方程（13）允许我们递归计算不同时间点的期权值，从而为百慕大期权、美式期权和其他类型的路径依赖期权定价。在第2.1节的实施过程中，我们将Payoff函数投影到一定数量的指标函数上。因此，值{H（yj，T）}j=1，。。。，Nand{y G（yi，t；yj，tl+1）}j=1，。。。，分别计算有限维矩阵H（T）和G（tl；tl+1）的条目。因此，我们可以用与（4）和（7）中完全相同的矩阵形式表示方程（12）和（13）。通过选择N个足够大的值，我们可以将（10）和（11）中的单位总和截短，使引入的误差任意小。截断只会抑制位于状态价格密度消失区域的指标函数，而我们可以忽略对计算期望的局部贡献。当时间步长为常数τ=tl+1时-tl，我们得到了介绍性示例的快速且易于实现的算法。此外，如第2.2节所述，无论何时行权日期TL与股息支付日期th重合，我们只需替换条目{y G（yi，tl；yj，tl+1）}j=1，。。。，Nof G（tl；tl+1）和值{y G（yi- d、 tl；yj，tl+1）}j=1，。。。，N、 每当tl∈ {th}h=1，。。。，H、 以适应离散股息d.3.3。随机波动率：预测步骤在随机波动率模型类别中，有两个状态变量，基础资产为方差σt。双变量状态价格密度G（St，σt，t；y，w，t）描述了从资产水平的方差水平σtat time到资产水平y=方差水平w=σtat time t的贴现转移概率密度。

其傅里叶变换用^G（St，σt，t；λ，κ，t）表示，因此G（St，σt，t；y，w，t）=4πZZdλdκe-ι（λy+κw）^G（x，ξ，t；λ，κ，t），其中ι是虚单位。对于基础资产获取的值，让网格{yj}j∈与正交集{ej（y）}j∈Zbe定义为Black-Scholes案件。{ej（y）}j的傅里叶变换∈由{^ej（λ）}j引导∈Z、 这样（参见补充在线附录的C节，了解运行N相当于选择一个ymin和ymax，并将我们的分析限制在L（[ymin，ymax]）。这是每种基于正交的方法中的标准假设。这也确保了H∈ L（[ymin，ymax]），即使补充文件附录A和附录B中的证明不需要H的可测性。解析形式^ej（y））：ej（y）=2πRdλe-ιλy^ej（λ）。对于方差，我们使用相同的等距网格{wq}q∈对于变量σtand w=σT取的值，因此w=wq+1- wq。设{εq（w）}q∈Nbe以网格{wq}q为中心的规格化指示函数∈宽度Nandw、 和{εq（κ）}q∈Nbe theirFourier变换。此外，设{λr}r∈Zand{κz}z∈Zbe由变换变量λ和κ构成的两个等宽规则间距的数值网格λ和κ、 分别为。Payoff函数H（y，T）的近似值与方程式（10）中的相同。由于我们没有G（St，σt，t；y，w，t）的解析形式，我们无法直接对传递度进行采样，因此我们必须依赖下面给出的近似值。

当条件变量取值sst=yi且σt=wp时，二元状态价格密度G（St，σt，t；y，w，t）的投影步骤基于以下近似值：~G（yi，wp，t；y，w，t）（14）=pyw∞Xj公司=-∞,q=14π∞Xr，z=-∞^G（yi，wp，t；λr，κz，t）^ej(-λr）^εq(-κz）λκej（y）εq（w）def=pyw∞Xj公司=-∞,q=1Γ（yi，wp，t；yj，wq，t）ej（y）εq（w），其中（14）中的第二个等式定义了数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈Z、 q∈N、 在Black-Scholes情况下，平行于方程式（11）的讨论，数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈Z、 q∈n显示与{G（yi，t；yj，t）}j相同的角色∈Z、 我们可以按如下方式激发这些近似值。状态价格密度g（yi，wp，t；y，w，t）在两个正交集{ej（y）}j上的正交投影∈Nand{εq（w）}q∈Nis由内部产品SRRDYDWG（yi，wp，t；y，w，t）ej（y）εq（w）给出。因为我们只知道^G的闭式（yi，wp，t；λ，κ，t），见Griebsch（2013）。对于^G（yi，wp，t；λ，κ，t）和非G（yi，wp，t；y，w，t），我们利用以下关键关系：ZZdydwG（yi，wp，t；y，w，t）ej（y）εq（w）=ZZdydw4πZZdλdκe-ι（λy+κw）^G（yi，wp，t；λ，κ，t）ej（y）εq（w）=4πZZdλdκ^G（yi，wp，t；λ，κ，t）Zdye-ιλyej（y）Zdwe-ικwεq（w）=4πZZdλdκG（yi，wp，t；λ，κ，t）^ej(-λ） εq(-κ） 。（15） 每个Γ（yi，wp，t；yj，wq，t）是方程（15）中出现的最后一个积分的近似值，通过对傅里叶变换（xi，wp，t；λ，κ，t）和^ej的直接采样获得(-λ） 和εq(-κ） 关于二元网格{（yj，wq）}j∈Z、 q∈N、 在一元网格{λr}r上∈Zand{κz}z∈Z、 如第3.1节所述，只有数量{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j∈N、 q∈查找定价算法的输入。表示式（14）仅用于补充在线附录的B部分，以证明算法的收敛性。3.4。

