模型不确定性、重新校准和三角织女星的出现

2022-5-31 08:42:24

模型不确定性、重新校准和Delta Vega对冲的合并*Sebastian Herrmann+Johannes Muhle KarbeAbstracts我们研究了Black-Scholes参考模型的期权定价和不确定性套期保值，该模型动态重新校准为流动交易Vanilla期权的市场价格。对于标的资产和普通期权的动态交易，delta vega Hedging在小不确定性厌恶极限下渐近最优。相应的差异价格修正由非交易期权和流动交易期权的维加斯、加马斯、瓦纳斯和沃尔加斯之间的差异决定。模型不确定性；重新校准；三角织女星对冲；较小的不确定性厌恶；渐近性。AMS MSC 2010初级，91G20，91B16；次级，93E20。JEL Cl ASSITION G13、C61、C73.1简介在对冲奇异衍生品的背景下，金融市场的数学模型在实践中的应用方式往往与这些模型所基于的假设以及在学术研究中的分析方式不一致。经典模型规定了某些金融变量（如资产价格或利率）在确定性输入量、模型参数方面的随机行为。然而，在实践中，这些确定性参数往往根本不被视为确定性的：异国衍生品交易员经常根据观察到的流动交易普通期权的市场价格重新校准参数，并使用这些期权来中和其头寸对这些参数变化的敏感性（Reboota恰当地称为模型外对冲[50]）。基准Black-Scholes模型通常通过将波动率参数（该模型为常数）动态更新为流动交易普通期权的市场价格来重新校准。

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mingdashike22

2022-5-31 08:42:27

Vega Hedging对应于中和交易者总头寸对波动性参数变化的敏感性。Rebonato[50，第1.3.2节]简要总结了这种做法的逻辑不一致性，例如：“不用说，模型外套期保值在概念上相当不稳定：如果波动率是确定性的，并且是众所周知的，正如许多模型过去在价格评估时所认为的那样，就没有必要低估织女星套期保值。此外，计算织女星统计意味着估计对*作者感谢Martin Herdegen、David Hobson、Jan Kallsen和Frank Seifried的卓有成效的讨论，特别是Martin Schweizer对初稿的中肯评论。感谢两位匿名推荐人的详细和有益的评论。+密歇根大学数学系，530 Church Street，A nn Arbor，MI 48109，USA，emailsherrma@umich.edu.感谢瑞士金融研究所提供的财政支持密歇根大学数学系，530 Church Street，A nn Arbor，MI 48109，USA，emailjohanmk@umich.edu.Vega是指B lack–Scholes价格对波动率参数变化的敏感性。Davis【19，第2（b）节】、Musiela和Rutkowski【44，第7.1.8节】以及Wilmott【58，第7.10.5节】提出了同样的担忧。假设同一波动率具有确定性且完全已知，则得出的价格波动率。

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kedemingshi

2022-5-31 08:42:30

尽管存在这些逻辑问题，但在复杂的衍生品交易社区中，普遍采用模型外hedg，尤其是vega对冲。”本文通过从一开始就承认底层的真实动态并不确定，从而为Black–Scholes vega的使用提供了一致的理由。我们假设模型被认为或多或少是合理的，这取决于它们与参考布莱克-斯科尔斯模型的“距离”。一个新的特点是，将参考模型的波动率参数动态地重新校准为流动交易Vanilla期权的观察价格。在s mall对该模型不确定性的厌恶极限下，delta vega对冲自然出现。对冲问题。考虑一个年龄段的nt，她在股票S上出售了无n交易的期权，并有权使用三种流动交易证券来对冲她的风险敞口：股票、股票的普通期权（她的名字叫“看涨”），以及一个零利率的银行账户。在实践中，看涨期权的市场价格通常根据其（Black-Scholes）隐含波动率进行报价。也就是说，交易者不计算市场价格Ct，而是计算唯一的∑t>0，从而得出Ct=C（t，St，∑t），（1.1），其中C（t，S，∑）是波动性参数∑对应的看涨期权的Black-Scholes价格。

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2022-5-31 08:42:34

因此，可以等效地描述股票价格的动态和看涨期权的隐含波动性，而不是对股票和看涨期权价格的动态进行建模，并通过（1.1）定义看涨期权价格。如果股票和看涨期权采用自我融资策略进行交易，则相应的损益（P&L）过程Yγ具有以下动态：dYγt=θtdSt+φtdCt- dV（t，St，∑t）。这里，V（t，St，∑t）是在隐含可用性∑t从时间t的看涨期权价格中计算出的非交易期权V的B lack–Scholes价格。也就是说，根据行业惯例，非交易期权是“按模型标记”，而流动交易的股票和看涨期权是“按市场标记”。然而，在非交易期权到期日T时，V（T，ST，∑T）=V（ST）是期权支付，因此YνT与代理人的实际期末损益有关。我们假设代理人对股票和看涨期权的动态不确定。也就是说，她考虑了所有概率测度P，其中（S，∑）的动力学由dst=StσPtdWt，d∑t=νPtdt+ηPtdWt+qξPtdWt控制，（1.2）对于布朗运动（W，W），在随机过程中ζP=（νP，σP，ηP，ξP）满足νPtC∑+StCSS（（σPt）- ∑t）+σPtηPtStCS∑+（（ηPt）+ξPt）C∑=0。（1.3）为了简单起见，我们在本简介中仅限于普通选项。

