程标准来实现，-αR.ДXtσdWt。为此，请首先注意，我们可以在不丧失一般性的情况下假设-= ^1T=0，以此类推，kXkT，X↑T+X↓坦普*T、支持∈[0，T]| Pt |，我们可以使用（7）来估计lt（X）-ZTхXtdPt=LT（X）+ZTPtdхXt≥ ckXkT公司- P*TXKT公司≥ckXkTon{P*T≤ ckXkT/2}对于c，ηe-2κT/4。用（16）和P*T∈ L（P）因此，kXkT∈ L（P），它保证了M的一致可积性经验值机器翻译= E经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）经验值-α（LT（X）-ZTИXtudt）≤ E经验值α（LT（X）-ZTИXtdPt）1/2·E经验值-α（LT（X）-ZTИXtudt）1/2< ∞,由于（16）和（7）的原因，这是有限的。因此，M确实满足Kazamaki的标准。备注4.3.1。

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2022-6-10 00:26:30

对于确定性策略X∈ XD在目前的非流动性Bachelier模型中，（5）中的清算财富VT（X）是正态分布的。因此，（11）中的最大化问题和（13）中的最小化问题等价于[VT（X）]-αvar（VT（X））=V+L+uZTхXtdt- LT（X）-ασZT（ДXt）dt，参见Schied等人【29】中的讨论。（13）中的最小化问题可被视为无摩擦默顿投资组合的确定性最优跟踪问题≡u/（ασ），以LT（·）衡量交易成本。也就是说，最优策略^X寻求最小化其持股量^X相对于（12）的首选恒定头寸^的平方偏差以及对其交易活动^X=（^X）征收的产生的流动性成本LT（^X↑,^X↓) 由于市场紧张和有限的市场深度。此外，在当前的设置中，清算成本很高。因此，除了向Д交易外，优化器还必须考虑在接近终端时间T.3时，以最佳方式平仓风险资产的应计头寸。（13）中的确定性最优跟踪问题类似于Bank等人[4]中研究的随机跟踪问题（参见Bank和Voss[3]，了解更一般的框架）。其中，作者研究了最小化L（Pdt）-投资组合过程与给定可预测随机目标过程的距离（ξt）0≤t型≤t阿尔姆格伦和克里斯[2]中所述的临时价格影响的存在。这意味着投资策略˙X被限制为绝对连续的，并且二次成本被征收到各个交易方˙˙X。过程（ξt）0≤t型≤t例如，从无摩擦环境中采用的最优investmentor对冲策略。

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2022-6-10 00:26:34

在（13）中的当前设置中，流动性成本LT（·）是由市场紧缩和短暂的价格影响引起的，a la Obizhaeva和Wang[26]允许策略是单一的。4.1一阶最优性条件由于命题4.2中极小化问题的目标函数JT（·）是凸的，可以利用凸分析和变分法的工具，根据有效的一阶条件得出最优解的特征。具体而言，让我们注意到，XD上的凸函数JT（·）由定义为%↑tJT（X），ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασ^1Xu-uασ杜邦+ζXT+η|ДXT|e-κ（T-t）（17）+ηИXT+符号%（ДXT）ζXT（0≤ t型≤ T）和%↓tJT（X），ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασuασ- ^1Xu杜邦+ζXT+η|ДXT|e-κ（T-t）（18）-ηхXT-符号%（ДXT）ζXT（0≤ t型≤ T）在下面引理4.5的意义上。备注4.4。地图x 7→ （17）和（18）中买卖次梯度定义中出现的符号%（x）表示绝对值函数x 7的次梯度→ |x |（参见第5节引理4.5的证明），因此允许使用任意值符号%（0），%∈ [-1，1]。在这种情况下，次梯度实际上是集值的。对值%的依赖性由运算符符号%中的左上标表示↑和%↓. 为了简化符号，我们只需编写↑, ↓除非有必要指定%的值，否则大多数情况下都会签署（·）。引理4.5。