随机波动率：递归步骤在随机波动率框架中，百慕大期权的递归包括在时间上向后移动，如方程（6）所示：V（x，ξ，tl）=maxH（x，tl），Ee-r（tl+1-tl）V（Stl+1，σtl+1，tl+1）Stl=x，σtl=ξ. （16） 因此，赫斯顿模型中的递归步骤是（16）的采样对应项。下面的命题给出了一个递归公式，该公式将二元网格{（yj，wq）}j不同点上的选项近似值联系起来∈Z、 q∈在时间tl+1和tl的不同点上的Nand。它还说明了算法的收敛速度。定义（yi、wp、tl；yj、tl+1）=∞Xq=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）√w、 提案2。设H（y，T）为| H（y，T）-H（y，T）|<C | y-y |对于正常数，对于| y- y |<y、 让vip（tl）定义为一组日期{tl}l=1，。。。，五十、 tL=T时，如下所示：vip（tL）=maxnH（yi，tL），∞Xj=1Γ（yi，wp，tl；yj，tl+1）H（yj，tl+1）p哟，因为l=l- 1，（17）vip（tl）=maxnH（yi，tl），∞Xj，q=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）vjq（tl+1）pywo，对于l=1，L- 2.（18）然后，对于每个tlin{t，…，tL-1} ，在（17）和（18）中定义的近似值vip（tl）收敛到真值V（yi，wp，tl），近似误差为O级, 具有 =p(y） +(w） 。证据见补充在线附录B节。对于t=tL-公式（17）给出了赫斯顿模型中欧式期权的价格。由于支付函数H（y，T）仅取决于基础资产tL=T所取的值y，因此计算出的价格vip（tL-1） 仅通过条件值σtL依赖于随机方差-1=wp。因此，我们可以使用{（yi，wp，t；yj，t）}j∈n代替{（yi，wp，t；yj，wq，t）}j，q∈N

使用值{（yi，wp，t；yj，t）}j∈Nin（17）相当于对傅里叶变换^G（yi，wp，t；λ，t）=Rdκ^G（yi，wp，t；λ，κ，t）应用投影步长。例如，在赫斯顿（1993）关于欧式期权的原著中，出现的是单变量函数^，而不是双变量函数^。图7以图形方式显示了双变量情况下的投影和递归步骤。在实现中，我们截断（17）和（18）中的总和，使网格{（yj，wq）}j=1，。。。，Nq=1。。。，什么是N×W点。t=tl时计算价格的N×W矩阵用v（tl）表示，即v2，jq（tl）=vjq（tl）。设Γ（yi，wp，tl；tl+1）为从初始点（yi，wp）到整个网格的端点{（yj，wq）}j=1，…，的近似转移概率的×W矩阵，。。。，Nq=1。。。，W、 如第2.1节所述，我们对归一化参数进行积分√y在转移矩阵的定义中。然后我们得到Γ2，jq（yi，wp，tl；tl+1）=Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）√yw、 设φj={^ej(-λr）}r=1，。。。，兰特？q={εq(-κz）}z=1，。。。，Zbe函数的值^ej(-λ） 和εq(-κ） 在网格{λr}r=1，…，处采样，。。。，Rand{κz}z=1，。。。，Z、 分别为。此外，我们定义了R×N矩阵φ=（φ，…，φN），Z×W矩阵φ=（φ，…，φW），以及R×Z矩阵^G（yi，wp，tl；tl+1），其条目为^G2，rz（yi，wp，tl；tl+1）=^G（yi，wp，tl；λR，κZ，tl+1）。然后，我们可以将投影步骤（14）的系数写成矩阵形式：Γ（yi，wp，tl；tl+1）=φ^G（yi，wp，tl；tl+1）Дpyw

（19） 递归步骤（18）如下：vip（tl）=maxnH（yi，tl），NXj=1WXq=1Γ（yi，wp，tl；yj，wq，tl+1）vjq（tl+1）pywo=最大值H（yi，tl），Γ（yi，wp，tl；tl+1）：v（tl+1）, （20） 其中符号“：”表示Frobenius或条目式产品。在补充在线附录的D节中，我们展示了如何利用转移密度的空间平移不变性来加速矩阵Γ（yi，wp，tl；tl+1）的计算。我们的方法包含快速傅立叶变换（FFT）作为特例。在FFT中，λ和κ的单变量网格是自动设置的，这有时会导致Γ（yi，wp，tl；tl+1）矩阵的重建不精确。3.5。Heston模型中的数值说明我们研究了我们的方法在标准a fine模型（如Heston（1993）模型）中的性能。我们研究了一种写在资产St上的美式期权，该期权支付离散的IVidends，并根据以下随机波动率模型演变：dXt=r-σtdt+qσt·dW1t，dσt=βσLT- σtdt+ωqσt·dW2t，E（dW1t·dW2t）=ρdt。（21）在方程（21）中，Xt=log St，σ是方差过程。我们与XT合作，以实现过渡矩阵的空间不变性，如补充在线附录第Dof节所述。我们进行了两项模拟研究。在第一种情况下，美国催缴股款的到期时间为一年，价值d=2的3份股息按0.25、0.5、0.75的比例分配。在第二种情况下，到期时间仍为一年，但在六个月后支付d=10的大额股息。工艺参数值如下：r=0.05，σLT=0.2，β=2，ω=0.2。此外，我们选择参数ρ等于零。我们计算货币期权的价格（S=K=100）。

