（i） 如果ρi型气缸组工作，则在任何时候t≤ s<t？，她的延拓效用是，注意到θ=0，我们有（λu）u≥tis constantuis（0，0，D）=EPZτt？∧τe-r（u-s） ρicduGs公司=e-（r+λt）（t？-s） ρicr+λt=uit（0，0，D）e（r+λt）（s-t） 。因此，在s=t？银行的持续效用是uit？（0，0，D）=uit（0，0，D）e（r+λt）（t？-t） 。接下来，对于任何s>t？，银行的持续效用将为（0，0，D）=EPZτse-r（u-s） ρICDGs公司=ρicr+λt。然后，我们看到，一旦银行开始付款，她的连续效用变为常数，它必须等于uit？（0，0，D）。那么，如果对于某些ui≥ 0，选择c等于touie（r+λt）t？（r+λt）ρi，（B.1）银行的持续效用将是一个随初始值ui增加的过程。因此，当且仅当ui≥ bI公司-Nt。使银行始终工作的最低付款和延迟为t？=0且ci=bI-Nt（r+λt）ρi.（ii）如果ρi型河岸在任何时间t≤ s<t？，她的延续实用程序IsUIkSH，0，D= EPkSH公司Zτt？∧τe-r（u-s） ρicdu+ZτsBe-r（u-s） （一）- Nt）duGs公司=e-r+λkSHt（t？-s） ρicr+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt。Thereforeuis公司kSH，0，D= er+λkSHt（s）-t）uit（kSH，0，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt，延拓效用是一个递增过程。回想一下，kSHis激励相容当且仅当uiskSH，0，D< bI公司-NTFS≥ t、 然而，如果t？较大时，将存在TW，以便uitwkSH，0，D= bI公司-n银行将开始工作。更精确地说，tw取决于初始值uit（kSH，0，D），由tw给出：=t+r+λkSHtlogbI公司-Nt（r+λkSHt）- B（一）- Nt）uit（kSH，0，D）（r+λkSHt）- B（一）- Nt）.请注意，tw≥ t当且仅当bI-Nt公司≥ uit（kSH，0，D）。因此，当且仅当t？<tw。

在此条件下，t=t？银行的持续效用是什么？kSH，0，D= e（r+λkSHt）（t？-t）uit（kSH，θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt<bI-Nt。一旦银行开始收到付款，其续期效用将保持不变且等于touiskSH，0，D= EPkSH公司Zτse-r（u-s） （ρic+B（I- Nt））duGs公司=ρic+B（I- Nt）r+λkSHt。所以如果对于某些ui≥ 0付款c等于toe（r+λkSHt）（t？-t）ui（r+λkSHt）- B（一）- Nt）ρi，（B.2）t时银行的预期付款为ui。导致银行总是逃避的延误和付款的上限分别为twande（r+λkSHt）（tw-t）bI公司-Nt（r+λkSHt）- B（一）- Nt）ρi=bI-Nt（r+λt）ρi=ci。（iii）最后，考虑t？大于tw。根据这份合同，银行将一直拖延到时间t，然后再工作。事实上，从前面的分析中我们知道，这种策略是激励相容的。在时间tw时，我们得到了thatuitw（kSH，0，D）=bI-s的N和∈ [tw，t？）延拓实用程序由uis（0，0，D）=EP给出Zτt？∧τe-r（u-s） ρicduGs公司=e-（r+λt）（t？-s） ρicr+λt=e（r+λt）（s-tw）uitw（kSH，0，D）=bI-Nte（r+λt）（s-tw）。因此，在t=t？银行的持续效用是什么？（0，0，D）=bI-Nte（r+λt）（t？-tw），对于任何s>t？，银行的连续效用为常数且等于touis（0，0，D）=EPZτse-r（u-s） ρicduGs公司=ρicr+λt.So如果对于某些ui≥ 0付款c等于I-Nt（r+λt）e（r+λt）（t？-t） ρiui（r+λkSHt）- B（一）- Nt）bI-Nt（r+λt）r+λtr+λkSHt，（B.3）t时银行的预期收益为ui。最低付款和延迟，使银行首先逃避责任，然后再工作是t？=twand ci=bI-Nt（r+λt）ρi。

请注意，命题陈述中的ti（c）是twas的对应表达式，是付款c的函数。我们在本节结束时得出以下结果，即可信集上边界的每一点都可以通过具有延迟的短期合同获得。提案B.3。修复一些t≥ 对于可信集Ct上边界的任何点（ub，ug），存在Gt-可计量的付款c和t？≥ t使得θs=0，dDs=c1s的合同（θ，D）≥t？ds，s≥ t、 即Ubt（θ，D）=UB，Ugt（θ，D）=ug。证据（i） 让c>cb>CG和t？≤tb（c）<tg（c）。那么k？，b（θ，D）=k？，g（θ，D）=0，河岸的值为ugt（θ，D）=ρgcr+λte-（r+λt）（t？-t） ，Ubt（θ，D）=ρbcr+λte-（r+λt）（t？-t） 。因此，效用满足Ugt（θ，D）=ρgρbUbt（θ，D），Ugt（θ，D）∈ρgρbbI-Nt，∞, Ubt（θ，D）∈ [商务智能-Nt，∞) .（ii）如果c>Cb和tb（c）<t？≤“tg（c），我们知道，好的银行将始终工作，坏的银行将在时间”tb（c）开始工作。

其值函数为ugt（θ，D）=ρgcr+λte-（r+λt）（t？-t） ，Ubt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρbcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，因此它们属于曲线ugt（θ，D）=ρgρbbλkSHt-λtr+λkSHtI-Nt公司Ubt（θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHtr+λtr+λkSHtr+λkSHtr+λtr+λtr+λkSHt，并取集合中的值（回忆x？jin命题4.3的定义）Ugt（θ，D）∈bI公司-Nt，ρgρbbI-Nt公司, Ubt（θ，D）∈ [x？I-Nt，bI-Nt）。（iii）如果c>Cb且tg（c）<t？，好的银行将在时间\'tg（c）开始工作，坏的银行将在时间\'tb（c）开始工作。它们的值函数为ugt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρgcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，Ubt（θ，D）=e-（r+λkSHt）（t？-t）ρbcbI-Nt（r+λt）r+λkSHtr+λtbI-Nt（r+λt）r+λkSHt+B（I- Nt）r+λkSHt，因此它们属于直线（θ，D）=ρgρbr+λkSHtr+λtUbt（θ，D）-B（一）- Nt）r+λkSHt+B（一）- Nt）r+λkSHt，带（θ，D）∈B（一）- Nt）r+λkSHt，bI-Nt公司, Ubt（θ，D）∈B（一）- Nt）r+λkSHt，x？我-Nt公司.B、 3初始一次性付款在时间t的可信集合中取任意点（ub，ug）。我们知道存在一个可接受的合同（θ，D），这样UBT（θ，D）=ub，Ugt（θ，D）=ug。考虑仅在时间t时与D不同的付款D，其中一次性付款的规模大于0。这一追加的一次性付款不会改变银行的激励措施，也不会改变在twill beUgt（θ，D`）=ug+ρg`，Ubt（θ，D`）=ub+ρb`时的新价值函数。因此，河岸的新值对属于斜率为ρgρb的线，该线穿过点（ub，ug）。

