不确定性下的决策：两个自我的博弈

2022-4-26 13:27:23

不确定性下的决策：两个自我的博弈*夏建明+本文从个人内部的领导者-追随者博弈的角度，刻画了满足弱序、单调性、阿基米德和弱C-独立公理的Niveloid偏好。我们还表明，领导者的策略空间可以作为模糊厌恶指数。1引言为了解决埃尔斯伯格（1961年）观察到的悖论，以及萨维奇（1954年）和安斯科姆与奥曼（1963年）的主观预期效用（SEU）所违反的悖论，吉尔博亚和施梅德勒（1989年）引入了maxmin预期效用（maxmin EU），决策者根据一组概率的最小预期效用对安斯科姆-奥曼进行排序。在鲁棒控制方法的推动下，Hansen和Sargent（20002001）提出了乘数偏好，Strzalecki（2011）将ich公理化。Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2006）、MMR（2006）从此引入了变分偏好（VP），其中包括作为特例的maxmin-EU和乘法器偏好。Chateauneuf and Faro（2009）介绍了信心偏好。最近，Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011）以及C3M（2011）研究了不确定性厌恶偏好（UAP），其中包括VP和信心偏好的特例。上述所有偏好都满足“不确定性平均”原则。另一方面，Schmeidler（1989）引入了Choquet期望效用（CEU），决策者根据Choquet期望效用对容量（也称为非加性概率）进行排序。一般来说，CEU偏好是*国家重点研究开发项目（NO。

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kedemingshi

2022-4-26 13:27:29

2018YFA0703900）。+中国科学院数学与系统科学研究院，中国科学院，北京100190；电子邮件：xia@amss.ac.cn.neither不确定性厌恶也不寻求不确定性。正如Schmeidler（1989）指出的，CEU偏好是不确定性厌恶的当且仅当相应的容量是凸的。此外，后来的研究表明，人们对歧义的态度并不是系统地消极的。例如，Heath和Tversky（1991年）进行的一系列实验表明，当代理人认为自己知识渊博或有能力时，他们甚至可以寻求模糊性。其他非不确定性厌恶偏好包括α-最大期望效用（α-MEU）（Hurwicz 1951，Arrow和Hurwicz 1972），Ghirardato，Maccheroni和Marin acci（2004），GMM（2004），以及Klibano Off，Marinacci和Mukerji（2005），KMM（2005）的平滑模糊偏好。根据GMM（2004），IB偏好首先被描述为广义α-MEU p参考，其中α取决于act。此后，Cerreia Vioglio、Ghirardato、Maccheroni、Marinacci和Siniscalchi（2011）、CGMMS（2011）将这种广义的α-MEU特征进一步扩展到MBA偏好（单调、伯努利和阿基米德）。Giraud（2005）和Amarante（2009）也将IB偏好描述为二阶CEU。想象一个具有非不确定性厌恶偏好的决策者由两个自我组成是很自然的想法：不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我，两个自我之间的互动产生了决策者对行为的最终评估。这可以从仔细观察α-MEU得到启发。

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大多数88

2022-4-26 13:27:35

很明显，对于任何行为f，αminp∈PZu（f）dp+（1）- α） maxp∈PZu（f）dp=maxp∈Pminp∈PZu（f）d（αp+（1）- α） p）（1.1a）=minp∈Pmaxp∈PZu（f）d（αp+（1）- α） p），（1.1b），其中p是凸紧集，由一些概率和α组成∈ [0, 1]. 公式（1.1）从azero和博弈的角度解释了α-MEU。考虑如下零和博弈。玩家1和2分别从P选择优先级和PFP。然后由α-组合αp+（1）给出一个公共概率- α） p，根据该值计算预期效用。在这个游戏中，玩家1扮演寻求不确定性的自我，玩家2扮演厌恶不确定性的自我。然后玩家1和2分别根据maxmax EU和maxmin EU评估动作。因此，行为f最终由博弈的均衡值（鞍点值）来评估。因此，α-MEU可以解释为相互作用的结果。GMM（2004）对α-MEU进行了公理化。两个自我之间的零和博弈和两个自我之间的零和博弈可以被视为一个代表互动机制的个人内部博弈。上述从零和博弈角度的解释可以推广到IB偏好（分别是MBA偏好）的广义α-MEU特征。唯一的区别是，对于这些偏好，组合权重α不是给定的常数，而是行为f的函数（尤其是状态效用u）o f）。因此，广义α-MEU可以看作零和对策的平衡值（鞍点值）。本文从领导者跟随者的角度提供了另一种解释。

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2022-4-26 13:27:41

在第4节中，具有IB偏好的决策者根据v（f）=maxP对Act f进行排序∈Pminp∈PZu（f）dp（1.2a）=minQ∈Qmaxq∈QZu（f）dq，（1.2b），其中P和dq是由一些凸和紧子集P，Q组成的两个族和是由所有概率组成的集合。描述（1.2）从领导者-追随者博弈的角度解释了IB p参考。例如，在表征（1.2a）中，领导者充当寻求不确定性的自我，并优先于厌恶不确定性的自我。博弈的斯塔克勒均衡值决定了行为的最终评估。此外，人内主导-跟随博弈的这种刻画可以扩展到更普遍的偏好（本文称为niveloidalpreference），它满足弱C独立性公理以及弱O阶、单调性和阿基米德公理。本文的主要贡献是从个人内部的领导者-追随者博弈的角度来描述niveloidal偏好。本文的另一个贡献是表明领导者的策略空间可以作为模糊厌恶指数。例如，在表征（1.2a）中，P是领导者的策略空间，领导者充当寻求不确定性的自我；P越大，决策者越不喜欢模糊性。在表征（1.2b）中，Q是领导者的策略空间，领导者现在充当不确定性厌恶自我；Q值越大，决策者越不喜欢模糊性。歧义厌恶程度最终由领导者决定！本文的其余部分组织如下。第2节介绍了设置和一些数学预备知识。Niveloid偏好的表示结果和解释见第3节。

