通过这种选择，受约束的最小化overeζ（忽略（3.9）中质量约束中的o（ψ）项）降低为线性约束的二次规划问题：minimiseeζψ-1eζ- veζ受试者脚趾ζ∈ R、 c类eζ=0，eζ≥ 0，（3.10），其中c=C∑，∑SCSS，∑SCS∑，C∑∑.根据[28]，可以预期ψ（而不是，例如ψ1/2或ψ）是值函数展开的正确幂。或者，可以在（3.5）中写入ψα，而不是ψ，然后通过在HJBI方程的展开中匹配损益过程的惩罚项和漂移项的幂来确定α=1，从而使对ζ的优化变得不重要。求解线性约束二次规划。最小化问题（3.10）是严格凸和线性约束的，因此具有唯一的最小值。最小值ζ*以相关的Karush–Kuhn–Tucker条件ψ为特征-1eζ*- v+λ*c- u*~e=0，ceζ*= 0，eζ*≥ 0，u*≥ 0，u*eζ*= 0，对于某些标量λ*和u*. 结果是有一个显式解（eζ*, λ*, u*) （参见引理A.1（A）），这激发了我们在第4.1.4节主要结果中的定义。这篇文章包含了我们主要结果的精确数学陈述。在第4.1节中，我们首先介绍了所需的符号和技术假设；第一次阅读时，可以跳过这个特别重的部分。4.1符号和假设主要结果T heorem 4.5提供了值v（ψ）从（2.16）的渐近展开，用于小水平的不确定性厌恶ψ和渐近s addle点（ν, Pψ）ψ，其中ν是三角织女星树篱，（Pψ）ψ是一个合适的模型族。

为了确定描述展开式一阶项的偏微分方程，以及确定近似对应于Pψ的四重ζψ（见下文定义4.1（b）），我们需要引入一些符号。回想一下，G=R+×R×R+是进程（S，A，M）的状态空间，集合D=（0，T）×G×R+。数据的一种神经元素，写为（t，S，A，M，∑）或（t，x），x=（S，A，M，∑）。功能, Γ，∑：D→ 定义人（t，x）=VS+γVA，Γ（t，x）=VSS+2γVSA+γVAA，∑（t，x）=VS∑+γVA∑分别称为方案V的有效三角洲、有效γ和有效钒；我们注意到，如果γ，这些量对应于标准格力ks≡ 例如，0类似于香草、屏障或回溯选项，请参阅第3节了解案例γ6中此术语的动机≡ 0、函数c、v:D→ Rgiven byc（t，x）=C∑，∑SCSS，∑SCS∑，C∑∑, （4.1）v（t，x）=V∑，∑（βVA+SΓ），∑S∑，V∑∑, （4.2）分别称为调用和选项V的vega gamma vanna volga向量。用此符号定义函数λ，u：D→ R和ζ：D→ Ras如下：λ（t，x）=（cψvcψcif V∑∑-cψvcψcC∑∑≥ 0，cψv-C∑∑V∑∑∑ψξCψc-C∑∑ψξ，否则，（4.3）u（t，x）=（V∑∑- λC∑）-, （4.4）eζ（t，x）=ψ（v- λc+ue）。（4.5）注意，术语uein（4.5）确保了eζ的第四个共成分为非负。现在，fix常数0<∑<∑<∑<∑，并确定每个ψ>0，候选反馈控制ζψ=（νψ，σψ，ηψ，ξψ）：D→ Rbyζψ（t，x）=ζ（∑）+eζ1{∑<∑<∑}ψ。（4.6）在这里和下面，我们假设C和V的所有相关偏导数都存在；下面的假设4.2给出了精确的条件。指标1{∑＜∑＜∑}是一项技术修改，一旦隐含波动率达到∑，∑的边界，通过回落至参考反馈控制ζ（∑）（对应于恒定隐含波动率），确保隐含波动率在区间∑，∑内稳定。

更明确地说，候选反馈控制可以表示为νψ（t，x）=（V∑- λC∑）1{∑<∑<∑}ψνψ，σψ（t，x）=∑+∑βVA+SΓ- λSCSS{∑<∑<∑}ψσψ，ηψ（t，x）=∑S∑- λSCS∑{∑<∑<∑}ψηψ，ξψ（t，x）=（V∑∑- λC∑+{∑<∑<∑}ψξψ。一般来说，不存在Pψ∈ P当过程ζψ（t，Xt）仅在o（ψ）级满漂移条件（2.7）时，ζψ与控制ζPψ对应的顶部ψ重合。然而，为了精确匹配漂移条件，可以通过适当的渐近小项扰动ζψ。这激发了以下定义的第（b）部分。定义4.1。让P P、 （a）对于每个P≥ 1，我们用LPP表示Borel函数K:D的向量空间→ R satisfyingkKkLpP：=支持∈PEP“ZT | K（t，Xt）| pdt#1/p<∞.（b） A族（Pψ）ψ∈（0，ψ） P表示某些ψ∈ 如果存在K，则称（0，1）为候选渐近模型族（在P中）∈ lp使得对于所有ψ∈ （0，ψ），ζPψt- ζψ（t，Xt）≤ K（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.定义4.1（b）中形成的候选渐近模型族的关键性质是，与Pψ相关的控制ζPψt为O（ψ）-接近于可判定的控制ζψ（t，Xt）。用带源项的线性二阶抛物型偏微分方程的解，给出了v（ψ）的辛展开式的前导阶系数。具体而言，对于每个∑∈ [σ，σ]，我们考虑PDEewt+α+β∑ewA+∑SewSS+2γewSA+γewAA+（0，T）×G上的eg（·，∑）=0，δewA+ewM=0，在{（T，S，A，M）：S上≥ M} ，ew（T，·，∑）=0，在G上，（4.7），其中源项eg:D→ R由eg（t，x）=v（t，x）给出eζ（t，x）。（4.8）我们在以下假设下验证了我们的主要结果。假设4.2。

集合D=（0，T）×G×[∑，∑] D、 （a）交易策略集：有一个常数KY>0，因此对于每个交易策略ν∈ Yand每个P∈ P、 Yν，P>-KYdt×P-a.e.（b）模型集：P P包含一个候选的渐近模型族，一个参考模型，每个HP的常数分别为ν<0<ν，0<σ<∑，σ<σ，η<0<η，ξ>0∈ P、 νP∈ [ν，ν]，σP∈ [σ，σ]，ηP∈ [η，η]，ξP∈ [0, ξ], Σ ∈ [σ，σ]dt×P-a.e。（4.9）（c）呼叫PDE:TC≥ T和C∈ C1,2,2（（0，TC）×R+×R+）∩ C（[0，TC]×R+×R+），每个∑的C（[0，TC]×R+）∈ [∑，∑]、C（·，∑）是PDE（2.1）的经典解，C∑6=0和| C∑|≤ KC公司|C∑|+| SCSS |+| SCS∑|对于某些KC，on（0，T）×R+×[∑，∑]（4.10）∈ 有限合伙人。（d） 非交易期权PDE：有V∈ C1,2,2,1,2（D）∩ C（D）使得对于每个∑∈ [∑，∑]，V（·，∑）是∑V∑的PDE（2.9）的经典解，βVA+S（VSS+2γVSA+γVAA）, |S（VS∑+γVA∑）|，| V∑|≤ KVon D（4.11），对于某些常数KV>0。（e） 现金等价物PDE：存在ew∈ C1,2,2,1,2（D）∩ C（D）使得对于每个∑∈ [∑，∑]，ew（·，∑）是PDE（4.7）的经典al解决方案，0≤ 电子战≤ Kewon d对于某些常数Kew>0，andew∑，S（ewS+γewA），βewA+S（ewS+2γewSA+γewAA），S（ewS∑+γewA∑），ew∑∈ 有限合伙人。（f） 效用函数：U:R→ R是cw，U′>0，U′处处<0，且绝对风险厌恶程度降低，即y 7→ -U′（y）U′（y）在R上不递增。备注4.3。让我们讨论假设4.2中的各种要求：（a）对代理人信贷额度的约束是交易策略集的可接受条件。损益过程Yν，Pis需要从下到下，在Y中的所有策略和P中的所有模型上都是一致的。我们在推论5.3中表明，这对于与三角洲织女星对冲ν相关的损益过程是满意的（参见（4.13））。