本分析中的基准方法是偏微分方程（PDE）的有限差分（以下简称FD）数值解，该方程描述了美式看涨期权价格过程的演变。实现有限差分方案的交替方向隐式（ADI）变体。有关与FD类似的方案的近期讨论，请参见，例如，in’t Hout和Foulon（2010）。这个实现相当于Crank-Nicolson方案，在标准问题中，该方案的收敛速度为(t）, 哪里t是时间离散化间隔。在FD格式和递归投影中，期权价格VT的演化是在空间（X，σ）中的矩形网格上研究的，其中X∈ [日志（K）- 10σLT√T，对数（K）+10σLT√T]和σ∈ [0，0.3]。在OFFD格式中，参数Ms给出X方向上等距网格点的数量，而Mv给出σ方向上等距网格点的数量，因此网格点{（Xi，σp）}i=1，。。。，太太p=1，。。。，mv。参数Lt给出了使用的时间步数。在递归预测中，我们根据抽样方案确定y=2-Ja，其中a是一个正常数，给出{yj}j=1，。。。，J=0时的Ngrid。用参数J描述递归投影的收敛性强调了每次网格点数加倍时近似误差是如何减小的。同样地，w=2-Jwaw，其中a是{w}p=1的Jw=0的步长，。。，σt变量取值的Wgrid。假设同时相关性ρ=0简化了FDscheme的实现，因为忽略XT和σt之间的相关性会使FD Scheme更容易编码，速度更快。另一方面，递归投影方法的速度和复杂性不受为参数ρ选择的值的影响。

相关关系在格林函数G（x，σt，t；y，w，t）中解决，因此在矩阵^G的系数中解决。由于该方法的速度取决于^Gmatrix中的条目数，而不是条目数取的值，因此ρ的选择显然不会影响递归投影的收敛速度。这一特点是递归投影相对于有限差分方案的第一个优势。该模拟研究将给出递归投影和FD方案之间速度差异的下限。为了给美式期权定价，我们应该实施与重组树等价的FD方案。这样做实际上是不可行的，因为这将意味着在每个除息日计算网格中每个点的新期权价格。相反，在每个除息日和每个网格点（Xi，σp），我们选择将固有值H（Xi，th）与连续值V（eXdi，σp，th）进行比较，其中eXdi是最接近log（eXi）的X网格值- d） 。这一选择导致在每个除息率下扰动FD方案，这可能导致收敛速度慢于理论O(t）. 这一特征是递归投影相对于有限差分方案的第二个优势，因为正如我们在第2.3节中所解释的，递归投影可以很容易地适应离散股息，而不会影响算法的收敛特性。递归投影在σ方向上快速收敛。通过设置大于Jw=4的分辨率级别，该方法似乎没有改善；因此，我们在整个模拟过程中保持该值不变。FD格式对σ方向上使用的点数也不太敏感。我们发现，mv=31时，没有任何改善。图8显示了3股息情况的结果。

用于计算pricingerrors的真值为7.397，在分辨率水平J=13时获得。右侧的图表显示FD方案的定价误差作为时间离散化参数LT的函数。每条线都与空间离散化参数ms的不同值相关。时间标签都与ms=3200曲线相关。LT=2048，ms=6400的FD方案交付值在1bp以内；因此，我们假设当相对误差的绝对值在7.397的1bp以内时，这些方法已经收敛。左侧的图绘制了递归投影相对于分辨率水平J的相对优先级错误。左侧图上的回归线显示，估计的斜率几乎与-2由命题2的理论收敛结果预测。FD至少慢一个数量级。例如，比较传递4bp错误（2s对65s）或1bp错误（8s对130s）所需的计算时间。图9比较了两种方法在1-股息情况下的收敛速度。通过J=13的递归投影方法获得7.302的真值。FD方案需要48秒才能达到5bp的相对误差，参数ms=400，LT=2048。相对于ms=200的底部曲线表明，对于较小的空间离散化参数值，该方法不会收敛。FD的小5BP偏差是由于股息d的大值和每个股息日期的方案扰动造成的。正如理论预测的那样，递归投影达到1bp误差带时，作为分辨率水平J函数的速率约为-2。递归投影和FD模式之间速度差异的原因在于，有限差分和求积方法处理时间步进的方式根本不同。

这两种方法都通过矩阵乘法实现时间步进。但是，虽然FD中的时间步数为2或更高，但递归预测只需要3或4个时间步，每个分期付款一个，加上到期日。参数LT、msand mv的大小决定了FD方案的实施效率。如果我们将获得收敛所需的参数LT、Ms和Mv的大小与in\'t Hout和Foulon（2010）中的等效参数值进行比较，我们会发现我们的实现与文献中的最新实现接近。虽然具体的实现可能会比我们的略有改进，但我们认为我们公平地展示了这两种技术的潜力。我们提醒大家，在我们的模拟中，每个时间步的计算时间被低估了，因为ρ=0的假设减少了FD方案ADI实现中中间步骤的数量。最后，如果我们像在我们的经验应用中那样，在标的股票的过程中包含跳跃，那么递归预测的数值复杂性仍然与随机波动率情况下的数值复杂性完全相同。在基础过程中引入跳跃，同时从计算角度保持有限差异的可行性，需要技术设备（例如，见d\'Halluin et al.（2005）），这些设备是模型特定的，尚未与随机波动性结合实施。在补充在线附录的附录H中，我们进一步阐述了ρ=0选项的含义、递归预测和ADI的相对优势，并将我们的实现与d\'Halluin et al.（2005）的实现进行了详细比较。FD和递归投影法之间的另一个显著差异是，后者需要的更改要少得多，以适应不同的定价问题。