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2022-4-26 13:27:47

IB偏好的表示结果和解释见第4节。第5节研究了一些特殊偏好。第6节讨论了模糊态度。证据和相关材料见附录。2.预备题设S为世界状态的非空集合，∑S为事件子集的代数，Xa为结果的非空集合。我们用F表示所有简单动作的集合：mappingsf:S→ X我有很多值，并且是∑可测量的。按照惯例，要确定每一个结果∈ 带常数的动作∈ 在每种状态下都会产生x。我们总是假设X是向量空间的凸子集。例如，如果X是一个非空集Z上所有分布的集合，且具有有限的支持度：X=（X:Z），则为这种情况→ [0, 1]x（z）6=0表示数量众多的z∈ Z和XZ∈Zx（z）=1）。对于每一个f，g∈ F和α∈ [0,1]，我们可以定义混合actαf+（1- α） g哪个yieldsconsequenceαf（s）+（1- α） g（s）在每个状态s中。设B（∑）是所有R值∑-可测函数的集合，这些函数有很多个值，B（∑）是其s上范数闭包。当赋上范数时，B（∑）是无规向量空间，B（∑）是Banach空间。对于每一个事件∈ ∑，我们用1表示A的指示函数。通常，对于每个α∈ R、 α1与α相同。显然，B（∑）是{1A | A所跨越的向量空间∈ Σ}. 任何时间间隔T R、设B（∑，T）（resp.B（∑，T））表示B（∑）（resp.B（∑））中所有函数的集合，取T中的值。每一幕∈ F和function u:X→ R、 u（f）是由所有s的u（f）（s）=u（f（s））定义的B（σ）元素∈ S.B（σ）（分别为B（σ））的范数对偶是∑端上所有有界和有限可加集函数的空间ba（σ），其总变分范数、对偶性为μ，mi=R k dm f或所有μ∈ B（σ）（分别为。

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2022-4-26 13:27:55

B（∑）和所有m∈ ba（σ）；例如，见邓德·奥尔夫和施瓦茨（1958年，第258页）。我们写的是不同的φdm或m（φ）。将值1赋给S的非负元素ba（σ）称为完全可加概率，通常用p表示。关于∑的所有完全可加概率的集合用. 允许被赋予弱*拓扑，即σ(, B（∑）拓扑。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ [-∞, ∞] 如果I（α）=α表示所有α，则称为：o归一化∈ R∩ Φ;o 如果I（ν）单调≥ I（ψ）表示所有的ψ，ψ∈ Φ，以便≥ ψ;o 如果I（ν+α）=I（ν）+α表示所有的∈ Φ和α∈ R w，带φ+α∈ Φ.我们回顾了Dolecki和Greco（1995）的以下定义；另见MMR（2006）。定义2.1。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ R是一个niveloidif，它是单调的，而翻译是可变的。3 Niveloid偏好决策者的偏好由F上的二元关系%给出。通常，其对称和非对称部分用~ 和分别地3.1代表性首先列出偏好满足的公理。公理A1（弱序）二元关系%在F上是非平凡的、完全的和可传递的。公理A2（单调性）适用于任何F，g∈ F、如果F（s）%g（s）代表所有s∈ S、然后f%g.公理A3（阿基米德）表示所有的f，g，h∈ F、如果F G 然后存在一些α，β∈ （0，1）使得αf+（1- α） h G βf+（1）- β） h.公理A4（弱C-独立性）适用于所有f，g∈ F、 x，y∈ 十、和α∈ （0,1），αf+（1）- α） x%αg+（1）- α） x=> αf+（1）- α） y%αg+（1）- α） y.公理A1-A3是标准的，并且完全符合标准。在公理A1中，非平凡意味着f g代表一些f，g∈ F.Axiom A4是由MMR（2006）在对变分偏好的表征中引入的。下面的表示结果是fr om MMR（2006，引理28）。引理3.1。

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nandehutu2022

2022-4-26 13:28:01

满足公理A 1–A4的二元关系%当且仅当存在一个非恒定函数u:X→ R、使用0∈ int（u（X））和标准化的niveloidI:B（∑，u（X））→ 这样，对于任何f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。而且，你是独一无二的，而且，我是独一无二的。考虑到之前的陈述结果，我们给出了以下定义。定义3.2。如果二元关系%满足公理A1–A4，则它是一种Niveloid偏好。设C表示所有下半连续凸函数C的集合： →(-∞, ∞]. 我们需要以下定义。定义3.3。子集C 如果supc∈Cminp∈c（p）=0。在C={C}是单态的情况下，C是接地的当且仅当minp∈c（p）=0。因此，这与MMR（2006年）对单一乐趣的基础性定义一致。下一个定理描述了Niveloid偏好。定理3.4。设%是F上的一个二元关系。下列条件是等价的：（i）%是一个二元偏好；（ii）存在一个非恒定函数u:X→ R和C C这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）≥ 马克斯∈Cminp∈Zu（g）dp+c（p）; （3.1）（iii）存在一个非恒定函数u:X→ R和a接地子集B C这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 明布∈Bmaxq∈Zu（f）dq- b（q）≥ 明布∈Bmaxq∈Zu（g）dq- b（q）. （3.2）函数u是基数唯一的，有一个（唯一的）最大接地子集C*C满足（3.1），由C给出*=C∈ C明普∈Zu（f）dp+c（p）≤ u（xf）f或全部f∈ F, （3.3）存在一个（唯一的）最大g取整子集B* C（3.2），由B驱动*=B∈ Cmaxp∈Zu（f）dq- b（q）≥ u（xf）f或全部f∈ F. （3.4）证据。见附录九B。

