在这里，我们的目标是通过严格阐述连续时间内动态超边际支付流的含义，并详细分析其后果，来填补这一差距。通过本节确定了T>0的有限时间范围[0，T]。3.1可选分解我们首先回顾了[29]第2节的一些初步结果，这些结果有助于进一步讨论。本节中的定义和定理都与可测空间的选择无关Ohm , 过滤F和概率家族P。在续集中，“sigma鞅”可以替换为“局部鞅”。设S：=（St）t∈[0，T]是一个具有cádlág路径的m维F适应过程，其中m是一个正整数。如果在概率P下，过程S是（P，F）半鞅，我们用（BP，CP，νP）表示其特征。根据[26]的命题2.2，过程S也是具有相同特征的（P，FP+）-半鞅。此外，如果S是所有P的a（P，F）-半鞅∈ P、 我们用L（S，P）表示所有m维F-可预测过程的集合，这些过程对于allP是S-可积的∈ P、 通过（P）RδdS：=（（P）RtδdS）t∈[0，T]P下所有δ的通常It^o积分∈ L（S，P）。假设3.1。以下条件成立：1。P是S的一组σ鞅测度：过程S是所有P的（P，FP+）σm鞅∈ P2、P是饱和的：其元素的所有等价sigma鞅测度仍然属于P；3.S在每个P∈ P： 我们有νP<< （CP）iiP-a.s.对于所有i=1。。。，m和f或所有P∈ P、 备注3.2。如果S有连续的路径，那么它在西格玛鞅测度P下总是有支配性的分歧，因为它的特征被减少到（0，CP，0）；特别地，它是P下的连续局部鞅。备注3.3。

在选择m=d和S=B的情况下，[29]的引理4.2和命题4.3给出了一个充分条件，使得假设2.2和假设3.1都满足。我们回顾了[29]的定理2.4。定理3。4.在假设3.1下，设Y：=（Yt）t∈[0，T]是一个实值的Fadapt过程，具有cádlág路径，这是一个（P，FP+）-局部上鞅∈ P、 然后存在一个F-可预测过程δ：=（δt）t∈[0，T]在L（S，P）中如此- Y-（P）ZδdS是n，对于所有P∈ P、 3.2问题公式我们现在给出了超边缘问题的公式。本节中的定义与可测量空间的选择无关Ohm, 过滤和概率族P也是如此。我们定义过滤FP：=（FPt）t∈[0，T]byFPt：=F*t型∨ NPT，t∈ [0，T]，其中NPTis是所有P的（P，FT）-null的s集的集合∈ P、 LetA：=（At）t∈[0，T]是一个非负的FP适应过程，具有非减损路径，在（ω），ω∈ Ohm, 是所有t>0的上半解析。在不损失一般性的情况下，我们假设A=0。设S：=（St）t∈[0，T]是一个具有cádlág路径的m维FP自适应过程，它是所有P的（P，FP）-半鞅∈ P、 流程A和S分别代表（最终贴现的）累积支付流和（最终贴现的）市场上的可交易资产。我们用L（S，P）表示所有m维FP可预测过程的集合，这些过程对于所有P都是S可积的∈ P并确定以下一组可接受策略 :=(δ ∈ L（S，P）：（P）ZδdS是所有P的（P，FP+）-上鞅∈ P） 。定义3.5。A过程δ∈  如果存在v，则称为累积支付流A的鲁棒全局超边缘策略∈ R使得V+（P）ZτδudSu>AτP-A.s.对于所有P∈ P、 对于所有[0，T]-值F-停止时间τ。定义3.6。

