回想一下ui=Si/σ，我们可以重写（4.1）asdSit=1+α∑tdt+qSit∑tdWit。（B.1）根据【5，定理1.2和推论1.3】（另请参见【18，第4节，5】），该方程组有一个由Rd++支持的弱解，这在概率定律意义上是唯一的。等价地说，这意味着相关的鞅问题是适定的。因此（S，…，Sd）是一个It^o-半鞅，它是马尔可夫的，而后者由于鞅问题解的唯一性，遵循了[13，定理4.4.2]。此外，从（B.1）中我们可以看到，位移和微分矩阵是S分量中的线性和二次函数。因此，这就简化了多项式性质和（4.3）中所述的微分特征的for m。关于（ii），请注意，∑的不同特征由（b∑，c∑，K∑）给出=d1+α∑，∑，0,这意味着∑可以在（4.4）中表示为s。命题4.3的证明。为了计算（u，…，ud）的不同特征，我们将[34，命题2.5]应用于C函数f：Rd+1，这只是It^o\'s公式的一个推论++→d、 fi（S，…，Sd，∑）=Si/σ=ui，i∈{1，…，d}。用随机投资组合理论中的Sd+1和▄S表示∑：=（S，…，Sd+1）及其微分多项式过程21相应的特征，即。

b∑=bSd+1etc。，我们从命题4.1和[34，命题2.5]中获得漂移bubui=定义（~S）bSi+Dd+1fi（~S）bSd+1的以下形式+Diifi（S）cSii+2Di（d+1）fi（S）cSi（d+1）+d（d+1）（d+1）fi（S）cS（d+1）（d+1）=Sd+11+αSd+1-Si（Sd+1）d（1+α）Sd+1+-2（Sd+1）Sd+1Si+2Si（Sd+1）（Sd+1）|{z}=0=1+α- uid（1+α），对于扩散部分，cucuii=（定义（~S））cSii+2Difi（~S）Dd+1fi（~S）cSi（d+1）+（Dd+1fi（~S））cS（d+1）（d+1）=（Sd+1）Sd+1Si- 2Sd+1Si（Sd+1）Sd+1Si+（Si）（Sd+1）（Sd+1）=ui- 2（ui）+（ui）=ui（1- ui），cuij=定义（S）Dd+1fj（S）cSi（d+1）+Dd+1fi（S）Djfj（S）cSj（d+1）+Dd+1fi（S）Dd+1fj（S）cS（d+1）（d+1）=-（Sd+1）Sj（Sd+1）（SiSd+1）-（Sd+1）Si（Sd+1）（SjSd+1）+Si（Sd+1）Sj（Sd+1）（Sd+1）=-uiuj，i 6=j。此处注意，t cSi（d+1）=SiSd+1。这已经产生了（4.7）中差异特征的形式。注意到（4.6）给出的雅可比过程的不同特征是相同的，并且与相关鞅问题具有唯一解（参见[9，引理6.1]），我们得出结论，（u，…，ud）定义通过ui=Si/∑对应于该解。由于（S，…，Sd）取Rd++中的值，因此（u，…，ud）的状态空间显然是d、 此外，由于Sis马尔可夫关于（Ft），这也是u的情况。由于Markovproperty是通过传递给u所适应的较粗过滤来保存的，在我们的案例中，其自然过滤（Gt），我们可以得出（u，…，ud）相对于（Gt）的多项式性质。命题4.6的证明。注意，鉴于命题4.1和4.3，我们只需证明S和u之间的瞬时协方差是状态变量中的四次多项式。为了计算这一点，我们按照命题4.3的顶部进行。设f:Rd+1++→d×Rd+1++，fi（S，…，Sd，∑）=Si/σ=ui，fd+i（S，…，Sd，∑）=Sifor i∈ {1，…，d}和f2d+1=∑。