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2022-4-26 13:28:07

3.2解释：领导者-追随者博弈具有Niveloid偏好的决策者根据偏好函数lv（f）=maxc对行为f进行排序∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）（3.5）orV（f）=minb∈Bmaxq∈Zu（f）dq- b（q）. （3.6）上述两种表述中的每一种都与决策者的两个自我之间的主从博弈有关。更准确地说，决策者由两个自我组成：不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我。我们首先考虑与表征（3.5）相关的博弈，其中寻求不确定性的自我是领导者，厌恶不确定性的自我是领导者。游戏分两个阶段。第一阶段：领导者首先行动，然后选择策略c∈ C.第二阶段：然后作为回应，跟随者（厌恶不确定性的自我）移动并选择策略p∈ 最小化Ru（f）dp+c（p）, 根据带有惩罚函数c的不确定性厌恶变分偏好进行操作。这里，不确定性厌恶变分偏好指的是满足公理A1-A4和下一个公理A5（不确定性厌恶）的偏好，适用于所有f，g∈ F和α∈ （0,1），f~ G=> αf+（1）- α） g%f.在第一阶段，领导者会考虑跟随者的反应，作为不确定的自我，最大化minp∈Ru（f）dp+c（p）超过c∈ C.因此，主从博弈的斯塔克伯格均衡值为（3.5），代表决策者的选择标准。表述（3.6）也可以类似地解释。现在，厌恶不确定性的自我是领导者，寻求不确定性的自我是追随者。

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2022-4-26 13:28:13

游戏分两个阶段。MMR（2006）研究了可变偏好（满足公理A1-A5的偏好）。它们在这里被称为不确定性规避变分偏好，以区别于满足公理A1–A4和A6的那些，它们在这里被称为不确定性寻求变分偏好。MMR（2006）的一个类似方法导致了以下不确定性寻求变量偏好的选择标准：maxq∈ Zu（f）dq- b（q）,b在哪里∈ C第一阶段：领导者首先行动，然后选择策略b∈ B.第二阶段：然后作为回应，跟随者（不确定的自我）移动并选择策略q∈ 最小化Ru（f）dq- b（q）, 根据惩罚函数b的不确定性寻求变分偏好进行操作。这里的不确定性寻求变分偏好指满足公理A1-A4和下一个公理A6（不确定性寻求）的偏好，适用于所有f，g∈ F和α∈ （0,1），f~ G=> f%αf+（1）- α） g.在第一阶段，领导者会考虑追随者的反应，作为不确定的自我，最小化maxq∈Ru（f）dq- b（q）超过b∈ 因此，主从博弈的斯塔克伯格均衡值为（3.6），代表决策者的选择标准。正如上文所讨论的，每个代表（3.5）和（3.6）明确描述了不确定性厌恶者和寻求不确定性的自我在决策中的作用。每个表征的计算过程可以解释为两个自我之间的主从博弈。将代表（3.5）和（3.6）与零和博弈联系起来也很有趣。然而，一般来说，C和B都是非凸的，因此零和博弈的值不存在。

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2022-4-26 13:28:20

如果对于每一个f，存在（3.5）中零和博弈的值，即maxc∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= 明普∈supc∈CZu（f）dp+c（p）,thenV（f）=minp∈Zu（f）dp+c（p）,其中c（p）=supc∈Cc（p）适用于所有p∈ . 显然，c∈ C在这种情况下，根据MMR（2006）的主要表示定理，%是一种不确定性厌恶变分偏好。类似地，如果（3.6）中的零和博弈的值对于每一个f都存在，那么%是一个不确定性，看起来是变分偏好。此外，如果零和博弈的值对每一个f都有性别歧视，那么%是一种不确定性厌恶和不确定性寻求变量偏好。因此，%满足了不确定性厌恶和不确定性寻求的公理。因此，在弱C-独立公理下，%满足了Anscombe和Aumann（1963）的独立公理，因此是SEU偏好。4不变双可操作偏好Gilboa和Schmeidler（1989）在描述maxmin-EU偏好时引入了下一个公理。公理A7（C-独立性）适用于所有f，g∈ F、 x∈ 十、和α∈ （0,1），f%g<=> αf+（1）- α） x%αg+（1）- α） x.继GMM（2004）之后，如果二元关系%满足公理A1–A3和A7，则称其为不变二分参照（IB偏好）。有关更多可分离偏好的讨论，请参见Ghirardato和Marinacci（2001）。显然，公理A7意味着公理A4。因此，IB偏好是一种特殊的Niveloid偏好。extn定理描述了IB偏好。定理4.1。设%为F上的二元关系。

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2022-4-26 13:28:26

以下条件是等效的：（i）%是IB偏好；（ii）存在一个非恒定函数u:X→ R和由一些凸紧子集P组成的f族P 这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> maxP∈Pminp∈PZu（f）dp≥ maxP∈Pminp∈PZu（g）dp；（4.1）（iii）存在一个非恒定函数u:X→ R和一个由凸紧子集Q组成的族Q 这样，对于f中的任何f和g，f%g<=> 明克∈Qmaxq∈QZu（f）dq≥ 明克∈Qmaxq∈QZu（g）dq。（4.2）函数u基本上是唯一的，存在一个（唯一的）极大族P*令人满意（4.1），gi ven byP*=P P是凸紧的，minp∈PZu（f）dp≤ u（xf）f或全部f∈ F,（4.3）存在一个（唯一的）最大f族Q*满足（4.2），byQ给出*=Q Q是凸紧的，maxq∈QZu（f）dq≥ u（xf）f或全部f∈ F.（4.4）证据。见附录九B。具有IB偏好的决策者根据p referencefunctionalV（f）=maxP对f进行排序∈Pminp∈PZu（f）dp（4.5）orV（f）=minQ∈Qmaxq∈QZu（f）dq。（4.6）就像第3节中的讨论一样，每种表述（4.5）-（4.6）都可以被视为不确定性厌恶自我和不确定性寻求自我之间的领导者-追随者博弈的价值。例如，对应于表象（4.5）的游戏有两个阶段。第一阶段：领导者（寻求不确定性的自我）首先行动并选择战略∈ P、这是跟随者的战略节奏。第二阶段：然后作为回应，跟随者（不确定性厌恶自我）移动并选择策略p∈ P将预期效用RU（f）dp降至最低，根据事先设定的P采取行动。在第一阶段，领导者考虑跟随者的反应，作为不确定的自我，最大化minp∈PRu（f）dp/P∈ P

