（4.13）乍一看，这样做似乎会面临无法找到动态编程方程正确解的风险。然而，事实并非如此，我们稍后将证明一个验证结果，该结果确保我们在此条件下找到的解确实对应于可信集的上边界。附录D引理4.3给出了以下引理的极限。满足条件（4.13）的HJB方程（4.12）的唯一解由Definingx？：=xρg/ρb，？bU？（ub）：=bUρg/ρb（ub）=ρgρbr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ，ub∈Br+bλ，x？,ρgρbbbbλ-bλr+bλr+bλr+bλr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ，ub∈x？，bb型,ρgρbub，ub∈bb+∞.（4.14）如图1所示，我们显示了可信集，该可信集对应于由其上下边界分隔的区域。在这个例子中，我们考虑了r=0.02，B=0.002，ε=0.25，α=0.055，ρgρB=2步骤3：在一般情况下求解HJB方程br+bλ11x？1bb1Br+bλ11bb1ρgρbbb1ug=ubbL1（ub）bU？1（ub）UBUG图1：还剩一笔贷款的可信集合。在一般情况下，当j>1时，我们可以减少变量的数量，并将扩散方程（4.10）改写为一个等效的公式rbuj（ub）=sup（θ，h）∈bCjnbUj（乌兰巴托）擦- Bkb+[ub- θ（ub- h） ]bλkbj+bUj公司-1（ub- h） θ-bUj（ub）bλkgj+Bkgo，（4.15），其中我们记得kb=1{ub-θ（ub-h） <bbj}，kg=1{bUj（ub）-θbUj-1（ub-h） <bbj}约束集现在由bcj给出：=（（θ，h）∈ [0，1]×R+，ub≥ h+B（j- 1） r+bλSHj-1） 。（4.16）当我们证明可信集的下边界是可到达的时，我们使用了最长期限的合同，该合同将维持池直到最后一次违约。这给了我们一种直觉，即合同持续时间越长，银行公用事业之间的差异越小。

因此，可信集的上边界，即两个公用事业公司之间的差异最大，应该可以通过最短期限的合同来达到，该合同在第一次违约后立即终止合同关系。在该模型中，这意味着θ等于零，由此产生的上边界HJB方程与还剩一笔贷款的情况下的HJB方程具有相同的形式。我们预计扩散方程的解与（4.14）的形式相同。下一个建议的目的是严格证明我们的猜测。我们将证明推迟到附录D提案4.3。对于任何j≥ 1、功能BU？jde由BU确定？j（ub）：=ρgρbr+bλSHjr+bλj乌兰巴托-Bjr+bλSHj+Bjr+bλSHj，ub∈Bjr+bλSHj，x？j,ρgρbbbbλSHj-bλjr+bλSHjjr+bλSHjr+bλjr+bλjr+bλSHj乌兰巴托-Bjr+bλSHjr+bλjr+bλSHj，ub∈x？j、 bbj公司,ρgρbub，ub∈bbj、+∞,（4.17）其中x？j:=ρbρgr+bλSHjr+bλjbbjr+bλjr+bλSHj+Bjr+bλSHj是HJB方程（4.9）的解。4.4.2验证理论根据方程式（4.15）中的最大值，我们定义了以下控制δj（ub）：=1{ub≥bbj}ub（r+bλj）ρb，θj（ub）：=0，h1，b，j（ub）：=ub-B（j- 1） r+bλSHj-1，h2，b，j（ub）：=b（j- 1） r+bλSHj-1，kb，j（ub）：=j1{ub<bbj}，kg，j（ub）：=j1{bU？j（ub）<bbj}。（4.18）在说明上边界的验证结果之前，我们先对函数的域SBU？j、 严格地说，银行的公用事业可能为零，但这只发生在时间τ，即所有池都被清算时。BU的领域？jis在验证定理的证明中的setbVjbut，它将隐含理解thatbU？j（0）=0。在任何情况下，我们都不需要功能SBU？jt定义为零，因为其公式将用于不包含τ的区间。定理4.1。考虑任何开始时间t≥ 0

对于任何ub≥B（一）-Nt）r+bλSHI-Nt，让流程（ubs）s∈[t，τ]是以下SDEubv=ub+Zvt的唯一解r+λkb，I-Nss公司瑞银集团- Bkb，I-Ns（瑞银）- ρbδI-Ns（瑞银）ds公司-Zvtubs公司-dNs，v∈ [t，τ]。（4.19）那么，根据合同ψ？：=（D？，θ？，h1，b，？，h2，b，？）∈ D×Θ×Hde为s定义∈ [t，τ]bydD？s： =δI-Ns（ubs）ds，θ？s≡ 0、h1、b、，？s： =h1、b、I-Ns（ubs）、h2、b、，？s： =h2，b，I-Ns（ubs），坏账银行的价值函数为Ubt（ψ？）=uband好的银行之一是Ugt（ψ？）=bU？我-Nt（ub）。此外，ψ？∈ Ab（t，ub）和属于Ab（t，ub）的任何其他合同，该合同下的良好银行的价值函数小于或等于tobU？我-Nt（ub）。特别是，这意味着BU？我-Nt（ub）=bUI-Nt（ub）=Ut（ub）。在本节结束时，我们指出，CJ确实等于可信集，剩下j贷款，因此函数BUJANDBLJ对应于其上下限。提案4.4。每t≥ 0，Ct=Ct。5最佳合同在本节中，我们研究了投资者可以向银行提供的两种合同，一种是停业合同，它对应于只有优质银行才能接受的单一合同，另一种是筛选合同，对应于一系列合同，每种类型的代理各一份，激励银行接受为其真正类型设计的合同。5.1停业合同在所谓的停业合同中，投资者仅为好银行设计合同ψg=（kg，Dg，θg），并确保坏银行不会接受该合同。在这些条件下，投资者在时间t=0时的效用isvg，Shut（ψg）=pgEPkgZτu（I- Ns）ds- dDgs.