用Sd+1表示∑，并相应地表示其不同特征，并写下∑S：=（S，…，Sd+1），we22 CHRISTA CUCHIEROhavecu，Sij=定义（S）Djfd+j（▄S）cSij+Dd+1fi（▄S）Djfd+j（▄S）c▄Sj（d+1）=Sd+1cSij-Si（Sd+1）SjSd+1=（Si- uIsif i=j-uiSj=-ujSiif i 6=j。类似地，我们有cu，∑i=cu，Sd+1i=定义（S）Dd+1f2d+1（S）cSi（d+1）+Dd+1fi（S）Dd+1f2d+1（S）cS（d+1）=Sd+1ISD+1-Si（Sd+1）（Sd+1）=0。这与命题4.1和4.3中给出的动力学形式一起，意味着u和∑的独立性。B、 2。第4.2节的证明。定理4.10的证明。我们证明了（i）和（ii）的等价性，证明了这两个条件都意味着（iii）。让我们从证明（i）开始=> （iii）。通过对多项式市场权重模型的定义，u是一个多项式过程。因此，通过命题4.19取m=0（另见[24，命题6.6]），u的特征形式立即出现。此外，由于（u，S）是多项式，∑的微分特性必然满足fyb∑=κ+dXk=1λkSk+dXk=1ηkuk，c∑=α+dXk=1φkSk+dXk=1ψkuk+Xk，lζklSkSl+Xk，lθkl klukSl+Xk，lξkl kul，c∑，ui=ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+Xk，lciklsl+Xk，lDiklukSl+Xk，lEiklukul，对于某些参数κ，α，ai∈ R、 λ，η，φ，ψ，Ai，Bi∈ Rdandζ、θ、ξ、Ci、Di、Ei∈Rd×d。我们在这里假设w没有失去一般性，η，ψ，Bi，以及θ，Di，ξ，（ξ）的列, Ei，（Ei）对于某些常数k 6=0，不等于k1，因为线性部分和常数部分将是多余的。现在让我们计算S的微分特征。对于漂移，我们有bsi=∑bui+uib∑+c∑，ui=βui∑+dXk=1BuikSk+κui+ui（dXk=1λkSk+dXk=1ηkuk）+c∑，ui。随机投资组合理论23中的多项式过程由于二次项必须消失，我们得到以下关系，对于所有i，k，l∈ {1。

，d}Cikl=0Diii+λi=c，Diik+Diki+λk=c，k 6=i，Dikl=0 k 6=i和l 6=i，Eiii+ηi=e，Eiik+Eiki+ηk=e，k 6=i，Eikl=0 k 6=i和l 6=i，对于某些常数c和e。因此，bSi=βui∑+dXk=1BuikSk i+κi+ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+cSi+eui，（B.2 c∑，ui=ai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！。（B.3）对于瞬时方差，我们得到Csii=（ui）c∑+2ui∑c∑，ui+σcuii=（ui）α+dXk=1φkSk+dXk=1ψkuk+Xk，lζklSkSl+Xk，lθklukSl+Xk，lξklukul+ 2Siai+dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk+Xk6=iγuikSiSk。为了获得deg-ree 2的多项式，需要满足以下条件：ζkl=ζ+2λk，θkl=φ-φl+2ηk，ξkl=ξ- ψk，（B.4）对于所有l，k∈ {1，…，d}。这里，ζ，φ，ξ表示一些常数。在c∑yieldsc∑=α+ξ+φ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk+2∑dXk=1ηkuk的表达式中插入（B.4）。将c∑视为（u，S，∑）的函数，只要（S，∑）=0，它就必须消失，因为∑是一个严格的正过程。这意味着α+ξ=0。由于（u，∑）的瞬时协方差矩阵必须为正半定义，且cu和c∑均不包含常数项，因此所有i∈ {1，…，d}。

