，qmcmi- π'pmi'T（ci- pi）ci=(R)pi+δski=(R)pki∧Pmj=1qjeji-主键-1j=1qjsji+qk（k=1，2，…，u）π=Pmk=1qk？pki∧Pmk=1qkeki-Puk=1qkskiPmk=1qk？pki-Puk=1qkskieki=xki+nXj=1akji(R)pkj∧ykj公司（k=1,2，…，m）。与盈余支付效用函数一样，我们选择二次型来表示中心为ci（ab ove'pi）的椭球水平集，这样，如果小于'pi，则所有财富在资产1中，或'piwealth在资产1中，等等，直到ass e tu，并且剩余资产沿着比例线。4.2示例实用程序功能我们将考虑（2）中选择实用程序功能的三个可能的、有意义的选项的细节。这些是导致转移总规模最小化的效用函数，优先持有特定资产的效用函数，以及由企业售前定价的最终财富给出的效用函数。所有这三个示例效用函数都满足假设3.10和算法3.4的条件。示例4.3。考虑这样一种情况，即企业希望进行尽可能小的交易以履行其义务，并且一旦发生这种情况，就不再进行交易。当企业担心合理汇率的不确定性时，这种设置可能是合适的。在这种不确定性下，企业可能会选择将自身影响最小化，等待市场反应形成后再做出反应。本质上，这是一种在危机期间进行投资的“观望”方法。在本研究所研究的危机之后，随着价格的波动，公司将选择重新平衡加班时间。由于这项工作中模型研究的静态性质，这使我们能够捕捉危机的即时后果，而不是可能感受到的长期影响。

我们可以通过ui（ei；y）定义（2）的效用函数-i、 q）：=-（xki+nXj=1akji[(R)pkj∧ ykj]）k- ei公司.也就是说，公司i在交易后的持股量将是与交易发生前的初始网络模型最接近的可行点（基于欧几里得模型）。特别是，通过对范数的定义，Ui在其第一个共成分中是连续的、严格凹的和超模的。示例4.4。考虑企业可能希望最大限度地增加其在特定资产中的持股的情况*∈ {1，2，…，m}以牺牲所有其他as集为代价。在系统性危机中，企业可能会选择出售风险更高的资产或货币，以购买符合质量要求的更安全的资产或货币。这在货币危机期间发生过，例如1997年亚洲金融危机，尽管市场在这种交易中对美元不利，但由于当地货币的崩溃，企业仍会大量持有美元。这可以由一家希望以牺牲所有其他人的利益为代价最大限度地持有安全资产的公司来建模。我们可以通过UI（ei；y）定义（2）的效用函数-i、 q）：=埃克*我- “”主键*i、 也就是说，我公司将仅寻求最大限度地增加其在资产k中的持股*, 不考虑任何其他资产。特别是，这在其第一个分量中是平凡的连续、凹和超模。示例4.5。考虑这样一种情况，即考虑到售前利润，企业希望最大化自己的净值（以数字表示）。当企业认为售前价格是资产的“真实”价值时，这种设置是合适的。在这种观点下，该价格的任何变化都是由于当前的危机，但在危机结束后将反弹至售前价格。因此，企业希望以折扣（或溢价）购买资产，以获得好的交易。

在这种情况下，我们寻求最大化i（ei；y-i、 q）：=（ei- (R)pi）TF（0），它在感兴趣的域上是连续的、凹的和超模的。此外，在π为单态的条件下（如引理3.1中的假设），我们可以恢复得到的效用最大值Yi（y，q）是唯一的，因此对于每个λ，q 6=λF（0）∈ R++。将该效用函数与福利最大化效用进行比较，即当监管机构希望通过PNI=1ui（ei；y）衡量金融机构总体系统的福利最大化时-i、 q）同时对所有金融控股公司。利用这一效用函数，由于企业在qk<Fk（0）时购买资产，在qk>Fk（0）时出售资产，纳什均衡结算价格将与福利最大化结算价格相应，因为企业在这两种考虑下的行为是相同的。5数值案例研究在本节中，我们将考虑前几节中考虑的金融传染框架的两个数值实现。第一项研究是第4节中所述示例支付效用和效用函数的一个玩具式实现，以演示它们如何影响达到的均衡价格。然后，我们将对欧洲金融体系进行简要研究，并使用欧洲银行管理局（EuropeanBanking Authority）的数据进行校准，以将单一货币下的均衡解（如Eisenberg和Noe【2001】中所述）与希腊德拉克马在实际希腊脱欧事件中重新持有的反事实进行比较。示例5.1。对于第一个示例，请考虑具有两个电流的网络。在整个工作过程中，假设第一种货币作为数字资产，即F≡ 1.

