仿射定价核的长期因子分解

2022-5-25 17:39:13

A ffinepricing核的长期因子分解*Likuan Qin+和Vadim Linetsky西北大学工业工程与管理科学系McCormick工程与应用科学学院摘要本文构建并研究了有效定价核的长期因子分解，将其转换为长期债券收益率的贴现，以及实现概率变化的可分割成分th测量到远期测量。与长期因子分解密切相关的pricingkernel的主要特征函数是状态向量的指数函数，其系数向量与R码的固定点相同。长期债券波动率和鞅成分的波动率在此固定点上明确确定。本文提供了资产定价文献中的一系列示例来说明这一理论。*本文基于国家科学基金会资助的CMMI-1536503研究。+likuanqin2012@u.northwestern.edulinetsky@iems.northwestern.edu1随机贴现因子（SDF）是无套利资产定价模型中的一个基本对象。它将今天的价格分配给另类投资领域的风险未来回报。它通过同时贴现未来和调整风险来实现这一点。SDF的一个常见代表是将其分解为无风险利率贴现和调整风险的鞅成分。该方法实现了风险中性概率测度的概率变化。最近，Alvarez和Jermann（2005）、Hansen等人（2008）、Hansen和Scheinkman（2009）以及Hansen（2012）介绍并研究了SDF的另一种长期因子分解。

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2022-5-25 17:39:17

长期因式分解中的过渡成分以渐进长期到期的纯贴现债券（长期债券）的回报率进行贴现。永久分量是一个鞅，它实现了对长期向前测度的概率变化。Qin和Linetsky（2017）研究了一般半鞅背景下的长期因子分解和长期向前测度。SDF的长期因式分解在长期资产定价和风险回报交易期限结构的理论和实证研究中的应用特别方便。除上述参考文献外，关于长期系数化及其应用的文献越来越多，包括Hansen和Scheinkman（2012）、Hansen和Scheinkman（2017）、Boroviˇcka et al.（2016）、Boroviˇcka et al.（2011）、Boroviˇcka和Hansen（2016）、Bakshi和Chabi Yo（2012）、Bakshi et al.（2015）、Christensen（2017）、Christensen（2016）、Qin和Linetsky（2016）、Qin et al.（2016），Backus等人（2015），Filipovi\'c等人（2017），Filipovi\'c等人（2016）。该文献中的实证研究表明，长期因素中的鞅成分具有高度的波动性和经济意义（尤其是基于定价核边界的结果，请参见Bakshi和Chabi-Yo（2012），与宏观经济基本面相关的基于结果的结构性资产定价模型，以及Qin等人。

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kedemingshi

2022-5-25 17:39:21

（2016）关于基于定价核的显式参数化的结果，其中，尤其是对测量值P、Q和L之间的关系进行了实证研究）。本论文的重点是分析综合效应模型中的长期因素分解，从提供在综合资产定价模型中构建长期因素分解的用户指南的角度出发，以及将综合效应模型作为一个方便的实验室来说明长期因素分解的理论。由于其分析和计算的可处理性，金融差异是连续时间金融中的工作马模型（Vasicek（1977），Cox et al.（1985），Du ffe and Kan（1996），Du ffe et al.（2000），Dai and Singleton（2000），Du ffe et al.（2003））。在本文中，我们证明了Hansen和Scheinkman（2009）确定长期因式分解（如果存在）的主要特征函数在一个模型中必然是指数形式，系数向量在指数中与相应Riccati ODE的固定点相同。这使我们能够给出一个完整的解释，并在一个有效模型中说明长键、鞅分量和长向测度的动力学。特别是，我们明确证明，当Riccati ODE与定价核心po ssessesa fix point关联时，a fie模型满足Qin和Linetsky（2017）定理3.1中的有效条件，因此存在长期限制。在第2节中，我们回顾和总结了基于布朗运动模型的长期因子分解。在第3节中，我们给出了关于定价核长期因子分解的一般结果。

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2022-5-25 17:39:24

定理3.2给出了主要结果，其中布朗风险的市场价格被显式分解为与长期债券的波动性确定的长期措施下的风险市场价格和确定鞅分量的剩余风险市场价格，完成从数据生成到长期措施的概率变化。后一部分由Riccati ODE的固定点决定。在第4节中，我们研究了资产定价文献中的一系列定价内核示例。2布朗环境中的长期因式分解我们研究的是一个完全过滤的概率空间(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。我们假设经济中的所有不确定性都是由n维布朗运动wp产生的，并且（Ft）t≥0是WPt生成的（已完成）过滤。我们假设没有套利和市场摩擦，因此存在一个严格正的定价核过程，其形式为It^o半鞅。更准确地说，我们假设定价内核遵循It^o过程（·表示向量点积）dSt=-rtStdt- Stλt·dWPtwithRt | rs | ds<∞ 以及布朗风险向量λtsuch的市场价格，该过程mt=e-Rtλs·dWPs-Rtkλskds是一个鞅（Novikov条件EP[eRtkλskds]<∞ 对于每个t>0的情况）。在这些假设下，定价核具有风险中性因子分解ST=AtMt=e-RtrsdsMtinto无风险短期利率贴现RTRSDSM确定无风险资产（货币市场账户）at=ERTRSDS和指数鞅Mt，用布朗风险的市场价格λt确定其波动性。我们还假设EP【ST/ST】<∞ 对于所有T>T≥ 0