因此，综合起来，我们得到Csii=（φ+2e）uiSi+（ζ+2c）（Si）+2Si（dXk=1AikSk+dXk=1Bikuk）+Xk6=iγuikSiSk。（B.5）24 CHRISTA Cuchierof对于瞬时c卵巢，我们有CsIj=uiujc∑+ui∑c∑，uj+uj∑c∑，ui+uij=uiuj（φ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk+2∑dXk=1ηkuk k）+SidXk=1AjkSk+dXk=1Bjkuk+jdXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！+SjdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！- γuijsij=φSiuj+ζSiSj+SidXk=1AjkSk+dXk=1Bjkuk+cSj+euj！+SjdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+cSi+eui！- γuijsij。（B.6）最后，我们计算u和Scu之间的瞬时协方差，Sii=uic∑，ui+σcuii=uidXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！+SiXj6=iγuijuj.cu，Sij=ujc∑，ui+σcuij=ujdXk=1AikSk+dXk=1Bikuk+uidXk=1（c- λk）Sk+dXk=1（e- ηk）uk！！- γuijSiuj.（B.7）为了获得e 2阶多项式，我们必须对所有k，λk≡ λ，其中λ表示现在（通过稍微滥用符号）某个常数。类似地，对于so me k，η=k1，但对于k 6=0，η6=k1表示η=0。这与α+ξ=0 yieldsc∑=φ∑+（ζ+2λ）∑b∑=κ+λ∑一起。（B.8）为了遵守∑=Pdi=1Si的条件，我们需要验证B∑=Pdi=1bsia和c∑=Pi，jcSij。该le符合以下条件SaiI=λ- c、 Aik=0，i 6=k，Bii=-e、 Bik=0，i 6=k，表示由于（B.3）c∑，ui=0。（B.9）随机投资组合理论中的多项式过程25因此，我们从（u，∑）的特征形式中可以看出，这是一个多项式过程d×R+。尤其是，（B.9）符合提案4.19。此外，从命题4.19可以看出，κ、φ和ζ+2λ必须是非负的。由于∑是严格正的，引理B.1进一步暗示了条件2κ- φ≥ 为了获得特征的最终形式，我们现在在方程式（B.2）、（B.5）、（B.6）和（B.7）中插入所有这些限制。

（B.8）和（B.9）给出了∑的维持特性，c∑是直接计算的结果。观察到涉及ζ的唯一表达式是ζ+2λ，因此我们可以替换ζ+2λ≥ 0通过某个参数σ≥ 然后，这将使第（iii）节中的特征形式具有相应的可容许参数。为了证明（i）=> （ii）只需证明u和∑的独立性。在这方面，请注意，与u和∑的特征相关的备注3.5意义上的鞅问题（参见[9，引理6.1]，[5，Co-rollary1.3]或命题4.21）是适定的。因此，该解对应于dut=butdt+qcutdBt的aweak解，d∑t=（κ+λ∑t）dt+pφ∑t+σ∑tdZt，其中b是d维标准布朗运动，Z是一维的，与b无关。当u和∑完全解耦时，独立性随之而来。现在让我们转向相反的方向（ii）=> （i） 首先证明（ii）意味着（iii）。观察容许单纯形参数集和参数κ，φ的存在性∈ R+带2κ+φ≥ 0，λ，σ∈ R确定u和∑的特征形式紧随4.19和LemmaB的建议。在这方面，请注意u和∑的独立性意味着b othb∑和c∑不依赖于u。然后，可以使用Si=ui∑的fac t，通过It^o的乘积规则轻松计算剩余特性。

这就产生了（iii）中所述的表达式，这意味着联合过程（u，S）是多项式。这一点，再加上u在其自身的过滤中显然是一个多项式过程，可以得出结论，（u，S）是一个具有连续轨迹的多项式市场权重和总价格模型，因此（i）。该定理的最后一个陈述再次源自这样一个事实，即只要所涉及的参数满足所述的可容许性条件，则与（iii）中给出的u和∑特征相对应的鞅问题是适定的。多项式市场权重和资产价格模型的存在性可以在方向证明（ii）中得出=> （i） 。在上述证明中，需要下列引理来刻画一维多项式过程的严格正性。引理B.1。设∑是R+上的多项式微分过程，其中∑>0，b∑t=κ+λ∑，c∑t=φ∑t+σ∑twhereκ，φ≥ 0和λ，σ∈ R、 那么以下断言是等价的：（i）对于所有t>0，∑t>0 P-a.s.（ii）2κ-φ≥ 0.26克丽斯塔CUCHIEROProof。证明（二）=>（i） 我们将McKean的论点（参见[39，命题4.3]）应用于对数（∑）。然后通过It^o公式，我们得到t<τ：=inf{s≥ 0∑s=0}对数（∑t）=对数（∑）+Zt2κ- φ2∑s+λ-σds+Ztpφ∑s+σ∑s∑sdWs，其中W表示某种一维布朗运动。由于漂移中的第一项为非负项，第二项为常数，我们推断，对于每一个T>0输入∈[0，τ∧T） Zt公司2κ- φ2∑s+λ-σds>-∞, 因此，P-a.s.Mc Kean的论点（如[39，命题4.3]）得出τ=∞这就意味着断言。对于相反方向，我们应用[24，定理5.7（iii）]，并假设（ii）不成立，即2κ- φ<0。在[24，定理5.7（iii）]的术语中，我们有p（x）=x，(R)x=0，h（x）=φ+σx。