（5.1）因此，投资者将根据约束条件（kg，θg，Dg）提供最大化（5.1）的合同≥ Rg，SUP∈Kub（k，θg，Dg）≤ Rb，ug（kg，θg，Dg）=supk∈Kug（k，θg，Dg）。回顾动力学（4.5）–（4.6），我们可以将投资者的最大化问题改写为以下Vshut：=sup（θg，Dg）∈AgShutpgEPk？，g（θg，Dg）Zτu（I- Ns）ds- dDgs,式中：=n（θg，Dg）∈ Θ×D:Ub，c（θg，Dg）≤ Rb，Ug（θg，Dg）≥ Rgo。备注5.1。我们将使用符号Ub，c（θg，Dg）表示坏帐银行获得的价值函数，如果她没有公布其真实类型并接受为好银行设计的合同。我们将这个过程与ub（θb，Db）进行了区分，ub（θb，Db）对应于坏银行在接受投资者为其设计的合同时获得的价值函数。我们对相关过程h1、b、c（θ，D）、h2、b、c（θ，D）和h1、b（θ，D）、h2、b（θ，D）进行了相同的区分。如前一节所述，我们将定义一组简单的合同，并将代理的价值函数视为受（D、θ、h1、g、h2、g、h1、b、c、h2、b、c）控制的差异过程。

如前所述，通过这样做，我们不会看到更大类别的“合同”。任何（t、ug、ub、c）的定义∈ [0+∞)×Ct，bAg（t，ug，ub，c）是ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）的集合∈ （4.7）和（4.8）至少有一个弱解，满足（3.3）中的第一个可积条件，此外，对于任何∈ [t，τ]Ugs-（ψg）=h1，gs+h2，gs，Ugs-（ψg）- h1，gs≥B（一）- Ns）r+λI-Nss，Ugt（ψg）=ug，Ub，cs-（ψg）=h1，b，cs+h2，b，cs，Ub，cs-（ψg）- h1、b、cs≥B（一）- Ns）r+λI-Nss，Ub，ct（ψg）=Ub，c。我们还将在续集中考虑以下标准控制问题，对于任何（Ub，c，ug）∈ Cbvg（ub、c、ug）：=supψg∈袋子（0，ug，ub，c）pgEPk？，g（ψg）Zτu（I- Ns）ds- dDgs.我们滥用符号，也将BAG（t、ug、ub、c）合同的要素称为要素。5.1.1投资者的价值函数在本节中，我们描述了投资者仅提供停业合同时的价值函数。我们将首先计算可信集边界上的值函数，然后解释如何在合理的假设下，通过可信集内部的特定HJB方程来表征它。投资者在下边界上的价值函数用j loans leftbLj（ub，c）收回下边界=ub，c，c（j，1）≤ ub，c≤ C（j），ρgρbub，C-（ρg- ρb）ρbC（j），C（j）≤ ub，c<∞.考虑任何开始时间t≥ 0.对于ub，c∈ Ct，我们用VL，g（ub，c）表示投资者在下基数上的价值函数，即isVL，gt（ub，c）：=ess supψg∈袋子（t，bLI-Nt（ub，c），ub，c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机. （5.2）附录E证明了以下两个命题，并明确给出了VL，gt（ub，c）的值。提案5.1。对于每个ub，c∈ Ct，如果ub，c≥ C（一）-Nt）那么投资者在下界上的价值函数由vl，gt（ub，c）=I给出-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我-ub，c- C（一）- Nt）ρb.提案5.2。修复一些t≥ 0

对于每个ub，c∈ Ct，带c（I- Nt，1）≤ ub，c<c（I- Nt），设ν（ub，c）为ν中下列方程的唯一解B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司- ub，c+我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（一）- i） r+bλSHI-ie-接收fτi（x）dx=0，其中fτi是τi定律在PkSHand下的密度，其中si（ν）：=0，ν≤u（r+bλSHI-i） BbλSHI-i、 rln公司νBbλSHI-iu（r+bλSHI-（一）, ν≥u（r+bλSHI）-i） BbλSHI-i、 然后投资者在下边界的价值函数由vl给出，gt（ub，c）=u（i- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν（ub，c））u（I- i） bλSHI-如果τi（x）dx。备注5.2。观察命题5.1和5.2中计算的函数VL，GT仅通过量I依赖于t- Nt。定义，对于任何j=1，J mapbVL，gj（ub，c）：=jXi=1uibλSHi-ub，c- C（j）ρb, ub，c≥ C（j），ujbλSHj+j-1Xi=1Z∞sI公司-j（ν（ub，c））uibλSHifτI-i（x）dx，ub，c∈ （c（j，1），c（j））。因此，我们得到，VL，gt（ub，c）=bVL，gI-Nt（ub，c）。投资者在上边界上的价值函数下一个命题指出，可信集合的上边界在以下意义上是吸收的：如果在任何合同下，银行的一对价值函数在某个时间达到上边界，那么这对价值函数将留在上边界，直到池被清算。提案5.3。固定三元组（t、ug、ub、c）∈ [0+∞) ×CTUG=bUI-Nt（ub，c）。对于任何合同ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）∈bAg（t，ug，ub，c），我们有Ugs（ψg）=bUI-Ns（Ub，cs（ψg）），每s∈ [t，τ）。下一个命题陈述了合同满足的一个重要属性，该属性使得银行的持续效用位于可信集的上限。命题5.4。固定三元组（t，ug，ub，c）∈ [0+∞) ×CTUG=bUI-Nt（ub，c）。