为了模拟市场影响，将第二种货币的投资需求函数设为f（z）=^f（z）如果z≥ 0^f（α-1个(-z） ）如果z<0，则^f（z）=3 tan-1个(-z） +2π2π，其中α（z）：=z^f（z）是购买的第一个货币单位的数量，其中∈ 第二种货币的R单位正在出售。有关反向需求函数选择中固有的对称参数的讨论，请参见备注3.9。我们将考虑一个有20家公司和一个社会节点的系统，如推论3.2所述。由于这只是一个示例，我们将考虑随机金融网络的单一实现。在这两种货币中，独立地，每对公司有25%的概率有一个大小为1的连接。此外，每个公司都向外部节点欠下了两种货币中的1种，而外部节点没有欠回系统的任何款项。所有公司都从i.i.d.随机捐赠开始，统一选择0到20，然后在两种货币之间平均分配。为了演示不同的监管方案和效用函数如何随着初始冲击Q的变化改变系统的平衡，我们考虑了最小交易效用函数（示例4.3）和价值最大化效用函数（示例4.5）下的盈余、优先级和比例监管方案（示例4.1和4.2，分别为u=2和u=0）。在每种情况下，社会节点将遵循最小交易效用函数。此外，对于清算解决方案集的说明，对于不同的监管方案和效用函数，我们还将显示没有任何初始冲击的所有平衡价格，即q=f（0）=（1，1）T。图4显示了通过吨级处理q获得的价格*（q） 给定初始价格q=（1，q0,2）t，无论有无市场影响。我们注意到，获得的过程不需要在初始价格q中连续。

注意，价值最大化效用只有一条曲线，因为所有三种支付效用模式在该效用下产生几乎不可区分的曲线。进一步注意，在价值最大化效用下，唯一均衡价格由任何初始价格Q的未锁定价格F（0）=（1，1）t给出，并减轻了任何初始价格的冲击。此外，价值最大化效用（value maximizingutility）产生了一个连续的均衡响应，作为冲击价格q的函数。我们还想指出，所确定的清算价格不需要是连续的（如示例3.15所示）。似乎所有监管环境都在q0,2的低值下跳跃平衡。具体而言，在最小交易效用函数下，盈余支付效用函数在qs0,2处跳跃均衡≈ 0.605 fromq*（qs+）≈ 2.695至q*（qs-）≈ 0.364。类似地，优先级支付效用函数在qu=20,2时跳跃平衡≈ 1.413自q*（qu=2+）≈ 2.956至q*（qu=2- ）≈ 0.285。最后，比例支付效用函数在qu=00,2时跳跃平衡≈ 0.875自q*（qu=0+）≈ 3.001至q*（qu=0- ）≈ 0.331。压力价格q0,20.5 1.5 2 2.5 3 3.5 40.51.52.53.5初始价格q0,2与合成价格q的比较*无价格影响优先权比例财富最大化图4：示例5.1：无市场影响和盈余、优先权下有市场影响的已获得清算价格的比较，而双货币体系中的比例监管计划破坏了最小交易和价值最大化效用。出于演示目的，我们显示了在无初始冲击的情况下（即q=F（0））表1中四种情况下的所有清算机构和违约银行的集合。

