同样，我们的方法也可以进行其他类型的期权分析，这些期权基于支付离散股息的单个股票和复杂的定价模型，例如，最近对尾部风险的研究（Andersen、Fusari和Todorov（2015、2016））、政治不确定性（Kelly、Lustig和Van Nieuwerburgh（2016b））、部门范围的ZF担保（Kelly、Pástor和Veronesi（2016a）），和因素结构（Christo Offersen、Fournier和Jacobs（2015a））。我们还可以使用我们的方法将Hodder和Jackwerth（2007）的最优控制问题扩展到决策变量的更复杂动力学。我们工作的第二个可能扩展是在投影步骤中使用不同的函数基。候选基系统是与指示函数共享局部化特性的函数，但可能显示出更高的正则性并提高收敛速度。快速收敛不应以更复杂的数值实现为代价，因此，研究应朝着函数投影的方向发展，从而导致采样值的线性变换（Sweldens（1996，1998））。参考文献Adolfsson，T.，Chiarella，C.，Ziogas，A.，Ziveyi，J.，2013年。赫斯顿随机波动动力学下美式期权价格的表示和数值近似。研究论文327，悉尼科技大学定量金融研究中心。A"it-Sahalia，Y.，Kimmel，R.L.，2007年。随机波动模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》83413–452。A"it-Sahalia，Y.，Kimmel，R.L.，2010年。使用闭式似然展开估计一个有效的多因素期限结构模型。《金融经济学杂志》98113–144。A"it-Sahalia，Y.，Yu，J.，2006年。连续时间马尔可夫过程的鞍点近似。《计量经济学杂志》134，507–551。Amin，K.I.，1993年。

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无股息递归方案（面板A）和离散股息递归方案（面板B）。在面板A中，在日期t=tl+1时，将固有值H（yi，tl+1）与在相同网格点yi（黑球）计算的连续值V（yi，tl+1）进行比较。在面板B中，在除数日期th=tl+1时，将网格点yi（黑球）处的固有值H（yi，tl+1）与延拓值V（yi）进行比较- d、 yi的tl+1）- d（红色球）。计算时间（秒）0 50 100-4.-2错误（bp）计算时间（秒）S=80二项式树递归投影0 20 40-4.-2误差（bp）S=1000 10 20 30 40-4.-2误差（bp）S=120图。Black-Scholes案例中，二叉树与递归投影法对股息支付股票的美式看涨期权的比较。该期权的到期日为3年，股息d=2在每年年底支付。其他参数设置为r=0.05，σ=0.2，K=100。计算时间（秒）timetltl+1Stlσ2TLSL+1σ2tl+1（x，ξ）近似跃迁密度：Γ2（x，ξ，tl；y，σ2tl+1，tl+1）值函数：V（y，σ2tl+1，tl+1）值函数：V（x，ξ，tl）ywww投影步长递归步长15bp，0.8s4bp，2s1bp，8s0.2bp，32s\\log2（err）=-2.08J+20.6AB绝对相对误差（bp）1bp、130s4bp、65s6bp、0.3s1bp、0.8s0.4bp、3s0.1bp、10s\\log2（err）=-2.1J+19绝对相对误差（bp）5bp，48s17bp，12sPanel A:Heston早期行使边界0.2 0.3 0.4 0.5到期时间离散分割HestonBlack-Scholes0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5到期时间股息收益HestonBlack-ScholesPanel B:Heston减去Black-Scholes价格100 150 200-8.-6.-4.-2·10-2现货价格离散分割100 150 200-8.-6.-4.-2·10-2现货股息收益图。面板A。

