模型不确定性下的简化形式框架

2022-6-1 03:21:01

模型不确定性下的简化形式框架Francesca Biagini*+张英林（音译）2018年3月19日摘要在本文中，我们引入了一个关于渐进扩大过滤上可能非支配概率测度族的公共条件期望。这样，我们将信贷和保险市场的经典简化形式设置扩展到模型不确定性的情况下，当我们考虑一系列彼此可能相互奇异的先验时。此外，我们还研究了模型不确定性下支付流的连续时间超边缘方法，并建立了动态鲁棒超边缘对偶的几个等价版本。这些结果弥补了金融市场的可靠框架（最近进行了深入研究）与信贷和保险市场框架（目前的文献仅限于一些非常特殊的案例）之间的差距。JEL分类：C02，G10，G19关键词：次线性期望，非支配模型，简化形式框架，支持rhedging，支付流。1引言在本文中，我们研究了关于逐步扩大过滤和一系列可能相互奇异的概率测度的次线性条件算子的定义问题。这样，我们就能够为模型不确定性下的信贷和保险市场建立一个一致的简化形式框架。众所周知，简化形式框架可用于信用风险建模、人寿保险建模和任何上下文，其中与特定利益随机事件相关的事件强度可从参考信息中推断，但事件本身并非如此。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:04

虽然*主要负责人：德国慕尼黑理工大学数学系，Theresienstrasse，39，80333慕尼黑，电子邮箱：biagini@math.lmu.de+中学：奥斯陆大学数学系，挪威奥斯陆0316 Blindern 1053号信箱德国慕尼黑理工大学数学系，Theresienstrasse，39，80333慕尼黑，电子邮箱：zhang@math.lmu.derobust金融市场框架已被深入研究，但仍缺乏对信贷和保险市场的相应分析。因此，pap er的贡献是多方面的。作为主要结果，我们将[10]中经典的简化形式或基于强度的框架扩展到模型不确定性下的情况，并引入了一个由随机事件逐步扩大的过滤的次线性条件期望，其方式与[30]中对具有自然过滤的正则空间的构造一致。其次，我们注意到信贷和保险合同是典型的支付流，因此我们在这里首次研究了模型不确定性下连续时间内支付流的超边际问题。给出了支付流的几个等价动态鲁棒超边缘对偶。鉴于这些超边缘化结果，构造的次线性条件期望可以看作是一个pricingoperator。在信用风险和保险建模的现有文献中，有几个人处理模型的不确定性，但只处理占主导地位的概率族，例如[24]、[23]和[12]。当考虑到可能相互奇异的概率测度的一般族时，基础随机分析的主要问题是将传统上在一个先验条件下定义的随机概念（如条件期望、随机积分、半鞅分解）聚合为一个独立于基础测度的随机概念，参见[41]中的讨论。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 03:21:07

有许多使用不同方法的独立结果，如能力理论、随机控制技术等，已应用于金融市场建模，参见[16]、[33]、[15]、[40]、[19]、[22]、[35]、[16]、[1]和[9]。例如，【28】、【30】和【27】中提供了路径解决方案。然而，上述结果仅适用于具有自然过滤的正则空间，不允许具有依赖结构的过滤。在【2】中提到了这个问题，并在最初扩大过滤时解决了这个问题。然而，通过引入具有F-AdaptedTensity的完全不可访问跳跃来扩大过滤的情况仍然是一个悬而未决的问题。本案例尤其适用于描述意外事件，但在参考过滤F下可观察到的事件强度，如金融机构违约或人员死亡。F上的次线性条件期望的现有构造依赖于正则空间的自然过滤性质，不能直接扩展到通过随机跳跃逐步扩大的过滤G。为了解决这个问题，我们按照【10】第6.5节中的标准方法构建过滤G。这种正则构造的性质允许构造G-次线性条件期望，如果限制为F，则与[30]中的条件期望一致。然而，与正则空间上的构造相比，还有一些额外的技术难题。特别是，为了更好地定义，G-次线性条件期望需要可集成性条件，这对于[30]中的路径构造是不必要的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 03:21:10

这也意味着，在一般情况下，这种扩展的次线性算子仅满足动态规划原理或塔式性质的弱版本，如[32]所示，并且它不保持可积性。然而，在最常见的信贷和保险合同的所有情况下，classictower性质和可积不变性均得到满足。在附录B中，我们进一步讨论了保证经典塔性能的有效条件。我们参考第2.3节附录A和B，对这些问题进行彻底讨论。此外，我们首次分析了模型不确定性和连续时间下代理支付流的超边缘化问题。近年来，人们对非支配概率族中的超边缘二元论进行了深入的研究，例如[31]、[25]、[38]、[17]、[4]、[21]、[29]和[20]。然而，这些文献中获得的对偶结果大多局限于初始时间，并且只能应用于未定权益。一般支付流（通常是信贷或保险现金流）的超边缘问题仅在没有模型不确定性的情况下进行研究，并且主要是在离散时间内进行研究，例如[18]、[36]和[37]。在这里，我们研究了连续时间内一般支付流关于非支配概率族的动态鲁棒超边缘对偶。我们仍然以动态的方式分别定义全球和本地的超边际策略和价格，我们能够根据我们的双重结果来确定这些策略和价格。这些结果首先显示在标准设置中，然后扩展到健壮的简化形式框架。考虑到超边际结果，构造的G-次线性条件期望可以作为保险和信用风险产品的定价算子。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:13

我们想强调的是，在没有模型不确定性的情况下，我们的定义和结果保持不变，即在考虑特定先验时。本文的组织结构如下。在第2节中，我们基于[10]中的规范结构构建了一个一致的机器人化表单框架。作为主要结果，我们明确定义了渐进扩大过滤的次线性条件期望，并分析了其性质。然后将构建的运营商应用于信用和保险合同的估价。在第3节中，我们建立了连续时间支付流的鲁棒超边缘问题。我们确定了稳健超边缘价格，并证明了最优稳健超边缘策略的存在性，首先是在标准空间上的自然过滤，然后是在简化形式的框架中。在附录a中，我们提供了一个反例，表明经典的塔楼财产并不具有完全的普遍性，而在附录B中，我们陈述了第2节中所述条件之外的有效条件，这些条件保证了塔楼财产的有效性。2模型不确定性下的简化形式框架本节介绍模型不确定性下的简化形式设置。我们注意到，模型不确定性下的标准框架只考虑了具有自然过滤的正则空间，不允许处理更一般的过滤，关于这一点的讨论见【2】。在[2]中，初始扩大的情况得到解决，而逐步扩大的情况仍然存在。这一问题出现在信贷和保险市场建模中，当我们想对一个意外事件进行建模，而该事件本身在参考信息流下是不可观察的，由过滤F表示，但有一个适应的强度过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-1 03:21:16

