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公式J=J（z）包含形式为zJ′（z）和zJ′（z）的表达式，因此可以通过替换（z，J（z））7将其制成齐次方程→ （eu，K（u））。然后，通过设置w（K）=dkduan并将K作为方程的主题，可以将K的二阶方程简化为一阶方程，有关相关问题m中类似r阶降阶的详细信息，请参见[13]或[15]。然而，在某些情况下，x=0位于无反作用区域内，此时z未定义，并且上述方法不起作用。因此，我们需要使用不同的参数化。我们使用基于Pt=YtΘtXt+YtΘtre的参数化表示非流动资产中账面财富的比例。x=±0（或z=±）处的终点∞) 在p=1时成为一个微妙的点，但正如我们仔细分析所示，任何奇点都可以消除。使用（2）中的值函数形式计算所有相关的偏导数，（5）可以写成0=bbG（p）-pG′（p）1- R1.-1/R- δG（p）+r（1- p） [（1- R） G（p）- pG′（p）]+α[（1- R） pG（p）+p（1- p） G′（p）]+ηp（1- p） G′（p）- 2Rp（1- p） G′（p）- R（1- R） pG（p）-β[（1- R） G（p）- pG′（p）]+ηρ-R（1- R） pG（p）+Rp（2p- 1） G′（p）- p（1- p） G′（p）2[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]。（19） 交易费用为25Leth（p）=sgn（1）的多资产投资与消费问题- p） | 1- p | R-1G（p）和w（h）=p（1- p） dhdp。然后是新（h）p（1- p） =dhdp=sgn（1- p） | 1- p | R-1.G′（p）+（1）- R） G（p）1- p（20） in turnG′（p）=w（h）| p | 1- p | R- （1）- R） G（p）1- p、 （21）本文件G（p）-pG′（p）1- R=G（p）-p1级- Rw（h）| p | | 1- p | R- （1）- R） G（p）1- p= |1.- p|-右侧1.-w（h）（1- R） h类. （22）我们预计Vx>0，因此该表达式为正。因此，sgn（1-p） =sgn（h）=sgn（1- W（h））。

然后G（p）-pG′（p）1- R1.-1/R=sgn（1- p） | 1- 第1页-右侧| h|-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R，（23）（1）- p） [（1- R） G（p）- pG′（p）]=sgn（1- p） | 1- 第1页-R[（1- R） h类- w（h）]，（1- R） G（p）-pG′（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-R1级- p（1- R） h类1.-w（h）（1- R） h类和（1- R） pG（p）+p（1- p） G′（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rw（h）。进一步求导ew（h）w′（h）=p（1- p） dhdpddhw（h）=p（1- p） ddpw（h）=p（1- p） ddp公司sgn（1- p） | 1- p | R-1[p（1- p） G′（p）+（1）- R） pG（p）]= sgn（1- p） | 1- p | R-1.p（1- p） G′（p）+p（1）- p） （1）- 2Rp）G′（p）+（1- R） p（1- Rp）G（p）假设b>0意味着代理人希望持有正数量的非流动资产，并且无交易楔子包含在半空间p>0中。考虑到b<0，有必要考虑p<0。这种情况可以通过在h的定义中加入额外的sgn（p）因子，从而将h（p）=sgn（p（1- p） ）| 1- p | R-1G（p）。这导致了额外的情况，但没有新的数学，问题仍然可以归结为求解n′=O（q，n），其中O由（7）给出，但现在q<0。交易成本为26的多资产投资和消费问题，因此（19）中的二阶项可以改写为：p（1- p） G′（p）- 2Rp（1- p） G′（p）- R（1- R） pG（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rw（h）（w′（h）- 1） ，则，-R（1- R） pG（p）+Rp（2p- 1） G′（p）- p（1- p） G′（p）=-|1.- 第1页-R1级- psgn（1- p） （w′（h）w（h）- （1）- R） w（h）），pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）=sgn（1- p） | 1- p|-（1+R）[w（h）w′（h）+（2R- 1） w（h）- R（1- R） h）]。（24）替换回（19），并除以sgn（1-p） | 1- 第1页-Rwe获得0=bbh | h|-1/R1.-w（h）（1- R） h类1.-1/R- δh+r[（1- R） h类- w（h）]+αw（h）+ηw（h）（w′（h）- （1）-nβ（1- R） h类1.-w（h）（1-R） h类- ηρ[w′（h）w（h）- （1）- R） w（h）]o2[w（h）w′（h）+（2 R- 1） w（h）- R（1- R） h）]。（25）回顾定义W（h）=W（h）（1-R） h，N=W-1和n（q）=n（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R。

thennw（N（q））=（1- R） N（q）W（N（q））=（1- R） qN（q）。将h=N（q）放入（25）并除以h。然后我们得到0=bbn（q）- δ+r（1- R） （1）- q） +α（1- R） q+η（1- R） [qw′（N（q））- q]-1.- R{β（1- q）- ηρ[qw′（N（q））- （1）- R） q]}qw′（N（q））+（2R- 1） q-R、 （26）回顾第3.2节开头给出的辅助常数（bi）i=1,2,3,4的定义。重新计算（26）并乘以b0=（1- R） q（w′（N（q）））+[bn（q）- [b+bR（1- R） ]+（b+2R- 2） （1）- R） q]qw′（N（q））+（2R- 1） （b）- 1） +R（1- （b）（1）- R） q+[（1- 2R）b+R（1- R） b类- R（1- R） b]q+bR+b[（2R- 1） q- R] n（q）=：A（qw′（n（q））+B（qw′（n（q）））+C.（27）一个具有交易成本的多资产投资和消费问题27这可以看作是qw′（n（q））中的二次方程。请注意，系数A、B、C仅通过辅助参数B、B、B依赖于市场参数s。我们希望根对应于Vxx<0。这相当于1- RpG′（p）+2R1- RpG′（p）- RG（p）<0。（28）使用（24）和sgn（1- p） =sgn（h），并将（28）乘以| 1- p | R+1/| h |我们发现我们想要的解决方案是（1- R） h{w（h）w′（h）+（2R）- 1） w（h）- R（1- R） h}={qw′（N（q））+（2R- 1）q- R} <0。（29）考虑（26）和w rite u=qw′（N（q））。对于固定q和n（q），（26）的形式为（1-R） 澳大利亚-a=（1-R） （au+a）（u-a） 其中（ai）1≤我≤5是a>a且a=R的常数-（2R-1） 很容易看出，这个方程有两个解，一个在u=a的每一边，而从（29）中，我们想要的那一个是较小的根。Thusqw′（N（q））=-B- sgn（A）√B- 4AC2A。其中A、B、C是（27）中的常数。注意，sgn（A）=sgn（1- R） 。那么，我们haven′（q）n（q）=1- RR（1- q）-RN′（q）N（q）=1- RR（1- q）-1.- RRqqw′（N（q））- （1）- R） q=1- RR（1- q）-1.- RR2Aq-B- sgn（A）√B- 4AC- 2A（1- R） 经过一些代数，我们到达n′（q）=（1）- R） n（q）R（1- q）-2（1- R） qn（q）/R2（1- R） （1）- q） [（1）- R） q+R]- ^1（q，n（q））- sgn（1- R） pД（q，n（q））+E（q）。附录B。