在方程（4）中，矩阵G（t；t）仅取决于基础资产的动态，而不取决于支付。我们可以一次性计算它，并使用它为不同支付方式的不同期权定价，因为支付功能形式只影响向量H（T）。这种设计特别适合面向对象编程，它通常用于定量办公桌。在有限差分方案中，我们不能通过使用相同的转移矩阵对不同支付的期权进行定价，因为边界条件会影响矩阵的计算方式。数值应用与实证4.1。早期运动边界的数值比较在本节中，我们比较了Black-Scholes模型与Heston随机波动率和Merton跳跃扩散模型所暗示的早期运动边界。我们研究了两种情况：i）股票分配连续股息收益率，ii）股票分配离散股息。将案例i）和ii）与基础资产和不同到期日的不同建模假设相结合，会导致非常不同的模式。例如，在离散股息情况下，Black-Scholes模型下的提前行权边界低于Heston模型下的提前行权边界，而在连续股息情况下，则相反。因此，通过将离散股息建模为连续收益率，我们可以在次优不执行的实证评估中得出误导性结论。练习边界*t对于具有连续股息收益率的美式看涨期权，定义为St的最低值，例如- K≥ C（St、T、K）。如果当前库存的价值高于S*t、 然后是看涨期权持有人行使其期权的最佳选择。对于离散股息，只有在除息日前几天行使看涨期权才是最佳选择。

运动边界S*t对于美式看涨期权，则定义为SthsuchSth的最低值- K≥ （某物）- d、 T，K）。[图10关于此处]在图10的面板A中，我们绘制了美国看涨期权的赫斯顿和布莱克-斯科尔斯模型的早期行使边界，连续股息收益率rd=0.03（右图）和同等季度离散股息d=1.38（左图）。我们选择d=1.38，在连续股息收益率rd=0.03和离散股息情况之间有一个等价的年度总股息。实际上，1.38=0.03S*/4，其中S*= 184是Black-Scholes模型下到期日T=0.5的股息收益率情况下的临界股价。我们使用以下一组代表性参数：T=0.5，K=100，r=0.05，σ=0.2，ω=0.1，σLT=0.3，β=4，ρ=-0.5（Adolfsson等人（2013））。为了进行比较，我们遵循Heston（1993），并使用Black-Scholes模型，该模型的波动性参数与Heston模型中期权寿命期间即期回报方差（平方根）相匹配。当股票按季度定期派息时，在到期日为T=0.5的期权有效期内，只有两次派息，而在支付日期之前，行使期权才是最佳选择。在我们的示例中，两次股息支付发生在t=0和t=0.25时，分别对应于0.5和0.25的到期时间。在这两个日期，Black-Scholesmodel下的运动边界值都较低。对于连续股息收益率，赫斯顿早期行使边界始终低于布莱克-斯科尔斯边界，而对于离散股息，情况正好相反。尽管连续股息案例中的发现与Adolfssonet al.（2013）的结果一致，但离散股息案例中的发现是全新的。

这种差异需要进一步的直观讨论。假设只需支付一笔离散股息。除息日后立即买入期权的持续价值为剩余到期时间的Europeancall。当ρ≤ 0时，早期行使可能是最佳的深度货币认购的欧洲期权价格在赫斯顿案中高于布莱克-斯科尔斯案（见赫斯顿（1993）；赫尔和怀特（1987））。例如，在图10面板B的左图中，到期时间为0.25时，股价范围约为150。即使在计算续发价值时考虑到股息下降，除息股票价格也应保持在赫斯顿价格较高的地区。我们可以重复相同的论点，对一些离散股息进行有效分配（通常为百分之几），以防止股价在Black-Scholes模型下看涨期权更有价值的价格范围内下跌。具有连续红利的边界的行为不太容易理解。继Kim（1990）和Jamshidian（1992）之后，我们可以将美式期权的价值V（St，t）分解为两个部分，即欧洲价值VE（St，t）和早期行权溢价VA（St，t），即：V（St，t）=VE（St，t）+VA（St，t）（22）=e-r（T-t） E类（ST- K）+St，σt+中兴通讯-r（s）-t） E类（rdSs- rK）I（Ss>S*s）St，σtds，其中S*s和I时的早期运动边界（Ss>s*s） 如果在时间s，股票位于练习区域，则等于1，否则为零。我们可以将VA（St，t）解释为成熟度为t的欧洲看涨期权的连续体- s、 执行价格s*s、 和付款- rK。

对于这些欧式期权中的每一种，我们都可以应用Hull和White（1987）中表II的结果，该表比较了一般随机波动动力学下欧式期权的价值与Black-Scholes价格。在随机波动率假设下，当合同价格为货币和ρ时，看涨期权价值较低≤ 0、当Ss=S时，构成VA（St，t）的合同连续体为货币*s、 正如我们的数值模拟所证实的，s*S值分布在S=150正上方的区域，也就是说，赫斯顿模型下的美国期权价格低于布莱克-斯科尔斯模型下的价格，并在图10面板B的右图中解释了负起伏。同样，我们可以在默顿跳跃扩散模型下描述早期练习，其中资产根据以下跳跃扩散过程进行转移：dStSt=（r- 研发部- γν）dt+σMdWt+（ψ- 1） dqt，（23），其中Rdi是资产支付的连续股息收益率，σMis是在无跳跃到达的条件下回报的瞬时方差。泊松过程q（t）与Wt无关，因此dt中出现跳跃的概率为γdt，1- γ不发生跳跃的概率。参数γ表示单位时间内的平均跳跃次数。随机变量ψ为ψ- 1描述了发生Poisson事件时股票价格的百分比变化，且ν=E[ψ- 1] 是平均跳跃大小。我们进一步做出了标准假设（例如，见Amin（1993）；Bakshi et al.（1997））该对数（ψ）~ N（uψ，σψ）。如果γ=0，则恢复标准Black-Scholes模型，且无跳跃。我们使用以下一组代表性参数：K=40，r=0.08，γ=5，σM=0.05，σψ=0.05，uψ=0（Amin（1993））。

