为了简化符号，让我们为所有t引入中间报价过程MXt，（AXt+BXt）/2≥ 0，初始值为mx0-, （A+B）/2=P0-. 应用（4）中的部件集成，如Jacod和Shiryaev【19】，定义I.4.45，yieldsdVt（X）=-（ζXt-+ η十、↑t） dX公司↑t型-（ζXt-+ η十、↓t） dX公司↓t+ДXt-dMXt公司- ηхXt-dхXt-ζXt-d |ДXt |+|ДXt-|dζXt+d[|ДX |，ζX]t,（47）根据[19]定理I.4.52，我们使用了[ДX，MX]=η[ДX，ДX]/2这一事实。此外，请注意，[19]中的命题I.4.49 a）意味着[|ДX |，ζX]t=R[0，t]ζXsd |ДXs |适用于所有t≥ 0，因为|ДX |是可预测的，ζXis是有限的变化。插入此项后，排列动态（2）以及中间引号dMXt=dPt+ηdX的动态↑t型-ηdX↓yieldsdVt（X）=хXt以上的锡（47）-dPt公司-ζXtd |ДXt |+κ|ДXt-|ζXt-dt公司-ζXt-+ η十、↑t+ηИXt-+ η|ДXt-|dX公司↑t型-ζXt-+ η十、↓t型- ηхXt-+ η|ДXt-|dX公司↓t（t≥ 0).（48）这促使确定清算成本功能Lt（X）asLt（X），L0-（十） +Z[0，t]ζXsd |ДXs |-κZ[0，t]|ДXs-|ζXs-ds+Z[0，t]ζXs-+ η十、↑s+ηДXs-+ η|ДXs-|dX公司↑s+Z[0，t]ζXs-+ η十、↓s- ηхXs-+ η|ДXs-|dX公司↓s（t）≥ 0）（49）带L0-（十） ，ζ|ДX0-|/2+η（ДX0-)/再次使用扩展动态in（2）我们可以编写-κ|ИXt-|ζXt-dt=|ДXt-|dζXt-η|ДXt |（dX↑t+dX↓t） 。在（49）中插入该表达式，得到usLt（X）=L0-（十） +Z[0，t]（ζXs）-+ η十、↑s） dX公司↑s+Z[0，t]（ζXs-+ η十、↓s） dX公司↓s+Z[0，t]ζXsd |ДXs |+Z[0，t]|ДXs-|dζXs+ηZ[0，t]ДXs-dхXs（t≥ 0).（50）同样，定义I.4.45中的部分集成允许我们编写[0，t]| Xs-|dζXs=|ДXt |ζXt-|^1X0-|ζX0--Z[0，t]ζXsd |ДXs |，（51）ηZ[0，t]ДXs-dхXs=η（^1Xt）- （ДX0-)- [ДX，ДX]t. （52）使用L0的定义将（51）和（52）插回（50）-（十） 以及[X↑,↓, 十、↑,↓]t=R[0，t]十、↑,↓sdX公司↑,↓对于所有t≥ 0（参见。

命题I。4.49 a）in【19】）最终屈服强度lt（X）=|ДXt |ζXt+η（хXt）+（хX0-)+Z[0，t]ζXs-（dX↑s+dX↓s） +η（[X↑, 十、↑]t+[X↓, 十、↓]t+2[X↑, 十、↓]t） （t≥ 0).（53）接下来，通过使用扩展ζXin（3）的显式表示并引入过程Yt，R[0，t]eκs（dX↑s+dX↓s） 对于所有t≥ 0我们得到z[0，t]ζXs-（dX↑s+dX↓s） =Z[0，t]e-κsζ（dX↑s+dX↓s） +ηe-2κtYt+κη中兴通讯-2κ系统-ds公司-ηZ[0，t]e-2κsd[Y，Y]s.（54）由于[19]，命题I.4.49，再次观察到我们得到了[Y，Y]s=e2κsd【X】↑, 十、↑]s+d[X↓, 十、↓]s+2d[X↑, 十、↓]s. （55）此外，它认为e-κtYt=（ζXt-e-所有t的κtζ）/η≥ 因此，使用该表示以及（54）中的（55），并将结果项插入（53）中，得到（6）中所需的流动性成本函数形式。最后，我们可以很容易地观察到，（6）中的函数Lt（X）对于每个t是凸X≥ 此外，使用较低的估计值ζXt- e-κtζ≥ηe-κt（X↑t+X↓t） 对于所有t≥ 0，我们得到Lt（X）的下界为claimedin（7）。为了在定理3.3的证明中应用引理3.1，我们需要以下引理。引理5.1。对于水平集L，{X∈ X：Eu（VT（X））≥ Eu（VT（0））}，conv（{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} ）是L(Ohm, F，P）-有界。证据首先，观察到由于流动性成本函数t（X）在X中的凸性∈ X借助引理2.1以及效用函数u的凹凸性和单调性，水平集是一个凸集。因此，它认为conv（{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} ）={X↑T+X↓T： X个∈ 五十} 。接下来，请注意，对于任何X∈ X（5）中给出的清算财富VT（X）可以从上面的VT（X）=V0界定-（十） +L0-（十） +ZTИXtdPt- LT（X）≤ ξX0-+ 2（ДX0-+ 十、↑T+X↓T） P*T- c（X↑T+X↓T） =ξX0-+c（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T+ 2хX0-P*T（56）带P*T、 最大值0≤s≤T | Ps |，在这里我们使用分部积分，半鞅（Pt）T≥0是连续的，下限为LT（X）≥c（X↑T+X↓T） 引理2.1，对于某些常数c>0。

从今以后，为了简化演示，让我们在不丧失一般性的情况下假设ξX0-= ^1X0-= 0以及u（0）=0。由于（56）中的上限，我们获得了所有X∈ l估计值[u（VT（0））]≤ E“uc（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T!#.因此，加上u从上方有界的事实，它必须适用于SUPX的负部分∈LE“uc（P*T）-√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T!-#< ∞.此外，由于u∈ C（R）是严格凹的，且其yieldsu（z）是递增的≤ u（0）+u（0）z=u（0）z，因此u（z）-≥ u（0）(-z） +适用于所有z∈ R、 weobtainsupX公司∈LE“√c（X↑T+X↓T）-√内容提供商*T-c（P*T） ！+\\<∞. （57）最后，观察L(Ohm, （57）中的F，P）-有界性意味着集合{X↑T+X↓T： X个∈ 五十} 以L为界(Ohm, F，P）。定理3.3证明的最后一个要素是X中流动财富VT（X）的连续性。引理3.2的证明。We fixω∈ Ohm. 通过Xnto-Xon[0，T]的弱收敛性，我们得到了ζXnt（ω）→ ζXt（ω），对于t=t和所有t∈ [0，T）这样十、↑t（ω）=十、↓t（ω）=0；参见展品的表示（3）。特别地，它认为ζXn·（ω）→ ζX·（ω）dt-a.e.在[0，T]上，因为X的跳跃次数↑（ω） ，X↓（ω） 是可数的。此时，ζXns（ω）在n和s中一致有界，因为Xns（ω）也是一致有界的。因此，通过支配收敛，我们可以得到任意ω∈ Ohm 那个limn→∞Rt公司ζXns（ω）- e-κsζds=RtζXs（ω）- e-κsζds。此外，我们很明显得到了νXnT（ω）→ ДXT（ω）。因此，参考（6）中流动性成本LT（Xn）的表示，我们可以得出limn→∞LT（Xn（ω））=LT（X（ω））。

接下来，关于（5）中的清算财富VT（Xn）与连续半鞅Pin有关的νxnw的托氏积分，在应用分部积分后，我们得到表达式ztДXtdPt=ДXTPT- ^1X0-P0--Z[0，T]Ps（dX↑s- dX公司↓s） =limn→∞^1XnTPT- ^1Xn0-P0--Z[0，T]Ps（dX↑,ns系列- dX公司↓,ns）= 画→∞所有ω的ZTДxNTDPTF∈ Ohm,这里我们再次使用了Xn（ω）w的弱收敛性-→ 对于所有ω，[0，T]上的X（ω）∈ Ohm 以及P的连续性。总之，我们得到了limn→∞VT（Xn）=所有ω的点方向VT（X）∈ Ohm 根据需要。5.2引理4.5和引理4.8的证明接下来，让我们计算（13）中给出的xd上凸成本泛函JT（·）的（17）和（18）中的有限维次梯度。引理4.5的证明。让我们定义偏差函数ldt（X），ασZT^1Xt-uασXd上的dt（58）。然后，（13）中的凸成本函数JT（·）可以写成JT（X）=LT（X）+DT（X）。我们将分三步进行。步骤1：让我们从计算（6）中给出的液体成本函数LT（·）的次梯度开始。观察任何X，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）我们得到了lt（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε=κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt+η|εДYT+（1- ε） ^1XT|- |ДXT |ε+ζXT |εИYT+（1- ε） ^1XT |- |^1XT |ε+ζYT- ζXT|εИYT+（1- ε） ДXT |+η（ζXT- e-κTζ）+Z[0，T]e-κtζ（dY↑t+dY↓t型- dX公司↑t型- dX公司↓t） +ε4η（ζYT- ζXT）+κ2ηZT（ζYt- ζXt）dt.（59）注意，我们有下限|εИYT+（1-ε） ^1XT|-|^1XT|≥ 2εИXT（ДYT-ДXT）和|εДYT+（1-ε） ^1XT|-|^1XT |≥ ε符号%（ДXT）（ДYT-^1XT），其中我们用x 7表示→ 符号%（x）函数的次梯度x 7→ |x |带符号%（0）=%∈ [-1, 1]; 参见备注4.4。将这些下限插入（59）并传递到极限ε↓ 0 yieldslimε↓0LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε≥κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt+ηДXT+符号%（ДXT）ζXT（^1YT）- ^1XT）+|ДXT |+η（ζXT- e-κTζ）·ζYT- ζXT+Z[0，T]ζe-κt（dY↑t型- dX公司↑t+dY↓t型- dX公司↓t） 。（60）接下来，让我们将（60）中的每一项表示为关于它们的积分↑-十、↑或Y↓-十、↓.