在这里，我们提出了一个解决方案，即使用[10]第6.5节中的标准结构引入随机时间τ，它不是F停止时间，但允许F适应强度，并扩展了次线性条件期望的概念，即通过该随机时间逐步扩大的过滤。我们首先回顾一下【30】中的设置。2.1（P，F）-条件期望letOhm = D（R+，Rd）是从零开始的cádlág函数ω=（ωt）t>0的s步。配备由Skorokho d拓扑诱导的度量，Ohm 是aPolish空间，即完全可分度量空间。我们用F表示：=B(Ohm)Borelσ-代数与P(Ohm) 上的所有概率度量集(Ohm, F）。OnP公司(Ohm) 我们考虑弱收敛的拓扑。根据普罗霍罗夫的理论（参见[39]、[14]和[11]），P(Ohm) 从中继承Ohm 具有Lévy-Prokhorov度量的beinga-Polish空间的性质。我们考虑规范过程B：=（Bt）t>0，其中Bt（ω）：=ωt，t>0，并用F=（Ft）t>0表示其原始过滤。很容易看出F={, Ohm}和F∞:=Wt>0Ft=F。对于每个P∈ P(Ohm) 和t∈R+，我们用NPTT表示（P，Ft）-null和definef的集合*t： =英尺∨ N*t、 N个*t： =\\P∈P(Ohm)NPt。相应的普遍完成过滤用F表示*:= （F）*t） t>0。此外，对于每个P∈ P(Ohm) 通常的P增广用FP+表示，即FP+是FP的右连续版本：=（FPt）t>0，其中FPt：=Ft∨ NP∞, t>0。简单地说，上述原过滤放大按以下方式订购 F*t型 FPt公司 FPt+，t>0，P∈ P

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:19

（2.1）设P P(Ohm) 作为一般非空集，我们定义了以下σ-代数fp：=F∨ NP∞, NP∞:=\\P∈PNP公司∞,我们用L表示(Ohm) 所有实值FP可测函数的空间，并定义上期望E:L(Ohm) →与P byE（X）关联的R：=s upP∈政治公众人物【X】，X∈ L(Ohm), （2.2）其中对于每个P∈ P、我们设置EP[X]：=EP[X+]- EP【X】-] 如果EP[X+]或EP[X-]是有限的，我们使用约定EP[X]：=-∞ 如果EP[X+]=EP[X-] = +∞,如【41】所述。备注2.1。在本文中，如果将空间D（R+，Rd）替换为C（R+，Rd），即从零开始的连续函数空间ω=（ωt）t>0in-Rd，具有局部一致收敛的拓扑结构，则所有结果都成立。由于没有歧义，我们分别为规范过程C（R+，Rd）及其自然过滤保留了旋转B和F。现在我们回顾一下[30]中关于Ohm 关于过滤F和家庭P P(Ohm) 概率测度。为了符号的简单性，我们只考虑[30]中假设2.1中的参数化家族不依赖于参数的情况。如【9】、【27】和【29】中所述，【30】中的结果在空间D（R+，Rd）和空间C（R+，Rd）上都适用。我们根据[30]介绍以下符号。设τ为停止时间和ω的限定值∈ Ohm. 对于每个ω′∈ Ohm, 级联ωτω′:=((ω τω′）t）t>0of（ω，ω′）atτ由下式得出ωτω′t： =ωt[0，τ（ω））（t）+ωτ（ω）+ω′t-τ(ω)[τ (ω),+∞)（t），t>0。（2.3）对于每个函数X onOhm, 我们定义了以下函数Xτ，ω（ω′）：=X（ωτω′), ω′∈ Ohm.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:22

（2.4）类似地，对于每个概率测度P，我们设置Pτ，ω（A）：=Pωτ（ωτA），A∈ B类(Ohm),这是一个概率测度，其中ωτA：={ωτω′: ω′∈ A} Pωτ是选择为Pωτ的Fτ-条件概率测度ω′∈ Ohm : ω′=ωon[0，τ（ω）]= 此外，我们还记得，如果一个波兰空间的集合是另一个波兰空间的Borel集合在Borel可测映射下的图像，那么它被称为解析的。如果{f>c}对每一个c进行分析，则称波兰空间上的AR值函数f为上半解析函数∈ R、特别地，我们注意到所有Borel集都是解析的，所有Borel可测函数都是上半解析的。假设2.2。对于每个有限值F-停止时间τ，族P满足以下条件：1。可测量性：集合P∈ P(Ohm) 是分析型的；2、不变性：Pτ，ω∈ P表示P-a.e.ω∈ Ohm;3、粘贴下的稳定性：f或每个fτ-可测核κ：Ohm → P(Ohm) 如κ（ω）∈ P表示P-a.e.ω∈ Ohm, 以下测量值P（A）：=ZZ（1A）τ，ω（ω′）κ（dω′；ω）P（dω），A∈ B类(Ohm),仍属于P.备注2.3。如【27】所示，当族P由具有不同特征的所有半鞅定律生成，并在Borel可测集θ中取值时，满足假设2.2 Rd×Sd+×L，其中Sd+是对称负定义（d×d）-矩阵的集合，L是所有Lévy度量的集合。特别是，这种情况包括了【33】中介绍的G预期。下面的命题是[30]中定理2.3的特例，当我们将注意力限制在满足假设2.2的一个族P上时。提案2.4。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:25

在假设2.2下，对于所有有限值F-停止时间σ，τ，使得σ6τ和每个上半解析函数XOhm, 函数Eτ（X）定义为τ（X）（ω）：=E（Xτ，ω）=supP∈PEP[Xτ，ω]，ω∈ Ohm （2.5）为F*τ-可测，上半解析，满足以下一致性条件τ（X）=ess supPP′∈P（τ；P）EP′[X | Fτ]P-所有P的a.s∈ P、（2.6）式中P（τ；P）：={P′∈ P:P′=Fτ}上的P。此外，对于所有ω，塔的性质为，即σ（X）（ω）=eσ（eτ（X））（ω）∈ Ohm. （2.7）定义2.5。我们称之为s公共线性条件期望（Et）t>0（P，F）-条件期望族。在[33]中介绍的G-设置的特殊情况下，G-鞅是cádláG，参见例如[44]。然而，在一般假设下，具有Xupper半解析的过程（Et（X））t>0并不总是cádlág。在下面的命题中，我们给出了一个独立的结果，该结果给出了（Et（X））t>0cádlág的充分条件。我们记得，根据Prokhorov定理，概率测度族是紧的，当且仅当其弱闭包是紧的。具体而言，生成G-期望的概率度量公式是严密的，参见[15]中的命题49。提案2.6。如果P是满足假设2.2的紧族，X是上半解析函数Ohm 它是有界连续的P-a.s.f或allP∈ P、那么（Et（X））t>0的过程是cádlág证明的。让A∈ B类(Ohm) 是一个集合，使得X在a上有界且连续，且P（Ac）=0表示每P∈ P、我们从正确的连续性开始。设t>0且（tn）n∈Nbe R中的一个序列，使得tn↓ t、我们想证明，对于所有ω∈ Ohm,Et（X）（ω）=limn→∞Etn（X）（ω）。考虑ω∈ Ohm. 根据定义（2.5）和（2.4），我们haveEt（X）（ω）=E（Xt，ω）=supP∈PEP【Xt，ω】=支持∈PZX（ωtω′）P（dω′）。对于固定t和ω，我们定义了串联函数ct，ω：Ohm → Ohm 通过ct，ω（ω′）：=ωtω′，ω′∈ Ohm.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:28