我们将Black-Scholes模型中的波动率参数设置为默顿模型中期权寿命内基础收益率的波动率。[图11关于此处]在图11的面板A中，我们绘制了美式看涨期权的默顿和布莱克-斯科尔斯模型的早期行使边界，其中连续股息收益率rd=0.05（右图），股票支付的季度离散股息D=1.125（左图）。至于赫斯顿案例，连续股息案例的结果与现有文献（如Amin（1993））一致，我们对离散股息案例提供了新的见解。为了解释图11中的图形，我们必须进行重要的区分。对于短期到期期权，方程式（23）中的跳跃部分主导了差异部分。正如Amin（1993）和Merton（1976）所解释的，结果是Merton模型下的短期到期债券价格高于Black-Scholes模型下的短期到期债券价格。我们称之为跳跃效应。对于更长期限的债券，跳跃效应不再主导波动成分，而是产生了一种相互作用，使得跳跃-波动过程在观测上类似于随机波动过程。对于离散股息，正如之前在赫斯顿案例中讨论的那样，跳跃效应和随机波动效应在默顿案例中预测的边界比在布莱克-斯科尔斯案例中预测的边界更高，这对所有到期日都适用。这一结果正是我们在图11面板A的左图中发现的结果。对于连续股息情况，我们发现短期到期债券的跳跃效应占主导地位，默顿模型下的边界比布莱克-斯科尔斯模型下的边界更高。

对于长期波动，跳跃效应减小，边界表现为之前的随机波动，我们取d=1.125，因为1.125=0.05S*/4，其中S*= 90是临界股价，到期日T=0.5时，分割收益率rd=0.05。模型，即采用比Black-Scholes情况下更低的值。这些见解解释了我们在图11面板A右图中观察到的早期运动边界的交叉。本节的一个关键数字结论是，当我们面临离散股息时，在Black-Scholes模型下，早期行使更有可能。在下一节中，我们将评估这一发现对次优不执行成本的经验后果。4.2。实证分析在这一部分中，我们应用递归投影方法来刻画一大样本看涨期权的早期行使边界。这些期权的到期日不到六个月，以支付股息的股票为标的，这些股票是道琼斯工业平均指数（DJIA）的一部分。样本包括1996年1月至2012年12月期间的每日观察结果。我们根据在标的资产的不同建模假设下，行权边界可以采取的不同价值，研究看涨期权持有人的早期行权决策。按照Pool等人（2008）建议的程序，我们首先通过比较股息支付前的内在价值与除息日的持续价值来检查应该执行哪些合同。我们量化了在次优非执行决策的情况下经济损失的金额。这一数量取决于连续值，并且是特定于模型的。我们将在三种建模环境下（即Black-Scholes、Merton跳跃扩散和Merton跳跃扩散）获得的结果与Heston模型的随机波动动力学进行比较。

贝茨（1996）是第一个建议将梅顿模型和赫斯顿模型相结合的人，因此，我们将该工艺规范称为贝茨模型。最后，每当我们发现次优非行权决策的证据时，我们都会表明，仅凭交易成本无法证明投资者的行为是合理的。在我们的实证分析中，我们充分考虑了标的股票分布的离散性和美国式的看涨期权，并对三种定价模型进行了定价。考虑到期权的标准实证文献主要集中于欧洲标准普尔500指数期权，其股息收益率或仅限于布莱克-斯科尔斯模型，这一特征是我们工作的一个特点。我们已经在第2.3节中的一个示例中展示了忽略股息支付的离散现金流特征，并将其近似为连续股息收益率，如何导致169bp的定价错误。在我们的实证分析中，我们还需要正确考虑付款时间。在处理美国股息支付股票期权时，Apopular方法就是所谓的“托管股息”模型。在这种近似情况下，期权的定价就好像它是一份欧洲合同，按现行股票价格减去剩余寿命内分配的所有股息的现值进行估价。这项技术正确地模拟了看涨期权的持有人不受股息分配的保护，但没有适当地整合美式期权的早期行权溢价，并且往往低估期权的价格。因此，采用这种方法的投资者可能会低估早期行权边界的价值，并行使一份通过保持活力会更好的合同。例如，2006年5月10日，杜邦公司的股票收于45.71美元。

如果连续值计算正确，则不应行使k=30且T=0.45的看涨期权，但如果连续值与Europeanprice近似，则应行使期权。在这种情况下，如果投资者错误地行使其期权，如果根据默顿动力学对现货价格进行建模，他将蒙受200个基点的损失。我们对替代建模环境的选择遵循Bakshiet al.（1997）的经验发现，他们认为跳跃和随机波动性在定价短期期权中起主导作用，而建模随机利率似乎并不能显著改善定价性能。此外，选择跳跃到达分布不等式（23）的动机是Bajgrowicz、Scaillet和Treccani（2015）的工作，他们的工作表明，单个股票的高频数据支持跳跃到达遵循简单的低强度泊松过程的假设。他们的发现也支持默顿（1976）的假设，即跳跃成分是非系统的，即多样化的，因为没有影响所有股票的CO跳跃。这解释了我们对贝茨模型的选择，其中Xt=log（St），我们在补充在线附录G节中进一步阐述了该示例，其中我们表明，在下一节的实证中，当衡量次优成本时，将股息作为离散现金流的正确建模确实很重要。带：dXt=（r- 研发部- γν-σt）dt+σtdW1，t+log（ψ）dqt，（24）dσt=βσLT- σtdt+ωqσt·dW2，t，E（dW1，t·dW2，t）=ρdt，和log（ψ）~ N（uψ，σψ）。为了在贝茨模型中实现递归投影，我们需要方程（24）中隐含的格林函数。