因此，如有必要，可将恒常系数变大，三角织女星对冲始终可以添加到策略集Y中。（b）第4.3节概述了与（4.9）兼容的候选渐近模型族的构造。在证明主结果的各个步骤中，控制项上一致界的存在以及隐含的波动性是必不可少的。乍一看，这并不是一个很大的假设。事实上，由于我们主要结果的结论不依赖于这些边界的选择，因此可以选择任意大的边界。（c） 这些规律性假设确保c对应于流动交易看涨期权的Black-Scholes值。条件C∑6=0保证了三角洲织女星对冲（参见（4.13））得到了很好的定义。（4.10）中的第二个条件确保调用的伏尔加由其vega、cash gamma和cash vanna之和控制。对于纯香草c all选项，Payoff c（S）=（S-K） +，这些greeks的显式公式表明，如果log S∈ 有限合伙人。这很容易从S作为S-Tochstric指数的显式表示以及假设4.2（b）中的spotvolatility的有界性得出。另一个例子是payoffc（S）=log（S）的log契约，其中C（t，S，∑）=log（S）-∑（TC- t） 。计算相关的希腊语表明，在这种情况下，t（4.1 0）也成立。此外，如果TC>T，则即使引理4.9的更强条件（4.17）也满足。（d）这是选项V的规律性假设，类似于（c）。然而，我们另外强制执行边界（4.11），以确保织女星伽马-瓦纳-伏尔加矢量v有界。如果期权支付足够有规律，则可以满足这一需求。例如，考虑支付函数V（S，A，M）=H（S）仅取决于股票价格S的情况。

相应的Black–Scholes值可以是wr itten asV（t，S，A，M，∑）=Z∞-∞HS经验值∑√T- 德克萨斯州-∑（T- t）φ（x）dx，其中φ是标准正态分布的密度函数。如果“terminal cashdelta”yH′（y）和“terminal cash gamma”yH′（y）在y中有界∈ R+，然后使用支配收敛在积分符号下微分，表明V确实满足假设4.2（d）。对于异国情调的选择，人们可以持同样的观点。例如，对于具有充分规则支付V（S，a，M）=H（S，M）的回溯o选项n（回想一下，M是股票运行最大值的变量），我们可以再次验证其Black–Scholes值的概率表示解出了PDE（2.9），并从Payoff函数H（e）的正则性继承了假设4.2（d）所需的正则性。该假设假设假设存在PDE（4.7）的（经典）解ew，并满足一定的界限。该假设的有效性取决于输入量C、V、α、β、γ和δ的规律性，并且可以通过上述（d）的长线进行检查。（f） 不必在整个实数线上定义效用函数。事实上，因为我们只考虑这样的策略，即损益过程从下到下-如果采用统一的过度交易策略和模型，我们还可以在R+上使用（适当替换）效用函数。还要注意的是，电力和指数效用都具有降低绝对风险的作用。备注4。4、只要交易期权足够规则，就有许多模型可以对隐含波动率动力学的系数进行分类（4.9）。

例如，考虑形式DST=Sta（Yt）dWt，dYt=b（Yt）dt+c（Yt）dWt+c（Yt）dWt的随机波动率模型，（4.12），其中函数a、b、c、cas及其导数均为Lipschitz且有界，anda、c、care为正且远离零有界。然后现货波动率σt=a（Yt）在某个有界区间[σ，σ]内演化。现在，让Csv（t，St，Yt）为在该随机波动率模型中计算的某些TC>t（在某些价格测量下）的对数合约与支付对数（STC）的值。由于现货波动率σ从上到下是有界的，因此对数合约的Csvo值可以从上到下分别由其波动率σ和σ的Black–Scholes值来界定。因此，隐含波动率∑一致有界且远离零。为了确定其漂移和扩散系数νt、ηt和ξt，将It^o的公式应用于方程C（t，St，∑t）=Csv（t，St，Yt）的两侧，以定义∑并比较dW和dW项的系数。同时使用对数合同的现金增量为SCS=SCsvS=1，这导致ηt=c（Yt）CsvY（t，St，Yt）c∑（t，St，∑t），ξt=c（Yt）CsvY（t，St，Yt）c∑（t，St，∑t）.现在，区分Csv的偏微分方程得到其偏导数Csvy的偏微分方程，概率表示表明Csvy是有界的。当C∑一致有界远离z e ro时，对于该持有，例如，对于“平滑看跌期权”，其payoff是具有一些任意短期到期的Black–Scholes看跌期权值。关于类似环境中此类规律性假设的讨论，另请参见【28，备注3.2】。TC>T，η和ξar e一致有界的对数契约。最后，根据漂移条件（2.7）（此处自动成立，因为Csv（t，St，Yt）是构造的局部鞅），可以得出隐含波动率的漂移系数νtof也是一致成立的。

综上所述，市场模型源自随机波动率模型（4.12）和完整模型（4.9）。4.2主要结果我们现在可以陈述我们的主要结果，它提供了（2.16）中值的渐近展开和相应的渐近最优策略。下文第4.3节考虑了一个合适的对应模型se t P和一个候选的共形模型族的存在性。重述备注4。3（a）三角洲ve ga对冲如有必要，可通过将假设4.2（a）中的常数KYfrom变大，将其纳入交易策略集Y中。数值ew：=通过解ew到PDE（4.7）确定的ew（0，X）决定了值v（ψ）展开的主导系数或有序系数。由于它还描述了代理人要求的（标准化）溢价，作为对自己暴露于模型错误的补偿（参见下文差异询价的扩展（4.16）），我们将其称为现金等价物（小不确定性厌恶）。定理4.5。设Y为一组交易策略，P Pa模型集，并假设假设假设4.2已满足。定义delta vega对冲策略= （θt、 φt） t型∈[0，T]乘以θt型= -V∑C∑CS（t，St，At，Mt，∑t），φt=V∑C∑（t，St，At，Mt，∑t）。（4.13）如果ν∈ Y和（Pψ）ψ∈（0，ψ） P是一个候选渐近模型族，则为ψ↓ 0:v（ψ）=supν∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）=infP∈PsupД∈YJψ（ν，P）+o（ψ）=Jψ（ν, Pψ）+o（ψ）=supν∈YJψ（ν，Pψ）+o（ψ）=infP∈PJψ（ν）, P）+o（ψ）=U（Y）- U′（Y）ewψ+o（ψ）。（4.14）尤其是三角织女星对冲是Y中所有策略中的领先阶O（ψ）的最优策略，而Pψ是P中所有模型中对抗性对手的领先阶最优模型选择。定理4.5的冗长证明推迟到第5.1节。（4.14）中v（ψ）膨胀的一阶项由现金等价物ew确定。