候选值函数的连续性与光滑性命题1的情形（i）的证明。我们有Zn（q*)N（q*)duw（u）-Zp公司*p*duu（1- u） =Zq*q*N′（u）（1）- R） uN（u）-u（1- u）du+Zq*q*duu（1- u）-Zp公司*p*duu（1- u） =Zq*q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦- ln（1+ξ）=0使用（11），这建立了（13）和（14）的等价性。假设我们有一个解（n（·），q*, q*) 到（12），n严格为正。设N（q）=sgn（1-q） n（q）-R | 1- q | R-1，W=N-1和w（h）=（1- R） hW（h）。我们设置GC（p）=sgn（1- p） | 1- 第1页-Rh（p）一个交易成本为28的多资产投资和消费问题，其中h solvesdhdp=W（h）p（1-p） 。为了便于记法（并允许我们编写派生脚本），将G写成GC的简写。首先，我们检查G是否为C。在无交易间隔之外，这是从定义开始立即出现的，并且在（p*, p*) 这是因为n和n′是连续的。这一特性由一对父子（w，w′）继承，然后由三个父子（h，h′，h′）进行积分，最后由三个父子（G，G′，G′）进行积分。仍需检查p处G、G′和G′的连续性*和p*. 我们证明了a t p的连续性*;p的证明*都是相似的。使用1-q*1.-p*=1+λp*对于倒数第二个等价，我们有g（p*+) = sgn（1- p*)|1.- p*|1.-右侧（p*)= sgn（1- p*)|1.- p*|1.-Rsgn（1- q*)n（q*)-R | 1- q*|R-1=n（q*)-R（1+λp*)1.-R=G（p*-).p上G′的连续性*从（2）开始，其中g（p*+)-p*G′（p*+)1.- R=| 1-p*|-右侧*（1）-W（h*)) =G（p*+)1.- p*（1）-q*) =G（p*)1+λp*= G（p*-)-p*G′（p*-)1.- R、 最后，fr om（24），p*G′（p*+) + 2Rp*G′（p*+) - R（1- R） G（p*+)=G（p*+)（1）- p*)h类*[w（h*)w′（h*) + （2R- 1） w（h*) - R（1- R） h类*]= -R（1- R） G（p*)1.- q*1.- p*= -R（1- R） G（p*)（1+λp*)= p*G′（p*-) + 2Rp*G′（p*-) - R（1-R） G（p*-)我们得出结论，G′在p=p时是连续的*.现在我们认为（x+yθ）1-R1级-RG（yθx+yθ）严格递增且严格凹。外部[p*, p*] 这是定义的直接形式。

在[p*, p*] 如果G（p），则会出现递增性质-pG′（p）1-R> 0。但这是微不足道的，因为g（p）-pG′（p）1- R=| 1- p|-右侧（1- W（h））=| 1- p|-RN（q）（1- q） =| 1- p|-R | 1- q | Rn（q）-R> 0。同时，（x+yθ）1-R1级-RG（yθx+yθ）在[p]上是凹的*, p*] 等于（28），或通过分析得出（29）到qw′（N（q））+（2R- 1） q- R<0。但这源于我们对根的选择（27）。命题1案例（ii）的证明。注意，Q的被积函数*q*Rq（1-R） O（q，n（q））n（q）dq是全方位负的，因此dq是全方位负的*-Rq（1-R） O（q，n（q））n（q）dq存在于[0，ln（1+ξ）]。因此-ln（1+ξ）6 a 6ln（1+ξ）。一个交易成本为29的多资产投资和消费问题，对于p 6=1，G=gc的平滑度如下，如命题1的第一种情况所示。我们将重点讨论p=1的情况。首先假设p*< 1<p*. 如果我们可以证明G和G′在p=1时的连续性→1G（p）G（p）-pG′（p）1- R1.-1/R=n（1）（30）和跛行→1pG′（p）（1- R） G（p）=1- ea。（31）将（31）替换为（30）we rec超过给定的G（1）值。使用（23）和p的等价性→ 1和q→ 1我们有G（p）G（p）-pG′（p）1-R1.-1/R=| h|-1/R | 1-W（h）| 1-1/R=| N（q）|-1/R | 1- q | 1-1/R=n（q）→ n（1）和（30）保持不变。对于（31），我们有，1- W（h（p））1- p=（1- R） h（p）- p（1- p） h′（p）（1）- R） （1）- p） h（p）=1-pG′（p）（1）- R） G（p）。假设p<1。然后使用h（p）的定义，0=Zh（p）N（q*)duw（u）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*N′（q）dq（1）- R） qN（q）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*N′（q）（1）- R） qN（q）-q（1- q）dq+ZW（h（p））q*dqq（1- q）-Zpp公司*duu（1- u） =ZW（h（p））q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦-Zq公司*p*duu（1- u）-ZpW（h（p））dqq（1- q） =ZW（h（p））q*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）杜邦- ln（1+λ）- ln公司pW（h（p））1- W（h（p））1- p.出租p↑ 1.利用跛行的事实→1W（h（p））=1，我们得到Limp↑11- W（h（p））1- p=ea。（32）p>1的类似计算得出limp↓1W（h（p））- 1便士-1=Ea。因此（31）成立。

作为副产品，我们可以建立Limp→1G′（p）=（1- R） （1）- ea）G（1）=（1）- R） （1）- ea）n（1）-Re公司-（1）-R） a.一个交易成本为30的多资产投资和消费问题，现在考虑G′在p=1时的连续性。我们表现出跛行→1G′（p）存在。考虑方：[（1）- R） G（p）-pG′（p）]G（p）[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]=（1- R） h（1- W（h））W（h）W′（h）+（2R- 1） w（h）- R（1- R） h=（1- R） （1）- q） （1）- R） qN（q）/N′（q）- （1）- q） [R+（1- R） q]=（1- R） [1- R- R（1- q） n′（q）/n（q）]R[R+（1- R） q]n′（q）/n（q）- R（1- R） 。然后，跛行→1[（1- R） G（p）-pG′（p）]G（p）[pG′（p）+2RpG′（p）- R（1- R） G（p）]=limq→1（1- R） [1- R- R（1- q） n′（q）/n（q）]R{[R+（1- R） q]n′（q）/n（q）- （1）- R） }=（1- R） R[n′（1）/n（1）- （1）- R） 】。（33）注意n′（1）/n（1）- （1）- R） 6=0，因为sgn（n′（1））=-sgn（1- R） 。因此，该限值始终是明确的，可用于获得limp的表达式→1G′（p）。由于G是Cand（28），对于p<1和p>1都成立，因此（28）在p=1和（x+yθ）1也成立-R1级-RG（yθx+yθ）在[p]上是凹的*, p*].最后，我们考虑以下情况：*= 1或p*= 1、假设我们处于前一种情况。然后显示G在p的连续性*= 1足以表明n（q*)-R（1+λ）1-R=n（1）-Re公司-（1）-R） a.但q*= 1当p*= 1，因此a=-ln（1+λ）。然后，上述表达式立即成立。G′（1）和G′（1）的值可以再次从（31）和（33）中推断出来。在案例p中也有类似的结果*= 1.附录C。