设σ，τ为两个[0，T]值的F-停止时间，使得σ6τ。A过程δ∈  如果存在实值FPσ可测函数v使得v+（P）Zσ′σδudSu>aσ′，则称为随机区间[σ，τ]上累积流a的鲁棒局部超边缘策略- AσP-所有P的A.s∈ P、 对于所有[0，T]-值F-停止时间σ′，σ6σ′6τ。我们注意到，定义3.6与参考文献[18]、[36]和[37]中关于离散时间且无模型不确定性的超边缘战略的定义一致。此外，很明显，容许策略δ是鲁棒全局超边缘策略，当且仅当它是所有随机区间上的鲁棒局部超边缘策略[0，T]。同样，我们将全球和当地的超边际价格定义如下。定义3.7。我们称A的稳健全球超边际价格为πT∈ RsuchπT=inf{v∈ R:δ ∈  对于所有P，对于每个[0，T]值的F-停止时间τ，v+（P）ZτδudSu>AτP-A.s∈ P） 。（3.1）定义3.8。设σ，τ为两个[0，T]值的F-停止时间，使得σ6τ。我们称A在随机区间[σ，τ]区域值FPσ-可测函数πτσ上的鲁棒局部超边际价格，使得πτσ=ess infPv是FPσ-可测量：δ ∈  对于σ6σ′6τ的每个F-停止时间σ′，v+（P）Zσ′σδudSu>Aσ′- AσP-所有P的A.s∈ P） P-所有P的a.s∈ P、 （3.2）定义3.8同意如[18]、[36]和[37]中给出的在离散时间内无模型不确定性的超边际价格（或超边际溢价）定义。我们强调，稳健的本地超边缘价格仅在集合N上是唯一的∈ NP我们主要对以下两个问题感兴趣。1、显示定义3.7和定义3.8中定义的强劲的全球和当地超边际价格的存在，并确定其价值。2.

显示与稳健的全球和本地超边际价格相关的支付流的全球和本地超边际策略的存在。特别地，我们将最优超边缘策略称为鲁棒全局超边缘策略δ，对于所有[0，T]值的F-停止时间σ，σ′，τ和σ6σ′6τ，我们有πτσ+（P）Zσ′σδudSu>Aσ′- AσP-所有P的A.s∈ P、 第一个问题是定价问题。A稳健的全球（或相应的本地）超高价格可以被不同地解释为公司为了能够在未来支付而应该保留的最低金额，或者是产品应该销售的最低价格。第二个问题是套期保值问题。我们强调区分鲁棒全局和局部超边缘问题的重要性。显然，对于欧洲或有薪酬等单一薪酬的产品，只有全球问题才是相关的。然而，在一般支付流的情况下，投资者可能对特定时间间隔内的超边缘问题感兴趣。3.3支付流的稳健超边缘我们现在在标准设置中研究支付流的动态超边缘，我们使用第2.2节的符号。以下定理是中间步骤。定理3.9。假设2.2和3.1成立。设σ，τ为停止时间的两个[0，T]-值，σ6τ和A：=（At）T∈[0，T]是E（AT）<∞ . 如果存在FP自适应进程Y=（Yt）t∈[0，T]具有cádlág路径，因此对于所有T∈ [0，T]Yt=所有P的Et（Aτ）P-A.s∈ P、 对于每个P，我们有以下等价对偶∈ P： Eσ（Aτ）=ess infP（v是FPσ-可测量：δ ∈  使得所有P′的v+（P′）ZτσδudSu>AτP′-A.s∈ PP-a.s.（3.3）=ess infP（v是FPσ-可测量：δ ∈  使得v+（P′）ZτσδudSu>AτP′-A.s。