该函数在ω′上关于Korokhod拓扑一致连续Ohm = D（R+，Rd）。也就是说，如果我们用d表示Skorokho d拓扑诱导的距离Ohm, 对于每个ε>0，都有一个δ>0，这样对于所有ω′，ω′∈ Ohm 当d（ω′，ω′）<δ时，它保持sd（ωtω′，ωtω′）<ε。实际上，取δ=ε是足够的。我们注意到δ=ε不取决于t的选择，因此特别是函数序列（ctn，ω）n∈Nis eq ui连续。此外，s方程（ctn，ω）n∈nConverge to ct，ωpointwise，dωtnω′，ωtω′n→∞---→ 所有ω′均为0∈ Ohm,因为D（R+，Rd）是cádlág路径的空间。因此，根据Ascoli Arzelá定理，序列（ctn，ω）n∈n在每个紧集K上一致收敛于ct，ω Ohm,i、 e.我们有SUPω′∈Kd公司ctn，ω（ω′），ct，ω（ω′）= supω′∈Kd公司ωtnω′，ωtω′n→∞---→ 特别是，给定一个紧集K∈ B类(Ohm), 组成Xt，ω=Xo ct，ω在A上有界且连续∩ K、 Xt，ω是（Xtn，ω）n的一致极限∈N、即，对于每一ε>0，存在N∈ N使得对于所有N>N，| X（ωtnω′）- X（ω对于每个ω′，tω′）|<ε∈ A.∩ K、因此，一方面∈ N、 fn（P）定义的函数fn：=EP【Xtn，ω】，P∈ P(Ohm), 对于P上的Lévy Prokhorov度量，在P上是连续的(Ohm), 因为它与度量值的弱收敛性所导致的度量值相一致。因此，限制fn | Pis仍然是连续的。另一方面，P的紧密性产生了一个紧密的s et K∈ B类(Ohm) 所有P的P（Kc）<ε4c∈ P、式中，C为每ω| X（ω）| 6 C∈ A、对于足够大的n，因为Xt，ω是P-A.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 03:21:31

（Xtn，ω）n的一致极限∈非A类∩ K、我们有| EP[Xtn，ω]- EP[Xt，ω]| 6 EP[|Xtn，ω- Xt，ω|]=EP[1A∩K | Xtn，ω- Xt，ω|]+EP[1A\\K | Xtn，ω- Xt，ω|]<ε+ε4C·2C=所有P的ε∈ P、因此对于所有ω∈ Ohm,E（Xt，ω）=supP∈政治公众人物→∞Xtn，ω]=支持∈Plimn公司→∞EP【Xtn，ω】=limn→∞支持∈PEP[Xtn，ω]=limn→∞E（Xtn，ω）。一个类似的论点也表明了左极限的存在和完整性，从而得出结论。或局部一致收敛于Ohm = C（R+，Rd）。备注2.7。[31]的命题4.5引入了一系列次线性算子，这些算子依赖于不同于F的过滤*, i、 e。英尺+∪ NPTt型∈[0，T]，其中NPTis是所有P的（P，FT）-null集的集合∈ P、通过这种方式，得到的次线性算子是t中的cádlág。然而，对于本文考虑的应用程序，使用F*,因为它代表了代理可用的信息。2.2空间构造我们在第2.1节中保持相同的符号。在本节中，我们遵循[10]第6.5节中的正则空间构造，引入一个随机时间|τ，它不是F-停止时间，但具有一个F-逐步可测量的强度过程u，以表示模型不确定性下完全意外的违约或死亡时间。Let^Ohm 是一个附加的具有Borelσ-代数B（^）的波兰空间Ohm). 我们现在考虑产品可测量空间（）Ohm, G）：=(Ohm ×^Ohm, B类(Ohm) B（^）Ohm)), 并对ω使用符号ω=（ω，^ω）∈ Ohm 和^ω∈^Ohm. 以下是产品空间的标准约定Ohm, G）。对于启用的每个函数或进程X(Ohm, B类(Ohm)), 我们考虑其自然浸入乘积空间，即X（|ω）：=X（ω）表示所有ω∈ Ohm, 与（^）类似Ohm, B（^）Ohm)). 对于B的每一个子σ-代数a(Ohm), 我们认为它的自然延伸是 {,^Ohm} 作为乘积空间Gon的次σ-代数，类似于f或B（^）的次σ-代数Ohm).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:34

为了避免繁琐的注释，当没有歧义时 {,^Ohm} 仍由A.On（^）表示Ohm, B（^）Ohm)) 我们确定了一个概率测度^P，使得（^）Ohm, B（^）Ohm)),^P）是无原子概率空间，即存在一个绝对连续分布的随机变量，设ξ为Borel可测满射随机变量ξ：（^Ohm, B（^）Ohm),^P）→ （[0，1]，B（[0，1]）），均匀分布，即ξ~ U（[0，1]）。在不丧失一般性的情况下，我们假设B（^Ohm) = σ(ξ).备注2.8。我们注意到空间（^Ohm, B（^）Ohm),^P）可以标准化为（[0，1]，B（[0，1]），U（[0，1]），ξ为[0，1]上的恒等函数。我们用P（℃）表示Ohm) 所有概率测度的集合Ohm, G）考虑以下概率测度族▄P：=n▄P∈ P（yenOhm) :P=P^P，P∈ 采购订单。（2.8）打开(Ohm, B类(Ohm)) 设Γ：=（Γt）t>0为实值、F适应、连续和递增过程，使得Γ=0和Γ∞= +∞. 尤其是，Γ可以表示为Γt：=Ztusds，t>0，其中u：=（ut）t>0是一个非负F-渐进可测量过程，因此对于所有t>0和所有ω∈ Ohm,Zt |us |（ω）ds<∞.我们定义了τ：=inf{t>0:e-Γt6ξ}=inf{t>0：Γt6- lnξ}开▄Ohm = Ohm ×^Ohm, 与公约inf = ∞.备注2.9。上述假设的直接结果是，对于每个固定ω，τ（ω，·）是R+上的满射函数∈ Ohm.引理2.10。对于每t>0，我们有{τ6 t}={e-Γt6ξ}。证据我们注意到{e-Γt6ξ} {τ6 t}始终有效。另一个包含如下所示：τ=min{s>0:e-Γs6ξ}，因为Γ是连续的。每▄P下∈§P，我们定义了▄P-危险过程▄P：=（Γ▄Pt）t>0byΓ▄Pt：=- ln▄P（▄τ>t▄Ft），t>0。以下命题是上述构造的自然但重要的结果。提案2.11。流程Γ是ΓP-危险流程ΓΓPforeveryΓP的ΓP-a.s.版本∈P.证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:37