候选值函数和HJB方程在本节中，我们验证了命题1中给出的候选值函数解决了HJBvariational不等式- supc>0，πLc，πVC，-MVC，-NVC公司= 0（34）一个交易成本为31的多资产投资和消费问题，其中L、M和N是算子Lc，πf：=c1-R1级- R- cfx+σfxxπ+（（u- r） fx+σηρfxyy）π+rfxx+αfyy+ηfyy- δf，Mf：=fθ- （1+λ）yfx，Nf：=（1）- γ） yfx公司- fθ。注意，对于f=f（x，y，θ），它是严格递增的，并且在x中有*f：=supc>0，πLc，πf=R1- Rf1-1/Rx+rxfx+αyfy+ηyfyy-（βfx+ηρyfxy）2fxx- δfand，因此它等效于表明-L*VC，-MVC，-NVC公司= 从VC的构造来看，L*无交易区域、购买区域和销售区域的VC=0、MVC=0和NVC=0。因此，仍需证明L*VC6 0、NVC6 0、，-1/λ6 p<p*;MVC6 0，NVC6 0，p*6页6页*;L*VC6 0，MVC6 0，p*< p 6 1/γ。采购区域p上∈ [-1/λ，p*), 直接替换显示NVC=-bRb公司-Rn（q*)-R（λ+γ）y（x+yθ）-R（1+λp）-R6 0，andL*VC=R（x+yθ）1-R1级- RbRb公司1.-R（1+λp）1-Rn（q*)-Rm（q*) - m级（1+λ）p1+λp6我们使用了n（q）的事实*) = m（q*),（1+λ）p1+λp<（1+λ）p*1+λp*= q*平方m（q）随着q<q而减小（分别增大）*< Q当R<1时（分别为R>1）。可以对销售区域p执行类似的计算∈ （p*, 1/γ]表示MVC6 0和L*VC6 0。现在，我们展示了无事务注册表上的MVC6 0∈ [p*, p*]. 不等式NVC6 0可以用同样的方式证明。

再次将G作为GC的简写，我们有mvc=VCθ- （1+λ）yVCx=pVCθ（1+λp）G′（p）G（p）- λ（1- R）.因为sgn（VC）=sgn（1- R） ，有必要并有足够的时间显示（1- R）（1+λp）G′（p）G（p）- λ（1- R）6 0。交易费用为32但G（p）=sgn（1）的多资产投资与消费问题- p） h（p）| 1- 第1页-Rf对于p6=1，然后G′（p）G（p）=h′（p）h（p）-1.- R1级- p=w（h）h（p）p（1- p）-1.- R1级- p=1- R1级- pW（h）p- 1.所需的不等式是1- W（h）1- p> 1+λp.（35）我们将证明p的（35）∈ [p*, p*] \\ {1}。然后，MVC6 0将保持在p=1以及VC的平滑度。按构造q=W（h（p））。由于W是单调的，h是单调的，除非可能在p=1时，因此q是p的增函数。然后，从identityZN（q）N（q）开始*)dhw（h）=Zpp*duu（1- u） 在替换导致（1 0）之后，我们发现了ZQQ*-Ru（1- R） O（u，n（u））n（u）du=-Zqq公司*dvv（1- v） +Zpp*duu（1- u） 。由于左侧的表达式在q中递增，我们推导出q（1- q） dqdpp（1- p） 。定义χ（p）：=（1+λ）p1+λp。然后χ是ODEχ′（p）=（p，χ（p）），其中（p，y）=y（1-y） p（1-p） 。注意χ（p*) =（1+λ）p*1+λp*= q*= q（p*).假设p*< p*< 对于p<1，依次为q=q（p）=W（h（p））<1，我们有q′（p）6（p，q（p）），我们得出q（p）6χ（p）表示p*6 p<p*6.1。然后1- W（h（p））=1- q（p）>1- χ（p）=1- p1+λpwhich建立（35）。如果ins tead 1<p*< p*, 我们可以通过显示q（p）>χ（p）表示1<p得出sa me结果*6 p和转弯QDP>q（q-1） p（p-1） 。仍需考虑p的情况*6 1 6 p*. 唯一的问题是，在p=1时，q（p）和χ（p）的导数的比较可能不是琐事，因为（p，y）。但通过直接计算，我们发现χ′（1）=1+λ。另一方面，q′（1-) = 无力的↑11- q（p）1- p=跛行↑11- W（h（p））1- p=eadue to（32），s同样，我们有q′（1+）=ea。

那么q′（1）是很好定义的，而且由于a>-ln（1+λ）我们有q′（1）=ea>1/（1+λ）=χ′（1）。一个交易成本为33的多资产投资和消费问题，加上q（1）=1=χ（1），我们必须知道q（p）是χ（p）在p=1时的上交。由此我们得出p上q（p）6χ（p）的结论∈ [p*, 1） p上的χ（p）6 q（p）∈ （1，p*]. （35）然后。附录D.主要结果的证明定理1和2的证明。我们一起证明了这两个定理。假设我们处于有利地位。根据第5节的分析，存在一个解（n（·），q*, q*) 对于n为严格正的自由边值问题。根据GC的光滑度，VCis为C2×2×1。此外，在附录B和附录C中，我们看到Vc是x中的一个严格凹函数，用于解HJB变量不等式（34）。Let Mt：=Rte-δsC1-Rs1-Rds+e-δtVC（Xt，Yt，Θt）。应用Ito引理，我们得到MT=M+Zte-δsLCs，∏sVCds+中兴通讯-δsMVCdΦs+中兴通讯-δsNVCdψs+中兴通讯-δsσVCx∏sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs6 M+中兴通讯-δsσVCx∏sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs。假设R<1。然后Mt>0，随机积分的和是一个局部鞅-而这又是一个超级角色。因此，E（Mt）6 M=VC（x，y，θ），其给出中兴通讯-δsC1-Rs1- Rds6 VC（x，y，θ）- Ee-δtVC（Xt，Yt，Θt）6 VC（x，y，θ）。发送t时→ ∞, 我们获得ER∞e-δsC1-Rs1-Rds6 VCby单调c收敛，因此V 6 VCby，因为c是任意的。如果R>1，则上述参数不会直接通过，因为局部鞅不会在下面有界。但是，使用[11]的参数，我们可以考虑一个有界于无交易区域的扰动候选值函数，并定义一个将是超鞅的值过程。