对于所有P′∈ P（σ；P）P-a.s.，（3.4）andEσ（aτ- Aσ）=ess infP（v是FPσ-可测量：δ ∈  使得v+（P′）ZτσδudSu>Aτ- AσP′-所有P′的A.s∈ PP-a.s.（3.5）=ess infP（v是FPσ-可测量：δ ∈  使得v+（P′）ZτσδudSu>Aτ- AσP′-A.s.适用于所有P∈ P（σ；P）P-a.s.（3.6）证明。该证明基于定理3.4，与[29]中的定理3.2和[6]中的定理3.4相似，但有微小的变化。更多详情，请参阅【46】。定理3.9将[6]中的定理3.4扩展到支付流的情况，并可被视为[29]中定理3.2的动态版本。它还包括[38]、[17]和[4]中的静态鲁棒超边缘对偶。我们注意到，定义3.7中定义的a的稳健全球超边际价格高于E（AT），定义3.8中定义的区间[σ，τ]上的a的稳健局部超边际价格高于Eσ（aτ- Aσ）。然而，在下文中，我们将看到平等是成立的。对于所有[0，T]值的F-停止时间σ，τ，使得σ6τ，我们定义以下集合：Cτσ：=（δ∈  : Eσ（Aτ）+（P）Zσ∑δudSu>AσP-A.s.对于所有[0，T]-值f停止时间σ，σ，使得σ6σ6σ6τ，对于所有P∈ P} 。如果σ，σ′，τ，τ′是[0，T]值的F-停止时间，使得σ6σ′6τ6τ′，那么定义T显然成立 Cτ′σ Cτσ Cτσ′。（3.7）以下定理解决了支付流的定价和套期保值问题。定理3.10。在与定理3.9相同的假设下，我们得到：1。集合CTI不为空；2、A的鲁棒全局超边缘价格由E（AT）给出，区间[σ，τ]上A的鲁棒局部超边缘价格由Eσ（Aτ）给出- Aσ）；3、达到（3.1）和（3.2）中的最大值，即存在最佳的超边缘策略。证据因为它认为eσ（Aτ）- Aσ：=es s supPP′∈P（σ；P）EP′[Aτ| Fσ]- Aσ=ess supPP′∈P（σ；P）EP′[Aτ- Aσ| Fσ]=Eσ（Aτ- Aσ）P-A.s。

对于所有P∈ P、 （3.8）每组Cτσ可等效表示为asCτσ=（δ∈  : Eσ（Aτ- Aσ）+（P）ZσσδudSu>Aσ- AσP-所有[0，T]的A.s值f停止时间σ，σ，使得σ6σ6σ6τ，对于所有P∈ P} 。因此，第2点和第3点与第1点以及二元论（3.3）、（3.5）和包含（3.7）一起出现。现在我们展示第一点。与[31]中定理3.9和定理2.3的证明类似，通过应用定理3.4，可以找到FP可预测过程δ∈ L（S，P），使得对于每个[0，T]值的F-停止时间σ，我们有eσ（AT）+（P）ZTσδudSu>所有P∈ P、 特别是，如果σ′是另一个[0，T]值的F-停止时间，使得σ6σ′，则对于所有P∈ P、 由于（P）RδdS是（P，FP+）-上鞅，通过在两侧应用条件期望，我们得到所有P∈ P、 我们注意到，由于A是非减量的，因此我们有EP[在| FPσ′+]- Aσ′=EP[在- Aσ′| FPσ′+]>0 P-所有P的A.s∈ P、 HenceEσ（AT）+（P）Zσ′σδudSu>Aσ′P-所有P∈ P、 这表明集合CTI不是空的。我们强调，在没有模型不确定性的情况下，定理3.9和定理3.10也可以在没有变化的情况下执行，即当我们有一个单一的先验P，这是简化形式框架中S.3.4鲁棒超边缘的西格玛（或局部）鞅测度时，鉴于第2.2节和第2.3节中的构造，我们现在可以将超对冲结果扩展到简化形式设置。与第3.3节类似，我们定义了过滤GP：=（GPt）t∈[0，T]byGPt：=G*t型∨ NPT，t∈ [0，T]，其中N▄pti是所有▄P的集合（▄P，GT）-null∈P.让▄A：=（▄At）t∈[0，T]是一个非负的GP适应过程，具有非减量路径，因此，对于所有T∈ [0，T]和▄A=0。