由于在我们的设置中，付款没有上限，因此通过增加“的值，可以到达射线的每个点，该点从（ub，ug）开始并朝着正方向移动。B、 4根据上一小节的延迟合同，我们知道，对于上边界上的每个点（ub，ug），都存在一对（c，t？），根据合同（θ≡ 0，dDs=c1{s≥t？}ds）我们有Ubt（θ，D）=UB和Ugt（θ，D）=ug。如B.3节所述，如果我们考虑合同（θ，D`）和额外的初始一次性付款，银行的激励不会改变，代理人的新价值函数将是Ubt（θ，D`）=ub+ρB`，Ugt（θ，D）=ug+ρg`。因此，在达到上限和一次性付款的延期短期合同下，可以达到由图6所示线条分隔的可信集合的所有子区域。我们将不讨论细节，但可以证明，在所有延期的短期合同（不仅是达到上限的合同）和一次性付款的情况下，可以达到的可信范围的次区域是完全相同的。当只剩下一笔贷款时，该区域等于整个可信集，但当j>1时，可信集严格地更大，因为在θ6的情况下可以实现一对效用≡ 0.ubugug=ubLbU？j（ub）Br+bλSHjBr+bλSHjbjρgρbbjx？jbjL:ug=ρgρbub+Br+bλSHj1.-ρgρb.图6：延期和一次性付款短期合同下的可信区域。C下边界的技术结果我们从命题4.1的顶部开始本节。首先观察我们有Epkshe-r（τNt+1-t）燃气轮机=Z∞e-rxbλSHI-Nte公司-bλSHI-Ntxdx=bλSHI-Ntr+bλSHI-Nt，对于任何`∈ {Nt+1。

我- 1} EPkSH公司e-r（τ`+1-τ`）燃气轮机=Z∞e-rxbλSHI-`e-bλSHI-`xdx=bλSHI-`r+bλSHI-`.因此，银行从逃避中获得的效用（不考虑合同中的付款）为ut（kSH，θ，0）=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= EPkSH公司ZτNt+1te-r（s）-t） B（I）- Nt）ds+Nt+m-1Xi=Nt+1Zτi+1τie-r（s）-t） B（一）- i） ds公司燃气轮机=B（一）- Nt）rEPkSH1.- e-r（τNt+1-t）燃气轮机+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司e-r（τi-t）- e-r（τi+1-t）燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司1.- e-r（τi+1-τi）我-1Y`=Nte-r（τ`+1-τ`）燃气轮机.因此，根据独立性，我们有（kSH，θ，0）=B（I- Nt）r+bλSHI-Nt+Nt+m-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-二-1Y`=NtbλSHI-`r+bλSHI-`=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-Nt公司-1Xi=I-Nt公司-m+1Bir+bλSHiI-NtY`=i+1bλSH `r+bλSH`。我们继续讨论引理4.1。在ψ：=（θ，D）下，银行的价值函数由ugt（ψ）=EPk？给出？，g（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，gs（ψ）ds）燃气轮机, Ubt（ψ）=EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρbdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机.因此，我们首先有，P-a、 s.Ugt（ψ）≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρbdDgs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机= Ubt（ψ）。但我们也有ugt（ψ）≥ EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） （ρgdDs+Bk？，bs（ψ）ds）燃气轮机= Ubt（ψ）+（ρg- ρb）EPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） dDs公司燃气轮机=ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbEPk？，b（ψ）Zτte-r（s）-t） 黑色？，bs（ψ）ds燃气轮机.注意下一步∈KEPk公司Zτte-r（t-s） Bksds公司燃气轮机= EPkSH公司Zτte-r（t-s） BkSHsds公司燃气轮机,因为左边是一家银行的价值函数，该银行签订了一份没有付款的合同。因此，我们有thatUgt（ψ）≥ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbEPkSHZτte-r（s）-t） BkSHsds公司燃气轮机≥ρgρbUbt（ψ）-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt），因为银行从逃避中获得的效用相对于过程θ是非递减的，其最大值等于C（I- Nt），当θ≡ 1（见（4.2））。我们以第4.2条提案的结尾继续本节。

由于引理4.1，它有助于证明合同的存在，根据这些合同，银行的价值函数满足等式步骤1：首先，固定一些t≥ 0，取任意ub∈ [c（I- Nt，1），C（I- Nt）]和fix m∈ {1，…，I- Nt公司- 1} 这样C（I-Nt，m）≤ 乌兰巴托≤ c（一）-Nt，m+1）。接下来，取θt（ub）∈ [0，1]使得ub=c（I-Nt，m）+θt（ub）（c（I）-Nt，m+1）-c（一）-Nt，m））。然后，有一个契约（θ，D）∈ Θ×D，使得Ugt（θ，D）=Ubt（θ，D）=ub。此类合同可定义为如下dds：=0，θs：=1{t≤s≤τNt+m}+（1- θt（ub））1{τNt+m<s≤τNt+m+1}，对于每s≥ t、 合同没有付款，它总是在第一个m违约后维持池，在违约m+1后以概率θ维持池，并在违约m+2时清算池。很明显，根据该合同，两家银行总是逃避[t，τ]，因为它们没有得到付款，并且它们的价值函数满足Gt（θ，D）=Ubt（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t） BkSHsds公司燃气轮机= c（一）- Nt，m）+θt（ub）（c（I- Nt，m+1）- c（一）- Nt，m））=ub.o第二步：再次修复一些t≥ 0，然后立即选择任何ub≥ C（一）- Nt）和定义ug：=ρgρbub-（ρg-ρb）ρbC（I- Nt）。让我们：=（ub- C（一）- Nt））/ρband考虑每s满足θs=1，dDs=`t{s=t}的容许契约≥ t、 根据该合同，两家银行的最佳策略是总是逃避，然后逃避（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t）ρbdDs+BkSHsds燃气轮机= ρb\'t+C（I- Nt）=ub，Ugt（θ，D）=EPkSHZτte-r（s）-t）ρgdDs+BkSHsds）燃气轮机= ρg\'t+C（I- Nt）=ug。我们通过证明一些有用的结果来结束本节，这些结果将在第5.1.1节中用于研究下边界上的投资者的值函数。我们证明了有几种达到下边界的方法，并且所有能够达到下边界的合同都具有与命题4.2证明中使用的相同的结构。引理C.1。考虑任何（t、ub、ug）∈ [0，τ]×bVI-Nt×bVI-Nt除此之外，ub=ug。