我们想指出的是，在最小交易效用函数下，优先调节方案会在这种情况下产生唯一的均衡，均衡价格接近下限q=。这是由于货币1强制清算货币2，这在交易中造成了不存在的显著不对称，例如比例监管计划。我们进一步注意到，SURPLUS调节方案虽然是对称的非构造，但在平衡时是不对称的。这表明了一个概念，即网络的特定实现在可怕的对称性中起着重要作用（即，较高的负债或较低的资产将扭曲均衡结果）。最后，比例监管方案产生了多重清算解决方案，从而为联合清算持有量和价格的唯一性提供了反例。值得注意的是，选择不同的监管和效用函数会导致不同的企业均衡违约。示例5.2。现在让我们考虑一个根据数据校准的示例。我们将根据Eisenberg和Noe【2001】的金融传染框架，对之前研究（如Gandy和Veraart【2017年】、Chen等人【2016年】）中使用的EBA 2011年欧洲银行业数据集的网络模型进行校准。

尽管weUtility监管价格q*7 8 9 10 13 16 17 19最小交易surplus 3.2324 X X X X X X X X优先权0.2812 X X X X X X X比例0.3340 X X X X X X X X X X X X X X X 0.7625 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X最大化比例1.0000 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X值最大化比例1：示例5.1：无初始冲击的清算价格和违约公司的比较，即q=F（0），在盈余、优先权下，而双货币体系中的比例监管计划破坏了最小交易和价值最大化效用。利用此数据集可以获得更真实的网络，校准方法仍然需要启发式，因为此示例仍然仅用于演示目的。作为一个风格化的银行资产负债表，我们将考虑两类资产：银行间资产PNJ=1LJIANDENDOWENTS xi。我们还将考虑负债的类别：银行间负债PNJ=1Lij、外部负债Li0和资本ci。首先，我们将简要讨论如何校准Eisenberg和Noe【2001】模型，即当所有价值仅以numéraire资产计价时。EBA数据集提供有关总资产Ti、资本ci和银行间负债PNJ=1Lij的信息。为了确定Eisenberg和Noe【2001】模型所需的变量，我们将假设，如Chen等人【20 16】、Glasserman和Young【2015】中所述，银行间负债等于银行间负债，即setsPnj=1Lij=Pnj=1Lji。然而，我们将按照Gandy a和Vera art【2017年】中的讨论，稍微修改该条件；我们将对银行间资产进行少量扰动，以满足Gandy和Veraart【2017】的技术条件。此外，我们假设所有不属于银行间资产的资产都是捐赠，所有负债都不是资本或欠其他银行的债务都是欠社会节点0的。

在这些假设下，给定提供的值，我们通过xi=Ti确定风格化资产负债表的其余部分-nXj=1Lij，Li0：=Ti-nXj=1Lij- ci和'pi：=Li0+nXj=1Lij。在此校准下，公司i的净值等于其资本，即ci=Ti- ？pi。为了完成Eisenberg和Noe【2001】系统，我们需要完整的名义负债矩阵L。然而，EBA数据中没有提供这一矩阵。因此，我们将利用GANDY a和Vera art【2017】的方法，以估算一个与上述资产和负债数据一致的矩阵。我们考虑了给定Gandy和Veraart算法的名义负债矩阵L的单一重化，参数p=0.5，细化=10，nburn in=10，λ=pn（n-1） Pni=1Pnj=1Lij≈ 0.00122。由于校准方法的复杂性，我们只考虑了90家机构中的87家。DE029、LU45和SI058不包括在本分析中。首先，作为一个基线模型，我们运行Eisenberg和Noe【2001】的金融传染模型，以确定在欧元区仍然存在灰色，因此只使用单一货币的情况下的“实际”资源。在此场景中，假设没有外部压力，我们发现87家银行中没有一家会违约；这符合现实，因为2011年末没有一家公司倒闭。此外，由于该模型仅考虑单一资产，因此也没有证据表明存在实体销售。现在，我们希望考虑一种反事实的情况，即希腊不是欧元区成员国，并且再次拥有自己的货币德拉克马（即希腊退出欧元区的情况）。