对于任何合同ψg=（Dg，θg，h1，g，h2，g，h1，b，c，h2，b，c）∈bAg（t，ug，ub，c），每s有（i）θgs=0∈ [t，τ）使得Ub，cs（ψg）<bs。（ii）如果Ub，cs（ψg）≥ BSS对于某些∈ [t，τ）然后k？，b，cs（ψg）=0和Ub，cs（ψg）≥ bsfor每s∈ [s，τ）。我们现在准备给出可信集合上边界上投资者的价值函数。在上边界的最后一个区域，其中好代理和坏代理都在监控所有贷款，它与[50]中研究的子问题的价值函数一致，用vbj表示。为了便于介绍，我们回顾了附录E.1中[50]的结果。提案5.5。在假设2.1下，对于任何t≥ 0和任何ub，c∈英属维尔京群岛-Nt，上边界上投资者的值函数，由Vu定义，gt（ub，c）：=ess supψg∈袋子（t，bUI-Nt（ub，c），ub，c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机, （5.3）验证VU，gt（ub，c）=bVU，gI-Nt（ub，c），其中对于任何j=1，···，IbVU，gj（ub，c）：=ujbλSHj+bCjub，c-Bjr+bλSHjbλSHjr+bλSHj，ub，c<x？j、 ujbλj+vbj（bbj）-ujbλjbbjr+bλjr+bλSHj-bλjr+bλSHjub，c-Bjr+bλSHjbλjr+bλSHj，x？j≤ ub，c<bbj，vbj（ub，c），ub，c≥bbj，VBJ由（E.1）和BCJ驱动：=ujbλj-ujbλSHj+ρbρgbλjr+bλjvbj（bbj）-ujbλjρbρg-bλSHjr+bλjbbj（r+bλj）r+bλSHj-bλSHjr+bλSHj。作者只关注代理人发挥最大效用的合同，即每次监控所有贷款。在我们定义的可信集合中，对于任何t≥ 0和任何（ub、c、ug）∈bCI公司-Nt，Vgt（ub，c，ug）可信集合中投资者的价值函数：=ess supψg∈袋子（t、ug、ub、c）EPk？，g（ψg）Zτtu（I- Ns）ds- dDgs燃气轮机.

（5.4）与该控制问题相关的HJB方程组由BVG给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ 一、 onbVj×bVjmaxsupCjub、cbVgj摩擦，c- Bkb，c+（h1，b，c+（1- θ） h2，b，c）bλkb，cj+ugbVgj小地毯- Bkg+（h1，g+（1- θ） h2，g）bλkgj+bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）-bVgj（ub、c、ug）bλkgj-bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）（1- θ） bλkgj+uj, -ρbub、cbVgj- ρgugbVgj- 1.= 0，（5.5），其中我们定义了kb，c=j·1{h1，b，c+（1-θ） h2，b，c<bbj}，kg=j·1{h1，g+（1-θ） h2，g<bbj}与约束集=（θ，h1，b，c，h2，b，c，h1，g，h2，g）∈ R+：θ∈ [0，1]，ug=h1，g+h2，g，ub，c=h1，b，c+h2，b，c，h2，g；h2、b、c≥B（j- 1） r+bλSHj-1..对于每个ub，c，给出了（5.5）的边界条件∈bVj，bybVgj（ub，c，bUj（ub，c））=bVU，gj（ub，c），bVgj（ub，c，bLj（ub，c））=bVL，gj（ub，c）。（5.6）最后一步是使用经典参数证明BVGj是上述偏微分方程的粘度解，每j=1，函数是充分光滑的（至少是弱可微的），以获得上述最大化器的最优契约。该程序原则上可以使用哈密顿-雅可比方程粘度理论中的标准参数来执行。然而，鉴于论文的篇幅，我们认为它不会达到特定的目的，因此决定只描述导致这一结果的主要步骤。我们在下面列出了它们（i）对于j=1，我们可以使用[20]的抽象结果来证明（5.4）与自身的强公式一致。这一事实可以直接证明，价值函数bvgis是凹的，因此几乎在任何地方都是可以区分的。（ii）对于j>1，让我们定义离散方程的惩罚哈密顿量，剩下j个贷款。

GivenbVgj-1，定义实例HNJ（ub、c、ug、v、pb、c、pg）=supCjpb，c摩擦，c- Bkb，c+（h1，b，c+（1- θ） h2，b，c）λkb，cj+pg公司小地毯- Bkg+（h1，g+（1- θ） h2，g）bλkgj+bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）- v（ub、c、ug）bλkgj-bVgj公司-1（ub，c- h1、b、c、ug- h1，g）（1- θ） bλkgj+uj+ n个(-ρbpb，c- ρgpg- 1） +。（5.7）让vnjbe计算我们问题的惩罚版本的值函数，其中付款是绝对连续的，密度有界。然后，可以如[21]中所述，在适当的可信集和边界条件下，vnjis是Hnj（u，v，p）=0的粘度解。（iii）注意，Hnjis在p中是凸的，作为线性泛函的上确界和凸函数的组合。此外，对于任何R<+∞ 我们有HNJ（u，v，p）- Hnj（u、v、p）≥ -bλSHj（v- v） ，则，（u、p）和R≥ v≥ v≥ -R、 Hnjis还包括当地的Lipschitz和Hnj（u、v、p）-→ ∞ as | p |→ ∞ 对于任何u>Bjr+bλSHj。最后，注意到内部最大化发生在可信集的内部（更精确地说，边界最大化对应于将代理引导到可信集吸收边界的契约），通过使用包络定理，我们可以证明Hnjis实际上在可信集的内部是严格凸的，因此满足R>0，αR>0，Hnj公司p（u、v、p）-Hnj公司p（u，v，q），p- q≥ αR | p- q |、| p |、| q |、| u |≤ R、 对于Lions[37]中的定理3.3中的任何u，那么vnj∈ W1，∞locand vnjis SSH（半超谐波）。（iv）如[21]中所述，可以证明序列VNjc收敛于我们问题的值函数bvgj，因此这是SSH，是（5.5）的粘性解，具有边界条件（5.6）。最后，由于bvgj几乎在任何地方都是可微的，因此我们可以通过哈密顿量（5.5）中的最大值确定最优契约。

