边际和依赖不确定性：界限、最优运输和

2022-6-1 07:28:02

边际和依赖不确定性：界限、最优运输和锐度Daniel Bartla，1，Michael Kuppera，2，Thibaut Luxb，3，Antonis Papapantoleonc，4，附有Stephan Ecks teina的附录，5摘要受无模型金融和定量风险管理应用的推动，我们考虑了多元分布函数的Fréchet类，其中假设了关于联合分布的额外信息，而边缘的不确定性也是可能的。我们得到了这些Fréchet类的最优传输对偶结果，扩展了相关文献中的前一个结果。这些证明基于增加凸泛函的表示结果和共轭的显式计算。我们证明了双重运输问题允许函数f=1B的显式解，其中b是Rd的矩形子集，并对该结果提供了直观的几何解释。改进的Fréchet–Hoeffding边界为这些Fréchet类提供了特别的上界。我们表明，在边缘存在不确定性的情况下，改进的Fréchet–Hoefffding边界对于这些类是逐点尖锐的，而反例表明，在边缘不存在不确定性的情况下，即使在维度2，它们也不是逐点尖锐的。

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2022-6-1 07:28:05

后一个结果为改进的Fréchet–Hoefffding边界带来了新的曙光，sinceTankov[30]表明，在某些条件下，这些边界在维度2上是尖锐的。关键词：依赖不确定性、边际不确定性、Fréchetclasses、改进的Fréchet–Hoefffding界限、最优传输对偶、松弛对偶、界限锐度。作者：康斯坦茨大学数学系、康斯坦茨大学10号、康斯坦茨大学78464号、德国布鲁塞尔弗里杰大学金融系、普莱因兰2号、布鲁塞尔1050号、雅典国家技术大学数学系、希腊达尼尔15780号佐格拉福校区。bartl@uni-康斯坦茨。dekupper@uni-康斯坦茨。detlux@consult-勒克斯。depapapan@math.ntua.grstephan.eckstein@康斯坦茨大学。dePAPER INFOAMS分类：60E15、49N15、28A35A之前的版本名为“改进的Fréchet–Hoefffding界限的锐度：最佳运输方法”。1、引言概率论中一个著名的结果是Féchet–Hoefffding界，它提供了一个随机向量的联合分布函数（或copula）的界，前提是只有m个边缘分布是已知的。设F（F*, . . . , F*d）用（已知）单变量边际分布F表示RDF上的累积分布函数（cdf）的Fréchet类*, . . . , F*d、然后，Fréchet–Hoefffding边界表示，以下不等式适用于具有给定边缘的所有联合分布函数，即适用于所有F∈ F（F*, . . . , F*d）它认为dXi=1F*一（xi）- （d）- 1)+≤ F（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi），（1.1）表示所有（x，…，xd）∈ 这些界限可以与随机优势的结果相结合，见。g。

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2022-6-1 07:28:08

Müller和Stoyan[21]指出，对于某些类别的（成本或收益）函数，在考虑formRДdF的积分时，分布函数上的不等式保持不变。换句话说，Fréchet–hoefffding界与formRДdF积分的随机优势场上下界的结果相结合，在所有可能的联合分布函数上，具有给定的边缘F*, . . . , F*d（或者，等效地，在所有copula上）。这些结果在金融和保险数学中有多个应用，因为它们可以在依赖不确定性的框架下，即当边际分布已知而联合分布未知时，推导出多资产期权价格和风险度量（如风险价值）的界限，参见Chen、Deelstra、Dhaene和Vanmaele【6】，Cherubinian和Luciano【8】、Dhaene、Denuit、Goovaerts、Kaas和Vyncke【10、11】、Embrechts和Puccetti【12】、Embrechts、Puccetti和Rüschendorf【13】以及Puccetti和Rüschendorf【23】。也可以使用线性规划或最优运输理论的方法得出类似结果，参见Boyle和Lin【3】、Carlier【5】、d\'Aspremont和El Ghaoui【9】、Han、Li、Sun和Sun【14】以及Hobson、Laurence和Wang【15、16】。最优运输二元性，在数学金融文献中也称为定价二元性，例如，它表明∈F（F*,...,F*d） ZДdF=infД+···+Дd≥ИnZДdF*+ · · · +Z^1ddF*做

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kedemingshi

2022-6-1 07:28:11

（1.2）换言之，使用数学金融语言，在给定边际的所有联合分布上，具有支付函数的期权价格的无模型上限等于所有对冲策略的上限，包括根据边际F*i、受限于以下条件，即Д+···+ДD终止支付函数Д。依赖性不确定性框架的主要缺陷是，产生的边界太宽，无法为应用提供信息；e、 g.多资产期权价格的界限可能与微不足道的无套利界限重合。另一方面，我们可以从金融和保险市场中推断出随机向量依赖结构的部分信息，该随机向量在弗雷谢特-霍夫丁界限和更一般的依赖不确定性框架中没有使用，其中只考虑了边缘信息。这些考虑导致人们越来越关注可称为部分依赖性不确定性的框架，即当依赖性结构上有更多信息可用时。可用的附加信息可以有几种形式，例如，一些作者假设联合分布函数在其域的某个子集上是已知的，其他人假设相关性（或更普遍的关联度量）是已知的，其他人假设和的方差是已知的或有界的，等等。我们请读者参考吕申多夫（Rüschendorf）[27，28]，了解这篇文献的另一个概述，重点是风险价值界限的应用。类似于依赖不确定性框架中的Fréchet–Hoefffding界限，一些作者开发了改进的Fréchet–Hoefffding界限，对应于部分依赖不确定性框架，参见N elsen【22】、Tankov【30】和Lux and Papapantoleon【18、19】。

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2022-6-1 07:28:14

改进的Fréchet–hoefffding边界可以容纳不同类型的额外信息，例如域子集上分布函数的知识和关联度量的知识。在本文中，我们考虑以下Fréchet类在附加信息F下，π（F*, . . . , F*d） :=F∈ F（F*, . . . , F*d）：F（s）=πs对于所有s∈ S, （1.3）其中S Rdis是任意集和（πs）s∈值在[0，1]中的Sa族。换言之，w将所有联合分布函数与已知的边际F相结合*, . . . , F*d已知值πsforeach s∈ S、其中S是域的子集。此类联合分配的额外信息可能无法在市场上直接观察到，但可以通过类似于Breeden和Litzenberger的论点从多资产期权价格或其他衍生品中暗示出来[4]。此类改进的Fréchet–Hoefffding界限已在[19，30]中推导出来，如下所示：dXi=1F*一（xi）- （d）- 1)+∨ 最大πs-dXi=1F*i（si）- F*一（xi）+: s∈ 所以≤ F（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以（1.4）[19，30]中的作者还使用了改进的Fréchet–Hoefffding界限，以便在部分依赖不确定性的框架下推导出多资产衍生品价格的界限，并表明界限中包含的附加信息导致期权价格界限相对于无附加信息的情况明显收紧。有人可能会问，这个框架在应用中是否现实，尤其是关于边际分布的完美知识的假设是否得到了经验证据的支持，或者是否源于数学上的便利。

