在绘制MH样本的散点图时，我们使用在原始马尔可夫链中每隔100个点提取的子样本。所有损失变量对都具有正相关性，那么条件分布FX | S=vis可能是单峰的，并且是轻尾的，因为X，X，…，之间存在正相关性，Xd防止它们在{X+·····+Xd=v}的约束下多样化。在第5.1.1节中的风险模型（1）和（3）中，copula C只有正相关性，图3（i）和（iii）中的等高线图显示，FX | S=单峰和轻尾。由于简单的提议分布，如随机游走提议（20）和独立提议（21），可以很好地执行，因此这些特征有助于使用MH进行估计。相反地，当copula C具有负相关性时，FX | S=v结束为多峰或重尾，因为负相关性允许X的每个分量在{X+···+Xd=v}下取极值。在第5.1.1小节的风险模型（2）和（4）中，copula C具有负相关性，图3（ii）表明，FX | S=双峰，图6（d）中的曲线图显示，FX | S=重尾。在这种情况下，需要仔细选择提案，以获得有效的MH估计器。当损失X，X，Xdareall非负，则FX | S=在（A1）中定义的有界单纯形SV上支持的vis。因此，通过选择q作为独立提案，并在单纯形上定义分布，可以涵盖对FX | S=Vb的全部支持。SVC上的均匀分布可能是最安全的选择。也可以选择其他分布，这些分布共享MCsamples中观察到的FX | S=VO的相同特征。

例如，由于在图6（b）的等高线图中观察到双峰性，我们选择Seq作为独立的建议分布，f是Sv上的Dirichlet分布，它可以在单纯形边缘具有两个不同的模式。当X为Rd值且负相关时，有效的MCMC具有挑战性，因为目标分布FX | S=vis可能在2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv多式联运或重尾联运。作为特例，当FX在某种程度上是椭圆的，那么FX | S=vis很可能再次是椭圆的。在这种情况下，即使是重尾分布，人们也知道MpCN提案分布（22）表现良好，第5.1.1小节中风险模型（4）的模拟研究和第5.2小节中的实证研究也证明了这一点。图7中的流程图总结了关于选择适当提案分布的讨论。结合指导原则，本文提出的VaR贡献MH估计的整个过程总结如下。算法3：（使用MCMC估计VaR贡献）1。生成X，X，XMi。i、 d。~ FXby MC。2、根据步骤1中生成的样本，通过v=dVaRp（S）估计VaR。3、对于带宽δ>0，提取子样本，使1TdXm∈ 【五】-δ、 v+δ]对于m=1，M、 4。根据图7.5中的指南选择一系列提案分发。根据步骤3中提取的伪样本，确定建议分布q.6的参数。对于样本大小N>0、建议密度q和初始值X（0）=X（0），运行算法1生成N路径（X（1），平稳分布为fX | S=v.7的马尔可夫链的X（N））。为了检查提案分布q的有效性，计算接受率，绘制自相关图，并比较MC和MH样本的散点图。8.

如果在步骤7中验证了方案选择，则根据步骤6中生成的样本路径设置VaR贡献的MH估计值（23）。否则，请转至步骤4并选择其他提案分发。总结要点计算联合密度指定的风险模型的VaR贡献通常是一项困难的任务。为了实现这一点，提出了VaR贡献的MH估计。由于MH方法直接从给定和约束的条件密度生成样本，其样本效率显著提高。此外，由于MH估计比现有估计更直接地捕捉风险模型的特征，因此即使基础损失分布是多峰或重尾的，MH估计也能保持较高的性能。根据马尔可夫链的一般理论，MH估计量是一致渐近正态分布的。通过基于真实数据的模拟和实证研究，将MH估计器与其他现有估计器在各种风险模型下的性能进行了比较。数值结果表明，在大多数风险模型中，即使投资组合的维数较高，如d≈ 未来的潜在研究包括对x | S=v的条件联合分布的理论研究。我们的主要兴趣是风险模型的基础copula对密度fX | S=v的尾部行为和多模态的影响。我们相信揭示它们之间的关系可以为MH估值器的方案选择提供更有希望的指导。2019年1月18日Koikeminami2019varcontarxivstartartar损失随机变量（X，X，…，Xd）是否相互正相关？条件分布fx | S=vis可能是单峰分布和轻尾分布。