然后，利用微分方程不饱和的域有界的经典结果（相关参数参见示例[32]），可以得出最优控制（h1，g，？，h2，g，？，h1，b，c，？，h2，b，c，？）有界且相应的SDE允许弱解du？，gs公司=rU？，gs公司- 黑色？，gs（U？、b、cs、U？、gs）- ρgδ？，gI公司-Ns（U？、b、cs、U？、gs）ds公司- h？，1，gI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）dNs- λk？，g（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠- h？，2，gI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）国土安全部- （1）- θ？，gI公司-Ns（U？，b，cs，U？，gs））λk？，g（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠,dU？，b、 cs公司=rU？，b、 cs公司- 黑色？，b、 cs（U？，b，cs，U？，gs）- ρbδ？，gI公司-Ns（U？、b、cs、U？、gs）ds公司- h？，1、b、cI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）dNs- λk？，b、 c（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠- h？，2，b，cI-Ns（U？、b、cs、U？、gs）国土安全部- （1）- θ？，gs（U？，b，cs，U？，gs））λk？，b、 c（（U？，b，c，U？，g））十二烷基硫酸钠.事实上，这可以通过注意到在两个跳跃时间之间，上述实际上是一阶常微分方程来证明，由于Carathéodory的常微分方程定理，它们在适当的指数加权Lspace中允许弱解（以确保有界函数在可信集上是可积的）。因此，我们得到了等价物vshut=supub，c≤Rb，ug≥Rgbvg（ub，c，ug）=supub，c≤Rb，ug≥RgpgbVgI（ub、c、ug）。5.2筛选合同回顾一下，在筛选合同中，投资者为每个代理人设计了一份合同菜单，其预期效用由V给出（ψi）i∈{g，b}=xi∈{g，b}piEPkiZτ我- Ns系列uds- dDis. （5.8）在这种情况下，我们必须跟踪两家银行的价值函数，当他们选择为他们设计的合同时，以及当他们没有如实披露其类型时。

我们将用V表示投资者可以从筛选合同中获得的最大效用。v： =sup（θg，θb，Dg，Db）∈AScrpgEPk？，g（θg，Dg）Zτu（I- Ns）ds- dDgs+ pbEPk？，b（θb，Db）Zτu（I- Ns）ds- dDbs公司,式中：=n（θg，θb，Dg，Db）∈ Θ×D:Ui（θi，Di）≥ Ri，Uj（θj，Dj）≥ Uj，c（θi，Di），（i，j）∈ {g，b}，i 6=jo。与关闭合同的研究不同，投资者只与好银行签订合同，为了获得最佳筛选合同，我们还需要描述投资者与坏银行签订合同时的价值函数。因此，我们将遵循第5.1.1节的规定，但以坏银行取代好银行。因此，我们对任何（t、ub、ug、c）进行了类似的定义∈ [0+∞) ×CTSettab（t、ug、c、ub）。我们还介绍了以下任意（ub，ug，c）的随机控制问题∈ CIbvb（ub、ug、c）：=supψb∈bAb（0，ug，c，ub）pbEPk？，b（ψb）Zτu（I- Ns）ds- dDbs公司.下一节的目的是计算函数bvb（ug、c、ub），表示投资者在雇用坏账银行时的效用。我们首先在可信集的边界上研究它。5.2.1边界研究我们用VL，b（ug，c）表示投资者在下边界的价值函数，当雇佣坏账银行时，定义为VL，bt（ub）：=ess supψb∈bAb（t，bLI-Nt（ub），ub）EPk？，b（ψb）Zτtu（I- Ns）ds- dDbs公司燃气轮机. （5.9）第一个结果是，无论是雇佣坏银行还是雇佣好银行，投资者在可信集合下边界上的价值函数都是相同的。这主要是由于两家银行都逃避较低的边界。提案5.6。对于每个ub∈ CI公司-Nt，我们有VL，bt（ub）=VL，gt（ub）。现在让我们考虑一下上边界。我们用VU，b（ub）表示投资者在雇佣不良代理人时在上限上的价值函数。VU，bt（ub）：=ess supψb∈bAb（t，bUI-Nt（ub），ub）EPk？，b（ψb）Zτtu（I- Ns）ds- dDbs公司燃气轮机. （5.10）我们得到以下结果。提案5.7。