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2022-5-31 08:42:38

我们的主要结果，即定理4.5，同样适用于范围广泛的奇异期权，如障碍期权、回望期权、亚式期权、远期启动期权和股票实现方差期权。正如渐近分析中的惯例，选择过程σP、νP、ηP和ξPin的幂（S，∑）的动力学，以便所有这些过程都对下面渐近展开式中的前阶项有重要影响。相反，使用隐含波动率的不相关波动率pξp代替不相关平方波动率ξp只能产生更高阶的影响。这是Bl-ack-Scholes模型的一个假象：对于隐含波动率的非零不相关波动率的任何参考模型，pξp应该是自然参数化；更多详情请参见备注3.2。这里，在（t，St，∑t）中计算C的偏导数C∑、CSS、CS∑和C∑。漂移条件（1.3）确保买入价格过程C是局部P鞅。请注意，Black–Schole s模型c对应于pw，pw为ζP=ζ（∑）：=（0，∑，0，0），即隐含波动率为常数，与即期波动率一致。我们假设代理具有适度的风险和不确定性厌恶。关于Riskaversion，我们假设在任何给定的模型中，代理都试图从其终端损益中获得最大的预期效用。关于不确定性厌恶，我们假设她对模型的重视程度越低，模型与参考Black-Scholes模型的偏离程度就越大。根据Maccheroni、Marinacci和Rustichini【42】的变量偏好和Hansenand Sargent【27】的乘数偏好的精神，这导致了以下随机微分博弈（SDG）：v（ψ）=supν=（θ，φ）infPEP“U（YУT）+2ψZTU′（YУT）ζPt- ζPtdt#。

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2022-5-31 08:42:41

（1.4）这里，ψ>0，U是一个效用函数，上确界覆盖了一个合适的交易策略类别，下确界是针对满足（1.2）–（1.3）的一类合适的概率测度。一种解释是，代理人与控制流动交易资产交易动态的敌对对手（恶意）进行博弈。然而，该对手的“极端”选择受到（1.4）中第二项的惩罚：所选模型P越偏离参考Black-Scholes模型P，对手的惩罚越高。比例因子ψ>0衡量了代理人对不确定性的厌恶程度：ψ的所有值都会导致很高的惩罚，即使是与Black-Scholes参考模型的所有偏差，这意味着替代模型的重视程度较低。注意，当ζPt=（0，∑t，0，0）时，参考Black-Scholes模型反映了“未来隐含波动率保持在当前观察水平”的信念不同的是，参考Black-Scholes模型被动态地重新校准为当前的期权价格。文献[28]针对局部波动率参考模型研究了没有流动交易的c all的相关套期保值问题。在这里，竞争对手选择股票的真实现货波动率，但根据其与参考局部波动率的距离进行处罚。渐近性。为了得到显式公式，我们将不确定性厌恶ψ趋于零时的极限传递给它。也就是说，我们将套期保值问题（1.4）视为Black-Scholes模型中经典套期保值问题的一个小扰动，并寻找以渐近最优方式考虑模型不确定性影响的套期保值策略和价格修正。

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2022-5-31 08:42:44

我们的主要结果，定理4.5，描述了套期保值策略= （θ, φ), 一类模型（Pψ）ψ和ew≥ 0使得，作为ψ↓ 0:v（ψ）=U（Y）- U′（Y）ewψ+o（ψ）=EPψ“U（YνT） +2ψZTU′（Yνt）ζPψt- ζPtdt#+o（ψ）。（1.5）（1.5）中的第一行是对冲问题最优值的t阶展开，用于不确定性厌恶参数ψ的小值。第二行显示了家族流动交易资产的局部鞅性质足以排除套利机会。它还确保代理人没有投资市场的意愿，而只是将其用作非交易期权的对冲工具；参见备注2.1。相比之下，大多数关于模型不确定性下套期保值的文献都研究了Avellanda、Levy、Parás[5]和Lyons[40]引入的不确定波动性模型的变体。这些和许多最近的研究（例如，[24、21、46、49、9、47]）寻找支配非交易期权支付的对冲策略，几乎可以肯定的是，对于每种预先指定类别的模型。这种最坏情况下的方法对应于具有有限风险和不确定性厌恶的偏好。有关这些偏好及其与标准预期能力框架以及最坏情况方法的关系的更多详细信息，请参阅【28，第1节】。我们的分析也适用于更一般的术语；参见（2.13）–（2.15）。termU′（Yνt）的包含并不重要，但有一些吸引人的特性。例如，它在效用函数的有效变换下呈现偏好不变；查阅

