具有一般交易的多资产期权定价问题

2022-5-31 08:07:53

具有一般交易成本的多资产期权定价问题。Amster1,2和A.P.Mognidepartmento de Matem\'atica，Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires andIMAS-CONICETCiudad Universitaria，Pabell\'on I，1428 Buenos Aires，Argentina邮件：pamster@dm.uba.ar-amogni@dm.uba.arAbstractWe考虑一个Black-Scholes型方程，该方程产生于具有一般交易成本的多资产期权的定价模型。因此，利兰的开创性工作以两种不同的方式展开：一方面，问题是多方面的，因为它涉及不同的基础资产；另一方面，交易成本不假定为常数（即交易量的固定比例）。在这项工作中，我们推广了Leland的条件，并利用Perron方法证明了相应的全非线性初值问题的粘性解的存在性。此外，我们开发了一个数值ADI格式，以找到近似解。我们将此方法应用于特定的多资产衍生工具，并获得不同定价方案下的期权价格。关键词：非线性抛物微分方程、期权定价模型、利兰模型、交易成本、佩龙方法、ADI拆分方案2010 MSC:35K20、35K55、91G20、91G601简介Black-Scholes模型[3]依赖于不同的假设，如波动率和利率的常数值、股息收益率的不存在、，市场的效率和交易成本的不存在，等等。按照Leland的方法【15】，通过应用离散时间复制策略，交易成本可以包含在定价方法中。

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2022-5-31 08:07:56

得到了期权价格的非线性偏微分方程，用V（S，t）表示；即五、t+^σS五、SS五、S+rS五、S- rV=0，（1.1），其中^σ是根据交易成本函数定义的。例如，如果交易成本由固定利率C确定，则^σ由^σ给出S五、S= σ1.- 勒斯根S五、S=（σ（1- Le）如果五、S> 0σ（1+Le）如果五、S<0，其中Le=qπCσ√这是利兰的号码。不同的作者扩展了最初的方法。文[4]通过建立一个具有恒定交易成本的二项式期权定价模型，研究了离散近似。文献[9]给出了Leland方法论在期权组合中的推广，并研究了解的存在性。在[7]中，使用上下解的方法来研究原始平稳问题。此外，对原始对冲策略的分析见【6】，并在【16】中考虑了对策略的修改，以确保近似误差在限值内消失。交易成本函数的不同选择导致部分微分方程的非线性项发生变化。在[1]中，作者提出了一个非递增线性函数，并找到了平稳问题的解。在[19]中，对交易成本函数的概念进行了推广，并对交易成本函数进行了所谓的均值修正。这种变换允许作者通过求解等价的拟线性Gamma方程来建立一个广义的一维Black-Scholes方程。此外，还研究了在期权定价框架中引入交易成本所产生的非线性问题的粘性解。[5]的开创性工作是通过比较作者可用的最大效用来确定期权价格，从而解决两个随机最优控制问题。

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2022-5-31 08:08:00

这些问题的值函数是唯一的粘度解。此外，[2]的工作使用效用函数和偏微分方程的无症状分析来量化欧洲看涨期权问题对偏好的依赖性。上述著作的主要区别在于，它们都只考虑了偏微分方程中的一种资产。在[20]和[21]中，作者推广了Leland方法，以涵盖不同类型的多资产期权，发展了非线性偏微分方程，并数值求解了一系列示例。本文证明了具有一般交易费用函数的多资产期权定价问题的粘性解的存在性。我们推导出以下非线性问题-Vτ+LV=G（V）inOhm ×[0，T]V（x，…，xN，0）=V（x，…，xN）英寸Ohm （1.2）其中Ohm = RN，V是期权价格，L是椭圆算子，G是非线性项，是初始条件。这个问题可以用一个非线性椭圆算子F重写为-Vτ+F V=0英寸Ohm ×[0，T]V（x，…，xN，0）=V（x，…，xN）英寸Ohm （1.3）本演示有助于我们介绍Perron方法，以确定粘度溶液。事实上，在我们的工作中，我们证明了Leland条件的推广是必要的，这样非线性算子F就可以生成椭圆，并且可以找到解。通过正确定义问题（1.3）的子解和上解，并回顾比较原则，我们使用Perron方法来推导解的存在性。在工作的第二部分，我们开发了一种数值方法，以便使用迭代方法找到解决方案。为此，在分裂算子族中选择了交替差分隐式（ADI）格式。

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2022-5-31 08:08:03

不同的著作【12、13、18、17】研究了这种方法在处理离散化的混合导数项时的适用性。在多维问题上，与经典的Crank-Nicholsonscheme相比，ADI方法可以通过应用三对角矩阵算法有效地解决PDE问题。在本节中，我们提供了有关数值格式收敛性、最终输出对时间参数选择的敏感性以及期权价格中交易成本的影响的结果。本文的结构如下。在第2节中，我们推导了非线性偏微分方程，该方程解释了考虑一般交易成本函数的多资产衍生工具期权价格的动态性。在第3节中，我们应用所有必要的步骤，用Perron方法证明粘性解的存在性。最后，在第4节中，我们开发了ADI框架，以找到一个强大的解决方案，并为特定的多资产衍生产品定价。2多个资产和一般交易成本的PDE推导functionlet∏是包含δiof asset Si和时间t时这些资产的期权V的投资组合。该投资组合可以用∏=V+NXi=1δiSi表示。（2.1）如果我们确定作为过程的一步变化（即yt=yt- 年初至今-1），通过应用It^o公式overV，我们得到五=五、t型t+NXi=1五、Si公司Si+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司t、（2.2）交易成本在计算时出现π，表示每次t时投资组合的变化。具体而言，投资组合的变化表示为∏=V+NXi=1δiSi+NXi=1T Ci，（2.3）其中T ci是购买或出售δiassets of Si时的交易成本金额。取δi=-VSi，Weget∏=五、-NXi=1五、Si公司Si公司-NXi=1T Ci。（2.4）按照【19】中的方法，可以看出T Ci=SiC(|δi |）|δi |，（2.5），其中C是交易成本函数。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:08:06