使用（3）的利差ζYandζXas以及Fubini\'s定理，我们可以将（60）中的第一项改写为κηZT（ζXt- e-κtζ）（ζYt- ζXt）dt=κZ[0，T]ZTs（ζXt- e-κtζ）e-κ（t-s） dt公司（dY↑s- dX公司↑s） +κZ[0，T]ZTs（ζXt- e-κtζ）e-κ（t-s） dt公司（dY↓s- dX公司↓s） 。此外，使用该ДYT- ^1XT=R[0，T]（dY↑s- dX公司↑s）-R[0，T]（dY↓s- dX公司↓s） 以及ζYT- ζXT=R[0，T]ηe-κ（T-s） （dY↑s- dX公司↑s） +R[0，T]ηe-κ（T-s） （dY↓s- dX公司↓s） 允许我们最终写入（60）aslimε↓0LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε≥Z[0，T]%↑sLT（X）（dY）↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]%↓sLT（X）（dY）↓s- dX公司↓s） ，（61）其中我们设置了%↑,↓sLT（X），κZTse-κ（t-s） ζXtdt+（η|ДXT |+ζXT）e-κ（T-s） ±ηДXT±符号%（ДXT）ζXT（0≤ s≤ T）。步骤2：现在让我们计算（58）中定义的偏差函数Ldt（·）的次梯度。同样，对于任何X，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）我们得到了dt（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=ασZT^1Xt-uασ（^1Yt）- ДXt）dt+εασZT（ДYt- 因此，结合Fubini定理，我们得出atlimε↓0DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=ασZ[0，T]ZTs公司^1Xt-uασdt公司（dY↑s- dX公司↑s） +ασZ[0，T]ZTs公司uασ- ^1Xtdt公司（dY↓s- dX公司↓s） 。因此，我们可以写mε↓0DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε=Z【0，T】↑sDT（X）（dY↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]↓sDT（X）（dY↓s- dX公司↓s） ，（62）我们设置的位置↑,↓sDT（X），±ασZTs^1Xt-uασdt（0≤ s≤ T）。（63）步骤3：最后，对于凸成本函数JT（·），我们得到了anyX，Y∈ XD带ИY0-= ^1X0-和任意ε∈ （0，1）下限jt（Y）- JT（X）≥JT（εY+（1- ε） X）- JT（X）ε=LT（εY+（1- ε） X）- LT（X）ε+DT（εY+（1- ε） X）- DT（X）ε。通过极限ε↓ 0与（61）和（62）JT（εY+（1）一起产生- ε） X）- JT（X）ε≥Z[0，T]（%↑sLT（X）+↑sDT（X））（dY↑s- dX公司↑s） +Z[0，T]（%↓sLT（X）+↓sDT（X））（dY↓s- dX公司↓s） ，其中我们注意到%↑,↓sJT（X）=%↑,↓sLT（X）+↑,↓所有s的sDT（X）∈ [0，T]根据需要。引理4.8的证明。对于策略X=（X↑, 十、↓) ∈ Xd，X 6=（0，0），lett∈ [0，T]是这样的↑tJT（X）=0。

使用定义↑（17）中的tJT（X）这等于身份-ηхXT-符号（ДXT）ζXT=ZTtκe-κ（u-t） ζXu+ασ^1Xu-uασ杜邦+η|ДXT |+ζXTe-κ（T-t） 。在定义↓tJT（X）in（18）收益率↓tJT（X）=2ZTtκe-κ（u-t） ζ徐都+η|ДXT |+ζXTe-κ（T-t） >0，因为X 6=（0，0）。当↑ 和↓互换。5.3第4.3节的证明在本节中，我们将证明我们的主要定理4.12以及推论4.14和4.16。我们首先介绍两个关键对象，即域[0]上的自由边界函数φbuy（τ，ζ）和φsell（τ，ζ）+∞).5.3.1生成函数φsell的自由边界函数很简单。回想一下λ=√ασ和β=κλ/pλ+κη。我们设置γ±，λ±pκη+λ（64），并表示c（τ），e-βτγ-+ eβτγ+e-βτγ-+ eβτγ+，D（τ），1-2κηe-βτγ-+ eβτγ+（τ≥ 0). （65）在域[0+∞), 自由边界函数（τ，ζ）7→ φsell（τ，ζ）将被定义为φsell（τ，ζ），μλD（τ）+ζκλC（τ）（τ≥ 0, ζ ≥ 0). （66）让我们注意以下容易检查的性质：引理5.2。对于所有τ，我们有φsell（τ，ζ）>0≥ 0, ζ ≥ 0，因为所有τ的1>D（τ）>0和C（τ）>0≥ 0、备注5.3。通过对函数φsellin（66）的定义的轻微滥用，该函数仅限于正半平面[0+∞), 对于ζ>0，我们还将使用符号φsell（τ，-ζ） 具有明显的意义φsell（τ，-ζ） ，uD（τ）/λ- ζκC（τ）/λ。与φsellin（66）相比，引入自由边界函数（τ，ζ）7→域[0]上的φbuy（τ，ζ）+∞)要复杂得多，需要几个辅助常数和函数。首先，让\'θ>0表示方程κ\'θ（2）的唯一严格正解- κ′θ）+2+κ′θ=0（67）且letθ∈ （0，’θ）表示方程κθ（κθ）的唯一解- 1) = 1.

（68）接下来，我们介绍映射τ7→ （(R)ζ（τ），(R)Д（τ））对于所有τ≥ 0通过？ζ（τ），s（τ-\'θ，\'θ），τ>\'θ，s（τ），θ<τ≤θ,2u/κ, 0 ≤ τ ≤ θ、 （69）带（τ，θ），u（1- D（τ））eκθλκC（τ）+κeκθ（1+e-κθ)κθ-1.-e-κθ(τ ≥ 0, θ ≥ 0），（70）s（τ），uηκτe-κτ+1+e-κτλκτ+κη（1+e-κτ)- λ（1+e）-κτ)(θ ≤ τ ≤θ、（71）和τ（τ），φsell（τ-\'θ，\'ζ（τ）e-κθ), τ >θ,φ(τ,ζ(τ)), θ < τ ≤θ,0, 0 ≤ τ ≤ θ、 （72）式中φ（τ，ζ），uτ-ζ（1+e-κτ）λτ+η（1+e-κτ)(τ ≥ 0, ζ ≥ 0). （73）我们进一步设置（τ），2uτ1+e-κτ(0 ≤ τ ≤ θ). （74）让我们提到，由于θsatifies（67），它在（70）中成立，即（τ-θ,θ) =u(1 - D（τ-(R)θ））eκPθλκC（τ-θ）+κeκθ（1- e-κθ)> 0 (τ >θ). （75）此外，直接计算表明φsell（τ-\'θ，\'ζ（τ）e-κθ) =uλ-κζ(τ)1 - e-κ′θλ（τ>’θ）（76）以及φ（τ，’ζ（τ））=uκτ- u（1+e-κτ）κλτ+κη（1+e-κτ)- λ（1+e）-κτ)(θ < τ ≤θ). （77）结果是τ7→ （τ、？ζ（τ）、？Д（τ））规定了嵌入自由边界的曲线Rbuyin状态空间S。下一个引理收集了一些关于（70），（71），（74）中分别产生的映射s，s，s的有用性质，以及这条曲线。在本文中，我们还参考了下面图5中的图示。引理5.4.1。我们有s（0）=0和s（θ）=2u/κ。此外，在区间（0，θ）上，映射τ7→ s（τ）严格递增。特别是，它认为（0，θ）上的s（τ）<2u/κ。我们有s（0，θ）=0和s（θ）=2u/κ以及s（0，θ）=s（°θ）。此外，在区间（θ，’θ）上，映射τ7→ s（0，τ）严格递增，映射τ7→ s（τ）急剧下降。特别是，它认为s（0，τ）<s（τ）（θ，’θ）上的s（τ）。3、映射τ7→ζ(τ), τ ≥ 0是连续的，在[0，θ]上浮动，在[θ]上严格递减+∞) 带limτ↑∞ζ(τ) = 0. 特别是，我们有2u/κ≥对于所有τ，ζ（τ）>0≥ 0.4. 映射τ7→ φ(τ ), τ ≥ 0是连续的，在[0，θ]上浮动，在[θ]上严格递增+∞) 带limτ↑∞φ(τ) = u/λ.