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2022-5-31 08:42:47

备注2.6了解更多详情。[40，2，3，23]对不确定波动率模型进行了渐近分析。（^1）, Pψ）ψ在前导阶O（ψ）处达到该最佳值。更重要的是，定理4.5表明（ν, Pψ）ψ实际上是SDG（1.4）序列的渐近鞍点，即策略的执行在领先阶O（ψ）和（Pψ）ψ上是最优的，而（Pψ）ψ是一系列领先或有序的最佳选择，供竞争对手选择。代理人在保持仓位和出售期权V之间存在差异的卖出价格具有扩张PA（ψ）=V+ewψ+o（ψ），其中相对于期权V在时间0的Black–Scholes价格，用波动率∑进行评估。因此，ewψ是代理要求的主要订单溢价，作为对自己暴露于模型不确定性的补偿。因此，EW衡量期权对模型错误指定的易感性，我们称之为现金等价物（小不确定性厌恶）。接下来，我们展示并讨论对冲策略的显式公式, 模型族（Pψ）ψ和等价腰果。套期保值策略= （θ, φ) 是选项V的三角织女星对冲：θt=VS（t，St，∑t）- φtCS（t，St，∑t），φt=V∑C∑（t，St，∑t）。也就是说，呼叫数φ选择，以便代理位置的净织女星φC∑- V∑，消失。这就给代理留下了一个净deltaof-VS+φCs通过保持θ来中和d基础股票，因此总投资组合为三角洲和织女星中性。我们强调，delta-vega对冲的领先阶最优性与a-gent效用函数及其不确定性厌恶参数ψ无关。

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2022-5-31 08:42:51

虽然代理厌恶风险（否则，在任何给定的模型中根本不需要对冲）并且在我们的意义上适度厌恶不确定性（织女星对冲是多余的，没有不确定性波动），但代理偏好的精确配置基本上是不相关的。此外，请注意，delta vega对冲与当前观察到的隐含波动率∑Tof流动交易看涨期权进行了计算，即用于计算对冲的Black-Scholes模型进行了动态再校准。接下来我们讨论了渐近最优模型（Pψ）ψ。描述模型Pψ的过程ζPψ满足ζPψt=ζPt+eζ（t，St，∑t）ψ+o（ψ），其中有些ζ=eζ（t，S，∑），这是由与SDG（1.4）相关的Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs（HJBI）方程衍生的线性约束q数值规划问题引起的（约束源于漂移条件（1.3）和非相关平方可用性的限制隐含波动率为非负）。模型Pψ是Black-Scholes模型P的扰动，由四个过程νP、σP、ηP和ξPin（1.2）进行参数化。显式公式Foreζ（参见（4.5））表明，渐近最优扰动利用了非交易期权V的vegas、gammas、vannas和Volgas与流动交易赎回权之间的差异，同时保持漂移条件（1.3）和限制ξP≥ 事实上，如果这些GreekS中的每一个对于非交易期权和流动交易看涨期权都具有相同的值（例如，如果V是一个与看涨期权具有相同到期日和行使权的看涨期权），则前序最优扰动ζ为零。最后，我们讨论了扩展（1.5）和现金等价ew的结构。

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2022-5-31 08:42:54

由于Black-Scholes模型是完整的，且交易资产是局部鞅，因此v（ψ）的表达式（1.5）的零阶终端只是初始损益产生的效用U（Y）。Firstorder修正项-U′（Y）ewψ是非正的，并且描述了模型不确定性的影响【28，定理3.4】中获得了二阶展开和下一阶领先阶最优策略，其中仅使用股票而不使用额外的普通期权进行动态对冲。Delta是Black-Scholes期权价值对标的资产价格变化的敏感性。底层的织女星显然为零。Gamma、vanna和volga是二阶偏导数/S/(S∑），以及/Black的∑–期权的Scholes值。对于较小的不确定性厌恶。现金等价物EW由一个带源项的线性二阶抛物线偏微分方程（PDE）确定。它具有以下概率表示：ew=EP“ZTeg（t，St，∑）dt#，其中EG（t，S，∑）=-∑（φSCSS公司- SVSS{z}净现金gamma）eσ-∑（φSCS∑- SVS∑{z}净现金vanna）eη-（φC∑∑- V∑|{z}网伏尔加）eξ≥ 0。（1.6）此处，eζ（t，S，∑）=（eν，eσ，eη，eξ）（t，S，∑）和（1.6）右侧的所有函数在（t，S，∑）中计算。因此，现金等价物EW由期权V存续期内累积的三角织女星对冲头寸的预期净现金伽马、净现金瓦纳和净伏尔加确定。这三个净（现金）希腊s通过即期波动率的领先阶最优扰动、隐含波动率的相关波动率进行加权，和隐含波动率的不相关平方方差。eg越大，现金等价物ew越大。

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mingdashike22

2022-5-31 08:42:57

特别是，短期净伽马头寸（在织女星对冲之后）暴露于高现货波动率（正eσ），短期净瓦纳头寸暴露于隐含波动率的波动率，该波动率与下方正相关（正eη），短期净伏尔加头寸暴露于隐含波动率的波动率（正eξ）。相反，净ga mma或净vanna中的多头头寸具有相反的风险敞口，但多头净伏尔加头寸不存在隐含波动性的波动性。Bec auseeξ不能为负。技术。与SDG（1.4）相关的HJBI方程涉及代理人套期保值策略和对手控制变量的p点min-maxproblem。这个最小-最大问题有一个非线性等式约束和一个源自漂移条件（1.3）和限制条件ξP的不等式约束≥ 分别为0。以ψ形式传递到极限↓ 0时，该问题可近似为线性约束二次最小化问题和无约束二次最大化问题。这两个pr问题都可以明确解决，并产生与模型族（Pψ）ψ近似对应的delta-vega对冲和候选控制（ζψ）ψ。将这些候选者重新插入HJBI方程，可以得到SDG值函数扩展中一阶项的PDE。这些候选者（渐近）最优性的严格验证将HJBI方程的渐近分析与SDG的经典验证参数相结合。它被分为纯分析部分和概率部分。

