无模型超边缘对偶

2022-5-8 10:02:46

（1）我们采用以下设置和符号：letOhm 是一个抛光空间，F=B(Ohm) 是Borel-sigma代数；T∈ N、 I:={0，…，T}，S=（St）T∈上的Rd值随机过程(Ohm, F）代表d的价格过程∈ N资产；P是所有概率测度的集合(Ohm, F） )；FS:={FSt}t∈Ibe自然过滤和F:={Ft}t∈Ibe通用过滤，名称为ft:=\\P∈PFSt∨NPt，其中NPt={N A.∈ FSt | P（A）=0}；*电子邮件：matteo。burzoni@unimi.it，马可。frittelli@unimi.it，马可。maggis@unimi.itH是一类F-可预测的随机过程，其值以Rd表示，代表允许交易策略家族；（H·S）T:=PTt=1Pdj=1Hjt（Sjt）-Sjt-1） =PTt=1Ht·从采用策略H投资S到时间T的收益。我们表示M:={Q∈ P | S是Q}下的F-鞅，Pf:={Q∈ P | supp（Q）是有限的，Mf:=M∩ Pf，P的支持∈ P由supp（P）=T{C定义∈ F | C闭，P（C）=1}。M-极集合的族由N:={N给出 A.∈ F | Q（A）=0Q∈ M} 如果一个属性在极集合外成立，则称其为准肯定（q.s.）。我们通过了公约∞-∞ = -∞ 对于正负部分不可积的随机变量g。我们还假设所有t都存在一个计价资产St=1∈ I.无概率设置。在超边缘定理的陈述中，没有提及任何先验赋值的概率测度和M、H和H的概念Ohm*只取决于可测量的空间(Ohm, F）价格过程S。一般来说，M类不占主导地位。我们没有对S施加任何限制，以便它可以描述通用金融证券（例如，股票和/或期权）。然而，在定理1.1的框架内，Hof类可容许交易策略要求所有资产进行动态交易。

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大多数88

2022-5-8 10:02:50

在下面的定理1.2中，我们将这种设置扩展到在有限数量的期权上进行半静态交易的情况。如第4节所示，我们明确地表明，在每个可能路径上，支配未定权益g的最便宜投资组合的初始成本{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm} （2）可以严格大于supQ∈MEQ[g]，除非对g或市场施加了一些艺术假设。为了避免对导数类的这些限制，选择正确的路径集（即。Ohm*) 可以有效地使用超边缘策略的地方。在片场Ohm*. 在定理1.1中，（2）中的路径模型无关不等式被替换为仅涉及ω的不等式∈ Ohm 它们至少由一个鞅测度Q加权∈ M.在[BFM16]（另见命题3.1）中，证明了极大极集N的存在性*, 即一组N*∈ N包含任何其他集合N∈ N.此外Ohm*= （N）*)C.（3）不等式x+（H·S）T≥ gm-q.s.通过定义在任何M-极集合之外而成立，因此，由于（3），它等价于不等式x+（H·s）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm*, 这正好证明了定理1.1中的第一个等式。布景Ohm*可以通过一组具有有限支持度的鞅测度等价地确定（见命题3.1），这一性质被证明是几个证明的关键。我们强调，我们不会对离散时间财务模型做出任何特别假设，并注意到Ohm*只由S决定：事实上，集合M也可以写成M=Q∈ P | S是Q下的FS鞅.

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2022-5-8 10:02:53

本文的主要技术成果之一是该装置的可靠性Ohm*是一个分析集（命题5.5），因此我们的发现表明，研究这个问题的自然设置是(Ohm, S、 F，H）表示通用过滤（包含分析集），H表示可预测过程。我们还指出，我们可以用FSt分析集生成的子西格玛代数替换任何西格玛代数。关于模型独立套利和M 6=. 如果M= 然后Ohm*= 这个定理很简单，因为定理1.1等式中的每一项都等于-∞,前提是当M=.因此，在不丧失一般性的情况下，我们假设M 6=, 回想一下，这个条件可以在没有模型独立套利的情况下重新制定。独立套利模型包含一个交易策略H∈ H使得（H·S）T（ω）>0ω ∈ Ohm. 然而，如[BFM16]所示，无模型独立的H-套利不足以保证M 6=.事实上，我们需要更强的无模型独立套利条件，这是一类更广泛的F可预测随机过程，适用于适当的扩大过滤。因此，定理1.1中的非平凡陈述（即当M 6=) 关于无模型独立套利下的超边缘对偶。1.1期权和股票的半静态策略。我们现在考虑了在有限数量的期权中进行静态交易的可能性。让我们在前面的市场上加上Φ=（φ，…，φk）期权，它在时间T到期，并假设在不损失一般性的情况下，它们的初始成本为零。我们假设每个φjis是一个F-可测的随机变量。

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2022-5-8 10:02:58

定义hΦ：=Pkj=1hjφj，h∈ Rk，andMΦ：={Q∈ Mf | EQ[φj]=0j=1。。。，k} ={Q∈ Mf | EQ[hΦ]=0H∈ Rk}，（4）哪些是期权调整鞅测度，以及OhmΦ:= {ω ∈ Ohm | Q∈ MΦs.t.Q（ω）>0} Ohm*. （5）我们对每个Q都有定义∈ MΦ支持满足支持（Q） OhmΦ. 当πΦ（g）：=inf允许半静态策略时，我们定义了超级套期保值价格十、∈ R|（H，H）∈ H×Rk等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ.（6）利用定理1.1证明中使用的相同方法，我们将在第5.3节中，在假设MΦ={Q的情况下，获得半静态策略的超边对偶∈ Mf | supp（Q）OhmΦ}：定理1.2（带期权的超级套期保值）。让g：Ohm 7.→ R和φj：Ohm 7.→ R、 j=1。。。，k、可测随机变量。那么πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]。我们要感谢J.Ob loj和Z.Hou指出，这个假设对于定理1.2证明中使用的论点是必要的。我们将在即将发表的一篇论文（与J.Ob loj和Z.Hou合著）中表明，结果完全符合普遍性，放弃了这一假设。1.2与相关文献的比较。在参考概率固定的经典案例中，该课题最初由ElKaroui和Quenez[KQ95]研究；另见[Ka97]和[DS94]以及其中引用的参考文献。在[BN15]中，一个超边定理被证明是在一类非支配的priorsP′的情况下结果强烈依赖于两个技术假设：（i）状态空间Ohm 有产品结构，Ohm = OhmT、在哪里Ohm是一个固定的抛光空间和Ohm这是t型折叠产品空间；（ii）先验集P′也作为乘积测度P:=P的集合获得. . .其中，每个PTI都是某个随机类P′t的可测选择器 P(Ohm). P′t（ω）表示第t周期的一组可能模型，给定时间t的状态ω。