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能者818

2022-5-25 17:39:28

任意两个日期的SDF ST/ST的可积性T>表示零息票债券价格处理的时间Tttt：=EPt[ST/ST]，T∈ [0，T]对于所有日期T>0（Et[·]=E[·| Ft]）都有很好的定义。因为对于每个T，T期限零息票债券价格过程可以写成PTt=MTtPT/St，其中MTt=StPTt/PT=EPt[St]/EP[St]是一个正鞅∈ [0，T]，我们可以应用鞅表示定理来证明dmtt=-MTtλTt·dwpt与一些λTt，并进一步声称债券价格过程具有代表性dptt=（rt+σTt·λt）PTtdt+PTtσTt·dwpt与波动过程σTt=λt- λTt。继Qin和Linetsky（2017）之后，对于每一个固定的T>0，我们定义了一种自我融资交易策略，将T到期零息票债券的投资展期如下。修正T并考虑自融资展期策略，从时间零点开始，将一个账户单位投资于T到期零息票债券的1/pt单位。债券到期时，该策略的价值为1/p账户单位。我们通过重新投资于到期日为2T的零耦合债券的1/（PTP2TT）单位来滚动收益。我们继续采用展期策略，每次kTre都将收益投资于债券P（k+1）TkT。我们表示这种自我融资策略的估值过程BTt：BTt=kYi=0P（i+1）TiT！-1P（k+1）Tt，t∈ [kT，（k+1）T），k=0，1，…。对于每个T>0，为所有T定义了过程bt≥ 0、进程stbttext结束对所有t的启动MTT≥ 因此，它定义了每个T的T向前测量值QT | Ft=MTtP | Fton Ft≥ 0，其中T现在具有复合区间长度的含义。在T向前度量qt扩展到所有Ft下，翻滚策略（BTt）T≥0以复利间隔T作为计价资产。

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kedemingshi

2022-5-25 17:39:31

继Qin和Linetsky（2017）之后，我们继续将该措施扩展到所有Ftfort≥ 0“T”为“ward”度量，并使用相同的编号，因为它降低到了FT上向前度量的标准定义。自翻滚策略（BTt）T≥0和所有t≥ 0，我们可以为所有T写定价核的T-forward f函数化≥ 0：St=BTtMTt。我们现在回顾Qin和Linetsky（2017）对长期债券和长期远期措施的定义。定义2.1。（长期债券）如果财富过程（BTt）t≥T-到期债券中的0个展期策略收敛于严格正半鞅（B∞t） t型≥0概率为T的紧集上的一致→ ∞, i、 e.对于所有t>0和K>0限制→∞P（辅助≤t |基站- B∞s |>K）=0，我们称其极限为长键。定义2.2。（长向前测量）如果存在测量值Q∞等价于P，使得T向前测度强收敛于Q∞在每个方面，即限制→∞QT（A）=Q∞（A）对于每个A∈ F和每个t≥ 0，我们将极限称为长向前测度，并将其表示为L。Qin和Linetsky（2017）证明的以下定理给出了一个有效条件，确保在半鞅拓扑中收敛到长键，其在定义1中强于ucp收敛，在总变差中T向前测度收敛到长向前测度，这比定义2中的强一致性更强（我们参考Qin和Linetsky（2017）以及在线附录以获取证据和细节）。定理2。1.（长期因式分解和长期向前测度）假设对于每个t>0，pricin gkernel St的Ft条件期望与其无条件期望的比率在Las t中收敛到正极限→ ∞（P下），即。

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何人来此

2022-5-25 17:39:36

对于每一个t>0，存在一个几乎肯定为正的Ft可测随机变量，其中我们表示M∞tsuch thatEPt[ST]EP[ST]L-→ M∞助教T→ ∞. （2.1）那么以下结果成立：（i）随机变量的集合（M∞t） t型≥0是正P-鞅，且鞅族（MTt）t≥0接近鞅（M∞t） t型≥半鞅拓扑中的0。（ii）长期债券估值过程（B∞t） t型≥0存在，并且滚动策略（BTt）t≥0接近长期债券（B∞t） t型≥半鞅拓扑中的0。（iii）定价核心具有长期的行为化ST=B∞tM公司∞t、（2.2）（iv）t-前向测度qt在每个Ft上的总变量中收敛于长向测度L，并且L与Ft上的P和Radon-Nikodym导数M相等∞t、流程B∞这是对持有渐近长期期限的零息票债券从时间零点到时间t所获得的gr oss回报的解释。长期债券是长期远期指标L下的计价资产，因为定价核心变为1/B∞tunder L.pricingkernel（2.2）的长期因式分解将其分解为按长期债券的回报率进行贴现，以及编码进一步风险调整的可分割成分。假设定理2.1中的条件（2.1）在本文的布朗设置中成立。那么，长期债券的估值过程是一个It^o半鞅，其表达式为Db∞t=（rt+σ∞t·λt）B∞tdt+B∞tσ∞具有一定波动过程σ的t·dwpt∞Tsch认为过程M∞t=机顶盒∞tsatisfyingdM∞t=-M∞tλ∞t·dwpt带λ∞t=λt- σ∞tis a mar t ingale（长期因子分解中的永久成分）。

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2022-5-25 17:39:39

因此，布朗设置中的长期因子izat ion公式（2.2）产生了布朗风险λt=σ的市场价格分解∞t+λ∞tinto长期债券的波动性σ∞tand波动率λ∞tof鞅M∞t、通过Girsanov定理，利用L-布朗运动WLt=WPt+Rtλ，将概率测度从数据生成测度P变为长向测度L∞sds。3定价核的长期因式分解我们假设基础经济由马尔科夫过程X描述。我们进一步假设X是一个因式分解，定价核S是指数因式分解和X的时间积分。因式分解模型由于其分析的可处理性，在连续时间内被广泛使用（Vasicek（1977），Cox et al.（1985），Duffee和Kan（1996），Duffee等人（2000），Dai和Singleton（2000），Duffee等人（2003））。我们首先简要总结了一些关于差异的关键因素。我们请读者查阅菲利波维奇和梅尔霍夫（2009）的详细信息、证据和有关差异的文献参考。对于某些m，n，我们使用的过程在状态空间E=Rm+×rn上求解以下SDE≥ 0，m+n=d，其中Rm+=x个∈ Rm：xi≥ 0表示i=1。。。，m级:dXt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWPt，X=X，（3.1），其中wp是一个d维标准布朗运动，扩散矩阵α（X）=σ（X）σ（X）+（这里+表示矩阵转置以将其与上标区分开来），漂移向量b（X）在X中都是有效的：α（X）=a+dXi 1xiαi，b（X）=b+dXi 1xiβi=b+bx对于一些d×d矩阵a和αi以及d维向量b和βi，其中，我们用B=（β，…，βd）表示d×d矩阵，第i列向量βi，1≤ 我≤ d、 X的FirstTM坐标为CIR类型a和非负坐标，而最后n个坐标为OU类型。