通过定义riT Cto为单位时间间隔内交易成本变化的预期值t和price Si，我们看到rit C=E[T Ci]Sit=E[C(|δi |）|δi |]t、因此，我们通过交易成本函数的预期值来近似交易成本，该函数应用于购买或出售的资产金额，并再次乘以这些金额。然后将该值乘以资产Si的价格，以获得货币形式的交易成本。应用（2.4）中的（2.5）并使用V，我们获得∏=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司t型-NXi=1SiriT Ct、（2.6）根据假设∏=r∏t和（2.6），我们得到RV+NXi=1 IT CSi=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、SiSi（2.7），其中riT CSi=E[T Ci]t=E[C(|δi |）|δi | Si]t、方程（2.7）是非线性偏微分方程，表示在定义一般交易成本函数时，多资产期权的期权价格行为。为了得到偏微分方程的完整表达式，我们必须计算δi。根据前面的步骤，我们知道δi=-五、Si公司~NXj=1五、Si公司Sj公司SJ只接受订单条款t1/2。注意到Sj公司~ σjSjφj√t、 φj作为标准正态变量，我们发现|δi |=NXj=1五、Si公司Sj公司Sj公司=NXj=1五、Si公司Sj公司√tσjSjφj=√t型NXj=1五、Si公司SjσjSjφj.设置Φi=PNj=1五、Si公司SjσjSjφj，我们得到Φi~ N（0，Θi），Θi=NXj=1NXk=1五、Si公司Sj公司五、Si公司SkσjσkρjkSjSk。（2.8）其中ρjk是φjandφk之间的相关参数。因此，riT CSi=E[T C]t=E[C(|δi |）|δi | Si]t型=√t EhC公司√t |Φi||Φi | Siit=Si√tEhC√t |Φi||Φi | i.（2.9）使用（2.7）中的（2.9），我们发现以下非线性偏微分方程对多资产期权的动态进行建模。rV+NXi=1Si√tEhC公司√t |Φi||Φi | i=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、西西。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:08:09

（2.10）3所得PDE3.1解的存在性定义非线性问题设C为可测有界交易成本函数，使得C:R+→ R+，C∈ LR+设C，C＞0，使得每x的C＜C（x）＜C∈ R+。此外，我们表示Ohm = 注册护士，Ohm+= RN+，OhmT=[0，T]×RNandOhm+T=[0，T]×RN+。让我们定义G为非线性算子S、 DV=NXi=1Si√tEhC公司√t |Φi||Φi | i（3.1）=NXi=1Si√trπpΘiZ+∞Cpt 2Θiy是的，是的-ydy（3.2），其中Θiis由Θi=NXj=1NXk=1给出五、Si公司Sj公司五、Si公司SkσjσkρjkSjSk。（3.3）其中ρjk是φjandφk之间的相关参数，这两个标准正态变量。此外，设usdenote L为以下抛物线算子L（τ，S，V）=-rV-五、τ+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、西西。（3.4）然后，我们定义了多资产期权定价问题的非线性偏微分方程，一般交易成本为ofL（τ，S，…，SN，V）=GS序号，DV在里面Ohm+×[0，T]V（0，S，…，SN）=V（S，…，SN）inOhm+（3.5）我们的目标是找到问题（3.5）的粘度解决方案。为此，我们将把问题（3.5）重写为与[11]符号匹配的问题。因此，我们将非线性抛物方程重新定义为五、τ+Fτ、 S、V、DV、DV= 0（3.6），其中fτ、 S、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司- rNXi=1五、SiSi+rV+GS、 DV. （3.7）备注3.1。方程式（3.6）可以按照矩阵形式重写。

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2022-5-31 08:08:12

如果我们将矩阵A表示为（A）ij=σiσjρijsij（3.8），那么函数F可以设置为Fτ、 S、V、DV、DV= -tr公司DV- rDV·S+rV+GS、 DV（3.9）对于对应于函数G的非线性项，我们首先注意到Θiis的值等于乘积DV A DV对角线的第i项，即Θi=DV A DVii（3.10）那么，函数G以矩阵形式表示为GS、 DV=NXi=1Si√trπq（DV A DV）iiZ+∞Cqt 2（DV A DV）iiy是的，是的-ydy（3.11）3.2退化椭圆度和Leland的条件3.2.1导出这些条件我们将使用Perron方法证明问题（3.6）的粘性解的存在性。该方法的主要思想是构造一个u形下解-非线性抛物型方程的上解，如-≤ u+。此外，还可以构建一个位于-和u+，可以看到下解的下半连续包络是上解。在应用Perron方法之前，我们需要对非线性算子F设置不同的条件。让我们首先介绍退化椭圆的定义。为此，我们将SNas表示为N维平方对称矩阵的空间。定义3.1。一个非线性函数F:[0，T]×Ohm+×R×RN×SN→ R是退化椭圆ifX≤ Y型==> F（t，x，p，s，x）≥ F（t，x，p，s，Y）。（3.12）考虑到退化椭圆的定义，我们必须设置相应的条件，使非线性函数F符合条件（3.12）。