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2022-6-1 07:28:17

我们认为，对边缘的完全了解并不是一个现实的假设，因此我们对将边缘的不确定性与依赖结构的部分不确定性相结合的框架感兴趣。为此，我们引入了两个与此框架相对应的fréchet类，我们有兴趣研究它们的属性。我们介绍的类别允许我们同时考虑边际分布中的不确定性（通过0阶或一阶随机优势衡量），以及依赖结构的附加信息（由πsfor s的值提供）∈ S、因此，让我们考虑一下（1.3）中FS类π的以下宽松版本，由FSπ提供（F）*, . . . , F*d） :=cF：c∈ [0，1]和F是RDF上的cdf，因此cFiF*如果所有i=1，d和cF≤ 所有s的πSFO∈ S, （1.5）其中，fi是F的第i个边际分布，cFiF*我指的是F*i在第0个随机顺序中确定cFi，即cFiF*iif且仅当cFi（t）- 首席财务官≤ F*i（t）- F*i（s）代表所有s≤ t、（注意，对于c=1，它遵循FiF*ithat Fi=F*i、换句话说，我们考虑一类联合分布函数（与次概率测度相关），其边缘由F支配*, . . . , F*对于域的子集s中的每个点s，其值小于πs的0阶随机序。此外，我们考虑（1.3）中FS类π的另一个宽松版本，由FSπ提供（F）*, . . . , F*d） :=F:F是RDF上的cdf，因此FiF*如果所有i=1，D和F（s）≤ 所有s的πSFO∈ S, （1.6）其中FiF*I表示一阶随机支配F*i、这一类与前一类非常相似，但现在我们考虑Rd上的概率度量。让我们提到，在一阶随机优势的文献测试中存在，请参见。

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2022-6-1 07:28:20

Schmid和Trede【29】。用u和u表示*与cFjand F相关的实线上的（次）概率*j、然后一个Dynkin参数显示cFjF*jif且仅当u（B）≤ u*（B）对于R的每个Borel子集，这两类属于上述框架，即它们允许我们考虑边际分布的不确定性，并将其与依赖结构的附加部分信息相结合。使用copula理论中的参数（推迟到appendixb）进行的简单计算表明，改进的Fréchet–hoefffding界[19，30]也适用于这两类。类似的结果已经出现在Puccetti、Rüschendorf和Manko【24】中。本文的贡献有三个方面：o我们为每一个弗里切特类FS，π，FS，π提供了最优运输或定价对冲的对偶结果和FS，π. 换句话说，我们证明了在存在额外信息的情况下，最优传输对偶是成立的；这概括了相关文献中先前的结果，参见Rachev和Rüschendorf【25】。在数学金融的背景下，我们表明，在存在额外信息的情况下，定价二元性结果也成立，在这种情况下，对冲组合还应包括多资产期权中的头寸，这些头寸的额外信息可用。此外，保证金的不确定性转化为“双重”方面的交易限制，如卖空限制我们证明了函数f=1B的对偶传输问题，对于矩形集BRd，允许类FS，π中的显式解.

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2022-6-1 07:28:23

用数学金融的语言，我们展示了卖空约束下多资产数字期权的超边缘问题提供了一个明确的解决方案，并解释了这个结果背后的直觉最后，我们讨论了类FS，π，FS，π的上改进Fréchet-H-oefffding界的逐点锐度和FS，π. 对于某个C类ifB，上界B称为夏普∈ 对于C ifsupF，称为逐点夏普∈CF（x）=B（x）表示所有x∈ dom（F）。更具体地说，我们表明，对于类FS，π，改进的Fréchet–H Oefffding上界是逐点Sharp的和FS，π. 此外，通过一个反例，我们证明了即使在维数d=2的情况下，对于类FS，π，samebound也不是逐点尖锐的。后一个结果令人惊讶，因为Tankov[30]已经证明，在集合S的某些条件下，上界不仅是逐点尖锐的，甚至是尖锐的，也就是说，他实际上证明了上改进的Fréchet–H oefffding界属于Fréchet类F。本文的结构如下：在第2节中，我们推导了上述三个Fréchet类的最优传输对偶。在第3节中，我们给出了函数f=1B在类FS，π中的对偶输运问题的显式解. 在第4节中，我们介绍并讨论了改进的Fréchet–Hoefffding边界的逐点锐度结果。最后，附录A包含上述反例，而附录B包含类FS，π的改进fréchet–H oefffing界的推导和FS，π.2、额外信息下的输运和松弛输运对偶在本节中，我们建立了我们的主要对偶结果。

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2022-6-1 07:28:26

我们推导了运输问题的对偶表示，即概率或子概率测度上的d维成本或收益函数的期望最大化，其单变量边际要么在0阶随机序中给定，要么在0阶随机序中占优，并且其质量规定在Rd中的某些矩形上。使用类似的参数，我们还获得了一个包含约束的运输问题的对偶表示，其形式是对第一随机顺序中的边际分布的估计。此外，作为一个推论，我们建立了一个具有随机变量最大值约束的运输问题的对偶性。我们遵循本节中最优运输理论的符号，因此使用度量值而不是分布函数。我们首先介绍有用的概念和符号。让我们用ca+（Rd）表示Rd，d的Borelσ-场上的所有单元测量集≥ 1和ca+（Rd）（分别为ca+≤1（Rd））满足u（Rd）=1（分别为u（Rd）的度量值u的子集≤ 1). 如果没有歧义，也可以从旋转中省略空格Rd。设ν，νd∈ ca+（R）并确定设定值：=(-∞, Ai]×····×(-∞, 援助] Rdfor i∈ 一、其中I是任意索引集。定义任何成本或回报函数f:Rd→ R thesetΘ（f）：=n（f，…，fd，a）：f（x）+···+fd（xd）+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x），对于所有x∈ Rdo，其中fi:R→ R是有界可测函数，a=（ai）∈ RI，因此ai=0，对于所有但非常多的i∈ 一、此外，让0≤ πi≤πi≤ 1和定义π（f，…，fd，a）：=ZRfdν+···+ZRfdνd+Xi∈我ai+πi- 人工智能-πi,对于每个（f，…，fd，a）∈ Θ（f），其中ai+和ai-分别表示air的正负部分，即ai+=max{ai，0}和ai-= 最大值{-ai，0}。用Θ（f）表示所有（f，…，fd，a）的集合∈ Θ（f）使得f，fd公司≥ 0和ai≥ 0代表所有i∈ 一、现在定义函数φ（f）：=infπ（f，…，fd，a）：（f。