通过引理2.10，{τ>t}={e-Γt>ξ}对于所有t>0。因此，对于每t>0和每P∈P，其中▄P=P^P，它保持不变-ΓИPt（ω）=P（Γτ>t | Ft）（ω）=Pe-Γt>ξ英尺（ω）（i）=Pe-x> ξx=Γt（ω）=^Pe-x> ξx=Γt（ω）（ii）=e-x个x=Γt（ω）=e-Γt（ω）表示ΓP-a.e.ω，其中等式（i）来自每个ΓP下ξ和fts之间的独立性∈§P和等式（ii）源自ξ在（^）上具有均匀分布的事实Ohm,^F，^P）。Γ的连续性产生了所有ΓP的ΓP=ΓP-a.s∈~P，这是证明的结论。在产品空间▄Ohm, 我们考虑由过程H产生的过滤H：=（Ht）t>0由Ht定义：=1{τ6t}，t>0，以及由Gt定义的放大过滤G：=（Gt）t>0=Ft∨ Ht，t>0。特别地，我们有G=F∞ σ（ξ）=H∞∨ F∞= σ(~τ ) ∨ F∞. 根据构造，τ是H停止时间和G停止时间，但不是F停止时间。过滤F可以解释为参考信息流，而过滤G代表扩展市场的最小信息流，包括违约信息。如第2.1节所述，对于每▄P∈ P（yenOhm) 我们用byG表示*, GPand GP+原始过滤G的相应放大。与（2.1）类似，我们有 G*t型 GPt GPt+，t>0，P∈~P.2.3（~P，G）-条件期望在本节中，我们给出了关于过滤G和（2.8）中引入的概率~P族的次线性条件期望的构造。这些将由（▄Et）t>0表示，并称为（▄P，G）-条件期望。此类施工是根据第2.1节中的结果进行的，应反映第2.2节中空间施工的基础结构。根据例如[41]、[13]、[42]、[43]和[30]，族（~Et）t>0应满足以下必要的一致性条件：f或每个t>0和g-可测函数XOhm,~Et（▄X）=ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]▄P-a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-1 03:21:40

对于所有▄P∈~P，（2.9），其中▄P（t；▄P）：=n▄P′∈~P：~P′=~Gto上的P。我们强调，即使我们选择了^，也不能通过使用[30]中提出并在第2.1节中总结的完全相同的方法来实现这一点Ohm = D（R+，Rd）或^Ohm = C（R+，Rd）。事实上，该方法[30]基于规范过程产生的自然过滤的一些特殊性质，例如Galmarino检验，而过滤g不具备这种性质。然而，我们能够将[30]的结果推广到第2.2节的设置中，并构建一个一致的（~P，G）-条件期望。如[32]中所述，我们证明了族（~Et（~X））t>0满足时间一致性的弱形式，称为alsodynamic编程原理或塔属性，即所有0 6 s 6 t▄P的▄es（▄Et（▄X））>▄es（▄X）∈§P.（2.10）从经济角度来看，通过使用（§Et）t>0作为定价函数，weaktower属性（2.10）可以解释为：评估未来价格比直接评估价格更保守。我们提供了一些有效的条件，使经典的tower属性保持不变。这些包括所有经常使用的信贷和保险合同，如第2.4节所述。如第2.1节所述，我们使用相应的符号，并用▄E表示与▄P相关的上期望值，即▄E（▄X）：=sup▄P∈PE▄P[▄X]，▄X∈ L（~Ohm). （2.11）让GP：=G∨ NP∞, P∈ P、和GP：=G∨ NP∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:43

我们介绍以下设置Ohm) :={X |▄X：（▄Ohm, GP）→ （R，B（R））可测函数，使得∞},每￠P∈P，andL（Ohm) := {X |▄X：（▄Ohm, GP）→ （R，B（R））可测函数，使得▄E（▄X▄）<∞o、我们强调，在上述定义中，我们只考虑(Ohm, GP）-可测量（或(Ohm, GP）-可测量响应功能，而不是(Ohm, GP）-可测量（或(Ohm , GP）可测量响应）功能，另见备注2.14。给定t>0，每个实值函数▄X在▄Ohm 可以在▄X=1{▄τ6t}▄X+1{▄τ>t}▄X中进行分解。【10】的推论5.1.2，在没有过滤的通常条件的情况下成立，以及命题2.11 s，如果▄X∈ L（~Ohm), 然后每▄P∈~P，E▄P[▄X▄Gt]=1{▄τ6t}E▄P[▄X▄σ（▄τ）∨ Ft]+1{τ>t}eΓtE▄P[1{τ>t}▄X | Ft]~P-a.s.（2.12）我们的目标是找到（2.12）的表示形式，将右侧减少到限制为Ohm. 这将在定义▄的条件期望方面发挥根本作用Ohm. 下面的引理解决了（2.12）右侧第二项的问题。为了简洁起见，我们使用了一种轻微的符号滥用，并表示^P[~X]（ω）：=Z^OhmX（ω，ω）P（dω），ω∈ Ohm. （2.13）引理2.12。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm), thenE▄P[▄X▄Ft]=EP[E^P[▄X]▄Ft]▄P-a.s.证明。可以看到f或任何A∈ Ft，根据Fubini-Tonelli定理wehaveZA×Ohm~X（ω，ω）~P（d（ω，ω））=ZAZ^OhmX（ω，ω）P（d^ω）P（dω）=ZAE^P[￠X]（ω）P（dω）=ZA×^OhmEP[E^P[X]| Ft]（ω）~P（d（ω，ω）），其中我们使用（2.13）中介绍的符号。现在我们关注（2.12）右侧的第一个术语。引理2.13。让t∈R+。I f▄X是实值σ（▄τ）∨ Ft可测量功能开启Ohm, 然后存在一个唯一的可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+）英尺）→ （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.14）证明。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:46