通过考虑扰动候选值函数的极限可以得到结果。为了展示VC6 V，有必要证明存在一种能够实现VC价值的投资/消费战略。假设初始值（x，yθ）为yθx+yθ=p∈ [p*, p*]. 定义反馈控制C*= （C）*t） t>0且∏*= （π）*t） t>0，带C*t=C*（Xt、Yt、Θt）和∏*t=π*（Xt，Yt，Θt）其中C*（x，y，θ）：=[VCx（x，y，θ）]-R、 ∏*（x，y，θ）：=-（u- r） VCx（x，y，θt）+σηρyVCxy（x，y，θt）σVCxx（x，y，θt），一个交易成本为34和Θ的多资产投资和消费问题*= （Θ*t） t>0a有限变量，当地时间策略以Θ的形式*t=θ+Φ*t型- ψ*t其保持不变（p*, p*). 让X*是在这些控制下发展的流动财富过程。现在自（X）*, YΘ*) 总是位于无事务楔子中，此策略显然是可以接受的。让M*是流程M*= （M）*t） t>0在此受控系统下进化。THNM公司*t=M*+中兴通讯-δsLC*s、 ∏*sVCds+中兴通讯-δsMVCdΦ*s+中兴通讯-δsNVCdψ*s+中兴通讯-δsσVCx∏*sdBs+中兴通讯-δsηVCyYsdWs=：M*+ Nt+Nt+Nt+Nt+Nt+Nt。通过构造C*和∏*, Nt=0。此外，Φ*是由集合{Pt=p*} 其中VCS=0。因此，Nt=0，类似地，Nt=0。遵循类似于Davis和Norman[11]的思想，可以证明（见Tse[25]）局部鞅随机积分和Nare鞅。然后我们就有了期望中兴通讯-δs（C*s） 1个-R1级- Rds+ E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=E（M*t） =米*= VC。（36）此外，还可以显示（见Ts e【25】）limt→∞E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=0。那么lettingt→ ∞ 在（36）中，给定svc=EZ∞e-δs（C*s） 1个-R1级- Rds6 sup（C，π，Θ）∈A（0，x，y，θ）EZ∞e-δsC1-Rs1- Rds= 五、 现在假设初始值（x，yθ）为p<p*.

然后考虑购买φ=xp的策略*-（1）-p*)yθy（1+λp*)时间零点的股份数量，使得非流动资产的交易后持股比例为y（θ+φ）x+y（θ+φ）-y（1+λ）φ=p*, 然后遵循投资/消费战略（C*, ∏*, Θ*) 就像p的情况一样∈ [p*, p*] 之后通过构造VC，VC（x，y，θ）=VC（x-y（1+λ）φ，y，θ+φ）。使用（36）我们有中兴通讯-δs（C*s） 1个-R1级- Rds+ E（E-δtVC（X*t、 Yt，Θ*t） ）=VC（x- y（1+λ）φ，y，θ+φ）=VC（x，y，θ），由此我们可以得出VC6 V。类似的参数适用于初始值p>p*.现在我们考虑导致无条件病态的参数集。有证据表明，没有流动资产的问题（这是仅涉及单个风险资产的经典交易成本问题）是不适定的。请注意l（1） 6 0等于b>b1-这个不等式可以重新表述为α>ηR+δ1-R、 但这正是在一个风险y作为设定情况下的病态条件。参见【15】或【7】。最后，我们考虑了条件适定情形。从第5节的讨论可以清楚地看出，只要ξ>ξ，仍然存在（n（·），q*, q*) 自由边值问题的一个解是一个交易成本为35的多资产投资和消费问题，因此，在证明非条件良好构成的cas e s的过程中，可以显示VC=V。此外，从Le mma 3中，我们可以看到n（·）↓ 0 a sξ↓ξ、 依次为VC→ ∞ 从其构造。但是V>vc，因此我们得出V→ ∞ asξ↓ ξ。这表明了问题在ξ=ξ时的不适定性，并利用ξ中V的单调性，将此结论推广到任何ξ6ξ。附录E。

一阶微分方程为了方便起见，我们回顾了一些符号，并介绍了更多的符号：m（q）=R（1- R） bq公司-b（1- R） bq+1，l（q） =m（q）+1- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R，Д（q，n）=b（n- 1） +（1- R） （b）- 2R）q+（2- b） R（1- R） ，E（q）=4R（1- R） （b）- 1） （1）- q） ，v（q，n）=Д（q，n）- sgn（1- R） p（q，n）+E（q），D（q，n）=2b[（1- R） q+R][n- m（q）]- q[v（q，n）- v（q，m（q））]，A（q，n）=(l（q）- n） 2b[（1- R） q+R]- bq1- sgn（1-R） ^1pИ+E！！+D（q，n）。（37）我们有一个有用的引理。引理4。O（q，n）有一个替代表达式O（q，n）=-（1）- R） nD（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- n] 。（38）证明。

考虑人B(l（q）- n） +Д（q，n）=R（1-R） q- b（1- R） q+b- bn+（1- R） q（1- q） +（b- 1） R（1- R） q（1- R） q+R+bn- b+b（1- R） q+R（1- R）[-第2季度+第2季度- b] =R（1-R）（1）- q）- （b）- 1） +（b- 1） q（1- R） q+R+ （1）- R） q（1- q） =（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]-（b）- 1） R（1- R） （1）- R） q+R（1- q） 。交易成本为36的多资产投资和消费问题，注意到（1- R） q+R=R（1- q） +q，b[（1- R） q+R](l（q）- n） =（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- R（1- R） （b）- 1） （1）- q）- Д（q，n）[R（1- q） +q]，并乘以4（1- R） （1）- q） ，4b（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R](l（q）- n） =4（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- 4х（q，n）（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]+Д（q，n）-{sgn（1- R） }^1（q，n）+4R（1- R） （b）- 1） （1）- q）= {2（1）- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- ^1（q，n）}- {sgn（1- R） }^1（q，n）+E（q）.将最后一个表达式写为我们发现的两个正方形的差异2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]- ^1（q，n）- sgn（1- R） pД（q，n）+E（q）=4b（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R](l（q）- n） 2（1- R） （1）- q） [R（1- q） +q]- v（q，n）。ThenO（q，n）=（1- R） nR（1- q）-2（1- R） qn/R2（1- R） （1）- q） [（1）-R） q+R]- ^1（q，n）- s gn（1- R） pД（q，n）+E（q）=（1）- R） nR（1- q）1.-（1）- R） q（1- q） b类(l（q）- n） +qv（q，n）2b[（1- R） q+R](l（q）- n）=（1）- R） n{2b(l（q）- n） [（1- R） q+R]- 2[（1- R） q+R]（1- R） q（1- q） +qv（q，n）}2bR[（1- R） q+R]（1- q）(l（q）- n） =（1）- R） nn2b[（1- R） q+R]小时(l（q）- m（q））- （n）- m（q））-（1）-R） q（1-q） bi+qv（q，n）o2bR（1- q） [（1- R） q+R]（l（q）- n） 。结果如下2b[（1- R） q+R]l（q）- m（q）-（1）- R） q（1- q） b类= 2R（1- R） （b）- 1） q=-qv（q，m）。引理2的证明。（1） 请注意l（q）- m（q）=1- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R=（1- R） qb[（1- R） q+R]P（q）一个交易成本为37的多资产投资和消费问题，其中P（q）=Rb+（1-2R）q-（1）-R） q.因此l（q） 如果存在P（q）=0的根，则距离q=0的和m（q）由P（q）=0的根给出。

