，T}，并且进一步让子集{E[A·Φ*（x+Ys）|英尺]|x∈ R} 我的(Ohm, Ft，P | Ft）对于任意的s，t，都是薄的∈ 带T的{1，…，T}≤ s和A∈ 那么对于任何（f，…，FT）∈ P∞T、 存在（A，…，AT）∈ PTand映射gt∈ L∞(Ohm, t=124ft，t=124p，gT≡ 0和（f，…，fT）=（A，…，AT）+（g，…，gT）P- a、 s。。证据让我们，t∈ 带T的{1，…，T}≤ s和A∈ 我们可以利用引理7.6来观察{E[A·（Φ*（x+Y）- x） |Ft]|x∈ R} 不确定条件下的最优停止是L的31thin子集(Ohm, 英尺，P |英尺）。然后引理7.7的陈述紧接着从命题C.3（参见附录C）应用到集合Mt（t=1，…，t），其中Mt:={Φ*（x+Yt）- x | x∈ R} 。在引理7.7的假设下，（7.17）中定义的集合K与∧（P∞T） ，又是弱紧的w.r.T.k·k∞,Tdue to Lemma7。5.推论7.8。在引理7.7的假设下，集合K（参见（7.17））是弱紧的w.r.t.K·K∞,现在我们准备好选择最大化问题（3.5）的解决方案。最大化问题（3.5）解的存在性：充分满足命题3.5的假设。鉴于（7.16），必须解决infx∈IE[Φ*（x+Yτ）- x] 超过τ∈ TT。假设supτ∈TTinfx∈IE[Φ*（x+Yτ）-x] >infx∈IE[Φ*（x+Y）-x] 因为否则τ≡ 0将是最佳选择。自P（A）∈ {0，1}表示∈ 根据假设，任何停止时间τ∈ T\\{0}集中在{1，…，T}上。通过推论7.8，集合K（参见（7.17））是弱紧的w.r.t.正规K·K∞,此外，凹映射L:C（I）T→ R、 定义的byL（R，…，rT）：=infx∈IPTt=1rt（x），是连续的w.r.t.k·k∞,这意味着-L和k·k都是凸的∞,T-连续的，因此也是弱的半连续的，因为k·k∞,T-闭凸子集也是弱循环的。

因此L是弱上半连续的，因此它对K的限制达到最大值。特别是布景infx∈IE[Φ*（x+Yτ）- x] |τ∈ TT\\{0}= L（K）有一个最大值。这表明我们可以找到（3.5）的解。问题（3.6）解的存在性：由l（x）：=supτ∈TTE[Φ*（x+Yτ）- x] 我们可以定义一个凸映射，因此也可以定义连续映射l:R→ R.此外，引理A.1（参见附录A），limx→-∞l（x）≥ 利克斯→-∞Φ*（十）- 十、= ∞ = 利克斯→∞Φ*（十）- 十、≤ 利克斯→∞l（x）。这意味着infx∈Rl（x）=infx∈[-ε、 ε]l（x）对于某些ε>0的情况。因此，l在某个x上是最小的*∈ [-ε、 ε]因为l是连续的。有这样的x吗*是问题的解决方案（3.6）。32 D.BELOMESTNY和V.KR–atschmer附录A：附录引理A.1。让我们来看看Φ：[0，∞[→ [0, ∞] 是一个较低的半连续的、凸的映射≥0Φ（x）=0和limx→∞Φ（x）x=∞. 此外，letQΦ，0表示F上的所有概率测度Q的集合，它们是绝对连续的w.r.t.P，使得Radon Nikodym导数qdpsatisΦdQdP我∞. 那么下面的陈述是正确的。（i） 如果Φ（x）<∞ 对于某些x>0，则使用芬切尔-勒让德变换Φ*: R→ R∪ {∞} ofΦ是一个不减损的凸有限映射。特别是它的限制*[0,∞[0，∞[是一个有限的杨氏函数，它还满足极限条件→∞(Φ*（十）- x） =∞ 如果x>1，那么limx→-∞(Φ*（十）- x） =∞ 在x<1的情况下。（ii）如果Φ（x），Φ（x）<∞ 对于某些x<1<x，则对于hΦ中的任何x*:= HΦ*[0,∞【例】我们得到了∈QΦ，0等式[X]- EΦdQdP= infx∈RE[Φ*（x+x）- x] ，其中等式左侧的上确界对于某些Q∈ QΦ，0。证据设Φ（x）<∞ 对于某些x>0的情况。很明显，是吗*是一个满足（a.1）Φ性质的非减量凸函数*(0) = - infx≥0Φ（x）=0和石灰→∞Φ*（y）≥ 酸橙→∞（xy）- Φ（x））=∞.接下来，我们要验证Φ的真实性*.