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可人4

2022-5-31 08:43:00

由于最小-最大问题中的约束，证明的两个部分需要与[28]中使用的方法相比有很大不同的方法。分析部分使用仔细的直接估计和拉格朗日对偶理论来解决约束优化问题，以表明候选值函数是HJBI方程的渐近（在适当意义上）解。证据的可能性部分将可持续发展目标的类别验证论据适应于简易环境。新的困难来自于这样一个事实，即活动adver的Andidate控件不能精确地满足漂移条件（1.3）（因为非线性约束仅近似于线性约束）。相关文献。现在，让我们通过讨论一些关于使用香草期权对冲异国情调的现有文献，将我们的结果置于上下文中。一组文献假设资产价格及其波动率都是随机的，并且遵循由两个布朗运动驱动的给定动力学。这种类型的随机波动率模型通常可以通过使用单一普通期权作为基础对冲工具之外的额外对冲工具来完成。相反，如果没有可用的流动交易看涨期权作为对冲工具，那么期权的现金Gammai是唯一出现在现金等价物概率表示中的希腊语【28】。根据公式（1.6），伏尔加空头净头寸仅暴露于隐含波动率中与标的资产不相关的部分。然而，从证据中可以看出，隐含波动率的相关波动率具有相同的影响，尽管仅在O（ψ）级。股票在马尔可夫环境中，复制策略可以与经典的Black-Scholes论证非常相似地确定。

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2022-5-31 08:43:04

这导致了所谓的“delta-sigma对冲”[34，56]，它抵消了投资组合对基础股价和现货波动率变化的敏感性。该策略与三角织女星对冲相关，因为它还利用期权价格的衍生工具，考虑到“波动性”。然而，在这里，“波动性”指的是可以（至少在理论上）从股票的实际变化中抵消的现货波动性。相反，delta vega对冲抵消了投资组合对（Black–Scholes）隐含波动率变化的敏感性，该波动率是从流动交易的市场价格中推导出来的。虽然现货波动率给出了股票价格的瞬时波动率，但隐含波动率是对从今天到流动交易期权到期的整个时间间隔内实现的未来波动率的估计。此外，在实践中，一旦流动性交易的模型和市场价格出现分歧，也必须对随机波动率模型进行重新调整。另一组文献研究了外部衍生品的稳健对冲。也就是说，这些研究寻找适用于某些大类模型（例如，任何连续鞅模型）的对冲策略。套期保值策略通常是半静态的形式：它们允许在看涨期权和看跌期权组合中进行静态头寸（通常是针对一个到期日和所有行权）和在基础中进行动态交易。对于方差掉期，这导致了一种逆向复制策略[45]，而对于各种其他外部期权（参见[29、12、18、17、16、32、30、31]），则确定了稳健的次级和超级对冲策略。

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kedemingshi

2022-5-31 08:43:07

在这些研究中，我们的目标是找到在每种可能的情况下都能细分或超复制奇异期权的投资组合。潜在偏好TheRefore对应于给定模型中的风险厌恶和模型本身的不确定性。相比之下，如【28】所述，我们考虑对风险和不确定性采取更温和的态度，这种态度在最坏情况方法和固定模型的类别设置之间平滑插入。另一个主要区别是，我们允许在单一的普通期权中进行动态交易，而不是在多次行使的看跌期权和看涨期权中进行静态头寸。实际上，eve n最具流动性的货币期权的买卖价差远大于标的股票。因此，直接实施三角织女星对冲（如每日再平衡）会导致巨大的交易成本，并且在各种案例研究中被发现不如半静态替代方案【17，48】。作为补救措施，三角洲-织女星树篱需要使用合适的“缓冲液”来实施。也就是说，只有当对冲组合充分偏离其无摩擦目标时，才能进行再平衡交易。Black-Scholes delta对冲策略的相应交易边界已由【57】在smallcost limit中明确确定；参见[37]和其中的参考文献，以扩展到更一般的设置。将这些跟踪结果扩展到涉及液体香草选项的更一般的目标策略是未来研究的一个重大挑战。迄今为止，这类交易的唯一结果涉及期权的动态交易，以降低交易成本[26]，这导致了德尔塔加马对冲的一种减弱版本。论文的组织。本文的其余部分组织如下。

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2022-5-31 08:43:11

第二节介绍了模型不确定性下套期保值问题的数学框架。第3节概述了渐近最优解的启发式推导。我们的主要结果在第4节中进行了说明和讨论。最后，所有的证明都归入第5节。符号向量a∈ Rnand矢量值函数以黑体打印。向量a的变换用a表示其欧几里德范数为| a |。为了便于理解，我们主要支持符号中函数的参数。在计算和估计中，我们通常只在等式的最左侧显示参数；省略的参数应该从上下文中清楚地显示出来。函数的偏导数，例如，精确条件下的[52、19、20]。半静态套期保值问题也在拉格朗日不确定性波动率模型的背景下进行了数值分析[6，4]。[1，7，22，25，10]等获得了半静态环境下的一般超边缘对偶结果；另请参见其中的参考文献。标量变量用（1.3）中的下标表示，DζH表示函数H（…；ζ）相对于向量变量ζ的g半径。2问题公式考虑到股票和股票期权的动态交易，我们考虑两种资产联合演化的市场模型。我们没有描述期权的动态，而是遵循Sch"onbucher的方法[53]，并对其Black-Scholes隐含波动率进行建模。第2.1节概述了这种方法，并推动了第2.2节中介绍的精确设置。