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2022-6-10 00:26:38

对于任意两种策略X，Y∈ XD具有相同的初始位置ДY0-= ^1X0-和初始扩散ζ≥ 0和任何%∈ [-1，1]，wehaveJT（Y）-JT（X）≥Z[0，T]%↑tJT（X）（dY↑t型-dX公司↑t） +Z[0，t]%↓tJT（X）（dY↓t型-dX公司↓t）与%↑JT（X）和%↓JT（X）分别如（17）和（18）所定义。对于任何非减量、右连续过程Z和Z0-, 0，让我们进一步定义集合{dZ>0}，{t∈ [0，T]：Zt-< Zu对于所有u>t}（19），并观察到对于任何连续G=（Gt）0≤t型≤Twe haveZTGtdZt=Z{dZ>0}GtdZt。有了（17）和（18）中的次梯度，我们现在可以为命题4.2中所述的最小化问题制定充分的一阶最优性条件。命题4.6（一阶条件）。策略^X=（^X↑,^X↓) 如果以下条件成立，INXD将解决（13）中的优化问题：（i）↑tJT（^X）≥ 0表示所有t∈ 集合{d^X上带“=”的[0，T]↑> 0}，（ii）↓tJT（^X）≥ 0表示所有t∈ 集合{d^X上带“=”的[0，T]↓> 0}.如果Д^XT=0，则（i）和（ii）中的条件应保持%↑和%↓有一些%∈ [-1, 1].证据假设^X=（^X↑,^X↓) 满足条件（i）和（ii）（对于某些合适的%∈ [-1，1]如果Д^XT=0），则设Y∈ Xdbe是一种具有相同初始捐赠的任意竞争策略ДY0-= Д^X0-. 然后，根据上面的引理4.5，它认为jt（Y）- JT（^X）≥Z[0，T]%↑tJT（^X）dY↑t+Z[0，t]%↓tJT（^X）dY↓t型-Z[0，T]%↑tJT（^X）d^X↑t型-Z[0，T]%↓tJT（^X）d^X↓t、根据我们的假设（i）和（ii），右侧是非负的，而JT（Y）≥ JT（^X）。备注4.7。根据引理4.5，数量%↑tJT（X）和%↓（17）和（18）中的tJT（X）可被视为边际成本的下限，该边际成本分别由额外的最小购买订单和销售订单在t时产生，否则遵循策略X。

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2022-6-10 00:26:41

因此，满足命题4.6中一阶条件的最优策略^X的作用是使干预产生的额外边际成本始终为非负，并且仅在相应的边际成本为%↑tJT（^X）或%↓tJT（^X）消失。在这方面，观察到，粗略地说，时间t的（17）和（18）中的次梯度可以解释为评估未来时期【t，t】偏离目标u/（ασ）、产生的价差ζXas以及最终位置ДXT的大小之间的权衡。由于市场紧张，直觉上可以认为，满足命题4.6中一阶条件的最优策略永远不会同时购买和出售风险资产。事实上，这在我们的环境中是正确的，并且是次梯度结构的直接结果。引理4.8。对于任何策略X∈ Xd，X 6=（0，0），我们有{↑.JT（X）=0} {↓.JT（X）>0}和{↓.JT（X）=0} {↑.JT（X）>0}。备注4.9（动态规划原则）。注意，对于任何策略X=（X↑, 十、↓) ∈ xd时间t时（17）和（18）中函数JT（·）的次梯度∈ [0，T]仅取决于值ДXt-, 十、↑t型-, 十、↓t型-, ζXt-, 剩余到期时间T- t和战略的未来演变（Xu）t≤u≤T、这个特性加上问题（13）最优解的唯一性意味着动态规划原理（或所谓的Bellman最优性）在我们的环境中是正确的。具体而言，让^X∈ xd表示问题（13）的唯一最优策略，时间范围T>0，初始位置Д^X0-= φ ∈ R和初始排列ζ^X0-= ζ ≥ 0满足命题4.6中的初始条件。从现在起，我们将使用符号^XT，ζ，Д=（^XT，ζ，Д，↑,^XT，ζ，Д，↓) 强调最优控制对问题数据（T，ζ，Д）的依赖性。