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2022-5-31 08:08:15

让我们首先指出函数F对二阶导数分量Y的微分为dyf（t，x，p，s，B）=F（t，x，p，s，Y）YY=B（3.13）根据定义3.1，给定一个正定义矩阵U，我们希望看到dyf（t，x，p，s，Y）（U）≤ 0如果此条件已满足，我们可以使用中值定理证明算子F是退化椭圆（t，x，p，s，Y）-F（t，x，p，s，x）=DYF（t，x，p，s，B）·（Y- 十）（3.14）=0，其中B∈ （X，Y）和Y- X是正定义矩阵。让我们回顾一下Leland条件，它存在于具有常数transactioncosts函数的一维问题中。该条件的目的实际上是定义一个退化椭圆算子，使得对应于二阶导数的系数矩阵为有限正。在我们的工作中，广义德兰条件将起到相同的作用，并将从以下两个引理中推导出来。第一个引理表明，如果微分矩阵DYF是对称的，则评估任何有限正矩阵上的微分就等于计算微分矩阵和相应有限正矩阵之间的乘积轨迹。引理3.2。设U为正定义矩阵，D为关于分量Y的微分矩阵。然后，T r（D U）=D（U）证明。让我们通过使用Frobenius内积的定义来了解结果。从D和正定义矩阵U之间的积迹的定义以及矩阵D的对称性，我们得到了tr（D U）=NXi=1NXj=1DijUji=NXj=1NXi=1djujinow，我们可以安排项，使tr（D U）=D·U=D（U）第二个引理表示，我们可以表征微分矩阵特征值的符号DYF和有限正矩阵U之间乘积迹的符号DYFin项。引理3.3。设U为正定义矩阵。

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2022-5-31 08:08:19

那么DYF是负定义的当且仅当T r（DYF U）≤ 0对于所有U≥ 0.证明。让我们开始观察，由于DYF是一个对称矩阵，因此存在对角矩阵D和基矩阵C的变化，使得D=C-1DC。那么，我们得到Tr（DYF U）=TrC-1D C U= Tr公司C-1D C U C-1C级. （3.15）如果我们表示W=C U C-1，可以重写前面的方程asr（DYF U）=TrC-1D W C= Tr公司D W, （3.16）式中，W为正定义矩阵。利用最后一个等式，我们可以证明我们的陈述。如果Tr（DYF U）≤ 0对于所有U≥ 0，让我们选择一个稀疏矩阵U，使得列j对应于标准向量ej。然后，W=U和DW=λj。使用T r（DYF U）的事实≤ 0，我们推断每个λj<0。现在我们假设DYF为负定义。然后，TrD W=NXi=1DiiWii<0（3.17），因为每个DiiWii都是负的，每个wii都是正的。引理3.2和3.3都可以在以下行中恢复：如果微分矩阵DYF是对称的，对于所有矩阵U≥ 0以下等效值有效yf≤ 0<==> Tr（DYF U）≤ 0<==> DYF（U）≤ 0回顾（3.14），矩阵Y-X定义为正，因此通过丢弃依赖关系，不等式变得- FX=DYF（Y- 十）。（3.18）因此，如果微分矩阵DYF是对称负微分，则非线性算子F是退化椭圆的。在下一节中，我们将看到对称定义为负的条件是针对具有恒定交易成本的一维问题定义的利兰条件的推广。3.2.2微分矩阵计算在本节中，我们计算关于非线性项F的二阶导数的微分矩阵。

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2022-5-31 08:08:22

让我们回忆一下方程式（3.9），使得f（t，x，p，s，B）=-tr（A B）- rs·S+rp+G（S，B）（3.19）然后，通过应用标准计算并丢弃函数依赖关系，我们得到了thatDYF（t，x，p，S，B）=-Btr公司A、B+BG（S，B）（3.20）第一个导数随后回顾了迹函数的线性和矩阵A的对称性。然后，Btr公司A、B=A（3.21）二阶导数涉及对交易成本条款应用产品规则。然后BG（S、B）=BNXi=1Si√trπvuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞Cvuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy公司=NXi=1Si√trπBvuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞Cvuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy+vuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞卑诗省vuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy公司（3.22）上述计算可通过分析两个导数来解决。第一个对应于（3.3）中定义的Ifunction。该项导数的计算在A中完成，并由下式给出BpΘi=Θ-1/2i[AB+BA]。（3.23）二阶导数对应于交易成本函数C相对于matrixB的导数。同样，完整的计算在A中给出。然后，关于矩阵B的导数等于卑诗省第2季度t（BAB）iiy= C（Hi（y））y[AB+BA]rtΘ-1/2i（3.24）现在，我们可以写出方程（3.20）asDYF（t，x，p，s，B）=-A+2NXi=1Si√trπΘ-1/2i[AB+BA]Z+∞C第2季度t（BAB）iiy是的，是的-ydy+[BA+AB]rtZ公司+∞C第2季度t（BAB）iiyye公司-ydy#DYF（t，x，p，s，B）=-A+[BA+AB]√trπNXi=1SiΘ-1/2英寸+∞C第2季度t（BAB）iiy是的，是的-ydy+rtZ公司+∞C第2季度t（BAB）iiyye公司-ydy#。（3.25）方程（3.25）定义了非线性抛物算子F的微分矩阵相对于二阶导数分量的最终状态。引理3.2和3.3中的广义Leland条件要求微分矩阵DYF为有限负。