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2022-5-31 08:43:14

第2.3.2.1节针对基础及其隐含波动性的市场模型依次规定了套期保值问题。我们认为，金融市场有三种流动交易证券：股票、股票期权和零利率银行账户。流动交易期权在到期日TC时的支付形式为C（STC）。为了避免与后面介绍的非交易期权混淆，这种流动交易期权将在下文中命名为“看涨期权”。市场惯例是根据（Black-Scholes）隐含波动率来报价。也就是说，交易者不引用看涨期权C的市场价格p，而是引用唯一的∑>0，这样p=C（t，St，∑），其中C（·，·，∑）是Black-Scholes PDECt（t，S，∑）+∑SCSS（t，S，∑）=0，（t，S）的解∈ （0，TC）×R+，C（TC，S，∑）=C（S），S∈ R+，（2.1）对应于C all的波动率∑、到期日TC和终端支付（STC）。按照这一做法和Sch"onbucher的方法[53]，我们对隐含波动率而非看涨期权的定价过程进行建模。也就是说，对于二元标准布朗运动（W，W）和过程σ，ν，η，ξ，我们假设股票S和call\'Simpled volatility∑的联合动力学由dst=StσtdWt，（2.2）d∑t=νtdt+ηtdWt+pξtdWt，（2.3）控制。这里，σ是点波动率，ν、η和ξ分别对应于隐含波动率的漂移、隐含波动率的相关波动率和隐含波动率的不相关平方波动率。调用的价格进程C依次为t=C（t，St，∑t）。（2.4）根据It^o的公式，其动力学由DCT=dC（t，St，∑t）=Ctdt+CSdSt+C∑d∑t+CSSdhSit+CS∑dhS，∑It+C∑dh∑It=CSdSt+ηtC∑dWt+pξtC∑dWt给出+Ct+νtC∑+σtStCS+σtηtStCS∑+（ηt+ξt）C∑dt。我们假设所有流动交易资产都是局部鞅（参见。

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2022-5-31 08:43:17

脚注6和备注2.1）。因此，流动性交易看涨期权的漂移必须消失。使用PDE（2.1）代替Ct=其他早期关于风险中性动力学的文章，用于随机隐含波动率模型，包括[41、11、39]。关于（部分或全部）期权价格面的无套利市场模型的最新发展，我们请读者参考[55、54、13、35、14、15、36]及其参考文献。注释3.2解释了隐含波动率平方波动率的参数化。Ct（t，St，∑t），得到以下漂移条件（参见[53，方程（3.6）]）：νtC∑+StCSS（σt- ∑t）+σtηtStCS∑+（ηt+ξt）C∑=0。（2.5）考虑到（2.5），在四个过程ν、σ、η和ξ中，最多可以任意选择三个，以得到满足漂移条件的模型。其他自然限制为σ>0，ξ≥ 0，且∑>0。请注意，标准Black-Scholes模型对应于选项ν=η=ξ=0和σt=∑t=∑。然后，漂移条件（2.5）明显满足，现场挥发率和隐含挥发率恒定且相同。备注2。1、让我们简明扼要地讨论一下【28，备注2.2】为什么我们假设交易资产和C具有零漂移。在非零漂移的情况下，代理将交易资产不仅用作对冲工具，还用作投资工具。这将使分析变得相当复杂，因为极限损益过程不再是常数，而是随机的。但实际世界漂移率通常对套期保值成分影响不大，即基于效用的套期保值策略与相应的基于效用的最优投资策略之间的差异。假设交易资产的漂移为零，我们可以专注于对冲，而不是最优投资。

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kedemingshi

2022-5-31 08:43:21

事实上，代理人没有动机交易股票和赎回权，而不是作为非交易期权的对冲工具。在下面的第2.2节中，我们介绍了一种设置，用不确定的过程ν、σ、η、ξ来描述我们的对冲问题。2.2模型不确定性设置固定时间范围T>0，常数S>0，∑>0，以及∈ R、让Ohm = {ω=（ωSt，ω∑t，ωAt）t∈[0，T]∈ C（[0，T]；R）：ω=（S，∑，A）}是从（S，∑，A）开始，具有一致收敛拓扑的连续路径的正则空间。此外，设F是上的Borelσ-代数Ohm. 我们用（St）t表示∈[0，T]，（∑T）T∈[0，T]和（At）T∈[0，T]规范过程的第一、第二和第三个分量，即St（ω）=ωSt、∑T（ω）=ω∑T和At（ω）=ωAt。我们写F=（Ft）t∈[0，T]表示由（S，∑，A）生成的（原始）过滤比n，用Mt表示：=supu∈[0，t]Su，t∈ [0，T]，S的运行最大值。除非另有说明，所有需要过滤的概率概念，如渐进可测性等，都与F有关。最后，我们写下（Xt）T∈[0，T]表示向量值process Xt=（St，At，Mt，∑T）。备注2。2、过程S、M和∑分别对股票价格、其运行最大值和交易看涨期权的隐含波动性进行建模。过程A是一个附加的状态变量，可以用来跟踪代理必须对冲的非交易期权的异常特征。例如，行使K>0的亚洲看涨期权具有TRTStdt- K+.