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kedemingshi

2022-4-26 13:28:32

因此，主从博弈的Stackelberg均衡值为（4.5），代表决策者的选择标准。表述（4.6）也可以类似地解释。IB偏好具有定理4.1给出的表示，作为特殊的NIVELOIDALLPREFERENCE，它也具有定理3.4给出的表示。一个自然的问题出现了：这些表述之间的关系是什么？它可以由下一个建议解决。继续，对于任何潜艇 , 设函数δP： → (-∞, ∞] 是凸分析中P的指示函数，即δP（P）=如果p∈ P∞ 否则提议4.2。设%为F上的IB首选项。设P*, Q*, C*B*由定理4.1和3.4给出。然后我们有了*= {c∈ C | C≤ 某些P的δpf∈ P*}, （4.7）B*= {b∈ C | b≥ δqf或某些Q∈ Q*}. （4.8）证据。见附录九B。就指标函数而言，（4.5）和（4.6）可以重写为asV（f）=maxP∈Pminp∈Zu（f）dp+δP（P）（4.9）orV（f）=minQ∈Qmaxq∈Zu（f）dq+δQ（Q）. （4.10）它们也与零和博弈有关，一般来说，零和博弈的值不存在。如果，每f∈ F、（4.9）中零和博弈的值存在，即maxP∈Pminp∈Zu（f）dp+δP（P）= 明普∈晚餐∈PZu（f）dp+δP（P）,thenV（f）=minp∈PZu（f）dp，其中P=∩P∈PP。在这种情况下，%是Gilboa和Schmeidler（1989）的最大欧盟偏好。类似地，如果（4.10）中的零和博弈的值对于每个f都存在，那么%是一个最大EU偏好。此外，如果每f都存在两个零和对策的值，那么%是一个SEU偏好。5特殊情况在本节中，我们提供了C的明确特征*B*对于一些特殊的偏好。5.1变分偏好let%是MMR（2006）的不确定性规避变分p参考，由MINP表示∈Zu（f）dp+c（p）, （5.1）其中c∈ C是接地的。

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2022-4-26 13:28:38

现在我们将提供C的显式特征*B*. 为此，为了c，c∈ C，我们写C≈ucifminp∈Z k dp+c（p）= 明普∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。提议5.1。考虑由（5.1）表示的MMR（2006）的不确定性规避变分偏好%，其中c∈ C被禁飞了。然后*=北卡罗来纳州∈ CC≈加州大学≤ 一些c∈ Co，（5.2）B*=B∈ C明普∈[b（p）+^c（p）]≤ 0表示某些^c∈ 带^C的C≈加州大学. （5.3）证据。见附录九B。备注5.2。如果u（X）是无界的，那么c≈加州大学<=> c=c，因此，（5.2）-（5.3）降低总有机碳*= {c∈ C | C≤ c} ，B*=B∈ C明普∈[b（p）+c（p）]≤ 0.与命题5.1类似，我们有以下命题。提议5.3。考虑一个满足A1–A4和A6且由Maxp表示的寻求变分偏好%的不确定性∈Zu（f）dp- b（p）,b在哪里∈ C被禁飞了。b，b∈ C，我们写bu≈ bifmaxp∈Z k dp- b（p）= maxp∈Z k dp- b（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。然后*=C∈ C明普∈[^c（p）+b（p）]≤ 0表示某些^c∈ 带^C的C≈加州大学, （5.4）B*=nb∈ CB≤^bu≈ b对于某些^b∈ Co.（5.5）备注5.4。如果u（X）是无界的，那么bu≈ B<=> b=因此，（5.4）-（5.5）降低总有机碳*=C∈ C明普∈[c（p）+b（p）]≤ 0,B*= {b∈ C | b≤ b} .5.2α-Maxmin预期效用偏好考虑由α-Maxmin预期效用表示的偏好%：αminp∈PZu（f）dp+（1）- α） maxp∈PZu（f）dp，f∈ F、其中P，P 是凸的、紧的和α∈ [0, 1]. 现在%是IB的首选。因此，有必要对P进行表征*Q*, 根据命题4.2。我们首先描述EP*. 假设P 是凸的和紧凑的。

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大多数88

2022-4-26 13:28:46

我们有∈ P*<=> 明普∈PZ~ndp≤ α-minp∈PZ~ndp+（1）- α） maxp∈PZ~ndp适用于所有∈ B（∑）<=>α-minp∈PZ~ndp+（1）- α） maxp∈PZ~ndp- 明普∈PZ~ndp≥ 0代表所有人∈ B（∑）<=> 麦克斯（p，p）∈P×PαZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0代表所有人∈ B（∑），p∈ P<=> inf~n∈B（∑）max（p，p）∈P×PαZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0, P∈ P<=> 麦克斯（p，p）∈P×Pinf~n∈B（∑）αZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp≥ 0, P∈ P、其中，在最后一个等价中使用了极大极小定理。如果αp+（1- α） p6=p，然后infа∈B（∑）αZ~ndp+（1）- α） Z k dp-Z k dp= -∞.此外，如果αp+（1- α） p=p，然后是αZ~ndp+（1- α） Z k dp-Z k dp=0。因此，P∈ P*<=> P∈ P （p，p）∈ P×P s.t.P=αP+（1）- α） p，<=> αP P- (1 - α） P，就是P*= {P | P是凸紧的，αP P- (1 - α） P}。同样地，我们有*= {Q | Q是凸紧的，（1- α） P Q- αP}。特别是，如果P=P=P，则*= {P | P是凸紧的，αP P- (1 - α） P}，Q*= {Q | Q是凸紧的，（1- α） P Q- αP}。在α=1的情况下，偏好是Gilboa和S chmeidler（1989）和P*= {P | P是凸紧的，P P}，Q*= {Q | Q是凸紧的，Q∩ P6=}.在α=0的情况下，首选的是maxmax EU和P*= {P | P是凸紧的，P∩ P6=},Q*= {Q | Q是凸紧的，P Q} 。此外，对于SEU偏好，由DPP的U（f）代表的百分比∈ , 我们有*= Q*= {P | P是凸紧的，P∈ P}。（5.6）5.3 Choquet预期效用偏好考虑了一个由Schmeidler（1989）的Choquet预期效用表示的差异%：Zu（f）dπ，f∈ F、式中，π是（S，∑）上的电容，ru（F）dπ是u（F）w.r.t.π的Choquet期望。现在%是IB的首选。因此，有必要对P进行表征*Q*, 第4.2条。我们首先描述了P*. 假设P 是凸的和紧凑的。