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能者818

2022-5-25 17:39:42

定义指数集I={1，…，m}和J={m+1，…，m+n}。对于任意向量u和矩阵ν，以及索引集M，N∈ {I，J}，我们用uM=（uI）I表示∈M、 νMN=（νij）i∈M、 j∈n相应的子向量和子矩阵。为了确保过程保持在域E=Rm+×Rn中，我们需要以下假设（参见Filipovi\'c和Mayerhofer（2009））假设3.1。（容许性）（1）aJJandαi，JJare对称正半定义，对于所有i=1，2。。。，m、（2）aII=0，aIJ=a+JI=0，（3）αj=0，对于j∈ J、（4）对于k，αi，kl=αi，lk=0∈ 所有1的I \\{I}≤ k、 l≤ d、（5）bI≥ 0，BIJ=0，BIIhas非负对角元素。条件bI≥ CIR型组件漂移中的常数项为0，表示过程停留在状态空间E中。假设BI>0，可确保过程瞬时从边界反射E并重新输入状态空间intE=Rm++×Rn的内部，其中Rm++=x个∈ Rm：xi>0对于i=1。。。，m级. 对于满足假设3.1的任何参数，存在SDE（3.1）的唯一强解（参见Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的定理8.1）。用px表示x的SDE（3.1）的解xxx的定律∈ E、 Px（Xt∈ A）：=P（Xxt∈ A）。然后Pt（x，A）=Px（Xt∈ A）为所有t定义≥ 0，Borel子集A ofE和x∈ 定义马尔可夫转移半群（Pt）t≥0在Banach空间上，由Ptf（x）：=REf（y）Pt（x，dy）在E上的可测边界函数。如Du ffie等人（2003）所示，这个半群是Feller，即它使连续函数的空间在完整不变时消失。因此，马尔可夫过程（（Xt）t≥0，（Px）x∈E）是E上的Feller过程。它在E上有连续的路径，并且具有强Markovproperty（参见Yamada和Wat anabe（197 1），推论2，p.162）。因此，这是一个无聊的过程（实际上是一个狩猎过程）。我们对定价核做出以下假设。假设3.2。

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2022-5-25 17:39:46

（一个定价核）我们认为定价核是Xα中的指数，其时间积分为：St=e-γt-u+（Xt-X）-Rtδ+Xsds，（3.2），其中γ是标量，u和δa是d向量，+表示矩阵转置。这种形式的定价核是马尔可夫过程X的正乘法函数。相关的定价算子pti由PTF（X）=EPx[Stf（Xt）]定义，用于马尔可夫状态的支付。我们请读者参阅Qin和Linetsky（2016a），了解马尔可夫定价运营商的详细处理方法。由于以下关键结果表明，纯贴现债券收益率的期限结构在状态向量X中是一个函数（参见Filipovi'c和Mayerhofer（2009）定理4.1），因此F r m（3.2）中的定价内核被称为一个函数。提案3.1。让T>0。以下陈述是等效的：（i）EP【ST】<∞ 对于所有固定初始状态X=X∈ Rm+×Rn。（ii）存在唯一的解（Φ（·），ψ（·））：[0，T]→ 以下Riccati方程组到时间T的R×Rd：Φ′（T）=-ψJ（t）+aJJψJ（t）+b+ψ（t）+γ，Φ（0）=0，ψ′i（t）=-ψ（t）+αiψ（t）+β+iψ（t）+δi，i∈ 一、 ψ′J（t）=B+JJψJ（t）+δJ，ψ（0）=u.（3.3）在任何一种情况下，纯贴现债券估值过程（带单位支付）都是X中的指数：PTt=EPt[ST/ST]=（PT-t1）（x）=P（T- t、 Xt）=e-Φ（T-t）-（ψ（T-t）-u） +Xxt（3.4）适用于所有0≤ t型≤ T≤ t+t和SDE初始条件x∈ Rm+×Rn。因为在本文中，我们的长期假设是EP[St]<∞ 对于所有t，在这种情况下，Riccati ODE系统具有所有t的解ψ（t）和Φ（t），债券定价函数输入零息票债券过程的表达式（3.4）（t，x）=（Pt1）（x）=e-Φ（t）-（ψ（t）-u） +x（3.5）定义为所有t≥ 0和x∈ E、接下来，我们证明了a ffne定价核总是具有a ffne短期利率函数的风险中性因式分解。定理3.1。