特别是，我们有0≤ 对于所有τ，(R)（τ）<u/λ≥ 0.证明。这些主张源于θ和θ分别满足方程（68）和（67）的事实，以及对τ映射的简单区分（还可以回忆一下（76）和（77）中的表示形式）。最后，观察limτ↑∞(R)ζ（τ）=0可以从（75）以及Limτ中推断出来↑∞(R)Д（τ）=u/λ来自（76）。接下来，让我们全面介绍τ≥ 0, ζ, φ ∈ R和0≤ θ ≤ τ映射^ζbuy（τ，ζ，Д，θ），ζηβ2λe-β(τ -θ） κ+β+eβ（τ-θ)κ - β-ηβκφ -uλsinh（β（τ- θ） ），（78）^И购买（τ，ζ，Д，θ），φ -uλcosh（β（τ- θ))-βκsinh（β（τ- θ))φ -uλ+κλζ+uλ（79）以及^ζsell（τ，ζ，Д，θ），ζe-κθ+ηe-κθβκ+βc+（τ，ζ，Д）（e（κ+β）θ- 1)+ββ - κc-（τ，ζ，Д）（e-(β-κ)θ- 1),（80）^Дsell（τ，ζ，Д，θ），- c+（τ，ζ，Д）eβθ- c-（τ，ζ，Д）e-βθ+μλ，（81），其中c±（τ，ζ，Д），κ（eβτγ(ηu - λ（ζ+ηД））+ηuγ±）λpκη+λ（eβτγ+- e-βτγ-). （82）事实上，简单的计算揭示了所有（τ，ζ，Д，τ）=ζ和（τ，ζ，Д，τ）=Д（83）的恒等式∈ S以及所有τ的^ζsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=ζ和^Иsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=φsell（τ，ζ）（84）≥ 0和ζ∈ R、 此外，为了简洁起见，我们省略了初等微积分，可以很容易地验证以下引理。引理5.5（单调性性质）。1、对于任意θ≥ 0，函数τ7→^ζ购买（τ，’ζ（θ），’Д（θ），θ），τ≥ θ、 连续且严格地随^ζ购买（θ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）=ζ（θ）增加。此外，对于任意两个0≤ θ<θ，函数在θ上不相交+∞).2、对于任何τ≥ 0，函数z 7→^ζ购买τ,ζ (τ - z） ，(R)（τ- z） ，τ- z,0≤ z≤ τ、 持续且严格增加。3、对于任意θ≥ 0，函数τ7→ ^Д买（τ，(R)ζ（θ），(R)Д（θ），θ），τ≥ θ、 随着^Дbuy（θ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）=Д（θ），连续且严格递减。4.

对于任意τ≥ 0, ζ ≥ 0，函数t 7→ [0，τ]上的φsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），t）是连续的，并且随着φsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=φsell（τ，ζ）而严格递减。5、对于任何τ≥ 0，ζ>0，函数t 7→ ^Дsell（τ，-ζ、 φsell（τ，-ζ） ，t）在[0，τ]上是连续的，并且严格地随^sell（τ，-ζ、 φsell（τ，-ζ） ，0）=φsell（τ，-ζ).如下所示，对于给定的问题数据（τ，ζ，Д），属于Rbuyor公司Rsell、最优持股量^Xτ、ζ、Д以及最优政策^Xτ、ζ、Д的最优控制利差动态ζXτ、ζ、Д将根据（78）至（81）中引入的映射给出。下面两个引理提供了另外两个重要的元素。引理5.6（购买期限）。对于给定对（τ，ζ）∈ [0, +∞)使得|ζ（τ）≤ ζ ≤^ζ购买（τ，(R)ζ（0），(R)（0），0），我们将τ购买（τ，ζ）定义为方程ζ=^ζ购买的唯一解τ,ζ (τ - τbuy（τ，ζ）），(R)（τ- τbuy（τ，ζ）），τ- τ购买（τ，ζ）. （85）特别是，它认为τ购买τ、 ^ζ购买（τ，(R)ζ（θ），(R)（θ），θ）= τ - θ (0 ≤ θ ≤ τ） （86）表示τbuy（τ，^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0））=τ，τbuy（τ，’ζ（τ））=0。Wefurther setτbuy（τ，ζ），（τ表示ζ>^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0），0表示0≤ ζ<ζ（τ），（87），因此τ购买（·，·）被定义为所有（τ，ζ）∈ [0, ∞)数值为[0，τ]。证据对于任意τ≥ 0考虑映射z 7→ Fτ（z），^ζ购买（τ，’ζ（τ- z） ，(R)（τ- z） ，τ- z） 带z∈ [0, τ]. 然后，Fτ（0）=ζ（τ），由于（83）以及Fτ（τ）=ζ购买τ,ζ (0) , φ (0) , 0. 此外，它来自引理5.5 2。）Fτ（z）是连续的，并且在[0，τ]上严格递增。因此，对于任何？ζ（τ）≤ ζ ≤^ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）存在唯一的τ购买（τ，ζ），z*∈[0，τ]使得ζ=Fτ（z*).引理5.7（等待时间）。

对于给定对（τ，ζ）∈ [0, ∞)使得τ≥θ和0≤ ζ ≤(R)ζ（τ），或θ≤ τ<θ和0≤ ζ ≤ s（0，τ），我们将τwait（τ，ζ）定义为方程ζ=s（τ）在（0，τ）中的唯一解- τwait（τ，ζ），τwait（τ，ζ））。（88）尤其是在τ的情况下≥\'θ我们有τwait（τ，\'ζ（τ））=\'θ，如果θ≤ τ<θ我们有τwait（τ，s（0，τ））=τ。我们进一步设置τwait（τ，ζ），θ表示τ≥θ和ζ（τ）<ζ≤^ζ购买（τ，’ζ（’θ），’Д（’θ），’θ），τ- τbuy（τ，ζ）在所有剩余情况下，（89），因此τwait（·，·）被定义为所有（τ，ζ）∈ [0, ∞)数值为[0，τ]。证据考虑任何τ≥ θ任意但固定的连续函数z 7→ Gτ（z），s（τ- z、 z）带z∈ [0，min{τ，'θ}]。元素计算表明，当Gτ（0）=s（τ，0）<0时，Gτ（z）在[0，min{τ，(R)θ}]上严格递增。此外，如果τ≥θ它认为，由于（69）中的定义，Gτ（(R)θ）=ζ（τ），如果θ≤ τ<θ它认为Gτ（τ）=s（0，τ）。因此，当τ≥θ方程（88）允许每0≤ ζ ≤(R)ζ（τ）aunique溶液τwait（τ，ζ）∈ （0，’θ）。类似地，当θ≤ τ<θ方程（88）允许每0≤ ζ ≤ s（0，τ）唯一解τwait（τ，ζ）∈ （0，τ）。我们现在准备引入第二个自由边界函数（τ，ζ）7→域[0]上的φbuy（τ，ζ）+∞). 对于给定τ≥ 0, ζ ≥ 0，我们区分以下情况：1。对于ζ>ζ买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）=ζ买（τ，2u/κ，0，0），我们设置φ买（τ，ζ），φ卖（τ，-ζ） （90）（66）中给出的φsellas以及备注5.3.2。对于？ζ（τ）<ζ≤^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0）我们设置φbuy（τ，ζ），^Дbuyτ,ζ(τ - τbuy（τ，ζ）），(R)（τ- τbuy（τ，ζ）），τ- τ购买（τ，ζ）（91）分别使用（79）和（85）中定义的^Иbuy和τbuy（τ，ζ）。3.

如果0≤ ζ ≤此外，如果τ≥θ，我们设置φbuy（τ，ζ），φsellτ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ）, （92）具有（88）中定义的τwait（τ，ζ）；（b） 此外，如果θ≤ τ<θ，我们设置φbuy（τ，ζ），（φ（τ，ζ）如果ζ>s（0，τ），φsellτ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ）如果0≤ ζ ≤ s（0，τ），（93），φ在（73）中给出，τwait（τ，ζ）在（88）中定义；（c） 此外，如果0≤ τ<θ，我们设置φbuy（τ，ζ），（如果ζ>s（τ），则为0，如果为0，则为φ（τ，ζ）≤ ζ ≤ s（τ），（94）和φ，分别在（73）和（74）中给出。请注意，连同引理5.4 1中的函数s、s、s的属性一起。）和2。），上述从（90）到（94）的情况完全决定了图（τ，ζ）7→ 域[0]上的φbuy（τ，ζ）+∞); （τ，ζ）-半平面的相应分区见图5。引理5.8。图（τ，ζ）7→ 从（90）到（94）定义的φbuy（τ，ζ）在[0+∞). 特别是，对于所有τ，我们有φbuy（τ，’ζ（τ））=’Д（τ）≥ 0.τζ2uκθ′θs（τ）s（τ）s（τ-\'θ，\'θ）s（0，τ）ζ买（τ，\'ζ（0），\'Д（0），0）ζ买（τ，\'ζ（θ），\'Д（θ），θ）ζ买（τ，\'ζ（\'θ），\'Д（\'θ），\'θ）II。1II。2II。3IIII。1III。2III。3图5：映射s（τ）的图示-\'\'θ，\'\'θ）在[\'\'θ+∞), s（0，τ）和s（τ）（在[θ，\'θ]上），s（τ）（在[0，θ]上）以及^ζ购买（τ，\'ζ（0），\'Д（0），0）（在[0+∞),^ζ购买（τ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）+∞) 和[°θ]上的^ζ购买（τ，’ζ（’θ），’Д（’θ），’θ）+∞) 在（τ，ζ）-半平面中作为τ的函数；参见引理5.4和引理5.5。粗绿色曲线表示地图τ7→τ的？ζ（τ）≥ 0; 参见定义（69）。证据考虑到函数φsell、^buy和φ的连续性，我们只需要检查φbuy沿[0]的划分边界的连续性+∞)由s，s，s描述。首先，在（93）中观察ζ=s（0，τ），τwait（τ，s（0，τ））=τ，由于引理5.7，因此φsell（τ-τ、 s（0，τ）e-κτ）=φ（τ，s（0，τ）），如引理5.4.4所述，通过（72）中的|Μ（τ）连续性成立。在（94）中，如果ζ=s（τ），通过定义φIn（73）和sin（74），我们得到φ（τ，s（τ））=0。