自Gp（(R)x）=Gp（0）=κ≥ 0和2Gp（(R)x）- h（\'x）p′（\'x）=2κ-φ<0，[24，定理5.7（iii）]因此意味着，在T上的任何时间水平，我们都可以找到一些∑>0接近0，从而以正概率命中0。这与（i）相矛盾，并证明了该断言。命题4.14的证明。让我们从证明（i）开始=> （二）。由于u被认为是一个多项式过程，因此（iii）中所述u的特征形式与命题n 4.19中的定理4.10类似。此外，由于S也被假定为多项式，∑的微分特征必然满足b∑=κ+dXk=1λkSk，c∑=α+dXk=1φkSk+Xk，lζklSkSl，对于某些参数Sκ，α∈ R、 λ，φ∈ Rd和ζ∈ Rd×d。使用这些表达式和u的特性，我们现在计算i的Si=ui∑的微分特性∈ {1，…，d}。对于漂移，我们有bsi=∑bui+uib∑+c∑，ui=βui∑+dXk=1BuikSk+κui+ui（dXk=1λkSk）+c∑，ui。为了在S的组分中获得一个有效的函数，c∑，u必须符合以下公式c∑，ui=ai- κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk。（B.10）随机投资组合理论中的多项式过程27因此，bSi=βui∑+dXk=1BuikSk+ai+dXk=1AikSk+cSi。（B.11）对于瞬时方差，我们有Csii=（ui）c∑+2ui∑c∑，ui+σcuii=（ui）（α+dXk=1φkSk+Xk，lζklSkSl）+2Siai- κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk+Xk6=iγuikSiSk。为了获得不依赖于u的二次多项式，对于所有l，k，必须满足以下条件α=0ζkl=ζ+2λk，φk=2κ∈ {1，…，d}。这里，稍微用一点符号ζ表示某个常数。将这些限制插入到c∑中会产生c∑=2κ∑+ζ∑+2∑Pdk=1λkSk。

由于（u，∑）的瞬时协方差矩阵必须为正半定义，且cu和c∑均不包含常数项，因此对于所有i∈ 1.d英寸（B.10）。然后我们得到csii=（ζ+2c）（Si）+2SidXk=1AikSk+Xk6=iγuikSiSk（B.12），瞬时协方差cSijcSij=uiujc∑+ui∑c∑，uj+uj∑c∑，ui+uij=uiuj（2κ∑+ζ∑+2∑dXk=1λkSk）+Si-κuj+dXk=1AjkSk+ujdXk=1（c- λk）Sk！+Sj公司-κui+dXk=1AikSk+uidXk=1（c- λk）Sk！- γuijsij=（ζ+2c）SiSj+SidXk=1AjkSk！+SjdXk=1AikSk！- γuijsij。（B.13）28 CHRISTA CUCHIEROTo保证∑=Pdi=1我们需要实现B∑=Pdi=1和c∑=Pi，jcSij。因此，有必要施加κ=0和ii=λi- c、 Aik=0，i 6=k，因此我们最终从（B.11）、（B.12）、（B.13）中获得（ii）中所述特征的形式。请注意，位置4.19中规定的S特征中的矩阵α由ζ11给出+ ∧-γu，其中∧ij=λi+λjand 1表示所有条目均等于1的向量。因此，根据命题4.19，我们要求ζ11+∧-γu+诊断（γus）诊断（s）-1每s为正半定义∈ Rd++。作为γuij≥ 0表示所有i 6=j，Diag（γus）Diag（s）-1=诊断sXj6=1γu1jsj，sdXj6=1γudjsj为正定义。通过相应地选择j 6=i的SJ，可以使每个组件SiPj6=iγuiJSJ任意变小。然后得出ζ11+∧-γu为正酰胺，ζ+2λi≥ 当评估（ii）时，所有i均为0。相反，假设（ii）。那么S的物理性质就很清楚了。此外，（u，∑）的特性可以很容易地计算出来，如（iii）所述。由此我们可以看出，u是关于（Ft）的马尔可夫It^o半鞅，而thusalso是关于其自然过滤的。因此，我们可以得出u的多项式性质，从而得出（i）。（iii）中所述特征的形式由（i）和（ii）通过简单计算得出。推论4.16的证明。这是定理4.10的简单序列。