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2022-6-1 07:28:29

，fd，a）∈ Θ（f）和φ（f）：=infπ（f，…，fd，a）：（f，…，fd，a）∈ Θ（f）.此外，考虑测量集q：=nu∈ ca+（Rd）：u=ν，ud=νdandπi≤ u（Ai）≤πi，对于所有i∈ IoandQ：=nu∈ 加利福尼亚州+≤1（Rd）：uν, . . . , udνdandu（Ai）≤πi，对于所有i∈ Io，其中ujdenotes是度量u的第j个边缘，而ujνj应理解为uj（B）≤ νj（B）对于每个Borel集合B R后一种情况也称为0阶随机优势。以下定理建立了最优运输环境下附加约束下的Monge–Kantorovich对偶，或数学金融环境下附加信息下的定价对冲对偶。事实上，在优化运输的背景下，我们寻求最大化相对于运输计划u的总成本u，边际ν，νd附加满足约束πi≤ u（Ai）≤πifor i∈ 一、我们还考虑了这一问题的一个宽松版本，即我们寻求最大化与由ν、…、，νdand满足附加约束u（Ai）≤ πifor i∈ 一、在数学金融的背景下，让f表示依赖于多个资产的期权的支付函数，其联合分布为u。然后，（2.1）中的右侧是该选项的无模型超边际价格，假设边际分布已知（即u=ν，…，ud=νd），同时还有其他信息，以边界πi，πion的形式呈现，即多资产数字选项1Ai，i的价格∈ 一、（2.1）中的左侧描述了套期保值或交易策略，包括投资收益为第I个边际νI，I的期权∈ {1, . . .

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2022-6-1 07:28:31

，d}，还可以购买ai+和销售ai-收益为1的数字期权的价格分别为πi和πi∈ 一、根据这些收益之和支配f的要求，（2.2）中的二元性代表了上述问题的放松，其中一方面考虑了保证金的不确定性，而另一方面，交易策略受制于卖空约束（即它们是积极的）。定义2.1。满足（f，…，fd，A）的交易策略（f，…，fd，A）∈ Θ（ε）和π（f，…，fd，a）≤ 对于某些ε>0的情况，称为一致强套利。备注2.2。上述策略被称为一致强套利，因为其价格异常小于或等于零，而其结果从下到下以ε>0为界。下一个定理将一致强套利的不存在与Q中的一个元素的存在联系起来，Q中的一组概率测度具有满足条件πi的给定边际≤ u（Ai）≤πifor ALI∈ 一、换言之，没有套利可以让我们对给定m边的概率度量得出一些结论，反之亦然。请注意，没有统一的强套利是一个非常弱的条件，这是由经典的无套利条件所暗示的。定理2.3。让f：Rd→ R是上半连续有界函数。然后，当且仅当Q不为空时，不存在一致强套利。在这种情况下，φ（f）=最大u∈QZRdf du。（2.1）此外，φ（f）=最大u∈QZRdf du。（2.2）备注2.4。在Lux和Rüschendorf【20，定理3.2】中，附加信息（2.1）下的最优输运对偶以类似形式出现。这两个结果是并行发展的，但它们的证明完全不同。

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nandehutu2022

2022-6-1 07:28:34

此外，在[20]中，作者考虑了具有给定边缘的d维概率分布的Fréchetclass，其copula由任意拟copula从下到上限定；拟copula概括了copula的概念。鉴于（2.1），我们的公式稍微更一般，因为我们不需要边界（πi，πi）i∈Ito有一个由准copula施加的特殊结构。这个定理的证明建立在以下凸函数和递增函数的表示结果以及共轭的显式计算的基础上。让我们首先介绍一下泛函φ*Cbandφ*UB定义如下：φ*Cb（u）：=supf∈CbnZfdu- φ（f）o和φ*Ub（u）：=supf∈UbnZfdu- φ（f）o，（2.3），其中ub表示所有有界上半连续函数的集合f:Rd→ R、和所有有界连续函数的Cbtheset。那么下面的公式成立：设φ：Ub→ R是一个凸的递增函数，并假设对于连续有界函数的每个序列（fn），使得fn逐点减少到0，它保持φ（fn）↓ φ(0).然后，φ接受以下表示：φ（f）=maxu∈ca+nZfdu- φ*所有f的Cb（u）o（2.4）∈ Cb。此外，假设φ*Cb（u）=φ*Ub（u）表示任何u∈ ca+，然后φ（f）=最大u∈ca+{Rfdu- φ*Ub（u）}适用于所有f∈ Ub。证明类似于Bartl、Cheridito、Kupper和Tangpi【1，定理2.2】；另见Cheridito、Kupper和Tangpi【7，定理A.5】。证明（定理2.3）。我们首先注意到Θ（λf）=λΘ（f）和Θ（f）+Θ（g） Θ（f+g）对于每λ>0和每两个函数f，g:Rd→ R、此外，它认为π（λf，…，λfd，λa）=λπ（f，…，fd，a），而从不等式a++b+≥ （a+b）+和a-+ b-≥ （a+b）-和条件0≤ πi≤πiit表示π（f+g，…，fd+gd，a+b）≤ π（f，…，fd，a）+π（g，…，gd，b）。因此，我们得到φ是一个次线性泛函，即。