因此，简单的建议分布（如随机工作和独立建议）可以很好地工作。是的，损失都是非负的，也就是说，X，X，Xd公司≥ 0（或者，它们的负部分是否有边界，即存在cj=ess.inf（Xj）>-∞ 这样的XJ- cj公司≥ 0表示j=1，d） ？虽然FX | S=v可能是多模态的，但它在有界单纯形上受支持。因此，在SimpleX上定义的独立提案分发将是一个明智的选择。Simplex上的均匀分布是最安全的选择，但其他分布，如Dirichlet分布也是合理的。是的，损失随机向量X的联合分布是椭圆的吗？尽管FX | S=V可能是重尾的，但它可能是椭圆形的。因此，MpCN建议分布可以很好地工作。是没有可用的指南。无图7。选择Metropolis Hastings（MH）风险价值贡献估计值提案分布的流程图。致谢我们要感谢ETH Z¨urich的Paul Embrechts对模拟设置的宝贵意见。我们还要感谢大阪大学的Kengo Kamatani和滑铁卢大学的Marius Hoffert就MCMCand阿基米德copulas进行了富有成效的讨论。2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv基金这项工作得到了庆应义塾大学核心到核心项目下的日本科学促进会（JSPS）的支持。参考Demarta，S.和McNeil，A.J.，t copula和相关copula。《国际统计评论》，2005年，73111-129。Denault，M.，风险资本的一致分配。《风险杂志》，2001年，第4期，第1-34页。Dev，A.，《经济资本：从业者指南》，2004年（风险书籍：纽约）。Fan，G.、Zeng，Y.和Wong，W.K.，基于多元Copula模拟的投资组合VaR和预期缺口分解。

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工作文件，日本银行，2013年。附录A：一致性和渐近正态性在本附录中，我们推导了copula分布和边际分布的条件，相应的MH VaR贡献估计值满足建议分布q某些选择的一致性（16）和CLT（17）。本研究揭示了哪种建议分布适用于给定的风险模型。我们将损失分布fx分为两种情况；其中supp（fX）=Rd+={x∈ Rd:x≥ 0}和另一个，其中supp（fX）=Rd。前者对应于我们建模纯损失的情况，后者对应于盈亏（损益）的情况。我们的结果主要是关于前一种情况，我们为后一种情况提供了一些有限的例子。应该强调的是，前一种纯粹损失的情况包括广泛的损失模型。为了证明这一点，letcj=ess。inf（Xj），并设置▄Xj=Xj- cj，j=1，d、 如果-∞ < cj，然后是Xj≥ 0.S=Pdj=1Xj时，VaRp（~S）=VaRp（S）的VaRp的平移不变性-dXj=1cj。因此，分配资本为▄Xjis，由▄ACj=E[▄Xj▄S=VaRp（▄S）]=E给出Xj公司- cj | S-dXj=1cj=VaRp（S）-dXj=1cj= E[Xj | S=VaRp（S）]- cj=ACj- cj。因此，我们可以通过基于2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv的第一次估算（▄AC，▄AC，▄AC，▄ACd）来估算（▄X，▄X，▄Xd）的联合分布，以使SUP（f▄X）=Rd+，然后从▄AC中减去（c，c，▄cd）。因此，我们对前一种情况的结果包括利润最小值有界的损益情况。A、 1。纯损失情况下，当supp（fX）=Rd+，条件分布fX | S=vis在以下称为v-simplex的边界集上受支持：Sv：={x∈ Rd:x≥ 0，0≤ x+···+xd≤ v} 。