满足（2.14）的唯一性直接来自于每个固定ω的|τ满射性∈ Ohm, 见备注2.9。事实上，如果Д和ψ是两个函数，使得对于所有（ω，ω）而言，Д（|τ（ω，ω），ω）=ψ（|τ（ω，ω），ω）∈~Ohm,然后对于每个（x，ω）∈ R+×Ohm, 每个固定ω的|τ的s曲线性∈ Ohm 表示存在^ω∈^Ohm 使得τ（ω，^ω）=x。因此，对于所有（x，ω），Д（x，ω）=ψ（x，ω）∈ R+×Ohm.现在，我们考虑以下集合={X |（）Ohm, σ(~τ ) ∨ 英尺）→ （R，B（R）），形式（2.14）}的∧X，并证明它包含一个单调类。集合E清楚地包含所有常数，并且在线性运算下是闭合的。此外，π系统的所有指示函数都会生成σ（|τ）∨ Ft属于E。现在让（▄Xn）n∈Nbe a sequencein E，使▄Xn（▄ω）↑对于所有￠ω，X（￠ω）∈~Ohm, 其中，X是有界函数。前向n∈ N、对于所有（ω，ω），我们有▄Xn（ω，ω）=ДN（▄τ（ω，ω），ω）∈~Ohm, 式中Иnis可测函数Дn：（R+×）Ohm , B（R+）英尺）→ （R，B（R））。通过备注2.9和▄X的有界性，我们注意到函数Д（z，ω）：=limn→∞νn（z，ω），z∈ R+，ω∈ Ohm, （2.15）定义明确。尤其是，Д也是（B（R+） Ft）-可测量。再次应用备注2.9，X可表示为X（ω，^ω）=Д（τ（ω，^ω），ω），（ω，^ω）∈~Ohm.因此X也属于E。根据单调类定理，集合E包含所有有界σ（|τ）∨ Ft可测量功能。此外，每个非负σ（|τ）∨ Ft可测函数X是简单函数的非减量s等式的逐点极限，即存在一系列简单函数（Xn）n∈确保▄Xn（▄ω）↑对于所有￠ω，X（￠ω）∈~Ohm. I nParticle，根据上述参数，如果所有（ω，ω）的▄Xn（ω，ω）=Дn（▄τ（ω，ω），ω）∈~Ohm,通过将Д定义为（Дn）n的逐点极限∈Nas在（2.15）中，我们得出结论，所有非负σ（|τ）∨Ft可测函数具有表示（2.14）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:49

结果可以推广到所有σ（△τ）∨ Ft可测量函数，自▄X=▄X+++▄X起-.备注2.14。如果▄X是GP可测量或GP可测量的，则可以在没有变化的情况下执行引理2.13。在这种情况下，Д为（B（R+） FP公司∞)-可测量or（B（R+） FP公司∞)-分别可测量。但是，如果▄X是G▄P可测量且G▄P：=G，则不成立∨ NP∞或GP—可测量GP=G∨ NP∞, 分别地其原因类似于经典的Doob–Dynkin引理，该引理指出，如果X，Y是两个实值可测函数，Y是σ（X）-可测的，则存在一个Borel可测函数f，使得Y=f（X）。如果σ（X）用一些measureQ的空集完成，即如果σ（X）被σ（X）替换，则此表示不适用∨ NQ。实际上，用A表示Y=1a是很有效的∈ NQA是一个反例。引理2.15。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm), 然后{τ6t}E▄P[▄X▄σ（▄τ）∨ Ft]=1{τ6t}EP[Д（x，·）| Ft]x=△τ∧P-a.s.，（2.16），其中φ是可测函数φ：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.17）证明。根据引理2.13和备注2.14，存在唯一的表示（2.17），且（2.16）的右侧为σ（|τ）∨ Ft可测量。我们首先表明，关系式（2.16）适用于生成G=σ（△τ）的π-系统的指示函数∨ F∞.给定s>0和A∈ F∞, 我们显示了{τ6t}E▄P[1{τ6s}∩{A×^Ohm}|σ(~τ ) ∨ Ft]=1{τ6t}{τ6s}EP[1A | Ft]~P-a.s。实际上，让u>0，B∈ Ft，Z{τ6u}∩{B×^Ohm}{τ6t}{τ6s}A×^OhmdP=ZB×^Ohm{τ6t∧s∧u} A×^OhmdP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} A×^Ohm|Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} | Ft]EP[1A×^Ohm|Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} | Ft]EP[1A | Ft]dP=ZB×^OhmE▄P[1{▄τ6t∧s∧u} EP[1A | Ft]| Ft]dP=ZB×^Ohm{τ6t∧s∧u} EP[1A | Ft]d▄P=Z{▄τ6u}∩{B×^Ohm}{τ6t}{τ6s}EP[1A | Ft]d▄P，其中在第三个等式中，我们使用HtandF之间的Ft条件独立性∞, 见【10】第166页。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:51

引理2.13与条件单调收敛一起产生了有界可测函数集X∈ L▄P（▄Ohm), 其中满足关系（2.16）包含一个单调类。因此，通过单调类定理，关系式（2.16）适用于所有有界可测函数X∈ L▄P（▄Ohm). 结果可以扩展到每▄X∈ L▄P（▄Ohm) 条件单调收敛定理应用于▄X+▄和▄X-因为每个非负可测函数都是非负和非减量简单函数序列的逐点极限。我们注意到，上述结果也清楚地证明了f或X是GP可测量且非负的。下面的命题给出了一个总结。提案2.16。设t>0且▄P=P^P。如果▄X∈ L▄P（▄Ohm) 或▄X是gp可测量且非负的，则e▄P[▄X▄Gt]=1{▄τ6t}EP[Д（X，·）▄Ft]x=△τ+1{τ>t}eΓtEP[e^P[1{τ>t}x]| Ft]~P-a.s.，其中ν是可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm. （2.18）证明。将引理2.12和引理2.15应用于分解（2.12）是有效的。在陈述主要结果之前，我们列出了我们稍后将使用的上半解析函数的一些性质。引理2.17。设X，Y为two-Polish空间。1、如果f:X→ Y是一个Borel可测函数和一个集合a X是解析的，那么f（A）是解析的。如果a集B Y是分析的，然后是f-1（B）是分析数据。2、如果fn:X→\'\'R，n∈ N、是一系列上半解析函数和fn→ f、那么f是上半解析的。3、如果f:X→ Y是Borel可测函数，g:Y→R是上半解析的，然后是组合go f也是上半解析的。如果f:X→ Y是一个满射Borel可测函数，有一个函数g:Y→\'\'R使gof是上半解析的，那么g是上半解析的。4、如果f，g:X→R是两个上半解析函数，f+g是上半解析函数。5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:54

如果f:X→R是上半解析函数，g:X→R是一个borelmeasureable函数，g>0，则乘积f·g是上半解析的。6、如果f:X×Y→R是上半解析的，κ（dy；x）是Y上的Borel可测随机核，给定x，则函数g:x→定义为g（x）=Zf（x，y）κ（dy；x），x∈ 十、是上半解析的。证据第1、2、4、5和6点见[5]的命题7.40、引理7.30和命题7.48。对于第三点，g上半解析意味着go fupper的半解析在文献[5]的引理7.30（3）中得到了证明。对于逆蕴涵，我们注意到如果go f是上半解析的，那么对于每个c∈ R、 setA：={x∈ X:go f（x）>c}是解析的。此外，如果我们定义b：={y∈ Y:g（Y）>c}，我们有f（A） B、因为f是满射的，所以它也适用于所有y∈ B、存在sx∈ X使得y=f（X）和g（f（X））>c。因此f（A） B、从第一点可以看出，集合B是解析的。这意味着g是上半解析的。在文献[5]中，只考虑了下半解析函数。然而，结果也适用于上半解析函数，没有变化。定理2.18。假设2.2适用于P，并考虑上半解析函数XOhm 使▄X∈ L（~Ohm) 或▄X为GP可测量且非负。如果t>0，则以下函数▄Et（▄X）：=1{▄τ6t}Et（Д（X，·））▄X=▄τ+1{▄τ>t}Et（eΓtE^P[1{▄τ>t}▄X]）（2.19）定义良好，其中Д是可测函数：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm.此外，~Et（~X）满足一致性条件（2.9）。证据根据引理2.17的第5点和第6点，eΓtE^P[1{τ>t}X]是Ohm. 因此，对（2.19）右侧的第二个组件进行了明确定义。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:21:57