根据假设2.1，对于任何t≥ 0和任何ub∈英属维尔京群岛-Nt，我们有VU，bt（ub）=bVU，bI-Nt（ub），其中对于任何j=1，···，IbVU，bj（ub）：=ujbλSHj+~Cj乌兰巴托-Bjr+bλSHjbλSHjr+bλSHj，ub<bbj，vbj（ub），ub≥bbj，VBJ由（E.1）和▄Cj驱动=vbj（bbj）-ujbλSHjbbj（r+bλj）r+bλSHj-bλSHjr+bλSHj。5.2.2研究可信setWe定义，对于任何≥ 0和任何（ub、ug、c）∈bCI公司-Nt，投资者在可信集合中通过vbt（ub，ug，c）雇用坏账银行时的价值函数：=ess supψb∈bAb（t、ug、c、ub）EPk？，b（ψb）Zτtu（I- Ns）ds- dDbs公司燃气轮机. （5.11）与该控制问题相关的HJB方程组由BVB给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ Imax公司supCjubbVbj擦- Bkb+（h1，b+（1- θ） h2，b）bλkbj+ug，cbVbj地毯，c- 黑色，c+（h1，g，c+（1- θ） h2，g，c）bλkg，cj+bVbj公司-1（ub- h1、b、ug、c- h1、g、c）-bVbj公司bλkbj-bVbj公司-1.乌兰巴托- h1、b、ug、c- h1、g、c（1）- θ） bλkbj+uj, -ρbubbVbj- ρgug，cbVbj- 1.= 0。（5.12），kb=j·1{h1，b+（1-θ） h2，b<bbj}，kg，c=j·1{h1，g，c+（1-θ） h2，g，c<bbj}和与函数Bvgj（ub，c，ug）相关的Hjb方程系统中的相同约束集CJA。对于每个ub，给出了（5.12）的边界条件∈bVjbybVbj（ub，bUj（ub））=bVU，bj（ub），bVbj（ub，bLj（ub））=bVL，gj（ub）。与停堆契约类似，我们可以认为系统的函数VBJare粘度解（5.12）几乎在任何地方都是可微分的，哈密顿量中的最大化子定义了一个可接受的契约。这意味着等效值v=sup{Rb∨ub，c≤ub，Rg∨ug，c≤ug}bvg（ub，c，ug）+bvb（ub，ug，c）=sup{Rb∨ub，c≤ub，Rg∨ug，c≤ug}pgbVgI（ub，c，ug）+pbbVbI（ub，ug，c）。5.3最优合同的描述在本节中，我们描述了投资者在为好银行或坏银行设计合同时的最优合同。

我们详细地解释了可信集边界上的最优合约，这些合约可以从投资者的价值函数中明确获得。在可信集的内部，我们讨论了我们期望最优合同能够给出前几节所述验证结果的性质。5.3.1可信集边界上的最优契约我们从可信集的上边界开始。下面的结果是命题5.5和5.7的证明以及纯道德风险情况下的最优契约的直接结果。在上边界的最后一部分，两个代理都监控所有贷款，最优合同与[50]中研究的子问题之一一致。其主要结果见附录E.1。提案5.8。根据假设2.1，考虑≥ 0和（ub，Ut（ub））∈ Ctthe流程（ubs）≥关于[t，τ）dubs的下列SDE的解=（摩擦- Bkb，？s+λkb，？s（h1，b，？s+（1- θ？s） h2，b，？s）ds公司- ρbdD？s- h1、b、，？SDN- h2，b，？sdHs，（5.13），初始值为ubat t，且为D？s： =1{s=t}（ub- γbI-Nt）+ρb+ZstδI-Nr（ubr）dr，θ？s： =θI-Ns（ubs）、h1、b、，？s： =h1、b、I-Ns（ubs），kb，？s： =kb，j（ubs），对于s∈ [t，τ）和j=1，…，I，其中γbj由（E.2）和δj（u）：=1{u=γbj}bλjbbj+rγbjρI，θj（u）：=1{u∈[bbj，bbj-1+bbj）}u-bbjbbj-1+1{u∈【bbj+bbj】-1，γbj）}，h1，b，j（u）：=1{u∈[c（j，1），bbj）}u+1{u∈[bbj，bbj-1+bbj）}（u-bbj公司-1） +1{u∈【bbj+bbj】-1，γbj）}bbj，kb，j（u）=j1{θj（u）h1，b，j（u）+（1-θj（u））u<bbj}。那么，合同ψ？=（D？，θ？，h1，b，？，h2，b，？）是问题（5.3）和（5.10）的唯一解决方案。让我们在可信集的上边界上评论投资者的最优合约。如果他为好银行或坏银行设计合同也是一样的。状态进程（ubs）≥（5.13）定义的tde对应于最优合同下坏账银行的价值函数。

当UBS小于γbI时，最优合同不向银行付款-Ns。在这种情况下，坏账银行的持续效用是一个不断增加的过程，最终会达到γbI的值-Ns，如果在此期间没有发生违约。付款推迟到现在。如果不良代理的初始值ubis大于γbI-Nt，一次性付款在t-为了使ubt=γbI-Nt。当ubs=γbI时-Ns，银行收到固定的付款，从而将坏账银行的价值函数保持在此水平不变。关于项目清算，如果在默认时间τj，其认为ubτj<bbj，则项目被清算。在ubτj的情况下∈ 【bbj+bbj】-1，γbj），项目将以概率θj继续∈ （0，1），当ubτjgets更接近γbj时，它将更接近1。如果ubτj≥ γbj，项目将得到维护。最后，只有当坏账银行的价值函数大于BBI时，它才会监控所有的贷款-Ns，而好银行将监控坏银行的价值何时大于x？我-Ns。图2描述了投资者在信用集上边界的最优合约，表示bbj：=bbj+bbj-1、瑞银集团（一）- Ns，1）x？我-NsbbI-NsbBI-NsγbI-Nskgs=I- Nskgs=0 kgs=0 kgs=0 kgs=0 kgs=0 KBS=I- Nskbs=I- Nskbs=0 kbs=0 kbs=0θs=0θs=0θs∈ （0，1）θs=1θs=1dDs=0 dDs=0 dDs=0 dDs=0 dDs>0图2：上边界上的最佳契约。对于可信集的下边界，我们得到以下结果。提案5.9。