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2022-5-8 10:03:01

P′的一个基本要求是图（P′t）必须是Ohmt×P(Ohm). 这些假设对于应用可测选择和随机控制参数至关重要，这些参数导致了超边缘定理的证明。在我们的环境中，我们不会对状态空间施加限制Ohm 因此，对于P′=M，结果不能从[BN15]推导出来。此外，即使在Ohm = OhmT、鞅概率测度M的类别是由市场内生决定的，我们不要求它满足任何额外的限制。此外，用于推导我们版本的超边缘对偶定理的技术完全不同，因为它们依赖于[BFM16]的结果。注意，在特定的简单情况下Ohm := （Rd）通过[BFM16]中的规范过程，我们得到了Ohm*= Ohm 而且也没有M极集合。因此，我们得到了P-q.s.和M-q.s.等式之间的等价性。[BN15]的超边缘定理可以应用于P′=P，这两个结果是一致的。关于这一主题的文献越来越多，揭示了在没有任何先验特定概率测量集的情况下，超边缘问题的相关性。继[Ho98]关于稳健套期保值的开创性工作之后，该问题被研究为Skorokhod嵌入问题的一个特例（见[BHR01，CO11，Ho11]）。在最佳质量传输的框架下，对超边缘对偶性的重新表述在离散时间和连续时间内都产生了重要结果，如[BHLP13、DS13、DS15、GHLT14、HL0ST16、OH15、TT13]。[AB16，Ri15]中采用了不同的方法。在【Ri15】中，资产的连续性假设允许将问题嵌入线性规划框架中，并在单周期市场中获得所需的质量。

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kedemingshi

2022-5-8 10:03:05

在[AB16]中，从资产定价基本原理的一个独立于模型的版本中，他们推导出了以下超边缘对偶性（定理1.4[AB16]）十、∈ R|（H，H）∈ H×Rks。t、 x+（H·S）t（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm= supQ∈MΦEQ[g]。（7）他们假设一个离散时间市场，在路径空间上有一维正则过程Ohm = [0, ∞)Tand可用于静态交易的任意（但非空）期权集。[AB16]中的定理1.4依赖于两个额外的技术假设：（i）存在一个具有超线性增长和凸支付的选项；（ii）索赔的上半连续性。第4节中的例子表明，如果没有权利要求g的上半连续性，第（7）节中的二次性就失败了，它还指出，这是因为在整个空间上坚持超边缘化Ohm, 而不是通过相关的路径集Ohm*. 我们的结果适用于D维（不一定是规范的）过程，并且不需要存在任何选项。2聚合结果在本节中，我们研究当某些条件（如超边际或对冲）对所有Q∈ M、确保上相应路径条件的有效性Ohm*.对于任意sigma代数G和G-可测随机变量X和Y，如果所有ω的X（ω）>Y（ω），我们写ex>Y∈ Ohm. 当我们在一个可测量的集合上指定X>Y时 Ohm 这意味着X（ω）>Y（ω）适用于所有ω∈ A.X也是如此≥ Y和X=Y。我们回顾了经典套利机会的缺失，关于概率P∈ P、用na（P）表示。

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2022-5-8 10:03:09

我们开始(Ohm, G）：={f:Ohm → R | G-可测}，L(Ohm, G） +：={f∈ L(Ohm, G） |f≥ 0}.初始成本为零的可达到随机支付的线性空间由k:={（H·s）T给出∈ L(Ohm, F） |H∈ H} 。回想一下，支持鞅测度的事件集Ohm*定义在（1）中，并观察凸圆锥：={f∈ L(Ohm, F） |F≤ 继续Ohm*为了一些k∈ K} ，（8）C（Q）：={f∈ L(Ohm, F） |F≤ k Q-a.s.对于一些k∈ K} 。（9）都是通过C关联的 C（Q），如果Q∈ M.主要定理1.1依赖于以下基石命题，该命题将在第5节中得到证明，因为其证明需要几个技术参数。2.1的提议。让g∈ L(Ohm, F）定义π*（g）：=inf{x∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t≥ 继续Ohm*} （10） πQ（g）：=inf{x∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t≥ g Q-a.s.}。（11）然后π*（g） =supQ∈MfπQ（g）（12）C=\\Q∈MfC（Q）。（13）特别是，如果π*（g） <+∞ 最低限额为最低限额。推论2.2。让g∈ L(Ohm, F）还有x∈ R.如果每个Q∈ 有总部吗∈ H使得x+（HQ·S）T≥ GQ-a.s.然后存在H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）对于每个ω∈ Ohm*.证据假设g- 十、∈ C（Q）对于每个Q∈ Mf。从C=TQ∈MfC（Q）我们得到- 十、∈ C.推论2.3（完美对冲）。让g∈ L(Ohm, F）。如果每个Q∈ 有总部吗∈H、 xQ∈ 使得xQ+（HQ·S）T=gq-a.S，那么就存在H∈ H、 x∈ 每ωx+（H·S）T（ω）=g（ω）∈ Ohm*, 对于每个Q，xQ=x∈ Mf。证据首先请注意，根据假设，对于每个Q∈ 有总部吗∈ H、 xQ∈ 对于每一个ω，xQ+（HQ·S）T（ω）=g（ω）∈ 补充（Q）。我们首先证明xqd不依赖于q。假设存在Q，Q∈ 使xQ<xQ。每λ∈ （0,1）设置Qλ：=λQ+（1）-λ） Q∈ Mf。然后存在HQλ∈ H和xQλ∈ R使得每个ω的xQλ+（HQλ·S）T（ω）=g（ω）∈ supp（Qλ）=supp（Q）∪ 补充（Q）。

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2022-5-8 10:03:13

因此，对于每个ω，xQλ+（HQλ·S）T（ω）=g（ω）∈ supp（Qi），对于任何i=1，2，和NA（Qi），我们必须有xQλ=xi。因为每个ω的x+（HQ·S）T（ω）=g（ω）∈ 补充（Q）我们可以应用推论2.2，这意味着H的存在∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）onOhm*. 此外，x-x+（（H）-HQ）·S）T（ω）≥g（ω）- g（ω）对于每个ω∈ supp（Q）表示（（H）- HQ）·S）T（ω）≥ 每ω0∈ 补充（Q）。SinceNA（Q）持有，我们得出结论（（H）-HQ）·S）T（ω）=每ω0∈ 补充（Q）。因此对于每一个Q∈ Mfwe在supp（Q）上有x+（H·S）T（ω）=g（ω），因此本文遵循命题4.18[BFM16]（或命题3.1）。推论2.4（两极表征）。让C在（8）中定义。ThenC={g∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0Q∈ Mf}（14）证明。显然是C {g∈ L(Ohm, F） | ER[g]≤ 0R∈ Mf}=:eC。修正Q∈ 注意(Ohm, F、 Q）≡ L(Ohm, F、 Q）≡ L∞(Ohm, F、 Q），分别表示Q-a.s.有限、Q-可积和Q-a.s.有界F-可测随机变量在Ohm. 对于g∈ L(Ohm, F）我们用大写字母G表示相应的等价类G∈ L(Ohm, F、 Q）。也用L表示+(Ohm, F、 Q）L的Q-a.s.非负元素(Ohm, F、 Q）。K和C（Q）相对于Q-a.s.识别的商~Qare分别用kq表示：={K∈ L(Ohm, F、 Q）| K=（H·S）TQ- a、 s.，H∈ H} ，CQ:={G∈ L(Ohm, F、 Q）|K∈ KQsuch那G≤ K Q- a、 s.}=KQ- L+(Ohm, F、 Q）。现在我们可以遵循经典论点：凸锥CQ相对于Q是概率闭合的（参见[KS01]定理1）。作为Q∈ Mf，CQ也在L关闭(Ohm, F、 Q）因此：（CQ）={Z∈ L∞(Ohm, F、 Q）| E[ZG]≤ 0G∈ CQ} L∞(Ohm, F、 Q）∩ L+(Ohm, F、 Q）。注意，R<< Q和R∈ Mfif且仅当R<< Q和DRDQ∈ （CQ）。因此：（CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| E[ZG]≤ 0Z∈ （CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| ER[G]≤ 0R<< Q s.t.dRdQ∈ （CQ）=G∈ L(Ohm, F、 Q）| ER[G]≤ 0R<< Q s.t.R∈ Mf（15）让g∈欧共体。