自从Φ*是不减损的，而且*（y）≥ xy- Φ（x）>-∞ 对任何人都适用∈ R、 必须证明这一点*（y） <∞ 每一次≥ 为此，考虑映射β：[0，∞[×[0, ∞[→ [-∞, ∞[，（y，x）7→ xy- Φ（x）。根据Φ的假设，我们有limx→∞β（y，x）=limx→∞十、Y-Φ（x）x= -∞ < β（y，x）代表y≥ 0.因此对于任何y≥ 0，我们可能会找到一些∈ [x，∞[以便我们获得*（y） =sup0≤十、≤zyβ（y，x）。此外，β（y，·）是上半连续的fory≥ 因此，对于每个y≥ 0，有一些x∈ [0，zy]带Φ*（y） =sup0≤十、≤zyβ（y，x）=β（y，x）<∞.作为有限凸函数Φ的不确定条件下的最优停车*是连续的。由于它也是非减损的，我们可以从（A.1）中得出结论，它对[0]的限制，∞[是一个有限的函数。现在我们假设x>1→∞(Φ*（y）- y）≥ 酸橙→∞（十）- 1） y- Φ（x）= ∞.类似地，limy→-∞(Φ*（y）-y） =∞ 可以在x<1的情况下导出。因此，我们证明了完整的陈述（一）。让我们转到语句（ii）的证明，让我们考虑映射ρ：HΦ*→ [-∞, ∞[，X 7→ infx∈RE[Φ*（十）- 十）- x] 然后，由于Φ的凸性*, 我们可以将詹森不等式和陈述（i）一起应用于结论→-∞E[Φ*（十）- 十）- x]≥ 利克斯→-∞([Φ*（十）- E[X]]- x） =∞ 为了X∈ HΦ*,安德利姆→∞E[Φ*（十）- 十）- x]≥ 利克斯→∞[Φ*（十）- E[X]）- x] =∞ 为了X∈ HΦ*.因此，对于任何X∈ HΦ*, 我们发现一些δX>0，使得ρ（X）=infx∈[-δX，δX]E[Φ*（十）- 十）- x] 。此外，对于X∈ HΦ*, 映射x7→ E[Φ*（十）- 十）- x] 是R上的凸映射，因此其限制为[-δX，δX]是连续的。

这意味着ρ是实值函数。此外，很容易检查ρ是否是所谓的凸风险度量，定义为它满足以下属性单调性：ρ（X）≥ ρ（Y）对于所有X，Y∈ HΦ*和X≤ Y，o现金不变性：ρ（X+m）=ρ（X）- m代表所有X∈ HΦ*还有m∈ R、 o凸度：ρ（λX+（1）-λ） Y）≤ λρ（X）+（1）-λ） ρ（Y）对于所有X，Y∈ HΦ*,λ ∈ [0, 1].然后我们从[17]中的定理4.3得到ρ（X）=maxQ∈QΦ，0（等式[-X]- ρ*（Q） ）适用于所有X∈ HΦ*, ρ在哪里*（Q） ：=supX∈HΦ*（情商[-X]- ρ（X））.34 D.贝洛梅斯特尼和V.克拉施默尔通过常规程序，我们可以验证ρ*（Q） =supX∈HΦ*（等式[X]- E[Φ*（十） ]）对于Q∈ QΦ，0。自从limx→-∞[Φ*（十）- x] =limx→∞[Φ*（十）- x] =∞ 由于陈述（i），我们可以从[17，（5.23）]中得出结论*（Q） =supX∈HΦ*（等式[X]- E[ρ*（十） ）=EΦdQdP尽管如此，Q∈ QΦ，0。这就完成了证明。附录B：附录let(Ohm, F、 （F）我∈{1，…，m}，P）是一个过滤概率空间，并让乘积空间i=1mL∞(Ohm, Fi，P | Fi）被赋予乘积拓扑yi=1mσ（L∞i、 弱*拓扑σ（L）的∞i、 （李）在L上∞(Ohm, Fi，P | Fi）（fori=1，…，m）。