事实上，一方面条件（i）意味着κ=φ=0，因此我们从定理4.10中的（ii）中推断，∑简化为Black-Scholes模型。另一方面，条件（ii）也明确表示κ=φ=0。根据定理4.1 0第（iii）项中所述S的特征形式，我们推断S是关于其自身过滤的多项式。B、 2.1。第4.2.1节的证明。4.17的证明。通过u和∑的独立性，Si=ui∑的特性和（u，S）关于截断函数χ（ξ）=ξ的联合特性如下bsi=∑bui+uib∑+Zξuiξ∑K（u，∑，dξu，dξ∑），cSij=∑cuij+uiujc∑，cu，Sij=∑cuij，K（u，S）（G）=ZGξu，ξud，ξ∑+ξ∑+ξ∑，udξ∑+ξud+ξudξ∑K（u，σ，dξu，dξ∑），其中A Rd+m，K（u，∑，A）=K（u，{ξu：（ξu，0）∈ A} ）+K（∑，{ξ∑：（0，ξ∑）∈A} ）由于u和∑的独立性。这尤其意味着u和∑不能跳到一起，并且bSi表达式中的跳项消失s。因此，bSi=∑bui+uib∑，因此，由于u和∑的独立性以及命题4.19中所述参数的形式，bSi是随机投资组合理论29（u，s）中多项式过程分量中的degr ee 1多项式。同样，我们根据（4.8）得出，cSij+Z（uiξ∑+∑ξui+ξuiξ∑）（ujξ∑+∑ξuj+ξujξ∑）K（u，σ，dξu，dξ∑）=cSij+Z（ujξ∑+ξuj+ξujξξ∑+ξjξξ∑）ξiK（u，dξ，dξ∑））=cu，Sij+Z∑ξuiξujK（u，dξu）是（u，S）分量中的二次多项式。最后，对于k=（k，…，k2d）Z（ξu）k···（ξud）kd（uξ∑+ξu+ξuξ∑）kd+1··（udξ∑+ξud+ξudξ∑）k2dK（u，∑，dξu，dξ∑）=Z（ξ）k+kd+1··（ξd）kd+k2d∑Pdi=1kd+iK（u，dξu1{（k，…，kd）=0}Z kd+1····uk2dd（ξ∑）Pdi=1kd+iK（ξ∑，dξ∑）位于P | k|(d×Rd+，即它们是（u，S）分量中的| k |次多项式。