在股票支付股息收益率rd=0.03（右）的情况下，以及在股票分配相等的每月离散股息d=1.38（左）的情况下，6个月到期的美国看涨期权的Heston和BlackScholes模型中早期行权边界之间的比较。其余参数为：K=100，r=0.05，σ=0.2，ω=0.1，σLT=0.3，β=4，ρ=-0.5。我们将BlackScholes模型中的波动率参数设置为等于Heston模型中期权寿命内潜在回报的波动率。面板B.Heston减去美式看涨期权的Black-Scholes价格，对于离散股息（左）和连续股息收益率（右）的不同Sin值，T=0.25。其余参数与A组中的参数相同。A组：默顿早期行使边界0.2 0.3 0.4 0.5到期时间离散分割默顿布莱克-斯科尔斯0.1 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5到期时间股息收益默顿布莱克-斯科尔斯B组：默顿减去布莱克-斯科尔斯价格50 100 150 200-0.2-0.10.1现货价格离散分割50 100 150 200-0.2-0.10.1现货股息收益图。面板A.在股票支付股息收益率rd=0.05（右）的情况下，以及在股票分配等价的八月份离散股息d=1.125（左）的情况下，6个月到期的美式看涨期权的默顿和布莱克斯科尔斯模型中早期行权边界之间的比较。其他参数如下：K=40，T=0.5，r=0.08，γ=5，σM=0.05，σψ=0.05，uψ=0。我们将Black-Scholes模型中的波动率参数设置为Merton模型中期权生命周期内潜在回报率的波动率。面板B。

Merton减去美国国债的Black-Scholes价格，参数与面板A中使用的参数相同，但在分散股息（左）和连续股息收益率（右）的情况下，其值不同。期权报价数量成熟度<60天到期>60天贴纸股票OTM ATM ITM OTM ATM ITM1 AA ALCOA INC 42827 6379 41206 28788 9621 293712 AXP AMERICAN EXPRESS CO 43360 10386 59656 27744 14941 500023 BAC BANK of AMERICA CO 53785 7767 57794 48365 15446 581964 BA BOEING CO 41616 7385 52422 36022 13312 503575 CAT CATERPILLAR INC DEL 40592 8651 55672 34438 15377 543616 CHV CHEVRON CORPORATION33444 5922 50092 28088 11238 516767 CSCO CISCO SYS INC 58276 8194 63177 44295 14142 555988 KO COCA COLA CO 34710 5055 44407 29054 9249 444219 DISNEY WALT CO 40138 7052 47571 31350 10730 4077310 XOM EXXON MOBIL CORP 39509 6427 55468 279425 4837511 GE GENERAL ELECTRIC CO 49637 6734 58779 42696 13072 5829112 HWP HEWLETT-PACKARD CO 549182 53498 47707 17077 5102913 HD HOME DEPOT INC 429687052 56732 36047 13413 5392114 INTC INTEL CORP 55825 8666 61243 43796 14327 5236715 IBM INTER。公共汽车。

MACHS 70249 9060 85569 45355 13330 6297916 JNJ JOHNSON&JOHNSON 34175 4551 47524 22974 7074 4332217麦当劳公司33730 5674 47969 27630 10145 4800018 MRK MERCK&CO INC 41559 7612 53181 31901 11486 4753419 MSFT MICROSOFT CORP 68396 8725 78393 502514163 6572820 MMM 3M CO 36835 6737 46521 24402 10205 3875021 JPM MORGAN P&CO INC 6991 3180 9940 4428 5874 1056822 PFE PFIZER INC 511 00 617054751 47414 12109 5235823 PG宝洁公司36971 5904 52782 25422 8974 4695624美国电话电报公司42547 5542 52123 32851 9496 4652425 TRV TRAVELERS Companys INC 21404 3803 27783 15069 5811 2364626 UTX UNITED TECHNOLOGIES CORP 34765 6366 48200 28973 11712 4558027 UNH UNITEDHEALTH GROUP INC 39924 8864 58885 32757 16724 5645128 VZ VERIZON COMMUNICATIONS INC 39642 6461 56527 34306 11100 5456329 WMT沃尔玛百货公司37172 5668 51904 31679 10429 5289030 DD DU PONT E I NEMOURS&CO 35262 7404 46302 24077 11097 41173表1：道琼斯工业平均指数（DJIA）成分股的货币内（ITM）、货币内（ATM）和货币外（OTM）看涨期权报价观察值。数据按成熟度进一步细分。根据Bollenand-Whaley（2004）的分类，如果delta小于0.375，则视为OTM；如果delta介于0.375和0.625之间，则视为ATM；如果delta大于0.625，则视为ITM。基础BS MRT BTSσBSγσMσψuψγσψuψωσLTβρσ所有股票0.29 1.33 0.22 0.16-0.12 0.50 0.18-0.12 0.75 0.32 1.52-0.35 0.28SP500*0.18 NA NA NA NA 0.61 0.14-0.09 0.4 0.2 3.93-0.52 0.2表2:Black-Scholes（BS）模型参数的平均值，Merton（MRT）和Bates（BTS）在除息日前的每一天，对道琼斯工业平均指数（DJIA）中的股息支付股票的期权进行校准。