请注意，P(-R1级-R） =P（1）=R（b- 1） >0，因为根据假设，b>1。如果R<1，则sinc e P为倒U形，且P（1）>0二次方程P（q）=0必须有两个不同的解。当0<P（1）=P(-R/（1）- R） ，我们必须使P（q）>0 onq∈ [-R/（1）- R） ，1]，并且必须在此间隔之外找到两个根。如果R>1，则p（q）的最小值由qP得出：=2R-12（右-1） 。请注意，1<qP<R/（R- 1） ，自0<P（1）=P（R/（R- 1） ，P（q）=0的根必须包含在区间（1，R/（R）上- 1） ）如果存在。利用P的这些性质可以很容易地得到所需的结果。（2） q=-R/（1）-R） 仅与R>1 s相关，我们将其写成q=R/（R-1） 。请注意l 在q=RR时爆炸-1、有必要检查O（q，n）的分母在q=R/（R）时不等于零- 1） 。直接计算得出[（1- R） q+R][l（q）- n] | q=RR-1=-（b）- 1） Rband hence2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- n] | q=RR-1=2R（b- 1） （R）- 1） 6=0。（39）（3）下面的引理记录了一些有用的恒等式。引理5。Д（q，m（q））=R（1- R） {（1- q）- （b）- 1） }，Д（q，l（q） ）=（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R,Д（1，n）=b（n- l（1） ），v（q，m（q））=-2 R（1- R） （b）- 1） ，v（q，l（q） （）=-2R（1-R） （1）-q） （b）-1） （1）-R） q+R，（1- q） [（1- R） q+R]>0；2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]，（1- q） [（1- R） q+R]<0，v（1，n）=Д（1，n）- sgn（1- R） |Д（1，n）|。交易费用为38%的多资产投资和消费问题。大多数身份很容易被替换。对于v（q，l（q） ）我们有v（q，l（q） ）=（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R- sgn（1- R） s（1- R） （1）- q）（1）- R） q+R+（b- 1） R（1- R） q+R= （1）- R） （1）- q）（1）- R） q+R-（b）- 1） R（1- R） q+R- （1）- R） | 1- q|（1）- R） q+R+（b- 1） R（1- R） q+R这简化了表述。回到引理2第（3）部分的证明。注：tha t sgn（Д（1，n））=sgn（n- l（1） ）。

假设我们在范围内（1- R） n<（1- R）l（1） 。n sgn（Д（1，n））=-sgn（1- R） ，v（1，n）=2Д（1，n）和D（1，n）=2b[n- m（1）]- v（1，n）+v（1，m（1））=2 b[n- m（1）]- 2b【n】- l（1） ]+2b[m（1）- l（1） ]=0。进一步地，在一些代数之后，我们可以显示qD（q，n）| q=1=-2bR（n- m（1））。考虑F（q，n）=O（q，n）n=-（1）-R） D（q，n）2R（1-q） [（1-R） q+R]b[l（q）-n] 。那么F的分子和分母在q=1时都为零。尽管如此，我们可以应用L\'H^opital规则来计算limq→1D（q，n）1-qt减少（15）中的表达。现在考虑limn→l（q） F（q，n）。假设前0<q<1。然后d（q，l（q） ）=2（1）- R） q（1- q）[（1- R） q+R]+R（b- 1） （1）- R） q+R它是非零的，具有sgn（D（q，l（q） ））=sgn（1- R） 。因此，对于q<1和R<1，limn↑l（q） F（q，n）=-∞ 对于q<1和r>1，limn↓l（q） F（q，n）=+∞.现在假设q>1，如果R>1- R） q+R>0。然后d（q，l（q） ）=2b[（1- R） q+R]1.- Rbq（1- q） +（b- 1） R（1- R） bq（1- R） q+R- 2（1- R） q（1- q） [（1- R） q+R]- 2R（1-R） （b）- 1） q=0。然后，为了确定F（q）的值，l（q） ）通过L\'H^opital的规则，我们需要Dn=2b[（1- R） q+R]- qvn=2b[（1- R） q+R]- bq1-sgn（1- R） ^1pИ+E！。（40）交易成本为39的多资产投资和消费问题如下nD（q，n）n个=l= 2b[（1- R） q+R]1.-q[（1- R） q+R][（1- R） q+R]+R（b- （1）因此我们得到（16）。（4） 我们证明了R＜1的结果。R>1的结果也可以类似地获得，唯一的问题是，当（1- R） q+R改变符号。请注意，对于固定q，m（q）和l（q） 引理2的第1部分给出。q=1时，F在n中的单调性可从（15）中获得。如果0<q<1，则从2b[（1- R） q+R]-bq1-sgn（1- R） ^1pД+E！>2b[（1- R） q+R]- 2bq=2Rb（1- q） >0，我们从（40）得出结论，D（q，n）在n中增加。

由于D（q，m（q））=0，因此对于n>m（q），D（q，n）>0，对于n<m（q），D（q，n）<0。因此，F（q，n）=0当且仅当n=m（q），我们有sgn（F（q，n））=-sg编号D（q，n）（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n]= sgn[（n- m（q））（n- l（q） ）]。这给出了0<q<1范围内F（q，n）所需的符号性质。现在考虑q>1的情况。从这个证明的第3部分，我们得到了D（q，l（q） ）=0。我们可以计算D对n的二阶导数Dn=sgn（1- R） bqE（E+Д）3/2所以（rec all R<1）D（q，n）在n中是凸的。因为D（q，m（q））=D（q，l（q） ）=0，因此在q>1的区域上，当n位于m（q）和l（q） 否则D（q，n）>0。因此，sgn（D（q，n））=sgn[（n- m（q））（n- l（q） ）]。Thensgn（F（q，n））=sgnD（q，n）l（q）- n= -sgn（n- m（q））。最后，请注意，只有当n=m（q）或n=l（q） 。但对于q>1，n=l（q） 引理2的第3部分给出。因此，F（q，n）=0当且仅当n=m（q）。关于F进一步性质的引理是证明∑单调性和比较静力学结果的关键：引理6。对于q∈ （0，1）和（1）-R） m（q）<（1-R） n<（1-R）l（q） ，对于q>1和（1-R） m（q）<（1- R） n，我们有nF（q，n）6 0。交易费用为40%的多资产投资和消费问题。直接计算得出(l（q）- n）nD（q，n）l（q）- n= (l（q）- n）Dn+D（q，n）=A（q，n），其中A在（37）中定义。区分我们拥有的nA（q，n）=s gn（1- R） bE（q）q(l（q）- n） （Д+E（q））3/2。因此，对于q>0和R<1，对于n<l（q） n>l（q） 。如果r>1，则A（q，n）在n<l（q） n>l（q） 。现在我们计算A（q，n）的极限值为n→ ±∞.