（A1）由于支持向量的紧性，我们可以给出关于边际损失密度和copula密度的简单条件，从而得到MH估计量的一致性和CLT。定理A.1假设联合分布fx在Rd+上受支持，且具有边际密度f，f，fd和copula密度c。然后，√如果满足以下条件（C1），则N-CLT适用于VaRcontributions的MH估计量（23）- （C3）保持：（C1） := infx，y∈Svq（x，y）>0，（C2）fj（x）为正且在任何x上有界∈ [0，v]对于j=1，2，d、 （C3）c（u）是正的，并且对于任何u，其上有界∈ F（[0，v]）×···×Fd（[0，v]）。证据根据Roberts和Rosenthal（2004）的定理23，√当E[| | | | | X | | S=v]<∞. 因为X，X，Xd公司≥ 0，该条件被不等式e满足的时刻【XiXj | S=v】≤ E[（X+···+Xd）| S=v]=v<∞对于任何i，j∈ {1，2，…，d}。因此，有必要证明马尔可夫链是一致遍历的。根据Mengersen和Tweedie（1996）的定理1.3，马尔可夫链是一致遍历的（且仅当）最小化条件（Rosenthal 1995）在整个空间Sv上成立；也就是说，存在一个正整数n，一个正数δ>0，以及一个概率度量ν，使得kn（x，a）>Δν（a），（A2）对于任何x∈ SV和A∈ Bv，其中Bv：=B（Rd）∩ Sv。我们的目标分布可以写成π（x）=fX（x）fS（v）=c（F（x），Fd（xd））fS（v）f（x）····Fd（xd），其中（x，x，…，xd-（1）∈ SV和xd=v- 1Tdx。因此，根据条件（C2）、（C3）和Sv[0，v]d，我们有：=infx∈Svπ（x）>0，u：=supx∈Svπ（x）<∞. （A3）使用（A3）和条件（C1），可以如下检查二甲胺化条件。

2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivx∈ Sv，定义X：=y∈ Sv：π（y）π（x）q（y，x）q（x，y）<1.那么，对于任何A∈ Bv，我们有k（x，A）=ZA{q（x，y）α（x，y）+r（x）δx（y）}dy≥ZQxq（x，y）最小值1，π（y）π（x）q（y，x）q（x，y）dy+ZA \\Qxq（x，y）最小值1，π（y）π（x）q（y，x）q（x，y）dy=ZQxπ（y）π（x）q（y，x）dy+ZA\\Qxq（x，y）dy≥uZQxπ（y）dy+ZA\\Qxπ（y）研究=uπ（A）。因此，对于n=1，δ，minorization条件成立=u> 0，且ν=π。因此，马尔科夫链是一致遍历的，因此√N-CLT保持不变。由于minorization条件（A2）成立，因此^πN（h）的一致性遵循Nummelin（2002）中的定理1。下面的示例中给出了风险模型和建议分布对的示例。示例1，对于j=1，d、 让xj遵循帕累托分布，密度由fj（xj；κj，γj）=κjγκjj（xj+γj）κj+1，κj，γj>0表示。（A4）假设X=（X，X，…，Xd）有一个生存克莱顿copula，密度由c（u；θ）=θdΓ（θ+d）Γ（θ）给出dYj=1（1- uj）-θ-1.dXj=1（1- uj）-θ- d+1-θ-d、 0<θ<∞. （A5）一些简单的计算表明，在0<θ<log（1）的非常温和的有效条件下，边际分布（A4）满足（C2）和copula（A5）满足（C3- p） /日志（1-d） 。因此，在建议分布q满足（C1）的情况下，相应的MH估计量（23）满足一致性和渐近正态性。q的一个可能选择是随机行走建议q（x，y）=f（y-x） f为均值为零的多元正态分布的密度。自y起- x个∈ [-v、 v]D对于x，y∈ Sv，f（y-x） 总是积极的。值得注意的是，条件（C3）与尾上部的copula无关【F（v），1】×·······×【Fd（v），1】。因此，（C3）即使连接函数密度在上角爆炸也成立，这通常是连接函数具有上尾依赖性的情况。事实上，一个更普遍的结果适用于存活的阿基米德copulas。