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2022-5-8 10:03:17

根据（15）中的表征，相应的G属于（CQ）。根据双极性定理CQ=（CQ），因此G∈ CQ和g∈ C（Q）（如第（9）条所述）。因为这适用于任何Q∈ Mf，from C=TQ∈MfC（Q）（命题2.1）我们得出结论：∈ C.备注2.5。有人可能会问，双极对偶性（14）是否意味着C相对于某些拓扑是闭合的。为了回答这个问题，让我们介绍一下L(Ohm, F）以下等价关系：对于任何X，Y∈ L(Ohm, F） X~ Y当且仅当X（ω）- 对于某些k，Y（ω）=k（ω）∈ K和每ω∈ Ohm*.考虑商空间L(Ohm, F） =L(Ohm, F） /~, 用[X]表示L中的等价类(Ohm, F）以X为代表，设vf为Mf生成的向量空间。我们首先声明这对夫妇(Ohm, F），Vf）是双线性形式h·，·i:L下的分离双对(Ohm, F） ×Vf→ 定义人：h[X]，ui 7→ Eu[X]，对于任何X∈ [十] 。注意，形式h[X]，ui 7→ 对于所有k，Eu[X]适定为Eu[k]=0∈ 这对显然是双线性的。显然，如果u6=0，则存在ω∈ Ohm*使得u（{ω}）6=0，Eu[1ω]6=0。因此，我们已经证明h[X]，ui=0，forevery[X]意味着u=0。现在我们证明了h[X]，每ui=0意味着[X]=[0]。通过矛盾假设[X]6=[0]。根据假设，X不能以非零成本复制。注意如果X∈ [十] 在任何市场上都不是零成本吗(Ohm, F、 F，S；Q）对于任何可能的选择Q∈ 由此推论，2.3X对于每个ω都是路径可复制的∈ Ohm*, 或者换句话说：[X]=[0]。因此我们的假设[X]6=[0]意味着存在一个Q∈ 使市场(Ohm, F、 F，S；Q）是不完整的，所以我（Q）：={Q*~ Q | Q*∈ M} }6={Q}和X∈ [十] 在这样的市场上是不可复制的。

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2022-5-8 10:03:21

然后呢*∈我（Q）情商*[十] <supQ*∈我（Q）情商*[十] 。作为Q∈ MFA拥有有限的支持，我（Q）而且存在一个μ∈ 我（Q） vf使得eu[X]6=0，这是一个矛盾。现在我们得出结论，圆锥体C/~关于弱拓扑σ（L）是封闭的(Ohm, F），Vf）。事实上，我们从（14）中得到了/~= {[g]∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0Q∈ Mf}=\\Q∈Mf{[g]∈ L(Ohm, F） | EQ[g]≤ 0}是σ（L）的交点(Ohm, F），Vf）-闭集。3定理1.1的证明我们首先回顾[BFM16]集合的相关性质Ohm*这将需要在证据中多次出现。3.1提案（提案4.18[BFM16]）。在第1节所述的设置中，我们有M 6= <==> Ohm*6= <==> Mf6=Ohm*= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（ω）>0}。（16）补足Ohm*定理1.1的最大M极s et.证明如引言中所述，我们可以假设w.l.o.g.thatM 6=, 或相当于Mf6=. 由于M-q.s.不等式的定义以及Ohm*是最大M极集。第一步：这里我们展示inf{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm*} = supQ∈MfEQ[g]。首先请注意，前面等式的左侧可以改写为inf{x∈ R | g-十、∈ C} 。由推论2.4可知：inf{x∈ R | g- 十、∈ C} =inf{x∈ R | EQ[g- x]≤ 0Q∈ Mf}=inf{x∈ R | x≥ 等式[g]Q∈ Mf}=sup{EQ[g]|Q∈ Mf}。第2步：我们通过证明任何g∈ L(Ohm, F） supQ∈MEQ[g]=supQ∈MfEQ[g]，（17）我们通过公约的地方∞ - ∞ = -∞ 对于正负部分不可积的随机变量g。Set:m:=supQ∈MEQ[g]，l:=supQ∈MfEQ[克]。显然我们有≤ 所以我们只需要证明逆不等式。如果l=∞没有什么可以证明的。那么假设我∞. 我们首先证明如果Q∈ M满足等式[g]>l=> 等式[g]=∞ （18）假设确实存在Q∈ M\\mf使l<EQ[g]<∞.

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2022-5-8 10:03:25

考虑现在这个过程的任意版本gt:=EQ[g | Ft]，并用asset Sd+1t:=gtt扩展原始市场∈ I.显然，Q是扩展市场的鞅测度，从命题3.1来看，这意味着存在一个有限支持鞅测度qf，通过构造，它属于Mf。因为EQf[g]=g>l是g对Mf的期望的上确界，所以我们有一个矛盾。从（18）我们可以很容易地推断，如果m<∞ 然后l=m。我们只剩下研究m=∞ 我们证明了在假设l<∞. 考虑第一类可度量Q（g） M使得EQ[g]-] = ∞. 我们显然有Q（g）∩ Mf=,而且，由于l<m=∞ 来自（18）和∞ - ∞ = -∞, 存在∈ M\\Q（g）这样的EeQ[g]=∞ 和EeQ[g-] < ∞. 现在考虑索赔序列gn:=g∧n代表任何n∈ N.来自EeQ[g]-] < ∞ 单调收敛定理，我们得到了EeQ[g]∧ n]↑ EeQ[g]=∞, 因此，存在∈ N以至于≥ EeQ[g∧ n] >l.现在请注意这一点∈MfEQ[g∧n]≤ supQ∈MfEQ[g]=l<EeQ[g∧ n] （19）适用于（18）g∧n我们得到EeQ[g]∧n] =+∞, 这是自偶然索赔以来的一个矛盾∧ n是有界的。4个例子：忘记到处都是超级边缘！让(Ohm, F） =（R+，B（R+）。考虑一个由无风险资产T定义的单期市场（T=1）≡ 对于t=0，1（利率为零）和单个风险资产ST（ω）=ω，初始价格：=s>0，则为1。在这个市场中，我们还有两个选项Φ=（φ，φ），其中φ：=f（ST）是一个更大的差价选项，φ：=f（ST）是一个幂选项，即f（x）：=（x- （K）+- 2（x）-（K+1））++（x- （K+2））+f（x）：=（x- K） +。假设K>s，K>（K+2），这些期权的交易价格分别为c=0和c>0。设置c=（c，c）。