任何合同ψ=（θ，D）∈ Θ×d这样，Ubt（ψ）=UB和Ugt（ψ）=ug，对[t，τ]没有付款，因此两家银行总是逃避ψ。证据根据（4.3）的证明，我们推断出k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ），dDs=0，s≥ t、 因为没有付款，所以我们有k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ）=s的kshs∈ [t，τ]和haveUgt（ψ）=Ubt（ψ）=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机.引理C.2。考虑任何（t、ug、ub）∈ R+×英属维尔京群岛-Nt×bVI-ntug=ρgρbub-（ρg- ρb）ρbC（I- Nt）。根据任何合同ψ=（θ，D）∈ Θ×D，使得Ubt（ψ）=UB和Ugt（ψ）=ug，直到最后一次违约（τ=τI）时，池才被清算，而且两家银行总是逃避[t，τ]。证据根据（4.4）的证明，我们推断出k？，gs（ψ）=k？，bs（ψ）=kSHs，θs=1，对于每s≥ t、 因此，银行的价值函数由ugt（ψ）=ρgEPkSH给出Zτ岩-r（s）-t） dDs公司燃气轮机+ C（一）- Nt），Ubt（ψ）=ρbEPkSHZτ岩-r（s）-t） dDs公司燃气轮机+ C（一）- Nt）。D上界引理D.1的技术结果。对于每个j≥ 1，x？j> ρbρgbbj。证据对于任何j≥ 1、定义函数g、h:R-→ R byg（x）：=xr+bλSHjr+bλjbbjr+bλjr+bλSHj+Bjr+bλSHj，h（x）：=bbjx。那么g在R+上是严格凸的，我们得到g（1）=h（1）=bbjan和g（1）=h（1）=bbj。因此，h是g atx=1的切线，因此g（x）>h（x），对于每x 6=1，因此？j=gρbρg> h类ρbρg=ρbρgbbj。提案D.1。对于每个j≥ 1、功能BU？jde由（4.17）satis fiesbu定义？j（x）x≤ρgρb，x个≥Bjr+bλSHj。此外，等式成立的充要条件是x≥bbj。证据定义A（x）：=bU？j（x）x.如果x≥bbj公司-1然后A（x）=ρg/ρb。如果现在x∈ [x？j，bbj），我们有a（x）=ρgρb（bbj）bλSHj-bλjr+bλSHjr+bλSHjr+bλjr+bλjr+bλSHjxx个-Bjr+bλSHjr+bλjr+bλSHj。该函数递减，使得A在x？j处的[x？j，bbj）上达到其最大值。接下来，我们得到A（x？j）=bbjx？j<ρgρb<==> x？j> ρbρgbbj，作为引理D.1的结果，最后一个不等式成立。

最后，如果x∈Bjr+bλSHj，x？jthenA（x）=xρgρbr+bλSHjr+bλjx个-Bjr+bλSHj+xBjr+bλSHj。此函数正在增加，因此A（x）≤ A（x？j）<ρgρb，x个∈hBjr+bλSHj，x？ji。推论D.1。让j≥ 2和BU？j、 bU？j-1由（4.17）定义，并假设bλkgj≤bλkbj。那么，对于任何ub≥ h1，b+b（j-1） r+bλSHj-1 Wehavebu？j-1（ub- h1，b）bλkgj-bU？j（ub）bλkbj（ub- h1，b）≤ 此外，当且仅当ub- h1，b≥bbj，ub≥bbjandbλkbj=bλkgj。证据在推论的条件下，下面让我们可以立即得出结论ybu？j-1（ub- h1，b）ub- h1，b≤ρgρb≤bU？j（ub）。推论D.2。对于j≥ 1，letbCjandbU？jbe分别由（4.16）和（4.17）定义。If（θ，h1，b）∈bCjis使ub- θ（ub-h1，b）≥bbjthenbU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h1，b）≥bbj。因此，在方程（4.15）的上下文中，对于每个（θ，h1，b）∈bCjwehave千克≤ kbandbλkgj≤bλkbj。证据首先观察ub- θ（ub- h1，b）≥bbjimplies ub≥bbj。那我们有了吗？j（ub）-bbj公司≥ρgρb（ub-bbj）≥bU？j-1（ub- h1，b）ub- h1，b（ub-bbj）。还有θ≤乌兰巴托-bbjub公司- h1，乐队thusbU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h1，b）≥bU？j（ub）-乌兰巴托-bbjub公司- h1，bbU？j-1（ub- h1，b）≥bbj。现在我们继续讨论引理4.2的极限。我们从区域ub<bb，bU（ub）<bb开始。对于这些点，我们有kb=kg=1，所以（4.11）可以很容易地解决，并导致，对于一些C∈ RbU（ub）=C乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ。如果ub<bbandbU（ub）≥bb，然后kb=1，kg=0，我们可以求解（4.11），得到一些C∈ RbU（ub）=C乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ。最后，当ub≥bbandbU（ub）≥BB最佳策略是kb=kg=0，对于一些C∈ R、 bU（ub）=幼体。我们对（4.11）的光滑解感兴趣。用bU（1）、bU（2）和bU（3）表示以下函数bU（1）（ub）：=C乌兰巴托-Br+bλ+Br+λ，bU（2）（ub）：=C乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ，bU（3）（ub）：=立方。我们将确定允许BU平滑拟合的常数之间的关系。

首先，我们假设bU（2）（bb）=bU（3）（bb），得到cbbr+bλr+bλr+bλr+bλ=Cbb。可以检查，Cand和谴责之间的这种关系也是（bU（2））（bb）=（bU（3））（bb）。接下来，定义x为点，使BU（1）（x）=bb，即x=bbCr+bλr+bλ+Br+bλ。此外，定义x为点，使得BU（2）（x）=bb，即x=英国广播公司r+bλr+bλ+Br+bλ。我们施加x=x，我们得到BBCr+bλr+bλ=英国广播公司r+bλr+bλ，这个关系也确保了（bU（1））（x）=（bU（2））（x）。表示Cwe getbU（3）（ub）=Cub和bu（1）（ub）=Cr+bλr+bλ的Cand和Cin项乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ，bU（2）（ub）=Cbbbλ-bλr+bλr+bλr+bλr+bλr+bλ乌兰巴托-Br+bλr+bλr+bλ。我们用引理4.3的极限来追求。对于C>0，定义以下修改Buc，？布布克的，？（ub）：=bUC（ub），ub≤ xC，？，ρgρb（ub- xC，？）+bUC（xC，？），乌兰巴托≥ xC，？，其中xc，？：=inf公司乌兰巴托∈Br+bλ+∞:bUC公司（ub）≤ρgρb.功能BUC，？是连续可微分的，求解[B/（r+Bλ），xC，？）中的微分方程，并满足bUC，？= ρg/ρbin（xC，？，∞). 在下文中，我们将研究该函数的哪些值确实可以解决HJB方程。- 首先，如果Cr+bλr+bλ≤ρgρb，我们有xc=Br+bλ，bUC，？（ub）=ρgρbub-Br+bλ+Br+bλ，bUC，？（ub）ρb- ρg=0，因此我们需要检查每个ubin[B/（r+Bλ），∞)rbUC，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg公司≥ 取ub>bb。那么kg=kb=0，我们有rbuc，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg=rρgρb乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ-ρgρb（r+bλ）ub+bλρgρb乌兰巴托-Br+bλ+Br+bλ= （r+bλ）Br+bλ1.-ρgρb< 0.HencebUC，？不是（4.12）的解决方案。- 如果ρgρbr+bλr+bλ<C≤ρgρb，那么xC=bbr+bλr+bλCρb/ρgr+bλbλ-bλ+Br+bλ。