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nandehutu2022

2022-5-25 17:39:49

（有效定价核的风险中性因子分解）假设X满足假设3.1和定价核满足假设3.2，以及假设EPx【St】<∞ 对于所有t≥ 0和每个固定初始状态x=x∈ Rm+×Rn。（i）然后，定价核允许风险中性因子分解ST=e-Rtr（Xs）dsMtwith a ffine short rater（x）=g+h+x，（3.6），g=γ-u+JaJJuJ+b+u，hi=δi-u+αiu+β+iu，i∈ 一、 hJ=δJ+B+JJuJ（3.7）和鞅mt=e-Rtλ+sdWPs-Rtkλskds，市场价格为布朗风险（d-vector列）λt=σ（Xt）+u，（3.8），其中σ（x）是SDE（3.1）中s状态变量x的体积矩阵，Kλtk=λ+tλt=u+α（Xt）u。（ii）在鞅定义的风险中性度量Q下，x readsdXt的动力学=（b（Xt）- α（Xt）u）dt+σ（Xt）dWQt，（3.9），其中WQt=WPt+Rtλsds是Q证明下的标准布朗运动。（i）定义流程Mt：=SteRtr（Xs）ds。它也是式（3.2）的形式，γr替换为γ- g和δ替换为δ- h、因此，命题3.1也成立，如果我们用Mt代替st，用γ代替γ-g并将δ替换为δ-h、即EPt【公吨/公吨】=e-Φ（T-t）-（ψ（T-t）-u） +Xxt，其中Φ′（t）=-ψJ（t）+aJJψJ（t）+b+ψ（t）+γ- g、 Φ（0）=0，ψ′i（t）=-ψ（t）+αiψ（t）+β+iψ（t）+δi- 嗨，我∈ 一、 ψ′J（t）=B+JJψJ（t）+δJ- hJ，ψ（0）=u。通过在等式（3.7）中选择g和h，上述ODE的解为Φ（t）=0，ψ（0）=u，这意味着EPt【MT/MT】=1。这表明mt是一个鞅。此外，将SD E用于a ffne状态X，我们可以将mt转换为指数比例形式E-Rtλ+sdWPs-Rtkλskds。λtgiven在（3.8）中。（ii）Q下r X的SDE遵循Gir-sanov定理。接下来，我们将讨论定价核的长期因子分解。定理3.2。（一个定价核的长期因式分解）假设Riccati ODE（3.3）的解ψ（t）收敛到一个固定的po i nt v∈ Rd：限制→∞ψ（t）=v。

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2022-5-25 17:39:53

（3.10）则以下结果成立。（i）满足条件等式（2.1），因此，定理2.1中的所有结果均成立。（ii）长期债券为g i ven b yB∞t=eλtπ（Xt）π（X），（3.11），其中π（X）=e（u-v） +x（3.12）是定价运算符PtPtπ（x）=e的正指数特征函数-具有特征值e的λtπ（x）-λtwithλ=γ-v+JAJVJ+b+v（3.13）被解释为长期零耦合收益：limt→∞-ln P（t，x）t=λ（3.14），对于所有x.（iii）长键具有P-测度动力学：dB∞t=（r（Xt）+（σ∞t） +λt）B∞tdt+B∞t（σ∞t） +dWPt，其中长键的（列向量）v可用性由以下公式给出：σ∞t=σ（Xt）+（u- v）。（3.15）（iv）PK M长期因式分解中的鞅分量∞t=机顶盒∞t可在表格中书写∞t=e-Rt（λ∞s） +dWPs-Rtkλ∞skds，（3.16），其中λ∞t=λt- σ∞t=σ（Xt）+v.（3.17）（v）布朗风险市场价格的长期分解如下：λt=σ∞t+λ∞t、其中σ∞这是长期债券的波动率（3.15）和λ∞tgiven in（3.17）定义了马丁格尔（3.16）。（vi）在长forwa rd测度L下，状态向量Xt解出以下SDEdXt=（b（Xt）- α（Xt）v）dt+σ（Xt）dWLt，（3.18），其中WLt=WPt+Rtλ∞sds是L下的d维拉伸布朗运动，长键具有L测度动力学：dB∞t=（r（Xt）+kσ∞sk）B∞tdt+B∞t（σ∞t） +dWLt。证据因为R iccati ODEψ（t）的解收敛为常数t→ ∞,等式（3.3）的右侧也收敛到一个常数。这意味着ψ′（t）也收敛到一个常数。这个常数必须消失，否则ψ（t）不能收敛到常数。因此，等式（3.3）的右侧也收敛到零。所有这些都意味着ψ（t）=v是Riccati方程的平稳解。（3.3）。

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2022-5-25 17:39:56

将Propo position 3.1应用于表单1/B的a ffine内核∞t、其中B∞在（3.11）中定义的过程中，可以得出等式（3.12）中定义的π（x）是具有特征值（3.13）的定价运营商的惯性函数。然后我们可以验证∞t： =Steλtπ（Xt）π（X）是鞅（带M∞= 1）。我们可以用它来定义一个新的概率度量qπ| Ft：=M∞tP | fta与本征函数π（x）有关。Xtunder Qπ的动力学遵循fr-omGirsanov定理。我们强调π（x）是定价半群算子的本征函数，而不仅仅是生成元的本征函数。一般来说，生成元的本征函数不可能是半群的本征函数。这种情况只会导致局部鞅。在我们的例子中，通过构造，π（x）是半群的n个本征函数，并且过程M∞这是一个马丁格尔，而不仅仅是一个局部鞅。现在，我们证明条件（2.1）在定理3.2中的假设下成立。我们首先在概率度量Qπ：limT下对其进行e-write→∞等式πPTtPTB∞t型- 1.= 0。（3.19）我们现在将验证，在我们的假设下，这确实成立。首先通过等式（3.4）观察：PTtPTB∞t=e-λt-（Φ（T-t）-φ（T））-（ψ（T-t）-v） +（Xt-十）。自限制以来→∞ψ（T）=v和limT→∞Φ′（T）=λ，我们有那个极限→∞PTtPTB∞t=1几乎可以肯定。接下来，我们展示Lconvergence。首先，我们观察到，对于任何>0，都存在一个T>Tψi（T- t）- 六|≤ 为了所有我∈ 我和-λt-（Φ（T-t）-φ（T））+（ψ（T）-v） +X≤ 1+。因此PTtPTB∞t型- 1.≤ 1个+PTtPTB∞t型≤ 1+（1+）Xki=±ek+Xt。由于Xt在Qπ下仍然是一个函数，根据Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）的定理4.1，存在>0，使得对于所有向量k，ek+Xt在Qπ下是可积的，因此Ki=±。因此，根据支配收敛定理，等式（3.19）成立。