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2022-5-31 08:08:26

事实上，我们可以检查，当N=1且交易成本C的函数为常数时，该条件是否减少到原始利兰条件。备注3.4。让我们证明，在交易成本不变的一维情况下，我们的条件有效地简化为Leland的条件。为此，我们在一维情况下指定A、Θ和C。那么，A=Sσ，Θ=五、SσS，Cp2级t（DV ADV）y=§C（3.26）如果我们将此定义应用于方程（3.25），则得到该DYFt、 x、p、s、，五、S= -Sσ+2五、SSσ2 S√trπИC五、SSσ-1/2=-Sσ+Sσsgn五、SS√trπИC2σS=Sσ“-1+～C√trπσsgn五、S#（3.27）那么，DYF为负当且仅当▄C√trπσ<1（3.28）3.3 Perron方法解的存在性让我们从设置框架开始，应用著名的Perron方法来推导粘度解的存在性。我们将首先应用变量的变化，以便用常数系数定义非线性算子F。然后，我们应用变量sxi=log（Si）的变化，使非线性算子F成为τ、 x、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρij五、xixj公司-NXi=1五、xir-σi+ rV+Gx、 DV, （3.29），非线性函数G变为Gx、 DV=NXi=1exi√trπpΘiZ+∞Cpt 2Θiy是的，是的-ydy，（3.30），带Θi=e-2xiNXj6=iNXk6=i五、xixj公司五、xixkσjσkρjk+2NXj6=i五、xixj公司五、xi-五、xiσiσj+五、xi-五、xiσi.（3.31）给定方程（3.29）和（3.30），我们的Dirichlet问题变成五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV= 0英寸Ohm ×[0，T]V（0，x，…，xN）=V（x，…，xN）英寸Ohm （3.32）其中V（x，…，xN）是初始条件。因此，这项工作的主要定理定义为以下定理3.5。假设关于非线性算子F的Hessian矩阵的微分矩阵为负定义。然后，问题（3.32）至少有一个粘度解。在进行定理证明之前，我们将陈述一些重要的定义，这些定义将在之后使用。

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2022-5-31 08:08:29

给定一个开放集OhmT RN+1，我们记得对于所有序列（sn，yn），V在（t，x）处是下半连续（LSC）或上半连续（USC）→ （t，x），V（t，x）≤ lim信息→∞V（sn，yn）（LSC）V（t，x）≥ lim支持→∞V（sn，yn）（USC）。此外，我们定义了V*V的下半连续包络是位于V和V之下的最大下半连续函数*对应的V上半连续包络是位于V上的最小上半连续函数。让我们继续介绍粘度溶液的定义，这是我们将寻找的解决方案类型。让我们回忆一下OhmT=[0，T]×r和函数V∈ C1,2(OhmT）。然后，我们有以下定义。定义3.6。如果U是上半连续的，则U是（3.32）的次分辨率，如果，对于所有（t，x）∈ OhmTand所有测试函数φ，使U≤ φ在（t，x）和U（t，x）=φ（t，x）的邻域中，我们有φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≤ 0。（3.33）U是（3.32）的上解，如果U是下半连续的，如果，对于所有（t，x）∈ OhmTand所有测试功能φ，使U≥ φ在（t，x）和U（t，x）=φ（t，x）的邻域中，我们有φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≥ 0。（3.34）最后，如果U既是子解又是上解，则U是（3.32）的解。现在我们可以介绍Perron方法来找到问题的解决方案（3.32）。首先，我们要求非线性算子F是退化椭圆的。然后，Perron方法定义如下。定理3.7。假设w是问题（3.32）的子解，v是问题（3.32）的上解，因此w≤ v、假设问题（3.32）有一个满足边界条件u的下解u和上解u*（t，x）=u*（t，x）=g（t，x）。那么，W（t，x）=sup{W（t，x）：u≤ w≤ u和w是（3.32）}的一个子解。