取ub>bb，然后取kg=kb=0和Rbuc，？（ub）-bUC，？（ub）擦- Bkb+ubbλkb+bUC，？（ub）bλkg- Bkg=（r+bλ）bbCr+bλbλ-bλρbρgr+bλbλ-bλbλ-bλr+bλ-ρgρbBr+bλ≤ （r+bλ）bbρgρbbλ-bλr+bλ-Br+bλρgρb= 0.如果C<ρgρbso是Csuch thatbUC的唯一值，则不等式是严格的，？求解HJB方程为C=ρgρb。- 对于C的大值，即C>ρgρb，我们有xC，？=+∞ 然后呢，布克=bUC公司。我们排除这种情况，因为这些函数不满足条件（4.13）。本节以第4.3条提案的结尾。证明是归纳法。对于j=1，结果在步骤2中得到证明，因此我们取任何j>1并假设bu？j-1求解相应的扩散方程。我们需要考虑三个不同的案例来证明这一点？J解方程（4.15）。在每一个例子中，我们都证明了（4.15）右侧的上确界是在θ=0的情况下得到的，因此扩散方程的形式与剩下一笔贷款的情况下的形式相同。然后，根据步骤2的分析，其解也满足变分不等式（4.9）。- 案例1：ub<bbj，bU？j（ub）<bbj。在这种情况下，对于任何（θ，h）∈bCj，我们有kg=kb=j。为了简化符号，定义cj（ub）：=bU？j（ub）擦- Bj+ubbλSHj.然后（4.15）中的上确界内的项变成了cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）,在这种情况下，θ的最佳选择是0（唯一），因为由于推论D.1，我们有bu？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h） <0。- 案例2：ub<bbj，bU？j（ub）≥bbj。在这种情况下，kb=j表示每（θ，h）∈密苏里州。（4.15）中的上确界内的术语变为SCJ（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）.定义以下设置BCJ：=（θ，h）∈bCj：bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbj公司,bCjj公司：=（θ，h）∈bCj：bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h） <bbj,注意，kg=0表示每（θ，h）∈bCjand kg=j（θ，h）∈bCjj公司。

此外，对于每个可行的h，对（0，h）属于cj。oIf（θ，h）∈bCjwe havecj（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）= cj（ub）-bU？j（ub）bλj+θbU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλj，其中不等式是由推论D.1得出的。oIf（θ，h）∈bCjjwe havecj（ub）-bU？j（ub）bλkgj+Bkg+θbU？j-1（ub- h） bλkgj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）= cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbU？j-1（ub- h） bλSHj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）< cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj=cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+bbj（bλSHj-bλj）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+bU？j（ub）bλSHj-bλj= cj（ub）-bU？j（ub）bλj，其中第一个不等式是推论D.1的结果，第二个不等式成立，因为b？j（ub）≥bbj。因此我们得出结论，在这种情况下θ的最佳值也是0（唯一）。- 案例3：ub≥bbj，bU？j（ub）≥bbj。由于命题D.2，我们知道（kb，kg）的值只有三种可能性。确定设置BC0,0j：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h）≥bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbjo，bCj，0j：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h） <bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h）≥bbjo，bCj，jj：=n（θ，h）∈密件抄送：ub- θ（ub- h） <bbj，bU？j（ub）- θbU？j-1（ub- h） <bbjo。然后，（kb，kg）=（0，0）对于每个（θ，h）∈bC0,0j，（kb，kg）=（j，0）对于每个（θ，h）∈bCj，0jand（kb，kg）=（j，j）对于每个（θ，h）∈bCj，jj。而且，（0，h）对于任何可行的h都属于tobC0,0jif（θ，h）∈bC0,0j当（4.15）中的上确界内的项，由于推论D.1，等于bU？j（ub）ubr+bλj-bU？j（ub）bλj+θbλjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤bU？j（ub）ubr+bλj-bU？j（ub）bλj，oIf（θ，h）∈bCj，0j，然后h<bbjandub-bbjub公司-h<θ≤bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub-h） 。

（4.15）iscj（ub）中的上确界术语-bU？j（ub）bλj+θbU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）< cj（ub）-bU？j（ub）bλj+乌兰巴托-bbjub公司- h类bU？j-1（ub- h） bλj-bU？j（ub）bλSHj（ub- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）λj+（ub-bbj）bU？j（ub）bλj-bU？j（ub）bλSHj=bU？j（ub）摩擦+ubbλj-bU？j（ub）bλj。这两个不等式都是推论D.1的直接结果最后，if（θ，h）∈bCj，jj，注意h<bbj，bU？j（ub）-bU？j-1（ub- h） <bbjandub-bbjub公司- h类≤bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub- h） <θ。然后，（4.15）中sup内的术语变成SCJ（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+θbλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+bU？j（ub）-bbjbU？j-1（ub- h） bλSHjbU？j-1（ub- h）-bU？j（ub）（ub）- h）≤ cj（ub）-bU？j（ub）bλSHj+Bj+bλSHjbU？j（ub）-bbj公司-bU？j（ub）bU？j（ub）-bbjρgρb= cj（ub）-bbjbλj+bλSHj-ρbρgbU？j（ub）bU？j（ub）+ρbρgbU？j（ub）bbj=bλSHjbU？j（ub）乌兰巴托-ρbρgbU？j（ub）+bU？j（ub）摩擦+ρbρgbλSHjbbj- 北京-bλjbbj。第一个不等式来自推论D.1，第二个不等式来自映射h7-→bU？j-1（ub- h） /（ub- h） h的大值是否为非递减常数，这意味着bu？j-1（ub- h） /（ub- h）≤ ρg/ρb。现在我们使用bu的显式形式？jand计算λSHjbU？j（ub）乌兰巴托-ρbρgbU？j（ub）+bU？j（ub）摩擦+ρbρgbλSHjbbj- 北京-bλjbbj=ρgρbrub+bλSHjbbj-ρgρbBj-bλjbbj=ρgρbrub+Bj1.-ρgρb<ρgρbrub。最后一行中的术语对应于bU？j（ub）摩擦+ubbλj-bU？因此，这种情况下的最佳θ也是0。观察在这种情况下，每隔（θ，h）∈bC0,0J如ub所示- h类≥bbjis最佳。接下来我们继续讨论定理4.1。我们将证明分为3个步骤步骤1：让我们首先证明SDE（4.19）有一个独特的解决方案，记住ψ？在第一次违约后立即清算池。我们考虑两种情况：如果ub<bbI-Nt，右–连续性，我们可以找到（4.19）一些ε的每个解∈ （0，τ- t） 使ubs<bbI-Ntfor s∈ [t，t+ε]。

因此，ubsolves the ODEdubs=（r+bλSHI-Nt）瑞银- B（一）- Nt）ds，s∈ [t，t+ε]，其唯一解由ubs=e（r+bλSHI）给出-Nt）（s-t）乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司+B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt，s∈ [t，t+ε]。因此，只要没有违约，并且项目持续运行，UBS将是确定的，直到它达到值BBI-Nt。这最终会在timet发生吗？（ub）：=t+r+bλSHI-Ntlog公司bbI公司-Nt（r+bλI-Nt）ub（r+bλSHI-Nt）- B（一）- Nt）,我们从（4.19）中看到，在时间t？（ub）我们的dubs=0，因此ubs=bbI-NTFS∈ [t？（ub），τ）。在第二种情况下，如果ub≥bbI公司-Ntthen（4.19）变为dubs=-瑞银集团-dNs，s∈ [t，τ]，每s的ubs=ubs∈ [t，τ）。这证明了（4.19）的解在这两种情况下的存在性和唯一性。然后立即满足（3.3）中的第一个可积条件。o步骤2：现在我们转向ψ？下的banks值。如果ub≥bbI公司-根据之前的分析，我们知道UBS=ub≥bbI公司-NTFS∈ [t，τ），因此在这种情况下，ψ？是一个固定付款的短期合同，参见第B.1节。使用该节的坐标，因为付款c=ub（r+Bλj）ρbis，因此c≥ (R)cb≥ (R)CG两个银行都将始终工作，坏银行的价值函数为Ubt（ψ？）=ρbc/（r+bλI）-Nt）=U，良好银行之一为Ugt（ψ？）=ρgc/（r+bλI）-Nt）=ρg/ρbub=bU？我-Nt（ub）。如果ub<bbI-Nt，ψ？是否为延期t的短期合同？（ub）和固定付款，见第B.2节。使用该部分的旋转，因为c=(R)Cb，坏银行将始终逃避，其值函数为UBT（ψ？）=ρbce-（r+bλSHI-Nt）t？（ub）r+bλSHI-Nt+Br+bλSHI-Nt=ub。对于好银行，我们有两个子案例。