这表明了（u，S）的多项式性质，因为定义3.1的矩条件为u和∑，假设满足它。B、 2.2。命题4.19的证明。为了证明命题4.19，我们从以下辅助引理开始，它们将[9，引理E.1，E.3]的断言转化为当前状态空间D=d×Rm+表示d≥ 引理B.2。考虑一个多项式p∈ 请注意。（i） 如果p消失d×Rm+∩ {xi=0}对于某些i∈ {1，…，d+m}，可以写为asp（x）=xipin-1，对于某些pin-1.∈ Pn编号-1.（B.14）（ii）如果p在d×Rm+∩（{xi=0}∪{xj=0}）对于某些i，j∈ {1，…，d+m}，它可以写成asp（x）=xixjpijn-2，对于一些pijn-2.∈ Pn编号-2.（B.15）证明。请注意，在状态空间上d×Rm+每多项式p∈ pn可以写成asp（x）=x | n |=npnxn，表示实际系数（pn）| n |=n。实际上，这可以通过乘以Pdi=1xi=1的幂来实现。假设p值等于d×Rm+∩{xi=0}转换为0=p（x）=x | n |=n，ni=0pnxn，这意味着所有多指数n的pn=0，使得| n |=n和ni=0。Wethus认为p满足（B.14）。同样，对于第二个断言30 CHRISTA CUCHIERO（ii），对于所有多指数n，pn=0，因此| n |=n，ni=0或nj=0。因此（B.15）是正确的。对于随后的lemma的公式，重新调用符号I={1，…，d}和J={d+1，…，d+m}。此外，对于矩阵c∈ Sd+mwe为包含前d列和行以及类似cJJ的矩阵编写CI。类似地，xind xjs分别表示由第一个d和最后一个m元素组成的向量x。引理B.3。以下断言是等价的：（i）矩阵c（x）∈ Sd+msatis fies c（x）ej=0开d×Rm+∩ {xj=0}对于所有j∈ 我∪ J、 cII1=0开d×Rm+和cij∈ P对于所有i，j∈ 我∪ J、 （ii）矩阵c满足命题4.19（i）中规定的条件。证据

我们从证明（i）开始=> （ii）通过应用[9，LemmaE.3]和[24，命题6.4]中的类似论点。因为c（x）ej=0开d×Rm+∩ {xj=0}表示CIJ=0开d×Rm+∩{xj=0}因此，通过对称性cij=0d×Rm+∩（{xi=0}∪{xj=0}）。引理B.2（ii）与cij∈ Pthus产量cij（x）=-γijxixj对于所有i 6=j和一些γij∈ R、 此外，当cII1=0时d×Rm+，我们还有thattcii（x）=-Xj6=i，j∈Icij（x）=Xj6=i，j∈Iγijxixj，I∈ Ifor all x∈ d×Rm+。自cii以来≥ 0和γij可以写为γij=4cii（ei+ej），因此γij∈ R+表示i，j∈ 我和CIII的形式证明了。现在让我们考虑一下cjjfor j∈ J、 通过B.2（i），我们得到了cjj（x）=xjpj和一些函数pj，这已经得到了cjj（x）=αjjxj+xj（φJ+θ）的形式（j） xI+π（j） xJ）带αjj∈ R、 θ（j）∈ Rd，π（j）∈ π（j）j=0时的rm。C（x）的正半不确定性要求cjj（x）≥ 0表示所有x开启d×Rm+。这直接产生π（j）∈ Rm+。此外，通过为k设置xk=0∈ 使xjsu非常小，我们可以看到φJ+θ（j） xI≥ 所有xI都需要0∈ d、 力φj≥ maxi公司∈Iθ-（j） 一、最后，让我们∈ 柱θ（j）和∏的Rd×mconsist∈ Rm×mof柱π（j）。此外，让α∈ Sm含元素αij=-γi+d，j+d，i，j∈ {1，…，m}。Wethen haves公司-2cJJ（xI，sxJ）=Diag（xJ）αDiag（xJ）+Diag（xJ）Diag（s-1（φ+Θ）xI）+∏xJ）。让s→ ∞, 我们看到α+Diag（πxJ）诊断（xJ）-1.∈ Sm+适用于所有xJ∈ Rm++，引领cJJ的形成。对于i，仍需证明γij=0∈ I和j∈ J、 C的正半不确定性意味着CII（x）cjj（x）≥ cij（x）。（B.16）现在取xi=s和xk=1-sd-1对于I k 6=i。然后（B.16）读取ascii（x）cjj（x）=s（1- s） d- 1.Xk6=i，k∈Iγik（γjjxj+xj（φj+θ（j） xI+π（j） xJ））≥ γijsxj。对于接近1的s，le-ft手侧c可以任意变小，以便在γij6=0时不满足其质量要求。