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能者818

2022-5-31 08:08:31

（3.35）为了应用Perron方法，我们首先必须设置问题的下解和上解（3.32）。然后，我们必须构造一个最大子解，使其位于子解和上解之间。最后，我们必须确定适当的比较原则，以便定理3.7中定义的边界条件成立。因此，让我们从回顾等价的“Black-Scholes”线性问题开始。如果我们将线性椭圆算子表示为Fτ、 x、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρij五、xixj公司-NXi=1五、xir-σi+ rV，（3.36）则存在问题的唯一解∧五、τ+~Fτ、 x、V、DV、DV= 0英寸Ohm ×[0，T]V（0，x，…，xN）=V（x，…，xN）英寸Ohm （3.37）基于此唯一解∧的存在性，我们将构造我们的子解和上解。然后，下面的引理给出了问题（3.32）的子解和上解。引理3.8。设F为方程（3.29）中定义的非线性椭圆算子。然后，以下函数是问题（3.32）的子解和上解。V=∧+CτV=∧- Cτ，其中∧是问题（3.37）的唯一解，C是正常数suchC≥ supx公司∈Ohm|Gx、 D∧| （3.38）证明。让我们看一下，V是（3.32）的一个子解。首先，V的上半连续性来自解∧（τ，x）的连续性。让我们看到，对于所有测试函数φ，V≤ φ在（τ，x）和V（τ，x）=φ（τ，x）的邻域中，如下所示φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ为负。设φ为测试函数，使得V≤ φ。那么，我们有φτ（τ，x）=五、τ（τ，x）Dφ（τ，x）=DV（τ，x）Dφ（τ，x）≥ DV（τ，x）现在我们使用算子F退化椭圆的条件。此条件意味着φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≤五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV≤ Gτ、 D∧- C≤ 0使用条件3.38，最后一个不等式成立。现在我们来证明V实际上是一个上解。

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2022-5-31 08:08:34

在这种情况下，下半连续性源自解∧的连续性。让我们看到，对于所有测试函数φ，V≥ φ在（τ，x）和V（τ，x）=φ（τ，x）的邻域中，如下所示φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ是积极的。设φ为∧的测试函数≥ φ。那么，我们有了φτ（τ，x）=五、τ（τ，x）Dφ（τ，x）=DV（τ，x）Dφ（τ，x）≤ DV（τ，x）现在我们使用算子F的退化椭圆条件和条件3.38。这两种情况都意味着φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≥五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV≥ Gx、 D∧+ C≥ 那么，V是问题（3.32）的上解。备注3.9。根据定义，V仍然有效≤ 五、备注3.10。给定“Black-Scholes”解∧，非线性项Gx、 D∧对于每x in有界Ohm. 根据复制投资组合的构造，可以观察到交易成本与期权的二阶导数成比例。此外，从线性问题的解中，我们知道当价格太小或太大时，二阶导数趋于零。然后，在这些场景中，复制投资组合几乎没有重新平衡，因此交易了少量股票，从而对交易成本函数的贡献很小。根据文献[11]中的引理2.3.15，存在一个函数U，使得V≤ U≤ V和U*是（3.32）和U的次分辨率*是（3.32）的上解。然后，为了最终证明定理3.5，我们需要确认*（τ，S）=U*（τ，S）。为此，我们将考虑[11]中所述的比较原则。提案3.1（比较原则）。如果u是问题（3.32）的子解，v是问题（3.32）的上解Ohm串联u≤ 抛物线边界上的vpOhmT、然后u≤ v英寸OhmT、因此，我们的最后一个引理如下：引理3.11。

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2022-5-31 08:08:38

设Vand V为问题（3.32）的子解和上解，U为Emma 2.3.15从[11]中获得的函数，使得V≤ U≤ 五、然后，U*（τ，S）=U*（τ，S）。证据让我们首先观察一下，不平等U*≤ U*通过定义半连续封套保持。对于另一个不等式，让我们回忆一下引理3.8中定义的V和V，利用线性解∧的连续性，我们得到了（V）*= V=（V）*五、*= 五=五、*特别是在抛物线边界中，我们发现子解和上解都等于∧。那么，这是有效的五、*≤ （五）*在里面pOhmT（3.39）此外，对于引理2.3.15，从[11]，V≤ U≤ 五、利用这个结果和前面的不等式，可以得出*≤ U*在里面pOhmT（3.40）最后，通过比较的主结果得到期望不等式。4数值实现4.1数值框架在本节中，我们推导了一个数值框架，用于找到问题（1.2）的近似解。该解决方案将帮助我们了解交易成本的存在如何影响特定金融期权的定价。为此，我们开发了一个迭代方案，使得在每一步上都能找到一个近似解。然后重复每个步骤，直到方案收敛。通过回顾非线性问题，我们提出以下迭代过程-Unτ+LUn=G联合国-1.在里面Ohm ×[0，T]Un（0，x，…，xn）=U（x，…，xn）英寸Ohm （4.1）U（τ，x，…，xn）=0，尺寸Ohm = 2和U（τ，x）=V（τ，x），如方程（3.32）所定义。为了数值方便，我们用离散的1^近似原始平滑域OhmT 【a，b】×【a，b】×【0，T】，设置a和b以涵盖一组可行的股票价格。空间变量的步长统一设置为x=（b- a） /Sx，是Sx x方向上网格点的数量。

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2022-5-31 08:08:41

时间变量的步长也统一设置为τ=T/tx是τ方向上网格点的数量。我们定义n为迭代问题的步骤，给定n，m为每个时间步骤。因此，我们将n步迭代问题的解定义为Umij=U（xi，yj，mτ）其中0≤ i、 j≤ SX和0≤ m级≤ Tx.在每个步骤n，我们必须解决一个涉及U的二阶导数和混合导数的线性问题。如果我们直接应用有限差分格式，可逆矩阵将不会是三对角的，因为必须考虑混合空间导数。因此，我们采用交替方向隐式（ADI）方法和有限差分法（FD）。我们按照【14】中介绍的步骤确定程序的两个阶段。ADI方法的主要思想是在步骤m和m+1之间生成中间步骤m+1/2。前半步隐式沿x方向进行，显式沿y方向进行。另一半步骤隐式地在y方向上执行，显式地在x方向上执行。首先，我们拆分时间导数，如（4.2）Uτ\'Um+1ij所示- Umij公司t=Um+1ij- Um+ijt+Um+ij- Umij公司t。