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2022-6-10 00:26:44

然后对于任何0≤ 我们有这个策略-t、 ζ^Xt-,И^Xt-s、 ^XT，ζ，Дt+s-^XT，ζ，Дt-(0 ≤ s≤ T- t）对于问题（13）和问题数据（t- t、 ζ^Xt-, И^Xt-), i、 e.，时间范围T- t>0，初始排列ζ^Xt-≥ 0和初始位置Д^Xt-∈ R、事实上，请注意↑,↓sJT公司-t（^XT）-t、 ζ^Xt-,И^Xt-) = ↑,↓t+sJT（^XT，ζ，Д）（0≤ s≤ T- t）为true，表示^XT-t、 ζ^Xt-,И^Xt-满足命题4.6中的一阶条件，因此是最优的。4.2状态空间我们想要解决（13）中针对任何给定问题数据（T，ζ，Д）提出的优化问题，即对于任何时间范围T，初始利差ζ和风险资产的初始头寸Д。为此，让我们引入三维状态空间，{（τ，ζ，Д）：τ≥ 0, ζ ≥ 0, φ ∈ R} R（20），到期时间τ、价差ζ和股份数量Д。对于状态空间S中的任何三重或问题数据（τ，ζ，Д），我们希望确定相应的唯一最优策略^Xτ，ζ，Д，以及^Xτ，ζ，Д0-= Д和ζ^Xτ，ζ，Д0-= ζ，使（13）中的函数Jτ（·）对于时间范围τ最小化（在特殊情况下τ=0，参见下面的注释4.11）。更准确地说，我们想要描述最优控制系统（τ-t、 ζ^Xτ，ζ，Дt，Д^Xτ，ζ，Дt）0≤t型≤状态空间S中的τ。直觉上，命题4.6中提出的一阶最优性条件建议将状态空间S分为两个行动区域——买入区域和卖出区域——以及优化器^Xτ、ζ、Д的非行动或等待区域。粗略地说，取决于最佳控制三重态（τ-t、 ζ^Xτ，ζ，Дt，Д^Xτ，ζ，Дt）时间t∈ [0，τ]位于买入、卖出或等待区域，相应的最优策略^Xτ，ζ，Д分别在此时瞬间t买入、卖出或不做任何事情。

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2022-6-10 00:26:47

事实上，命题4.6、引理4.8以及备注4.9激发了对购买、出售和等待区域的以下定义。定义4.10（买入区、卖出区、等待区）。1、我们将购买区域定义为RBUY，n（τ，ζ，Д）∈ S：最优策略^Xτ，ζ，Д∈ XD满意度%↑Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0表示某些%和^Xτ，ζ，Д，↑> 0o（21）和购买区域的边界为Rbuy，n（τ，ζ，Д）∈ S：最优策略^Xτ，ζ，Д∈ XD满意度%↑Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0表示某些%和^Xτ，ζ，Д，↑= 0度。(22)2. 我们定义了销售区域asRsell，n（τ，ζ，Д）∈ S：最优策略^Xτ，ζ，Д∈ XD满意度%↓Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0表示某些%和^Xτ，ζ，Д，↓> 0o（23），销售区域边界为Rsell，n（τ，ζ，Д）∈ S：最优策略^Xτ，ζ，Д∈ XD满意度%↓Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0表示某些%和^Xτ，ζ，Д，↓= 0度。(24)3. 我们将等待区域定义为RWAIT，S \\（\'Rbuy∪\'Rsell）（25）其中\'Rbuy/sell，Rbuy/sell∪ 分别买入/卖出。备注4.11.1。引理4.8暗示Rbuy公司∩Rsell=. 此外，在定理4.12中可以清楚地看到，这些边界与拓扑线重合。2、通过定义（20）个问题数据或τ=0的三元组（0，ζ，Д），也可以定义为状态空间S。因此，我们必须找到一个约定，以确定如何将相关的最优策略^X0、ζ、Д与^X0、ζ、Д0相关联-= Д和ζ^X0，ζ，Д0-= ζ. 鉴于（17）和（18）中的次梯度，我们有%↑,↓J（^X0，ζ，Д）=（η|Д|+ζ）±ηД±符号%（Д）ζ。因此，如果Д>0，则认为↑J（^X0，ζ，Д）>0和↓J（^X0，ζ，Д）=0。因此，我们规定相关的最优策略^X0，ζ，Д由^X0，ζ，Д给出，↑, 0和^X0，ζ，Д，↓, ^1>0，即，通过单块卖出订单解除头寸。类似地，如果Д<0，我们有↑J（^X0，ζ，Д）=0和↓J（^X0，ζ，Д）>0，因此我们设置^X0，ζ，Д，↓, 0以及^X0、ζ、Д，↑= -^1>0，即最优策略通过执行单个大宗采购订单来清除其空头头寸。