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2022-5-25 17:40:01

这证明了（i）和（ii）（等式（3.14）源自等式（3.5）和Φ′（t）→ λ为t→ ∞).（iii）遵循式（3.11）和伊藤公式。为了证明（iv），我们注意到定理2.1 M∞这是一个鞅。根据It^o公式，其波动率为-λ∞t、这证明了（iv）。第（v）部分来自等式（3.17）。为了证明（vi），首先不是e，等式（3.16）和Girsanov定理意味着WLt=WPt+Rtλ∞sds是一个L-Br ownian运动。XT和B的动力学∞tunder L随后出现。定理3的经济意义在于，Riccati方程解的不动点v的存在足以证明长期极限的存在。固定点v本身通过初始特征值（15）确定等式（17）中长期债券的波动性和等式（16）中长期零息票收益率。我们注意到，Qin和Linetsky（2017）定理3.2中的条件在一系列模型中自动满足。事实上，从公式（3.5）中，当Riccati方程有一个固定点v时，从本文的定理3.2中，我们得到了Limt→∞P（T- t、 x）P（t，x）=eλt，我们可以写出P（t，x）=e-λtLx（t），其中Lx（t）=eλtP（t，x）是每个x的时间t的缓慢变化函数。根据公式（3.14），特征值λ与共有长期零息票收益率一致。我们注意到，由于ψ（t）=v是Riccati OD E（3.3）的平稳解，向量v满足以下二次向量方程：v+αiv+β+iv- δi=0，i∈ 一、 B+JVJ- δJ=0。然而，一般来说，该二次向量方程可能具有多个解，从而产生多个指数特征函数。为了确定确定长期因式分解的解（如果存在），必须验证v是Riccatti ODE的极限解，即等式（3.10）成立。

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2022-5-25 17:40:04

在这方面，我们记得，秦和莱因茨基（2016）用二次向量方程的最小解确定了一个定价核的唯一递归特征函数π（见秦和莱因茨基（2016）在线电子伴侣中的附录F）。我们认为，对于马尔可夫定价核S（参见Hansen和Scheinkman（2009）以及Qin和Linetsky（2016）），我们可以将鞅πt=Steλtπ（Xt）π（X）与任何正特征函数π（X）相关联。一般来说，正本征函数不是唯一的。Qin和Linetsky（2016）证明了一个递归特征函数π的唯一性，该函数定义为定价核S的正特征函数，即EPx[Stπ（Xt）]=e-λtπ（x）对于某些λ，在使用相关鞅MπRtas Radon-Nikodym导数定义的局部等效概率测度（本征测度）QπRde下，马尔科夫态过程x是循环的。然而，一般来说，在没有额外假设的情况下，与二次向量方程的最小解相关的递归特征函数πras可能与特征函数πlgerman在长期极限上重合，也可能不重合，因此，长前移测度可能与递归特征测度重合，也可能与之不重合（R iccati ode的固定点v可能是也可能不是二次向量方程的最小解）。在其他指数遍历性假设下，Riccati ODE的固定点必然是二次向量方程的最小解，并且πR=πL。如果指数遍历性假设不满足，则它们可能不同，或者一个可能存在，而另一个不存在。关于指数遍历性假设，请读者参考秦和莱因茨基（2016）和秦和莱因茨基（2017）。a ffene模型的可分析性使我们能够提供完全明确的示例来说明这些理论可能性。

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2022-5-25 17:40:07

在下一节中，我们将给出一系列示例。4示例4.1 gersoll-Ross模型中的Cox假设状态遵循循环变化（Cox et al.（1 985））：dXt=（a- κPXt）dt+σpXtdWPt，（4.1），其中a>0，σ>0，κP∈ R、 wp是一维标准布朗运动（在这种情况下，m=d=1，n=0）。考虑表（3.2）中的CIR定价核心。短速率由（3.6）给出，g=γ+au，h=δ- uκP- uσ/2。为简单起见，我们选择γ=-au和δ=1+uκP+uσ/2，因此可以用状态变量rt=Xt来识别短期利率。布朗风险的市场价格为λt=σu√Xt。在Q下，短期利率遵循过程（3.9），这也是一种差异，但平均回复率不同：κQ=κP+σu。Riccati ODEψ′（t）=-σψ（t）- 初始条件为ψ（0）=u的κPψ（t）+δ可以很容易地确定。自从-uσ-uκP+δ=1>0，我们知道ψ（0）=u在二次方程的两个根之间-σx- κPx+δ=0。这立即意味着ψ（t）收敛到更大的根，即limt→∞ψ（t）=pκp+2σδ- κPσ=qκq+2σ- κPσ=κL- κPσ=：v，其中我们引入以下公式：κL=qκq+2σ。因此，CIR模型中的长键由B给出∞t=eλt-κL-κQσ（Xt-十） λ=a（κL- κQ）σ（4.2）和长期债券波动率σ∞t=-κL- κQσpXt。在长远期措施下，状态遵循过程（3.18），这也是一种差异，但平均逆转率κL>κQ有所不同。固定点V与长远期措施L下的平均逆转率和da生成措施P之间的差异成正比。它通过λ定义了L下的风险市场价格∞t=vσ√Xt。我们注意到，如果选择u=(-κP±PκP- 2σ）/定价核规范中的σ，然后v=0和λ∞t=0，因此长期因子中的边际成分是退化的，定价核是与转移无关的形式。