由于跳跃过程与布朗运动dW1、dW2、t无关，我们利用了一元过程的特征函数是独立一元过程特征函数的乘积的性质。然后，如第3.4节所示获得转移矩阵。贝茨模型表明，将递归投影调整到更复杂的模型是很简单的。贝茨模型的转移矩阵中的条目数与赫斯顿模型中的条目数完全相同。在校准过程中，我们将传递矩阵的计算与第3.3节所述的FFT和全采样方法进行了比较。因为我们发现FFT正确地再现了Γ（yi，wp，tl；tl+1）矩阵，所以我们选择在整个经验练习中使用FFT，以利用FFT算法提供的进一步提高的速度。所有期权属性、股票价格和股息分配详细信息的每日数据都来自Optionmetrics。我们从美联储H15报告中的国债持续期限中获取每日利率数据。共有101295系列的短期期权写入我们的数据库，这些期权由30只股票组成。记录总数约为950万条。这个数字强调了快速和通用的数值方法的重要性。表1列出了每只股票的报价数量，并按到期日和资金状况进行了细分。我们的研究重点是投资者的早期行使行为；因此，我们将重点放在货币期权上，这是报价数量最多的一类期权。[表1和表2关于此处]我们通过沃顿研究数据服务（WRDS）研究平台访问Optionmetrics和H15数据库。4.2.1。

估算次优非练习的成本表2报告了三个建模框架的校准结果。我们通过最小化隐含波动率均方误差获得参数，如inChristo Offersen和Jacobs（2004）。表2的第一行显示了在我们的单只股票样本上校准的参数的平均值，而第二行报告了Bakshi等人（1997）从标普500指数合约中获得的相同参数的平均值。控制波动率微笑水平的参数，即BlackScholes波动率σBS、长期波动率σLT和即期波动率σ，在我们的单只股票校准中比在指数校准中高得多，这反映了一个众所周知的事实，即指数的波动性比其组成部分要小。事实上，在我们的样本中，平均Black-Scholes波动率为29%，σ为28%，平均长期隐含波动率为32%，而对于指数期权，相同的参数值分别为18.15%、20%和20%。贝茨模型中的跳跃参数表明，单只股票的跳跃频率平均低于指数股票（γ股票=0.5，γSP 500=0.61），但单只股票的振幅和变异性更高（μψ，股票=-指数（uψ，SP 500=-0.09和σψ，SP 500=0.14）。鉴于该指数是一个多样化的投资组合，每当其中一个组成部分跳跃时，它就会显示跳跃，但单个股票跳跃的非系统性（见Bajgrowicz et al.（2015））削弱了总体水平上的变异性和幅度。

贝茨模型随机波动率组成部分的其余两个参数，相关参数ρ和波动率的波动率ω，对隐含波动率微笑的形状有特殊影响（Hagan、Kumar、Lesniewski和Woodward（2002）；West（2005））。负ρ表示微笑呈负斜率。在单一股票情况下，相关参数的绝对值较低（ρSP 500=-ρ库存=0.52-0.35），这意味着指数的隐含波动率微笑比个股的更为负斜率。这一发现与Bakshi、Kapadia和Madan（2003）的发现一致，他们描述了指数斜率与补充在线附录F部分斜率之间的相同关系，并对数据和校准程序进行了详细描述。个股隐含波动性微笑。Bollen和Whaley（2004）也发现了相同的模式，并通过将指数微笑的斜率与指数看跌期权的购买压力联系起来加以解释，同时看涨期权的需求驱动了单只股票微笑的形状。波动率ω的波动率决定了隐含波动率微笑的凸性。ω所测值的差异是惊人的。我们发现股票期权的ω值为75%，而Bakshi等人（1997）发现短期指数期权的ω值要小得多，为40%。这种差异是由于股票期权相对于指数期权的隐含波动率微笑具有更高的凸性，Bollen和Whaley（2004）也记录了这一特征。参数ρ和ω通过基础收益分布的高阶矩与微笑形状相关。

ρ越负，指数收益率相对于股票收益率的分布越负偏斜，而单支股票收益率的ω越高，则指数收益率分布的峰度越高。在补充在线附录的表I中，我们提供了更详细的结果，包括按库存分类的校准，并且我们表明，校准参数的值在库存中是均匀的。在校准模型后，我们可以计算价格C（某物-1.-d、 K，T）在股息支付日th的前一天，使用递归预测。价格（某物）-1.- d、 K，T）是在分配股息d之日，期权的持续价值。将其与内在价值进行比较-1.- K、 我们可以评估应该在- 如果应行使期权（即C（某事物-1.- d、 K，T）≤某物-1.-K） ，然后在除息（OIth）前一天结束时为正的未平仓利率-1> 0）衡量投资者未能行使期权。在这种情况下，我们按照以下比率计算次优非运动百分比：NE%=OIth-1第个-2、（25）即第天结束时未履行的合同数量- 第天结束时未履行的合同总数的1- 2、方程式（25）中定义的数量是实际非行权比率的近似值，因为它忽略了在日期-1、该事件不太可能发生；事实上，Pool等人（2008年）在拥有实际锻炼数据的合同子样本上测试了近似值。