清晰^1（q，n）→ ±∞ 作为n→ ±∞.然后，lim（1-R） n个→+∞v（q，n）=lim（1-R） ^1→+∞^1- sgn（1- R） pИ+E（q）=0和Lim（1-R） n个→+∞(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） Д（n，q）pД（n，q）+E（q）！=观察a（q，n）=2b[（1-R） q+R](l（q）- m（q））-bq公司(l（q）-n） 1个- sgn（1-R） ^1pИ+E！-qv（q，n）+qv（q，m（q））和thuslim（1-R） n个→+∞A（q，n）=2b[（1- R） q+R](l（q）- m（q））+qv（q，m（q））=2（1- R） [（1- R） q+R]q（1- q） 。现在我们计算A（q，n）的极限值为sgn（1- R） n个→ -∞. 在这种情况下，v（q，n）不再收敛。但考虑到BQ(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） ^1pИ+E！+qv（q，n）=bql（q） +q（Д）- bn）- sgn（1- R） qДpД+Ebl（q） +（^1）- bn）+EД.使用以下事实- bn与n无关，我们可以得到lim（1-R） n个→-∞bq公司(l（q）- n） 1个- sgn（1- R） ^1pИ+E！+qv（q，n）=2bql（q）- 第2季度【b】- （1）- R） （b）- 2R）q- （2）- b） R（1- R） ]交易成本为41和41的多资产投资和消费问题（1-R） n个→-∞A（q，n）=2b[（1- R） q+R](l（q）- m（q））+qv（q，m（q））- 2bql（q） +2q[b- （1）- R） （b）- 2R）q- （2）- b） R（1- R） ]=2R（1- R） （b）- 1） q（1- q） （1）- R） q+Rafter一些代数。假设R<1。对于0<q<1，n<l（q）时，n中的A（q，n）增加，n中的n减少>l（q） 。在这个范围内→+∞A（q，n）=2（1- R） [（1- R） q+R]q（1- q） >0和下限→-∞A（q，n）=2R（1-R） （b）-1） q（1-q） （1）-R） q+R>0，我们得出所有n的A（q，n）>0。如果q>1，则A（q，l（q） ）=D（q，l（q） ）=0。但A（q，n）在n=l（q） 因此，对于q>1，我们有一个（q，n）6 0。将案例放在一起，（1- q） A（q，n）≥ 0和Fn≤ 现在假设R>1。假设0<q<1或q>R/（R）-1） 。然后，当n<l（q）时，A（q，n）在n中减少，当n>l（q） 。自limn以来→+∞A（q，n）<0和limn→-∞A（q，n）<0，我们得出所有n的A（q，n）<0。如果1<q<RR-1当A（q，n）在n=l（q） 。HenceA（q，n）>0表示1<q<RR-1.

我们再次发现（1- R） （1）- q） A（q，n）≥ 0和Fn≤ 0.检查q=1时的结果，如果R>1，则检查q=RR时的结果-1、q=1时，结果遵循fr om（15）。对于q=RR-1，使用（39）we haveFRR- 1，n=（R）- 1） DRR（右后）-1，n2R（b- 1） F（RR）的单调性-n中的1，n）遵循D（RR）的单调性-1，n）英寸。引理3的证明。对于任何u∈ （0，qM），然后自（1- R） nu（q）在q中递减，n′（ζ（u））=0，nu（q）只能在q>qM的某个点穿过m（q）。此外，对于u≤ q≤ ζ（u），（1-R） m（u）=（1-R） nu（u）≥（1）- R） nu（q）≥ （1）- R） nu（ζ（u））=（1- R） m（ζ（u））≥ （1）- R） 嗯。由于nqM（qM）=mM，我们有limu↑qMm（ζ（u））=m依次为limu↑qMζ（u）=qM。Thenlimu公司↑qM∑（u）=0。现在考虑∧（u）：=ln（1+∑（u））=Rζ（u）u-R（1-R） qO（q，nu（q））nu（q）dq。根据O（u，nu（u））=O（u，m（u））=0=O（ζ（u），m（ζ（u））=O（ζ（u），nu（ζ（u）），我们得到了∧du=Zζ（u）u-R（1- R） q否（q，nu（q））nu（q）nu（q）udq<0其中，我们使用引理6和n的单调性得出了关于符号的结论。交易成本为42的多资产投资和消费问题↓0∑（u）=+∞. 我们假设R<1；R>1的证明类似。考虑q值函数H（x）=（1-R） （m′（0）-x）-R（l′（0）-x） x.然后分别为H（m′（0））>0。选择常数k，使m′（0）<k<α<0，其中α是H（x）=0的负根。则H（k）>0，且等价于k<（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k） 。现在让b（q）=1+kq。很明显，D that（0，1）=0，然后是DDQD（q，1+kq）的定义q=0=qD（q，n）q=0，n=1+knD（q，n）q=0，n=1=-2Rbm′（0）+2Rbkandlimq↓0O（q，b（q））=-（1）- R） ddqD（q，1+kq）| q=02Rb[l′（0）- k] =（1）- R） （m′（0）- k） R（l′（0）- k） 。那么，对于所有的>0，存在K∈ （0，1）使得O（q，b（q））>（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k）-表示q<K。选择，使0<<（1-R） （m′（0）-k） R（l′（0）-k）- k

然后我们有0<q<k上的O（q，b（q））>k，所以从下面的解ton′=O（q，n）交叉b（q）。设ψu=inf（q>u:nu（q）>b（q））。然后对于u<q<K∧ ψu，n′u（q）=O（q，nu（q））>O（q，b（q））>k。此外，还存在Km，使得q<Km时m′（q）<（m′（0）+k。因此在u<q<K上∧ψu∧Km，n′u（q）-m′（q）>k-（m′（0）+k）=（k-m′（0））=：bk>0，然后是nu（q）-m（q）>bk（q-u） 。另一方面，对于ψu<q<K∧Km，m（q）<1+q（m′（0）+k），因此nu（q）-m（q）>（1+kq）-（1+q（m′（0）+k））=bkq>bk（q-u） 。我们得出nu（q）-m（q）>bk（q- u） 对于u<q<q：=K∧ 公里。因此，使用（38）和L\'H^opital规则，ln（1+∑（u））=Zξ（u）u-R（1- R） qO（q，nu（q））nu（q）dq>ZQu2b[（1- R） q+R]（nu（q）- m（q））- q[v（q，nu（q））- v（q，m（q））]2q（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- nu（q）]dq。对于分母，对于u<q<q≤ 1我们有2个问题（1-q） [（1- R） q+R]b[l（q）- nu（q）]<2q（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）]=2q（1- q） {（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]+（b）- 1） R（1- R） }<2q{M+（b- 1） R（1- R） }一个交易费用为43的多资产投资和消费问题，其中M：=sup0<q<1（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]。对于分子，注意对于q<ζ（u）v（q，nu（q））- v（q，m（q））=Д（q，nu（q））- ^1（q，m（q））- {pД（q，nu（q））+E（q）-pД（q，m（q））+E（q）}<Д（q，nu（q））- Д（q，m（q））=b（nu（q）- m（q））。然后，2b[（1- R） q+R]（nu（q）- m（q））- q[v（q，nu（q））- v（q，m（q））]>{2b[（1- R） q+R]- bq}（nu（q）- m（q））=bL（q）（nu（q）- m（q）），其中L（q）：={2[（1-R） q+R]-q} 。由于L是线性的，并且L（0）=2R>0，我们可以选择在L（q）>min（2R，L（qL））>0的最小区间（0，qL）上工作。