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2022-6-1 07:28:37

φ（λf）=λ>0和φ（f+g）时的λφ（f）≤φ（f）+φ（g）。同样的参数也适用于Θ，因此φ也是次线性的。此外，因为（m，0，…，0）∈ Θ（m）和π（m，0，…，0）=m表示m∈ R+，则φ（m）≤ φ（m）≤ m、证明的主要部分是证明如果φ是实数，则φ具有表示（2.1）。步骤1：我们声称，如果不存在一致强套利，那么φ（m）=m表示所有m∈ R、我们已经证明φ（m）≤ m、另一方面，如果φ（m）<m- ε对于某些ε>0，存在（f，…，fd，a）∈ Θ（m）使得π（f，…，fd，a）≤ m级- ε. 定义\'j（x）：=fj（x）-m级- εd每x∈ R和j=1，d、然后（f′…，f′d，a）∈ Θ（ε）但π（f′…，f′d，a）≤ 0，这与不存在一致强套利的假设相矛盾。第二步：我们声称φ和φ在Cb上是连续的，即φ（fn）↓ CBS中的everysequence（fn）为0，如该fn↓ 0点方向。让我们定义这样一个序列（fn），一些ε>0，并且让l是这样的νi([-l、 l]c）≤εd supx | f（x）|，对于所有i∈ {1，…，d}。（2.5）集合K：=[-l、 l]d Rdis紧，因此我们可以应用Dini引理来获得一些指数nsuch thatfnK≤ ε表示所有n≥ n、（2.6）现在我们定义fj（x）：=supx | f（x）| 1[-l、 l]C或j∈ {1，…，d}这样fnkc（x）≤ fKc（x）≤ f（x）+···+fd（xd），因此（f，…，fd，0）∈ Θ（fnKc）。因此我们有φ（fnKc）≤ π（f，…，fd，0）=ZRfdν+···+ZRfdνd≤ ε、（2.7）其中最后一个不平等来自（2.5）和fj的定义。因此，次加性加上（2.6）和（2.7）意味着φ（fn）≤ φ（fnK）+φ（fnKc）≤ ε+ε表示所有n≥ n、由于ε是任意的，我们得出的结论是φ（fn）↓ 0=φ（0），因此也是φ（fn）↓ 0，自φ（fn）≤ φ（fn）和φ（0）=0。第3步：在最后一步中，我们要显示φ*Cb（u）=φ*Ub（u）=（0，如果u∈ Q+∞, 否则，和φ*0，Cb（u）=φ*0，Ub（u）=（0，如果u∈ Q+∞, 否则，每u∈ 钙+。

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nandehutu2022

2022-6-1 07:28:41

此处φ*0，Cb和φ*0，U定义类似于φ*Cbandφ*Ub；参见（2.3）。一方面，我们将证明共轭值取+∞ 每当测量u时/∈ Q、响应。u /∈ Q、请注意，根据定义，0≤ φ*Cb公司≤ φ*Uband类似于0≤ φ*0，Cb≤ φ*0，Ub。因为φ（m）=m表示m∈ R、因此φ*Cb（u）≥ s upm公司∈Rmu（Rd）- m级= +∞当u不是概率度量时。类似地，我们得到φ*0，Cb（u）≥ 卸荷点法≥0mu（Rd）- m级= +∞当u（Rd）>1时。现在，对于某些Borel集合B，设uj（B）6=νj（B）（分别uj（B）>νj（B）） R和一些j∈{1，…，d}。然后存在一个连续有界函数h:R→ R（分别为h:R→ [0, +∞))这样ZRh duj>ZRh dνj。此外，我们可以通过f（x）：=x的h（xj）定义函数f∈ Rd，它是连续且有界的。对于x，我们还可以定义fj（x）：=h（x）和fk（x）：=0∈ R、对于所有k，a=0∈ {1，…，d}\\{j}。然后，通过构造，它保持（f，…，fd，a）∈ Θ（f）和π（f，…，fd，a）=ZRh dνj（分别为f，…，fd，a）∈ Θ（f）），因此我们得到thatZRdfdu- φ（f）≥ZRh duj-ZRh dνj>0。由于φ（λf）=λφ（f），对于每个λ>0，则得出φ*Cb（u）≥ supλ>0nZRdλfdu- φ（λf）o=+∞.相同的参数表明φ*0，Cb（u）=+∞.u的最终条件∈ Q（分别为u∈ Q）读数为πi≤ u（Ai）≤πi（分别为u（Ai）≤ πi），对于alli∈ 一、假设u（Ai）≥πi+ε对于一些ε>0和一些i∈ 一、我们可以选择δ>0，使得所有j的νj（（Aij，Aij+δ））<εdf∈ {1，…，d}。确定setC：=(-∞, Ai+δ）×····×(-∞, Aid+δ）。然后，A和C是闭集和不交集，因此Urysohn引理保证了连续函数f:Rd的存在性→ R这样Ai≤ f≤ 1C。（2.8）注意f（x）≤ 1C级≤ 1Ai（x）+1（Ai，Ai+δ）（x）+···+1（Aid，Aid+δ）（xd），因为C中的每个元素都属于air或其中一个集合（Aij，Aij+δ），j∈ {1，…，d}。因此，可以得出（f。

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2022-6-1 07:28:43

，fd，a）∈ Θ（f） Θ（f），其中我们定义了fj（x）：=1（Aij，Aij+δ）（x），x∈ R、对于所有j，ai=1，ak=0∈ {1，…，d}和k∈ I \\{I}。所以我们现在有φ（f）≤ φ（f）≤ π（f，…，fd，a）=πi+dXj=1νj（（Ai+1，Aid+δ））<πi+ε。（2.9）因此，使用（2.8）、（2.9）和假设，我们得到Zrdf du- φ（f）>u（Ai）- （πi+ε）≥ 0和alsoZRdf du- φ（f）>0。因此，前面的缩放参数显示φ*0，Cb（u）=φ*Cb（u）=+∞.最后，假设对于某些i∈ 一、通过集合Ai的封闭性，存在一系列连续函数fn，使得-1.≤ fn公司≤ -1和fn↑ -1Ai。然后（0，…，0，a）∈ Θ（fn）对于ai=-k为1且ak=0∈ I \\{I}，所以它保持φ（fn）≤ π（0，…，0，a）=πi。根据支配收敛定理，存在一个n，使得rrdfndu>-πi，henceZRdfndu- φ（fn）>0。缩放参数再次显示φ*Cb（u）=+∞ .另一方面，我们将表明如果u∈ Q（分别为u∈ Q）那么它认为φ*Ub（u）=0（分别为φ*0，Ub（u）=0）。的确，让f:Rd→ R是上半连续有界函数，使得（f，…，fd，a）∈ Θ（f）（分别为（f，…，fd，a）∈ Θ（f））。然后π（f，…，fd，a）≥ZRd公司f（x）+···+fd（xd）+Xi∈IAI（x）u（dx）≥ZRdf（x）u（dx）。因此，我们有φ（f）≥ZRdf du和φ（f）≥ZRdf du，这立即产生了索赔。步骤3到此结束。现在，为了推断φ（f）和φ（f）具有所需的表示，我们将使用表示（2.4）。φ的次线性尤其意味着它是凸的。此外，forf≥ g认为Θ（f） Θ（g），因此φ（f）≥ φ（g），即φ也在增加，而第二步表明φ满足表示（2.4）保持的剩余条件。同样的论证也适用于φ。