其概率表示可以识别决定期权对模型错误敏感性的主要因素：命题4.6（Feynman–Kac表示）。假设假设假设4.2成立，letP∈ P为参考模型。新=EP“ZTeg（t，St，At，Mt，∑）dt#。这里，函数eg（在（4.8）中定义）可以写成g（t，S，A，M，∑）=-∑φSCSS公司- （βVA+SΓ）eσ- ∑φSCS∑- S∑eη-（φC∑∑- V∑）eξ，（4.15），其中函数（eν，eσ，eη，eξ）=eζ在（4.5）和φ中定义=V∑C∑是定理4.5中的织女星对冲。证据Feynman–Kac表示在命题5.1中得到了证明（als o注意到，∑t=∑dt×P-a.e.因为Pis是一个参考模型）。eg的代表是Coro llary 5.7的含量。对于β情况下的该表述的解释≡ γ≡ 0，我们参考导言中方程式（1.6）之后的讨论。如果γ6≡ 0（例如，对于示例3.1中的正向启动调用），则有效gamma和有效vanna通常不同于选项的gamma和vanna。如果期权V取决于股票的已实现方差（例如，对已实现方差的认购），则在（4.15）中的有效伽马中添加一个术语βVAI。下一个命题意味着，每当看涨期权和非交易期权V的织女星伽马-瓦纳-伏尔加向量共线时，不确定性厌恶的局部影响将以主导顺序消失。提案4.7。固定（t，x）∈ D、 如果织女星伽马-瓦纳-伏尔加矢量c（t，x）和v（t，x）共线，则eg（t，x）=0。证据固定（t，x）∈ Dand让k∈ R使得v（t，x）=kc（t，x）。然后通过构造（参见（4.3）–（4.5）），λ（t，x）=k，u（t，x）=0，andeζ（t，x）=0。因此，eg（t，x）=0。例如，考虑非交易期权是与流动交易看涨期权具有相同行使和到期日的看跌期权的情况。

那么看跌期权意味着维加斯、伽马、瓦纳斯和沃尔加斯这两种期权在任何地方都是一致的。因此，例如≡ 0，因此现金等价物消失。预计这是因为看跌期权也为这种情况提供了无模型对冲。差异价格。差异要价（对于非交易期权V）是代理人在保持头寸和通过出售该价格的非交易期权来改变头寸之间的差异价格。回想一下，Vis是非交易期权V的初始参考值，EWI是其现金等价物。设v（y；ψ）表示我们的套期保值问题与初始损益y相对应的价值。如果代理人决定以pa（ψ）的价格出售非交易期权，则其套期保值问题的初始损益为y+pa（ψ）-五、 因此，确定差值ask pricepa（ψ）的方程如下：U（Y）=V（Y+pa（ψ）- 五、ψ） 。利用定理4.5中v的展开式，直接计算yieldpa（ψ）=v+ewψ+o（ψ）。（4.16）因此，ewψ是代理人要求的领先订单溢价，作为其暴露于模型不确定性的补偿。备注4.8。购买期权与出售该期权的负面内容是一样的。然而，与V和-V通常是不同的。这种不对称性是由不相关平方波动率必须为非负的解释以及参考模型具有z ero不相关平方波动率的事实造成的。换句话说，不相关平方方差只能在一个方向上偏离其参考值。相反，其他控制变量在两种情况下都可能偏离其参考值。4.3关于候选渐近模型族的存在性定理4.5的主要结果假设模型集P包含候选渐近模型族。

在本节中，我们预设了一组模型P，并在P中勾画出了一个条件渐近模型F的构造。固定常数0<∑<∑<∑<∑，ν<0<ν，0<σ<∑，σ<σ，η<0<η，ξ>0，并让P表示Psuch中模型P的子集，其边界（4.9）是满足的。在一些关于液体期权g气味的进一步正则性假设下，然后，P包含一个候选渐近模型族。候选符号模型族的构建包括两个步骤。第一个是证明候选反馈控制ζψ可以由O（ψ）阶项修改，从而使最终修改的反馈控制ˋζψ满足漂移条件（2.7）：引理4.9。让P Pbe使得（4.9）对于每一个P都成立∈ P、 此外，假设假设假设4.2（c）–（d）成立，假设4.2（c）中的（4.10）被| c∑|的更强条件取代≥ 1/KCand | SCSS |，| SCS∑|，| C∑|≤ KCon（0，T）×R+×[∑，∑]，（4.17）对于某些常数KC>0。然后有ψ>0和函数ˋζψ：D→ [ν，ν]×[σ，σ]×[η，η]×[0，ξ]，ψ∈ （0，ψ），对于每个ψ∈ （0，ψ），约束ˋζψ|（0，T）×G×（∑，∑）是连续的，并且可以扩展为D=（0，T）×G×R+上的连续函数。此外，K>0使得对于每个（t，x）=（t，S，A，M，∑）∈ D和ψ∈ （0，ψ），（a）ˇζψ（t，x）=ζ（∑）if∑6∈ （∑，∑），即，如果达到隐含波动率的界限，则修改后的反馈控制回落至参考反馈控制；（b） 写（ˋνψ，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ）=ˋζψ（t，x），我们有ˋνψC∑+scs（ˋσψ）- ∑）+ˋσψˋηψSCS∑+（（ˋηψ）+ˋξψ）C∑=0，即满足修正反馈控制ˋζψ的漂移条件（2.7）；（c）ˇζψ（t，x）- ζψ（t，x）≤ Kψ，（4.18），即修改后的反馈控制ˋζψ为O（ψ）-接近候选ζψ。证据见第5.2节。设ψ、K和ˋζψ如引理4.9所示。

现在，第二步是证明与修改后的反馈控制ˋψ=（ˋνψ，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ）相对应的随机微分方程（SDE）有一个弱的解决方案。固定ψ∈ （0，ψ）。书写ν，σ，η，ξ而不是ˋν，ˋσψ，ˋηψ，ˋξψ以减轻旋转，相关的SDE读取为ds′t=S′tσdWt，d∑′t=νdt+ηdWt+pξdWt，dA′t=α+βσdt+γS′tσdWt+δdM′t，（4.19），其中α、β、γ和δ在（t，S′t，A′t，M′t：=supu∈[0，t]S′u）、ν、σ、η、a和ξ在（t，S′t，a′t，M′t，∑′t）处计算，a和（W，W）是一个二元标准布朗运动。假设（4.19）（从S，∑，a开始）存在一个弱解，其性质是∑′几乎可以肯定地在∑，a中演化，并用正则空间上的Pψ表示其imag e测度（在（S，∑′，a′）下）(Ohm, F） 。然后通过构造（参见定义2.3和2.5），Pψ∈ PandζPψt=ˋζψ（t，Xt）dt×Pψ-a.e.此外，引理4.9和在Pψ下，∑在∑，∑中演化的事实几乎可以肯定，（4.9）适用于每一个P∈ （Pψ）ψ∈（0，ψ）和ζPψt- ζψ（t，Xt）=ˇζψ（t，Xt）- ζψ（t，Xt）≤ Kψdt×Pψ-a.e.So（Pψ）ψ∈（0，ψ）是P中的一个候选渐近模型族。关于（4.19）弱解的存在性，仍需讨论∑′evolvesin[∑，∑]的性质。注意，我们不能直接应用弱解的标准存在性结果，因为控制ˇζψ在∑中不是连续的∈ R+。然而，我们可以将标准的存在性结果应用于与ˇζψ|（0，T）×G×（∑，∑）到D的连续扩展相对应的SDEs。然后，显而易见的是，一旦s∑′到达[∑，∑]的边界，就停止产生的弱解，并从那里重新启动SDEs，并从那里获得新的动力学。重启后，我们保持∑′∈ {∑，∑}常数，letS′像一个标准的Black-Scholes模型一样演化，具有常数的波动率∑′，并且（假设a的SDE系数上有合适的Lipschitz和线性增长条件；cf。