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2022-4-26 13:28:52

韦哈维普∈ P*<=> 明普∈PZ~ndp≤Z k dπ表示所有а∈ B（∑）<=>Z k dπ- 明普∈PZ~ndp≥ 0代表所有人∈ B+（∑）<=> maxp∈PZ k dπ-Z k dp≥ 0代表所有人∈ B+（∑）<=> inf~n∈[φ] maxp∈PZ k dπ-Z k dp≥ 0表示所有φ∈ B+（∑）<=> maxp∈品脱∈[φ]ZИdπ-Z k dp≥ 0表示所有φ∈ B+（∑），其中极小极大定理用于最后一个等价中，[φ]表示由[φ]给出的凸集，φ ∈ B+（∑）对于某些n on-递减函数k:R，φ=k（φ）+→ R+.∑中的有限链是有限序列{Ai，0≤ 我≤ n} ∑这令人满意 = A. A. A. · · · 对于每个φ，An=S∈ B+（∑），存在一个有限链{Ai，0≤ 我≤ n} α>α>·α>αn递减序列≥ 0使得φ（s）=αifor s∈ 哎呀-1, 1 ≤ 我≤ n、在这种情况下，我们有∈ [φ] 当且仅当存在一个非递增序列β≥β≥ · · · ≥ βn≥ 0，使得φ（s）=βifor s∈ 哎呀-1, 1 ≤ 我≤ n、此外，Z~ndπ=nXi=1（βi- βi+1）π（Ai），其中βn+1，0。因此，假设是凸的和紧的，然后∈ P*<=> 有限链{Ai，0≤ 我≤ n} ,， P∈ pst.nXi=1（βi- βi+1）[π（Ai）- p（Ai）]≥ 0对于所有非递增序列β≥ β≥ · · · ≥ βn≥ βn+1=0<=> 有限链{Ai，0≤ 我≤ n} ,， P∈ P s.t.P（人工智能）≤ π（Ai）对所有1≤ 我≤ N<=> P\\{P∈ | p（人工智能）≤ π（Ai），1≤ 我≤ n} 6= 对于所有有限链{Ai，0≤ 我≤ n} 。类似地，假设Q 是凸的和紧致的∈ Q*<=> Q\\{Q∈ | q（Ai）≥ π（Ai），1≤ 我≤ n} 6= 对于所有有限链{Ai，0≤ 我≤ n} .6模糊态度在本节中，我们根据Ghirardato和Marinacci（2002）提出的应用程序roach，讨论了决策者对niveloidalpreferences模糊性的态度。首先，歧义态度的比较概念陈述如下：定义6.1。设%和%为F上的偏好关系。

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2022-4-26 13:28:59

我们说%比%更模糊，如果，就f而言∈ F和x∈ 十、 X%f=> 为了简单起见，我们写下≈ uto表示效用指数ua和uar基本相等，即它们是彼此的正有效转换。下面三个命题的证明是标准的，省略了。提议6.2。让%和%成为两个Niveloid首选项。设相应的奇异性指数Ui和接地子集C*B区*iof C可以由定理3.4给出。然后，下列条件是等价的：（i）%比%更厌恶歧义；（二）美国≈ UAN和C* C*（前提是u=u）；（三）美国≈ uand B* B*（前提是u=u）。提议6.3。让%和%作为两个IB首选项。让相应的实用性指数Ui和族P*土地Q*ibe由定理4.1给出，i=1，2。那么下列条件是等价的：（i）%比%更厌恶歧义；（二）美国≈ UAN和P* P*（前提是u=u）；（三）美国≈ uand Q* Q*（前提是u=u）。命题6.2表明，如第3节所述，领导者-追随者博弈中领导者的战略空间可作为决策者模糊厌恶的指标。更准确地说，如果寻求歧义的自我是领导者，那么集合C*作为决策者模糊厌恶的一个指标：集合C越小*是的，决策者越是模棱两可。同样地，如果反对模糊的自我是领导者，那么集合B*作为决策者的模糊厌恶指数：挫折越大*是的，决策者越不喜欢模糊性。命题的含义。3是相似的。为了引入模糊厌恶的绝对概念，我们遵循Ghirardato和Marinacci（2002）将SEU偏好作为模糊中立性的基准。然后我们说，如果一个偏好%比某些SE U偏好更为模糊，那么它就是模糊厌恶。提议6.4。让%成为Niveloid的首选。

