如果A上的首选项<具有DEU表示，则one switchproperty等效于弱one switch属性。3.2过时结果和不耐烦的弱单开关特性在本节中，我们考虑偏好<对A，并返回到初始假设X=[0，∞).定义22。我们说，<表现出过时结果的弱一开关特性如果<表现出A上的弱一开关特性。下面的命题给出了过时结果的弱一开关特性的部分特征。提案23。仅限于Ahas DU表示。然后，如果偏好<表现出DI或II，则显示出日期结果的弱单开关特性。证据我们表明，如果<附件II或DI，则其也必须显示出日期结果的弱一开关特性。证据是矛盾的。假设对于某些（x，t），（y，s）∈ a和一些σ，ε，使得0<σ<ε，我们可以有：（x，t） （y，s），（32）（x，t+σ） （y，s+σ），（33）（x，t+ε） （y，s+ε）。（34）W.l.o.g.假设t<s，那么我们也必须有x<y，否则（33）与单调性和耐性相矛盾。通过连续性，我们可以找到∈ （t，s）使得（x，t）~（y，s）。因此，通过II，我们得到（x，t+σ）<（y，s+σ）。不耐烦，（y，s+σ）（y，s+σ），因此，通过及物性，（x，t+σ） （y，s+σ），这与（33）相矛盾。因此，我们已经证明，如果<不满足datedoutcomes的one-switch属性，那么它也不会显示II。DI的证明是类似的。实际上，考虑（x，t+σ） （y，s+σ），与之前一样，t<s，x<y。通过连续性，我们可以找到s>s，从而（x，t+σ）~ （y，s+σ）。由于ε>σ，对于某些γ>0，设ε=σ+γ。从等效性（x，t+σ）~ （y，s+σ）然后是DI，即（x，t+σ+γ）4（y，s+σ+γ），或者，等效地，（x，t+ε）4（y，s+ε）。由于s>s，急躁意味着（y，s+ε） （y，s+ε）。

因此，我们必须有（x，t+ε） （y，s+ε），这使我们对（34）产生了矛盾。我们无法确定23号提案的相反情况。引理11中使用的论点不能直接适应当前的情况。然而，命题23以及datedoutcomes的单开关特性的先前描述（引理11）已经暗示，日期结果的单开关特性和日期结果的弱单开关特性对于具有DU表示的跨时参考是不等价的。4讨论本文填补了Bell关于贴现函数的原始特征[9，命题8]中的一个空白，该贴现函数与日期结果序列的单开关属性相兼容。我们发现，线性乘以指数形式的函数也具有这一性质，并且这类折扣函数表现出严格的递增不耐烦性。虽然在实验中通常可以发现减少不耐烦[18]，但也有很多证据表明增加不耐烦（例如，见[8]、[26]）。据我们所知，之前关于时间偏好的文献中没有使用线性时间指数函数。因此，我们引入了一种新类型的折扣函数，它能严格适应日益增长的不耐烦和单开关特性。关于指数和，最近人们对这种类型的贴现函数产生了一些兴趣。在他们的实验中，McClure等人[20]利用个体大脑的磁神经图像来研究跨期选择。他们发现做出决定是两个独立的神经系统与不同程度的不耐烦相互作用的结果。为了描述这两个大脑区域参与贴现的情况，他们提出了指数贴现函数之和，称之为双指数贴现。Cavagnaro等人最近的实证研究。

[15] 证明双指数贴现比指数贴现、准双曲线贴现、比例双曲线贴现和广义双曲线贴现更符合实际时间偏好。本文的第二个贡献是，通过考虑两个定义：弱单开关特性和（强）单开关特性，澄清贝尔[9]提出的原始单开关规则的定义。我们证明，如果X是一个混合集，并且ifpreferences有一个DEU表示，那么单开关属性等价于弱单开关属性。第三，我们证明，如果偏好具有DU表示，那么偏好对于过时的结果显示出单开关特性，当且仅当它们表现出严格增加的不耐烦，或严格减少的不耐烦，或持续的不耐烦。对于带日期的结果，得到了弱单开关性质的一个partialanalogue。也就是说，如果偏好表现出增加的不耐烦或减少的不耐烦，那么对于过时的结果，它们表现出弱的单开关特性。感谢我的主管Matthew Ryan提出了宝贵的建议和详细的意见。我感谢惠灵顿维多利亚大学第六届微观经济理论研讨会的与会者提出的有益意见。感谢奥克兰大学的财政支持。附录A。1命题20证明的插图在本附录中，我们提供了命题20证明的插图。

请注意，对于附录中的所有图形，只有点的偏移坐标的符号（而不是值）是相关的。σ（σ） σ∑∑∑（σ） σ∑∑∑（σ） =λ（σ） +（1- λ）（σ） σ∑∑图A.1：以下混合物（σ） 以及（σ） （带小λ）σ（σ） σ*σ∑∑∑（σ） σ*σ*σ∑∑图A.2：功能（σ） 在一点或间隔σ^等于零（σ） =-（σ） σ*∑∑∑∑▄（σ） =^（σ*- σ+σ）^σσσ（σ） ^∑∑∑∑∑图A.3：转换（σ） 至▄（σ） ，然后用新值表示σ，σ，σσ（σ） ∑∑∑∑▄（σ） ^∑∑∑∑∑（σ） =λ（σ） +（1- λ）（σ） ^∑∑∑∑∑图A.4:（σ） 以及（σ） （λ较小）产生双开关σ（σ） σ*σ*σ∑∑∑-（σ） σ*σ*∑∑∑∑'（σ） =-（σ+ε）σσσσ*σ*σ〃（σ） σ∑∑∑*σ*图A.5:（σ） 至‘（σ） σ，σ，σ的新值*, σσ（σ） σ*σ*∑∑∑∑'σ*σ∑∑∑*σ〃（σ） =λ'（σ） +（1- λ）（σ） σσ*σσ*σ图A.6:（σ） 以及（σ） （带小λ）在三个点σ，σ*, σ*σ〃（σ） σσ*σσ*σσ-（σ） σ∑∑*σ*σσ（σ） =-λ（σ） +（1- λ） \'\'（σ） σ∑∑*σ*σ图A.7:-（σ） 和‘（σ） （使用小λ）产生双开关。有必要考虑（σ） 在三个点σ，σ*, σ*参考文献[1]A.E.阿巴斯和D.E.贝尔。多属性实用功能的单开关独立性。运筹学，59（3）：764-77112011。[2] 阿巴斯和贝尔。方法多属性utilityfunctions的一个开关条件。运筹学，60（5）：1199–12122012。[3] 阿巴斯和贝尔。顺序一开关实用程序功能。运筹学，63（6）：1411–14192015。[4] J.M.阿尔米拉。关于Popoviciu-Ionescu泛函方程。《数学年鉴》（Annales MathematicaSesilesianae），30（1）：5–15，2016年。[5] 安丘吉纳。指数折扣和准双曲折扣公理化的简单框架。《理论与决策》，2016年。内政部：10.1007/s11238-016-9566-8。[6] N.Anchugina、M.Ryan和A.Slinko。聚合时间首选项，减少不耐烦。

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