该流程是扩展市场上的代表性（最终贴现）累计支付流。我们将S设为一个具有cádláG路径的m维GP适应过程，这是所有P的a（P，GP）-半鞅∈P代表（最终贴现）扩大市场上的可交易资产。设▄L（S，▄P）是所有m维g▄P可预测过程的集合，这些过程对所有▄P都是S-可积的∈P.我们在扩展市场上定义了以下一套可接受的策略 :=(~δ ∈~L（S，~P）：（~P）Z▄δdS是所有▄P的一个（▄P，G▄P+）-上鞅∈§P），其中（§P）R▄δdS：=（§P）Rt▄δdS）t∈[0，T]是▄P下的us-ualit^ointegral。稳健的全球和本地超边际策略、稳健的全球和本地超边际价格以及具有0.6 s 6 t 6 t的机组，如第3.3节所述进行了相应定义。定理3.11和定理3.12类似于过滤的定理3.9和定理3.10。定理3。1 1. 假设2.2适用于概率族P，假设3.1适用于▄P和▄A：=（▄At）t∈[0，T]是一个累计付款流，具有▄Et（▄AT）∈L（~Ohm) 对于所有t∈ [0，T]。如果t∈ [0，T]并且存在一个GP自适应过程▄Y=（▄Ys）s∈[0，T]具有cádlág路径，因此对于s∈ [0，t]~Ys=~Es（~At）~P-所有▄P的a.s∈P，如果塔的属性适用于At，即适用于所有r，s∈ [0，t]带r 6 s，~Er（~At）=~Er（~Es（~At））~P-所有▄P的a.s∈~P，那么我们有以下所有~P的等价对偶∈~P和0 6 s 6 t 6 t：~Es（~At）=ess inf▄P{▄v是G▄Ps可测量的：~δ ∈~ 因此，对于所有▄P′，v+（▄P′）Zts▄δudSu>▄在▄P′-a.s.▄∈P}▄P-a.s.=ess inf▄P{▄v是G▄Ps可测量的：~δ ∈~ 因此，对于所有▄P′，v+（▄P′）Zts▄δudSu>▄在▄P′-a.s.▄∈P（s；▄P）}▄P-a.s.，和▄Es（▄At）-As）=ess inf▄P{▄v是G▄Ps可测量的：~δ ∈~ 因此，在-作为▄P′-所有▄P′的a.s∈P}▄P-a.s.=ess inf▄P{▄v是G▄Ps可测量的：~δ ∈~ 因此，在-作为▄P′-a.s。

对于所有▄P′∈~P（s；~P）}~P-a.s.证明。定理的证明与定理3.9相同。实际上，我们可以将定理3.4应用于可测空间Ohm 通过过滤，扩展到流程。定理3.12。在定理3.11中相同的假设下，对于0 6 s 6 t 6 t，我们有以下陈述。1、集合不为空。2、~A的鲁棒全局超边缘价格由▄E（▄AT）给出，区间[s，t]上▄A的鲁棒局部超边缘价格由▄Es（▄AT）给出-As）。3、存在最优的超磨边策略。证据该定理的证明方法与定理3.10中的证明方法相同。通过使用第2.4节中的结果，我们表明，对于所有主要信贷和保险现金流，超边缘问题都可以得到解决。正如我已经注意到的，伊恩。g、 [3]、[7]和[8]，我们记得这三种主要产品是支付流的特殊情况，通过设置▄At=1{▄τ>T}Y 1{T=T}，T∈ [0，T]，（3.9）~A=0，~At=1{0<τ6t}Zτ，T∈ [0，T]，（3.10）或▄A=0，▄At=1{0<▄τ6t}C▄τ+1{▄τ>T}Ct，T∈ [0，T]，（3.11）。提案3.13。在引理2.26、推论2.28和推论2.30的相同假设下，如果除此之外，族P是紧的，并且对于所有P，Y、Z和C在ωP-a.e中是有界和连续的∈ P、 然后是流程Et{τ>T}Yt型∈[0，T]，Et{0<Иτ6T}Zτt型∈[0，T]和EtZT（1- Hu）dCut型∈[0，T]是G*-适应并分别等于cádlág过程Y：=（Yt）t∈[0，T]~P-a.s.适用于所有~P∈P.证明。这三个过程显然是G*-根据定义进行调整。每t∈[0，T]，通过引理2.26，推论2.28和推论2.30，我们得到了▄Et{τ>T}Y= 1{τ>t}Et是的，是的-RTtuudu= 1{τ>t}eRtuuduEt是的，是的-RTuuduP-所有▄P的a.s.▄∈~P，~Et{0<Иτ6T}Zτ=Et{t<τ6T}Zτ+ 1{0<τ6t}Z▄τ=1{τ>t}EtZTtZue公司-Rutuvdvuudu+ 1{0<τ6t}Z▄τ=1{τ>t}eRtuvdvEt公司中兴通讯-Ruuvdvuudu-中兴通讯-Ruuvdvuudu+ 1{0<τ6t}Z▄τ▄P-a.s。