根据假设2.1，考虑≥ 0和（ub，Lt（ub））∈ Ctthe流程（ubs）≥关于[t，τ）dubs的下列SDE的解=（摩擦- Bkb，？s+λkb，？s（h1，b，？s+（1- θ？s） h2，b，？s）ds公司- ρbdD？s- h1、b、，？SDN- h2，b，？sdHs，（5.14），初始值ubat t，和D？s： =1{s=t}（ub- C（一）- Ns））+ρb，θ？s： =1{瑞银≥C（一）-Ns）}，h1，b，？s： =瑞银-C（一）-Ns系列-1） 1{瑞士联合银行≥C（一）-Ns）}，h2，b，？s： =C（I-Ns系列-1） 1{瑞士联合银行≥C（一）-Ns）}，kb，？s=（I-Ns）1{h1，b，？s+（1-θ？s） h2，b，？s<bs}，对于s∈ [t，τ）。然后，合同ψ=（D？，θ？，h1，b，？，h2，b，？）是（5.2）和（5.9）的唯一解决方案。在可信集的下边界上，投资者的最优合约也不取决于银行的类型。如果坏账银行UBI的初始值大于C（I- Nt），银行收到一笔总额付款，使得ubt=C（I- Nt）。这是合同规定的唯一付款。如果在某个时间出现违约，例如ubs<C（I- Ns），项目已清算。当ubs=C（I- Ns）合同维护项目直到最后一次违约。由于最优合同不会激励银行监控贷款，因此，在项目清算之前，好银行和坏银行都会逃避责任。图3描述了投资者在可信集合的下二元上的最优契约。ubsc（一）- Ns，1）C（I）- Ns）kgs=I- Nskgs=I- Nskbs=I- Nskbs=I- Nsθs=0θs=1dDs=0 dDs>0图3：下边界上的最佳契约。5.3.2关于可信集合内部最优合约的讨论图4表示可信集合边界上的最优合约以及银行价值沿这些曲线的移动。绿色区域对应于合同向代理人付款的区域，如果存在违约，项目将保持不变。

红色区域对应于没有付款且项目在违约后立即清算的区域。中间情况对应黄色区域。我们注意到银行只在绿区付款。Bjr+bλjjx？jbbjC（j）γjBjr+bλjjbbjρgρbbbjC（j）ug=ubbLj（ub）bU？图4：可信集边界上的最优契约。考虑到问题（5.4）和（5.11）的最优契约对应于系统（5.5）和（5.12）哈密顿量的最大值，现在让我们考虑整个可信集，并解释边界上的绿色和红色区域如何向内部区域传播。回想一下，只有当投资者的价值函数饱和梯度约束时，才会进行支付。因此，如果在可信集合的某个点向银行付款，则在方向（ρb，ρg）的移动下也会出现这种情况。对该属性的解释是，绿色区域是指银行在违约后获得付款和项目维护的区域，由银行表现良好并获得奖励的点组成。在方向（ρb，ρg）上的移动对应于两个银行的更好表现，因此剥夺他们的奖励似乎是不自然的。我们可以对红色区域做相反的解释，包括银行没有收到付款，项目在违约后被清算的点。不合理的是，在最优合同下，可以在可信集合中确定红色和绿色区域，其中边界中描述的特征将保留，并将由一些类似于下图5所示的曲线来界定。

从数学上讲，这些曲线划定了渐变约束饱和的区域。Bjr+bλjjx？jbbjC（j）γjBjr+bλjjbbjρgρbbbjC（j）ug=ubbLj（ub）bU？图5：可信集合上的最优契约。5.4关于合同可执行性的一句话我们模型的任何实际应用都需要讨论合同的实际可执行性。幸运的是，我们获得的合同菜单的形式与[50，51]中获得的完全相似，从某种意义上说，这些合同都依赖于一个可能发生随机清算的试用区和一个从未发生清算的良好表现区。唯一的区别当然是，在[50，51]中，这些区域只是区间，而在我们的例子中，它们是计划中更复杂的区域，因为我们必须跟踪代理的持续性和诱惑值。尽管如此，Pagès[50，提案7]提出的实际实现可以很容易地适应我们的环境。鉴于本文的篇幅，我们将确切的细节留给读者，并简单回顾一下实现是如何工作的。首先，执行合同的一种自然方式是使用两个现金储备账户动态复制代理人的持续价值和诱惑价值。这些账户应由独立的信托机构管理，实际上既可以为投资者提供保护，也可以精确管理最佳合同中描述的基于绩效的薪酬方案。当前余额反映了这两类银行的全面表现，并可用于确定费用的发放金额和时间。然后，实施基本上采取了保留监控的整体贷款销售形式。

然后，储备账户以ABS信用违约掉期（ABCD）的形式提供保护，并作为将补偿金额和时间与绩效挂钩的工具（这意味着只有当代理的持续性和诱惑值在梯度约束满足的领域内时，才从现金储备中进行支付）。准备金账户揭示了潜在绩效水平，这降低了监控银行的租金，并允许其以比存款更低的成本保留风险。6扩展6.1内生保留效用在标准委托代理问题中，假设代理人拥有委托人必须提供的最低效用水平，以使其接受合同。如果委托人提供的合同没有足够的吸引力，并且他使用了一个外部选项，则该保留值代表代理人将获得的效用（见第2.3节的条件（2.6））。在本节中，我们假设如果银行不与投资者建立合同关系，他们可以自己管理项目，从而提供了银行保留公用设施的内生特征。当银行的外部选择是自己管理贷款池时，我们可以找到其reservationutility的明确价值。此外，我们还将我们的模型扩展到银行可以随时违约的情况，前提是银行可以自己做得更好。

