，FT）是由分量投影（ξ，…，ξT）生成的西格玛代数ft7组成的过滤→ （ξ，…，ξt）。此外，设ξ=（ξ，…，ξT）∈ rmt距离定义为kξ-ξk：=PTt=1kξt-^1ξtk。定义3。分布P和▄P的嵌套距离dI定义为dI（P，~P）：=infπ¨kξ（ω）-Иξ（￠ω）kπ（dω，d￠ω）s.t.πA×Rm英尺英尺= PhA公司FtiA公司∈ 英尺；t=1，TπRm×B英尺英尺=PhBFtiB∈英尺；t=1，T、 为了解释这一定义，两个多级概率分布之间的嵌套距离是通过最小化所有运输计划π来获得的，这与过滤结构兼容。对于单个周期（即T=1），嵌套距离与Kantorovich-Wasserstein距离一致。P flug和Pichler[30，Th.6.1]证明了以下多级随机优化问题稳定性的基本定理。定理5。设P和▄P分别为过滤系数F和▄F的嵌套分布。考虑多级随机优化问题v（P）：=infEP[Q（ξ，x）]：x∈ 十、 X个 F,其中，对于任何ξ固定，Q在决策x=（x，…，xT）中是凸的，对于任何x固定，在场景过程ξ=（ξ，…，ξT）中，具有常数L的Lipschitz。假设集合x是凸的，约束x F表示决策可以是随机变量，但必须适应过滤F，即必须是非能动的。然后目标值v（P）和v（~P）满足v（P）- v（￠P）≤ L·dI（P，~P）。有限场景树比一般随机过程更容易处理。对于有限树，其中每个节点m都有一个唯一的前置节点，我们为其直接后续节点集编写m+。用Nt表示树模型P阶段t的所有节点集。对于节点i∈ 设P[i | m]是从m到i的条件转移概率。定义4。

场景树P和▄P的嵌套距离定义为dI（P，~P）：=最小π≥0XiXjπi，j·Di，js。t、 Xj公司∈l+π（i，j | k，l）=P[i | k]我∈ k+；（k，l）∈ （Nt××Nt）；1.≤ t<TXi∈k+π（i，j | k，l）=▄P【j | l】j∈ l+；（k，l）∈ （Nt××Nt）；1.≤ t<tπi，j≥ 0和xixjπi，j=1。（22）运输计划的矩阵π和承载路径成对距离的矩阵D在NT××NT上定义。（22）中的条件联合概率π（i，j | k，l）由π（i，j | k，l）=πi，j·[π]给出∈k+Pj∈l+πi，j]-用有限树逼近随机过程。随后的结果来自【31，第4.26款】。定理6。如果随机过程ξ=（ξ，…，ξT）满足第3.2节假设A4.5中给出的Lipschitz条件，则对于每一个ε>0，都有一个分布为P的随机过程，该随机过程定义在一棵有限树上，并且满足di（P，~P）≤ ε、 其中P是ξ在过滤空间上的分布(Ohm, F） 。