我们总共计算了1701次校准，报告值是这些校准的平均值。Black-Scholes模型的样本内误差平方和平均为0.26，Merton模型为0.20，具有随机波动性的Bates模型为0.16*SP500动力学的校准参数来自Bakshi等人（1997）。平均合理隐含费用%隐含费用>0.4446基础BS MRT BTS BS MRT BTS所有股票7.54 7.27 7.23 94%93%93%表3：该表报告了每股平均隐含费用，这将解释每种模型中投资者的非行权行为：Black Scholes（BS）、Merton（MRT）和Bates（BTS）。应行使但部分投资者未最佳行使的每个期权的平均隐含费用计算为交易成本F的价值，使期权的持续价值等于早期行使收益：C（S-d、 K+F，T）=（S-K-F）。在表格的最后三列中，我们报告了能够解释次优非行权行为的费用高于Poolet al.估计的每股0.4446美元的保守费用的期权百分比。

（2008年）。无费用模式，未付费用合同406 414 980总市值99 392 927 000应执行BS 38 527 586 31 551 786的合同（9.48%）（7.76%）MRT 30 633 542 25 340 009（7.54%）（6.23%）BTS 30 486 666 25 050 616（7.5%）（6.16%）未执行BS 15 214 908 11 077 913的合同（39.49%）（35.11%）MRT 9 404 406 7 118 002（30.70%）（28.09%）BTS 8 786 524 706 2799（28.82%）（26.76%）可用资金BS 770 287 766 647 088 372由于行使机会（0.77%）（0.65%）MRT 555 922 918 460 980 123（0.56%）（0.46%）BTS 617 173 686 509 713 158（0.62%）（0.51%）因BS 209 284 628 172 424 967次优不行使造成的总损失（27.17%）（26.65%）（0.21%）（0.17%）MRT 133 130 786 108 951 652（23.95%）（23.63%）。（0.13%）（0.11%）BTS 147 480 996 123 615 413（23.9%）（24.25%）（0.15%）（0.12%）表4：短期看涨期权系列次优未行权导致的总损失汇总结果。这些数字分别针对每个系列和除息日前的每一天进行计算，然后汇集在一起。未偿付合约数是所有合约在除息日前两天的未平仓总利息。应在特定模式下行使的合同，即Black-Scholes（BS）、Merton（MRT）和Bates（BTS），是指持续价值低于行使收益的未偿合同。次优未行使的合同数量是本应行使的合同除息前一天未平仓权益的总和。我们按照以下方式计算表中的其他数量：总市值=未完成合同×市场价格×100，可用资金=最大{0，（S- K- F- 续价值）×未偿付合同×100}，总损失=最大{0，（S- K- F- 续值）×未平仓利息-1×100}，其中F为行权费。

在第一列中，计算结果时考虑F=0，而在第二列中，计算结果时考虑保守费用0.44美元。括号中未行权损失总额的百分比是根据行权机会产生的可用资金计算的，而第二个百分比是根据总市值计算的。作为delta Moneyness函数的次优未行使百分比0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 120%25%30%35%40%45%50%55%60%65%70%DeltaFig。12.在Black-Scholes模型中，次优未执行合同的百分比是合同的delta货币性的函数。