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能者818

2022-5-31 08:08:45

（4.2）然后，我们离散线性算子l=NXi=1NXj=1σiσjρijUxixj+NXi=1Uxir-σi- rU，设置Ux\'Umi+1，j- Umi，jx，Ux\'Umi，j+1- Umi，jx，Ux\'Umi+1，j- 2Umi，j+Umi-1，jx，Ux\'Umi，j+1- 2Umi，j+Umi，j-1.x，Uxx\'Umi+1，j+1+Umi-1，j-1.- Umi公司-1，j- Umi，j-14x、如【14】第2.1节所述，我们将运算符L的离散化拆分为nLx=σUm+i+1，j- 2Um+i，j+Um+i-1，jx+σUmi，j+1- 2Umi，j+Umi，j-1.x+σσρUmi+1，j+1+Umi-1，j-1.- Umi公司-1，j- Umi，j-14x个+r-σUm+i+1，j- 嗯+我，jx个+r-σUmi，j+1- Umi，jx个-rUm+ijandLy=σUm+i+1，j- 2Um+i，j+Um+i-1，jx+σUm+1i，j+1- 2Um+1i，j+Um+1i，j-1.x+σσρUm+i+1，j+1+Um+i-1，j-1.- 嗯+我-1，j- 嗯+我，j-14x个+r-σUm+i+1，j- 嗯+我，jx个+r-σUm+1i，j+1- Um+1i，jx个-rUm+1包含两阶段完整模式的作业- Umij公司t=LxUm+ij，Um+1ij- Um+ijt=碱液+1ij。由于问题（4.1）包含线性函数G，我们在程序的第二阶段添加该项- G、 Um+1ij- Umij公司t=LxUm+ij+LyUm+1ij- G（·）=LxUm+ij+~LyUm+1ij。建议的框架用于先计算Um+，然后计算Um+1。ADI方法最重要的优点是，它只需要在每个时间步解两个三对角方程组。4.2数值结果为了实现第3节中提出的框架，我们选择了一种多资产期权和一种交易成本函数。首先，我们对两种资产的现金或无现金最优看涨期权进行定价。如果资产或高于或等于执行价格X，则该期权支付预先确定的现金金额K。

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kedemingshi

2022-5-31 08:08:49

闭式公式在[8]ascbest=Ke上给出-rT[M（y，z；-ρ） +百万(-y、 z；-ρ） ]（4.3）y=ln（S/S）+σTσ√T、 σ=qσ+σ- 2σσρz=ln（S/X）+σTσ√T、 z=ln（S/X）+σTσ√Tρ=σ- ρσ，ρ=σ- ρσ，其中Sand是股价，σ和σ是波动率，ρ是两种资产之间的相关性，即到期日和M（a，b；ρ）isM（a，b；ρ）=2πp1- ρZa-∞Zb公司-∞经验值-x+y- 2ρxy2（1- ρ）dx dy.其次，给定（3.30）中定义的非线性函数G，我们选择指数递减的交易成本函数asC（x）=Ce-~k x每个资产x。因此，通过回顾（2.9），我们可以看到EHC√t |Φi||Φi | i=Z+∞Ce公司-~k√tx2 x√2πΘie-x/2Θidx=CrπZ+∞e-k√txx公司√Θie-x/2Θidx=CrπZ+∞e-k√tΘiypΘiye-y/2dy=CpΘirπ“1- ektΘi/2ΘkptΘiERFCΘkrtΘi！#。然后，GS、 DV= CrπXi=1SitpΘi“1- ektΘi/2ΘkptΘiERFCΘkrtΘi！#。（4.4）表1给出了为数值实现选择的参数。然后，通过改变股票价格、波动性、利率和罢工等价值，应用三种不同的测试。我们分析了实现的ADI算法的不同方面以及提出的一般事务成本模型的动态。我们关注以下三点：1。衡量期权价格中交易成本的影响。2、给定实现收敛的最佳迭代次数，分析最终输出对以下选择的敏感性：tT C.3。

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2022-5-31 08:08:52

给定（4.1）中提出的迭代程序，确定n的最佳数目，以实现收敛，并确定误差如何随着步骤的增加而减小。参数测试1测试2测试3资产1资产2资产1资产2资产1资产2资产1资产2σ0.30 0.15 0.05 0.1 0.2 0.2ρ0.5-0.3 0.2r 0.08 0.02 0.1T 1年1年K 5 8 6 x 30 40 15x 1 1 1tT C1/261 1/261 1/261C0.005 0.001 0.003k 1 0.5 0.7表1：数字实施参数4.2.1交易成本影响图（1）至图（3）显示了交易成本函数和期权价格的结果，交易成本为t=0。通过回顾（4.2）中的交易成本函数G，可以注意到成本与资产现货价格、期权价格的二阶导数（即伽马）的大小以及每项资产的波动性成比例。测试1是基于X=30的罢工和K=5的溢价确定的。图（1a）显示了指数交易成本函数，其中在履约价值附近达到最大值。这种行为被认为是在货币价格下，伽马的最大值出现在货币附近。当这些衍生品在资金短缺或资金短缺时收敛到零，交易成本函数就消失了。图（1b）描述了考虑交易成本函数时期权价格的动态。0600.050.1600.15交易成本400.2资产2价格0.2540资产1价格0.320000（a）t=0.0601260时的交易成本403资产2价格440资产1价格5202000（b）t=0时的期权价格。图1：测试1。测试2框架的结果如图（2）所示。确定了X=40时的执行价值，K=8时支付的溢价，以及两项低波动性资产。图（2a）所示的交易成本函数显示了其价值在货币区域的类似增长模式。