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2022-6-1 07:28:46

因此，（2.4）允许我们获得φ（f）=最大u∈ca+nZRdf du- φ*Cb（u）o=最大u∈QZRdf du，φ（f）=m axu∈ca+nZRdf du- φ*0，Cb（u）o=最大u∈QZRdf du，对于每个有界和上半连续函数f。此外，由于φ和φ是实值的，我们得到了集Q和qa不是空的。最后，为了总结证明，请注意，如果Q不是空的，那么就不存在uniformstrong套利。实际上，对于任何ε>0和（f，…，fd，a）∈ Θ（ε）为u∈ Q它保持π（f，…，fd，a）≥ZRdnf（x）+···+fd（xd）+Xi∈IaiAi（x）ou（dx）≥ZRdεu（dx）=ε。作为定理2.3的推论，我们在下面导出了一个m最大运输问题的对偶结果。这个问题对应的情况是，除了边际分布之外，度量值在Rd中的增长轨道上规定。就随机变量而言，这相当于知道d个随机变量的最大值的分布。推论2.5（最大运输问题）。设I=R，Ai=(-∞, i] dπi=πi=νmax((-∞, i] ）对于某些度量值νmax∈ 钙离子（R）。然后Q=nu∈ ca+（Rd）：u=ν，ud=νdanduo 最大值-1=νmaxo，（2.10），对于每个上半连续有界函数f:Rd→ R其中φ（f）=infndXj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax:f，fd，go，其中f，fd，g：R→ R是有界的可测函数，使得f（x）+···+fd（xd）+g（max x）≥ f（x），对于所有x∈ Rd，（2.11），其中最大x：=最大j=1，。。。，dxjfor x∈ Rd证明。Letu∈ Q、利用πi=πi，我们得到uo 最大值-1((-∞, i] ）=u（Ai）=πi=νmax((-∞, i] ）对于所有我∈ R、因此，Q具有（2.10）中给出的形式。现在让我们定义φmax（f）=infndXj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax:f，fd，go，其中f，fd，g满足不等式（2.11）。我们想证明φ（f）=φmax（f）。一方面，请注意右侧比左侧小。事实上，对于所有人（f。

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2022-6-1 07:28:49

，fd，a）∈Θ（f），我们可以定义：=Xi∈Iai公司(-∞,i] 这样Zrg dνmax=Xi∈Iaiπiand g（max x）=Xi∈IaiAi（x）。另一方面，让f，fd，g应为f（x）+···+fd（xd）+g（max x）≥ f（x），对于所有x∈ 然后，利用集合Q的结构，我们得到dxj=1ZRfjdνj+ZRg dνmax=ZRdf（x）+···+fd（xd）+g（最大x）u（dx）≥ZRdf（x）u（dx）。因此，取上述不等式两侧的上确界和上确界，并利用第一部分的结论，我们得到φ（f）≥ φmax（f）≥ supu∈QZRdf du。定理2.3得出了所有不等式实际上都是相等的结论。接下来，我们在（2.1）中提供了二元性的另一种放松，其遵循与（2.2）相同的推理路线。特别是，这可以再次解释为定价对冲二元性，其中超级对冲问题涉及边际和联合分布的不确定性，而对冲策略考虑了单资产期权的买入和卖出价格以及多资产数字期权的交易。让我们xνj，νj∈ ca+（R）对于每个j=1，d、使得νj一阶随机支配νj。回想一下，νjνjin如果νj，则为一阶随机优势(-∞, t]≥νj(-∞, t] 对于allt∈ R、让f：Rd→ R为成本或收益函数，并定义集合Θ（f）：=n（f，g，…，fd，gd，a）：dXj=1fj（xj）- gj（xj））+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x），x个∈ Rdo，其中fj，gj:R→ R是非递减、有界和连续函数，ai≤ 定义π（f，g，…，fd，gd，a）：=dXj=1ZRfjdνj-ZRgjdνj+xi∈Iaiπi，适用于所有（f，g，…，fd，gd，a）∈ Θ（f）并进一步定义函数φ（f）：=infπ（f，g，…，fd，gd，a）：（f，g，…，fd，gd，a）∈ Θ（f）.此外，考虑测量值集q：=nu∈ ca+（Rd）：νjujνjandπi≤ u（Ai）表示所有i，jo。然后，以下内容成立。提案2.6。让f：Rd→ R是上半连续有界函数。

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2022-6-1 07:28:52

然后，如果φ（ε）>0表示每ε>0，则保持φ（f）=su pu∈QZRdf du。证据证明遵循与定理2.3证明相同的路线，因此我们只提供一个草图。首先，可以检查φ：Ub→ R∪ {-∞} 是满足φ（m）的次线性单调函数≤ m代表所有m∈ R、第1步。与定理2.3类似，对于所有m，φ（m）=m∈ R、第2步。回想一下，对于两个概率ν，ν′∈ ca+（R），一个有νν′当且仅当ifRRf dν≤每个非递减有界连续函数f:R的RRf dν′→ R、这是一个简单的部件集成应用程序。特别是，如果fi，gi:R→ R是满足YDxj=1的非递减有界连续函数fj（xj）- gj（xj））+Xi∈IaiAi（x）≥ f（x）表示所有x∈ Rd和u∈ ca+（Rd）为νjujνjfor all 1≤ j≤ d和πi≤ u（Ai）适用于所有i∈ 一、然后保持Szrdf du≤dXj=1ZR（fj- gj）duj+Xi∈Iaiu（Ai）≤dXj=1ZRfjdνi-ZRgjdνi+Xi∈Iaiπi。由于fi、gian和ai是任意的，因此φ（f）≥RRdf du。第3步。设（fn）为有界连续函数序列，其逐点递减为0。对于ε>0，fix m∈ N这样Maxνj（[m- 1.∞)), νj((-∞, -m+1]）≤ε2d supx | f（x）|对于每j=1，d、并定义递增函数fj（t）：=supx∈Rd | f（x）|·1 + 0 ∨ （t+1- m）∧ 1.和gj（t）：=supx∈Rd | f（x）|·0∨ （t+m）∧ 1..然后FJ- gj公司≥ supx公司∈Rd | f（x）| 1[-m、 m]c和ZRFJDνj-ZRgjdνj≤εd，从中得出的结果与T heorem2.3的证明完全一致，即φ（fn）↓ 0 = φ(0). 3、f=1b的显式解当原问题φ（f）或φ（f）允许显式解时，定理2.3中给出的最优输运对偶变得非常有趣。