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大多数88

2022-6-10 00:26:50

如果Д=0，我们有%↑,↓J（^X0，ζ，0）=ζ±%ζ≥ 0对于所有%∈ [-1, 1]. 我们的惯例是，相关的最优策略简单定义为^X0，ζ，0，（0，0）。3、注意我们的约定在2）连同备注4.9中的动态规划原则，任何在风险资产中最终位置为^Xτ，ζ，Д6=0的最优策略^Xτ，ζ，Д实际上以单个区块顺序解除其剩余股份。4.3主要结果主要结果是对购买和销售区域的明确描述。购买和销售区域位于定义4.10中定义的状态空间中。具体来说，自由边界Rbuyand公司RSELL可以解析地描述为两个自由边界函数（τ，ζ）的图7→ φbuy（τ，ζ）和（τ，ζ）7→ φsell（τ，ζ）定义于到期时间和利差域[0+∞). 第5节将证明本节中的所有结果。定理4.12。对于下文（66）和（90）–（94）中定义的两个函数φbuy（τ，ζ）<φsell（τ，ζ）（26），我们将其设为{（τ，ζ，Д）∈ S：φ>φsell（τ，ζ）}，（27）Rsell={（τ，ζ，Д）∈ S：Д=φsell（τ，ζ）}（28）以及rbuy={（τ，ζ，Д）∈ S：Д<φbuy（τ，ζ）}，（29）Rbuy={（τ，ζ，Д）∈ S：Д=φbuy（τ，ζ）}。（30）特别是，它认为rwait={（τ，ζ，Д）∈ S：φ买（τ，ζ）<φ卖（τ，ζ）}，（31）Rwait=Rbuy公司∪ Rsell公司。（32）事实上，从（21）、（23）和（25）中购买、出售和等待区域的定义以及备注4.9中的动态规划原则，可以很容易地推断出Rbuy、Rsell或RWAIT中具有初始问题数据（τ、ζ、Д）的最优策略的行为。备注4.13.1。

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2022-6-10 00:26:53

对于每个问题数据（τ、ζ、Д）∈ Rsell，即从定理4.12的（27）来看，φ>φsell（τ，ζ），它源自Rselland的定义Rsellin（23）和（24）认为，最优策略^Xτ，ζ，Д将实际“跳跃”，初始脉冲块销售订单大小为^Xτ，ζ，Д，↓= x个↓> 0满足方程式Д- x个↓= φsell（τ，ζ+ηx↓) （33）到三重态（τ，ζ+ηx↓, φ - x个↓) 属于Rsellby virtueof（28）。此后，它与相应的最优策略^Xτ，ζ+ηX一致↓,φ-x个↓满足^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓,↓= 0符合定义瑞林（24）；参见下面定理4.12的证明。同样，对于每个问题数据（τ、ζ、Д）∈ Rbuy，即从定理4.12中的（29）来看，Д<φbuy（τ，ζ），最优策略^Xτ，ζ，Д将“跳跃”，初始脉冲块购买订单大小为^Xτ，ζ，Д，↑= x个↑> 0满足方程Д+x↑= φbuy（τ，ζ+ηx↑) （34）到三重态（τ，ζ+ηx↑, ^1+x↑) 在里面rBuy根据（30），然后将与相应的最优策略^Xτ，ζ+ηX一致↑,^1+x↑. Againit将保持^Xτ，ζ+ηX↑,^1+x↑,↑= 0符合定义Rbuyin（22）。2、对于任何问题数据（τ、ζ、Д）∈ Rwait，即φbuy（τ，ζ）<Д<φsell（τ，ζ）根据定理4.12中的（31），最优策略^Xτ，ζ，Д将保持有效，直到第一次∈ （0，τ）即φ=φsell（τ- t、 ζe-κt）（35）或Д=φbuy（τ- t、 ζe-κt）（36）成立。即三重态（τ- t、 ζe-κt，ν）属于Rsellor公司RBU分别为（28）和（30）。关于剩余时间间隔[τ-t、 τ]然后，最优策略与相应的最优策略^Xτ一致-t、 ζe-κt，Д。注意，^Xτ-t、 ζe-κt，Д，↓=^Xτ-t、 ζe-κt，Д，↑=由于（24）和（22）中分别定义了边界，因此0将为真。