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2022-5-31 08:08:55

此外，资产2的波动性更高，因为资产2的价格与资产1相比，交易成本更高。随着期权退出资金，交易成本函数的形状变得更加对称和平滑。测试框架3如图（3）所示。这两种资产的波动率相同，但几乎不相关。执行价格固定为X=15，支付的保费等于K=6。由于试验设计，预计图（3a）和（3b）中观察到的对称性。同样，当价格接近执行值且收敛到零时，交易成本函数的最大值达到0600.020.04600.06交易成本400.08资产2价格400.1资产1价格0.12202000（a）t=0.0602604时的交易成本406资产2价格40Asset 1价格8202000（b）t=0时的期权价格。图2：测试2。当期权在资金之外或资金中更深入时就会看到。期权价格反映了互补模式，当期权接近执行价格时，其价值会下降。0600.1600.2交易成本400.3资产2价格40资产1价格0.4202000（a）t=0.06012603时的交易成本期权价格404资产2价格405资产1价格6202000（b）t=0时的期权价格。图3：测试3.4.2.2选项对在本节中，我们研究期权价格对时间步长大小变化的敏感性tT-Cfor重新平衡replicant投资组合。通过观察方程（4.2），可以看出，如果T C结束为零。因此，我们希望在数值试验中看到这一结果。

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能者818

2022-5-31 08:08:58

为此，我们在100个可能的值下运行了Testing 2 frameworkT从7.6E起伸长-05（大约每29分钟重新平衡一次）到0.007（大约每2年重新平衡一次）。结果可在图4和图5中观察到。图4给出了两个不同的曲线图，显示了期权价格的两种状态。在左侧的面板中，可以观察到当资产1的价格等于S=15且参数τ=0时，交易成本的表现。可以注意到，最大价值是在交易成本几乎为2的货币上实现的。当T Cis最小值。当期权在资金和资金中变得更深时随着时间的推移，交易成本趋于零。在右侧的图中观察到类似的模式。主要区别在于，当资产1的价格设定为S=40时，交易成本如何大幅增加。由于Gamma最大值接近期权的货币价值，因此交易成本在该定价区域附近波动。可以看出，当两个价格都设置为40时，成本为34。这种情况下，再平衡过于频繁，导致期权价格因支付的交易成本较高而变为负值。图5左侧的曲线图显示了资产1价格等于S=55时的相同动态。这些动力学与图4左侧图中观察到的动力学相似。当伽马下降时，无论价格是低是高，交易成本都会在接近执行价值的地方出现通常的峰值。此外，这一成本往往为零T C变大，再平衡的周期性减少。右边的图有助于我们了解交易成本会增加多少。为此，我们确定了S=40和S=40时的两套装置的价格。

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2022-5-31 08:09:01

然后，我们绘制了交易成本的价值与到期时间和可以观察到，当T=T时，交易成本接近于零，因为期权价格是预先确定的支付。随着时间的推移和支付的折扣，交易成本会随着gamma的增加而增加。当我们达到t=0时，交易成本增加到34。这一结果有助于我们证实以下预期结论：随着复制投资组合再平衡频率的增加，交易成本增加，以至于在某一时间点后，期权价格变为负值，模型也随之成立。0600.5814061.5资产2价格10-324202000601082040630资产2价格10-340420200图4：测试2-左侧的图显示了当资产1价格等于15时，时间τ=0时的交易成本函数。右侧的图显示了当资产1价格等于40.0600.058400.16资产2价格10-30.15420200时，时间τ=0时的交易成本函数。图5：测试2-左侧的图显示了当资产1价格等于55时，时间τ=0时的交易成本函数。右侧的图表显示了当期权处于货币状态时，交易成本是如何爆炸的。4.2.3收敛性分析前面列表的第三项涉及根据连续解之间的差异来衡量迭代框架的收敛性。我们的方法将遵循以下观察结果：每个迭代的结果对应于一个平方矩阵。因此，利用最后一个时间步长τ=T，我们计算两个连续最终结果之间的距离。为此，我们使用三种不同的p-范数矩阵，即：1范数、2范数和∞ 标准总之，对于每个步骤n和溶液Un，我们计算联合国，联合国-1.= 坤- 联合国-1公里。（4.5）我们的目标是，随着n的增加，该距离趋于零。