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2022-5-8 10:03:28

这些金融工具的收益如图1所示：forK=2，K=25:xyPayoff of Spayoff ofφPayoff ofφ0 1 2 3 4 5 6 7图1:Payoff.定义4.1。（1）存在一个模型独立套利（在Acciaio等人[AB16]的意义上），如果（H，H）∈ H×r等于（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）-c） >0ω ∈ Ohm.（2）存在一点套利（在[BFM16]的意义上），如果（H，H）∈ H×r等于（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）- c）≥ 0ω ∈ Ohm 和（H·S）T（ω）+H（Φ（ω）- c）对于某些ω>0∈ Ohm.很明显，期权φ中的任何多头头寸都是单点套利，但不是独立于模型的套利。我们确实发现，不存在模型独立套利，如：MΦ6=.更准确地说，任何问题∈ MΦ必须满足Q（（K，K+2））=0，因此（K，K+2）是一个MΦ极集，OhmΦ=R+\\（K，K+2）。一种可能的方法是观察在Γ：=R+\\（K，K+2）上，期权φ的支付为零，初始成本为零，因此任何概率P，以及supp（P）这是S，φ的鞅测度，也是S，S，φ，φ的鞅测度。现在取ω=0，ω∈ （K+2，√K），ω>√K+C观察对应的点x:=(-s-c），x:=（ω）- s-c） x:=（ω）-s、 φ（ω）-c））显然属于康文(X（ω）|ω∈ Γ）在哪里X是随机向量[S]-sφ-c] 。现在考虑ε：=min{c，s，|ω-所以对于ω足够大的情况，我们有bε（0）康夫(X（ω）|ω∈ {ω, ω, ω}) 康夫(X（ω）|ω∈ Γ).因此我们知道0在conv的内部(X（ω）|ω∈ Γ）和[BFM16]中的推论4.11第1项，OhmΦ=Γ=R+\\（K，K+2）。此外，请注意，这对于价格c>0的任何值都是正确的。现在考虑数字选项gi=Fi（ST），i=1，2，其中F（x）=1（K，K+2）（x），F（x）=1[K，K+2]（x），它们仅在区间（K，K+2）的极值点上有所不同，观察到Fis是半连续的，而Fis不是半连续的。根据前面的注释，在任何鞅测度Q下，价格为零∈ MΦ，所以supq∈MΦEQ[g]=0。

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何人来此

2022-5-8 10:03:31

（20）定义：πOhm（g）：=inf十、∈ R|（H，H）∈ H×r等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ Ohm回想一下πΦ（g）：=inf十、∈ R|（H，H）∈ H×r等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ索赔4.2。在这个市场：1。πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]=0和πΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]；2. πOhm（g） =minnsK，1o>supQ∈MΦEQ[g]=0；3. πOhm（g） =supQ∈MΦEQ[g]。备注4.3。（i）第（1）项与定理1.2的结论一致。（ii）第（2）项显示了相对于整体的超边缘二元性Ohm 对索赔g（它甚至是有界的）没有任何影响。请注意，在本例中，除了g的上半连续性外，满足了[AB16]中关于第1.4项的所有假设。正如甘德·金项目（2）和（3）之间的比较所示，从财务角度来看，对索赔的上半连续性的假设似乎是艺术性的，尽管这对于[AB16]中定理1.4的有效性是必要的。我们的结果表明，在相关集上获得超边对偶是可能的OhmΦ（或Ohm*在没有期权的情况下）进行任何可测量索赔，无论持续性消费（以及不存在具有超线性支付的期权）。索赔证明4.2。由于定理1.1，第（1）项成立，因为在单期模型中，动态和静态套期保值之间没有区别。还要注意等式πΦ（g）=0=supQ∈MΦEQ[g]是（20）的结果，（H，H）=（0，0）是gon的超边缘策略OhmΦ. 作为gis上半连续，第（3）项中的超边对偶符合[AB16]中的定理1.4，见（7）。在本节的剩余部分，我们通过显示π来结束证明Ohm（g） =minnsK，1o=sK（假设K>s），因此为第（2）项。让我们考虑与模型无关的超边缘策略，即（H，H）的集合∈ R×R等于x+（H·S）T（ω）+HΦ（ω）≥ 任意ω的g（ω）∈ Ohm.

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2022-5-8 10:03:35

任何可接受的交易策略都是通过（H，H）：=[H，H，H，H]∈ r与证券中的头寸相对应[S，S，φ，φ]：因此价格：V（H，H）：=H+Hs+hcpayoff:VT（H，H）：=H+Hω+Hφ（ω）+Hφ（ω）（21）微不足道的超级对冲有两种即时策略，其最终支付是g.1的超级优势。S（即H=1 in（21）和H=H=H=0），初始成本为1.2。KS（即H=Kin（21）和H=H=H=0），初始成本为sk。现在考虑一个通用的超级边缘策略（H，H），并首先假设它≥ 0.观察每一个ω∈ [0，K]我们有：VT（H，H）（ω）=H+Hω和g（ω）=0。如果H<0，则存在eω∈ [0，K]使得H+Heω<0=g（eω），这样策略就不会支配g的收益≥ 如果h6=0，我们就必须有h≥ 0，否则vt（H，H）（ω）<0，因为ω足够大（因为f的超线性）和（H，H）不是g的超级对冲。因为f（x）=0（K，K+2）和c>0，最方便的超级对冲是H=0（cfr图2）。图2：φ在（K，K+2）上没有正财富。从现在起，在不丧失普遍性的情况下，h=0。h6=0对于辅助套期保值来说不是最优的，因为φ有正的收益，如果h6=0，我们可以取h≥ 否则，我们可以通过用零投资组合替换hφ来更好地进行超级对冲（以相同的成本）。假设现在h>0。通过回忆H，H≥ 0我们注意到vt（H，H）如（21）中所述满足ω∈（K，K+2）H+Hω+Hφ（ω）=H+hk，因此，相同的超级套期保值仅通过在沙S中交易来实现。换句话说，在不损失一般性的情况下，H=0（cfr图3）Hφ0 1 2 3 4 5 6的gPayoff的xyPayoff图3:Hφ不主导ε=ε（H）的任何hW的gon（K，K+ε）。我们最后讨论H<0的情况。一般来说，这是一个更昂贵的策略选择（H，H）。事实上，我们有，例如，对于eω=K+1，HS（eω）=H（K+1）<0，而g（eω）=1。

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kedemingshi

2022-5-8 10:03:40

因为对于任何策略（H，H）∈ R、 VT（H，H）（eω）=H+Heω我们需要H≥ 1.- H（K+1），因此初始价格v（H，H）≥ 1.- H（K+1）- s）。通过选择参数s，K例如K+1- s<0任何H<0的超边缘策略都比H=1，H=H=H=0给出的普通超对冲更昂贵。此外，请注意，为了弥补Hs中的损失，以获得更大的ω值，我们需要在选项φ（其收益占主导地位）中采取多头仓位，以获得hc>0且h>-H> 0。我们可以得出结论，一般来说，最便宜的超级复制策略是HS+HS和H，H≥ 很容易看出πOhm（g） =分钟sK，1=sK>0.5技术结果和证明称{Ft}t∈Iis是一种通用过滤，它特别满足于FTA包含以下分析集：(Ohm, FSt）对于任何t∈ I.我们用Mat（d×（T+1）表示；R） d×（T+1）矩阵的空间，实数项表示价格过程的所有可能轨迹集：对于每个ω∈ Ohm 我们有（S（ω），S（ω）。。。，ST（ω））∈ Mat（d×（T+1）；R）。修正t≤ 我们表示S0:T=（S，S，…，St）并称之为S-10:t（A）={ω∈ Ohm | S0:t（ω）∈ A} 暂时 M在（d×（t+1）处；R）。我们开始St:=St-圣-1，t=1。。。，T.5.1Ohm*和OhmΦ是解析集合引理5.1。集合Pf={P∈ P | P has fi fi s support}是P的一个解析子集，与σ（P，Cb）拓扑生成的σ代数有关。证据集合E={Δω|ω∈ Ohm} 它是σ（P，Cb）闭合的（Th.15.8[AB06]），并且观察到P是E的凸包。考虑任何n∈ N单纯形N r和地图γn:En×N-→ 由γn（Δω，…，Δωn，λ，…，λn）=Pni=1λiΔωi定义，它是乘积拓扑中的连续函数。从…开始nis在Borel空间Pn×Rn的乘积拓扑中是封闭的，然后是图像γn（En×）n）是分析性的（命题7.40[BS78]）。