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2022-6-1 07:28:55

虽然我们不能期望推导出一般函数f的显式解，但我们将证明，对于矩形集B，当f=1B时，φ（f）允许显式解 Rd.为了简化本节中主要结果的呈现，我们在以下情况中考虑了框B的情况d=2=(-∞, B] ×(-∞, B] 定义I，即I={1，…，n}。高维情形（d＞2）的证明可以通过类似的论证得到。定理3.1。以下各项适用：最大u∈Qu（B）=minnν((-∞, B] ），ν((-∞, B] ），m ini∈在πi+ν（（Ai，B））+ν（（Ai，B））oo中。图1：定理3.1的图示。在有关最优运输的文献中，有些部分称为原始问题，参见Villani【31】，而在其他部分称为对偶问题，参见Kellerer【17】。BAA图2：带两个盒子的超磨边的非最优性。图1给出了定理3.1的图形表示。让我们将“box”称为回报为1bb的期权兰德“剥离”一个收益为1J×Ror 1R×JJ的期权 R、然后，在数学金融语言中，这一结果表明有三种可能的方法可以使方框B超边缘化：要么使用水平条带（左），要么使用垂直条带（中），要么使用另一个方框a加上与其相邻的水平和/或垂直条带（右）。图2直观地解释了为什么在存在卖空约束的情况下，购买两箱A和A以超压B不是最佳选择。事实上，如果一个人同时购买A和A，那么阴影区域会被购买两次，从而产生不必要的额外成本，而阴影区域仍然没有对冲。

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2022-6-1 07:28:58

为了对冲后者，需要进一步投资于水平和/或垂直带。应用于f=1b的定理2.3立即产生最大u∈QZBdu=最大u∈Qu（B）=φ（1B），因此我们需要证明φ（1B）允许以下表示：φ（1B）=minnν((-∞, B] ），ν((-∞, B] ），m ini∈在πi+ν（（Ai，B））+ν（（Ai，B））oo中。Baaasddddddd图3：主设置如图所示，其中d=Bhence i=3。现在让我们介绍一些将在后续证明中使用的符号；如图3所示。定义Dj：={Aij:i∈ I}∪ {Bj}，对于j=1，2，让Dj={dkj:k=1，…，mj}bean枚举，使得Dj<Dj<···<dmjj。此外，定义fj：=(-∞, dj），Fij：=[dij，di+1j），对于i=1，…，mj- 1和Fmjj：=（dmjj，∞)对于j=1，2。此外，让ibe使di=B。在第一步中，请注意，在φ（1B）的定义中，我们可以并且将自己限制在Fj（x）：=mjXi=1fijFij（x）形式的函数fjof，其中fijare为正常数。我们将参考函数fas“垂直边缘”和函数fas“水平边缘”。引理3.2。设S：=Fi-1×R.然后φ（1B）=分钟∈{0,1}nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o，（3.1），其中η（1B）：=infnπ（0，f，a）：f（x）+Xi∈IaiAi（x）=1表示所有x∈ B和f，ai≥ 0o=m innν((-∞, B] ），迷你型∈一： B类≤Ainπi+ν（（Ai，B））oo。（3.2）BBBBABBAA图4：功能η（1B）的图形表示。功能η（1B）如图4所示，并指出有两种方法可以在不使用垂直边缘的情况下对方框B进行超边缘处理：要么使用水平剥离器×(-∞,B] ，或使用另一个带有≥ B>A时，此框上方的水平条，即1R×（A，B）。证明。

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2022-6-1 07:29:00

首先，请注意，出现的所有优化问题都是有限维线性问题，因此最小值总是存在的。我们从证明（3.1）开始，首先证明左手边比右手边小。事实上，在s=0的情况下，这会减少到φ（1B）≤ η（1B），因为φ（1B）被定义为更大集合的上限。当s=1时，let（f，f，a）∈ 在π（f，f，a）=φ（1B\\S）的意义上，Θ（1B\\S）是最优的，并且注意，可以假设w没有失去普遍性，即-1= 0. 现在定义fi：=（fi，如果i 6=i- 11，否则，则如下（^f，f，a）∈ Θ（1B）。根据^Fi的定义，它认为π（^f，f，a）=ν（Fi-1） +π（f，f，a）=ν（Fi-1） +φ（1B\\S），表示φ（1B）≤ ν（Fi-1） +φ（1B\\S）。为了证明逆不等式，请注意，通过交换两个极小值，它保持φ（1B）=min∈[0,1]nsν（Fi-1） +φ\\i-1（1B- s1S）o，（3.3）其中φ\\i-1（1B- s1S）：=infπ（f，f，a）：（f，f，a）∈ Θ（1B- s1S）和fi-1= 0.在（3.3）中固定一些最优s，并为φi固定一个最优策略（f，f，a）-1（1B- s1S）。自fi以来-1=0，遵循f（x）+Xi∈IaiAi（x）=f（x）+Xi∈一： B类≤AiaiAi（x）≥ 1.- s代表所有x∈ B∩ S、设t：=π∈一： B类Aiai。一方面，如果t≥ 1.- s、设置“ai”：（1）- s）每个i的ai/t Ai，\'Ai=0，其他，\'f=0。THNPI公司∈I'aiAi（x）=1- s代表x∈ B、因此（0，0，a）是η（（1）的容许策略- s） 1B）=（1- s） η（1B）。进一步定义a：=a- \'\'a≥ 0。然后可以检查（f，f，~a）∈ Θ（s1B\\S）。因此φ（1B）=sν（Fi-1） +π（f，f，a）=sν（Fi-1） +π（f，f，a）+π（0，0，a）（3.4）≥ 分钟∈[0,1]nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o。此外，由于最后一项以s为单位，因此s上的最小值∈ [0，1]产生的值与s上的最小值相同∈ {0, 1}.另一方面，假设t<1-s和定义‘ai：=所有i的ai，使得B 人工智能。为了方便起见，我们假设Ai≥ 对于i=1。