首先，如果ub∈ [x？I-Nt，bbI-Nt）然后“tg（c）”≥ t？（ub），因此好的银行将始终有效，其价值函数为UGT（ψ？）=ρgρbbbbλSHI-Nt公司-bλI-Ntr+bλSHI-NtI公司-Nt公司r+bλSHI-Ntr+bλI-Nt公司r+bλI-Ntr+bλSHI-Nt公司乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司r+bλI-Ntr+bλSHI-Nt=bU？我-Nt（ub）。如果ub∈Br+bλSHI-Nt，x？我-Nt公司那么tg（c）<t？（ub），那么好的银行将在时间t开始工作？（ub）和她的值函数是ugt（ψ？）=ρgρbr+bλSHI-Ntr+bλI-Nt公司乌兰巴托-B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司+B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt=bU？我-Nt（ub）。o步骤3：自Ubt（ψ？）=ub，我们有ψ？∈ Ab（t，ub）。现在考虑一个合同ψ=（D，θ，h1，b，h2，b）∈ Ab（t，ub）。我们可以调用ψsatifiesdubs（ψ）下的坏账银行价值函数=摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+h1，bs+h2，bs（1- θs）λk？，b（ψ）sds公司- ρbdDs- h1，bsdNs- h2，bsdHs，含k？，bs（ψ）=1{h1，bs+（1-θs）h2，bs<bs}。定义流程gw：=Zwte-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds+ e-r（w-t） bU？我-Nw（Ubw（ψ）），w∈ [t，τ]。注意，我们可以将第二项改写为以下形式（使用约定τNt=t，τNw+1=w）e-r（w-t） bU？我-Nw（Ubw（ψ））=NwXi=Nte-r（τi+1-t） bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）- e-r（τi-t） bU？我-我Ubτi（ψ）+西北方向-1Xi=Nte-r（τi+1-t）bU？我-（i+1）Ubτi+1（ψ）-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）+bU？我-Nt公司Ubt（ψ）.从功能单元开始？jare C，我们可以将It^o公式应用于区间[τi∧ τ、 τi+1∧ τ） 与i∈ {Nt，…，Nw}获得第一个和的积分表达式。

关于第二个总数，请注意thatbU？我-（i+1）Ubτi+1（ψ）-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）=bU？我-（i+1）Ub（τi+1）-（ψ）- h1，bτi+1-bU？我-我Ub（τi+1）-（ψ）Nτi+1-bU？我-（i+1）Ub（τi+1）-（ψ）- h1，bτi+1Hτi+1=Zτi+1τibU？我-（i+1）瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs-Zτi+1τibU？我-（i+1）瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部。亨塞格τ∧v=bU？我-Nt（ub）+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）ρg- ρbbU？我-我瑞银（ψ）dDs+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）kgs（ψ）B- rbU？我-我瑞银（ψ）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） λk？，g（ψ）sθsbU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银（ψ）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？0I-我瑞银（ψ）摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+λk？，b（ψ）s（h1，bs+（1- θs）h2，bs）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs- λk？，g（ψ）十二烷基硫酸钠-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部- λk？，g（ψ）s（1- θs）ds.我们知道每个u的导数？根据定义，jis大于ρg/ρbb，并且由于D是非递减的，因此积分的第一个总和是非正的。还有，功能BU？HJB方程组的jare解，这意味着对于任何可容许的契约，第二和第三个积分和也是非正的。我们推导出gτ∧v≤bU？我-Nt（ub）+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧版本（t-s）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）dNs- λk？，gsds-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧ve公司-r（s）-t） bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs国土安全部- λk？，g（ψ）s（1- θs）ds. （D.1）定义λ：=最大值1≤j≤IbλSHj。对于每一个我，我们都有这样的功能，回想一下功能单元？jare非递减，0EPk？时为空？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银（ψ）- h1，bsds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbube（r+λ）sds燃气轮机,这是有限的。

实际上，我们有两个连续的NDUB跳跃时间（ψ）=摩擦（ψ）- 黑色？，bs（ψ）+（h1，bs+（Ubs（ψ））- h1，bs）（1- θs））λk？，b（ψ）sds公司- ρbdDs≤摩擦（ψ）+h1，bsλk？，b（ψ）s+（Ubs（ψ）- h1，bs）（1- θs）λk？，b（ψ）sds=Ubs（ψ）r+（1- θs）λk？，b（ψ）sds+h1，bsθsλk？，b（ψ）十二烷基硫酸钠≤ 瑞银（ψ）r+λk？，b（ψ）sds，我们使用了h1，bs∈ [0，Ubs（ψ）]，函数BU？jare非递减，Ubs（ψ）从下方有界，并有正跳跃。类似的Epk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bs-bU？我-我瑞银集团-（ψ）ds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我-1.瑞银集团-（ψ）- h1，bsds公司燃气轮机+ EPk？，g级Zτte-r（s）-t）bU？我-我瑞银集团-（ψ）ds公司燃气轮机≤ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbUbs（ψ）ds燃气轮机+ EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbUbs（ψ）ds燃气轮机≤ 2EPk？，g级Zτte-r（s）-t） ρgρbubr（r+λ）sds燃气轮机< ∞.上面出现的随机积分是鞅，取（D.1）中的条件期望，我们得到EPk？，g[gτ∧v | Gt]≤bU？我-Nt（ub）和从Fatou引理中我们得到了Bu？我-Nt（ub）≥ limv公司→∞EPk？，g级Gτ∧v燃气轮机≥ EPk？，g级limv公司→∞Gτ∧v燃气轮机= Ugt（ψ），我们在哪里使用它，Pk？，g级-a、 s.limv公司→∞Gτ∧v=limv→∞Zτ∧vte公司-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds+ 1{v<τ}e-r（v-t） bU？我-Nv（Ubv（ψ））=Zτte-r（s）-t）ρgdDs+k？，gs（ψ）Bds.本节以第4.4条提案的结尾。请注意，包含Ct CTHOLD由定义决定，因此我们只需证明反向结论。我们将利用一次性付款合同来证明Ct中的每个点都属于可信的Ct集。我们首先确定通过点（ub，ug）的斜率ρg/ρb的直线=B（一）-Nt）r+λSHt，B（I-Nt）r+λSHtMt（ub）：=ρgρbub+Bjr+λSHt1.-ρgρb,设置CT：=n（ub，ug）∈ Vt×Vt:Mt（ub）≤ ug公司≤ Ut（ub）o，Ct：=n（ub，ug）∈ Vt×Vt:Lt（ub）≤ ug公司≤ Mt（ub）o.根据附录B.4节，我们知道Ct Cj。