对于第一个组件，有足够的证据证明∈ R+，函数Дx（ω）：=Д（x，ω），ω∈ Ohm, 是上半解析的。首先，作为（x，ω）的函数∈ R+×Ohm 根据备注2.9和引理2.17第3点的第二个蕴涵，是上半解析的，因为X（ω，^ω）=Дo （τ，id|Ohm)(ω, ^ω),(ω, ^ω) ∈ Ohm ×^Ohm 是上半解析的。其次，对于每个固定的x∈ R+，根据引理2.17第3点的第一个含义，我们得到ω的Дxas函数∈ Ohm isalso上半解析，因为Дx=Дo ψx其中ψx（ω）：=（x，ω），ω∈ Ohm, 函数ψxis Borel可测。现在我们证明了一致性条件（2.9）成立。根据命题2.4，在每个▄P下∈P我们有{τ6t}Et（Д（x，·））| x={τ=1{τ6t}ess supPP′∈P（t；P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ－P－a.s.，{△τ＞t}Et（eΓtE^P[1{△τ＞t}x]）=1{△τ＞t}ess supPP′∈P（t；P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t} X]| Ft]~P-a.s.此外，对于每▄P=P^P，~P（t；~P）={P′∈~P:P′^P=PGt}上的^P={P′∈~P:P′=P在Ft上}。因此，~P-a.s.我们有一个∈P（t；P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ=ess supPP′∈~P（t；~P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ，ess supPP′∈P（t；P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t} X]| Ft]=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）EP′[eΓtE^P[1{τ>t}~X]| Ft]。我们注意到{τ6 t}和{τ>t}是不相交的事件，因此▄P-a.s.{▄τ6t}ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）EP′[Д（x，·）| Ft]x=△τ+1{△τ>t}ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）eΓtEP′[eΓtE^P[1{τ>t}~X]| Ft]=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）{τ6t}EP′[Д（x，·）| Ft]x=＠τ+1{＠τ>t}EP′[eΓtE^P[1{＠τ>t}x]|Ft].最后，由于▄X上的可积条件保证了我们可以应用富比尼-托内利定理，因此命题2.16产生了▄Et（▄X）=ess sup▄P▄∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]▄P-所有▄P的a.s∈§P.备注2。19。设置t>0，并使▄X满足定理2.18中的条件。以下内容适用：1。如果X（ω，ω）=X（ω）表示所有ω∈^Ohm, 然后（2.19）中定义的Et（X）与（2.5）中定义的Et（X）一致。2、（2.19）中定义的函数▄Et（▄X）在▄X.3中是次线性的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:00

如果▄Y是▄上的上半解析函数Ohm, 使▄Y∈ L（~Ohm) andess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄X▄Gt]=ess sup▄P▄P′∈~P（t；~P）E▄P′[▄Y▄Gt]▄P-所有▄P的a.s.▄∈~P，然后▄Et（▄X）=▄Et（▄Y）▄P-所有▄P的a.s∈第4页。如果A∈ Gt，则▄Et（1A▄X）=1A▄Et（▄X）。这遵循了[10]中的引理5.1.1和上述观点。5、下列路径等式成立：▄Et（1{▄τ6t}▄X）=1{▄τ6t}▄Et（▄X），▄Et（1{▄τ>t}▄X）=1{▄τ>t}▄Et（▄X），▄Et（▄X）=Et（1{▄τ6t}▄X）+▄Et（1{▄τ>t}▄X）。备注2.20。我们注意到，在定理2.18中，要求上半解析函数X具有可积性条件，以便定义s公共线性算子Et。这些条件对于在证明中应用Fubini-Tonelli定理是必要的。这与[30]中的构造产生了根本差异，其中仅可测量性条件就足以定义（2.5）中的次线性算子。为了简单起见，我们使用以下符号sep[X | Ft]（ω，ω）：=EP[X（·，ω）| Ft]（ω），（ω，ω）∈~Ohm, t>0，（2.20）Et（￠X）（ω，ω）：=Et（￠X（·，ω））（ω），（ω，ω）∈~Ohm, t>0。（2.21）我们注意到，由于串联函数是Borel可测量的，因此（2.21）的右侧由引理2.17的（2.5）和第3点和第6点定义。提案2.21。设假设2.2适用于P，设▄X是▄上的上半解析函数Ohm 使▄X∈ L（~Ohm) 或▄X为GP可测量且非负。对于每t>0，在（2.19）中定义的函数▄Et（▄X）是上半解析函数，并且相对于G是可测量的*支架总成。证据让t>0。根据定义（2.19）和命题2.4，我们得出▄Et（▄X）是（F*t型∨ σ（τ））-可测量，因此也是G*t-和GP可测量。引理2.17的点3、4、5和属性2.4是上半解析的。备注2.19和命题2.21表明（~Et）t>0是一系列公共条件期望，扩展了（Et）t>0定义的函数Ohm.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:03

我们现在证明，族（~Et）t>0满足动态编程原理或塔属性的弱形式，类似于[32]中的一种。定理2.22。设假设2.2成立，且X为上半解析函数Ohm 这样▄X是GP可测量且非负的。如果0 6 s 6 t，则所有▄P的▄Es（▄Et（▄X））>▄Es（▄X）▄P-a.s.▄∈§P.（2.22）证明。我们记得我们使用了符号（2.13）、（2.20）和（2.21）。由于假设X为GP可测且非负，根据提议2.21和算子Et的次线性，很好地定义了（2.22）的左侧。根据定义（2.19），关系式（2.22）等于以下{τ6s}Es（(R)Д（x，·））| x=~τ+1{τ>s}Es（eΓsE^P[1{τ>s}Et（~x）]）>1{τ6s}Es（Д（x，·））| x=~τ+1{τ>s}Es（x eΓsE^P[1{τ>s} x]，（2.23），其中，ν是可测函数Д：（R+×）Ohm , B（R+） FP公司∞) → （R，B（R）），使得▄X（ω，ω）=Д（▄τ（ω，ω），ω），（ω，ω）∈~Ohm,对于所有（x，ω），和||（x，ω）=1{x6t}Et（ν（x，·））（ω）+1{x>t}Et（eΓtE^P[1{τ>t}∧x]（ω）∈ R+×Ohm. 我们首先通过使用（2.19）和（P，F）条件期望的塔式性质（2.7）来证明（2.23）两侧的第一项之间的相等性：{τ6s}Es（(R)（x，·））| x=τ=1{τ6s}Es{x6t}Et（Д（x，·））+1{x>t}Et（eΓtE^P[1{τ>t}x]）x=△τ=1{△τ6s}{x6t}Es（Et（Д（x，·）））+1{x>t}EsEt（eΓtE^P[1{τ>t}X]）x=△τ=1{△τ6s}Es（Et（Д（x，·）））| x=△τ=1{△τ6s}Es（Д（x，·））| x=△τ。对于第二项，我们首先注意到∈^Ohm, §τ（·，^ω）是一个Fstopping时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:07