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2022-5-31 08:43:25

设置为=RtSudu时，支付可以为（TAT- K） +并利用过程（S，A）的马尔可夫结构，亚洲看涨期权的Black-Scholes值可以写成时间、当前股价和附加状态变量A的当前值的函数V（t，St，At）。我们现在在(Ohm, F）这将作为交易资产演变的替代模型。定义2.3。概率测度集(Ohm, F）存在四重ζP=（νPt，σPt，ηPt，ξPt）t∈[0，T]的实值渐进可测量过程，例如，[33]在莱维模型中发现（漂移相关）方差最优套期几乎等同于（漂移无关）Black-Scholes delta套期。（a） S和∑-R·νPtdt是（连续的）局部P鞅，二次（共）变量dhsit=St（σPt）dt，dh∑it=（（ηPt）+ξPt）dt，dhS，∑it=StσPtηPtdt；（2.6）（b）S和∑为P-a.S.阳性；（c） ξP≥ 0 P-a.s。；（d）漂移条件νPtC∑+StCSS（（σPt）- ∑t）+σPtηPtStCS∑+（（ηPt）+ξPt）C∑=0（2.7）保持dt×P-a.e。这里，C的偏导数在（t，St，∑t）中计算。概率测度P∈ Pis称为模型，过程ζPis被称为与模型P相对应的控制。每个P代表股票价格和隐含波动率的市场模型∑，对于m（2.2）–（2.3）（σ替换为σPetc）和（2.7）保证买入价格过程是局部P鞅（参见（2.5））。定义2.4。函数ζ：R+→ Rgiven乘以ζ（∑）=（0，∑，0，0）称为referencefeedback控件。概率测度P∈ PsuchζPt=ζ（∑t）dt×P-a.e。

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2022-5-31 08:43:28

被称为引用模型。请注意，参考模型对应于具有常数波动率σt的Black-Scholes模型≡ ∑t≡ ∑且基本满足漂移条件（2.7）。接下来，我们考虑一个子类P Pwhich（与P相反）还规定了跟踪非交易期权奇异特征的附加状态变量A的动态。为此，我们定义了Borel函数α、β、γ、δ：[0，T]×R→ R、定义2.5。P=P（α，β，γ，δ） Pis是概率测度s P的子集，因此它是一个具有正则分解的（连续）P-半鞅=α+（σPt）βP下的dt+γdSt+δdMt（2.8）（函数α、β、γ、δ在（t、St、At、Mt）中计算）。A的动态形式（2.8）足够灵活，可以表示Black-Scholes值，例如亚洲期权、基于现实方差的期权或采用PDE方法的远期启动期权。我们还注意到，给定充分正则函数α、β、γ、δ，P.2.3套期保值问题动态模型重新校准中有一个独特的参考模型。考虑一位经纪人，他在到期日T时在S上出售了一个非交易期权（可能是非交易期权），并充分登记了ularpayo ffv（ST、AT、MT）。她可以通过在股票、账户和银行账户中进行动态、无摩擦的交易来对冲风险敞口。在所有可能的动力学中，代理认为与当前观察到的隐含波动率相对应的B-lack-Scholes模型最为合理，即ν=η=ξ=0和σ=∑（再次说明漂移条件（2.5）适用于该选择）。这与参考信念相对应，具体细节见假设4.2。回想一下，M是S的运行最大值，A是一个具有形式（2.8）动力学的一般状态变量，它可以跟踪期权的奇异特征，如平均S股票价格或中期股票价格；查阅

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2022-5-31 08:43:32

【28，第4.2节】举例。“未来隐含波动率保持在当前观察到的水平。”请注意，这与“未来隐含波动率等于在时间0观察到的隐含波动率”的信念不同：前者允许动态更新观察到的隐含波动率，后者则不允许。特别是r，在每次t时，代理人（重新）将其Black-Scholes模型校准为流动交易看涨期权的观察市场价格。这与市场上经常根据观察到的期权价格对定价模型进行重新校准的做法是一致的。非交易期权的相应Black–Scholes值可通过偏微分方程方法轻易获得。为此，letG=R+×R×R+是过程（S，A，M）的状态空间，对于e ach∑>0，让V（·，∑）b是PDEVt+（α+β∑）VA+∑S（VSS+2γVSA+γVAA）=0 on（0，T）×G，δVA+VM=0 on{（T，S，A，M）：S的经典解≥ M} ，V（T，·，∑）=G上的V。（2.9）确定过程V=（Vt）T∈[0，T]byVt=V（T，St，At，Mt，∑T）。（2.10）然后，众所周知，V是非交易期权V在时间t的Black-Scholes值，给出了股票价格St、状态变量at和Mt的当前观察值，以及隐含的可用性∑t。换句话说，用于评估期权V的Black-Scholes模型与观察到的看涨期权价格进行了动态校准。交易策略和盈亏流程。（自我融资）交易策略由一对真值、局部有界、渐进可测量过程θ=（θt）t表示∈[0，T]和φ=（φT）T∈[0，T]，分别描述代理持有的股票数量和认购数量。固定常数Y∈ R和每个P∈ Pand any trading strategyД，define the pro fit&Loss（P&L）process YУ，P=（YУ，Pt）t∈[0，T]byYν，Pt=Y+V+ZtθudSu+ZtφudCu- Vt.（2.11）这里，随机积分是在P下构造的。