对于所有▄P∈~P和▄EtZT（1- Hu）dCu=EtZTt（1- Hu）dCu-Zt（1- Hu）dCu=1{τ>t}EtZTtCue公司-Rutuvdvuudu+CTe-RTtuudu-{0<τ6t}Cτ+1{τ>t}Ct= 1{τ>t}eRtuvdvEt公司ZTCue公司-Ruuvdvuudu+CTe-RTuudu-ZtCue公司-Ruuvdvuudu-{0<τ6t}Cτ+1{τ>t}CtP-所有▄P的a.s.▄∈P.在我们的假设下，命题2.6 s表明Et公司是的，是的-RTuudut型∈[0，T]，Et公司中兴通讯-Ruuvdvuudut型∈[0，T]和Et公司ZTCu公司-e-Ruuvdvuudu+CTe-RTuudut型∈[0，T]是cádlág，因此论文如下。因此，我们现在讨论如何确定表（3.9）、（3.10）和（3.11）中信贷或保险产品的超高价格和策略。推论3.14。在命题3.13和命题2.31的相同假设下，如果除满足假设3.1外，定理3.11和定理3.12适用于形式（3.9）、（3.10）和（3.11）的信贷或保险产品。证据它直接源自命题2.31、命题3.13、定理3.11和定理3.12。致谢作者感谢山东大学彭士革（Shige Peng）进行了有价值的讨论并参考了该论文【45】。塔属性的计数在本节中，我们提供了一个反例，以表明第2.3节构造的（￠P，G）-条件期望通常不适用于经典塔属性。允许Ohm = C（R+，Rd），并将例如[34]中定义的G-条件定义为（P，F）-条件期望。由于G-条件期望仅为次线性，因此存在t>0和充分正则函数X，YOhm 使得所有P的P（A）>0的ona可测集A∈ P、 对于所有ω，以下严格不等式保持集（X）（ω）+Et（Y）（ω）>Et（X+Y）（ω）∈ A、 （A.1）然后存在s<t的s，因此对于所有P∈ A上的P。