因此，通过Galmarino的检验，在{τ6 t}事件上，我们得到了{τ（ωtω′，^ω）=对于所有ω′而言，τ（ω，^ω）∈ Ohm.因此在事件{τ6 t}上，对于每个固定的ω∈^Ohm, 通过使用定义（2.4），（2.5）和表示（2.14），我们得到了haveEt（￠X）（ω，^ω）=支持∈PZ公司OhmX（ωtω′，^ω）P（dω′）=supP∈PZ公司Ohmφ(~τ (ω tω′，^ω），ωtω′）P（dω′）=支持∈PZ公司Ohmφ(~τ (ω, ^ω), ω tω′）P（dω′）=支持∈PZ公司OhmД（x，ωtω′）P（dω′）对于所有ω，x=￠τ（ω，^ω）=Et（Д（x，·））（ω）| x=￠τ（ω，^ω）∈ Ohm,即{τ6t}Et（Д（x，·））| x=τ=1{τ6t}Et（x），对于每个固定ω∈^Ohm. （2.24）此外，我们注意到，通过（2.6），对于每个P∈ PEt（eΓtE^P[1{τ>t}X]）=eΓtEt（eP[1{τ>t}X]）P-a.s.（2.25）现在由[30]的（2.19），（2.24），（2.25）和备注2.4（iii），我们有（eΓsEP[1{τ>s}Et（￠X）]=eΓsEsE^Ph{τ>s}（1{τ6t}Et（Д（x，·））| x=τ+1{τ>t}Et（EΓtE^P[1{τ>t}x]）i=eΓsEs公司E^Ph{s<τ6t}Et（~X）+1{τ>t}EΓtEt（E^P[1{τ>t}}X]）i=eΓsEs公司E^P[1{s<τ6t}Et（~X）]+E^P[1{τ>t}EΓtEt（E^P[1{τ>t}X]）]P-所有P的a.s∈ P、由于eΓtEt（eP[1{τ>t}X]）仅取决于第一个分量ω，使用Γ和（2.13）的定义，因此从引理2.10得出ePh{τ>t}eΓtEt（e^P[1{τ>t}X]）i=eP[1{τ>t}]eΓtEt e^P[1{τ>t} X]=e-ΓteΓtEt（E^P[1{τ>t}X]）=Et（E^P[1{τ>t}X]）。（2.26）它遵循（eΓsE^P[1{τ>s}Et（￠X）]）=eΓsEsE^P[1{s<τ6t}Et（~X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）=eΓsEs公司E^P[Et（1{s<τ6t}X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）>eΓsEs公司Et（E^P[1{s<τ6t} X]）+Et（E^P[1{τ>t}X]）（2.27）>eΓsEsEt（E^P[1{s<τ6t}X]+E^P[1{τ>t}X]）（2.28）=eΓsEs（Et（eP[1{τ>s}X]））=eΓsEs（eP[1{τ>s}X]）=Es（eΓsEP[1{τ>s}X]）P-a.s.对于所有P∈ P、在第二个等式中，我们使用每个固定ω的性质∈^Ohm, {s<τ（·，ω）6 t}∈ F和Et（1AX）=1AEt（X），如果A∈ Ftand X为上半解析式，见【30】备注2.4（iv）。不等式（2.27）遵循fr om（2.6）和条件Fubini-Tonelli定理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:09

事实上，用符号（2.13）我们得到了E^P[Et（1{s<τ6t}X）]=E^P“ess supPP”∈P（t；P）EP′[1{s<τ6t}X | Ft]#>E^P[1{s<τ6t}X | Ft]=所有P∈ P、因此，E^P[Et（1{s<τ6t}▄X）]>ess supPP′∈P（t；P）EP′[E^P[1{s<τ6t} X]| Ft]=所有P∈ P、不等式（2.28）源自（P，F）-条件期望的次线性。在倒数第二个等式中，我们使用tower属性（2.7）。这就是证明。推论2.23。设假设2.2成立，且X为上半解析函数Ohm 使▄X∈ L（~Ohm). 对于t>0，I f，~Et（~X）∈ L（~Ohm), 然后▄Es（▄Et（▄X））>▄Es（▄X）▄P-所有▄P的a.s∈~P，对于0 6 s 6 t。在附录A中，一个明确的反例表明，在完全通用性方面，无法改善族（~Et）t>0的上述弱towerproperty。然而，在第2.4节中，我们表明，在所有信贷或保险产品的实际利益的情况下，经典的tower财产都适用。附录B中提供了塔楼物业的其他有效条件。备注2.24。由于逐步扩大的过滤G的性质，经典动态规划属性在简化形式设置中失败。事实上，虽然规范过滤F与[30]中所示的“路径粘贴”结构一致，动态规划属性遵循自然顺序，但对于扩大的过滤G，情况并非如此。此外，请注意▄Et并不总是映射L（▄Ohm) 进入L（yenOhm), 原因与导致动态规划属性失败的原因相同。有关这些技术难题的详细讨论，请参阅[46]。鉴于上述结果，我们给出以下定义，将命题2.4中的一个扩展到模型不确定性下的简化形式设置。定义2.25。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:12

我们称s公共线性条件期望（~Et）t>0（~P，G）-条件期望族。2.4模型不确定性下信贷和保险产品的估值我们现在考虑模型不确定性下信贷和保险产品的估值。我们在命题2.31中表明，在这些情况下，经典的塔属性holds和次线性算子▄Etmaps L（▄Ohm) 进入L（yenOhm). 正如我们将在第3.4节中看到的，以下估值公式因此可以解释为给定现金流的超高价格。让T<∞ 是到期时间。我们定义过滤FP：=（FPt）t∈[0，T]byFPt：=F*t型∨ NPT，t∈ [0，T]，其中NPTis是所有P的（P，FT）-null的s集的集合∈ P、对于信贷和保险市场而言，与▄τ所代表的特定违约事件相关的主要产品可以通过三种类型的合同进行建模，并具有以下收益：1。1{τ>T}Y，其中Y是上的FPT可测非负上半解析函数Ohm 使得E（Y）<∞; i、 e.只有在到期日之前未发生违约事件的情况下，才在合同到期日付款；2.1{0<τ6T}Zτ，其中Z：=（Zt）t∈[0，T]是FP可预测的非负进程Ohm, 使得函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 是上半解析和上半解析∈[0，T]E（Zt）<∞ ; i、 e.只有在违约事件发生在合同到期之前或到期时，才在|τ支付款项；3、RT（1- Hu）dCu=1{τ>T}CT+1{0<τ6T}C-, 式中C：=（Ct）t∈[0，T]上的isa非负FP自适应非减损过程Ohm, C（t，ω）：=Ct（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 上半解析和支持∈[0，T]E（Ct）<∞, 表示累计付款；i、 e.只要未发生违约事件或合同有效，就进行支付。我们给出了模型不确定性下这三类合同的第一个估值公式。引理2.26。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:15