[28，附录B]）根据（4.1.9）中的动力学，但采用新的动力学S′，找到解决方案a′。然后可以检查所构建的过程是否满足SDEs（4.19）和原始反馈控制ˉζψ；有关类似设置的更多详细信息，请参见[28，定理3.7]。5证明c部分包含我们主要结果的证明。我们首先确定了理论4.5中所述的三角织女星对冲的价值扩展和最优性。然后，我们从引理4.9.5.1的值扩展和三角织女星对冲的几乎最优性开始构建修改后的反馈控制。在本节中，我们证明了定理4。5、自始至终，我们认为假设4.2有效∈ Y、 （Pψ）ψ∈（0，ψ） P是一个候选的渐近模型族。特别是（回顾定义4.1（b）），我们确定了1≤ K∈ lp使得对于每个ψ∈ （0，ψ），ζPψt- ζψ（t，Xt）≤ K（t，Xt）ψdt×Pψ-a.e.（5.1）对于每个ψ>0，定义候选值函数wψ：D×R→ R bywψ（t，x，y）=U（y）- U′（y）ew（t，x）ψ（5.2），集wψ：=wψ（0，S，A，M，∑，y）。假设我们已经证明了以下两个不等式（参见引理5.15和5.17）：infP∈PJψ（ν）, P）≥ wψ+o（ψ），asψ↓ 0，（5.3）supД∈YJψ（ν，Pψ）≤ wψ+o（ψ），asψ↓ 0.（5.4）表示。“小于或等于o（ψ）阶项”，我们从（5.3）–（5.4）中得到wψ。infP公司∈PJψ（ν）, P）。supД∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）。infP公司∈PsupД∈YJψ（ν，P）。supД∈YJψ（ν，Pψ）。wψ和wψ。infP公司∈PJψ（ν）, P）。Jψ（ν）, Pψ）。supД∈YJψ（ν，Pψ）。wψ。因此，我们在任何地方都有高达o（ψ）阶的等式。特别是，第4.5项的一个部分（4.14）成立。这就完成了定理4.5的证明，模化了（5.3）–（5.4）的证明。

这两个不等式的证明是基于对HJB I方程的仔细估计，该方程与备注4.3（a）中的要求相关，即三角织女星对冲ν如有必要，可通过将常数KYfrom假设4.2（a）放大，将其纳入交易策略集。第4.3节讨论了候选渐近模型族的存在性。SDG（2.16）。第5.1.1节介绍了其余证明中使用的符号d以及一些初步结果。第5.1.2–5.1.3节纯粹是分析性的，提供了HJBI方程所需的估计值。最后，第5.1.4节和第5.1.5节包含不等式（5.3）和（5.4）的证明。5.1.1符号和预备步骤设置ψmin=min（ψν，ψσ，ψη，ψξ），ψmax=max（ψν，ψσ，ψη，ψξ）（回忆（2.14）），并用矩阵Q的kqkf Frobenius nor m表示。回忆一下，s四次不相关波动率ξPhas为非负，设Z：=R×[0，∞) 是控制ζP的自然范围。Zis的一般元素总是用ζ=（ν，σ，η，ξ）表示. 接下来，定义函数bC:D×Z→ R bybC（t，x；ζ）=νC∑+SCSS（σ- ∑）+σηSCS∑+（η+ξ）C∑=C（t，x）（ζ）- ζ（∑）+σ- ∑ηSCSSSCS∑SCS∑C∑σ- ∑η; （5.5）参考（4.1）中织女星伽马-瓦纳伏尔加矢量c（t，x）的定义。这一定义是由漂移条件（2.7）推动的，该条件规定bC（t，Xt；ζPt）=0 dt×P-a.e.For everyP∈ P、 对于每个（t，x）∈ D、 writeZ（t，x）={ζ∈ Z： bC（t，x；ζ）=0}对于在（t，x）处满足漂移条件的控制ζ集，definelin（t，x）={ζ∈ Z： c（t，x）（ζ）- ζ（σ））=0}，（5.6）在（t，x）处满足“线性化漂移条件”的控制集ζ。接下来，对于P中的控制范围，setZ=[ν，ν]×[σ，σ]×[η，η]×[0，ξ]（参见假设4.2（b）），并用Z（t，x）=Z（t，x）表示∩ Zand Zlin（t，x）=Zlin（t，x）∩Z分别是Z（t，x）和Zlin（t，x）与Z的交点。

还可调用fr om定义2.4，即参考反馈控制为ζ（∑）=（0，∑，0，0）.我们从腰果当量=ew（0，X）的PDE（4.7）解的概率表示开始。提案5.1（费曼-科航代表）。让P∈ P为参考模型。Thenew=ew（0，X）=EP“ZTeg（t，Xt）dt#.（5.7）证明。我们仅略述了标准证明。将其公式应用于Pand下的ew（t，Xt），使用ew的PDE（4.7）表示ew，表明tew（0，X）=ZTeg（t，Xt）dt+（局部鞅）。使用假设4.2（e），局部鞅项很容易显示为一个鞅。因此，取期望得到费曼-卡茨表示（5.7）。下一个引理提供损益过程的动力学：引理5.2。设ν=（θ，φ）∈ Y和P∈ P、 然后在P，dYν，Pt下=θt- (（t，Xt）- φtCS（t，St，∑t））dSt公司+φtC∑（t，St，∑t）- V∑（t，Xt）d∑c，Pt- bV（t，Xt；ζPt）dt。（5.8）这里，∑c，P=∑-Z·νPuduis∑在P和bV下的（连续）局部m鞅部分：D×Z→ R由bv（t，x；ζ）=νV∑+（βVA+SΓ）（σ）给出- ∑）+σηS∑+（η+ξ）V∑=V（t，x）（ζ）- ζ（∑）+σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η,（5.9）其中v是非交易期权的vega gamma vanna volga向量（参见（4.2））。证据Fixν=（θ，φ）∈ Y和P∈ P和（2.11）和（2.10）tha tdYν的回忆，Pt=θtdSt+φtdCt- dVt，（5.10），其中Vt=V（t，St，At，Mt，∑t）。因此，需要计算P下C和V的动力学。首先，通过（2.4）、It^o公式（P下）和漂移条件（2.7），我们得到dct=CSdSt+C∑d∑C，Pt。（5.11）其次，将It^o的公式应用于Vt=V（t，St，At，Mt，∑t），并使用PDE（2.9）代替Vt=Vt（t，Xt），并消除dMt项，我们得出了dvt= dSt+V∑d∑c，Pt+bV（ζPt）dt。（5.12）最后，在（5.10）中插入（5.11）和（5.12）得到（5.8）。

bV定义（5.9）中的最后一个等式是bV（ζ）在ζ（∑）附近的泰勒表达式，可以通过计算梯度和bV（ζ）在ζ（∑）处的海森来验证。接下来，我们分析损益过程的动力学,P对应于delta vegahedgeД. 为此，我们为每个（t，x）定义∈ D： ^1（t，x）= -V∑C∑CS，V∑C∑. （5.13）注意，尽管符号有点滥用，我们还是使用了符号ν函数定义（5.13）和定理4中定义的三角织女星对冲。5、这当然是由关系ν推动的t=ν（t，Xt）。引理5.2的以下推论表明，损益过程ν,P对应于三角洲织女星树篱ν无局部鞅部分且在P中一致有界∈ P、 推论5.3。有常数Y，Y∈ R使得对于每个P∈ P、 YИ,P∈ [Y，Y]dt×P-a.e.此外，在每个P∈ P、 dYД,Pt=-bV（t，Xt；ζPt）dt，其中bV在（5.9）中定义。证据通过构造νt=ν（t，Xt），Yν动力学（5.8）中的局部鞅部分,每个P的Pis为零∈ P、 因此，有必要找到一个统一的界限（独立于P∈ P） 对于位移系数bV（t，Xt；ζPt）。