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2022-5-8 10:03:44

最后我们注意到Pf=Snγn（En×）n）所以它是解析的，是解析集的可数并。定义5.2。让我∞(Ohm, F）：={F∈ L(Ohm, F） | F有界}。一个子集U 如果存在可数集L，则Pfis可数确定 L∞(Ohm, F）这样u:={u∈ Pf | Eu[f]≤ 0, F∈ 五十} 引理5.3。如果你 Pf是可数确定的，那么它就是分析的。证据对于每个fn∈ L定义fn:P→ R使得Fn（u）=ZOhmfndu。根据[AB06]中的定理15.13，Fn是可测的，因此u:={u∈ Pf | Eu[fn]≤ 0代表所有n∈ N} =\\N∈N（Fn）-1(-∞, 0] ∩ Pfis解析，是解析集的可数交集。引理5.4。设Z（ω）：=maxi=1，。。。，dmaxu=0，。。。，T | Siu（ω）|，Z（ω）：=maxj=1，。。。，k |φj（ω）|和Z=max（Z，Z）thenPZ=u ∈ Pf|Q∈ 使dqdu=c（u）1+ZPZ，Φ=u ∈ Pf|Q∈ MΦ使得dqdu=c（u）1+Z是P的分析子集，其中c（u）=Eu（1+Z）-1.-1.证据。假设PZ6= （分别为PZ，Φ6=) 否则就没有什么可证明的了。修正任何错误∈{1，…，T}。设Mat（d×t；Q）是具有有理项的d×t矩阵的可数集，并用qn，n表示其元素∈ N.为qn∈ M at（d×t；Q），考虑集{An，M}与An，M={ω∈ Ohm | S0:t-1.∈ B1/m（qn）}∈ 英尺-其中B1/m（qn）表示半径为1/m，以qn为中心的球（以m（d×t；R）的欧几里德范数表示）。德尼芬，m:=坐- 坐-11+Z安，m∈ L∞(Ohm, F），gj:=φj1+Z∈ L∞(Ohm, F）。（22）以下setsU：=u ∈ Pf | Eu[fin，m]=0i、 n，mUΦ：=u ∈ Pf | Eu[fin，m]=0和Eu[gj]=0i、 n，m，j是分析的，因为它们是可数决定的。现在我们证明U=PZ和UΦ=PZ，Φ，这将完成证明。对于任何固定u∈ U我们通过构造得到：ZOhmSit1+ZAn，mdu=ZOhm坐-11+ZAn，mdu对于每一个An，m.（23）考虑矩阵的有限集合{sj}hj=1:={S0:t-1(ω) ∈ Mat（d×t；R）|ω∈ supp（u）}其中h=h（u）取决于u。每j=1。

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2022-5-8 10:03:47

存在qn（j），m（j），使得sj∈ B1/m（j）（qn（j））和球B1/m（j）（qn（j））都是不相交的。因此，An（j），m（j）使得u（Bj）=u安（j），m（j）其中Bj:={S0:t-1=sj}。因为{Bj}hj=1是μin Ft的原子-1.我们的结论是OhmSit1+ZBjdu=ZOhm坐-每j=1，手感EuSit1+Z |英尺-1.= Eu坐-11+Z |英尺-1.. 用dqdu：=c1+Z定义Q，其中c:=c（u）>0是标准化常数。然后，Q~ u，Q∈ Pfand:EuSit1+Z |英尺-1.= Eu坐-11+Z |英尺-1.当且仅当坐|英尺-1.= 坐-1.（24）这样我们就可以得出Q∈ MFU PZ。现在就开始吧∈ 那么就存在这样的Q坐|英尺-1.= 坐-1和dqdu=c1+Z。从等式（24）中，我们得到条件（23）成立，因此u∈ U.回想一下（4）中定义的MΦ，现在考虑一下∈ UΦ 然后存在Q∈ MfsuchthatdQdu=c（u）1+Z。此外，对于每j=1，…，Eu[gj]=0，因此，通过（22），等式[φj]=0。这样你就 PZ，Φ。现在就开始吧∈ PZ，Φ然后u∈ 从上一部分的证据来看。此外，还有Q∈ MΦ使EQφj= 0和dqdu=c1+Z。同样，通过（22）我们得到Eu[gj]=0，每j=1，k和μ∈ UΦ。5.5的提议。Ohm*和OhmΦ是(Ohm, F）。证据考虑所有自然数序列的拜尔空间。在这个证明中，我们用Bε（ω）表示半径为ε的封闭球，以ω为中心(Ohm, d）。考虑稠密子集{ωi}∞i=1ofOhm. 对于任意n=（n，…，nk，…）∈ NNwe表示为n（1），n（k）前k个术语（即n，…，nk）。定义（1）：=B（ωn（1））。现在设{ωn（1），i}∞i=1a我们定义（1），n（2）：=B（ωn（1），n（2））的稠密子集∩ 安（1）。在第k步，我们将有{ωn（1），…，n（k）-1），我}∞i=1a（1），。。。，n（k）-1）我们定义了关闭的setAn（1），。。。，n（k）：=Bk（ωn（1），。。。，n（k））∩ 安（1），。。。，n（k）- 1).注意，对于任何ω∈ Ohm 将存在一个n∈ nn这样\\k∈南（1），。。。，n（k）={ω}。

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2022-5-8 10:03:51

（25）我们考虑[n]给出的Souslin方案的核心∈NN\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}（26）观察到An（1），。。。，n（k）接近Ohm 暗示{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））≥m} σ（P，Cb）-与[AB06]中的推论15.6接近。因此{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））>0}=[m{Q∈ P | Q（An（1），。。。，n（k））≥m} Borel在（P，σ（P，Cb））中是可测量的吗。通过引理5.4我们得到{Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是解析的。我们可以得出这样的结论：（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是Ohm ×P（这是一个抛光空间）。从引理5.4我们观察到∈ PZ是一个具有有限支持度的等价鞅测度。从…起Ohm*= {ω ∈ Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（ω）>0}，如果ω/∈ Ohm*那么ω/∈ 任何u的补充（u）∈ PZ。考虑（25），如果ω/∈ Ohm*我们可以找到一个足够大的k，这样一个（1），。。。，n（`k）∩ supp（u）=. 然后我们有了\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}=（{ω}×Pω如果ω∈ Ohm* 如果ω/∈ Ohm*, （27）式中Pω={Q∈ PZ | Q（{ω}）>0}。根据[BS78]中的命题7.35和命题7.41，分析集的Souslin方案的任何核心都是分析集。然后[n]∈NN\\k∈南（1），。。。，n（k）×Q∈ PZ | Q（An（1），。。。，n（k））>0}是Ohm x P，其投影在Ohm, 感谢（27），等于Ohm*. 自项目∏以来：Ohm ×P→ Ohm 我们最终推断Ohm*是分析型的。对于OhmΦ重复相同的证明，用PZ替换PZ，Φ。备注5.6。让我们Ohm Ohm 成为…的分析子集(Ohm, F）。对证据的检查表明^Ohm*:=nω∈^Ohm | Q∈ Mfs。t、 Q（^）Ohm) = 1和Q（ω）>0o（28）^OhmΦ：=nω∈^Ohm | Q∈ MΦs.t.Q（^Ohm) = 1和Q（ω）>0也是(Ohm, F）。的确，P^Ohm:= {P∈ P | P（^Ohm) = 1} 是p的一个解析子集，根据[BS78]中的命题7.43，因此PZ∩ P^Ohm是解析的，可以用PZ代替上述证明中的PZ∩ P^Ohm和Ohm*与^Ohm*得出结论。备注5.7。在一个时期的市场（T=1），Ohm*是一个Borel可测量集。