事实上，上边界UT的每个点都属于可信集，如果我们仅通过在时间t处添加一次总付ε来扰动合同ψ=（θ，D），即dDψs=1{s=t}ε+dDψs，则ψ下银行的值为Ugt（ψ）=ug+ερgand Ubt（ψ）=ub+ερb，so（Ubt（ψ），Ugt（ψ））=（ub，ug）+ε（ρb，ρg）。我们用这个想法来证明Ct Cj。从命题4.2中，我们知道Ct中包含的Ltis图。因此，以下形式的任何点属于Ct（bub，bug）=（ub，ug）+`（ρb，ρg），`≥ 0，ug=Lt（ub）。（D.2）根据下边界Lt的几何形状，形式（D.2）的点集正好是Ct。可信集边界上的E主值函数。1纯粹道德风险中的最佳全面监控合同【51】中研究的全面监控问题认为，从社会角度来看，银行唯一可以接受的行为是，她从不逃避自己的监控责任。换句话说，只允许推荐值为k=0的合同。在本节中，没有逆向选择，因此只有一种类型的银行，主要结果是i=b、g、好银行或坏银行。该子问题中投资者的价值函数由Vpm给出，0t（R）：=ess sup（Di，θi）∈A0，i（t，R）EPZτt∧τ（I- Ns）uds- dDis燃气轮机,其中，可接受合同集A0，i（t，R）定义为R≥ bt，byA0，i（t，R）：=n（θi，Di）∈ Θ×D，s.t。

（θi，Di）强制k=0和Uit（θi，Di）≥ Ro。定义x>0时的函数φ（x）：=1+x1+2xx个-1，ψ（x）：=φ（x）- x（1- x） φ（x）。然后，让我们定义一些凹函数族，以下ODE系统的唯一解ru+bλjbbj（vij）（u）+ju-bλjvij（u）-u-bbjbbj-1vij-1（bbj-1） ！=0，u∈bbj，bbj+bbj-1i、，ru+bλjbbj（vij）（u）+ju-bλjvij（u）- vij公司-1（u-bbj）= 0，u∈bbj+bbj-1，γiji，ρi（vij）（u）+1=0，u>γij，（E.1），初始值γi：=bbandvi（u）：=vi-ρi（u-bb），u≥bb，vi：=ubλ-bb（r+bλ）ρibλ，其中j≥ 2，γij由r/bλj递归定义- 1.∈ vij公司-1（γij-bbj），（E.2）其中vij-1是凹函数vij的超微分-[51]的主要结果是E.1。假设bλj1.≤j≤i满足以下j的递归条件≥ 2rbλj- 1.≤vij公司-1.bbj公司-1.bbj公司-1和（vij-（1）bbj公司-1.+bbj公司-1vij-1.bbj公司-1.≤ ψrbλj.然后，在假设2.1下，系统（E.1）是适定的，我们有Vpm，0t（R）=suput≥RviI型-Nt（ut），其中（us）s≥定义为[t，τ）DU上SDE的唯一解决方案=rus+λI-NsbbI-Ns系列ds公司- ρidD？，是-{美国∈【bbI-Ns，bbI-Ns系列-1+bbI-Ns）}（美国-bbI公司-Ns系列-1） +bbI-Ns{美国∈【bbI-Ns+bbI-Ns系列-1，γiI-Ns）}dNs-{美国∈【bbI-Ns，bbI-Ns系列-1+bbI-Ns）}bbI-Ns系列-1+（美国-bbI公司-Ns）1{us∈【bbI-Ns+bbI-Ns系列-1，γiI-Ns）}dHs，初始值为utat t，我们定义了∈ [t，τ）和j=1，…，ID？，is：=1{s=t}（ut- γiI-Nt）+ρi+Zstδi-Nri（ur）dr，θ？s： =θI-Nsi（us），δji（u）：=1{u=γij}bλjbbj+rγijρi，θji（u）：=1{u∈[bbj，bbj-1+bbj）}u-bbjbbj-1+1{u∈【bbj+bbj】-1，γij）}。E、 2主要结果的证明我们从命题5.1开始这一部分。考虑任何时间t≥ 0取任意ub，c≥ C（一）- Nt），以及一些ψg∈袋子（t，bLI-Nt（ub，c），ub，c）。从引理C.2可知，ψgm的分量必须满足θg≡ 1和两个银行都逃避ψg。

付款决定了银行的效用以及DefinitionePKSH持有的以下股份Zτ岩-r（s）-t） dDgs燃气轮机=ub，c- C（一）- Nt）ρb。此外，合同项下投资者的效用ψgisEPkSHZτIt（u（I- Ns）ds- dDgs）燃气轮机=我-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我- EPkSH公司ZτItdDgs燃气轮机.现在，请注意EpkshZτItdDgs燃气轮机≥ EPkSH公司Zτ岩-r（s）-t） dDgs燃气轮机=ub，c- C（一）- Nt）ρb，当且仅当dg在sizeub，c的时间t有跳变时，等式成立-C（一）-Nt）ρband dDgs=0，每s>t一次。这意味着投资者最好使用初始一次性付款的合同，然后不支付任何费用。因此，投资者在下边界上的价值函数由vl，gt（ub，c）=I给出-1Xi=Ntu（I- i） bλSHI-我-ub，c- C（一）- Nt）ρb.我们以第5.2条提案的结尾继续本节。考虑任何时间t≥ 0、取任意ub、c∈ [c（I- Nt，1），C（I- Nt），和ψg∈袋子（t、ub、c、ub、c）。从引理C.1中，我们知道，对于所有s，ψgm的分量必须满足dDgs=0≥ 这两家银行都将在这份合同下逃避责任。

然后，θgd按以下方式确定银行的延续效用ub，c=EPkSHZτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机,所以在这种情况下，问题（5.2）简化为（P）supθ∈ΘEPkSHZτtu（I- Ns）ds燃气轮机, s、 t EPkSH公司Zτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= 接下来，我们以更方便的方式重写目标函数EpkshZτtu（I- Ns）ds燃气轮机= u（I- Nt）EPkSHτNt+1- t型燃气轮机+我-1Xi=Nt+1u（I- i） EPkSH公司{τ>τi}（τi+1- τi）燃气轮机=u（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） EPkSH公司EPkSH公司{τ>τi}GτiEPkSH公司τi+1- τiGτi燃气轮机=u（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]。我们对constraintEPkSH执行相同的操作Zτte-r（s）-t） B（一）- Ns）ds燃气轮机= EPkSH公司ZτNt+1tB（I- Nt）e-r（s）-t） ds+I-1Xi=Nt+1{τ>τi}Zτi+1τie-r（s）-t） B（一）- i） ds公司燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） rEPkSH公司EPkSHh{τ>τi}e-r（τi-t）- e-r（τi+1-t）Gτii燃气轮机=B（一）- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机.因此，我们得到了问题（P）的以下表达式supθ∈Θu（I- Nt）bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]，s.tB（i- Nt）r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机= ub，c。我们不知道如何直接求解（P），因此我们将定义其对偶问题，描述其解的特征，并证明对偶映射为零。