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2022-4-26 13:29:05

让C*B*由定理3给出。4.那么以下条件是等效的：遵循与中相同的程序，例如MMR（2006）；另见C3M（2011）。（i） %是歧义厌恶；（二）技术合作∈C*{p∈ | c（p）≤ 0} 6= ;（iii）δ{p}∈ B*为了一些p∈ .证据见附录九B。类似地，我们有下面的建议。提案6.5。让%成为IB首选项。让P*Q*由定理4.1给出。那么下列条件是等价的：（i）%是歧义厌恶的；（二）茶多酚∈P*第6页=;（iii）Q*包含一个单例。附录A niveloids在本附录中，我们提供了niveloids的表示。设Φ是B（∑）的非空子集。A函数I：Φ→ [-∞, ∞] 称为：o正齐次，如果I（αφ）=αI（φ）表示所有φ∈ Φ和α≥ 0，带αψ∈ Φ.o 如果I（ψ+ψ）是超可加的≥ I（ψ）+I（ψ）表示所有的ψ，ψ∈ Φ带φ+ψ∈ Φ.关于下一个引理，请参见，例如，F–ollmer和Schied（2016年，命题4.6–4.7）和Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Rustichini（2014年，命题1）。引理A.1。A函数I:B（∑）→ R是niveloid当且仅当存在一个子集se tΦ B（∑）使得osu p{α∈ R|- α ∈ Φ} < ∞;o 无论如何∈ Φ和ψ∈ B（∑），ψ≥ φ => ψ ∈ Φ;o I（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φ}.如果是这种情况，集合Φ可以选择为Φ={φ∈ B（∑）I（φ）≥ 0}. 此外，wehaveoI是正齐次的当且仅当Φ是锥I是凹的当且仅当Φ是凸集I是正齐次凹的当且仅当Φ是凸锥。任何时间间隔T R、我们使用Icc（T）（分别为Icv（T））来表示所有凹（分别为凸）类niveloid I:B（∑，T）→ 下一个引理提供了niveloids的R表示。引理A.2。设I:B（σ，T）→ R是一个函数，其中T R是区间数，0是区间数∈ int（T）。

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2022-4-26 13:29:11

然后，以下断言是等价的：（i）i是规范化的niveloid；（ii）存在一个家庭J 国际商会（T）规定：∈JJ（0）=0和i（）=supJ∈JJ（k）适用于所有а∈ B（σ，T）；（A.1）（iii）存在一个K族 Icv（T）使∈KK（0）=0和i（）=infK∈KK（~n）表示所有∈ B（σ，T）。（A.2）此外，可以选择族J和K，以使（A.1）中的上确界和（A.2）中的上确界是可实现的。证据显然，（ii）=>（i）及(iii)=>（i）。（一）=>（ii）：它分为以下几个步骤。假设（i）成立。I.Let^I:B（∑）的一个推广→ R可以表示为^I（ψ）=sup~n∈B（σ，T）I（ν）+infs∈S（ψ（S）- ~n（s））, ψ ∈ B（∑）。（A.3）则^I是B（∑）上延伸I的最小niveloid；参见Dolecki和Greco（1995年）或MMR（2006年，美联社A版）。很容易看出^I是标准化的niveloid。^I的表示。设Φ+为^I的上0级集，即Φ+=n^∈ B（σ）|^I（ν）≥ 0o。每∈ Φ+，设ψ（φ）表示为ψ（φ）={φ∈ B（∑）|φ≥ φ} .显然是∈ Ψ(φ) Φ+每φ∈ Φ+. 因此，Φ+=[~n∈Φ+{φ} =[φ∈Φ+Ψ(φ).每∈ Φ+，设J~n：B（∑）→ R被定义为asJ~n（ψ）=sup{α∈ R |ψ- α ∈ Ψ(φ)} .ThenJ~n（ψ）=infs∈S（ψ（S）- ψ（s）），ψ∈ B（∑）。毛和王（2020年）以及贾、夏和赵（2020年）使用了这一步骤的论点来调查风险措施。显然，Jа是一个凹形的niveloid。每ψ∈ B（∑），^I（ψ）=supnα∈ R^I（ψ）- α) ≥ 0o=supα ∈ Rψ - α ∈ Φ+= 啜饮α ∈ Rψ - α ∈[φ∈Φ+Ψ(φ)= sup~n∈Φ+sup{α∈ R |ψ- α ∈ ψ（ψ）}=sup~n∈Φ+Jψ（ψ）。（A.4）I的表示。最后，将（A.4）限制在B（∑，T）上会导致toI（ψ）=sup~n∈Φ+Jψ（ψ）适用于所有ψ∈ B（σ，T），式中J~n：B（σ，T）→ R是一个凹面的niveloid，代表每一个ψ∈ Φ+. 很明显，sup~n∈Φ+J~n（0）=I（0）=0。（一）=>（三）假设（一）成立。设J（ψ）=-我(-对于所有人∈ B∑，-T）。那么J:B（σ，-（T）→ R是标准化的niveloid。

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2022-4-26 13:29:18

然后通过（i）=>（ii）存在一个{Jλ，λ族∈ Λ} 国际刑事法院(-T）使supλ∈λJλ（0）=0和J（φ）=supλ∈λJλ（ν），洎∈ B∑，-T）。设Kλ（ψ）=-Jλ(-对于所有人∈ B（σ，T），然后Kλ∈ Icv（T），infλ∈λKλ（0）=- supλ∈λJλ（0）=0，andI（~n）=-J(-φ) = - supλ∈λJλ(-ν）=infλ∈λKλ（ν）。现在我们证明了（A.1）中的上确界是可以达到的。实际上，对于每一个ψ∈ B（σ，T），设φ=ψ- I（ψ）。然后呢∈ Φ+和jφ（ψ）=sup{α∈ R |ψ- α ≥ ψ}=I（ψ），这意味着（A.1）中的上确界是可达到的。同样，也可以达到（A.2）中的上限。B.证明某人。定理3.4的证明显而易见（ii）=>（i）及(iii)=>（i）。（一）=>（ii）假设（i）成立。根据引理3.1，存在一个非常数函数u:X→ R和a归一化的niveloid I:B（∑，u（X））→ R使得0∈ int（u（X））和，对于所有f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。根据引理A.2，存在一个族J Icc（u（X））这样的时间atI（~n）=maxJ∈JJ（k）适用于所有а∈ B（σ，u（X））。（B.1）由MMR（2006年，Lemm a 26）提供，每∈ 存在一个函数cJ∈ C suchthatJ（）=minp∈Z k dp+cJ（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。因此，通过（B.1），我们有i（φ）=maxJ∈Jminp∈Z k dp+cJ（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））和maxj∈Jminp∈cJ（p）=I（0）=0，这意味着（ii）。（一）=>（iii）类似于（i）=>（二）。让C*由（3.3）给出。现在我们证明C*是Csatizing（3.1）的最大固定子集。实际上，设C是C的一个接地SUB集，使得（3.1）适用于任意F和F中的g。然后，适用于所有F∈ F、马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= 马克斯∈Cminp∈Zu（xf）dp+c（p）= u（xf），其中xf是f的确定性等价物。然后通过（3.3），我们得到C C*.