B.1提案。让我(Ohm, Fi，P | Fi）是可分的w.r.t.弱拓扑σ（Li，L）∞i） 因为我∈ {1，…，m}，让Ai=1mL∞(Ohm, Fi，P | Fi）相对紧凑，w.r.t.i=1mσ（L∞i、 李）。那么对于i=1mσ（L）的任意X∞i、 （李）-在A的闭包中，我们可以找到一个序列（Xn）n∈收敛于X w.r.t.thei=1mσ（L∞i、 李）。证据设置E:=i=1mL∞(Ohm, Fi，P | Fi），我们用ew.r.t.i=1mσ（L）的拓扑对偶表示∞i、 李）。很容易检查Γ（g，…，gm）（f，…，fm）：=mXi=1E[fi·gi]，其中gi∈ L(Ohm, Fi，P | Fi）和Fi∈ L∞(Ohm, Fi，P | Fi）（对于i=1，…，m）从i=1mL定义一个线性算子(Ohm, Fi，P | Fi）到连续的w.r.t.乘积拓扑i=1mσ（Li，L∞i） 弱拓扑σ（L，L∞), . . .

，σ（Lm，L）∞m） 弱拓扑σ（E，E）。Sincei=1mσ（Li，L∞i） 假设σ（E，E）是可分的，我们可以得出结论，σ（E，E）也是可分的。然后，命题B.1的陈述紧接着从[24]开始，第30页。不确定性条件下的最优停车35C：附录m∈ N表示为(Ohm, F、 （Fi）我∈{1，…，m}，P）一个经过过滤的概率空间，并让集合pm从i=1聚集所有集合（a，…，Am），使P（Ai）金融化∩ 对于I6=j和P（Smi=1Ai=1），Aj=0。我们将分别赋予产品spacesi=kmL∞(Ohm, Fi，P | Fi），其乘积拓扑学i=kmσ（L∞i、 弱*拓扑σ（L）的∞i、 （李）在L上∞(Ohm, Fi，P | Fi）（叉子∈ {1，…，m}和i=k，m） 。修正k∈ {1，…，m}和非负∈ L∞(Ohm, Fk，P | Fk），子集P∞mk（h）i=kmL∞(Ohm, Fi，P | Fi）定义为由所有（fk，…，fm）组成∈i=kmL∞(Ohm, Fi，P | Fi）这样Fi≥ 0便士-a、 任何我想要的∈ {k，…，m}和pmi=kfi=hp-a、 s。。缩写为P∞m:=P∞m1（1）。引理C.1。P∞mk（h）是i=kmL的一个紧子集∞(Ohm, Fi，P | Fi）w.r.t.地形i=kmσ（L∞i、 （李）对于k∈ {1，…，m}与任意非负∈ L∞(Ohm, Fk，P | Fk）。证据从BanachAlaoglu定理来看，引理C.1的陈述是显而易见的。提案C.2。让我 L(Ohm, Fi，P | Fi）对于i=1，那么{EA·f | Fi| F∈ Mj}是L的一个很薄的子集(Ohm, Fi，P | Fi）fori，j∈ {1，…，m}与i≤ j和A∈ 调频。此外，让我们fix（f，…，fm）∈ P∞并考虑所有（h，…，hm）fromi=1mL的集合∞(Ohm, Fi，P | Fi）满足E[hi·~ni]=E[Fi·|i]的任意|i∈ Mi，i=1，m、 然后是布景N∩ P∞mH为极值点，对于每个极值点（h*, . . . , H*m） ，存在一些（A，…，Am）∈ PMH*i=AiP- a、 美国持有i=1，m、 证据。我们将使用[33]中命题6的证明中的观点。首先，让我们为任何k∈ {1, . . .