他们得出结论，近似值（25）是对期权投资者实际行使行为的精确描述。由于次优未行使而留在表上的总金额由以下公式给出：T L=100×OIt-1×[（St-1.- K）- C（St-1.- d、 K，T）]。（26）连续值C（St-1.- d、 K，T）取决于用于定价的模型；因此，次优不行权（TL）造成的总损失本身就是模型特有的。表4给出了投资者次优不行权行为的结果。[表4关于此处]表4清楚地表明，最佳的早期行使决策取决于股票价格所使用的模型。在Black-Scholes模型下，应执行约9.5%的未偿合同，而在替代模型下，该百分比下降（约7.5%）。该结果与第4.1节的数值结果一致，其中我们表明，在离散股息的情况下，Black-Scholes模型下的早期行使边界低于Merton和Heston模型所暗示的边界。一般来说，根据默顿或贝茨模型应执行的合同也应根据布莱克-斯科尔斯模型执行。在我们的样本中，我们发现了该规则的一些例外情况，因为在第4.1节中，我们选择了模型参数，以便在所有模型中，期权寿命期间的回报总方差是相同的，而在实际数据中，这种情况可能不成立。举一些例子，4680份期权应该在布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）下行使，但不能在贝茨模型（Batesmodel）下行使，相反，只有249份合同才是如此。同样，我们发现，在Black-Scholes模型下应行使2872项期权，而在Merton模型下则不行使，相反，只有53项期权。

我们学到的第一个重要教训是，通过允许使用比Black-Scholes模型更复杂的模型，应该最佳执行的合同数量减少了近25%。次优图取决于模型，可能是校准程序的结果。我们的校准结果与Bakshi et al.（1997）的结果之间的比较，就我们的校准方法的可靠性而言，令人放心。为了证明在我们的样本中发现的次优行为，我们应该获得不合理的高跳跃和强度参数值。表4中突出的第二个证据是，Black-Scholes模型下未行使次优期权的投资者比例高于其他模型，分别为39%和30%。我们根据定义（25）计算这些百分比。如果我们仅关注样本中1965年的合同，这些合同应在Black-Scholes模型下执行，而不是在Merton模型或theBates模型下执行，那么我们发现81%的合同没有执行。这些结果可能表明，投资者在评估期权时并不局限于布莱克-斯科尔斯世界，而是依赖于更复杂的模型，包括跳跃或随机波动。即使这一证据是理解投资者决策过程的一个重要步骤，但它并不能完全解决这个难题。事实上，即使在默顿和贝茨模型中，我们仍然发现次优非锻炼的比例很高，这导致全球损失约130-1.4亿美元，比Black-Scholes模型的2.06亿美元损失减少了约30%。对早期行权之谜的第二种可能解释是，投资者等到期权在资金中的深度更大时才行权。

如果我们将自己限制在只能在Black-Scholes模型下行使而不能在Merton或Batesmodels模型下行使的期权上，那么以期权的增量衡量的合同的平均货币性为0.962。如果我们考虑在Black-Scholes模型下应执行的所有合同，包括在其他两个模型规范下也应执行的合同，则平均货币性上升至0.986。图12显示了合约的货币性与投资者的非行权决策的相关性：期权的货币越多，次优非行权的数量越少。投资者可能不会立即对有利的股价变动作出反应，可能需要一段时间才能做出反应并以最佳方式行使其期权，这与Tanton（1995）记录的提前偿还抵押贷款的行为一致。[图12关于此处]我们关于Black-Scholes模型中运动决策的总结结果与Pool et al.（2008）获得的结果一致。在这项工作中，作者通过使用具有历史波动性的Black-Scholes模型，将早期行使决策规则应用于所有期权系列，并发现53.1%的投资者在本应行使期权的情况下未行使期权。他们的数据跨越十年（1996年至2006年），为了将我们的结果与他们的结果进行比较，我们将样本分为两个子样本，第一个子样本跨越1996年至2006年，第二个子样本跨越2006年至2012年。然后，我们计算了两个子样本中次优非锻炼的平均百分比，发现在Black-Scholes模型下，第一个子样本中次优非锻炼的百分比约为47%，第二个子样本中为37%。随着时间的推移，不锻炼行为的减少表明投资者在监控其投资时变得更加专注。

我们的结果（47%）与Pool等人（2008年）发现的53.1%之间存在微小差异。这种解释很可能是我们关注道琼斯工业平均指数的组成部分，而Pool等人（2008）则考虑了alloption系列。对于大型股公司来说，股票和期权价格的监控可能比平均水平更为密切。在整个实证研究过程中，我们选择了基于模型的方法来计算期权C（Sth）的持续价值-1.- d、 K，T）。我们也可以使用基于市场的方法，其中持续价值是期权的市场价格。基于市场的方法检查数量是否-1，K，T）-（某物）-1.-K） +等于0，其中cmkt（Sth-1，K，T）是T=th时观察到的市场价格-正如Pool等人（2008）和Barraclough and Whaley（2012）所述，基于市场的方法存在缺陷。最重要的是，它无法计算因次优非运动导致的总损失，我们在方程式（26）中进行了计算。此外，买卖价差和价格的离散性使得很难决定应该使用哪种CMKT。出于所有这些原因，wefollow Pool et al.（2008）和Barraclough and Whaley（2012）采用基于模型的方法和方程（25）来解释期权投资者的实际行使行为。Barracloughand Whaley（2012）仅将基于市场的方法作为一种有用的无模型测试，以证实次优非锻炼行为的存在。他们发现，基于市场的方法给出的次优程度与基于模型的方法所暗示的次优程度相当。最后一项证据是针对可能存在的异议的另一个论点，即模型参数的正确校准可能是次优练习图的来源。4.2.2。

