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2013 40
2022-05-06
英文标题:
《Optimal stopping under model uncertainty: randomized stopping times
  approach》
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作者:
Denis Belomestny and Volker Kraetschmer
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最新提交年份:
2014
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英文摘要:
  In this work we consider optimal stopping problems with conditional convex risk measures called optimised certainty equivalents. Without assuming any kind of time-consistency for the underlying family of risk measures, we derive a novel representation for the solution of the optimal stopping problem. In particular, we generalise the additive dual representation of Rogers (2002) to the case of optimal stopping under uncertainty. Finally, we develop several Monte Carlo algorithms and illustrate their power for optimal stopping under Average Value at Risk.
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中文摘要:
在这项工作中,我们考虑了具有条件凸风险度量的最优停止问题,称为优化确定性等价物。在不假设潜在风险度量族的任何时间一致性的情况下,我们推导出了最优停止问题的一种新表示。特别地,我们将Rogers(2002)的加法对偶表示推广到不确定性下的最优停止情况。最后,我们开发了几种蒙特卡罗算法,并说明了它们在平均风险值下的最优停止能力。
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分类信息:

一级分类:Quantitative Finance        数量金融学
二级分类:Mathematical Finance        数学金融学
分类描述:Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法,包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类:Mathematics        数学
二级分类:Probability        概率
分类描述:Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用:例如中心极限定理,大偏差,随机微分方程,统计力学模型,排队论
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2022-5-6 05:06:59
根据应用概率年鉴arXiv:arXiv:0000.000模型不确定性下的最优停止:Denis Belomestny和Volker Kr¨atschmerDuisburg-Essen大学的随机停止时间逼近在这项工作中,我们考虑了具有ρΦt(X)=supQ形式的条件凸风险度量的最优停止问题∈Qt情商[-X |英尺]- EΦdQdP英尺,其中Φ:[0,∞[→ [0, ∞] 是一个下半连续凸映射,QT代表一组绝对连续的概率测度Q。给定的测度P和Q=P在Ft上。这里,模型的不确定性风险取决于(随机)发散ΦdQdP英尺测量我们不确定的假设概率测度和时间t的参考概率测度之间的距离。Let(Yt)t∈[0,T]是一个适应的非负右连续随机过程,它满足一些适当的可积条件,并使T成为[0,T]上的停止时间集,然后在不假设族(ρΦT)的任何时间一致性的情况下,我们导出了一个新的表示supτ∈TρΦ(-Yτ)=infx∈Rsupτ∈TEΦ*(x+Yτ)- 十、,这使得基于标准动态编程方法的应用成为可能。特别是,我们将Rogers[38]的加法表示推广到不确定性下的最优停止情况。最后,我们开发了几种蒙特卡罗算法,并说明了它们在平均风险值下的最优停止能力。1.导言。本文研究了不确定环境下的最优停车问题。基于动态规划原理的最优停止问题的经典解假设存在唯一的主观先验分布来驱动奖励过程。
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2022-5-6 05:07:02
然而,例如,在不完全金融市场中,我们必须处理多个等价鞅测度,不确定哪一个*这项研究部分得到了德国科学基金会(Deutsche Forschungsgeminschaft)通过SPP 1324“从复杂系统中提取量化信息的数学方法”的支持,并得到了德国联邦政府资助的MIPT预测建模数据分析结构方法实验室(Laboratory for Structural methods of Data Analysis in Predictive Modeling)的支持。11.G34。31.0073.初级60G40,60G40;次要91G80关键词和短语:优化确定性等价物、最佳停止、原始表示、加性双重表示、随机停止时间、精简设置2 D.BELOMESTNY和V.KR–atschmer是市场的基础。事实上,在存在多重可能分布的情况下,通过对某个主观先验的最大化来解决最优停止问题是不可靠的。相反,将大量可能的分布视为一种模型不确定性风险是合理的,在制定非最优停止问题时,应将其考虑在内。这里我们可以借鉴风险度量理论中的概念。作为目前0时静态风险评估的通用概念,凸风险度量是被视为金融风险的随机变量向量空间上的特定函数ρ(见[27]和[28])。它们通常具有以下类型的鲁棒表示ρ(X)=supQ∈Q(P)情商[-X]- γ(Q),(1.1)其中Q(P)表示给定参考概率测度P绝对连续的一组概率测度,γ是某种惩罚函数(参见[15]和[25])。通过这种方式,模型不确定性被合并,因为没有假设特定的概率度量。