与前几节研究的完全承诺问题不同，银行违约的能力使投资者只接受所谓的重新谈判证明合同，即在合同结束之前，银行的效用高于动态保留效用。如果ρi类银行管理该项目，它将从贷款中获得现金流，并且不会在其中一笔贷款违约时面临清算整个池的威胁。因此，其保留实用程序Ri由以下表达式Ri=supk给出∈KEPk公司ZτIe-rs（ρiu（i- Ns）+Bks）ds. （6.1）由于（6.1）对应于银行在完全没有清算的合同下的效用θ，因此，作为前几节结果的应用，可以获得Rican值≡ 1，并且在绝对连续付款的情况下，滴滴涕=u（I- Nt）dt。命题6.1中提供了其明确值。提案6.1。定义数字的递归序列BRIj=maxρiujr+bλj-rbRij公司-1r+bλj，ρiuj+jBr+bλSHj-rbRij公司-1r+bλSHj, j∈ {1，…，I}，其中BRI=0。由Ri=bRiI给出的ρII型银行的内生保留效用。此外，问题（6.1）中的最优作用在每个区间（τI）中都是常数-j、 τI-j+1），它等于k？，我≡ 0，如果在第一学期达到的最大基准值，则为k？，我≡ j如果在最后一学期达到最大值。6.2重新谈判-证明合同前提是ρican类型的银行可以在任何时候决定与投资者违约并自行管理贷款。这样，银行在t时的效用将为beRit：=ess supk∈KEPk公司Zτ岩-r（s）-t） （ρiu（i- Ns）+Bks）ds燃气轮机.请注意，前面的表达式仅通过当时剩余的贷款数量依赖于t。

那么Rit=bRiI就很简单了-Nt，每t∈ [0，τI]。在此设置中，停堆合同（D，θ）是ρ型银行从未违反过的合同，ρb型银行拒绝了该合同，而ρb型银行倾向于自行运行项目。即Ugt（D，θ）≥ RGT每t∈ （0，τ）和ub（D，θ）<Rb。为了找到最优停堆合同，我们需要首先描述新的可信集，其中包括良好银行的附加状态约束。让我们立即提到，银行违反合同的权利会在与关闭和筛选问题相关的可信集合之间产生差异，而这两个集合不再相等。确定良好银行的重新谈判-证明可行集，j贷款lefteVgj=bVj∩ [bRgj，∞), j=1，一、定义6.1。任何时候t≥ 0，我们将停堆重新谈判证明可信集合定义为（ub，ug）集合∈英属维尔京群岛-Nt×eVgI-存在一个可容许契约（θ，D）∈ Θ×D满足Ubt（θ，D）=ub，Ugt（θ，D）=ugand（Ubs（θ，D），Ugs（θ，D））∈英属维尔京群岛-Ns×eVgI-Nsfor every s∈ [t，τ），P- a、 s.给定开始时间t≥ 0和ub∈英属维尔京群岛-Nt，确定良好银行未违约的合同集，在该合同集下，不良银行在时间t的价值函数等于ub，ASH，b（t，ub）=（θ，D）∈ Θ×D：Ubt（θ，D）=ub，Ugs（θ，D）≥ Rgs，对于每个s∈ [t，τ）.我们用USHt（ub）表示良好银行可以从所有合同（θ，D）中获得的最大值Ugt（θ，D）∈灰分、b（t，ub）和by LSHt（ub）最低。同样，这些集合只能通过i的值来证明依赖于t- Ntso定义UI-Nt（ub）：=USHt（ub）和LI-Nt（ub）：=LSHt（ub）我们最终拥有CJ：=（ub、ug）∈bVj×eVgj:Lj（ub）≤ ug公司≤ Uj（ub）.如图4所示，完全承诺问题的上边界是吸收的，它在方向上产生了银行效用的移动（ρb，ρg）。

我们得出结论，此扩展中的上边界与之前相同，由UI给出-Nt（ub）=bUI-Nt（ub），对于每个UBUSCH thatbUI-Nt（ub）≥bRgI公司-Nt。另一方面，由于以前的下限bli-Nt（ub）在方向上产生运动(-ρb，-ρg），不能用于获取LI-Nt（ub）是以下控制问题的解决方案LSHT（ub）=ess inf（k，ψ）∈K×灰分，b（t，ub）EPk（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bksds）燃气轮机,根据动力学，对于t∈ [r，τ]Ubr（ψg）=ub+Zrt摩擦- 黑色？，bs（ψ）+h1，bsλk？，bs+h2，bs（1- θs）λk？，学士学位ds公司- ρbZrtdDs-Zrth1，bsdNs-Zrth2，bsdHs，带K？，bs（ψ）=（I）- Ns）1{h1，bs+（1-θs）h2，bs<bbI-其中，灰分b（t，ub）的定义与第4节中的Ab（t，ub）类似。一旦确定了边界并找到了可信任集，就可以像在原始问题中一样，将递归HJB方程组与委托人的问题相关联，第5节中解释的相同类型的研究如下。通过定义相应的可信集，可以类似地研究最优筛选重新谈判证明问题，该可信集不再等同于停机问题的可信集，但也将保持原始问题的上界，银行完全承诺。参考文献【1】S.Agarwal、D.Lucca、A.Seru和F.Trebbi。监管机构不一致：来自银行业的证据。《经济学季刊》，129（2）：889–9382014。[2] 鹿茸。道德风险与审计师契约：审计师法律责任与独立性的探讨。斯坦福大学博士论文，1980年。[3] 民主党男爵。针对新发行的投资银行咨询和分销服务的需求模型。《金融杂志》，37（4）：955–9761982。[4] D.P.Baron和D.Besanko。采购合同中的监控、道德风险、信息不对称和风险分担。《兰德经济学杂志》，18（4）：509–5321987年。[5] D.P.Baron和D.Besanko。