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2022-5-31 08:43:35

过程Yν，pt描述了模型P下代理人在时间t的投资组合的价值，即：。，她的初始资本Y+V（回想一下Vtin（2.10）的定义）加上流动交易资产的自融资交易收益（计算不足）减去时间t时无交易期权的（重新校准的）Black-Scholes价值Vt。请注意，虽然流动交易资产中的头寸是“按市值计价”的，并构成“实际价值”（因为这些资产可以通过清算进行即时清算），非交易期权必须“按模型标记”，因此只有“理论价值”。然而，在非交易期权的交易中，VT等于期权的支付，期权的价值变为“真实”。特别是，Yν，PTI是代理人的实际终端财富。不确定性厌恶。修复模型集P 制定一套交易策略。与[28]类似，我们假设代理人Rank根据其对forminfP偏好的数字表示在Y中的交易策略∈PEP“U（Yν，PT）+ψZTU′（Yν，PT）f（∑t，ζPT）dt#），（2.12）对于局部有界的渐进可测被积函数，（2.11）中的随机积分在P中的每个度量下都有很好的定义。在我们的主要结果定理4.5中考虑的delta-vega对冲甚至是连续的，只有潜在的但没有流动性的看涨期权可用于动态对冲，而标的期权波动率是竞争对手的唯一控制变量。其中，f是一个合适的函数，对于每个∑>0，R ζ7→ f（σ，ζ）是严格凸的，在参考点ζ（σ）处具有唯一的最小值0。效用函数U描述了在给定模型中，代理人对风险的态度。P中的最后一个模型以及P enaltyterm（第二次总结，在（2.12）中的预期范围内）表达了她对模型不确定性的态度。

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2022-5-31 08:43:40

参数ψ>0量化了她的不确定性厌恶程度。实际上，在极限ψ内↓ 0，则（2.12）中的第二个求和收敛到指示器+∞1{ζP6=ζ（∑）}，标准（2.12）崩溃为参考模型下的标准预期效用。在这种情况下，代理根本不面临不确定性厌恶，因为她只认为参考模型是合理的。相反，在极限ψ内↑ ∞, 对于所有P，惩罚项收敛到0∈ P和标准（2.12）成为人们熟悉的最坏情况预期infP∈PEPhU（Yν，PT）i.在这种情况下，代理厌恶不确定性，因为她认为P中的每个模型都是同样可信的。标准（2.12）在这两种极端情况之间平滑插值。参考模型不受惩罚，而代理决策中的备选模型根据其与参考模型的“距离”而权重不足。解释是，参考模型被认为是最合理的。可供选择的模型重复使用较少，但不排除先验性。对于可跟踪性，我们关注惩罚函数f的以下二次规格：f（∑，ζ）=（ζ- ζ（∑）ψ-1（ζ- ζ（σ））=（ν/ψν+（σ-∑）/ψσ+η/ψη+ξ/ψξ）（2.13），其中ψ=diag（ψν，ψσ，ψη，ψξ），ψν，ψσ，ψη，ψξ>0。（2.14）参数ψν、ψσ、ψη、ψξ分别描述了代理人对隐含波动率真实漂移、即期波动率、隐含波动率相关波动率和隐含波动率不相关平方方差的相对不确定性。标度参数ψ衡量了她对不确定性的整体波动水平。备注2.6。让我们在[28，备注2.6]中论证为什么我们在数字表示（2.12）的惩罚规则中包括术语U′（Yν，Pt）。首先，在标准预期效用框架中，偏好在效用函数的有效变换下是不变的。

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2022-5-31 08:43:43

术语U′（Yν，Pt）确保了该属性为不确定性厌恶决策者保留，其偏好如（2.12）所述。第二，U′（Yν，Pt）（而不是，例如，U′（Y））是套期保值问题（2.16）动态公式的自然选择，根据一系列条件问题，在初始时间t，股价St=s，和损益Yν，Pt=Y。第三，我们的结果表明，（2.12）中描述的偏好具有近似“恒定的不确定性厌恶”，即现金等价物EWD不依赖于损益（参见命题4.6）。如果在（2.12）中省略了术语U′（Yν，Pt），情况就不会如此。请注意，在代理人选择其交易策略ν后，选择模型P的对手将受到处罚。或者，这可以解释为代理人的实际奖金。[28]中考虑了更一般的函数f，其中很明显，只有在最小值处的局部二次结构才对前导阶渐近有影响。在形式上，这与直接以货币形式提出罚款相对应，即在效用函数内（2.12）。使用U′（Y）代替U′（Yν，Pt）将产生与定理4.5中相同的v（ψ）展开式。从形式上讲，织女星对冲和竞争对手的候选最优控制仍然是领先的顺序最优。这是因为损益过程在较小的不确定性厌恶极限下收敛到一个常数。因此，也可以通过将矩阵ψ替换为ψ/U′（Y），从惩罚项中删除U′（Yν，Pt）。然后，U′（Y）将再次出现在竞争对手的候选人反馈控制中，因此也会出现在现金等价物中。将U′（Yν，Pt）保持在惩罚项中可以避免候选最优控制依赖于agent的当前P&Lof。