具有2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv阿基米德生成器ψ的d维阿基米德copula由cψ（u）=ψ给出dXj=1ψ-1（uj）, （A6）式中，ψ是连续的非递增函数ψ：[0，∞] → [0，1]满足ψ（0）=1，且限制→∞ψ（t）=0，并且在[0，inf{t：ψ（t）=0}]上递减。逆ψ-1（u）是明确的onu∈ （0，1）和ψ-1（0）由ψ定义-1（0）=inf{t：ψ（t）=0}。设ψ（j）为ψ的第j阶导数。阿基米德产生器ψ通过（A6）为任何d≥ 1当且仅当ψ是完全单调的，即(-1） jψ（j）≥ 0开（0，∞) 对于所有j=0，1；见McNeil等人（2009年）。我们将完全单调生成元类表示为ψ∞. 根据伯恩斯坦定理（例如，参见Feller 2008），ψ∈ ψ∞允许Laplace-Stieltjes表示ψ（t）=EF[e-对于某些正随机变量V>0。定理A.2（C3）的生存阿基米德连接函数的有效条件）Letψ∈ ψ∞是一个完全单调的阿基米德生成器。如果E【Vd】<∞ 式中，V为ψ（t）=E[E-tV]，则生存阿基米德连接函数Cψ的密度满足orem a.1中的条件（C3）；此外，’Cψ的尾部相关系数为零。证据表示“uj=Fj（v）<1且uj=1”- \'\'uj>0。生存阿基米德copula的密度由'cψ（u）=cψ（1）给出- u） =ψ（d）dXj=1ψ-1（1- uj）dYj=1ψ（1）（ψ-1（1- uj））=(-1） dψ（d）（t）dYj=1(-1） ψ（1）（tj），（A7），其中tj=ψ-1（1- uj）和t=Pdj=1tj。当uj∈ [0，Fj（v）]，我们有0<uj≤ 1.- uj公司≤ 1和tj=ψ-1（1- uj）∈ [0，\'tj]其中\'tj=ψ-1（uj）<∞. 因此，0≤ t=Pdj=1lj<∞.自ψ起∈ ψ∞, 其形式为ψ（t）=E[E-对于某些正随机变量V>0。因此，在0上≤ t<∞, 我们有0个<(-1） jψ（j）（t）<∞ 对于j=1和j=d，自(-1） jψ（j）（t）=E[Vje-tV]>0和E[Vje-电视]≤ E【Vj】<∞ 假设j=1和j=d。

因此，密度（A7）是从下方和上方限定的。当E【Vd】<∞, 相应的阿基米德copula具有上尾相关系数λu（Cψ）=2- 2极限→01- ψ（2t）1- ψ（t）=2- 2极限→0ψ（1）（2t）ψ（1）（t），其中最后一个等式来自l\'H^opital规则。辛塞利姆特→0ψ（1）（2t）ψ（1）（t）=极限→0个(-1） ψ（1）（2t）(-1） ψ（1）（t）=极限→0E[V e-2tV]E[V E-电视]=1自E[V E-2tV]和E[V E-电视]转到E[V]<∞ 作为t→ 因此，对于存活的阿基米德copula，λl（(R)Cψ）=λu（Cψ）=0。2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv根据定理A.2，存活的Clayton copula满足（C3），而存活的Gumbel copula不满足，因为它具有正的较低的尾部依赖系数；见Hofferet al.（2012）。备注2（尾部相关性较低的copula的一致性和CLT）条件（C3）不适用于尾部相关性较低的椭圆copula，例如密度t（u；ν，P）=Γ（ν+d）Γ（ν）| P |Γ（ν+1）d的学生t-copula1+xTP-1xν-ν+d∏dj=1（1+xjν）-ν+1，ν>0。（A8）通过仔细检查定理A.1的证明，在弱于（C2）和（C3）的条件下，^πN（h）的一致性和渐近正态性仍然成立；q（y，x）π（x）=q（y，x）fS（v）c（F（x），Fd（xd））f（x）····Fd（xd）≥ 五十、 x，y∈Sv，（A9）对于某些正常数L>0，其中 Sv={x∈ Rd:1Tdx=1}。虽然不能直接确定，（A9）在（C1）下的一个有效条件是π在▄Sv上有界。另一个条件是建议密度q的爆炸速度大于π。这种q的一个例子可以是一个独立的建议分布q（x，y）=f（y），f为α，α，…，的Dirichlet分布密度（α，α，…，αd），αd<1，爆炸为∞ 当x接近轴时。因此，通过选择这样的建议分布，即使copula密度在下角u=0时爆炸，一致性和CLT仍然可以保持。A、 2。