但这是直接FROM假设4.2（b）和（d）。有点滥用符号，^1t表示过程ν的时间t值而不是函数ν的部分导数关于第一个变量。引理5.2以及S和∑in（2.6）的协变量和一个特定样本的半鞅分解（2.8），描述了P∈ P、 这允许写下对应于Dg（2.16）的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs方程：对于每个ψ>0，HJBI方程读取aswψt（t，x，y）+supν∈Rinfζ∈Z（t，x）Hψ（t，x，y；ν，ζ）=0，（5.14），其中哈密顿量Hψ：D×R×R×Z→ R由hψ（t，x，y；ν，ζ）=ψU′（y）f（∑，ζ）+νwψ∑+（α+βσ）wψA给出- bV（ζ）wψY+σS（wψSS+2γwψSA+γwψAA）+σSη（wψS∑+γwψA∑）+（η+ξ）wψ∑+σS[θ- ( - φCS）]（wψSY+γwψAY）+σSη[φC∑- V∑（wψSY+γwψAY）+σSη[θ- ( - φCS）]wψ∑Y+[φC∑- V∑]（η+ξ）wψ∑Y+σS[θ- ( - φCS）]wψY+（η+ξ）[φC∑- V∑wψY+σSη[θ- ( - φCS）][φC∑- V∑wψY.（5.15）我们强调，（5.2）中定义的候选值函数wψ不能精确解HJBIequation（5.14）。然而，证明这两个不等式（5.3）–（5.4）的关键步骤是证明wψ是（5.1-4）的渐近解（在适当意义上）；参见下面的引理5.13和5.14。我们通过提供一个辅助引理来结束这一初步部分，该引理允许根据以下条件估计bV（t，x；ζ）或bC（t，x；ζ）等量：ζ- ζ（∑）.引理5.4。定义函数q:R+×R×R→ R byq（σ，a，ζ）=νa+a（σ- ∑）+σηa+（η+ξ）a，（5.16），其中a=（a，a，a，a）和ζ=（ν，σ，η，ξ）. 然后：| q（σ，a，ζ）|≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）.证据固定∑∈ R+，a∈ R、 和ζ∈ R、 由于q在ζ中是二次的，我们可以在矩阵中重新计算它：q（σ，a，ζ）=a∑a∑aaζ-ζ（∑）+σ- ∑ηaaaa级σ- ∑η.

（5.17）使用Cauchy–Schwarz不等式，可以通过max（1，∑）| a轻松估算（5.17）右侧第一个和的绝对值|ζ-ζ（∑）. 同样地，利用弗罗贝尼乌斯范数与欧几里德范数的可比性，二次求和的绝对值由aaaa级Fσ- ∑η≤ |a|ζ- ζ（∑）.请注意，Hψ的定义已经包含了值函数的候选一阶展开式wψ，因此不以一般解函数及其导数为参数。5.1.2哈密顿量的估计为了证明候选值函数是HJBIequation（5.14）的渐近解，我们需要（5.15）中定义的哈密顿量Hψ的一些估计。为此，我们将其分解为四部分：Hψ（t，x，y；Д，ζ）=U′（y）Hψ（t，x；ζ）+U′（y）Hψ（t，x，y；ζ）- U′（y）H（t，x；ζ）ψ- Hψ（t，x；ν，ζ），（5.18），其中Hψ（t，x；ζ）：=2ψ（ζ- ζ（∑）ψ-1（ζ- ζ（∑）- v（t，x）（ζ）- ζ（σ）），（5.19）Hψ（t，x，y；ζ）：=-σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η+U′′（y）U′（y）bV（ζ）ewψ，H（t，x；ζ）：=νew∑+（α+βσ）ewA+σS（ewS+2γewSA+γewAA）+σηS（ewS∑+γewA∑）+（η+ξ）ew∑，Hψ（t，x，y；ν，ζ）：=-wψYσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑1ηηη+ξσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑+ ψU′（y）σS（ewS+γewA）ew∑1ηηη+ξσS（θ- ( - φCS））φC∑- V∑.Hψ包括惩罚项（参见（2.13）中f的定义）和bV（ζ）wψY的线性O（1）部分；Hψ包含bV（ζ）wψY的二次O（1）部分和O（ψ）部分；Hψ收集wψ的所有二阶偏导数，这些偏导数至少涉及Y的一个偏导数；和Htakes c是wψ的所有剩余部分导数。为了以后的参考，我们注意到，通过定义Handζ，ew的PDE（4.7）可以写成WT（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）=0（t，x）∈ D

（5.20）此外，对于每个（t，x，y）∈ D×R和ζ∈ Z、 Hψ（t，x；ζ（∑））=0，Hψ（t，x；ζ（∑））=0，Hψ（t，x，y；Д（t，x），ζ）=0，（5.21），通过构建参考反馈控制ζ（参见定义2.4）和三角织女星对冲Д（参见（5.13））。备注5.5。回想一下，HJBI方程（5.14）涉及到ζ的最小化∈ Z（t，x）和ν上的最大化∈ R、 策略变量ν仅出现在Hψ项中。此外，使用形式为ζ=ζ（∑）+eζψ的ans atz，可以检查eζ仅影响Hψ到Hψ的O（ψ）项（前提是Д=Д使得Hψ项va为hes；参见（5.21））。eζ通过Hψ和Honly的影响出现在更高阶。这种区别反映在以下这种情况的证明中。一方面，Hψ和Hin命题5.9–5.10以及推论5.11的估计非常直接，同时提供了渐近上界和下界。另一方面，当相应边界分别来自策略变量和控制的优化问题时，Hψ，尤其是Hψ估计的证明更加困难。Hψ的渐近界比较容易，因为Hψ是四分之一，且优化是无约束的。相反，命题5.8中Hψ的符号界来自线性约束二次规划问题（3.10）。另一个困难源于这样一个事实，即我们需要为控制ζ保持这个界限∈ Z（t，x）满足非线性约束bC（t，x；ζ）=0而不是线性约束（参见命题5.8（a））。我们首先提供了一个线性约束二次规划问题的解决方案，该问题涉及织女星伽马-瓦纳-伏尔加向量c（t，x）和v（t，x），这两个向量位于HJBI方程最小化部分的核心。特别地，候选反馈控制ζψ（cf。

（4.6））是最小值ζψ的合适修改版本*（参见下面的（5.24））；这两种控制仅通过指标1{∑<∑<∑}进行区分，确保一旦隐含波动率达到[∑，∑]的边界，ζψ回落到参考反馈控制ζ（∑）。回顾（2.14）和（4.1）–（4.6）中ψ、c、v、λ、u、eζ和ζψ的定义。引理5.6。对于每个（t，x）∈ D且ψ>0，考虑线性约束极小问题minimizehψ（t，x；ζ）subject t oζ∈ 兹林（t，x）。（5.22）（a）对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，我们有minζ∈Zlin（t，x）Hψ（t，x；ζ）=-eg（t，x）ψ（5.23），在ζψ处达到最小值*（t，x）=ζ（∑）+ψeζ（t，x）。（5.24）尤其是作为ζψ*∈ Zlin（t，x），c（t，x）eζ（t，x）=0和~eeζ（t，x）≥ 0.（b）对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，（λ（t，x），u（t，x））是（5.22）的拉格朗日乘数（与ψ无关），即。，-eg（t，x）ψ=infζ∈RLψ（t，x；ζ，λ（t，x），u（t，x）），其中lψ（t，x；ζ，λ′，u′）=Hψ（t，x；ζ）+λ′c（t，x）（ζ）- ζ（∑）- u′~e（ζ）- ζ（∑）（5.25）是对应于约束最小化问题（5.22）的拉格朗日函数。（c） 桶>0，因此0≤ eg公司≤ Kegon D.（D）有Kζ≥ 1使得对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，ζψ（t，x）- ζ（∑）≤ Kζψ。（e） 对于每个（t，x）∈ D和ψ>0，Hψ（t，x；ζψ（t，x））=-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ。（f） 有Kλ∈ lp使得对于每（t，x）∈ D、 |λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑F≤ Kλ（t，x）。（5.26）证明。回顾Hψ（t，x；ζ）（参见（5.19））和Zlin（t，x）（参见（5.6））的定义，并使用替代z=ζ- ζ（∑），很容易看到每个（t，x）∈ 当ψ>0时，最小化问题（5.22）可以被重新定义为最小值2ψzψ-1z- v（t，x）z受z约束∈ R、 zc（t，x）=0，z≥ 0。（5.27）注意，（5.27）是形式（a.5）的线性约束最小化问题，n=4，D=ψ-1/ψ，v=v（t，x），c=c（t，x）。