为了更新校准以包括欧元和德拉克马，我们还需要考虑每家银行对希腊GEi的总（非主权）敞口。为了符号的简单性，设N={1，2，…，87}为所有银行的集合和G N是EBA数据集中六家希腊银行的集合。然后，使用艾森伯格和Noe【2001】fr amework（以下简称xENand LEN）的校准资产和负债，我们将资产和负债更新为Xi：=xENi- GEi，xi：=GEi我∈ N\\Gxi：=0，xi：=xENi我∈ GLij：=LENij，Lij：=0我∈ N\\Gj∈ N∪{0}Lij：=LENij，Lij：=0我∈ Nj∈ N\\GLij：=0，Lij：=LENij我∈ Gj∈ G∪ {0}。其中，第一项资产是欧元，第二项资产是德拉克马。也就是说，非希腊银行的资产以德拉克马计价，与希腊的敞口金额相当，其余主要资产以欧元s计价。相比之下，希腊银行持有的所有捐赠都以德拉克马重新计价。此外，欧元区银行对社会节点的债务以欧元计价，aGreek银行对社会节点的所有债务以achmas博士计价。最后，两家希腊银行之间的所有银行间负债均以德拉克马重新计价，否则所有银行间负债仍以欧元计价。在合并两种资产时，我们需要讨论反向需求函数。考虑一个逆需求函数，其形式如示例5.1所示。

也就是说，让第一项资产（欧元）作为numéraire资产，即F≡ 1，并让第二个资产（德拉克马）的投资需求函数由f（z）给出=^f（z）如果z≥ 0^f（α-1个(-z） ）如果z<0，则^f（z）=4 tan-1个(-bz）+3π3π希腊主权风险敞口要小几个数量级，因此纳入这些风险敞口不会对最终模型产生显著影响。其中b≥ 0是市场影响参数，α（z）：=z^f（z）是z时购买的欧元单位数∈ R单位的德拉克马正在出售。关于反向需求函数选择中固有的对称性，请参见备注3.9。我们将首先考虑将市场影响设定为固定水平，即b=10-4，然后考虑改变价格影响的影响。最后，我们需要考虑此设置的一些支付实用程序和实用程序函数。我们将考虑所有公司都将遵循优先监管计划（示例4.2，u=2），根据监管机构的偏好，优先考虑以当地货币支付的债务。也就是说，欧元区银行将优先使用欧元，希腊银行将优先使用德拉克马。此外，我们假设所有企业（和社会节点）都将遵循最小交易效用函数（示例4.3）。这是基于这样一个前提，即由于担心新德拉克马的转售，初始汇率（不丧失设定为F（0）=（1，1）T的一般性）不会受到不同机构的信任。

因此，由于“真实”汇率的不确定性，企业将保持保守，尽可能少地进行必要的交易。如果我们假设企业希望最大化其在欧元中的资产以实现稳定（例4.4），那么我们将看到德拉克马价值全面崩溃，但最终结果相似。现在，随着多重货币网络校准到希腊被迫退出欧元区的背景，我们可以模拟这一系统性事件。对于本案例研究，我们将只考虑没有初始冲击的设置，即q=F（0）和γ=0，价格影响由b=10给出-由于优先监管方案的选择，外部压力对德拉克马值的响应（即q0,2<1）只会对最终平衡产生轻微影响。图5a显示了更新后的价格SF（Pni=1（xi+[(R)pi∧ y*i（q）]-y*i（q）））给定迭代一次固定点问题后的初始价格q=（1，q）。我们注意到，由于逆需求函数的连续性和唯一持有量y，合成曲线是连续的*（q） （参见推论3.11的证明）。曲线上的标记点表示q的均衡价格*= （1，0.44331），即在清算后，德拉克马的价值将下降至其之前价值相对于欧元的44.331%。按照这个均衡价格，我们发现有三家银行可能倒闭，尽管这些银行都不在希腊。