为此，我们定义了拉格朗日函数L：Θ×R×Ohm -→ R如下（θ，ν，ω）：=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）-我-1Xi=Nt（ω）+1u（I- i） bλSHI-iEPkSH[θτi | Gt]（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）+I-1Xi=Nt（ω）+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θτie-r（τi-t）燃气轮机（ω）- ub，c,并分别定义了对偶函数和对偶问题asg（ν，ω）：=infθ∈ΘL（θ，ν，ω），（D）supν∈Rg（ν，ω）然后，我们有弱对偶不等式（其中val表示优化问题的值）-val（P）=infθ∈Θsupν∈RL（θ，ν，ω）≥ supν∈Rinfθ∈ΘL（θ，ν，ω）=val（D）。我们将对偶函数重写为如下g（ν，ω）=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）- ub，c+ infθ∈ΘI-1Xi=Nt（ω）+1ZOhmθτi（eω）νB（I- i） r+bλSHI-ie-r（τi（eω）-t）-u（I- i） bλSHI-我dPSHt，ω（eω），其中PSHt，ω是关于Gt原始（即未完成）版本的条件期望的正则条件概率分布。我们很容易就知道，将最优控制θν设置为θντi（eω）：=1eω是最优的∈Aiν（eω），其中集合Aiν由Aiν定义：=Ohm, 如果ν<uBr+bλSHI-ibλSHI-我，eω：τi（eω）- t>rlnνBbλSHI-iu（r+bλSHI-（一）, 如果ν≥uBr+bλSHI-ibλSHI-i、 因此，对于任何ν∈ R对偶函数具有以下形式，使用τi的条件定律- 给定的t是τig（ν，ω）=-u（I- Nt（ω））bλSHI-Nt（ω）+νB（一）- Nt（ω））r+bλSHI-Nt（ω）- ub，c+我-1Xi=Nt（ω）+1Z∞si（ν）νB（I- i） e类-rxr+bλSHI-我-u（I- i） bλSHI-我fτi（x）dx。（E.3）不难看出g是一个连续且可微分的函数。当我们想在对偶问题中最大化g时，我们计算它对ν的导数，得到g（ν，ω）=B（I- Nt（ω））r+bλSHI-Nt公司- ub，c+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx。自ν7起-→ 对于任何i=1，…，si（ν）都是非递减的，一、 gis不增加，单位为ν。

此外，由于ub，c≥ c（一）- Nt，1），我们的限制为+∞ 因为ub，c<c（I- Nt）和B（I- Nt（ω））r+bλSHI-Nt+I-1Xi=Nt+1Z∞B（一）- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx=C（i- Nt）。因此，有一个唯一的值ν使gequal为0。现在，我们从控制θνI的首要问题中计算任意ν的约束值-1Xi=Nt+1B（I- i） r+bλSHI-iEPkSH公司θντie-r（τi-t）燃气轮机=我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx，所以θν在问题（P）中是可行的当且仅当g（ν，ω）=0。接下来，我们计算θν的主要（最小化）问题中目标函数的值-u（I- Nt）bλSHI-Nt公司-我-1Xi=Nt+1u（I- i） bλSHI-iEPkSHt公司θντi= -u（I- Nt）bλSHI-Nt公司-我-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）u（I- i） bλSHI-如果τi（x）dx。如果这个量等于g（ν，·），则对偶间隙为零。从（E.3）中我们可以看到，当且仅当νB（一）- Nt）r+bλSHI-Nt公司- ub，c+I-1Xi=Nt+1Z∞si（ν）B（I- i） r+bλSHI-ie-rxfτi（x）dx= 0<==> νg（ν，·）=0。我们得出结论，如果ν∈ R是这样的，g（ν）=0，那么控制θν在原始问题中是最优的。我们继续讨论命题5.3。确定流程\'s=bUI-Ns（Ub，cs（ψg））- Ugs（ψg），注意≥ 每s为0≥ 我们将证明\'t=0意味着\'v=0对于每个v≥ t、 因此，假设\'t=0。

遵循定理4.1证明中的相同思想，我们对v≥ t`v=I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧v-地毯（ψg）- 黑色？，gs（ψg）+[h1，gs+（1- θgs）h2，gs]λk？，g（ψg）sds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vbUI-i（Ub，cs（ψg））摩擦，cs（ψg）- 黑色？，b、 cs（ψg）+λk？，b、 c（ψg）I-i（h1、b、cs+（1- θgs）h2，b，cs）ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）国土安全部+ρg- ρbbUI-i（Ub，cs（ψg））dDgs。由于函数可解HJB方程组（4.9），且ρg- ρbbUi（Ub，cs（ψg））dDgs≤ 对于每个s，我们有\'v≤我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vrbUI-i（Ub，cs（ψg））- 地毯（ψg）- [h1，gs+（1- θgs）h2，gs]λk？，g（ψg）sds公司-我-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vλk？，g（ψg）sθsbUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub，cs（ψg））ds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）dHs=I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vr+λk？，gs公司bUI公司-i（Ub，cs（ψg））- Ugs（ψg）+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub，cs（ψg）- h1、b、cs）θgsλk？，gsds+I-1Xi=NtZτi+1∧vτi∧vh1，gs+bUI-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）-bUI公司-i（Ub、cs-（ψg））dNs+h2，gs-bUI公司-我-1（Ub、cs-（ψg）- h1、b、cs）国土安全部。回想备注4.4，在上边界上，我们有h1，gs=bUI-Ns系列-（Ub、cs-（ψg））-bUI公司-Ns系列--1（Ub、cs-（ψg）- h1，b，cs（ψg）），h2，gs=bUI-Ns系列--1（Ub、cs-（ψg）- h1，b，cs（ψg）），因此对于i=Nt，右侧的漂移为0 in【τi，τi+1】，时间τi+1的跳跃也为0。很容易看出，对于每个i∈ {Nt，…，I}因此\'v≤ 每v 0≥ 0表示“v=0，每v≥ t、 我们继续讨论命题5.4。（i） 我们从命题5.3的证明中得出，过程（θg，h1，b，c，h2，b，c）是HJB方程组（4.9）的必要最大值。

我们可以回到命题4.3的证明，它基于推论D。1，观察对于ub，c<BBJ最佳θ∈ cj由θ=0唯一给出。（ii）观察每个（t、ub、c、ug）∈ [0，τ]×bVI-Nt×bVI-Ntandψg∈袋子（t，ug，ub，c）我们有ub，ct（ψg）≥ EPk？，g（ψg）Zτte-r（s）-t） （ρbdDgs+Bk？，gs（ψg）ds）燃气轮机=ρbρgUgt（ψg）+EPk？，g（ψg）Zτte-r（s）-t） 黑色？，gs（ψg）ds燃气轮机1.-ρbρg≥ρbρgUgt（ψg）。那么Ub，cs（ψg）=ρgρbUgs（ψg）意味着k？，gs（ψg）=k？，b、 cs（ψg）=0，对于每s∈ [s，τ），在随后的ub中，cs（ψg）=ρgρbUgs（ψg）≥ bs，对于每个s∈ [s，τ）。我们继续讨论命题5.5。我们将证明分为两步。o步骤1：我们从区域ub开始，c>bbI-Nt。设ψg=（Dg，θg，h1，b，c，h2，b，c）∈ Ag（t，ub，c）使得ub，ct（ψg）=ub，c≥bbI公司-Nt，Ugt（ψg）=bUI-Nt（ub，c）。根据命题5.4，我们知道ub，cs（ψg）≥bbI公司-Ns，k？，b、 c（ψg）=0，s∈ 因此，问题（5.3）等价于Vu，gt（ub，c）=supψg∈Ag（t、ub、c）EPZτtu（I- Ns）ds-ZτtdDgs, s、 t型Ub，cs（ψg）≥bbI公司-Ns，s∈ [t，τ），EPZτte-r（s）-t） dDgs=ub，cρb。这正是Pagès和Possamaè[51]中考虑的问题（见定理3.15）。