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2022-5-8 10:03:55

要看到这一点，请注意，如果没有单点套利Ohm*= Ohm ∈ B(Ohm) 由[BFM16]中的推论4.11得出。当违反此条件时，存在一个策略H∈ rdh·（S）-（S）≥ 0和B:={ω∈Ohm | H·（S（ω）-S） >0}是非空的，并且是可测量的。事实上B=（f）o（S）-1(0, ∞) 带f（x）：=H·（x）-S）连续性和可测量性。现在请注意，仅限于场景Ohm \\B、一种资产是多余的（比如Sd），因此市场可以用（S，…，Sd）来描述-1). 如果我们没有单点套利Ohm*= Ohm \\ B∈ B(Ohm). 否则，我们可以迭代地重复相同的参数来构造Bi:={ω∈ Ohm \\ ∪我-1j=1Bj | Hi·（S（ω）- S） >0}∈ B(Ohm) 并反复删除一个额外的资产。由于资产的数量是确定的，因此程序需要≤ d步。在结果集上没有单点套利，因此Ohm*= (∪βi=1Bj）C∈ B(Ohm).5.2关于关键命题2.1标记5.8。我们在此阶段指出：Ohm*它不仅是解析的，而且属于ftt，其中fti是σ（St | t）的普遍完成式≤ T）。的确Ohm* s-10:T（S0:T）(Ohm*)). 而且对于任何ω∈ s-10:T（S0:T）(Ohm*)) 存在ω∈ Ohm*使得S0:T（ω）=S0:T（ω）。所以对于anyQ来说∈ mf使得Q（{ω}）>0和Q（{ω}）=0，度量＠Q使得＠Q（{ω}）：=Q（{ω}），＠Q（{ω}）：=0和＠Q=Q是鞅度量。必然ω∈ Ohm*.在命题2.1的证明中，我们将利用以下简单事实：集合OhmT*:= Ohm*∈ 然后通过向后递归我们得到OhmT*:= s-10:t（S0:t）(Ohmt+1*)) ∈ 英尺，Ohmt+1* OhmT*对于任何t=0，T- 1.和Ohm*=T\\T=1OhmT*.注意OhmT*可以解释为Ohm*自从OhmT*= s-10:t（S0:t）(Ohm*)).我们还记得，没有一点套利的条件成立Ohm*.

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2022-5-8 10:04:00

如果真的有∈ 使（H·S）T≥ 对于某些ω，当（H·S）T（ω）>0时为0∈ Ohm*, 那么，任何度量P，比如P（ω）>0，都不能是鞅度量，这与（1）相矛盾。5.2.1命题2.1的证明我们通过几个步骤证明π*（g） =supQ∈MfπQ（g），其中π*以及（10）和（11）以及g中定义的πqa∈ L(Ohm, F）。第一步：第一步是为任何1≤ T≤ T，一英尺-1-可测随机集，X，D Rd+1的解释如下：如果ω出现，任何H。高清，高清+1∈ Rt，X，D（ω）表示时间t的策略-1允许在时间t对随机变量X进行超级对冲，用于D中的任何轨迹 Ohm. 在这里，Hd+1代表对非风险资产的投资。请注意，我们需要结合集合D的选择所给出的附加特性，因为我们只想对随机变量g进行对冲Ohm* Ohm.回忆起St=St- 圣-1.考虑一下，对于一个任意的1≤ T≤ T，D∈ Ftand X∈ L(Ohm, F），复函数ψt，X，D：ω7→[St（eω）；1.X（eω）]1D | eω∈ ∑ωt-1. Rd+2在哪里[圣路易斯；1.十] 1D=性病，SdtD，1D，X1D和∑t-1是直到时间t的轨道ω的水平集- 1即∑ωt-1={eω∈ Ohm | S0:t-1（eω）=S0:t-1(ω)}. 我们证明了ψt，X，Dis anFt-1-1多功能。事实上，我们需要证明，对于任何开放集 Rd×R，{ω∈ Ohm | ψt，X，D（ω）∩ O 6=} = s-10:t-1（S0:t）-1（B））∈ 英尺-1其中B=([圣路易斯；1.十] 1D）-1（O）。首先[St，1，X]1是F-可测的随机向量，然后是B∈ F.秒SUI是任何0的Borel可测函数≤ U≤ T- 根据[DM82]中的定理III.18，我们得到了S0:t-1（B）属于由Mat（d×t；R）中的解析集生成的sigma代数，并赋予其Borel-sigma代数。

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2022-5-8 10:04:03

现在应用[DM82]中的定理III.11，我们推导出-10:t-1（S0:t）-1（B））∈ 英尺-通过保持可测性（例如参见[RW98]）多功能ψ*t、 X，D（ω）：=H∈ Rd+2 | H·y≤ 0Y∈ ψt，X，D（ω）也是英国《金融时报》-1-可测量的，因此，同样适用于-ψ*t、 X，D∩{Rd+1}{- 1}}. 第一个d+1分量上的投影，Rt，X，d:=πX，。。。，xd+1(-ψ*t、 X，D∩{Rd+1}{-1} }），为X的超级复制策略提供了构建块。通过前面的构造，我们确实得到了rt，X，D（ω）=（H）∈ Rd+1 | Hd+1D+dXi=1HiSit（eω）1D≥ X（eω）1Deω∈ ∑ωt-1）（29）注意，如果∩ ∑ωt-1= 然后Rt，X，D（ω）=Rd+1。还要注意的是，Rt、X、Dis通过构造是一个闭合集。用∏xd+1（Rt，X，D）表示第（D+1）分量上的投影，这是一个具有可能值的随机区间数R{}, {R} 。现在观察投影是连续的，并且在实值随机集a的范围内，保持{ω}以来的可测性∈ Ohm | inf{a|a∈ A（ω）}<y}={ω∈ Ohm | A（ω）∩ (-∞, y） 6=}因此，我们得出结论：-1:=inf∏xd+1（Rt，X，D）是一个Ft-1-带估价师的可测函数∪{±∞}.第二步。我们证明了对于每个ω∈ {Xt-1| < ∞} 在Xt中的妈妈-1实际上是最小值。为此目的Fixω∈ {Xt-1| < ∞} 请注意，可能存在L∈ Rd\\{0}这样的L·∑ωt上的St=0-1.∩OhmT*, 这意味着在这个级别集上有些资产是多余的。我们可以通过选择i，ik∈ （1，…，d）使坐下+…+lkSikt=0意味着每j=1，k、考虑闭集（ω）=H∈ Rt，X，D（ω）|Hij=0每j=1，K注意这一点-1（ω）=inf∏xd+1（Rt，X，D（ω））=inf∏xd+1（eR（ω））=inf∏xd+1eR（ω）∩Rd×[Xt-1（ω），Xt-1(ω) + 1].集合Ko（ω）：=eR（ω）∩Rd×[Xt-1（ω），Xt-1(ω) + 1]是闭集的交集。我们认为Ko（ω）是有界的。