对于u<qL的足够小的u，我们有bL（q）（nu（q）- m（q））>bmin（2R，L（qL））bk（q-u） 在u<q<q上∧ qL.将所有内容放在一起并设置bq：=Q∧ qL系列∧ 1，对于u<bQ，我们推导出ln（1+∑（u））>ZbQubmin（2R，L（qL））bk（q- u） 2q【M+（b- 1） R（1- R） ]dq=bmin（2R，L（qL））bk2[M+（b- 1） R（1- R） ]lnbQu+ubQ- 1.让你↓ 注意到Bq不依赖于u，我们得出结论∑（u）→ ∞.附录F.提案2的比较静态。（1） Setm（q）=b（m（q）- 1） 类似地，n（q）=b（n（q）- 1） 以及l（q） =b(l（q）-1） 。这种转换背后的思想是，m的构造使其不依赖于b。l 具有类似的属性。自由边值问题可以归结为（n，q*, q*)使得n′=O（q，n）服从n（q*) = m（q*) 和n（q*) = m（q*). 这里O（q，n）：=bO（q，nb+1）=bO（q，n）。注意，ζ（u）=inf{q>u：（1-R） nu（q）<（1-R） m（q）}=inf{q>u：（1）-R） nu（q）<（1-R） m（q）}。定义Д（q，n）=Д（q，n）=Д（q，nb+1），v（q，n）=v（q，n）=v（q，nb+1）和D（q，n）=D（q，n）=D（q，nb+1）。那么，作为q和n的函数，ν、v和D都独立于b。一个交易成本为44We haveO（q，n）=-（1）- R） （n+b）D（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n] 根据上述说明，通过术语（n+b）对bis的唯一依赖性。此外，n′=（n+b）F（q，n），其中F由F（q，n）=F（q，n）=-（1）- R） D（q，n）2R（1- q） [（1- R） q+R][l（q）- n] 不依赖于b。通过引理6，F在第二个参数中递减。Letbb>ebbe定义b的两个正值，并在参数b分别为b的情况下，给出初始值P问题n′（q）=O（q，n（q）），n（u）=m（u）的解。我们将此符号扩展到O，ζ，∑和（q*, q*) 在类似的情况下，如果nu是nu（u）=m（u）的初值问题的一个解，那么我们必须有（1-R） O（q，nu（q））<0，因此（1- R） O在b中减少。

然后（1- R） BNUCANNO上十字（1- R） enuand自（1-R） bn′u（u）=（1-R） bO（u，bnu（u））<（1-R） eO（u，enu（u））=（1-R） en′u（u），我们必须有（1-R） bnu（q）<（1- R） enu（q）至少达到q=bζ（u）∧eζ（u）。由此我们得出bζ（u）<eζ（u）。另一方面，F（q，n）依赖于bonly到n-ln（1+∑（u））=Zζ（u）uRq（1- R） O（q，n（q）b+1）n（q）b+1dq=Zζ（u）uRq（1- R） O（q，n（q））n（q）+bdq=Zζ（u）uRq（1- R） F（q，n（q））dq。但是，由于bZbζ（u）uRq（1）中n和ζ的单调性- R） F（q，bn（q））dq>Zbζ（u）uRq（1- R） F（q，en（q））dq>Zeζ（u）uRq（1- R） F（q，en（q））dq我们使用（1- R） F（q，n）<0，且F在相关范围内以n递减。我们得出结论，ln（1+b∑（u））<ln（1+e∑（u）），因此bq*=b∑-1（ξ）<e∑-1（ξ）=等式*.证明销售边界q的单调性*, 可以通过其右边界点（nv（·）、（v）、v）对解族进行参数化。有关类似想法的使用，请参见[1 5]。（2） 现在我们考虑b中无交易楔子极限的单调性。我们使用不同的变换和比较结果。设置a（q）=n（q）- m（q）。然后，原始自由边值问题变为在边界条件a（q）下求解a′（q）=O（q，a（q））*) =a（q*) = 0，其中o（q，a）=-（1）- R） （a+m（q））D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a]-2R（1- R） bq+b（1- R） b.交易成本为45的多资产投资和消费问题观察b[l（q）- m（q）]=（1- R） q（1- q） +（b- 1） R（1- R） q（1-R） q+R不依赖于b。此外，Д（q，a+m（q））=ba+Д（q，m（q））=ba+R（1- R） {（1- q）- （b）- 1） }和v（q，m（q））=-2R（1- R） （b）- 1） 都独立于b。因此D（q，a+m（q））=2b[（1-R） q+R]a- q[v（q，a+m（q））- v（q，m（q））]andO（q，a+m（q））a+m（q）=-（1）- R） D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a] 与b无关。回想起来，我们假设R<1。

然后O（q，n）≤ 0超出相关范围，并且Ob（q，a）=-（1）- R） D（q，a+m（q））2R（1- q） [（1- R） q+R]b[l（q）- m（q）- a]m级b+1- Rb=-O（q，a+m（q））a+m（q）×1- Rbq+1- Rb>0。假设BB>eb。使用证明的第1部分中的类似思想，我们可以推导出q<eζ（u）的bζ（u）>eζ（u）和bau（q）>eau（q）。因此，使用o（q，a+m（q））a+m（q）不依赖于bln（1+b∑（u））=Zbζ（u）u的事实-Rq（1- R） O（q，bnu（q））bnu（q）dq=Zbζ（u）u-Rq（1- R） O（q，bau（q）+m（q））bau（q）+m（q）dq>Zeζ（u）u-Rq（1- R） O（q，bau（q）+m（q））bau（q）+m（q）dq>Zeζ（u）u-Rq（1- R） O（q，eau（q）+m（q））eau（q）+m（q）dq=ln（1+e∑（u）），其中我们使用ζ（u）的单调性，并且o（q，n）在n中递减，而henceO（q，a+m（q））a+m（q）在a中递减。因此bq*=b∑-1（ξ）>e∑-1（ξ）=等式*. 通过用正确的边界点参数化解族，可以以类似的方式证明比例边界的单调性。定理4的证明。（1） 假设R<1，我们写出证明。c ase R>1如下所示。一个交易成本为46的多资产投资和消费问题，我们使用（7）来计算bO（q，n；b）=-2（1- R） qn/R{2（1- R） （1）- q） [（1- R） q+R]- ^1（q，n）-pД（q，n）+E（q）}×1+Д（q，n）pД（q，n）+E（q）！^1因此，对于q>0，s gnbO（q，n；b）= -新加坡元^1b= -sg n（n- 1） =+1，因为n（·）的上边界为1。此外，m（q）：=b（m（q；b）- 1） 与带无关，我们由此推断bm（q；b）=-m（q；b）-1因此在连续区域q上∈ 【q】*, q*] 我们有sgnbm（q；b）= -sgn（m（q；b）-1） =+1。使用符号bO（q，n；b）| n=n（q）和bm（q；b）以及q*在b中减少，我们得出结论，n（·；b）在b中增加。