，m}，表示为所有（hk，…，hm）fromi=kmL的集合∞(Ohm, Fi，P | Fi）满足E[hi·~ni]=E[Fi·|i]∈ 面底=k，m、 它是闭合的，w.r.t.i=kmσ（L∞i、 李）。因此由引理C.1，setKk（h）：=Nk∩ P∞mk（h）是紧的w.r.t.i=kmσ（L）∞i、 Li）对于每一个非负h∈ L∞(Ohm, Fk，P | Fk）。由于它也是凸的，我们可以使用Krein36 D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERMilman定理得出结论，如果每个集合Kk（h）是非凸的，则它有一些极值点。注意，K（1）至少包含（f，…，fm），因此它是某个极值点。现在我们将通过反向归纳来证明，对于任何k∈ {1，…，m}和任何非负h∈ L∞(Ohm, Fk，P | Fk）与非挥发性kk（h）（？？）它的每个极值点（h*KH*m） 满足感*i=h·AiP-a、 s.（i=k，…，m）对于某些（a，…，Am）∈ PMAI= 如果我显然不同意，这就意味着命题C.2的陈述。对于k=m，设定的Km（h）是非圆形的i eff[h·k m]=E[fm·k m]保持每k m∈ 嗯。在这种情况下，h是唯一的极值点，它的表示形式为h=h·Ohm对应于(, . . . , , Ohm) ∈ 下午。现在让我们假设，对于一些k∈ {2，…，m}和每一个非仿Kk（h）语句（？？）满足了。让h∈ L∞(Ohm, Fk-1，P|Fk-1） 与Kk保持一致-1（h）6=, 并选择任意极值点（h*K-1.H*m） Kk的-1（h）。然后h-H*K-1属于L∞(Ohm, Fk-1，P|Fk-1） 并且是非负的。此外*KH*m）∈ Kk（h）-H*K-1） ，并且很容易检查（h*KH*m） 是Kk（h）的一个极值点- H*K-1). 因此，假设存在（A，…，Am）∈ PMAI= 如果我≤ K- 1和h*i=（h）- H*K-1） ·AiP-a、 对于i=k，m、 设置D:={h*K-1> 0} ∩ {h- H*K-1> 0}，我们想显示P（D）=0。这将通过假设P（D）>0来实现。

对于某些ε>0，P（Dε）>0，其中Dε：={h*K-1> ε} ∩ {h- H*K-1> ε}.我们可以假设{EAi·|i|Fk-1.| ~ni∈ Mi}（i=k，…，m）以及Mk-1都是L的薄子集(Ohm, Fk-1，P|Fk-1).由于细子集的有限并集又是细子集（参见[1，命题2.1]），我们可能会发现一些非零g∈ L∞(Ohm, Fk-1，P|Fk-1） 在ε外消失，且满足E[g·~nk-1] =0表示νk-1.∈ Mk-1as well-asE[g·Ai·~ni]=Eg·EAi·|i|Fk-1.= 0（μi）∈ 米，我∈ {k，…，m}）。根据[1]中的定理2.4，我们可以选择g，使得p（{| g |=1}∩ Dε=P（Dε）成立。现在，定义（bhk）-1.bhm）和（香港）-1.hm）bybhi:=（h）*i+εg，i=k- 1小时*我- εgAi，其他方面和hi:=（h）*我- εg，i=k- 1小时*i+εgAi，否则。不确定条件下的最优停车P（Ai）∩对于I6=j和P（Smi=kAi）=1，我们得到PMI=kg·Ai=gP-a、 s。。因此，通过构造，（bh，…，bhm），（h，…，hm）不同，属于Kk-1（h）。此外，h*i=bhi/2+hi/2表示i=k-1.m、 这与以下事实相矛盾：*K-1.H*m） 是Kk的一个极端点-1（h）。