这是由于大量希腊银行负债（银行间负债和社会负债）以德拉克马计价，因此与因达拉赫马贬值的债务隔离开来。然而，我们发现，该数据集中包括的塞浦路斯两家银行（马菲人民银行和塞浦路斯银行）和葡萄牙商业银行都会因对希腊的大量敞口而倒闭。虽然相对于其他任何非希腊银行而言，希腊银行的相对风险敞口要多出一个数量级，但葡萄牙商业银行的相对风险敞口排名第三。因此，我们可以看到一场以希腊为中心的危机，尽管在如此大规模的汇率变动下，希腊经济可能会受到影响，但这场危机将给希腊带来巨大的压力。我们想指出的是，这三家违约银行在2012年或2013年都得到了救助或ZF干预。欧元区能够扩展到欧元区其他国家的机构。特别是，如果我们的研究将希腊脱欧事件与一些外来压力与不同银行的资产负债表相结合（这种情况可能会发生），那么我们将发现欧元区和希腊都存在大量违约。我们希望通过考虑改变价格影响参数b的影响来结束这个例子，之前，价格影响参数b被固定为10-4、所有其他参数与前面的考虑保持不变。值得注意的是，这包括以下假设：不存在初始危机，所有价格变动都是所考虑的企业行动的结果。图5b显示了价格影响参数b变化下达到的均衡价格。值得注意的是，即使是很小程度的价格影响也会导致希腊德拉克马相对于欧元的价值大幅下降。

这使我们对我们发现的价格影响b=10的确定结果的可信度达到c级-4尽管反向需求函数没有按照资产负债表的方式进行数据校准。初始价格q0.5 1 1.5 2 2.5 30.51.52.5初始价格qto更新价格的比较q*=（1，0.44331）t总默认值：3希腊默认值：0（a）转售价格输出的图形表示（价格影响b=10-4） 。标记点表示唯一的均衡价格。文本框提供了有关均衡价格和所经历的银行失败的关键信息。0 0.5 1 1.5 2.5 3市场影响b×10-40.40.50.60.70.80.9市场影响b对均衡价格的影响q*（b）价格影响参数b的影响≥ 0在以欧元计价的希腊德拉克马获得清算价格后。图5：示例5.2：在优先监管方案和最小交易效用下，无任何初始压力下，以ineuros计价的希腊德拉克马的零售价格的图形表示。6结论在本文中，我们考虑了对Eisenberg和Noe[200 1]的传染模型的扩展，以允许在多个资产中承担义务。在这样做的过程中，我们编写了一个数学模型，该模型将更多现实因素纳入到金融传染中，包括多种货币的债务，并允许溶剂企业购买或出售超出满足债务所需的资产（通常是这样假设的，如C ifuentes等人【2005年】、Amini等人【2016年】、Feinstein【2017年】、Feinstein和El Masri【2017年】）。在没有价格影响的市场下，我们证明了均衡投资组合持有的存在性和唯一性，其中每个企业都是效用最大化者。然后，我们推广了这个结果，以证明在具有价格影响的市场中存在清算价格。