（A.2）确实，如果存在可测量的子集B A，所有P的P（B）>0∈ P、 这样，对于所有的s<t，我们有（Et（X）+Et（Y））=Es（Et（X+Y））P-所有P∈ B上的P，然后取s的极限↑ t、 对于所有P，我们得到Et（Et（X）+Et（Y））=Et（Et（X+Y））P-a.s∈ P在B上，因为在G-条件期望的情况下，算子eti在t上是连续的，参见例如[40]和[44]。通过（2.6），上述等式等于所有P的T（X）+Et（Y）=Et（X+Y）P-a.s∈ B上的P，这与（A.1）相矛盾。现在我们取r，l，其中s<r 6 t 6 l，定义X：=Xe-Γs- e-Γr，(R)Y：=耶-Γl.不等式（A.2）因此等于以下等式（e）-Γs- e-Γr）Et（(R)X）+Et（e-（年）> 锿Et（（e-Γs- e-Γr）(R)X+e-（年）P-所有P的a.s∈ P在A.（A.3）上，如果我们设置▄X：=1{▄τ6r}▄X+1{▄τ>l}▄Y，则ic类塔属性不适用于▄X，因为定理2.22中的（2.28）成为了A B上的一个严格不等式。在本节中，我们陈述了一些其他保证（▄P，▄G）-条件期望的塔属性的有效条件。我们注意到，这些条件不包括提案2.31中的情况。以下有用的理论称为Yan的可交换性定理，可以在[45]和[32]的定理a3中找到。定理B.1。让(Ohm, F、 P）是任意概率空间，H是L的子集(Ohm, F、 P）使supξ∈HEP[ξ]<+∞. 以下陈述是等效的。1、对于所有ε>0和ξ，ξ∈ H、 存在ξ∈ H使得EP[（ξ∨ ξ- ξ)+] 6 ε.2、EP[ess SUPξ∈Hξ]=supξ∈HEP[ξ]。对于F的任何子σ-代数J，我们有ep“ess supPξ∈HξJ#=ess SUPξ∈HEP[ξ| J]。提案B.2。在定理2.22或推论2.23的相同假设下，塔的特性适用于（~P，~G）-条件期望，即▄Es（▄Et（▄X））=▄Es（▄X）▄P-a.s.▄对于所有▄P∈若满足以下条件之一，则P，（B.1）0 6 s 6 t。X不依赖于^ω∈^Ohm;2.

Et（1{τ>s}X）是B（^）Ohm)-所有P的可测量和Et（E^P[1{τ>s} X]=E^P[Et（1{τ>s} X）]P-a.s∈ P和所有0 6 s 6 t；3、对于所有P∈ P、 P-a.e.ω，0 6 s 6 t，ε>0和P，P∈ P、 有一个P∈ Psuch如果Y：=1{τ>s}X，函数ξi（ω）=ZOhmY（ωtω′，^ω）dPi（ω′），i=1，2，3，带ω（2.3）中定义的tω′为B（^Ohm)-可测andE^P[（ξ∨ ξ- ξ） +]6εP-a.s.证明。条件1微不足道。事实上，根据备注2.19的第1点，在这种情况下（▄P，▄G）-条件期望降低为满足塔楼性能的（P，▄F）-条件期望。如果满足条件2，根据定理2.22的证明，有必要检查（2.27）和（2.28）是否相等。我们已经确定了E^P[Et（1{s<τ6t}X）]+Et（E^P[1{τ>t}X]）=eΓsEs公司E^P[1{s<τ6t}Et（~X）]+E^P[1{τ>t}Et（~X）]=eΓsEs公司E^P[1{s<τ6t}Et（~X）+1{τ>t}Et（~X）]=eΓsEs公司E^P[1{τ>s}Et（~X）]=所有P∈ P、 通过使用Yan的可换性定理B.1中语句1和2之间的等价性，条件3等价于条件2。参考文献【1】B.Acciaio和M.Larsson。知情投资者的半静态完整性和稳健定价。《应用概率年鉴》，27（4）：2270–23042017。[2] A.Aksamit、Z.Hou和J.OblóJ.定价和对冲中量化信息价值的稳健框架。预印本，arXiv:1605.025392016。[3] J.Barbarin。具有退保期权的人寿保险合同风险最小化策略，2007年。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=1334580or http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.1334580.[4] E.Bayraktar、Y.-J.Huang和Z.Zhou。模型不确定性下的美式期权套期保值。暹罗金融数学杂志，6（1）：425–4472015。[5] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve。随机最优控制。离散时间案件。学术出版社，纽约，1978年。[6] F.Biagini和J.Mancin。

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