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2022-5-8 10:04:07

通过矛盾，假设它是无限的。设^Hn=（Hn，Hd+1n）∈ Ko（ω） Rd×R，这样kHnk→ +∞. 根据定义Hijn=0表示每j=1，k和Hd+1nis以Xt为界-1(ω) + 1. 对于任意的eω∈ D∩ ∑ωt-1.我们有什么好消息吗-1（ω）+1kHnk+HnkHnk·St（eω）≥Xt（eω）kHnk。由于Rd的单位球面上存在Hnkhnkles，我们可以提取一个收敛于H的子序列*withkH*k=1。因此，通过这个子序列的极限，我们有H*·St（eω）≥ 0表示每个ω∈ D∩∑ωt-1.从无一点套利条件，我们推导出H*·D上的St=0∩∑ωt-1.自那以后∈ Ko（ω）然后（H*)对于冗余资产，ij=0，因此H*= 这是一个矛盾。集合Ko（ω）是封闭的，且有界于Rd+1，因此是紧致的。从投影的连续性来看∏xd+1（Ko（ω））是紧致的，因此达到了最大值。第3步：我们现在提供一个反向过程，该过程产生超级复制价格和相应的最优策略。根据经典参数，当我们确定参考概率Q∈ 这个过程产生两个过程Xt（Q）和Ht（Q），这样g≤TXu=t+1Hu（Q）·Su+Xt（Q）=TXt=1Ht（Q）·St+X（Q）Q- a、 s.（30）式中，Xt（Q）代表我们在时间t所需的最小现金量，以便在Q-a.s.意义上进行超级套期保值。回想一下，从NA（Q）中，我们必然有Xt（Q）>-∞ 关于supp（Q）。在不损失一般性的情况下，集Xt（Q）（ω）=-∞ 对于任何ω/∈ 补充（Q）。现在我们证明（30）的路径对应：Set XT:=g和DT:=Ohm*它属于FTby备注5.8，首先考虑随机集RT，XT，DT。随机变量XT-1:=inf∏xd+1（RT，XT，DT）表示我们在时间T所需的最小现金量-1.为了超级避险Ohm*. XT-因此，这是盗窃-1-需要在时间T超级复制的可测量随机变量-2.对于t=t- 1.

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2022-5-8 10:04:12

我们确实通过取Xt:=inf∏xd+1（Rt+1，Xt+1，Dt+1），Dt=S来迭代这个过程-10:t（S0:t（Dt+1））∈ t随机集Rt+1、Xt+1、Dt+1之前已定义。我们再次证明了XT是一个Ft可测函数，其值为R∪ {±∞}.这个反向过程产生了超级对冲价格XonOhm*但也要提供相应的最便宜的投资组合，如下所示：首先要注意，对于每一个ω∈ Ohm*, Xt（ω）>-∞. 如果不是这样，则存在一个序列（Hn，xn）n∈N∈ Rd×R使得xn↓ -∞, xn+HnSt+1（eω）≥对于每个eω，Xt+1（eω）∈ Dt+1∩ ∑ωtand因此每个Q的Q-a.s∈ 使Q（ωt）>0。这将导致与Xt（Q）>-∞. 因此，从现在起，我们假设xt（ω）>-∞. 对于Xt（ω）<∞ 每t=0，T-1，步骤2规定XT实际上是最小值。由∏x，。。。，xd（Rt+1，Xt+1，Dt+1∩Rd×Xt) 因此，每t=0，T- 1，因此允许一个可测量的选择器Ht+1。战略H，满足不平等≤ HT·ST+XT-1on DTXT-1.≤ HT-1·装货单-1+XT-2on DT-1.十、≤ H·S+Xon Dand它代表了对Ohm*=TTt=1Dtasg≤ HT·ST+XT-1.≤TXt=T-1Ht·St+XT-2.≤ . . . ≤TXt=1Ht·St+X（31）对任何ω都成立∈ Ohm*. 当Xt（ω）=∞ 对于某些ω∈ Ohm*还有一段时间≥ 0那么我就去接徐≡ ∞ 每一个u≤ t、不等式（31）基本满足。步骤4：为了证明（12），我们递归地证明Xt（ω）=supQ∈任意ω的MfXt（Q）（ω）∈ Ohm*这尤其意味着X=supQ∈MfX（Q）。显然是Xt（ω）≥ 任意ω的Xt（Q）（ω）∈ Ohm*所以≥ supQ∈MfXt（Q）。因此，我们只需要证明逆不等式。对于t=t，这种说法是显而易见的：XT=g。通过向后递归，假设现在对于t+1的任何u都成立≤ U≤ T.i.e。

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2022-5-8 10:04:15

Xu（ω）=supQ∈任意ω的MfXu（Q）（ω）∈ Ohm*.从递归假设出发，以找到一种超级复制策略，其价格与任何Q相同∈ 我们需要超级复制Xt+1。我们定义了一个水平集∑ω，并回忆起XtisFt是可测量的，因此它在∑ωt上是常数。我们首先处理两种常见情况：o如果Xt+1（ω）=∞ 对于某些ω∈ Ohm*那么，在有限的成本下，该声明不是超级可复制的。因此，本文采用X=supQ∈MfX（Q）=∞.o 如果∑ωt∩ Ohmt+1*= 我们有两个结果：∑ω是Mf极性集，因此根据假设，Xt（Q）=-∞ 关于∑ωt，对于任意Q∈ Mf。此外，如等式（29）后所述，∏xd+1（Rt+1，Xt+1，Dt+1）=R，因此Xt（ω）=-∞ 接下来就是想要的平等。因此，从现在起，我们假设Xt+1<∞ 和∑t∩ Ohmt+1*6= . 定义，对于任何∈ R、 thesetΓy:=co卷积和多项式相乘[St+1（eω）；Y- Xt+1（eω）|eω∈ ∑ωt∩ Ohmt+1*我们声称∈ int（Γy）==> Xt>y（32）确实是从0开始的∈ int（Γy）不存在非零（H，H）∈ Rd×R，使得h（y）或-Xt+1）+H·St+1≥ 0或h（y）- Xt+1）+H·St+1≤ ∑ωt上的0∩ Ohmt+1*. 特别是没有H∈ Rdsuchthaty+H·St+1≥ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*（33）回顾，根据定义，X是（33）满足的实数的上限，我们有X≥ y、因为，从第2步开始，当定义为最小值时，我们得到Xt>y和（32）。前提：正如第一步，我们可以假设，在不失去普遍性的情况下，如果∈ Rd，H·∑ωt上的St+1=0∩ Ohmt+1*那么H=0。事实上，如果不是这样，我们可以通过类似的过程减少级别集上超级复制所需的资产数量。我们现在区分两种情况。案例1：假设存在（H，H，α）∈ Rd+2，其中（H，H，α）6=0，使得H（y-Xt+1）+H·∑ωt上的St+1=α∩Ohmt+1*. 我们声称h 6=0。事实上，如果h=0，那么α6=0，因为h·St+1=0意味着（H，H，α）=0。