还请注意，对于D的选择，我们有（分别用D对角线上的dmax和Dmin最大和最小元素表示）dmax=ψ-1min/ψ，dmin=ψ-1max/ψ，特别是r，dmaxmin=ψmaxψmin.（a）：Fix（t，x）∈ D和ψ>0。根据引理A.1（A）（5.27）的最小值是z*= ψeζ（t，x）。在r e替换后，这将产生原始最小化问题（5.22）的最小化器（5.24）。此外，根据引理A.1（c），最小值（5.27）（与最小值（5.22）完全一致）为-v（t，x）z*= -v（t，x）eζ（t，x）ψ=-eg（t，x）ψ；回想一下（4.8）中eg的定义。为了进一步参考，我们还注意到| z上的界*| 引理A.1（A）翻译为eζ（t，x）≤ ψmax | v（t，x）|。（5.28）（b）：这紧跟引理A.1（d）的第二个断言。（c） ：根据假设4.2（d）和v（t，x）的定义，有一个常数Kv>0，例如v（t，x）|≤ Kvfor all（t，x）∈ D、 设置Keg=ψmaxKvand fix（t，x）∈ D和ψ>0。Asζ（∑）∈ Zlin（t，x）和Hψ（t，x；ζ（∑））=0，我们有eg（t，x）≥ 0乘以（5.2 3）。另一方面，使用Cauchy–Schwarz不等式和（5.2 8），我们得到了e very（t，x）∈ D： g（t，x）=v（t，x）eζ（t，x）≤ |v（t，x）|eζ（t，x）≤ ψmax | v（t，x）|≤ 小桶。（d） ：设置Kζ=max（ψmaxKv，1），其中Kvis如第（c）部分的证明所示，fix（t，x）∈ D以及ψ>0。If∑∈ {∑，∑}，然后通过构造ζψ（t，x）=ζ（∑），断言很简单。否则，如果∑∈ （σ，σ），然后ζψ（t，x）=ζψ*（t，x）和（5.2 8）意味着ζψ（t，x）- ζ（∑）=ζψ*（t，x）- ζ（∑）=eζ（t，x）ψ≤ ψmax | v（t，x）|ψ≤ Kζψ。（5.29）（e）：固定（t，x）∈ D和ψ>0。首先，我们假设∑∈ {∑，∑}。然后通过构造ζψ，ζψ（t，x）=ζ（∑），根据Hψ（t，x；ζ（∑））=0（参见（5.21））。其次，假设∑∈ （∑，∑）。则ζψ（t，x）=ζψ*（t，x）和（a）部分的断言。（f） ：让Kv>0与第（c）部分的证明相同。

那么引理A.1（b）的界（A.7）意味着，对于每个（t，x）∈ D、 |λ（t，x）c（t，x）- u（t，x）~ e |≤1+ψmaxψmin千伏。（5.30）从（4.1）中回忆c（t，x）=（c∑，SCSS，∑SCS∑，c∑）. 显然，λ（t，x）c（t，x）的前三个分量中的每一个的绝对值都以向量λ（t，x）c（t，x）的长度为界-u（t，x）~e。同时使用∑>0，我们可以找到一个常数K>0，使得对于每个（t，x）=（t，S，a，M，∑）∈ D、 |λ（t，x）C∑（t，S，∑）|≤ K、 |λ（t，x）SCSS（t，S，∑）|≤ K、 |λ（t，x）SCS∑（t，S，∑）|≤ K、 （5.31）（由于存在术语u（t，x）~ ein（5.30），该参数不适用于λ（t，x）c（t，x）的第四分量。）设置Kλ（t，x）=3K（2+KC（t，x）），其中KC∈ LPI如第4.2（c）条所述。很明显，Kλ∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 使用向量的欧几里德范数由其每个条目的绝对值之和控制，以及假设4.2（c）约束| c∑|，|λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑F=|λ（t，x）|（SCSS，SCS∑，SCS∑，C∑）≤ |λ（t，x）||SCSS |+2 | SCS∑|+| C∑|≤ （2+KC（t，x））|λ（t，x）||C∑|+| SCSS |+| SCS∑|.将其与（5.31）相结合，并选择Kλ完成证明。推论5.7。对于每个（t，x）∈ D、 eg（t，x）=-∑φSCSS公司- （βVA+SΓ）eσ- ∑φSCS∑- S∑eη-（φC∑∑- V∑eξ，其中函数（eν，eσ，eη，eξ）=eζ在（4.5）和φ中定义=V∑C∑。证据We fix（t，x）∈ 并删除下面的所有参数以简化表示法。回想一下EG=v定义eζ（参见（4.8））。此外，ceζ=0，引理5.6（a）。因此，eg=（v- φc）eζ。请注意，v的第一个分量-φ通过选择φ，c为零（织女星对冲抵消了织女星组合）。

现在，该断言源自（4.1）和（4.2）中c和v的定义。本小节的其余部分提供了四项Hψ、Hψ、H和Hψ的估计值。粗略地说，以下第一个命题的（a）部分表明-eg（t，x）ψ不仅是Hψ（t，x；ζ）over rζ的下界∈ Zlin（t，x）（如引理5.6所示），但对于ζ，也可以达到O（ψ）级∈ Z（t，x）表示克隆e到ζ（∑）。此外，第（b）部分表明，该下界大约由接近候选反馈控制ζψ的控制ζ获得。命题5.8（Hψ估计）。（a） 让0≤ K∈ 有限合伙人。有一个非负K∈ LP（取决于K），以便对于每个（t，x）∈ D、 ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ，（5.32）我们有hψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ- K（t，x）ψ。（b） 让0≤\'\'K∈ 有限合伙人。有一个非负K∈ LP（取决于'K）包括每个（t，x）的∈ D、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζψ（t，x）≤\'K（t，x）ψ，（5.33）我们有hψ（t，x；ζ）≤ -eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+K（t，x）ψ。证据（a） ：选择0≤ Kλ∈ 引理5.6（f）中的LPas，并设置K（t，x）=Kλ（t，x）K（t，x）。问∈ L和Kλ∈ LP，那么K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）满足（5.32）。Asζ=（ν，σ，η，ξ）∈ Z（t，x），我们有bC（t，x；ζ）=0和ξ≥ 因此，使用alsothatu（t，x）≥ 定义为0（参见（4.4）），Hψ（t，x；ζ）≥ Hψ（t，x；ζ）+λ（t，x）bC（t，x；ζ）- u（t，x）ξ。用表达式（5.5）代替Bc，并使用La grangian Lψ的定义（5.25），得到hψ（t，x；ζ）≥ Lψ（t，x；ζ，λ（t，x），u（t，x））+λ（t，x）σ- ∑ηSCSSSCS∑SCS∑C∑σ- ∑η.右侧的第一个术语从下方以-引理5.6（b）的eg（t，x）ψ。为了估计第二项，我们使用Cauchy–Schwarz不等式，Robenius范数和欧几里德范数的相容性，以及（σ-∑，η）只是ζ的第二和第三个分量- ζ（∑）。