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2022-6-1 07:29:03

，m和B>A>A>Am；对于某些i，j，Ai=aj的情况≤ m的工作方式相同，但需要额外的表示法。进一步表示为k指数，使dk=频带，表示为k指数，使dki=Ai，对于i=1，m、然后，对于每个i=k，k- 1需要持有fi≥(R)fi：=1- s- t>0。Moreoverfi+a≥ 1.- s- t代表k≤ 我≤ k- 1，（3.5）即f（x）+a≥ 1.- s- t代表所有x∈ S带x∈ （A，B）。现在，有两种可能性：o如果A≥ (R)a：=1- s- t、然后为i设置“fi：=0”≤ k- 1和“ai：=0，表示i=2，m、那么（0，\'f，\'a）是η（1B）和（f，~f，~a）的容许策略∈ Θ（s1B\\S），其中▄f：=f-“fand”a：=a- 因此，根据π的线性，如（3.4）所示，φ（1B）≥ 分钟∈[0,1]nsν（Fi-1） +sφ（1B\\s）+（1- s） η（1B）o.o否则，如果a：=a<1- s- t、定义fi：=1- s- t型- 一≤ fifor所有k≤ 我≤ k- 1并设置▄t：=t+a。然后设置▄f（x）+Xi∈一： B类≤Ai'aiAi（x）=1- s代表x∈ B使A≤ x个≤ 波段必须为fi+a≥ 1.- s-t代表k≤ 我≤ k- 这意味着情况与（3.5）中的情况相同。最多重复此过程m次，就可以找到η（1B）的可容许策略（0，\'f，\'a）。自（f，~f，~a）∈ Θ（s1B），其中▄f：=f-\'\'f≥ 0和▄a：=a- \'\'a≥ 0，从π的线性关系可以看出（3.4）成立。现在我们继续证明（3.2）。首先请注意，对于所有i和B 所有保持η（1B）=minai∈[0,1]ai'πi+（1- ai）η\\i（1B）,其中η定义为η，额外要求ai=0。因此ai∈ {0, 1}. 对于某些i和B，Ifai=1 哎，那么证明就完成了。否则用l表示▄I中的元素：={I∈ I：B≤ A和Ai≤ B} 这样Ai≤ 阿尔弗·艾尔维∈I.然后l=dk对于某些kan，它必须在（Al，B）上保持f=1。因此，η（1B）=ν（（Al，B））+η（1B），其中S：=R×（Al，B）。由于B\\S再次是一个方框，因此该主张现在遵循归纳法。我们现在准备证明本节的主要结果。证明（理论3.1）。

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kedemingshi

2022-6-1 07:29:06

设S：=Fi-1×R。如果s=0和s=1都是（3.1）中的优化器，wealways选择s=0以排除许多病理病例（见下面的证明）。情况1：如果s=0，这意味着φ（1B）=η（1B）。然而，根据（3.2），η（1B）的最优策略包括全部水平边缘，即f=1(-∞,B] a=0，或者正好是一个带B的方框≤ Ai（即Ai=1，对于j 6=i，aj=0）和该框上方的水平边缘，即f=1（Ai，B）；再次参见图4。由于两种策略都是Θ（1B）的元素，证明是完整的。情况2：如果s=1，这意味着φ（1B）的最优策略包括fi-1=1加上φ（1B\\S）的优化。如果B\\S为空，这意味着φ（1B）的优化器是完全垂直边缘，即f=1Fi-1= 1(-∞,B] 。否则请注意，^B：=B\\S再次是一个（非空）框。因此，可以再次应用引理3.2：定义：=Fi-2×R，使φ（1^B）=分钟∈{0,1}nsν（Fi-1） +sφ（1^B\\710; s）+η（1^B）o。现在，又有两种可能性：o如果s=0，即φ（1^B）=η（1^B），则η（1^B）的最佳策略包括全水平边缘f=1(-∞,^B]=1(-∞,B] 仅，或正好一个带^B的盒子≤ A和方框上方的水平边缘，即f=1（Ai，^B）=1（Ai，B）。我们声称第一种情况不可能发生，而第二种情况下，它保持Ai=^B。事实上，如果f=1(-∞,B] 是最优的，那么（0，f，0）∈ Θ（1B）。尤其是之前的选择fi-1=1并不理想。类似地，在第二种情况下，Ai=^B.o如果s=1，则φ（1^B）的最佳策略包括fi-1=fi-2=1加上φ（1^B\\710; S）的最佳值。通过归纳，φ（1B）的最优策略可以采用以下形式之一：f=1(∞,B] ，f=0和a=0，或f=0，f=1(-∞,B] 如果j=i，aj=0，则a=0，或f=1（Ai，B），f=1（Ai，B）和aj=1；再次与图1进行比较。这就完成了证明。4.

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nandehutu2022

2022-6-1 07:29:09

类FS，π的改进Fréchet-hoefffding上界的锐度和FS，π在本节中，我们证明了改进的Fréchet-Hoeffding上界对于Fréchet类FS，π是逐点锐的和FS，π分别在（1.5）和（1.6）中介绍，而后续附录A中的反例表明，对于FS类π，相同的界不是逐点尖锐的。因此，我们将再次使用概率论的符号，并将使用分布函数而不是度量。第一类的锐度证明直接应用了第2节和第3节的结果，而第二类的锐度证明则遵循了属于集FS，π的分布函数的显式构造并获得改进的Fréchet–Hoeffdingbound。Féchet–Hoefffding边界的锐度或逐点锐度问题在概率论文献中有着悠久的历史。上Fréchet–Hoeffding界本身是一个分布函数，因此该界实际上是尖锐的。另一方面，下Fréchet–Hoeffding边界是一个分布函数，因此仅在维度2上是尖锐的，而在一般情况下，Rüschendorf[26]表明下Fréchet–Hoeffding边界是逐点尖锐的。关于改进的Fréchet–H Oefffding界，Tankov[30]在维度2中表明，上界是一个分布函数，因此在集合S减少的情况下（即（u，u），（v，v）的上界也是尖锐的∈ S保持（u- v）（u）- 五）≤ 0). 这一结果后来被Bernard、Jiang和Vanduffel削弱了[2]。另一方面，Lux和Papapantoleon【19】表明，在高维情况下（d>3），改进的Fréchet–Hoefffding上限仅在小情况下才是尖锐的。