因此，P（D）=0。现在定义（B，…，Bm）∈i=1mFibyBi：={h*K-1> 0，h=h*K-1} ，i=k- 1Ai∩ {h*K-1=0}，i∈ {k，…，m} , 否则显然，P（Bi）∩ 对于I6=j，Bj=0从P（Ai）开始∩ Aj=0，因为6=j。此外，P（Smi=1Bi）≥ P(Ohm \\ D∩Smi=kAi=1。特别是（B，…，Bm）∈ 下午。最后，可以很容易地验证h*i=h·BiP-a、 美国持有i=k- 1.m、 因此Kk-1（h）完整的财务报表（？）完成证明。提案3。让我 L(Ohm, Fi，P | Fi）对于i=1，那么{EA·f | Fi| F∈ Mj}是L的一个很薄的子集(Ohm, Fi，P | Fi）fori，j∈ {1，…，m}与i≤ j和A∈ 调频。然后对于任何（f，…，fm）∈ P∞m、 存在（A，…，Am）∈ Pmandgi∈ L∞(Ohm, Fi，P | Fi）（i=1，…，m）使得e[gi·|i]=0表示|i∈ 当i=1时，m、 和（f，…，fm）=（A。

. . ,Am）+（g，…，gm）P- a、 s。。证据让我们对任何（f，…，fT）进行fix∈ P∞m、 让我们来看看由所有（h，…，hm）组成的集合，其中hi∈ L∞(Ohm, Fi，P | Fi），使得E[hi·k i]=E[Fi·k i]表示аi∈ 惯性矩。根据命题C.2，我们可以选择N的一个极值点（h，…，hm）∩ P∞和一些（A，…，Am）∈ 使hi=AiP-a、 美国持有i=1，m、 然后（g，…，gm）：=（f）- H调频- hm）和（A，…，Am）符合要求。推论C.4。如果(Ohm, Fi，P | Fi）对于每个i都是无原子的∈ {1，…，m}，然后P∞米塞伊=1mσ（L）∞i、 （李）-关闭{（A，…，Am）|（A，…，Am）∈ 38 D.BELOMESTNY和V.KR–ATSCHMERProof。让（f，…，fm）∈ P∞mbe武断。考虑水下ε（Mi）：={~n∈ L∞(Ohm, Fi，P | Fi）|E（菲）- ~n）·f< ε表示f∈ Mi}，其中ε>0，以及L的主要非类有限子集(Ohm, Fi，P | Fi）。这些tsi=1mUiε（Mi）构成了i=1mσ（L）的基础∞i、 （李）-邻域（f，…，fm）。因此，让我们选择任意ε>0和非类有限子集MiofL(Ohm, Fi，P | Fi）对于i=1，m、 让我，j∈ {1，…，m}与i≤ j、 还有∈ 调频。然后是由所有E组成的集合A·f | Fi用f∈ MJ是L的一个非固定子集(Ohm, Fi，P | Fi），尤其是因为(Ohm, Fi，P | Fi）被假定为无原子（参见[31，引理2]）。因此，我们可以应用命题C.3来选择一些（A，…，Am）∈ pme[（fi）-Ai）·f]=0表示f∈ 米安一号∈ {1，…，m}。这意味着（A，…，Am）∈i=1mUiε（Mi），并完成证明。致谢。作者要感谢亚历山大·希德和米哈伊尔·乌鲁索夫的富有成效的讨论和有益的评论。参考资料。[1] 阿南塔拉曼，R.（2012）。L（λ）的薄子空间。Quaestiones Mathematicae 35133–143。[2] 安徒生，L.和布罗迪，M.（2004）。多维美式期权定价的原对偶模拟算法。管理科学，50（9），1222-1234。[3] Ankirchner，S.和Strack，P.（2011）。

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