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2022-6-10 00:26:56

对于（35）或（36）均不允许解决方案t的情况∈ （0，τ），最好始终保持不活动状态[0，τ]。回顾一下备注4.11，2中的惯例。）风险资产中的任何非零最终头寸将通过单一大宗交易解除。根据备注4.13，有必要描述所有优化策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) 具有属于边界的初始问题数据（τ、ζ、Д）Rsellor公司Rbuy。接下来的两个推论总结了如何显式计算这些策略。推论4.14（销售边界）。Let（τ，ζ，Д）∈ Rsell公司。那么我们有{d^Xτ，ζ，Д，↓> 0} = [0, τ]. 最优持股量Д^Xτ，ζ，Д和利差动态ζ^Xτ，ζ，Д满足ДXτ，ζ，Дt=φsell（τ- t、 ζ^Xτ，ζ，Дt）（0≤ t型≤ τ ). （37）尤其是，Д^Xτ，ζ，Д解出二阶ODE¨Д^Xτ，ζ，Дt=βД^Xτ，ζ，Дt-uασ（38）在（0，τ）上，初始条件为Д^Xτ，ζ，Д=Д，˙^Xτ，ζ，Д=β（c-(τ, ζ, φ) - c+（τ，ζ，Д）），（39），其中β，κλ/pλ+κη和c±（τ，ζ，Д）如（82）所示。备注4.15。注意，如果ζ=u=0，则注释4.13 1中描述的最佳策略。）以及推论4.14和备注4.11 2中的约定。）符合Obizhaeva和Wang【26】中命题4计算的最优清算策略。对于购买边界，最优策略的描述变得更加复杂，因为必须根据初始价差的大小区分三种情况：推论4.16（购买边界）。Let（τ，ζ，Д）∈ Rbuy和让‘ζ、’Д、^ζbuy分别如（69）、（72）、（78）所示，以及τbuy、τwaitas definedin引理5.6和5.7.1所示。如果ζ>ζ购买（τ，2u/κ，0，0），那么我们有{d^Xτ，ζ，Д，↑> 0} = [0, τ].

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2022-6-10 00:27:00

最优持股量Д^Xτ，ζ，Д和利差动态ζ^Xτ，ζ，Д满足ДXτ，ζ，Дt=φ买入（τ- t、 ζ^Xτ，ζ，Дt）（0≤ t型≤ τ ).（40）换言之，Д^Xτ，ζ，Д解出二阶ODE–Д^Xτ，ζ，Дt=βД^Xτ，ζ，Дt-uασ（41）在（0，τ）上，初始条件为Д^Xτ，ζ，Д=Д，˙^Xτ，ζ，Д=β（c-(τ, -ζ, φ) - c+（τ，-ζ, φ)) . (42)2. 如果？ζ（τ）<ζ≤^ζ购买（τ，2u/κ，0，0），那么我们有{d^Xτ，ζ，Д，↑> 0}=[0，τbuy（τ，ζ）]与τbuy（τ，ζ）∈ （0，τ）.最优的共享条件Д^Xτ，ζ，Д和传播动力学ζ^Xτ，ζ，Д满足ДXτ，ζ，Дt=φbuy（τ- t、 ζ^Xτ，ζ，Дt）（0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ））。（43）在这种情况下，（41）中的ODE动力学满足于（0，τbuy（τ，ζ）），终端条件为^Xτ，ζ，Дτbuy（τ，ζ）=- τbuy（τ，ζ）），˙^Xτ，ζ，Дτbuy（τ，ζ）=ζ（τ- τbuy（τ，ζ））β/λ+φ(τ - τ购买（τ，ζ））- u/λβ/κ.(44)3. 如果0≤ ζ ≤(R)ζ（τ），然后是^Xτ，ζ，Д，↑≡ [0，τ]上的0。此外，在这两种情况下2。）和3。），如果τsell（τ，ζ），τ- τ购买（τ，ζ）- τwait（τ，ζ）>0，（45），那么它认为τsell（τ，ζ），ζ^Xτ，ζ，Дτbuy（τ，ζ）+τwait（τ，ζ），ИXτ，ζ，Дτbuy（τ，ζ）+τwait（τ，ζ）∈ Rsell公司。（46）备注4.17。请注意，除了可能的初始和最终单一大宗交易（回顾备注4.11、2）和4.13），最优策略的持股证明是绝对连续的。这与Obizhaeva和Wang[26]中计算的最佳执行策略一致。在稳定买入或卖出期间，最优持股的动态由（38）和（41）中相同的二阶常微分方程规定。事实上，满足相应边界条件的ODE分别迫使买入次梯度或卖出次梯度消失，这符合命题4.6中的一阶最优性条件。还要注意的是，当最优策略是持续买入或卖出时，最优控制三元组沿着状态空间S中买入或卖出区域的边界演化；查阅