接下来，让ζ=^ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）in（91）。由于引理5.6，τbuy（τ，^ζbuy（τ，’ζ（0），’Д（0），0））=τ，一个简单的计算表明τ,ζ(0), φ(0), 0= φsell（τ，-^ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）），参见（90）。对于ζ=(R)ζ（τ）和τ≥根据引理5.7和5.6，我们得到了τwait（τ，’ζ（τ））=’θ和τbuy（τ，’ζ（τ））=0。因此，在（92）中，它认为φsell（τ-\'θ，\'ζ（τ）e-κ′θ）=Д（τ）=^Д购买τ,ζ(τ), φ(τ), τ根据（72）和（83）中的定义。类似地，对于ζ=’ζ（τ）和τ<’θ，我们再次获得τbuy（τ，’ζ（τ））=0的恒等式φ（τ，’ζ（τ））=’Д（τ）=^рbuy（τ，’ζ（τ），’Д（τ），τ）和0=’（τ）=^Иbuy（τ，’ζ（τ），’ζ（τ），τ（τ）（再次通过（72）中的定义和财产（83））。特别要注意的是，对于所有τ，φbuy（τ，’ζ（τ））=’Д（τ）≥ 0英寸（91）。5.3.2定理4.12和推论4.14和4.16的证明我们现在准备好证明我们的主要定理4.12以及推论4.14和4.16。我们的推理概要如下：首先，我们证明{（τ，ζ，Д）∈ S：Д=φsell（τ，ζ）} Rsell，（95）{（τ，ζ，Д）∈ S：φ>φsell（τ，ζ）} Rsell，（96）{（τ，ζ，Д）∈ S：φbuy（τ，ζ）=Д} Rbuy，（97）{（τ，ζ，Д）∈ S：φbuy（τ，ζ）>Д} Rbuy（98）成立。然后我们证明了（26）中的不等式，即[0]上的φsell（τ，ζ）>φbuy（τ，ζ）+∞)并认为{（τ，ζ，Д）∈ S：φ买（τ，ζ）<φ卖（τ，ζ）} Rwait。（99）事实上，因为对于所有（τ，ζ）∈ [0, +∞)两个曲面（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））和（τ，ζ，φsell（τ，ζ））将状态空间S分为三个不相交的区域，我们可以很容易地推断出等式在（95）到（99）的所有关系中都必须成立，并且Rwait=Rbuy公司∪ Rsellas在定理4.12中声称。步骤1：我们从销售区域的边界开始Rselland theclaim in（95）。证明这种关系成立的同时，也验证了推论4.14中的权利要求，其中描述了Rsell公司。

因此，let（τ，ζ，Д）∈ φ=φsell（τ，ζ），φsellas在（66）中引入。我们必须证明（τ，ζ，φsell（τ，ζ））属于（24）中定义了资源。为了证明这一点，我们主张相应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) ∈ 与问题数据（τ，ζ，Д）=（τ，ζ，φsell（τ，ζ））相关的xD由^Xτ，ζ，Д给出，↑t型≡ 0，^Xτ，ζ，Д，↓t=^1- ^Дsell（τ，ζ，Д，t）（0≤ t型≤ τ） （100）和（81）中定义的^Дsellas。首先，观察（100）立即产生^Xτ，ζ，Д，↓= φsell（τ，ζ）- 由于（84），φsell（τ，ζ，φsell（τ，ζ），0）=0。此外，它遵循引理5.5 4。）^Xτ，ζ，Д，↓in（100）严格递增，且{d^Xτ，ζ，Д，↓> 0} = [0, τ]. 显然，相应的战略持股量^Xτ，ζ，Д由^Xτ，ζ，Дt=^Иsell（τ，ζ，Д，t）（0）给出≤ t型≤ τ). （101）在（3）中的价差动态中插入（100），经过一些元素计算后，得出ζ^Xτ，ζ，Дt=^ζsell（τ，ζ，Д，t）（0≤ t型≤ τ） （102）和（80）中定义的^ζsellas。尤其是，（84）中的恒等式表示所需的Д^Xτ，ζ，Д=Д=φsell（τ，ζ）和ζ^Xτ，ζ，Д=ζ。鉴于（101）中股份持有量的明确表示，可以很容易地检查（38）中的二阶ODE和初始条件（39）是否满足。此外，使用（102）中相应的受控利差动态的表示，简单的计算表明（37）中所需的关系也成立。因此，借助引理5.2，我们可以推断出风险资产的最终头寸是严格正的，即：Д^Xτ，ζ，Дτ=φsell（0，ζ^Xτ，ζ，Дτ）>0。关于所声称的策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д）的最优性，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) 在（100）中，一个简单但繁琐的计算（为了简洁起见，我们省略了该计算）得出^Xτ，ζ，Д满足↓对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）=0∈ [0, τ]. 请注意，这里的次梯度不依赖于%。

因此，根据命题4.6中的一阶最优性条件以及引理4.8，我们得出^Xτ，ζ，Дin（100）是最优的。特别是，自↓Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0和^Xτ，ζ，Д，↓= 0，我们可以得出（τ，ζ，Д）=（τ，ζ，φsell（τ，ζ））属于（24）中定义了Rsella，推论4.14适用于这些三胞胎。步骤2：让我们继续（96）中关于sellingregion Rsell的索赔。我们认为，对于任何（τ，ζ，Д）∈ 当φ>φsell（τ，ζ）时，相应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) ∈ xd由^Xτ，ζ，^给出，↑t型≡ 0，^Xτ，ζ，Д，↓t=x↓+^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓,↓t（0≤ t型≤ τ），（103），其中x↓定义为asx↓,φ - φsell（τ，ζ）1+ηκλC（τ）=Д-uλD（τ）- ζκλC（τ）1+ηκλC（τ）>0。（104）的确，请注意，（104）意味着- x个↓= φsell（τ，ζ+ηx↓) 因此我们有（τ，ζ+ηx↓, φ - x个↓) ∈ 步骤1的RSELL，以及相应的最优策略^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓如上文（100）所述。回想一下，这意味着^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓,↓= 因此，通过（103）中的构造，它认为{d^Xτ，ζ，Д，↓> 0} = [0, τ]. 此外，根据（17）和（18）中对次梯度的定义，我们有%↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=%↑,↓tJτ（^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓) (0 ≤ t型≤ τ） 因为^Xτ，ζ，Дt=^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓tandζ^Xτ，ζ，Дt=ζ^Xτ，ζ+ηX↓,φ-x个↓t对于所有t∈ [0, τ].但这使我们可以推断，（103）中的策略是最优的，这得益于命题4.6中的一阶最优性条件以及策略^Xτ，ζ+ηX满足的事实↓,φ-x个↓如步骤1所示。具体而言，我们有↑tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0和↓对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）=0∈ [0，τ]（观察到次梯度与步骤1中的百分比无关）。连同^Xτ、ζ、Д，↓= x个↓> 0在（103）中，我们得出（τ，ζ，Д）属于Rsellas definedin（23）。步骤3：现在，我们讨论购买区域的边界Rbuy和（97）中的索赔。

因此，let（τ，ζ，Д）∈ 当（90）至（94）中引入φbuyas时，φ=φbuy（τ，ζ）成立。由于φbuy的定义取决于域的划分[0+∞), 我们必须分别考虑这些情况；参见图5。我们将与推论4.16 1）中的声明一起验证这一点，2）和3。），分别描述了相应的最优策略。情况1（图5中的第一部分）：首先，让ζ≥^ζ购买（τ，(R)ζ（0），(R)（0），0）。在这种情况下，我们有φ=φbuy（τ，ζ）=φsell（τ，-ζ） 鉴于（90）。为了证明（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））属于RBU如（22）所述，我们声称相应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) ∈ xd由^Xτ，ζ，^给出，↑t=^Дsell（τ，-ζ、 ^1，t）- Д，^Xτ，ζ，Д，↓t型≡ 0 (0 ≤ t型≤ τ） ，（105）与相关股份持有和利差动态^Xτ，ζ，^t=^И出售（τ，-ζ、 Д，t）和ζ^Xτ，ζ，Дt=-^ζsell（τ，-ζ、 ^1，t），分别适用于所有t∈ [0, τ]. 事实上，与上述步骤1非常相似的计算允许我们验证（105）中的策略^Xτ，ζ，Д是最优的，并且推论4.16 1中所述的所有断言。）对于三重态（τ，ζ，φsell（τ，-ζ)). 与步骤1一样，一个基本但冗长的计算表明↑tJτ（^Xτ，ζ，Д）≡ 0表示所有∈ [0, τ ]. 注意，此处次梯度不取决于%，因为Д^Xτ，ζ，Дτ=φsell（0，-ζ^Xτ，ζ，Дτ）<0，基于（40）和ζ^Xτ，ζ，Дτ>2u/κ的事实。由于^Xτ，ζ，Д，↑= （105）中的0，由于（84），我们可以得出结论（τ，ζ，φsell（τ，-ζ） ）属于Rbuyas定义于（22）。案例2：接下来，让我们考虑案例‘ζ（τ）<ζ<ζ买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）和‘让τ买（τ，ζ）’∈ （0，τ）定义见引理5.6，方程（85）。为了简化符号，我们设置τ*, τ - τbuy（τ，ζ），ζ*,ζ(τ*), φ*, φ(τ*). （106）考虑到φbuyin（91）的定义，因此我们有φ=φbuy（τ，ζ）=φbuy（τ，ζ*, φ*, τ*).