此外，我们还考虑了吨级过程，以确定在2资产环境中市场将收敛到哪个平衡。正在进行数值研究，以证明所提出模型的效用，以及支付监管框架的选择可能会如何影响实际汇率。特别是，我们考虑了一个欧洲金融体系的程式化例子，特别是希腊金融体系，其反事实条件是希腊德拉克马被重新安装。引理3.1第3节的证明。修复q∈ Rm++。（i） 定义Gi：[0，\'pi]→ R为线性映射Gi（pi）=任何pi的qtpi∈ [0，π]。注意，Pi（y，q）的（凸）预算构造等价于Pi∈ G-1i-∞,mXk=1qkxki+nXj=1akji(R)pkj∧ ykj公司.此外，预算约束的上界在y中是不递减的。利用支付效用函数的严格凹性，可以保证任意y的最大化器Pi（y，q）的唯一性∈ Rn×m+，由此得出Pi（·，q）是Quah【2007】的推论2（ii）的非减量。现在，我们希望表明，易建联（·，q）也是不减损的。也就是说，Yi（y，q）≤ Yi（y′，q）表示anyy，y′∈ Rn×m+带y≤ y′。取y，y′∈ Rn×m+带y≤ y′。如果Pi（y，q）6=’pithen，通过构造和支付函数Pi（·，q）的单调性，我们发现（y，q）=Pi（y，q）≤ Pi（y′，q）≤ Yi（y′，q）。设Pi（y，q）='Pi（因此，Pi（y′，q）='Pi由Pi（·，q）的单音性决定）。现在确定Gi：？pi+Rm+→ R为上述相同的线性映射，即Gi（ei）=qTei。与支付函数一样，Yi（y，q）和Yi（y′，q）的可行区域可以分别由g提供-1i-∞,mXk=1qkxki+nXj=1akji(R)pkj∧ ykj公司,G-1i-∞,mXk=1qkxki+nXj=1akji(R)pkj∧ y′kj.同样，该区间的上限是投资组合持有参数的非减损。

假设Yi（y，q）和Yi（y′，q）是唯一的最大化子，我们应用Quah[2007]的推论2（ii）来确定Yi（y，q）≤ Yi（y′，q）。最后，我们将塔斯基不动点定理（例如，参见Z e惰轮[19 86]的定理11.e）应用于映射Y（·，q）：Rn×m+→ Rn×m+至re c，超过结果。（ii）根据（i）我们知道（y↑i（q）- (R)pi）+≥ （y）↓i（q）- (R)pi）+。通过矛盾的方式，假设存在机构i和资产k，这样（y↑ki（q）- (R)pki）+>（y↓ki（q）- (R)pki）+。这立即意味着Pni=1qT（y↑i（q）- (R)pi）+>Pni=1qT（y↓i（q）- “pi）+通过qk>0计算每个ass e t k。然而，nXi=1qT（y↑i（q）- (R)pi）+=nXi=1qT（y↑i（q）- [(R)pi∧y↑i（q）]）=nXi=1（qTxi+mXk=1qknXj=1akji[(R)pkj∧ y↑千焦（q）]- qT[(R)pi∧ y↑i（q）]）=nXi=1qTxi+nXk=1qknXj=1[(R)pkj∧ y↑kj（q）]nXi=1akji-nXi=1qT[(R)pi∧ y↑i（q）]=nXi=1qTxi+nXj=1qT[(R)pj∧ y↑j（q）]-nXi=1qT[(R)pi∧ y↑i（q）]=nXi=1qTxi=nXi=1qT（y↓i（q）- \'\'pi）+其中，最后一个等式通过对y应用相同的运算来实现↓按相反的顺序。这就产生了我们的矛盾↑i（q）- (R)pi）+=（y↓i（q）- “pi）+适用于每家银行i.推论证明3.2。首先，如果银行i拥有正权益，那么根据引理3.1（ii），它会立即出现以下情况↑i（q）=y↓i（q）。尤其是对于节点0，这一点必须成立，因为它的定义为正等式。为了便于说明，设E+：={i∈ {1，2，…，n}| y↓i（q）≥ “pi”是一组拥有正权益的公司。让我们假设存在一些表i 6∈ E+和资产k，以便y↑ki（q）>y↓ki（q），然后立即将社会节点权益的市值换算为0 Satifiesqty↑（q） =mXk=1qkXj∈E+akj0？pkj+mXk=1qkXj6∈E+akj0y↑kj（q）>mXk=1qkXj∈E+akj0？pkj+mXk=1qkXj6∈E+akj0y↓kj（q）=数量↓（q） 。但这与y相矛盾↑（q） =y↓（q） 。推论3.11的证明。首先，我们要证明，给定固定价格q下投资组合持有量的唯一性（由推论3.2保证），均衡持有量y*: 【q，q】→ Rn×m+连续。