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2022-5-6 05:07:05
此外,增强功能可以衡量模型的合理性。从静态风险评估转向动态风险评估,凸风险度量已经扩展到了未来时间t的条件凸风险度量ρ的概念,这是具有随机结果的金融风险空间上的特定函数(见[9]、[19]和[16])。在某些正则条件下,它们具有形式的鲁棒表示(参见[26]、[18]或[25,第11章])ρt(X)=supQ∈Qt情商[-X |英尺]- γt(Q),(1.2)式中,γ是(随机)惩罚函数,qt由所有Q组成∈ Q(P)与Ft上的Q=P一样。如(1.1)中所示,稳健表示(1.2)反映了模型的不确定性,但现在是在未来的时间t。近年来,带族的最优停止(ρt)t∈[0,T]的条件转换风险度量是几项研究的主题。例如,作品[36]和[32]是在时间离散的框架内解决的,其中,后一个框架提供了一些对偶表示,扩展了经典最佳停止的广为人知。[5]、[6]、[7]、[14]中考虑了连续时间内的最佳停车。所有这些贡献都限制了他们对(ρt)t家族的分析∈[0,T]满足时间一致性的性质,有时也称为递归性,定义为ρs(-ρt)=ρs,0≤ s<t≤ T.不确定条件下的最优停止3例如,上述论文的结果不能用于解决在这种非常流行的凸风险度量平均风险值下的最优停止问题。到目前为止,唯一一篇研究非时间一致的条件凸风险测度族的论文是[40],作者考虑了所谓的扭曲平均支付函数。然而,对[40]的分析也排除了风险平均值的情况。
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2022-5-6 05:07:08
此外,要停止的过程类仅限于一维几何布朗运动的函数。[40]中使用的主要概率工具是Skorokhod嵌入。在本文中,我们考虑了一类相当一般的条件凸风险测度,其表示形式(1.2)为γt(Q)=EΦdQ/dP英尺对于某些下半连续凸映射Φ:[0,∞[→ [0, ∞]. [10],[11]中首次引入了相关的风险度量等级ρ,称为分歧风险度量等级或优化确定性等价物。任何分歧风险度量的表示形式为ρ(X)=infx∈重新Φ*十、- 十、- 十、用Φ*: R→ [0, ∞], y 7→ 好的≥0(xy)- Φ(x))。(参见[10]、[11]、[17]或附录A)。在这里,我们研究的问题是最优的奖励过程ρ(-Yt),其中(Yt)t∈[0,T]是一个具有supt的自适应非负右连续随机过程∈[0,T]满足某种适当的可积条件。我们不假设ρ族的时间一致性,基本上不对(Yt)施加进一步的限制。我们的主要结果是SUPτ的代表性∈Tρ(-Yτ)=infx∈Rsupτ∈TE[Φ*(x+Yτ)- x],(1.3)这允许我们应用普通最优停止问题理论中的众所周知的方法。特别是,我们推导出了形式的所谓编辑对偶表示:infx∈林菲姆∈谢谢∈[0,T]Φ*(x+Yt)- 十、- Mt#,(1.4)其中Mis是在时间0时消失的适应鞅类。这种对偶表示法推广了著名的罗杰斯对偶表示法[38]。表示法(1.4)和(1.3)可以有效地用于蒙地卡罗的D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERconstruct最优值(1.3)的上下限。本文的组织结构如下。在第二节中,我们介绍了符号并建立了最优停止问题。
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2022-5-6 05:07:11
主要结果在第3节中给出,其中特别制定了确保鞍点存在的标准(1.3)。第4节讨论了主要结果及其与以前文献的关系。第5节给出了计算值函数上下界的蒙特卡罗算法,并对平均值风险下的最优停止进行了数值分析。推导表达式(1.3)的关键思想是考虑最优性停止问题最大化ρ(-Yτr)在τr上∈ Tr,其中Tr表示[0,T]上所有随机停止时间的集合。第6节将对其进行研究,特别是将证明这个最优停止问题与原始问题具有相同的最优值。最后,第7.2节收集了证据。设置。让(Ohm, F、 P)是一个概率空间,表示为byL:=L(Ohm, F、 P)所有单位值随机变量的类别(模P-a.s.等价)。设ψ是一个年轻函数,即一个左连续、不减损的凸函数ψ:R+→ [0, ∞] 使得0=ψ(0)=limx→0ψ(x)和limx→∞ψ(x)=∞. 与ψ相关的Orlicz空间定义为Lψ:=Lψ(Ohm, F、 P)=十、∈ L:E[ψ(c|X|)]∞ 对于某些c>0.当赋予Luxemburg范数kxkψ:=inf{λ>0:E[ψ(|X |/λ)]≤ 1} .Orlicz心脏isHψ:=Hψ(Ohm, F、 P)=十、∈ L:E[ψ(c|X|)]∞ 对于所有c>0.例如,对于某些p,如果ψ(x)=xp/p∈ [1, ∞[,那么Hψ=Lψ=Lp:=Lp(Ohm, F、 P)是通常的Lp-空间在这种情况下,kY kψ=p-1/pkY kp,其中K·kp代表Lp-标准如果ψ取这个值+∞, 然后Hψ={0}和Lψ=L∞:= L∞(Ohm, F、 P)定义为包括所有P-本质上是有界随机变量。根据Jensen不等式,我们总是有Hψ L.在有限ψ的不确定性5情况下的最佳停止中,我们看到∞是Hψ的一个线性子空间,它是densew。r、 t。
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