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能者818

2022-5-25 17:40:10

在这种情况下，κP=κLso表示数据生成度量值与long-for-ward度量值一致。这是罗斯恢复定理的条件（参见Qin和Linetsky（2016）了解更多详细信息）。由于CIR零息票债券定价函数的封闭式解是可用的（Cox等人（1985）），这些结果也可以通过直接计算极限来恢复→∞P（T- t、 y）P（t，x）=eλtπ（y）π（x），特征值λ由式（4.2）给出，特征函数π（x）=e-κL-κQσx.备注4.1。Boroviˇcka等人（2016年）在第2513页的示例4中也考虑了由单一CIR因素驱动的指数定价内核。然而，他们对PK的规定是一种特殊形式，即对于短速率，公式（4）中的h=0（对应于我们参数化中的选择δ=uκP+uσ/2）。因此，所有对CIR因子的依赖都包含在其PK的风险中性因子分解的鞅分量中，短期利率为常数。在这种特殊情况下，长期债券是确定性的，长期远期措施与风险中性措施简单相等，因为短期利率与状态变量无关。在这种特殊情况下，定价算子有两个不同的正特征函数。其中一个特征函数是常数。该特征函数定义了风险中性度量，在这种情况下，由于短期利率和状态变量的特征函数的独立性，该度量与远期度量一致。第二个特征函数（Boroviˇcka et al.（2016）中的公式（19））定义了一个概率度量，它不同于风险中性度量，因此也不同于长期前瞻度量。根据CIR过程的特定参数值，两个特征函数中的任何一个都可以作为递归特征函数。

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2022-5-25 17:40:14

与其他本征函数相关的本征测量值不会重复出现，因为CIR过程在该测量值下会有非均值回复漂移。4.2吸收为零的CIR模型：存在L，QπRDoesNot存在我们接下来考虑退化CIR模型（4.1），其中a=0，σ>0，κ∈ R、当扩散结束时，扩散在零处有一个吸收边界，即在有限时间内达到零的正可能性，一旦达到，过程在所有后续时间都保持在零，概率为1。考虑等式（3.2）形式的定价核心。短速率由（3.6）给出，g=γ，h=δ- uκP-uσ。我们假设γ=0，δ=1+uκP+uσ>0，因此短期利率Rt取inR+。布朗风险的市场价格为λt=σu√在Q下，短期利率遵循过程（3.9），这再次是一个吸收边界为零的循环微分，但具有不同的平均回复率κQ=κP+σu。很明显，在任何局部等效度量下，零r emains吸收，不存在循环本征函数。然而，我们可以用与CIR模型分析相同的方法来表明B∞t=e-κL-κQσ（Xt-十） κL=qκq+2σ是长键，XT用a=0和平均回复率κLunder L求解CIR SDE（4.1）。事实上，长键和长前向测度的处理方法与a>0的非简并示例完全相同，即使这种情况下吸收为零。在这种情况下，特征值退化，λ=0，渐近长期零息票收益率消失，对应于在零处短期利率的最终吸收。4.3 Vasicek模型我们的下一个例子是Vasicek（19 77）模型，其状态变量如下：dXt=κ（θP- Xt）dt+σdwpt，κ>0，σ>0（在这种情况下，m=0，n=d=1）。考虑表单（3.2）中的定价核心。

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nandehutu2022

2022-5-25 17:40:17

短速率由（3.6）给出，其中g=γ+uκθP-uσ和h=δ-uκ。为简单起见，我们选择γ=-uκθP+uσ，δ=1+uκ，因此短期利率与状态变量rt=Xt一致。在这种情况下，布朗风险的市场价格是恒定的，λt=σu。在Q下，短期利率遵循过程（3.9），在这种情况下，这也是O u差异，但具有不同的长期平均值θQ=θP-σuκ（平均逆转率κ保持不变）。ODEψ′（t）=-初始条件为ψ（0）=u的κψ（t）+δ为ψ（t）=-（Δκ+u）e-κt+Δκ，该极限产生固定点极限→∞ψ（t）=Δκ=：v。因此，Vasicek模型中的长键由b给出∞t=eλt-κ（Xt-十）长期收益率λ=θQ-σ2κ和长期债券波动率σ∞t=-σκ。在长期远期衡量下，短期利率遵循过程（3.18），即获得OU差异，但具有不同的长期平均值θL=θQ-σκ（平均外翻率保持不变）。4.4非均值回复高斯模型：QπRexsts，L不存在假设XT是一个具有有效漂移和恒定波动性的高斯扩散，XT=κ（θ- Xt）dt+σdWPt，但现在κ<0，因此该过程不是均值回复。考虑一个风险中性定价内核，该内核以rt=Xt（即St=e）的折扣率进行折扣-RTXSD。然后，纯贴现债券价格由PTt=P（Xt，T）给出- t） p（x，t）=A（t）e-xB（t），B（t）=1- e-κtκ，A（t）=expn（θ-σ2κ）（B（t）- t）-σ4κB（t）o。很容易看出比率P（y，t- t） /P（x，t）没有明确的极限asT→ ∞ 因此，PTt/PTt不收敛为T→ ∞. 因此，在这种情况下，长键和长前向测度L不存在。然而，在这种情况下，递归智能函数π和递归特征测度QπRdo存在，并在第6.1节中明确给出。Qin和Linetsky（2016）第3页。

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2022-5-25 17:40:20

在QπR下，Xtis theOU过程具有均值回复（因为κ<0）：dXt=（σ/κ- κθ+κXt）dt+σdWQπRt.4.5 Breeden模型我们的下一个示例是Hansen和Scheinkman（2009）示例3.8中考虑的Breeden（1979）消费CAPM的特例。有两个独立的因素，一个随机波动性因素xVT根据CIR过程演变dxVT=κv（θv- Xvt）dt+σvpXvtdWv，pT和平均回复生长因子xgt根据OU过程演变dxgt=κg（θg- Xgt）dt+σgdWg，Pt。这里假设κv，κg>0，θv，θg>0，σg>0，σv<0（因此wv的正增加会减少波动性），以及2κvθv≥ σv（因此波动率保持严格的正）。假设均衡消费量根据todct=Xgtdt+pXvtdWv，Pt+σcdWg，Pt演变，其中，cti是消费量Ct的对数。因此，Xgmodels可以预测增长率，Xvmodels可以预测波动率。还假设代表性消费者的偏好由Z∞e-btC1-在- 11- adt公司对于a，b>0。然后，隐含定价核StisSt=e-btC公司-at=exp-aZtXgsds- 英国电信- aZtpXvsdWv，Ps- aZtσcdWg，Pt.将SDE用于Xgand和Xvit可以采用有效形式（3.2）进行转换：St=exp-γt-aσv（Xvt- 十五）-aσcσg（Xgt- Xg）-aκvσvRtXvsds- （a+aσcκgσg）RtXgsds,式中γ=b-aκvθvσv-aσcκgθgσg命题4.1。如果κg>0（平均回复生长率）且κv+pκv+2aκvσv+aσv>0，则等式（3.10）成立，因此，定理3成立。2适用。长期债券由B提供∞t=经验值λt+（aσv- v）（Xvt- Xv）+（aσcσg- v）（Xgt- Xg）,式中λ=γ-σgv+κvθvv+κgθgv，v=（pκv+2aκvσv-κv）/σv，v=a（1/κg+σc/σg），并且状态变量在L下具有以下动力学：dXvt=κvθv-pκv+2aκvσvXvtdt+σvpXvtdWv，Lt，dXgt=κgθg-aσgκg-aσcσgκg- Xgt公司dt+σgdWg，Lt证明。