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2022-5-31 08:09:06

图（6）至（8）显示了三种方案的结果图。图中绘制了两个连续解决方案之间相对于操作步骤n+1的距离。在右侧，我们提供了一个表格，其中列出了迭代n=11之前的所有数值结果。在第一种情况下，可以看到三个范数指数减少到零，并且在迭代7和8之间，实现了收敛。在第二种情况下，收敛速度更快，如步骤2所示，两个连续结果之间的距离为E阶- 05、第三种情况与第一种情况类似，即在迭代5中，通过E阶连续解之间的距离实现收敛-04.\'1 2 3 4 6 7 8 9 10迭代步骤00.10.20.30.40.50.6距离规范1规范2迭代规范1规范2规范∞1 0.2727 0.1120 0.51872 0.1162 0.0738 0.30243 0.0442 0.0403 0.14604 0.0196 0.0189 0.06765 0.0076 0.0076 0.02676 0.0028 0.0027 0.00907 8.8E-4 8.6E-4 0.00278 2.5E-4 2.5E-4 7.5E-49 8.1E-5 6.7E-5 1.9E-410 2.3E-5 1.6E-5 4.5E-5图6：收敛分析-测试11 2 3 4 5 6 7 8 9 10迭代步骤00.20.40.60.811.21.41.61.8距离10-3 Norm 1 Norm 2迭代Norm 1 Norm 2 Norm∞1 0.0017 4.4E-4 8.6E-42 7.7E-5 1.8E-5 3.6E-53 2.6E-5 6.9E-7 1.2E-64 8.3E-8 2.1E-8 3.6E-85 2.4E-9 6E-10 9E-106 6E-11 1E-11 2E-117 1E-12 3E-13 5E-138 2E-14 8E-15 1E-149 7E-16 2E-16 2E-1610 3E-16 1E-16图7收敛性分析-检验25个结论在本文中，我们研究了非线性偏微分方程，该方程解释了金融期权在具有交易成本的Black-Scholes模型。

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nandehutu2022

2022-5-31 08:09:09

我们通过概括期权的维度（即多资产期权）并允许不同的交易成本1 2 3 4 6 7 8 9 10迭代步骤00.020.040.060.080.10.120.14距离范数1范数2迭代范数1范数2范数，扩展了关于该主题的一般文献∞1 0.1169 0.0410 0.13442 0.0287 0.0108 0.03353 0.0050 0.0024 0.00624 0.0010 4.8E-4 0.00125 1.7E-4 8.6E-5 2.0E-46 2.6E-5 1.4E-5 3.0E-57 3.7E-6 2.1E-6 4.2E-68 5.0E-7 3.0E-7 5.5E-79 6.7E-8 4.0E-8 6 6.9E-810 8.5E-9 5.0E-9 8.3E-9图8：收敛分析-测试3功能。遵循Perron方法，我们通过找到原始问题的子解和上解的性质集，证明了粘性解的存在性。此外，我们开发了一个数值程序，通过迭代方法找到近似的强解。为此，开发了ADI方案，以处理混合衍生产品，并在有限差异方法下工作。尽管如此，我们通过设定不同可能的资产价格、波动率和其他利率提供了数字示例，以研究ADI框架的表现以及产出对Deltahedge时间步长变化的敏感性。运行模拟后，观察到不同的预期结果。首先，由于交易成本与期权价格的二阶导数成正比，交易成本函数在货币区域附近达到最大值。其次，可以看出，当重新平衡复制投资组合的频率趋于一致时（以及T Cgoes为零）。

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2022-5-31 08:09:14

最后，我们观察到，给定三个建议的测试框架，迭代方法在不到七次迭代后收敛。6确认本工作部分得到了CONICET PIP 11220130100006CO项目和UBACYT20020160100002BA项目的支持。微分矩阵计算步骤结果（3.21）如下所示：Bkltr公司A、B=NXi=1NXj=1AijBji公司Bkl，=NXi=1NXj=1Aijδjkδil，=Alk=Akl。（A.1）这些步骤的结果（3.23）如下：BlmvuutNXj=1NXk=1BijAjkBki=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2BNXj=1NXk=1BijAjkBki=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2NXj=1NXk=1Bij公司BlmAjkBki+BijAjkBki公司土地管理局=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2NXj=1NXk=1（δilδjmAjkBki+BijAjkδklδim）=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2NXk=1AmkBkl+NXj=1BmjAjl=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2NXk=1AmkBkl+NXj=1BmkAkl=NXj=1NXk=1BijAjkBki-1/2[（AB）ml+（BA）ml]。（A.2）如果我们表示Hi（y）=VuT2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy（A.3）然后，结果（3.24）如下所示：BlmC（Hi（y））=C（Hi（y））BlmHi（y）=C（Hi（y））y（2tΘi）-1月22日t型BlmNXj=1NXk=1BijAjkBki=C（高（y））y（2tΘi）-1月22日【AB+BA】（A.4）参考文献【1】P Amster、CG Averbuj、MC Mariani和D Rial。具有交易成本的Black-Scholes期权定价模型。数学分析与应用杂志，303（2）：688–6952005。[2] 盖伊·巴勒斯和哈利尔·梅特索纳。具有交易费用和非线性black-Scholese方程的期权定价。《金融与随机》，2（4）：369–3971998年。[3] Fischer Black和Myron Scholes。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，第637-6541973页。[4] Phelim P Boyle和Ton Vorst。具有事务成本的离散时间内的选项复制。《金融杂志》，47（1）：271–2932002。[5] Mark HA Davis、Vassilios G Panas和Thaleia Zariphopoulou。具有交易成本的欧式期权定价。《暹罗控制与优化杂志》，31（2）：470–4931993。[6] Peter Grandits和Werner Schachinger。

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