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2022-6-10 00:27:03

（37）、（40）和（43）以及定理4.12.4.4说明让我们用一个数值例子来说明将三维状态空间S分离为定理4.12中描述的购买、等待和出售区域，以及推论4.14和4.16中描述的最优策略轨迹以及备注4.13。自由边界的Allexplicit表示Rbuyand公司Rsella以及所示的最佳策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) 见第5.3节。对于模型参数，我们只需选择κ=1，η=2，u=10，σ=1，α=1。图1：三维状态空间S与到期时间τ、价差ζ和股票数量Д。蓝色平面表示水平Д=u/（ασ）=10的默顿平面。购买区域的边界RBUY为绿色，是销售区域的边界R色为inred。图1显示了三维状态空间S与到期时间τ、价差ζ和股票数量Д的关系。蓝色平面表示水平Д=u/（ασ）=10的恒定最佳无摩擦默顿位置，以下称为默顿平面。红色上表面是销售区域的自由边界Rsellas在定理4.12中描述，即。，Rsell={（τ，ζ，Д）∈ S：Д=φsell（τ，ζ）}，φsell定义在（66）中。下绿色曲面表示购买区域的自由边界Rbuy，就是说，Rbuy={（τ，ζ，Д）∈ S：Д=φbuy（τ，ζ）}，φbuy定义在（90）–（94）中。请注意RBU实际上将其分解为七个部分（有关更多详细信息，请参阅第5.3.1节）。正如命题4.2中的优化问题作为恒定默顿投资组合的最优交易问题的公式所预期的那样，可以在图1中观察到购买区域的绿色边界Rbuy总是在默顿平面以下。

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2022-6-10 00:27:06

此外，至少对于大到期日τ和大初始价差值ζ，销售区域的红边界Rsellis位于默顿位置上方。然而，请注意，对于小到期日和小息差值ζ，它低于后者。也就是说，即使风险资产的头寸低于目标投资组合^1，短期内也会迫使优化器立即开始清算所持股份。回忆备注4.3 2。）这是因为清算很困难。因此，当终端时间接近时，最优控制还必须考虑解除应计位置。同样的解释也适用于购买边界的“平台”对于小型到期日和小型利差值，Rbuyat水平Д=0。换言之，从风险资产的空头头寸开始，面对一个较短的时间范围，即使在达到时间范围之前，也应该简单地清空空头头寸。从数学上讲，该平台的存在是由于（17）和（18）中的次梯度依赖于%∈ [-1，1]如果最佳终端位置Д^Xτ，ζ，Дτ等于零（详情再次参考第5.3.1节）。图2描述了不同问题数据（τ，ζ，Д）的一些最优持股量的演变∈ S作为到期时间τ的函数- twith 0≤ t型≤ τ. 图3给出了相应的扩散动力学ζ^Xτ、ζ、Д。

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2022-6-10 00:27:09

关联最优控制状态过程的轨迹（τ-t、 ζ^Xτ，ζ，Дt，Д^Xτ，ζ，Дt）0≤t型≤嵌入三维状态空间S中的τ如图4所示。红色政策类似于Obizhaeva和Wang[26]中针对风险规避投资者计算的最优清算策略，但非零012345τ-55101520φ图2：不同初始问题数据（τ，ζ，Д）的最优持股演变∈ S作为到期时间τ的函数- 带0的t≤ t型≤ τ.点代表风险资产的初始头寸。根据备注4.11，2）中的约定，所有策略最终都会通过冲动交易解除非零头寸。灰线表示默顿位置Д=10。但初始价差较小（回忆备注4.15）。请注意，轨迹始于出售区域RSELL，在Merton投资组合的风险资产中有一个初始头寸。因此，如备注4.13 1）所述，政策随着最初的大宗销售订单跳到销售区域的边界然后，Rselland通过出售推论4.14中所述的风险资产，继续稳定地向Mertonlevel^1交易。特别要注意的是，即使在达到目标默顿水平Д=10之后，该策略也会一直稳定销售到到期。如（37）所述（回忆alsoRemark 4.17），最优控制轨迹沿边界演化Rsell公司。最后，按照备注4.11 2）中的约定，剩余的股份通过一个整体出售订单进行清算。与红色政策类似，橙色政策的初始位置也高于默顿，但它伴随着较大的初始价差。因此，相应的问题数据（τ、ζ、Д）属于等待区域Rwait。

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