理论。Feinstein et al.（2017）的第2条保证*在产品拓扑中是闭合的。现在我们注意到，持有量可以达到的范围空间实际上是凸紧集qni=1'Ei其中'Ei=mYk=10，qkmXl=1qlxli+nXj=1alji？plj.因此，通过闭图定理（参见，例如，【Aliprantis and Border，2007，定理2.58】）可以证明连续性。这使得我们可以直接应用布劳沃不动点定理（参见，例如，【Aliprantis and Border，2007，推论17.56】）来确定均衡价格Q*= FnXi=1（xi+[(R)pi∧ y*i（q*)] - y*i（q*))!.命题3.14的证明。定义α：[q，q]→ Rmbyα（q）：=Pni=1（xi+[(R)pi∧ yi（q）]- yi（q））。此外，考虑V:[q，q]→ R由V（q）提供：=γTq+A（q）-mXk=1Zqkf-1k（p）dp，其中A：[q，q]→ R定义为具有梯度α的多元函数。目前，我们将假设A存在，在这个证明的最后，我们将说明在受限m=2 asse t设置下的情况。通过这种构造，我们发现ddtV（qt）对于吨级过程的任何轨迹qt都是负的，即ddtV（qt）=γ+α（qt）- F-1（夸脱）T（F（γ+α（qt））- qt）≤ 这是因为e[γ+α（q）- F-1（q）]k≥ 0当且仅当Fk（γ+α（q））≤ qksince Fk（γ+α（q））=Fk（γ+α（q）- F-1（q）+F-1（q））和逆需求函数的单调性。事实上，ddtV（qt）=0，当且仅当qt是一个均衡价格，由于前面的相同论点。根据拉萨尔不变性原理（参见，例如，【Khalil，2002，定理4.4】），任何轨迹的累积点集等于均衡价格集。此外，自qt∈ [q，q]每次t≥ 0时，t–tonment过程接近清算过程集→ ∞.最后，我们希望保证函数A的存在：[q，q]→ 所以它的梯度等于α。

为此，我们将自己限制为m=2资产设置，因为从功能上讲，我们可以将ourinput q仅视为其第二个参数（由于我们选择了numéraire）。也就是说，我们可以考虑insteadV（q）=γ0,2q+Rqα（p）dp-Rqf-1（p）dp。参考Charalambo s D.Aliprantis和Kim C.Border。有限维分析：搭便车指南。Springer，2007年。乔治·阿拉扬尼斯、格雷戈里·W·布朗和莱奥拉·F·克拉珀。资本结构和金融风险：东亚外债使用的证据。《金融杂志》，58（6）：2667-27102003。Hamed Amini、Damir Filipovi'c和Andreea Minca。中央对手方清算的系统性风险。瑞士金融研究所研究论文第13-34号，瑞士金融研究所，2015年。Hamed Amini、Damir Filipovi'c和Andreea Minca。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-52016。扬尼克·阿门蒂（YannickArmenti）、斯特凡·克雷佩（StéphaneCrépey）、塞缪尔·德雷波（SamuelDrapeau）和安东尼斯·帕潘托伦（AntonisPapapantoleon）。多变量短期风险分配和系统性风险。《暹罗金融数学杂志》，9（1）：90–1262018年。Jean-Pierre Aubin和Hélène Frankowska。集值分析。系统与控制。Birkh"auser，1990年。Tathag ata Banerjee和Zachary Feinstein。或有付款对金融网络系统风险的影响。数学和金融经济学，2019年。内政部：10.1007/s11579-019-00239-9。Tathag ata Banerjee、Alex Bernstein和Zachary Feinstein。金融网络中的动态清算和传染。2018年，工作文件。斯特凡诺·巴蒂斯顿、圭多·卡尔达雷利和马可·德埃里科。《作为互联网络纽带的金融系统》，第195-229页。斯普林格国际出版社，2016年。弗朗西斯·卡比亚吉尼、让·皮埃尔·福克、马可·弗里特利和蒂洛·迈耶·布兰迪斯。通过验收集实现系统风险度量的统一方法。

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