设Y=Y（ω），ω∈ Ohm, 是一个FPT可测的上半解析函数，使得E（| Y |）<∞. 然后每t∈ [0，T]，{τ>T}Y和Y e-RTtuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 此外，如果P满足假设2.2，则以下情况适用于每个t∈ [0，T]，~Et{τ>T}Y= 1{τ>t}Et是的，是的-RTtuudu. （2.29）证明。我们注意到1{τ>T}和e-RTtuuduare非负Borel可测函数。到引理2.17的第5点，我们得到{τ>T}Y和Y e-RTtuuduare上半解析，明显属于L（~Ohm). 等式（2.29）来自（2.19），并且Y不依赖于ω∈^Ohm,~Et（1{τ>T}Y）=1{τ>T}Et（eΓtE^P[1{τ>T}Y]）=1{τ>T}Et（Y eΓT-ΓT）=1{τ>T}Et（Y e-RTtuudu）。引理2.27。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm. 然后在每个▄P下∈P，其中▄P=P^P，我们有{s<τ6t}ZτGs公司= 1{τ>s}EPZtsZue公司-RusuvdvuuduFs公司对于s、t，P-a.s.，（2.30）∈ [0，T]和s 6 T。该积分是一个经过路径定义的Lebesgue-Stieltjes积分。证据让▄P∈P和0 6 s 6 t 6 t。根据[10]中的命题2.11、命题5.1.1和推论5.1.3，在没有过滤的通常条件的情况下，我们得到了{s<τ6t}ZτGs公司= 1{τ>s}E▄PZtsZue公司-RusuvdvuuduFs公司P-a.s.然后▄P-a.s.等式（2.30）从P开始^P|(Ohm,F） =P。推论2.28。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm 使得函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 是上半解析和支持∈[0，T]E（| Zt |）<∞.然后，{s<τ6t}Zτ和ztszue-Rusuvdvuuduare上半解析，属于L（~Ohm), 对于所有s，t∈ [0，T]和s 6 T。此外，如果假设2.2适用于P，我们有Es{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EsZtsZue公司-RusuvdvuuduP-a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-1 03:22:18

对于所有▄P∈所有s、t的P（2.31）∈ [0，T]与s 6 T。如果加上Z是一个逐步F-可预测过程，则为zt=nXi=0Zti{ti<t6ti+1}，T∈ [0，T]，其中T=s<···<tn+1=T，Ztiis Fti可测量所有i=0。。。，n、然后，等式（2.31）顺理成章地成立，即{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EsZtsZue公司-Rusuvdvuudu. （2.32）证明。我们注意到引理2.17的第6点也适用于Y=[0，T]，κ（dy；x）≡ dy.这与引理2.17的第3点和第5点一起表明{s<τ6t}Z▄τ和ztszue-Rusuvdvuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 等式（2.31）来自引理2.27和备注2.19的第3点。如果Z是一个逐步F-可预测的过程，那么由（2.19）我们得到Es{s<τ6t}Zτ= 1{τ>s}EseΓsE^P“nXi=0Zti{ti<τ6ti+1}#！=1{τ>s}EseΓsnXi=0ZtiE^P{ti<τ6ti+1}!= 1{τ>s}EseΓsnXi=0Zti（e-Γti- e-Γti+1）！=1{τ>s}EsZtsZueΓs-ΓudΓu= 1{τ>s}EsZtsZue公司-Rusuvdvuudu,其中，上面的积分是路径Lebesgue–Stieltjes积分。引理2.29。设C：=（Ct）t∈[0，T]是一个非负的FP自适应非减量连续过程Ohm. 然后在每个▄P下∈P，其中▄P=P^P，我们有Zts（1- Hu）dCuGs公司=1{τ>s}EP中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduFs公司所有s、t的P-a.s.（2.33）∈ [0，T]带s 6 T证明。让▄P∈P和0 6 s 6 t 6 t。我们使用了与[10]第5.1.2条提案第一部分相同的证明，该证明与第2.11条提案和第Zts（1- Hu）dCuGs公司=1{τ>s}E▄P中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduFs公司P-a.s.然后▄P-a.s.等式（2.33）从P开始^P|(Ohm,F） =P。推论2.30。设C：=（Ct）t∈[0，T]是上的非负FP自适应非减损过程Ohm, C（t，ω）：=Ct（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和上半解析andsupt∈[0，T]E（Ct）<∞ . 然后是ZTS（1- Hu）dCuandZtsCue-Rusuvdvuudu+Cte-Rtsuuduare上半解析c，属于L（~Ohm) 对于所有s，t∈ [0，T]和s 6 T。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-1 03:22:21

此外，如果P的假设2.2成立，我们有EsZts（1- Hu）dCu=1{τ>s}Es中兴通讯-Rusuvdvuudu+Cte-RtsuuduP-所有▄P的a.s.▄∈所有s、t的P（2.34）∈ [0，T]带s 6 T证明。自ZTS（1- Hu）dCu=1{s<τ6t}Cτ+1{τ>t}Ct，引理2.17的第2、4、5和6点显示ZTS（1- Hu）dCuandZtsCue-Rusuvdvuudu+Cte-Rtsuuduare上半解析，属于L（~Ohm). 等式（2.34）来自引理2.29和备注2.19的第3点。现在我们证明，在所有这些实际感兴趣的情况下，经典的towerproperty成立，而次线性算子▄Etmaps L（▄Ohm) 进入L（yenOhm). 下面的命题更一般一些。提案2.31。设Z：=（Zt）t∈[0，T]是上的FP可预测进程Ohm 这样的支持∈[0，T]E（| Zt |）<∞ 函数Z（t，ω）：=Zt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,是上半解析函数，Y是上半解析函数Ohm使得E（| Y |）<∞. 让2.2上的Ass umpti保持P。如果▄X=1{0<τ6T}Z▄τ+1{▄τ>T}Y，那么我们有▄Et（▄X）∈ L（~Ohm),对于所有t∈ [0，T]和tower属性保持不变，即▄Es（▄Et（▄X））=▄Es（▄X）▄P-所有▄P∈§P，适用于所有s、t∈ [0，T]带s 6 T证明。让t∈ [0，T]。类似于引理2.26和推论2.28的论点表明▄Et（▄X）定义良好，且▄E（▄X▄）<∞.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