如果我们将n的定义域扩展到[0，∞) 通过设置n（q）=n（q*) 对于q<q*n（q）=n（q*) 对于q>q*然后我们有n（·；b）在bon中增加[0，∞).从n（q；b）在b中增加的事实出发，我们可以推断-（1）-q） N（q；b）、hW（h；b）、w（h；b）和（1）-p） h′（p；b）在b中增加。n对于bb>eb（并使用overscripts标记相应选择b下的函数和参数），我们有sgn（1- p） bh′（p）>sgn（1- p） eh′（p）。（41）回想一下，G（p）=n（q*)-R（1+λp）1-Rand G（p）=n（q*)-R（1- γp）1-购买和销售区域。利用bwe中n的单调性得出g（p）<eG（p）over p∈ （0，bp*) ∪（ep*, 1/γ）。假设G（p；b）在b中没有减少。那么，由于G是连续的，bG（p）必须与eg（p）交叉至少两次，第一次交叉为上交叉，最后一次交叉为下交叉。分别用KU和Kd表示第一个上交叉点和最后一个下交叉点的P坐标。远离p=1，（41）意味着BG（p）不能向下交叉EG（p）。那么唯一的可能性是，有精确的两个CRO，0<ku<kd=1。但如果kd=1，则K：=bG（1）=eG（1），关系g（1）G（1）-G′（1）1-R1.-1/R=n（1）给定SBG′（1）=（1）- R）K- （Kbn（1））-R/（1）-R）> （1）- R）K- （肯（1））-R/（1）-R）=eG′（1）与kd=1是下交的假设相矛盾。（2） 现在考虑b中的单调性。对于R<1，可以应用与上述c类似的参数。如果我们可以证明n（·；b）在b中递减。但这紧接着是sgnbO（q，n；b）=-新加坡元^1b= -1=sgnbm（q；b）和q*一个交易成本为47的多资产投资和消费问题，当R>1时，我们不能使用这个论点。然而，b中的值函数的单调性，以及C的单调性，可以通过对变元的比较来证明。

值函数仅通过R和辅助参数s对参数进行nds，因此在比较两个仅通过bwe进行区分的模型时，可以等效地比较两个仅在α中进行区分的模型。考虑一系列模型，唯一的区别是第一个模型中的Y具有漂移|α，而第二个模型中的Y具有漂移|α，其中|α>|α。写入=^α- α>0。假设参数与第一个模型中的持续假设1相同；那么第二个模型中必然存在假设1。Let（▄Y，^Y）=（▄Yt，^Yt）t≥0由（▄Yt，^Yt）=（yeηWt+（▄α）给出-η） t，yeηWt+（^α-η） t）使^Yt=etYt。设（￠C，￠∏，￠Θ=θ+￠Φ）-ψ）是第一个模型中代理的可接受策略。假设Θ为非负，请注意，即使非流动资产的初始捐赠为负，最优策略也具有此属性，因为在这种情况下，有一笔初始交易进入了半计划θ中包含的无交易楔子≥ 0、我们可以假设我们从非交易区域开始。然后▄X=X和▄X=（▄Xt）t≥0solvesd▄Xt=r（▄Xt-∏t）dt+∏tStdSt-Ctdt-Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） d？ψt。定义绝对连续的递增过程κ乘以κt=Rtnd？Φs∧ （d？ψs+Θsds）OA和set^∏t=^∏tΘt=Θte-t^Ct=~Ct+（λ+γ）~Ytdκt+（1- γ） 中兴通讯-sd￠Φs- dκs^ψt=中兴通讯-sd？ψs+Θsds- dκs然后，^Θt^Yt=ΘtYt，相应的财富过程解为d^Xt=r（^Xt-^∏t）dt+^∏tStdSt-^Yt（1+λ）d^Φt+^Yt（1- γ） d^ψt-^Ctdt=r（^Xt-∏t）dt+∏tStdSt-^Yte-t（1+λ）[d|Φt- dκt]+^Yte-t（1- γ） [dψt+Θtdt- dκt]-Ctdt- （1）- γ） 年初至今- （λ+γ）~Ytdκt=r（^Xt-∏t）dt+∏tStdSt-Ctdt-Yt（1+λ）dΦt+Yt（1- γ） 交易成本为48的多资产投资和消费问题，如果^X=X=^X，则^X求解的方程与^X和^Xt=^X相同≥ 0

然后，对于第一个模型中的任何可容许策略≥0是正的，包括该模型中的最优策略，在第二个模型中有一个相应的容许策略，且在所有未来时间内的消费都严格较大。因此，在第二个模型中，值函数严格来说更大。附录G.交易成本的一致性条件Fix正常数>0，定义δ（）：=1-W（h（1-））>0和δ（）：=W（h（1+））-1>0。那么foro（，δ，δ）：=ln1.- 1+- ln公司δ（1- δ） δ（1+δ）,我们有p*< 1<p*ln（1+ξ）+o（，δ（），δ（））=“Z1-p*dpp（1- p） +Zp*1+dpp（1- p）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q） +Zq*1+δ（）dqq（1- q） #=“Zh（1-）h*dhw（h）+Zh*h（1+）dhw（h）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q）-Zq公司*1+δ（）dqq（1- q） #=“ZW（h（1-））q*N′（q）dq（1）- R） qN（q）+Zq*W（h（1＋））N′（q）dq（1- R） qN（q）#-“Z1-δ（）q*dqq（1- q）-Zq公司*1+δ（）dqq（1- q） #=Z1-δ（）q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq+Zq*1+δ（）-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq。发送时↓ 0，我们有δ（）↓ 0和δ（）↓ 0和thusZq*q*-Rq（1- R） O（q，n（q））n（q）dq=ln（1+ξ）+lim↓0o（，δ（），δ（））。现在，δ（）δ（）=W（h（1+））- 11- W（h（1- ））=W（h（1+））- 11- W（h（1- ））。但是1- W（h（1- ））=（1- R） h（1- ）- （1- ）h′（1- ）（1- R） h（1- ）=1-（1）- ）G′（1- ）（1- R） G（1- 因此lim↓01-W（h（1-））=1-G′（1）（1）-R） G（1）。同样，我们有lim↓0W（h（1+））-1=1-G′（1）（1）-R） G（1）。因此lim↓0o（，δ（），δ（））=0和（11）保持不变。如果p*= 1或p*= 1，可以使用类似的论证来证明（11）仍然有效。