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2022-4-26 13:29:25

此外，u（xf）≥ supc∈C*明普∈Zu（f）dp+c（p）≥ 马克斯∈Cminp∈Zu（f）dp+c（p）= u（xf）代表所有f∈ F、这意味着Maxc∈C*明普∈Zu（f）dp+c（p）= 对于所有f，u（xf）=I（u（xf））=I（u（f））∈ 因此，C*满意度（3.1）。通过类似的方式，我们可以证明*, 由（3.4）给出，是满足（3.2）的C的最大基子集。B.2定理4.1和命题4.2的证明通过模仿Gilboa和Schmeidler（1989，引理3.1–3.3）的论点，可以很容易地证明以下表示结果，另见GMM（2004，引理1）。引理B.1。F上的二元关系%是IB偏好，当且仅当存在一个非恒定函数u:X时→ R和a正齐次niveloid I:B（∑）→这样，对于任何f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。而且，你是独一无二的，而且，我是独一无二的。定理4.1的证明。显然（ii）=>（i）及(iii)=>（i）。（一）=>（ii）假设（i）成立。根据引理B.1，存在一个非常数函数u:X→ R和a正齐次niveloid I:B（∑）→ R使得0∈int（u（X））和，对于所有f，g∈ F、 F%g<=> I（u（f））≥ I（u（g））。让C*由定理3.4给出。那么I的唯一性意味着I（φ）=maxc∈C*明普∈Zφdp+c（p）无论如何∈ B（σ，u（X））。每c∈ C*, letIc（φ）=minp∈Zφdp+c（p）无论如何∈ B（σ，u（X））。显然，Icis是B（∑，u（X））和Ic上的凹niveloid≤ B（σ，u（X））上的I。我们可以用与（A.3）中相同的方法将I（resp.Ic）从B（σ，u（X））扩展到B（σ），并用^I（eaw.^Ic）表示扩展。我们可以看到，^I是B（∑）上的一个正齐次niveloid，^Icis是B（∑）上的一个凹niveloid。此外，^Ic≤^I.设Φc={φ∈ B（σ）|^Ic（φ）≥ 0},Φ = {φ ∈ B（∑）I（φ）≥ 0}.引理A.1表示Φcis凸，Φ是圆锥体，Φc Φ，和^Ic（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φc}适用于所有φ∈ B（∑），^I（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ Φ}适用于所有φ∈ B（∑）。让圆锥体（Φc）表示由Φc生成的圆锥体。

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何人来此

2022-4-26 13:29:32

Th enΦc 锥体（Φc） Φandcone（Φc）是一个凸锥。LetJ（φ）=sup{α∈ R |φ- α ∈ 所有φ的圆锥（Φc）}∈ B（∑）。引理A.1意味着J是正齐次凹的niveloidon B（σ）和^Ic≤ J≤^I.Gilboa和Schmeidler（1989，引理3.5），存在唯一的凸紧子集P s uch thatJ（φ）=minp∈PZφdp适用于所有φ∈ B（∑）。很明显，明普∈Zφdp+c（p）= Ic（φ）=^Ic（φ）≤ J（φ）=minp∈PZφdp≤^I（φ）=每个φ的I（φ）∈ B（σ，u（X））。因此，I（φ）=maxc∈C*明普∈Zφdp+c（p）= maxP∈Pminp∈PZφdp适用于所有φ∈ B（σ，u（X））。这一结论包括（i）=>（二）。（一）=>（iii）类似于（i）=>（二）。让P*由（4.3）给出。现在我们证明P*最大家庭满意度（4.1）。实际上，设P是一个由s-凸和d-紧子集P组成的族使得（4.1）适用于f中的任何f和g∈Pminp∈PZu（f）dp=maxP∈Pminp∈PZu（xf）dp=u（xf）， F∈ F、式中，xf是F的确定性等价物。然后通过（4.3），我们得到P P*. 此外，u（xf）≥ 晚餐∈P*明普∈PZu（f）dp≥ maxP∈Pminp∈PZu（f）dp=u（xf）表示所有f∈ F、这意味着maxp∈P*明普∈PZu（f）dp=u（xf）=I（u（xf））=I（u（f））对于所有f∈ 因此，P*满意度（4.1）。通过类似的方式，我们可以证明Q*, 由（4.4）给出，是最大的家庭满意度（4.2）。命题4.2的证明。我们只证明（4.7），因为（4.8）可以被类似地证明。\"” 第（4.7）部分是显而易见的。剩下的就是证明“” 部分现在假设c∈ C*.设^Ic，J和P如（i）的证明中所示=>（ii）定理4.1的一部分。然后P∈ P*通过MMR（2006，引理26），c（p）=supφ∈B（∑）^Ic（φ）-Zφdp≤ supφ∈B（∑）J（φ）-Zφdp≤ 0, P∈ P、这意味着c≤ δP。B.3命题证明5.1我们首先展示（5.2）。假设c∈ C