盈亏情况与纯亏损情况相比，表明MH估计量的一致性和CLT对于我们建模损益的情况是有挑战性的。由于条件密度fX | S=vis支持无界空间Rd，因此有必要仔细研究其尾部行为。当原始损失随机变量X遵循椭圆分布时，Kamatani（2017）的结果可用于证明我们的MH估计值与MpCN建议分布的CLT。下面提供了一个CLT的调整示例，其中X遵循多元学生t分布。示例2（多元student t分布的CLT调整）我们证明，当基础损失模型是密度fx（x；ν，∑）=Γ（ν+d）|πd∑|（ν）的多元student t分布tν（u，∑）时，MpCN建议分布（22）实现了VaR贡献的CLT1+（x- u）T∑-1（x- u）ν-ν+d.（A10）设X~ tν（u，∑），其中ν>2，u∈ Rd和∑∈ Md×d+。在整个讨论过程中，为了简单起见，我们将u设置为0。写入∑-1个=AaaTa公司=: 2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivfor A∈ Md×d（R），a∈ Rd和a∈ R、 那么，它认为十五- 1TdxTAaaTa公司十五- 1Tdx= （十）- w） 电视（x- w） +η，其中V：=A- aTd公司- 1daT+1dTd∈ Md×d+，w：=V-1（vAd- va）∈ Rd和η：=va- wTVw公司∈ R、 利用这个恒等式，我们得到了fx | S=v（x）∝ fX（x，v- 1Tdx）∝1+（x- w） TW公司-1（x- w） +ην-ν+d∝1+（x- w） TW公司-1（x- w） ν+η-ν+d，（A11），其中W=V-1、假设ν+η>0，X | S=v遵循d维椭圆分布，位置参数w、比例参数w和密度生成器g:R+→ R+givenbyg（x）=1+xν+η-ν+d。这种类型的分布称为皮尔逊VII型分布（Schmidt 2002）。考虑MH估计量（23），其中目标分布π是fX | S=v，建议分布q是MpCN（22）。