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2022-5-25 17:40:23

在该模型中，公式（3.3）减少到Φ′（t）=-σgψ（t）+κvθvψ（t）+κgθgψ（t）+γ，Φ（0）=0，ψ′（t）=-σvψ（t）- κvψ（t）+aκvσv，ψ（0）=aσv，ψ′（t）=-κgψ（t）+a+aσcκgσg，ψ（0）=aσcσg。在这种特殊情况下，ψ（t）和ψ（t）是分开的，因此可以独立分析。很容易看出，如果κg>0，则ψ（t）收敛于v。当κv+pκv+2aκvσv+aσv>0时，aσvis大于二阶方程的较小根-σvψ（t）- κvψ（t）+aκvσv，这意味着ψ（t）收敛到v的二阶方程的较大根。可以相应地计算出特征值和状态变量的动力学。.该证明基本上结合了示例4.1和4.3中的证明。与这些例子类似，我们观察到，在长期正向测量下，波动因子的平均回复率较高，pκv+2aκvσv>κv，而增长率的平均回复率保持不变，但其长期水平较低。4.6 Borov iˇcka et al.（2016）连续时间长期风险下一个例子是Boroviˇcka et al.（2016）研究的Bansal和Yaron（2004）长期风险模型的连续时间版本。它的特点是增长率的可预测性和总消费的随机波动性以及递归偏好。该模型根据Bansal和Yaron（2004）的消费动态进行了校准。二维状态建模增长率的可预测性和随机波动性遵循a ffene动力学：dXtXt文本=0.013+-零点零一三零零-0.021XtXt文本dt+qXt-0.038 00 0.00034d“W1，PtW2，Pt#，其中Wi，Pt，i=1，2是两个独立的布朗运动。这里，XT是CIR过程后的随机波动率因子，XT是具有随机波动率的OU型均值回复增长率因子。

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2022-5-25 17:40:27

该模型中的总消费过程Ct根据tod log Ct=0.0015dt+Xtdt+pXt0.0078dW3，Pt演变，其中W3，Pis是第三个独立的布朗运动模型，直接冲击消费。数值参数来自Boroviˇcka等人（2016），并校准为每月频率（此处时间以月为单位）。该模型中的代表性agent具有递归的同感偏好和unitar y替代弹性。Boroviˇcka等人（2016年）求解定价内核：d log St=-0.0035dt- 0.0118Xtdt- Xtdt公司-pXth0.0298 0.1330 0.078 0idWPt，其中三维布朗运动WPt=（Wi，Pt）i=1,2,3被视为柱向量。现在，我们将该模型规格转换为假设3.2的三维形式。为此，我们引入了第三个f因子Xt=log St。然后我们可以以指数形式St=eXt编写定价核，其中状态向量（Xt，Xt，Xt）遵循由三维布朗运动驱动的三维a函数微分：dXt=（b+BXt）dt+pXtρdWPt，其中，上面给出了三维向量b和3×3矩阵b和ρ的数值。现在，我们可以直接将我们的一般结果应用于一个有效的定价内核。首先，根据定理3.1，短期利率为r（Xt）=0.0 035-0.00057798Xt+X仅取决于f因素X和X，且与X无关。风险中性（Q-度量）动态由以下公式得出：dXtXtXt文本=0.013-0.0035+-零点零一一九零零-0.00004522-0.021 00.0129-1 0XtXtXt文本dt+pXtρdWQt，其中ρ=-0.038 0 00 0.00034 0-0.0298-0.1330-0.0780.向量ψ（t）=（ψ（t），ψ（t），ψ（t））+求解ODE（此处α：=ρρ+）：ψ′（t）=-ψ（t）+αψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t），ψ′（t）=Bψ（t）+Bψ（t），ψ′（t）=0，Φ（0）=ψ（0）=ψ（0）=0，ψ（0）=-1.

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2022-5-25 17:40:32

ψ（t）立即≡ -1和ψ（t）=BB（1- eBt），并且，由于B<0，limt→∞ψ（t）=B/B=47.6191：=v。要看到ψ（t）收敛，请注意，我们可以写-ψ（t）+αψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）+Bψ（t）=c（ψ（t））+cψ（t）+c（ψ（t））+cψ（t）+c，其中c，c，c，c<0。因为ψ（0）=ψ（0）=0，所以ψ′（0）<0。因为ψ（t）>0，很容易看到ψ（t）<0。由于ψ（t）<v，我们有c（ψ（t））+cψ（t）+c（ψ（t））+cψ（t）+c>c（ψ（t））+cψ（t）+cv+cv+c。我们可以检查c（ψ（t））+cψ（t）+cv+cv+c=0有两个负根。表示更大的根v，我们看到tψ（t）>v。结合这些事实，我们看到ψ（t）收敛到v。vhas的精确值由数值确定。数值解yieldsv=limt→∞ψ（t）=-0.2449。在图1中，我们绘制了函数ψ（t）和ψ（t），以及[0，t]期间t键上的gr oss返回Bt+tTo，作为t的函数。在这个数字示例中，我们取t=12个月，因此我们考虑的是一年的持有期回报，并假设初始状态X和状态X都等于P下的平稳平均值。我们观察到，在这个模型中，规范ψ（t）和Bt+t在大约30年（360个月）的时间里已经非常接近固定点。t0 100 200 300 400 500 600 800 900 1000ψ-0.25-0.2-0.15-0.1-0.05t0 100 200 300 500 600 800 900 1000ψt0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000Btt+T1.0051.011.0151.021.0251.031.035图1：ψ（t）、ψ（t）和Bt+Tt的曲线图。