（107）表明（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））属于RBU如（22）所述，我们将明确说明相应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓)在Xd中。这将通过区分与初始数据τ和ζ有关的其他子情况来实现（见图5）。情况2.1（图5中的第II.1部分）：如果τ>θ和s（τ-？、θ）=ζ（τ）<ζ<ζ购买（τ、？（？）、？（？）、θ），引理5.5 1）和2。）τ购买（τ，ζ）<τ-θ和τ*>θ. 这意味着*> 0，因为引理5.4.4）。我们认为相应的最优策略如下：风险资产的累积购买量为^Xτ，ζ，Д，↑t=（^И购买（τ- t、 ζ*, φ*, τ*) - 如果0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ），Д*- 如果τbuy（τ，ζ）<t≤ τ、 （108）和（79）中定义的^Иbuyas。观察^Xτ，ζ，Д，↑= 0，由于假设（107）以及{d^Xτ，ζ，Д，↑> 0}=[0，τbuy（τ，ζ）），根据引理5.53。）。尤其是*> Д=^И购买（τ，ζ*, φ*, τ*). therisky资产的累计销售额为^Xτ、ζ、Д，↓t=（如果0，则为0≤ t<τbuy（τ，ζ）+θ，^Xτ*-θ,ζ*e-κθ,φ*,↓t型-τ购买（τ，ζ）-如果τbuy（τ，ζ）+θ，则为θ≤ t型≤ τ.（109）注意（τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) ∈ 步骤1导致的Rsell（110），因为*= φ(τ*) = φsell（τ*-θ, ζ*e-κ′θ）的定义，以及τ*>θ. 换句话说，^Xτ*-θ,ζ*e-κθ,φ*,↓·=φ*-^Дsell（τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*, ·) 表示[0，τ]上的最佳累计销售*-对于三重态（τ），如步骤1中的（100）所示*-θ, ζ*e-κθ, φ*) ∈ Rsell公司。特别是，它认为{d^Xτ，ζ，Д，↓> 0}=[τ买（τ，ζ）+θ，τ]。

策略的关联持股和利差动态^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓)（108）和（109）中的规定可以很容易地计算出来，并由Д^Xτ，ζ，Дt给出=购买（τ- t、 ζ*, φ*, τ*), 0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ），Д*, τbuy（τ，ζ）<t≤ τ买（τ，ζ）+θ，^Д卖τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*,t型- τ购买（τ，ζ）-θ, τbuy（τ，ζ）+θ<t≤ τ、 （111）和ζ^Xτ，ζ，Дt=^ζ购买（τ- t、 ζ*, φ*, τ*), 0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ），ζ*e-κ（t-τbuy（τ，ζ）），τbuy（τ，ζ）<t≤ τ买（τ，ζ）+θ，^ζ卖（τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*,t型- τ购买（τ，ζ）-θ），τbuy（τ，ζ）+θ<t≤ τ.（112）观察^Xτ，ζ，Дτbuy（τ，ζ）=Д*, ζ^Xτ，ζ，Дτ买（τ，ζ）=ζ*, Д^Xτ，ζ，Дτ买（τ，ζ）+θ=Д*, 和ζ^Xτ，ζ，Дτ买（τ，ζ）+θ=ζ*e-κ′θ根据（83），（84）。因此，回顾（110），它认为τ - τ购买（τ，ζ）-θ，ζ×τ，ζ，Дτ买（τ，ζ）+θ，Д×τ，ζ，Дτ买（τ，ζ）+θ∈ Rsell公司。（113）换句话说，参考推论4.16中的（45）和（46），我们得到τsell（τ，ζ）=τ- τ购买（τ，ζ）-θ = τ*-θ>0，τwait（τ，ζ）=θ（另请参见定义（89））。接下来，可以很容易地检查（41）中具有所需终端条件（44）的二阶ODE是否满足（111）中所述的^Xτ，ζ，Дon（0，τbuy（τ，ζ））。此外，（43）中的关系也成立。的确，尽管如此∈ [0，τbuy（τ，ζ）]它认为ζ^Xτ，ζ，Дt=^ζbuy（τ- t、 ζ*, φ*, τ*) ∈[ζ(τ -t） ，^ζ购买（τ-t、 (R)ζ（0），(R)（0），0）]以及τ购买（τ-t、 ^ζ购买（τ-t、 ζ*, φ*, τ*)) =τ - t型- τ*由于引理5.5 1。）和（86）。因此，根据φbuyin（91）的定义，我们得到φbuy（τ- t、 ζ^Xτ，ζ，Дt）=φbuy（τ- t、 ^ζ购买（τ-t、 ζ*, φ*, τ*)) = 购买（τ- t、 (R)ζ（τ*), φ(τ*), τ*) = Д^Xτ，ζ，Дt对于所有t∈ （0，τ购买（τ，ζ））根据需要。有人认为，（108）和（109）中规定的策略^Xτ、ζ、Д满足命题4.6中的一阶最优性条件，因此是最优的。根据备注4.9中的动态规划原则，这可以通过及时的反向推理来完成。

首先，时间间隔上策略的最优性[τbuy（τ，ζ）+θ，τ]遵循（113）和步骤1中的^Xτ，ζ，ν的构造。接下来，我们必须检查[τbuy（τ，ζ），τbuy（τ，ζ）+θ]上的出售和购买次梯度。观察到，根据该间隔上的^Xτ，ζ，Д的构造，由于以下事实：↓τbuy（τ，ζ）+θJτ（^Xτ，ζ，Д）=↓Jτ*-\'θ（^Xτ）*-θ,ζ*e-κθ,φ*) = 0，（114）我们用引理5.9 1获得。）对于所有t∈ [τbuy（τ，ζ），τbuy（τ，ζ）+θ]表达式↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=↑,↓t型-τbuy（τ，ζ）Jτ*（^Xτ*,ζ*,φ*)= ↑,↓Jτ-t（^Xτ-t、 ζ*e-κ（t-τbuy（τ，ζ）），Д*)= g级↑,↓（τ买（τ，ζ）+θ- t；τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*)= ±(λφ*- u）（τbuy（τ，ζ）+θ- t） +ζ*e-κτ*（eκ（τbuy（τ，ζ）+θ-t） ±1）+κ（e-κ（τbuy（τ，ζ）+θ-t） ±1）(-λφ*+ u +κζ*e-κ′θ），（115），其中我们使用了z[0，τ*-\'θ]e-κud^Xτ*-θ,ζ*e-κθ,φ*,↓u=ηκ(-λφ*+ u +κζ*e-κθ).注意，（114）表示g↓(0; τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) = 此外，可以很容易地检查θg↓(θ; τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*)|θ=0= 0. 因此，由于s 7的严格凸性→ g级↓(θ-sτ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) 在[0，θ]上，我们可以推断↓[τbuy（τ，ζ），τbuy（τ，ζ）+θ]上的tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0。类似地，关于buysubgradient，（114）意味着↑(0; τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) > 引理4.8导致0。此外，简单的代数运算表明，恒等式*=φ(τ*) （通过使用（76）中的表示）实际上意味着g↑(θ; τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) = 0和θg↑(θ; τ*-θ, ζ*e-κθ, φ*)|θ=θ= 0. 因此，利用s 7→ g级↑(θ - sτ*-θ, ζ*e-κθ, φ*) 在[0，\'θ]上是严格凸的，我们可以推断↑对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0∈ （τbuy（τ，ζ），τbuy（τ，ζ）+θ）。为了完成策略^Xτ，ζ，Д的最优性验证，我们需要检查↑对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）=0∈ [0，τ购买（τ，ζ）]。事实上，再一次简单而繁琐的代数运算表明这是正确的。