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2022-5-31 08:43:46

这避免了对冲问题公式中的一些数学细节；参见[28]，其中损益过程Y存在于正则空间中，因此（逐步可测量的）控制可能依赖于Y。在稳健投资组合选择的背景下，Maenhout【43】also观察到，对标准（非财富相关）熵惩罚的一些修改是合理的，以避免代理人的不确定性厌恶随着财富的增加而减弱，并通过直接修改HJBI方程来解决这一影响。我们还注意到，罚金取决于代理人仅通过其当前损益所选择的交易策略（正如投资者的间接风险承受过程仅通过其当前财富取决于其交易策略）。对冲问题。固定ψ>0。对于每个交易策略∈ Y和每个型号P∈ P、我们用jψ（ν，P）确定套期保值问题的目标：=EP“U（Yν，PT）+ψZTU′（Yν，PT）f（∑t，ζPT）dt#。（2.15）我们注意到下面的假设4.2（a）保证了（2.15）中被积函数的负部分有界，因此期望得到了很好的定义。套期保值问题的值为v（ψ）=v（ψ；Y，P）：=sup∈YinfP公司∈PJψ（ν，P）。（2.16）也就是说，代理人希望在Y中找到一个策略，最大化她偏好的数字表示（2.12）。本文的目标是为小水平的不确定性厌恶ψ找到值v（ψ）的渐近展开式，并找到一种能够实现领先或有序最优绩效的交易策略。3启发式SDG族（2.16）的渐近解与线性约束二次规划问题有关。在本节中，我们从与（2.1.6）相关的HJBI方程中启发式地推导出该优化问题。这推动了后续第4节中介绍的功能定义。有效的希腊人。

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2022-5-31 08:43:49

现在让我们假设股票价格的真实动态由Black–Scholes模型给出，具有一些（恒定）波动率∑。然后，它的公式和V的DE（2.9）表明，带有Payoff V（ST，AT，MT）的期权的复制策略（仅交易股票和银行账户，而不是看涨期权）由θt=（VS+γVA）（t，ST，AT，MT，∑）给出。特别是，该选项的delta-VSof仅在γ≡ 0，即如果附加状态变量A具有有限的变化（例如，对于普通期权，如流动交易看涨期权，或其他期权，如障碍期权、亚洲期权或回望期权）。然而，一般来说，复制策略还必须考虑期权价值对附加状态变量A引起的股价变化的间接敏感性（例如，对于示例3.1中的远期启动期权）。因此，我们呼吁 = VS+γV选项V的有效增量。类似地，我们称Γ=VSS+2γVSA+γVAAand∑=VS∑+γVA∑选项V的有效γ和有效钒。示例3.1（前向启动调用）。带Payoff（ST）的前向启动呼叫-STreset）+是一个调用选项，其strike设置在将来的某个重置日期Treset∈ （0，T）（参见[44，第6.2节]）。通过选择A=Sandγ（t）=1{t<Treset}，可以将此选项嵌入到我们的框架中。实际上，那么At=St∧treset和选项payoff可以写为V（ST，AT）=（ST- AT）+。损益过程的动态。为了写下与套期保值问题相关的HJBI方程，我们需要损益过程的动力学Yν、一般策略的pf和模型P。将It^o的公式应用于P（相关控制ζP）下的YД，P（定义在（2.11）中）产量（cf。

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2022-5-31 08:43:52

引理5.2）dYν，Pt=θt- (（t，Xt）- φtCS（t，St，∑t））dSt公司+φtC∑（t，St，∑t）- V∑（t，Xt）d∑c，Pt- bV（t，Xt；ζPt）dt，其中∑c，P=∑-R·νPudu是∑在P和（writingx=（S，A，M，∑）下的（连续）局部鞅部分∈ Randζ=（ν，σ，η，ξ）∈ R），bV（t，x；ζ）=νV∑+（βVA+SΓ）（σ- ∑）+σηS∑+（η+ξ）V∑。（3.1）对于较小的不确定性厌恶，远离参考模型的模型将受到严重惩罚。因此，对手需要在参考反馈控制ζ（∑）=（0，∑，0，0）的小扰动ζ=ζ（∑）+eζψ中进行选择。将该扰动代入（3.1），我们发现bv（ζ）=veζψ+o（ψ），（3.2），其中v=（v∑，σ（βVA+SΓ），σS∑，V∑）。注意，通过围绕ψ=0展开函数bV（ζ（∑）+eζψ），也可以将（3.2）中的向量值函数v识别为ζ（∑）中计算的梯度DζbV。备注3.2。我们现在解释使用隐含波动率ξ的不相关平方波动率作为控制变量。方程（3.2）表明，平方挥发度的O（ψ）-扰动（即，eζ的正第四分量）会影响O（ψ）阶的漂移BV（至少只要我们在V∑∑非零的一般情况下）。如果我们使用不相关的可用性ξ′：=√ξ作为基本控制变量，则（3.1）中的ξ将替换为（ξ′）。根据导致（3.2）的论点，我们将发现形式为ζ′=ζ（∑）+eζ′ψthatbV（ζ′）=（v′）的扰动 eζ′ψ+o（ψ），（3.3），其中v′由v给出，第四分量替换为零。因此，O（ψ）阶零附近的ξ′扰动将不会影响bV展开式（3.3）中的O（ψ）项。

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