根据最近有关期权价格的文献，价格的作用（Jensen和Pedersen（2016）；Christoffersen、Goyenko、Jacobs和Karoui（2015b）），交易成本和金融摩擦通常会对期权价格和美式期权的早期行使决策产生强烈影响。在本节中，我们研究了投资者的次优不行权行为是否是由于投资者在行使期权时所面临的交易成本所致。继Pool等人（2008年）之后，我们将退出多头看涨期权头寸的成本建模为个人一次性基金，投资者在决定行权时必须支付。F的具体价值取决于如何根据投资者的不同可能目标完成退出。当投资者想要行使期权并重新进入相同的看涨期权头寸时，费用F的最昂贵价值就会达到。Pool等人（2008年）通过使用高成本经纪人的佣金估算了展期成本F的平均值，他们得出了非常保守的金额F=每股0.4446美元。关于费用F组成部分的详细描述，请参见Pool等人（2008）。为了了解费用在早期行使决策中的作用，我们进行了两次不同的临时行使。作为第一次检查，我们重新执行第4.2.1节的练习，并计算因次优非练习决策而导致的损失，但这次使用C（Sth-1.- d、 K+F，T）作为连续值，和（Sth）-1.-K-F）作为内在价值。费用值为F=0.4446。费用F计入行权收益和延续价值。实际上，在行权决定之时，投资者应决定是否行权，从而立即支付行权费，并将行权费的支付推迟至未来日期。

因此，通过以下公式计算因次优非行使而损失的总金额：T LF=100×OIt-1×[（St-1.- K- F）- C（St-1.- d、 K+F，T）]。（27）表4第二列显示了包括费用在内的汇总结果。它们与未考虑费用的情况下获得的结果没有太大区别（表4第一列）。我们可以得出结论，如前一段所述，将交易成本包括在内并不会改变投资者行使次优权的大局。作为第二次实证练习，我们计算费用的价值，这将证明投资者的非执行决定是合理的，以检测费用F中未考虑的可能额外成本。为此，对于C（某事物-1.-d、 （某事物）-1.-K） ，但这不是一些投资者的最佳行使，我们计算了隐含基金F的价值，这将证明不行使决定的合理性。这相当于在数字上找到以下函数的零：f（f）=C（Sth-1.- d、 K+F，T）- （某物）-1.- K- F）。（28）结果见表3。平均隐含费用在7至8美元/股之间，与Pool等人（2008年）估计的0.4446美元/股的保守费用相比，这是一个非常高的数额。任何现实的隐性费用都不可能达到每股7美元，退出多头看涨期权头寸的交易成本也不能完全证明投资者的次优非行权行为是合理的。我们可以将8美元的隐含费用与0.4446的保守费用之间的差异解释为期权持有人监控美式期权最佳行使的隐含机会成本。期权持有人选择将该金额用于其他活动。[图3关于此处]5。

结论性意见我们在101295系列短期美国看涨期权的大型数据库中调查投资者的行使行为。Pool等人（2008年）发现，超过40%的投资者未能以最佳方式履行其合同。我们扩展了他们的分析，包括随机波动性和跳跃到基础股票的过程。为了处理大型期权数据库以及校准和定价所需的重复计算，我们开发了一种快速、精确的期权定价技术，该技术可以处理多维动态和现金股利分配。我们从观察开始，通过在离散时间监控期权的价值，并在标的资产价值的有限网格上对合同的价值函数进行采样，我们可以用初等矩阵算子描述价格过程的演变。根据函数投影对此类矩阵的元素进行解释，使我们能够将矩阵方法扩展到资产上合同的定价，其过程的转移概率在直接空间中没有已知的分析表达式。递归投影法的速度归功于其基于采样的算法的简单性。此外，我们的方法允许我们推导过渡矩阵，该矩阵与任意距离的时间点的期权价格相关。所需的时间步数完全由合同的特征决定，例如合同需要监控的日期，这是使我们的方法比现有备选方法更快的主要特征。通过将我们的技术应用于数据集，我们可以解释高达25%的因次优运动决策而放弃的收益，如Pool等人（2008）计算的那样。

这一结果证实了我们从论文理论部分获得的结论。事实上，我们表明，如果股息是离散的，则Merton和Heston模型下的exerciseboundary高于Black-Scholes模型下的exerciseboundary。这一结果强调了正确建模离散分布的重要性。我们表明，通过将股息建模为连续收益率而非离散现金流，贝茨模型中的行权边界将更低而不是更高，Pool等人（2008）的次优行权行为将得到加强而不是缓解。我们进一步尝试检查是否能够从交易成本的角度解释剩余75%的次优行为（Jensen和Pedersen（2016））。我们表明，隐藏的交易成本需要非常大，才能解释投资者放弃的全部金额。这一观察结果导致我们将隐含的交易费用解释为监控成本。我们可以设想两条进一步研究的路线：我们的方法的其他可能应用和改进算法。美式期权定价只是随机最优控制问题的一个特例。我们可以考虑将递归投影法应用于其他问题，例如涉及复杂且路径依赖的金融资产的最优投资组合分配。目前，这些类型的复杂问题是通过使用蒙特卡洛模拟（Detemple、Garcia和Rindesbacher（2003））来解决的，我们的方法可以提供更有效的计算方法。