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大多数88

2022-4-26 13:29:39

我们有∈ C*<=> 明普∈Zu（f）dp+c（p）≤ u（xf）=minp∈Zu（f）dp+c（p）, F∈ F<=> 明普∈Z k dp+c（p）≤ 明普∈Z k dp+c（p）, φ ∈ B（σ，u（X））。设I:B（σ，u（X））→ R由i（φ）=minp给出∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。设^I是B（∑）上延伸I的最小niveloid。设^c（p）=sup~n∈B（∑）^I（^）-Z k dp尽管如此，p∈ .然后c≈u^c和c∈ C*=>^I（^）≤ 明普∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（∑）=> ^c≤ c、这意味着” 第（5.2）部分。相反地，这个” 第（5.2）部分是显而易见的。因此，证明了（5.2）。接下来我们展示（5.3）。假设b，c∈ C根据极大极小定理，我们得到了∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明克∈Z k dq+c（q）= inf~n∈B（∑）max（p，q）∈Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）= 最大值（p，q）∈inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）.如果p，q∈ p6=q，然后inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq= -∞,这意味着∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明克∈Z k dq+c（q）= maxp=q∈inf~n∈B（∑）Z k dp-Z k dq- b（p）- c（q）= - 明普∈[（b（p）+c（p）]。（B.2）设I:B（σ，u（X））→ R由i（φ）=minp给出∈Z k dp+c（p）为了所有人∈ B（σ，u（X））。设^Ibe在扩展域和^c上是B（∑）上的最小niveloid∈ C由^C（p）=sup~n给出∈B（∑）^I（^）-Z k dp尽管如此，p∈ .那么^c≈加州大学。根据B的定义*（B.2）我们有∈ B*<=> maxp∈Z k dp- b（p）≥ 我（~n）代表所有人∈ B（σ，u（X））=> maxp∈Z k dp- b（p）≥^I（^）所有^∈ B（∑）=> maxp∈Z k dp- b（p）≥ 明普∈Z k dp+^c（p）为了所有人∈ B（∑）=> inf~n∈B（∑）maxp∈Z k dp- b（p）- 明普∈Z k dp+^c（p）≥ 0=> 明普∈[（b（p）+^c（p）]≤ 0，这意味着” 第（5.3）部分。相反地，这个” 第（5.3）部分是显而易见的。因此，证明了（5.3）。

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2022-4-26 13:29:45

例如，参见Mertens、Sorin和Zamir（2015，定理I.1.1）。B.4命题6.4（i）的证明=>（ii）假设%比具有先验p的SEU偏好更厌恶模糊性∈ .然后通过命题6.2和4.2以及例子？？，我们有，任何c∈ C*, C≤ 凸紧子集P的δpf 包含p，意味着c（p）≤ 0.这就完成了（i）=>（二）。（一）=>（iii）假设%比SEU参考之前的p更为模糊∈ .然后通过P位置6.2，4.2和（5.6），我们得到，对于任何凸和紧子集P 在δp处包含p，th∈ B*. 特别是δ{p}∈ B*.（ii）/（iii）的证明=>（i）这很容易。参考文献Amarante，M.（2009）：“新贝叶斯统计的基础”，《经济学杂志》1442146–2173。Anscombe，F.J.，an d R.J.Aumann（1963）：“主体概率的定义”，《数理统计年鉴》34199–205。Arrow、K.J.和L.Hurwicz。（1972）：“无知情况下决策的最优标准”，载于C.F.卡特和J.L.福特的《不确定性和预期非经济学》。巴兹尔·布莱克：牛津。Cerreia Vioglio，S.，P.Ghirardato，F.Maccheroni，M.Marinacci和M.Siniscalchi（2011）：“模糊条件下的理性偏好”，经济理论48341–375。Cerreia Vioglio，S.，F.Maccheroni，M.Marinacci和L.Montrucchio（2011）：“不确定性厌恶偏好”，经济理论杂志1461275–1330。Cerreia Vioglio，S.，F.Maccheroni，M.Marinacci和A.Rustichini（2014）：“Niveloids及其扩展：小领域的风险度量”，《数学分析与应用杂志》413343–360。Dolecki，S.和G.H.Greco（1995）：“Niveloids”，非线性分析中的拓扑方法5，1-22。N.邓福德和J.T.施瓦茨（1958）：线性算子第I部分：一般理论。纽约：跨科学出版社。埃尔斯伯格博士。

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kedemingshi

2022-4-26 13:29:51

（1961）：“风险、模糊性和野蛮公理”，《经济学季刊》75643-669。F¨ollmer，H.和A.Schied（2016）：随机金融学：Di sc rete Time导论（第四版）。第一版：2002年。柏林：沃尔特·德格吕特。Ghirardato，P.，F.Maccheroni和M.Marinacci（2004）：“区分歧义和歧义态度”，经济理论杂志118133–173。Ghirardato，P.和M.Marin acci（2001）：“风险、模糊性和效用与信念的分离”，《运筹学数学》26864-890。Ghirardato，P.和M.Marinacci（2002）：“精确的模糊性：比较基础”，《经济理论杂志》102251–289。I.Gilboa和D.Schmeidler（1989）：“具有非唯一先验的Maxmin预期效用”，《数学经济杂志》18141–153。Giraud，R.（2005）：“客观不精确概率信息、二阶信念和歧义规避：公理化”，第四届国际精确概率及其应用研讨会。宾夕法尼亚州匹兹堡。Heath，C.和A.Tversky（1991）：“偏好和信念：不确定性下的模糊性和组织能力”，J.风险不确定性4，5-28。Hansen，L.和T.Sargent（2000）：“宏观经济学缺乏稳健性”，Mimeo，芝加哥大学和S tanf ord大学。Hansen，L.和T.Sargent（2001）：“鲁棒控制和模型不确定性”，《美国经济评论》w 91，60–66。Hurwicz，L.（1951）：“一些具体问题和对计量经济学模型的应用”，《计量经济学》19343–344。贾刚、夏俊杰和赵瑞华（2020）：“货币风险度量”，工作论文。Maccheroni，F.，M.Marinacci和A.Rustichini（2006）：“歧义厌恶、稳健性和偏好的变化表示”，《计量经济学》741447–1498。毛、T和R。

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