综上所述，从命题4.6中的一阶最优性条件可以看出，（108）和（109）中的^Xτ、ζ、Д是最优的。因此，我们可以得出如下结论：（τ，ζ，Д），其中Д=φbuy（τ，ζ）=φbuy（τ，ζ*, φ*, τ*) in（107）属于Rbuyas de finedin（22）及其推论4.16 2.）对这些三胞胎来说是正确的。情况2.2（图5中的第II.2部分）：接下来让我们考虑两种情况之一，其中τ≥\'θ和^ζ购买（τ，\'ζ（\'θ），\'Д（\'θ），\'θ）≤ ζ<^ζ购买（τ、？ζ（θ）、？Д（θ）、θ）或θ<τ<θ和s（τ）≤ ζ<^ζ购买（τ，’ζ（θ），’Д（θ），θ）。回想一下，我们仍然得到τ*, ζ*, φ*来自（106）以及（107）中的身份。但请注意，τ*∈ （θ，’θ]从引理5.5 1来看。）和2。）。在这两种考虑的情况下，我们声称最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) 如下所示：风险资产的累计购买量仍在上文（108）中规定为^Xτ，ζ，Д，↑= 0和{d^Xτ，ζ，Д，↓> 0}=[0，τ买入（τ，ζ））。相反，风险资产的累计卖出现在由^Xτ，ζ，Д给出，↓t型≡ 0on[0，τ]。因此，与（111）和（112）相比，相应的减持股份和利差动态简化为^Xτ，ζ，Дt=（^^购买（τ- t、 ζ*, φ*, τ*), 0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ），Д*, τbuy（τ，ζ）<t≤ τ、 （116）和ζ^Xτ，ζ，Дt=（^ζ购买（τ- t、 ζ*, φ*, τ*), 0≤ t型≤ τbuy（τ，ζ），ζ*e-κ（t-τbuy（τ，ζ）），τbuy（τ，ζ）<t≤ τ.（117）请注意，Д^Xτ，ζ，Дτ购买（τ，ζ）=Д*= φ(τ*) > 0（参见引理5.4.4）和ζ^Xτ，ζ，Дτ买（τ，ζ）=ζ*根据（83）。此外，根据（89）中的定义，我们得到了τwait（τ，ζ）=τ- 当前设置中的τbuy（τ，ζ）>0。因此，推论4.16中的τsell（τ，ζ）=0in（45），这与^Xτ，ζ，Д，↓≡ 0on[0，τ]。推论4.16 2中的所有其他断言。）可在步骤2.1中轻松检查。

接下来，上述步骤2.1中非常相似的参数允许我们通过命题4.6中的一阶条件验证策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑, 0）带^Xτ、ζ、Д，↑（108）中给出的是最佳的。首先，我们检查[τbuy（τ，ζ），τ]上的买卖次梯度。由于^Xτ，ζ，Д的构造，我们可以再次参考引理5.9 1。）（根据备注4.11 1中的约定，此处适用）并获得所有t∈ [τbuy（τ，ζ），τ]表达式↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=↑,↓t型-τbuy（τ，ζ）Jτ*（^Xτ*,ζ*,φ*)= ↑,↓Jτ-t（^Xτ-t、 ζ*e-κ（t-τbuy（τ，ζ）），Д*) = g级↑,↓(τ - t；0, ζ*e-κτ*, φ*)= ±(λφ*- u)(τ - t） +ζ*e-κτ*（eκ（τ-t） ±1）+ηД*（e）-κ(τ-t） ±1）（118）带↓τJτ（^Xτ，ζ，Д）=↓J（^X0，ζ*e-κτ,φ*) = g级↓(0; 0, ζ*e-κτ*, φ*) = 使用引理5.4中的单调性性质3。）和4。），它认为*≤ (R)Д（(R)θ）=φsell（0，(R)ζ（(R)θ）e-κ′θ）=2u+κ′ζ（(R)θ）e-κθ2λ+ κη<2u + κζ*e-κτ*2λ+κη，这意味着甘油三酯↓(τ - t；0, ζ*e-κτ*, φ*) < 0，因此↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0 fort∈ 关于buy次梯度，我们有↑τJτ（^Xτ，ζ，Д）=g↑(0; 0, ζ*e-κτ*, φ*) > 0.此外，使用以下事实：*= φ(τ*) 如（77）和ζ所示*=ζ(τ*) = s（τ*) 如（71）所示，可以验证g↑(τ*; 0, ζ*e-κτ*, φ*) =0以及θg↑(θ; 0, ζ*e-κτ*, φ*)|θ=τ*= 但这意味着↑对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0∈ （τbuy（τ，ζ），τ）因为t 7→ g级↑(τ*-t；0, ζ*e-κτ*, φ*) 是严格凸的[0，τ*]. 为了完成策略^Xτ，ζ，Д的最优性验证，如步骤2.1所示：↑对于所有t，tJτ（^Xτ，ζ，Д）=0∈ [0，τ购买（τ，ζ）]。因此，我们可以得出结论，（τ，ζ，Д）=（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））属于Rbuyas de finedin（22）。情况2.3（图5中的第II.3部分）：考虑两种情况中的下一种，其中θ≤ τ<θ和^ζ购买（τ，(R)ζ（θ），℃（θ），θ）≤ ζ<^ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0），或0<τ<θ和2u/κ≤ ζ<ζ购买（τ，’ζ（0），’Д（0），0）。

由于引理5.5 1。）和2），我们现在有τ*= τ -τ购买（τ，ζ）∈ （0，θ），表示ζ*=ζ(τ*) = 2u/κ和Д*= φ(τ*) = （106）中的0（回顾（69）和（72）中的定义）。在每种情况下，我们都声称最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓)如案例2.2所述，具有受控动力学（116）和（117）。因此，推论4.16中的所有断言2。）在当前设置中仍然成立，我们再次得到τsell（τ，ζ）=0 in（45）。最优性可以通过命题4.6中的一阶条件再次验证，其参数与步骤2.1和2.2中的参数类似。但请注意，Д^Xτ，ζ，Дτ=Д*= 0，也就是说，需要根据百分比选择适当的次梯度来检查一阶条件。因此，我们设置%*, eκτ*(κτ*-1). 观测值%*∈ (-1，1]自τ起*∈ （0，θ）（回想一下θ满足（68））。然后，构建^Xτ、ζ、Д和引理5.9 2。）[τbuy（τ，ζ），τ]上的买入和卖出次梯度由%*↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=%*↑,↓t型-τbuy（τ，ζ）Jτ*（^Xτ*,ζ*,φ*)=%*↑,↓Jτ-t（^Xτ-t、 ζ*e-κ（t-τbuy（τ，ζ）），Д*) = h类↑,↓(τ - t；ζ*e-κτ*, %*)= u(τ - t） +ζ*e-κτ*（eκ（τ-t） ±%*).（119）显然，%*↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）≥ 0开[τ买（τ，ζ），τ]。此外，它认为%*↑τbuy（τ，ζ）Jτ（^Xτ，ζ，Д）=h↑(τ*; ζ*e-κτ*, %*) = 0和θh↑(θ; ζ*e-κτ*, %*)|θ=τ*=0，表示%*↓由于映射t 7的严格凸性，tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0 on（τbuy（τ，ζ），τ→ h类↑(τ - t；ζ*e-κτ*, %*) 在[τ购买（τ，ζ），τ]上。关于区间[0，τbuy（τ，ζ）]，可以在步骤2.1和2.2中检查buy梯度是否消失。因此，^Xτ，ζ，Д是最佳的，我们可以得出结论，（τ，ζ，Д）=（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））属于Rbuyas定义于（22）。案例3：为了完成步骤3中关于购买区域边界的内容Rbuy和（97）中的索赔，我们必须解决案例0≤ ζ ≤ζ(τ).

这将与推论4.16 3）中的断言一起得到证明。关于φbuyin（92）、（93）和（94）的定义，我们必须再次进行定义分析。情况3.1（图5中的第III.1部分）：设τ≥θ和0≤ ζ ≤(R)ζ（τ）=s（τ-\'θ，\'θ），或θ<τ≤θ和0≤ ζ<s（0，τ）。考虑到（92）和（93）中的定义，我们有φ=φ买入（τ，ζ）=φ卖出（τ- τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ））>0（120），τwait（τ，ζ）∈ （0，τ）如（88）所定义。特别是，回想一下，这意味着ζ=s（τ- τwait（τ，ζ），τwait（τ，ζ））。在这两种情况下，我们认为最佳策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) 由^Xτ、ζ、Д给出，↑t=0（0≤ t型≤ τ） ，^Xτ，ζ，Д，↓t=（如果0，则为0≤ t<τwait（τ，ζ），^Xτ-τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д，↓t型-τwait（τ，ζ）如果τwait（τ，ζ）≤ t型≤ τ.（121）注意，（120）立即产生（τ- τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д）∈ 步骤1导致的Rsell（122）。即^Xτ-τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д，↓·表示[0，τ]上的最佳累计销售- τwait（τ，ζ）]，如（100）中给出的（122）中的三重态。因此，策略^Xτ，ζ，Д的相关持股和利差动态由^Xτ，ζ，Дt给出=φ, 0 ≤ t<τwait（τ，ζ），^Иsellτ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д，t- τwait（τ，ζ）, τwait（τ，ζ）≤ t型≤ τ、 （123）和ζ^Xτ，ζ，Дt=ζe-κt，0≤ t<τwait（τ，ζ），^ζsell（τ- τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д，t- τwait（τ，ζ）），τwait（τ，ζ）≤ t型≤ τ.（124）观察到（120）也意味着Д^Xτ，ζ，Дτ等待（τ，ζ）=Д和ζ^Xτ，ζ，Дτ等待（τ，ζ）=ζe-κτwait（τ，ζ），根据（83），（84）。此外，由于τbuyin（87）的定义，我们在当前设置中τbuy（τ，ζ）=0。因此，参考推论4.16中的（45）和（46），我们得到τsell（τ，ζ）=τ- τwait（τ，ζ）>0，这与上面的（122）、（123）和（124）一致。接下来，步骤1后面是策略^Xτ，ζ，Дon[τwait（τ，ζ），τ]的最优性。