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2022-5-8 10:04:18

然而，α6=0意味着H·∑ωt上的St+1=α∩ Ohmt+1*这将产生一点的套利Ohm*, 因此产生了矛盾。因为h6=0，我们有y-αh+Hh·St+1=Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*: 这意味着XtfromStep 3与y一致-αhand Xt+1可复制，在风险资产中执行策略“H:=hh，Xt=y-α为非风险资产。如果现在问一些问题∈ 如果q（∑ωt）>0，我们就有x的存在性≤ XT和Hx∈ rdx+Hx·St+1≥ Xt+1Q-a.s.然后是x- Xt+（Hx-\'\'H）St+1≥ 因此，既然NA（Q）成立，x≥ Xt。因此，∑ωt上的Xt=Xt（Q）-1.情况2：如果是三重态（H，H，α）∈ Rd+2如案例1不存在，则我们定义y=supY∈ R|H∈ Rd:y+H·St+1≤ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*.显然“y<XT”，否则我们回到案例1。每0<ε<Xt- 永远∈ rNDxt- ε+HSt+1≥ Xt+1或Xt- ε+HSt+1≤ Xt+1on∑ωt∩ Ohmt+1*. 此外，如果存在h∈ R使得h（Xt- ε - Xt+1）+HSt+1≥ 0（或h（Xt- ε - Xt+1）+HSt+1≤ 0）关于∑ωt∩ Ohmt+1*h必然是0（或者简单地除以h）。在这种情况下，HSt+1≥ 0（或HSt+1≤ 0）关于∑ωt∩ Ohmt+1*由于没有一点套利，我们得到了HSt+1=0，因此H=0。因此，Neither（Xt-ε-Xt+1）+HSt+1≥ 0或h（Xt-ε-Xt+1）+HSt+1≤ 0表示任何（H，H）∈ Rd+1\\{0}所以0∈ intΓXt-ε.取{ωi}ki=1 ∑ωt∩ Ohm*（带k）≤ d）以至于{[St+1（ωi）；Xt- ε - Xt+1（ωi）|i=1，k} 是线性独立的，并在Rd+1asΓXt中生成相同的线性空间-ε. 根据命题3.1和鞅测度集的凸性，存在Q∈ 对于任何i=1，…，Q（{ωi}）>0，k、对于这样一个Q，我们得到了ΓXt-ε=co（conv{[St+1（eω）；Xt- ε - Xt+1（eω）|eω∈ 补充（Q）∩ ∑ωt}）因此∈ intΓXt-ε、不存在H（Q）∈ rdxt- ε+H（Q）·St+1≥Xt+1Q-a.s.我们可以得出结论≥ supQ∈MfXt（Q）≥ Xt- ε.

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何人来此

2022-5-8 10:04:21

让ε↓ 0我们获得SUPQ∈MfXt（Q）=XT根据需要。第5步：我们最终证明（13）。注意CTQ∈MfC（Q）。而且如果g∈TQ∈MfC（Q）然后（30）与X（Q）保持一致≤ 每Q 0∈ Mf。因此，在等式（31）中，我们也有x=supQ∈MfX（Q）≤ 0和g≤PTt=1Ht·斯通Ohm*i、例如∈ C.备注5.9。请注意，命题2.1的证明仅依赖以下事实：Ohm*是一个分析集(Ohm*)Cis是有限支持鞅测度类的最大极集。给^Ohm Ohm 的解析子集(Ohm, F）根据命题5.5，也可以得出^C=\\{Q∈Mf | Q（^Ohm)=1} C（Q）其中^C:={f∈ L(Ohm, F） |F≤ k on^Ohm*为了一些k∈ K} ^Ohm*如（28.5.3）定理1.2的证明，πΦ在（6）中定义，MΦ在（4）中定义。SeteπΦ（g）：=inf{x∈ R|H∈ 使得x+（H·S）T（ω）≥ g（ω）ω ∈ OhmΦ}.引理5.10。让g：Ohm 7.→ R和φj：Ohm 7.→ R、 j=1。。。，k、是F-可测的随机变量。那么πΦ（g）=infh∈RkeπΦ（g）- hΦ）。证据每小时∈ 我们有πΦ（g）≤ eπΦ（g）- hΦ）使πΦ（g）≤ infh∈Rk eπΦ（g）- hΦ）。按πΦ（g）<infh∈Rk eπΦ（g）-hΦ），则存在（\'x，\'h，\'h）∈ （R，Rk，H）使得∈RkeπΦ（g）- hΦ）和`x+（`h·S）T（ω）+`hΦ（ω）≥ g（ω）表示所有ω∈ Ohm显然，我们有一个矛盾，因为`x<eπΦ（g-\'hΦ）=inf十、∈ R|H∈ hst.x+（H·s）t（ω）≥ g（ω）-\'hΦ（ω）ω ∈ OhmΦ≤ 定理1.2的证明。自也OhmΦ是分析性的（命题5.5），通过比较OhmΦ在（5）和（16）中，我们可以一步一步地重复定理1.1和命题2.1证明中使用的相同论点Ohm*具有OhmΦ. 然后我们得出结论：eπΦ（g）=sup{Q∈Mf | supp（Q）Ohmφ} 对于任何F-可测随机变量g，等式[g]根据假设，我们也有eπΦ（g）=supQ∈MΦEQ[g]。

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2022-5-8 10:04:24

因为对于所有Q，等式[hΦ]=0∈ MΦ和h∈ Rk，对于不可测的随机变量g- 我们有πΦ（g）- hΦ）=supQ∈MΦEQ[g- hΦ]=supQ∈MΦEQ[g]，H∈ Rk。引理5.10则意味着：πΦ（g）=infh∈Rk eπΦ（g）- hΦ）=supQ∈MΦEQ[g]。参考文献[AB16]Acciaio B.，Beiglb–ock M.，Penkner F.，Schachermayer W.，资产定价基本定理和超级复制定理的无模型版本，数学。鳍26(2), 233-251, 2016.[AB06]Aliprantis C.D.，Border K.C.，有限维分析，柏林斯普林格，2006年。[BHLP13]Beiglb–ock M.，Henry Labord`ere P.，Penkner F.，期权价格的模型独立界限：一种大规模运输方法，Fin。斯托克。17(3), 477-501, 2013.[BS78]Bertsekas，D.P.，Shreve S.E.，随机最优控制。《离散时间案例》，学术出版社，纽约，1978年。[BN15]Bouchard B.，Nutz M.，非支配离散时间模型中的套利和对偶，Ann。阿普尔。问题。，25(2), 823-859, 2015.[BHR01]Brown H.M.，Hobson D.G.，Rogers L.C.G.，障碍期权的稳健对冲，数学。鳍11, 285-314, 2001.[BFM16]Burzoni M.，Frittelli M.，Maggis M.，不确定性离散时间市场中的通用套利聚合器，Fin。斯托克。，20(1), 1-50, 2016.[CO11]Cox A.M.G.，Ob loj J.，双重非接触期权的稳健定价和对冲，Fin。斯托克。，15(3),573-605, 2011.[DS94]Delbaen F.，Schachermayer W.，资产定价基本定理的一般版本，数学。安。，300,463-520, 1994.[DM82]Dellacherie C.，Meyer P.，概率和势B，北荷兰，阿姆斯特丹，纽约1982[DS13]Dolinsky Y.，Soner H.M.，连续时间的鞅最优运输和稳健套期保值，概率B。理论相关领域，160（1-2），391-427，2013年。[DS14]Dolinsky Y.，Soner H.M.，具有比例交易成本的稳健对冲，Fin。斯托克。，18 (2), 327-347, 2014.[DS15]多林斯基Y.，索纳H。

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