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2022-5-25 17:40:36

时间以月为单位。根据定理3.2，决定长键的本征函数是π（x）=e-vx公司-vx，对应于特征值（注意，这不是年化收益率，因为时间单位为个月）λ=bv+bv- b=0.0003163，长键由b给出∞t=eλt-v（Xt-X）-v（Xt-十），鞅分量由m给出∞t=eλt-v（Xt-X）-v（Xt-十） +Xt，并且状态向量（Xt，Xt，Xt）在长For For Ward测度L下具有以下动力学：dXtXtXt文本=0.013-0.0035+-零点零一一五零零-0.00005074-0.021 00.0153-1 0XtXtXt文本dt+pXtρdWLt。正如Boroviˇcka等人（2016）所观察到的那样，在该模型中，长前向测度L下的状态动力学与风险中性测度Q下的状态动力学接近，并且由于波动鞅分量M，与数据生成测度P下的动力学基本不同∞t、然而，我们对该模型的分析方法不同于Boroviˇcka等人（2016）的分析。我们将其转换为一个三因素a ffine模型，并直接应用我们的定理3。2对于a ffenemodels，这是我们定理2.1对于半鞅模型的一个结果。我们只需要确定R iccati方程的固定点（3.10）。长期债券的存在性、定价核的长期因式分解和长期加权测度立即遵循定理3.2，无需验证遍历性。事实上，三因素a ffne过程（Xt，Xt，Xt）不是遍历性的，甚至不是重复性的，正如从X的动力学可以立即看到的。相反，a pproachin Boroviˇcka et al.（2016）依赖于二维均值r倒转a ffne diffusion（Xt，Xt）。也就是说，由于Hansen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius理论要求遍历性来挑出主特征函数并确定其与长期因子分解的相关性，Boroviˇcka et al。

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2022-5-25 17:40:39

（2016）隐式地将定价核分解为两个子核的乘积、二维马尔可夫过程（Xt，Xt）的乘法泛函和表中的附加因子-Rt0.0780√XsdW3，Ps.然后将Ha-nsen和Scheinkman（2009）的Perron-Frobenius理论应用于二维马尔可夫过程（Xt，Xt）的乘法泛函。相反，在我们的方法中，我们不需要遍历性，直接使用无n遍历三维过程，并验证RiccatiODE具有固定点，根据定理3.2.5，这已经足以证明a ffne模型中长期因子分解的存在。结论本文构造并研究了a ffne定价核的长期因子化，即按长期债券的收益率进行贴现，以及实现概率测度向长期远期测度转变的可替代成分。研究表明，与长期因子分解密切相关的定价核的主要特征函数是状态向量的n指数函数，其中有效向量与Riccati码的固定点相同。长期债券波动率和鞅分量的波动率在此固定点之间明确确定。分析给定模型时，研究需要确定Riccati O DE是否具有固定点。如果确定了固定点，则随后进行长期因式分解。本文展示了长期因子分解如何在各种sset风险模型中发挥作用，包括单因子CIRand Vasicek模型、Breeden的CCAPM的双因子版本以及Boroviˇcka等人（2016）研究的三因子长期运行风险模型。参考文献f。阿尔瓦雷斯和杰曼。使用资产价格来衡量财富边际效用的持续性。《计量经济学》，73（6）：1977–2016，2005。D、巴科斯，N。

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2022-5-25 17:40:42

Boyarchenko和M.Chernov。资产价格和回报的期限结构。可用t SSRN，http://ssrn.com/abstract=2762069，2015年。G、 Bakshi和F.Chabi Yo。随机贴现因子的永久性和暂时性分量的方差界。《金融经济学杂志》，105（1）：191–208，2012年。G、 Bakshi、F.Chabi Yo和X.Gao。我们可以信任的复苏？推导和检验恢复定理的限制条件。技术报告，工作文件，2015年。R、 Bansal和A.Yaron。长期风险：资产定价混乱的潜在解决方案。《金融杂志》，59（4）：148 1–1509200 4。J、 Boroviˇcka、L.P.Ha nsen、M.Hendricks和J.A.Scheinkman。风险价格动态。《金融计量经济学杂志》，9（1）：3–65，2011年。J.Boroviˇcka、L.P.Hansen和J.A.Scheinkman。错误指定的恢复。《金融杂志》，71（6）：2493–25442016。J、 Boroviˇcka和L.P.Hansen。宏观经济中不确定性的期限结构。《宏观经济学手册：第2B卷，第20章，第164 1-1696页》。ElsevierB。五、，2016年。D、 T.Breeden。具有随机消费和投资机会的跨期资产定价模型。《金融经济学杂志》，7（3）：265–2961979。T、克里斯滕森先生。正特征函数的非参数识别。计量经济学理论，31（6）：1310–1330，2016。T、克里斯滕森先生。非参数随机贴现因子分解。即将发表于《计量经济学》，2017年。J、 C.Cox，Jr J.E.Ingersoll和S.A.Ross。利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–4081985。Q、 Dai a和K.J.Singleton。短期结构模型的规格分析。《金融杂志》，55（5）：1943-1978，2000年。D、杜菲和R.Kan。利率的收益率模型。《数学金融》，6（4）：379–4061996。D、杜菲、J.潘和K.辛格尔顿。转换分析和资产定价以实现跳跃式差异。

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