根据Roberts和Rosenthal（2004）的定理25，√如果马尔可夫链是几何遍历的且E[| | | X | | S=v]<∞. 根据Kamatani（2016）中的命题3.4，如果E[| | X | |δ| S=v]<∞ 对于某些δ>0的情况，π（x）是严格正的、连续的，并且是对称规则变化的，即limr→∞对于某些函数λ：Rd，π（rx）π（r1d）=λ（x），（A12）→ （0，∞) 对于任意x，λ（x）=1∈ Sd公司-1W，其中Sd-1W：={x∈Rd：| | W-x | |=| | W-d | |}。我们将看到力矩条件成立，并且对于π=fX | S=v，也满足尾条件（A12）。写入R：=| | X | |。可以看出，g在∞ 指数α=-ν+d；就是limr→∞g（rx）g（r）=x-ν+d，x>0。（A13）根据Schmidt（2002）中的命题3.7，fR | S=vis随指数有规律地变化-（ν+1）。然后，根据Karamata定理（我们参考Resnick 2013），FR | s=vis随指数有规律变化-ν。因此，E[Rδ| S=v]<∞ 任何δ<ν的保持；见Mikosch（1999年）。因此，只要ν>2，上述所有瞬时条件都是满足的。在椭圆情况下，尾部状况（A12）2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv是（A13）的直接结果。自（x）起- w） TW公司-1（x- w） >0表示所有x∈ Rd，它认为LIMR→∞fX | S=v（rx）fX | S=v（r1d）=| | W-x | | | | W-d | | |！-（ν+d），x∈ 因此，取λ（x）：=| | W-x | | | | W-d | | |！-（ν+d），in（A12），π=fX | S=vis显示为对称规则变化。综上所述，我们得出结论，MH估值器与MpCN提案分布满足要求√N-CLT，当基本损失向量遵循ν>2且η>-ν。注意，在第5节的数值实验中，我们将d=3，ν=4。由于η+ν=137.935>0，CLT成立。2019年1月18日Koikeminami2019varcontarxiv表1。

在四种不同的风险模型下，四种不同的风险价值贡献估计值的估计值（偏差）和标准误差（均方根误差；RMSE）+。AC估计（偏差）：标准误差(√MSE）：估计器MC NW GR MH M C GR MH（1）帕累托+生存克莱顿：真实AC=（10.708，10.708，10.708）AC10.575 11.744 10.745 10.708 0.173 0.008 0.019（-0.133）（1.036）（0.037）（0.000）（0.218）（0.038）（0.019）AC10.138 10.547 10.635 10.724 0.169 0.008 0.020（-0.571）（-0.161）0.074）（0.016）（0.595）（0.074）（0.025）AC10.389 9.813 10.745 10.693 0.178 0.008 0.018（-0.320）（-0.896）（0.037）（-0.016）（0.366）（0.038）（0.024）（2）帕累托+t-copula：AC6.835 8.162 7.697 7.339 0.238 0.010 0.041（-0.362）（0.964）（0.499）（-0.121）（0.433）（0.499）（0.132）AC8.785 8.355 8.740 8.765 0.223 0.010 0.028（-0.122）（-0.167）（-0.023）（0.255）（0.168）（0.046（AC11.913 11.781 11.875 12.208 0.134 0.006 0.024（-0.293）（-0.426）（-0.332）（0.144）（0.322）（0.332）（0.148）（3）学生的t+生存克莱顿：真实AC=（5.647，5.647，5.647）AC5.592 5.693 5.662 5.617 0.081 0.006 0.018（-0.055）（0.046）（0.015）（-0.029）（0.098）（0.016）（0.034）AC5.410 5.722 5.642 5.665 0.079 0.006 0.019（-0.236）（0.005）（0.018）（0.249）（0.007）（0.026）AC5 5.473 5.517 5.636 5.658 0.082 0.006 0.018（-0.173）（-0.130）（-0.011）（0.011）（0.192）（0.012）（0.021）（4）学生t+t-copula：真AC=（2.996，3.745，6.741）AC2.821 3.0652.997 2.940 0.117 0.007 0.036（-0.176）（0.069）（0.001）（-0.056）（0.211）（0.007）（0.067）AC3.772 3.560 3.742 3.792 0.109 0.006 0.033（-0.185）（-0.004）（0.047）（0.112）（0.007）（0.057）AC6.564 6.852 6.745 6.751 0.043 0.011（-0.178（0.110）（0.003）（0.010）（0.183）（0.004）（0.015）+计算蒙特卡罗MC、Nadaraya Watson NW、广义回归GR、，andMetropolis Hastings M H估计量。除NW估计量外，计算标准误差。

所有方法的样本大小均为N=10。