因此，我们发现hψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ-|λ（t，x）|SCSSSCS∑SCS∑C∑Fζ- ζ（∑）.最后，条件（5.32）和Le mma 5.6（f）中的界限（5.26）给出ψ（t，x；ζ）≥ -eg（t，x）ψ-Kλ（t，x）K（t，x）ψ。这通过选择K.（b）证明了断言（a）：设置K′（t，x）=Kζ+’K（t，x），其中Kζ如引理5.6（d）中所选。很明显，K′∈ 有限合伙人。根据假设4.2（d）和v（t，x）的定义，存在一个常数Kv>0，使得| v（t，x）|≤ Kvfor all（t，x）∈ D、 接下来，设置K（t，x）=ψ-1minK′（t，x）+KvK（t，x）。自K′，K∈ LP，接下来是K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ D、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.3 3）。为简洁起见，我们写ζψ=ζψ（t，x）和ζ=ζ（∑）。现在，根据多元中值定理l ∈ [0，1]使得Hψ（t，x；ζ）=Hψ（t，x；ζψ）+DζHψ（t，x；ζl)（ζ）- ζψ）（5.34），其中ζl= （1）- l)ζψ+lζ。通过Hψ的定义，我们得到了ζHψ（t，x；ζl) =ψψ-1（ζl- ζ）- v（t，x）。引理5.6（d）和（5.33），ζl- ζ=ζψ- ζ+l（ζ）- ζψ）≤ζψ- ζ+ lζ- ζψ≤ Kζψ+(R)K（t，x）ψ≤ K′（t，x）ψ，所以DζHψ（t，x；ζl)≤ ψ-1minK′（t，x）+Kv。（5.35）此外，通过引理5.6（e），Hψ（t，x；ζψ）=-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ。结合（5.34）中的（5.35）和（5.33），我们得到了inHψ（t，x；ζ）≤ -eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+ψ-1minK′（t，x）+Kv\'K（t，x）ψ。这通过选择K证明了断言（b）。接下来的两个属性提供了参考反馈控制ζ（∑）和备选方案ζ之间欧氏距离Hψ和Hin项的估计：命题5.9（Hψ估计）。对于每一个（t，x，y），都有K>0的曲面∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0，Hψ（t，x，y；ζ）≤ Kζ- ζ（∑）ζ- ζ（∑）+-U′（y）U′（y）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ.证据设置K=最大值（KV，4 max（1，∑）KVKew），其中KV和Keware如假设4.2（d）–（e）所示。还有fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0。

现在，首先请注意，bV（t，x；ζ）的形式为（5.16），其中=V∑，βVA+SΓ，S∑，V∑∑.因此，根据引理5.4，事实是| a |≤ 2KVby假设4。2（d），以及K，| bV（t，x；ζ）|的选择≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）≤KKew公司ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.（5.36）接下来，使用命题5.9（a）证明中的第一个范数估计，然后使用假设4.2（d），以2KV的电压估计产生的Frobenius范数，我们发现σ- ∑ηβVA+SΓS∑S∑V∑∑σ- ∑η≤ 千伏ζ- ζ（∑）. （5.37）最后，使用（5.36）–（5.37）和| ew |≤ Kewon D根据假设4.2（e），我们得到Hψ（t，x，y；ζ）≤ 千伏ζ- ζ（∑）+ K-U′（y）U′（y）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ≤ Kζ- ζ（∑）ζ- ζ（∑）+-U′（y）U′（y）最大值1.ζ- ζ（∑）ψ.提案5.10（Hestimate）。有K∈ lp使得对于每（t，x）∈ D和ζ∈ ZH（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.证据设置K（t，x）=2 max（1，∑）| a（t，x）| where（t，x）=ew∑，βewA+S（ewS+2γewSA+γewAA），S（ewS∑+γewA∑），ew∑.根据假设4.2（e），a的每个组件都在LPA中，因此也是K∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x）∈ Dandζ∈ Z、 很容易看出差值：=H（t，x；ζ）- 对于a=a（t，x），H（t，x；ζ（∑））的形式为（5.16）。因此，通过引理5.4和K的选择，| d |≤ 最大值（1，∑）| a|ζ- ζ（∑）+ |a|ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）最大值1.ζ- ζ（∑）.将命题5.9和5结合起来。10，以下推论保证，如果ζ接近ζ（∑），则Hψ（t，x；ζ）为O（ψ）级，H（t，x；ζ）可替换为H（t，x；ζ（∑））和O（ψ）级aterm。推论5.11。让0≤ K∈ 有限合伙人。有K2,3∈ LP（取决于K），以便对于每个（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 且ψ>0满足ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ，（5.38）我们有Hψ（t，x，y；ζ）≤ K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ，H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K2,3（t，x）ψ。证据选择K>0和K∈ 命题5.9和5.10中的LPA。

由于Z和∑，∑是有界的，所以存在一个常数K′≥ 1使得对于每个ζ∈ Z和∑∈ [∑，∑]，ζ- ζ（∑）≤ K′。设置K2,3=K（t，x）（Kmax（K′，K（t，x））+K（t，x）K′）。很容易看出K2,3∈ 有限合伙人。现在，fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0满足（5.38）。然后根据命题5.9和（5.38），Hψ（t，x，y；ζ）≤ KK（t，x）ψK（t，x）ψ+-U′（y）U′（y）K′ψ≤ K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ。同样，根据命题5.10和（5.3 8），H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K（t，x）K（t，x）K′ψ≤ K2,3（t，x）ψ。最后，s下面的命题5.12表明Hψ从0到O（ψ）阶的m之间是有界的。回想一下（5.21），这个符号下界是由δvegahedge得到的，即Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）=0。命题5.12（Hψ估计）。有一个非负K∈ lp使得对于每个（t，x，y）∈D×R，ν∈ R、 ζ∈ Z、 ψ>0，Hψ（t，x，y；ν，ζ）≥ U′′（y）K（t，x）ψ。证据我们首先认为wψY≤ D×R上的U′。由于U具有递减的绝对风险厌恶（参见假设4.2（f）），我们对每个y∈ R、 0个≥ddy公司-U′（y）U′（y）= -U’（y）U’’（y）- U′（y）U′（y）。特别是，由于U′>0，我们得到了U′′>0。与ew一起≥ 0（参见假设4.2（e）），这将产生wψY=U′- U′′ewψ≤ D×R上的U′<0。现在，设置K（t，x）=KσS（ewS+γewA）+ew∑为了一些康斯坦特≥ 最大ζ∈Z（1+2η+（η+ξ））1/2。作为S（ewS+γewA），ew∑∈ LPby假设4。2（e），我们有K∈ 有限合伙人。接下来，fix（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 ψ>0。WriteQ公司=1ηηη+ξ安洛=σS（ewS+γewA）ew∑,考虑函数q:R→ R由q（z）=-wψY YzQz+ψU′（y）ewQz。很明显，在z上最小化q∈ Ris等价于在ν上最小化Hψ（t，x，y；ν，ζ）∈ R（根据假设4.2（C）重新调用C∑6=0）。此外，det Q=（η+ξ）- η=ξ≥ 0且trac e Q=1+η+ξ>0，因此对称矩阵Q是正半有限的。因此，q是凸的，并且是一阶条件q的nysolution-wψY Yz+ψU′（Y）ew= 0是（全局）最小化器。