此外，自↓τwait（τ，ζ）Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0，我们得到类似于（115）的关于[0，τwait（τ，ζ）]表达式的买卖次梯度↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=g↑,↓（τwait（τ，ζ）- t；τ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д）=±（λД）- u）（τwait（τ，ζ）- t） +ζe-κτwait（τ，ζ）（eκ（τwait（τ，ζ））-t） ±1）+κ（e-κ（τwait（τ，ζ）-t） ±1）(-λД+u+κζe-κτwait（τ，ζ））。事实上，通过步骤2.1中类似的凸性参数，我们得到↓间隔[0，τwait（τ，ζ）），以及↑tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0开（0，τ等待（τ，ζ）]。实际上，因为ζ=s（τ- τwait（τ，ζ），τwait（τ，ζ））和Д=φsell（τ- τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ）），可以计算↑Jτ（^Xτ，ζ，Д）=g↑（τwait（τ，ζ）；τ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д）=0和θg↑(θ; τ - τwait（τ，ζ），ζe-κτwait（τ，ζ），Д）|θ=τwait（τ，ζ）<0。因此，根据命题4.6中的一阶条件，可以得出^Xτ，ζ，Д是最优的。特别是，我们可以得出如下结论：（120）中给出的（τ，ζ，Д），其中Д=φbuy（τ，ζ），属于Rbuyas定义于（22）和推论4.16 3。）对这些三胞胎来说是正确的。案例3.2（图5第III.2部分）：案例θ≤ τ<θ和s（0，τ）<ζ≤(R)ζ（τ）=s（τ），或0≤ τ<θ和0≤ ζ<s（τ），我们现在有了φ=φbuy（τ，ζ）=φ（τ，ζ）=μτ-ζ（1+e-κτ）λτ+η（1+e-κτ）>0（125），这是由于（93）、（94）、（73）中的定义以及φ的单调性。在上述两种情况下，我们声称最优策略^Xτ，ζ，Д由^Xτ，ζ，Д给出，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓t=0表示所有t∈ [0, τ]. 因此，持股和利差的相应动态简化为И^Xτ，ζ，Дt=Д和ζ^Xτ，ζ，Дt=ζe-κt，t∈ [0, τ ].

请注意，由于（87）和（89）中的定义，τbuy（τ，ζ）=0和τwait（τ，ζ）=τ，从而得出（45）中的τsell（τ，ζ）=0。关于命题4.6的最优性证明，我们得到了[0，τ]上的买卖次梯度类似于（118）的表示↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）=g↑,↓(τ - t；0，ζe-κτ, φ)= ±(λφ - u)(τ - t） +ζe-κτ（eκ（τ-t） ±1）+ηД（e-κ(τ-t） ±1）。通过利用（125）中的恒等式和步骤2.2中类似的凸性参数，它认为↓[0，τ]上的tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0，以及↑tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0on（0，τ），带↑Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0。因此，我们可以得出如下结论：（125）中给出的（τ，ζ，Д），其中Д=φbuy（τ，ζ），属于Rbuyas定义于（22）和推论4.16 3。）对这些三胞胎来说是正确的。案例3.3（图5中的第III.3部分）：最后，案例0<τ<θ和s（τ）≤ζ ≤(R)ζ（τ）=2u/κ，由于（94），我们得到了Д=φbuy（τ，ζ）=0。与上述情况3.2一样，我们声称最优策略^Xτ，ζ，Д再次由^Xτ，ζ，Д给出，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓t=0表示所有t∈ [0，τ]，τsell（τ，ζ）=0 in（45）。可通过与上述步骤2.3类似的命题4.6检查最优性。实际上，由于Д^Xτ，ζ，Дτ=Д=0，我们设置%*, eκτ（2uτ/ζ- 1). 请注意%*∈ [-当前设置中的1，1]。接下来，模拟（119），我们得到[0，τ]上的买卖次梯度表示%*↑,↓tJτ（^Xτ，ζ，0）=h↑,↓(τ - t；ζe-κτ, %*) = u(τ -t） +ζe-κτ（eκ（τ-t） ±%*). 显然，它认为%*↓tJτ（^Xτ，ζ，0）≥ [0，τ]上的0。此外，我们有%*↑Jτ（^Xτ，ζ，0）=h↑（τ；ζe）-κτ, %*) = 0和th公司↑(τ -t；ζe-κτ, %*) > 0。但这意味着%*↓tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0 on（0，τ）。因此，我们得出^Xτ，ζ，Д是最优的，并且（τ，ζ，φbuy（τ，ζ））=（τ，ζ，0）属于Rbuyas在（22）中定义，并附有推论4.16 3。）对这些三胞胎来说是正确的。

这完成了步骤3和（97）中的权利要求证明。步骤4：关于（98）中针对购买区域Rbuy的索赔，原因与步骤2针对销售区域RSELL的相同。即，对于任何（τ，ζ，Д）∈ 当φ<φbuy（τ，ζ）时，对应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) ∈ Xdis实际上由^Xτ、ζ、Д给出，↑t=x↑+^Xτ，ζ+ηX↑,^1+x↑,↑t、 ^Xτ，ζ，Д，↓t=^Xτ，ζ+ηX↑,^1+x↑,↓t（126）表示所有t∈ [0，τ]，其中x↑> 0表示方程Д+x的唯一解↑= φbuy（τ，ζ+ηx↑). （127）注意，（127）表示（τ，ζ+ηx↑, ^1+x↑) ∈ RBU根据步骤3。因此，^Xτ，ζ+ηX↑,^1+x↑表示上述步骤3中所述的不同情况之一中规定的相应最优策略。然后，根据命题4.6中的一阶最优性条件以及它们被^Xτ、ζ+ηX满足的事实，如步骤2所示，对（126）中的策略进行优化↑,^1+x↑. 特别是，它认为↑Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0和^Xτ，ζ，Д，↑= x个↑> 0表示（τ，ζ，Д）属于Rbuyas definedin（21）。步骤5：我们现在认为不等式（26）成立，即[0]上的φsell（τ，ζ）>φbuy（τ，ζ）+∞). 观察到这实际上是从[0]上φsell（τ，ζ）>0的事实得出的+∞)（回想引理5.2），但例如φbuy（τ，(R)ζ（τ））=0表示所有τ∈ [0，θ]与（95）和（97）以及Rbuy公司∩ Rsell= （参见引理4.8）。第6步：剩下来证明（99）。我们将只简要说明论点。对于这一点，let（τ，ζ，Д）∈ 应确保φbuy（τ，ζ）<Д<φsell（τ，ζ）。很容易观察到连续映射t 7→ φsell（τ- t、 ζe-κt）在[0，τ]上递减。此外，还可以检查连续映射t 7→φbuy（τ-t、 ζe-对于那些t∈ [0，τ]使得ζe-κt≥ζ(τ -t） 也就是说，当φbuy如（90）或（91）所示时。

否则，如果ζ<ζ（τ），则认为映射t 7→ φbuy（τ- t、 ζe-κt）在[0，τ]上不增加。当φbuy如（92）、（93）或（94）所示给出时，就是这种情况。现在，可能会出现以下情况。情况6.1：Letζ≥ζ(τ). 如果存在最小t*∈ [0，τ）使得φ=φsell（τ- t型*, ζe-κt*) 或Д=φbuy（τ- t型*, ζe-κt*) 没错，我们声称相应的最优策略满足^Xτ，ζ，Д，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓t=0开[0，t*] 然后由^Xτ给出-t型*,ζe-κt*,^1t-t型*开[关]*, τ] 如上述步骤1或3所述（即推论4.14或推论4.16）。否则，我们得到^Xτ，ζ，ν，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓[0，τ]上的t=0。实际上，通过利用上述类似的凸性参数，可以推断↑,↓[0，t]上的tJτ（^Xτ，ζ，Д）>0*)和[0，τ）。这意味着通过注释4.9中的动态编程原则和命题4.6中的一阶条件，^Xτ，ζ，Д的最优性。此外，如果Д=φbuy（τ-t型*, ζe-κt*) 它必须保持ζe-κt*≥ζ(τ - t型*) （即φbuy由（90）或（91）给出），因为φbuy具有上述的单调性。情况6.2：设ζ<ζ（τ）。如果Д>φsell（0，ζe-κτ），存在一个最小的*∈ [0，τ），使得Д=φsell（τ- t型*, ζe-κt*) 这是真的。与案例6.1类似，可以验证相应的最优策略满足^Xτ，ζ，Д，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓t=0开[0，t*] 然后由^Xτ给出-t型*,ζe-κt*,^1t-t型*开[关]*, τ] 如步骤1所述。否则，我们有^Xτ，ζ，Д，↑t=^Xτ，ζ，Д，↓[0，τ]上的t=0。在情况6.1和情况6.2中，我们都得到了（τ，ζ，Д）∈ Rwaitas de finedin（25）。这完成了定理4.12、推论4.14和4.16的证明。下面的引理总结了定理4.12和推论4.16的证明中使用的一些简单结果。引理5.9。Let（τ，ζ，Д）∈ S，τ≥ 0，ζ>0，相应的最优策略^Xτ，ζ，Д=（^Xτ，ζ，Д，↑,^Xτ，ζ，Д，↓) ∈ 除息的。