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由于除此之外，gi（t，0）是有界的，（2.3）成立，γt（z，z）是有界的和非负的，fMi的强度也是有界的，以及它的跳跃，因此我们推断，在我们的设置中，文献[52]中的ReMs 3.5和3.24的所有假设都成立，证明了（3.2）在（3.3）描述的空间中的适定性，并且我们可以应用比较定理。因此，我们立即推断，对于任何k∈ KYi，kt≤ Yit=Yi，k？，it，P- a、 美国，我们在哪里定义？，it：=（I- Nt）1{Zit·（1,1-θit）><bt}，bt：=BαI-Ntε，t≥ 这意味着yi是银行的价值函数，她的最佳反应是（θi，Di）∈ Θ×D是k？，i、 我们用引理3.1的顶点来结束。首先，很明显，ρican类型的银行可以获得任意大的效用水平（投资者需要从时间t开始设置足够大的n的dDis：=nds）。因此，银行的最大效用水平为+∞, 对应于等于-∞ 对于投资者而言。然后，回到银行问题的定义，或BSDE（3.2），很明显，例如，通过使用（3.2）超级解的比较定理（见[58，定理2.5]），为了最小化银行获得的效用，投资者必须将Di设置为0。此外，因为从定义上讲，我们必须始终做到≥ 0和Yiτ=0，并且由于Y的完全不可访问跳跃（回想一下，D被假定为可预测的）由以下公式给出Yit=-青春痘·Mt，我们一定要这样-= 青春痘·（1，1）>，Yit-≥ Zit·（1，0）>，t>0，P- a、 实际上，τ和τjunder P定律的支持度为[0+∞).

这特别意味着我们必须有青春痘·（0，1）>≥ 0，这反过来意味着生成器gi相对于θi不增加，因此，我们强调，由于过滤G是由点过程增加和生成的，因此可预测的鞅表示适用于任何概率度量（Pk）k∈K、 例如参见[18，引理A.1]。当θi=0时，达到预期的倾斜。然后，如果从时间t开始（θi，Di）=（0，0）（显然在Θ×D内），则表明银行将永远不会监控，并将获得（0，0）=B（i- Nt）EPI-N个·Zτte-r（s）-t） ds公司燃气轮机=B（一）- Nt）r1.- 计划免疫-N·he-r（τ-t）Gti公司=B（一）- Nt）r1.-Z+∞λI-Ntte公司-xr公司-xλI-Nttdx=B（一）- Nt）r+λI-Ntt。请注意，这对应于投资者获得u（I- Nt）EPI-N·[τ- t | Gt]=u（I- Nt）λI-Ntt。B固定支付的短期合同在本节中，我们首先分析银行在开始时间t的最佳响应和价值函数≥ 0，根据dDs=cds形式的固定付款合同，其中c是任何Gt-可测随机变量，θ≡ 0，以便在第一次违约后立即清算池。然后，我们将研究扩展到付款延迟且仅在特定时间t之后发生的情况t、 B.1无延期的合同B.1提案。对于任何t≥ 0，考虑合同（θ，D）∈ Θ×D，θs=0，dDs=cds，s≥ t、 其中c是任意Gt-可测量的随机变量。对于i∈ {g，b}，定义ci：=bI-Nt（r+λt）ρi。ρi型银行的最佳效益及其在合同下的预期效用为o如果c≤ “cithen k”？，is（θ，D）=kSHs，s∈ [t，τ）和Uit（θ，D）=ρic+B（I- Nt）r+λkSHt.o如果是c≥ “cithen k”？，is（θ，D）=0，s∈ [t，τ）和Uit（θ，D）=ρicr+λt.证明。

（i） 如果ρ型气缸组始终监测，则我们有uit（0，θ，D）=EPZτte-r（s）-t） ρICD燃气轮机=ρicr+λt。因此，延拓效用在时间上是恒定的，如果付款c恰好等于ui（r+λt）/ρi，则对于某些ui≥ 0，则银行收到的是准确的ui。在这种情况下，当且仅当ui≥ bI公司-Nt。ρI型银行将始终工作的最低付款额为Therefeci=bI-Nt（r＋λt）ρi.（ii）如果ρi型库总是逃避，则其延拓效用为常数且与之相等kSH，θ，D= EPkSH公司Zτte-r（s）-t） （ρic+B）ds燃气轮机=ρic+B（I- Nt）r+λkSHt。那么，如果对于某些ui≥ 0 1取c等于touir+λkSHt- B（一）- Nt）ρi，银行收到ui。因此，K当且仅当ui<bI时，此激励相容-Nt。然而，由于付款c必须为正，因此Ui必须大于B（I- Nt）/（r+λkSHt）。因此，ρIwillaways shirk类型的银行等于tobI的付款上限-Nt公司r+λkSHt- B（一）- Nt）ρi=bI-Nt（r+λt）ρi=ci。B、 2延迟付款的合同建议B.2。对于任何t≥ 0，考虑合同（θ，D）∈ Θ×D，θs=0，dDs=c1s≥t？ds，s≥ t、 其中c是任意Gt-可测随机变量与t？>t是固定常数。对于i∈ {g，b}，定义时间\'ti（c）：=t+r+λtlogρicbI-Nt（r+λt）.ρi型银行的最佳效益及其在合同下的预期效用为o如果c≤ ‘ci，然后是k？’？，is（0，D）=kSHs，s∈ [t，τ）和Uit（0，D）=exp- （r+λkSHt）（t？- t）ρicr+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt.o如果c>ci，t？≤“ti（c），然后是k”？，is（0，D）=0，s∈ [t，τ）和Uit（0，D）=exp- （r+λt）（t？- t）ρicr+λt.o如果c>ci，t>“ti（c），然后是k”？，is（0，D）=kSHs{s<ti（c）}，s∈ [t，τ）andUit（0，D）=exp- （r+λkSHt）（t？- t）ρicbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt。证据