作为z*=U′′（y）wψy Yewψ解一阶条件，在s代数之后，我们得到q的最小值是U′（y）wψy YewQewψ。也使用wψY≤ 在D×R上U′<0，我们得出结论，对于所有的Γ∈ R、 Hψ（t，x，y；Д，ζ）≥U′（y）ewQewψ。最后电子战Qew公司≤|ew | kQkF≤ K（t，x）通过选择K。结合前面的两个估计完成了证明。5.1.3 HJBI方程的近似解以下引理表明，（5.2）中定义的候选值函数wψ在高达O（ψ）级的条件下是HJBI方程（5.14）的“上解”。该分析结果是第5.1.4节不等式（5.3）证明的主要内容。引理5.13（下限）。固定常数Y≤ Y有一个非负的Klo∈ LP（依赖于Y，Y），因此对于每个（t，x，Y）∈ D×[Y，Y]和ψ∈ （0，1），wψt（t，x，y）+infζ∈Z（t，x）Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）≥ -Klo（t，x）ψ。（5.39）证明。作为辅助结果，我们证明了存在K∈ lp使得对于每个（t，x，y）∈D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）≤ Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（σ）），（5.40）我们有ζ- ζ（∑）≤ K（t，x）ψ。（5.41）利用命题5.9以及Z和[Y，Y]是紧的事实，存在一个常数K′>0，使得对于每个（t，x，Y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1），Hψ（t，x，y；ζ）≤ K′ζ- ζ（∑）.类似地，使用命题5.10，有K′∈ lp使得对于每（t，x）∈ D和ζ∈ ZH（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））≤ K′（t，x）ζ- ζ（∑）.现在，设置K（t，x）=2ψmax（| v（t，x）|+K′+K′（t，x））。假设v（t，x）由假设4.2（d）一致有界，那么K∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.40）。

重新排列（5.40）并使用Hψ的分解（5.18），Hψ项vanis hes by（5.21），上述对Hψ的估计以及对Hψ项的直接估计，我们发现0≥Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）- Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（∑）/U′（y）=Hψ（t，x；ζ）+Hψ（t，x，y；ζ）-H（t，x；ζ）- H（t，x；ζ（∑））ψ≥2ψψmaxζ- ζ（∑）- v（t，x）（ζ）- ζ（∑）- （K′+K′（t，x））ζ- ζ（∑）.通过重新排列ter-ms并应用Cauchy–Schwarz不等式，我们得到ζ- ζ（∑）≤ 2ψ最大值|v（t，x）|+K′+K′（t，x）ζ- ζ（∑）ψ≤ K（t，x）ζ- ζ（∑）ψ和（5.41）如下。现在我们来看看（5.39）的证明。选择K2,3∈ 推论5.11中的LPA（与辅助结果中的K相同），K∈ 命题5.8（a）中的LPA和setKlo（t，x）=U′（Y）K（t，x）+K2,3（t，x）2+-U′（Y）U′（Y）.很明显，Klo∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×[Y，Y]，ζ∈ Z（t，x）和ψ∈ （0，1）。首先，我们注意到ζ（∑）∈ Z（t，x）和（5.20）–（5.21）和引理5.6（c），wψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ（∑）=-U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））ψ=U′（y）eg（t，x）ψ≥ 0。鉴于断言（5.39），我们可以认为（5.40）是令人满意的。反过来，（5.41）又被辅助结果所满足。特别是，我们可以在下面使用命题5.8（a）（对于Hψ）和推论5.11（对于Hψ和H）的估计。加上Hψ项消失（5.21）yieldwψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν（t，x），ζ）=U′（y）-ewt（t，x）ψ+Hψ（t，x；ζ）+Hψ（t，x，y；ζ）- H（t，x；ζ）ψ≥ -U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）ψ- U′（y）K（t，x）+K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）+ K2,3（t，x）ψ≥ -Klo（t，x）ψ，其中，在最后一个不等式中，我们还使用（5.20）来消除O（ψ）项，并且Uhas递减绝对风险厌恶（参见假设4.2（f））来估计O（ψ）项。

Asζ∈ Z（t，x）是任意的，（5.39）如下。下一个引理显示，（5.2）中定义的候选值函数wψ是HJBI方程（5.14）的“次解”。这里，如果∑在∑，∑的内部，则渐近估计为O（ψ）阶，否则为O（ψ）阶。该分析结果是第5.1.5节不等式（5.4）证明的主要内容。引理5.14（上界）。让0≤\'\'K∈ 有限合伙人。有一个非负的Kup∈ LP（依赖于“K”），因此对于每个（t，x，y）∈ D×R，ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）令人满意ζ- ζψ（t，x）≤K（t，x）ψ，（5.42）我们有wψt（t，x，y）+supν∈RHψ（t，x，y；Д，ζ）≤ Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）ψ1+1{∑∈（∑，∑）}。（5.43）证明。定义Kζ≥ 1如L emma 5.6（d）中所述，并设置K（t，x）=K（t，x）+Kζ。很明显，K∈ 有限合伙人。选择K，让K2,3∈ LPbe定义见推论5.11。此外，定义K∈ 提案5.8（b）和K中的LPA∈ 提案5.12中的LPA。此外，请注意keg>0使得0≤ eg公司≤ Kegon D引理5.6（c）。现在，设置Kup（t，x）=4 maxK（t，x）+2K2,3（t，x）+K（t，x），桶. 很明显，库普∈ 有限合伙人。固定（t、x、y）∈ D×R，ν∈ R、 ζ∈ Z、 和ψ∈ （0，1）满足（5.42）。特别是，第5.8（b）条中的条件（5.33）成立。

引理5.6（d）和（5.42），ζ- ζ（∑）≤ζ- ζψ（t，x）+ζψ（t，x）- ζ（∑）≤\'K（t，x）ψ+Kζψ≤ K（t，x）ψ，因此推论5.11的条件（5.38）也满足。使用命题5.8（b）（对于Hψ）和命题5。12（对于Hψ）以及推论5.1 1（对于Hψ和H）来估计Hψ分解（5.18）中的四个和，以及（5.20）在最后一步中，我们得到了ψt（t，x，y）+Hψ（t，x，y；ν，ζ）≤ -U′（y）ewt（t，x）ψ+U′（y）-eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+K（t，x）ψ+ U′（y）K2,3（t，x）1个+-U′（y）U′（y）ψ- U′（y）H（t，x；ζ（∑））- K2,3（t，x）ψψ-U′′（y）K（t，x）ψ=-U′（y）ewt（t，x）+H（t，x；ζ（∑））+eg（t，x）1{∑∈（∑，∑）}ψ+U′（y）K（t，x）+2K2,3（t，x）+K2,3（t，x）+K（t，x）-U′（y）U′（y）ψ≤ U′（y）eg（t，x）1{∑∈{∑，∑}}ψ+Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）ψ≤Kup（t，x）U′（y）1个+-U′（y）U′（y）{∑∈{∑，∑}}ψ+ψ.Asν∈ RWA是任意的，断言通过区分案例∑很容易得出∈ （∑，∑）和∑∈ {∑，∑}（使用该ψ∈ （第二种情况下为0，1）。5.1.4根据第5.1节开头定理4.5的证明要求，随机微分方程的渐近下界现在可以建立SDG（2.16）的渐近下界。引理5.15。A sψ↓ 0，infP∈PJψ（ν）, P）≥ wψ+o（ψ）。证据选择Y，Y，就像在推论5.3中一样，通过这个选择，让Klo∈ 引理5.13中的LPbe。现在，fixε>0，ψ′∈ （0，ψ）使得kklopψ′≤ε、 让ψ∈ （0，ψ′）。我们需要证明这一点∈PJψ（ν）, P′）- wψ≥ -εψ。（5.44）选择P∈ P使得Jψ（ν, P）-εψ≤ infP′型∈PJψ（ν）, P′）。然后输入\'∈PJψ（ν）, P′）- wψ≥ Jψ（ν）, P）- wψ-εψ。