对于任何θ>0，考虑问题数据（τ+θ，ζeκθ，Д）∈ S和策略Xτ+θ，ζeκθ，Дt，^Xτ，ζ，Дt-θ[θ，τ+θ]（t）（0≤ t型≤ τ+θ）（128）在xD中，使得ДXτ+θ，ζeκθ，Д0-= Д，ζXτ+θ，ζeκθ，Д0-= ζeκθ。1、假设%↓Jτ（^Xτ，ζ，Д）=0。然后我们有↑,↓(θ; τ, ζ, φ) ,%↑,↓Jτ+θ（Xτ+θ，ζeκθ，Д）=±（ασД）- u）θ+ζ（eκθ±1）+η|^Xτ，ζ，|τ（e-κ（τ+θ）±e-κτ）+η（e-κθ±1）Z[0，τ]e-κu（d^Xτ，ζ，Д，↑u+d^Xτ，ζ，Д，↓u） 。（129）映射θ7→ g级↑,↓（θ；τ，ζ，Д）在（0+∞).2、假设τ=Д=0。那么我们有↑,↓(θ; ζ, %) ,%↑,↓Jθ（Xθ，ζeκθ，0）=uθ +ζeκθ±%.（130）映射θ7→ h类↑,↓（θ；ζ，%）在（0+∞).证据1.）：我们只计算映射θ7→ g级↑（θ；τ，ζ，Д）in（129）。g的计算↓非常相似，因此省略。因此，let（τ，ζ，Д）∈S与相关的最优策略^Xτ，ζ，Д。我们必须计算策略Xτ+θ，ζeκθ，Дin（128）在0处的次梯度，即。，↑Jτ+θ（Xτ+θ，ζeκθ，Д）=g↑(θ; τ, ζ, φ). 为了便于记法，我们将为策略Xτ+θ，ζeκθ，Д写X，并用ДX，ζX表示[0，τ+θ]上的相应持股和利差动态。

通过定义购买分项指数（17），我们获得%↑Jτ+θ（X）=Zτ+θκe-κtζXtdt+Zτ+θθ（ασИXt- u）dt+κZθe-κtζXtdt+θ（ασ- uД）+（η|ДXτ+θ|+ζXτ+θ）e-κ（τ+θ）+ηДXτ+θ++符号%（ДXτ+θ）ζXτ+θ。（131）此外，它认为0=%↓Jτ（^Xτ，ζ，Д）=%↓θJτ+θ（X），它给出了识别τ+θθ（ασνXt- u）dt=Zτ+θθκe-κ（t-θ） ζXtdt+（η|ДXτ+θ|+ζXτ+θ）e-κτ-ηИXτ+θ-符号%（ДXτ+θ）ζXτ+θ。（132）将（132）插入（131）并使用ζXt=ζeκ（θ-t） 在[0，θ]上产生%↑Jτ+θ（X）=κ（1+eκθ）Zτ+θζXte-κtdt-ζ（e-κθ- eκθ）+θ（ασД）- u）+η|ДXτ+θ|（e-κτ+e-κ（τ+θ））+ζXτ+θ（e-κτ+e-κ(τ+θ)).（133）接下来，应用扩散动力学ζXt=ζe-κ（t-θ） +e-κ（t-θ） Z[θ，t]ηeκ（s-θ） （dX↑s+dX↓s） （θ≤ t型≤ τ+θ）（134）和富比尼定理，我们最终在（133）中得到了↑(θ; τ, ζ, φ) = (ασφ - u）θ+ζ（eκθ+1）+η|ДXτ+θ|（e-κ（τ+θ）+e-κτ）+η（1+e-κθ）Z[θ，τ+θ]eκ（θ-u） （dX↑u+dX↓u） 。观察到ДXτ+θ=ДXτ，ζ，Дτ和z[θ，τ+θ]eκ（θ-u） （dX↑u+dX↓u） =Z[0，τ]e-κu（d^Xτ，ζ，Д，↑u+d^Xτ，ζ，Д，↓u） 在（129）中得出所需结果。显然，地图g↑在θ中是连续的。此外，可以很容易地验证g的第二个导数↑关于θ是严格正的，这意味着θ7→ g级↑（θ；τ，ζ，Д）是严格凸的。2）Let（0，ζ，0）∈ 与相关的最优策略^X0，ζ，0=（0，0）（回忆备注4.11，2）。使用（17）和（18）中的定义，可以根据（130）中的要求，自由计算（128）中[0，θ]上策略Xθ，ζeκθ，0=（0，0）的买卖次梯度。映射h的严格凸性↑,↓如下1。）。参考文献[1]Aur\'elien Alfonsi、Antje Fruth和Alexander Schied。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。QuantitativeFinance，10（2）：143–1572010。内政部：10.1080/146976802595700。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[2] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3:5–392001年。[3] Peter Bank和Moritz Voss。

具有随机终端约束的线性二次型随机控制问题。《暹罗控制与优化杂志》，56（2）：672–6992018。内政部：10.1137/16M1104597。统一资源定位地址https://doi.org/10.1137/16M1104597.[4] Peter Bank、H.Mete Soner和Moritz Voss。具有暂时价格影响的套期保值。数学与金融经济学，11（2）：215–2392017。ISSN 1862-9660。内政部：10.1007/s11579-016-0178-4。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s11579-016-0178-4.[5] 托马斯·凯伊、马丁·赫尔德根和约翰内斯·穆勒·卡贝。交易具有较小的非线性价格影响。预印本，2017年11月。[6] Umut C,etin、Robert A.Jarrow和Philip Protter。流动性风险与风险定价理论。财务Stoch。，8(3):311–341, 2004. ISSN 09492984。[7] Shiva Chandra和Andrew Papanicolaou。阶-ε线性价格影响下效用最大化的奇异摄动展开。预印本，2017年10月。[8] M.H.A.戴维斯和A.诺曼。具有交易成本的投资组合选择。数学操作。Res.，15:676–7131990年。[9] 易卜拉欣·埃克伦和约翰内斯·穆勒·卡贝。具有小临时和暂时价格影响的投资组合选择。预印本，2018年3月。[10] Martin Forde、Marko Weber和Hongzhong Zhang。指数效用下具有瞬时线性和非线性价格影响的投资组合优化。预印本，2016年1月。[11] Nicolae G^arleanu和Lasse Heje Pedersen。具有可预测回报和交易成本的动态交易。《金融杂志》，68（6）：2309–23402013年。ISSN 1540-6261。内政部：10.1111/工作日。12080网址http://dx.doi.org/10.1111/jofi.12080.[12] Nicolae G^arleanu和Lasse Heje Pedersen。有摩擦的动态投资组合选择。《经济理论杂志》，165:487–5162016。ISSN 0022-0531。内政部：10.1016/j.jet。2016.06.001. 统一资源定位地址http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022053116300382.[13] 吉姆·盖瑟尔和亚历山大·希德。市场影响的动态模型和订单执行算法。

J.P.Fouke和J.Langsam，《系统性风险手册》编辑，第579-602页。剑桥大学出版社，剑桥，2013年。[14] Selim G–okay、Alexandre F.Roch和H.Mete Soner。连续和离散时间的流动性模型。Giulia Di Nunno和BerntOksendal，《金融高级数学方法》编辑，第333-365页。施普林格柏林海德堡，2011年。ISBN 978-3-642-18412-3。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-18412-3_13.[15] 保罗·瓜索尼。具有交易费用且无半鞅的最优投资。《应用概率年鉴》，12（4）：1227–1246，2002年11月。内政部：10.1214/aoap/1037125861。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1214/aoap/1037125861.[16] 保罗·瓜索尼和马克·韦伯。非线性价格影响和投资组合选择。预印本，2015年6月。[17] 保罗·瓜索尼和马克·韦伯。在相互价格影响下重新平衡多种资产。预印本，2016年12月。[18] 保罗·瓜索尼和马克·韦伯。动态交易量。《数学金融》，27（2）：313–3492017。ISSN 1467-9965。内政部：10.1111/百万。12099。URLhttp://dx.doi.org/10.1111/mafi.12099.[19] Jean Jacod和Albert N.Shiryaev。随机过程的极限定理，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理]第288卷。Springer Verlag，柏林，第二版，2003年。ISBN 3-540-43932-3。[20] Jan Kallsen和Johannes Muhle Karbe。块状订单簿的高弹性限制。预印本，2014年9月。[21]阿尔伯特·S·凯尔。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学》，53:1315–13351985。罗伯特·C·默顿。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。修订版。经济学。统计员。，第247-2571969页。罗伯特·C·默顿。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。J、 经济学。《理论》，3（4）：373–4131971年。ISSN0022-0531。【24】卢多维奇·莫罗（Ludovic Moreau）、约翰内斯·穆勒·卡贝（Johannes Muhle Karbe）和H.Mete Soner。