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2022-6-1 07:29:12

因此，附录A中的反例令人惊讶，因为它表明，一旦违反了Tankov的条件，边界甚至不是逐点尖锐的。定理4.1。对于每x∈ Rd，最大值∈FS，π（F）*,...,F*d） F（x）=最小值=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以证据请注意，定理4.1是对定理3.1的重新表述。实际上，集合qc包含由FS，π中的分布函数所诱导的所有度量（F）*, . . . , F*d），反之亦然。提案4.2。设S是Rd的有界子集，则其中一个有maxf∈FS，π（F）*,...,F*d） F（x）=最小值=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ 最小{πs:s∈ 这样x≤ s} ，（4.1）每x∈ Rd，其中x≤ s每当xi≤ 对于所有i=1，d、证明。FS的定义，π（F）*, . . . , F*d）立即表示（4.1）的左侧（LHS）小于或等于其右侧（RHS）。为了显示反向不等式，fix x∈ Rd和let r∈ R太大以至于R≥ xj+1和r≥ 对于所有j=1，…，sj+1，d、和s∈ S、区分以下两种情况。情况1：假设右侧在minjF处到达*j（xj）。definegj（t）：=F*j（xj）1[xj，r）（t）+F*j（t）1[r，∞)（t），对于t∈ R、 j=1，d、 F（y）=minj=1，。。。，y的dGj（yj）∈ Rd.可以检查F是否为acdf，它保持Fj（t）=Gj（t）≤ F*j（t）表示所有t∈ R和j=1，d、让我们∈ S、如果x≤ s、然后是XJ≤ sj公司≤ r表示j=1，因此F（s）=minjGj（s）=minjF*j（xj）=RHS≤ πs。否则，即如果存在一些j*这样sj*< xj公司*, 一个有F（s）≤ Gj公司*（sj*) = 0≤ πs。这表示F∈ FS，π（F）*, . . . , F*d）和sice，因为F（x）=minjF*j（xj）=RHS，一个获得thatLHS≥ RHS。情况2：假设右侧达到πs*对于一些s*∈ S、 definegj（t）：=πS*[xj，r）（t）+F*j（t）1[r，∞)（t），对于t∈ R、 j=1，d、 F（y）=y的minjGj（yj）∈ Rd。

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2022-6-1 07:29:15

我们可以再次检查F是acdf，因为πs*≤ F*j（xj），也有Fj（t）=Gj（t）≤ F*j（t）表示所有t∈ R和j=1，d、对于s∈ S带x≤ s、它保持F（s）=minjGj（s）=minjF*j（xj）=πs*≤ πs从πs处获得的Rhsi开始*. 否则它保持F（s）=0，因此F∈ FS，π（F）*, . . . , F*d）。因为F（x）=minjF*j（xj）=RHS，因此得出LHS≥ RHS。A、改进的上Fréchet–Hoeffding界对于类FS来说并不明显，下面的反例（Stephan Eckstein向我们传达）说明了改进的上Fréchet–Hoeffding界min{F*i（xi）：i=1，d}∧ minnπs+dXi=1（F*一（xi）- F*i（si））+：s∈ 对于FS，π（F），SOI通常不是逐点尖锐的*, . . . , F*d），即使尺寸d=2。示例A.1。边际CDF由F给出*:= F*:= 0.1 · 1[0,1)+ 0.3 · 1[1,2)+ 0.35 · 1[2,3)+ 1[3,∞),i、 e.F.公司*iare概率测度的CDF为0.1δ+0.2δ+0.05δ+0.65δ。考虑附加信息={（0，0），（0，2），（2，0），（1，1）}，其中π（0,0）=0，π（0,2）=π（2,0）=π（1,1）=0.1。对于对应于概率度量x的cdf^F，x=0cx，xδ（x，x），权重由cx决定，xx=0 x=1 x=2 x=3x=0 0 0 0.05 0.05 0x=1 0.05 0 0 0.15x=2 0.05 0 0 0x=3 0 0.15 0 0.5可以验证^F∈ FS，π（F*, F*) :=F∈ F（F*, F*): F（s）=所有s的πSFO∈ S.这表明FS，π（F*, F*) 6= . 设x=（x，x）：=（0，1），则改进的Fréchet–hoefffding界由min{F给出*（0），F*(1)} ∧ minnπs+Xj=1（F*j（xj）- F*j（sj））+：s∈ So=0.1，而对于Д（u）=1{u≤x} 可以很容易地检查∈FS，π（F*,F*)ZхdF=supF∈FS，π（F*,F*)F（0，1）=^F（0，1）=0.05。B、类FS，π的改进Fréchet-hoefffding上界的推导和FS，π在本附录中，我们证明了改进的Fréchet–Hoeffding上界对于类FSπ是有效的和FS，π. 推导过程使用了从copula理论中借用的简单参数，参见。

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可人4

2022-6-1 07:29:18

[19].让我们指出，第4节中的清晰度结果允许我们恢复以下陈述。引理B.1。让G∈ FS，π（F）*, . . . , F*d），那么我们有g（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ minnπs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+: s∈ 所以，（B.1）对于所有（x，…，xd）∈ Rd.此外，让H∈ FS，π（F）*, . . . , F*d），那么我们有h（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*一（xi）∧ 最小{πs:s∈ 这样x≤ s} ，（B.2）适用于所有（x，…，xd）∈ Rd证明。通过定义FS类，π（F）*, . . . , F*d）我们有G=cF，其中c∈ [0，1]andF是Rd上的cdf。让我们用F表示，F的边沿，那么我们立即得到g（x，…，xd）=cF（x，…，xd）≤ c mini=1，。。。，dFi（xi）=最小值=1，。。。，dcFi（xi）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi），（B.3）其中，我们使用F表示第一个不平等的cdf和cFiF*如果是第二个。使用F是RDF上的cdf，带有边距F，Fd，我们对anyxi，si有以下估计∈ RF（x，…，xi，…，xd）- F（x，…，si，…，xd）≤Fi（xi）- Fi（si）+,因此，使用伸缩和，我们得到以下任何x，s的估计值∈ RdF（x）- F（s）≤dXi=1Fi（xi）- Fi（si）+. （B.4）因此，再次使用G=cF，我们得到了G（x）≤ cF（s）+dXi=1cFi（xi）- cFi（si）+≤ πs+dXi=1F*一（xi）- F*i（si）+,我们使用cF的地方≤ 所有s的πSFO∈ S和cFi（xi）- cFi（si）≤ F*一（xi）- F*i（si）代表所有xi≤ 硅。下面的语句是最小化所有s∈ 并将结果与（B.3）相结合。现在，让H∈ FS，π（F）*, . . . , F*d）。因为H是Rdand上的cdf，使用该FiF*i、我们立即得到H（x，…，xd）≤ mini=1，。。。，dF公司*i（xi）。此外，（B.4）中的估计仍然有效，因此从FS类π的定义来看（F）*, . . . , F*d）我们到达atH（x）≤ πs+dXi=1Fi（xi）- Fi（si）+.然而，边缘上可用的信息，即。

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