我们得出结论，VU，gt（ub，c）=vbI-Nt（ub，c）。o步骤2：对于上边界的其余部分，观察与（5.3）相关的HJB方程组由BV给出≡ 0，对于任何1≤ j≤ 伊敏(- sup（θ，h，h）∈CU，j（bVj（ub，c）摩擦，c- Bkb，c+（h+（1- θ） h）bλkb，cj+uj+bλkgjθbVj-1（ub，c- h）-bλkgjbVj（ub，c）），bVj（ub，c）+ρb）=0，（E.4）对于每个ub，c≥Bjr+bλSHj，边界条件bvj（Bj/（r+bλSHj））=uj/bλSHj，其中kb，c：=j1{h+（1-θ） h<bbj}，kg：=j1{bU？j（ub，c）-θbU？j-1（ub，c-h） 由命题5.4确定的约束集CU，j由CU，j定义：=（θ，h，h）∈ [0，1]×R+：h+h=ub，c，h≥B（j- 1） r+bλSHj-1，θ1{ub，c<bbj}=（kb，c+kg）1{ub，c≥bbj}=0.然后，对于任何ub，c<bbj，则（E.4）中的扩散方程简化为ODE0=bVj（ub，c）r+bλSHjub，c- 北京-边界条件为bVj的bVj（ub，c）bλkgj+uj，（E.5）Bjr+bλSHj=ujbλSHj。如果ub，c<x？j、 我们得到bvj（ub，c）=ujbλSHj+Cr+bλSHjbλSHj！ub，c-BjbλSHj！bλSHjr+bλSHj，对于某些C∈ R、 如果ub，c∈hx？j、 bbj公司, 方程（E.5）通过bvj（ub，c）=ujbλj+Cr+bλSHjbλj！ub，c-Bjbλj！bλjr+bλSHj，对于某些C∈ R、 方程（E.5）的解为连续的Cand Cfor值areC=ujbλj-ujbλSHj+ρbρgbλjr+bλjvbj（bbj）-ujbλjρbρgbλSHjr+bλjbbj（r+bλj）bλSHjbλSHjr+bλSHj，C=vbj（bbj）-ujbλjbbjr+bλjbλj-bλjr+bλSHj。从贴图vbj的属性可以看出，生成的函数bvjis是坡度大于-1/ρ带因此族{bVj}1≤j≤Iis HJB方程组的解（E.4）。可以类似于第4.1条的证明（也可参见[51]中的定理3.15）证明，验证结果适用于该函数族。因此，我们省略了这个结果的顶部。我们继续讨论命题5.6。根据定义，我们得到了设置的equalitybAg（t，bLI-Nt（ub），ub）=bAb（t，bLI-Nt（ub），ub）。

从引理C.1和C.2我们知道，对于每个ψb∈bAb（t，bLI-Nt（ub），ub），这两个代理总是逃避ψb，因此VL，gt（ub）和VL，bt（ub）定义中的目标函数也是相同的，并且相等。我们继续讨论5.7号提案。该证明与命题5.5的证明相同，唯一不同的是，由于校长雇佣了坏代理人，对于ub<bbj，与值函数相关的ODE为0=bVj（ub）r+bλSHj乌兰巴托- 北京-bVj（ub）bλSHj+uj，边界条件为bVjBjr+bλSHj=ujbλSHj。本节以第5.9条提案的结尾。付款和θ的值？在ub的情况下≥ C（一）- Nt）是命题5.1证明的直接结果。根据命题5.2的证明，如果ub<C（I- Nt）然后θ？s=1ns-t> rln公司ν（ub）BbλSHI-Ntu（r+bλSHI-Nt）o、 其中ν（ub）相关对偶问题的解。由于对数内的量随时间减少，我们得到θ？是一个从零开始，在某个瞬间跳到一，然后保持不变的过程。这意味着如果θ？在某个时间s跳到1，并且项目仍在运行，则坏代理的延续实用程序必然等于toC（I- Ns），因为项目将持续到最后一个默认值。F模型的扩展F。1提案6.1的内生保留效用。定义RibyRit的动态版本：=supk∈KEPk公司Zτ岩-r（s）-t） （ρiu（i- Ns）+Bks）ds英尺.注意，由于我们之前的结果，我们知道前面的表达式仅通过I的值依赖于t- Nt。打电话给thenbRiI-Nt=Rit，存在I时的值- Ntloans剩余。ρiin（τI）型agentof的显式值和最优作用-1，τ）是在B节中对固定付款短期合同的研究中获得的。

现在假设j>1，并且brij的值-1以及违约后代理人的最佳行动τI-jare已经知道了。如果代理行决定监控（τI）中的所有贷款-j、 τI-j+1），其预期效用将由ui（0）给出：=ρiujr+bλj+bλjr+λjbRij-1、与此操作关联的进程h1，i（0）由h1，i（0）：=ui（0）给出-布里吉-1=ρiujr+bλj-rr+bλjbRij-因此，监控（τI）中的所有贷款是激励相容的-1，τ）当且仅当ifh1，i（0）≥ 北京<==> ρiuj- rbRij公司-1.≥ bj（r+bλj）。同样，如果代理人选择逃避（τI-j、 τI-j+1），其预期效用将等于toui（j）：=ρiuj+Bjr+bλSHj+bλSHjr+bλSHjbRij-1、与该动作相关联的过程h1，i（0）由h1，i（j）：=ui（j）给出-布里吉-1=ρiuj+Bjr+bλSHj-rr+bλSHjbRij-1，且不监控（τI）中的任何贷款是激励相容的-1，τ）当且仅当ifh1，i（j）<bj<==> ρiuj+Bj- rbRij公司-1<bj（r+bλSHj）<==> ρiuj- rbRij公司-1<bj（r+bλj）。F、 2银行公用事业之间的无限关系我们模型的可能扩展可能依赖于两家银行工作之间的进一步差异，即当两家银行都工作时，好的银行将更加有效，因为相关违约强度严格小于坏银行的违约强度。我们可以通过引入一个额外的类型变量来实现这一点，该变量的值为mg和mb，mg<mb，并对时间t时未违约贷款j的风险率进行建模，当i类银行将其监测为αj时，它=αi-Nt（1+ej，itmi+（1- ej，it）ε）。然后，如果银行未能监控k贷款，违约强度将为λk，它=αI-Nt（（I- Nt）（1+mi）+（ε- mi）kt）。我们之所以不考虑这种情况，是因为它产生了退化，即可信集合不再有上限。

实际上，为了简单起见，考虑j=1的情况，并取任意ub≥ bj，t？≥ 0并选择相应的付款C（t？）：=ube（r+bλ0，b）t？（r+bλ0，b）ρb≥bb（r+bλ0，b）ρb≥bg（r+bλ0，g）ρg。然后，根据合同，延迟和固定付款由dDs=c（t？）1{s>t？}ds坏银行将始终工作，其价值函数将等于ub（见第B.2节）。请注意，好银行的最佳策略也将是每次都能奏效。然后，她的值函数等于toug：=ubρg（r+bλ0，b）ρb（r+bλ0，g）e（bλ0，b-bλ0，g）t？。我们看到，通过增加t？，我们可以随心所欲地将UGA做大，并固定坏银行的价值。这意味着可信集在区间[bb，∞). 移动到任何j>1，考虑到θ=0和类似付款的延迟短期合同，我们观察到相同的退化，可信集在区间[bbj，∞).解决此问题的一种方法是考虑银行的不同贴现率，即rb和rg，并假设违约强度为λ0，bt+rb≤ λ0，gt+rg。然而，这使事情复杂化了很多，因为我们期望为真的简单陈述很难证明，或者需要对问题的参数进行假设。例如不等式Ugt（D，θ）≥ Ubt（D，θ）不再清晰。因此，我们没有朝着这个方向前进，而是将其留给未来可能的研究。