这证明了第一个方向。随机投资组合理论中的多项式过程（Ⅱ）=> （i） ，唯一不明显的情况是cII的正中间不确定性。然而，这与[24，命题6.6]的证明完全一致。我们现在准备证明第4.19条的建议。证据我们首先证明关于必要参数条件的第一个断言。作为定义3.1意义上的多项式过程，意味着相应鞅问题在Remark3.5意义上的适定性。因此，我们可以引用[24，定理5.1]。在本文中，我们定义了以下多项式集P：={xi | i=1，…d+m}和以下多项式lq（x）：=1-Pdj=1xjsod×Rm+={x∈ Rd+m | p（x）≥ 0，p∈ P}∩ M、 其中M={x∈ Rd+m | q（x）=0}。[2 4，定理5.1]中所述的c（x）上的条件，是正极大值原理的结果，Thutranslate到（i）c（x）ej=0d×Rm+∩ {xj=0}对于所有j∈ 我∪ J、 （ii）cII1=0开d×Rm+。这与多项式性质一起给出了引理B.3（i）的条件，进而给出了命题4.19（i）中所述的瞬时协方差矩阵的形式。关于第（ii）部分，我们得到了一些β的多项式性质b（x）=β+Bx∈ Rd+命令B∈ R（d+m）×（d+m）。现在，让我们考虑[24，定理5.1]中涉及漂移部分的条件。为此，用G表示扩展的微型生成器，与Remark3.5Gf（x）=d+mXi=1Dif（x）bi（x）+d+mXi，j=1Dijf（x）cij（x）中引入的多项式过程相适应。条件Gq=0开启因此，[24，定理5.1]的d×Rm+产生βI1+xB（1，0）= 0开d×Rm+。因此，它可以写为βI1+xB（1，0）= κ（1-对于某些常数κ，dXj=1xj）=0。这表明BIJ=0，bI（x）不能依赖于xj。此外，我们还有βI1=κ和BII1=-κ1=-（βI1）1。

此外，[24，定理5.1]的第二个条件，即Gp≥ 0开d×Rm+∩ {p=0}对于所有p（x）=xi，i∈ I产生βI+Xk6=I，k∈IBijxk≥ 0通过插入ej，我们得到 j 6=i，thatβi+Bij≥ 0 For i，j∈ 一、 I 6=j。最后，对于所有p（x）=xj和j∈ J、 状况总成≥ 0开d×Rm+∩ {p=0}也必须满足。因此，我们可以设置xJ=0，以确定βJ+BJIxIhas在Rm+中表示所有xI∈ d、 因此βj≥ maxi公司∈IB公司-ji。此外，对于某些固定j，将xj设置为0∈ J和让xk→ ∞, 对于J k 6=j力Bjk≥ 这就完成了（ii）的预防。32 CHRISTA CUCHIEROProof提案4.21。注意，分量的鞅问题Dc可以单独考虑，因为漂移和协方差都不依赖于Rm+中的因子。这种情况下的适定性如下，例如from[9，引理6.1]。将这一点与[5，推论1.3]的陈述相结合，得出了这个结论。附录C.第5节的证明让我们在随后的证明中引入以下符号nee de d：符号C.1。对于容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu），让cu：d→ Sd+和bu：d→ Rdbe由bui=βui+dXj=1Buijuj，cuii=Xj6=iγuijuiuj，cuij=γuijuiuj，i 6=j给出。请注意，我们在此处（以及之前）将cu和bu视为danduistands表示向量的ithcomponent ind、 后者也将用于后续证明中，从上下文中应该清楚，u是否代表市场权重的过程，或者更确切地说是d、 在插入上述函数时，我们写入bu和cut。我们用ecu表示删除了数据箭头和列的矩阵cu，用EBu表示删除了数据的向量bu。定理5.1的证明。我们开始证明（ii）=> （i） 。让我们首先证明不存在等价的度量Q~ P，其中u是马丁酒。自相矛盾地假设这样一个鞅测度Q存在。

通过引理5.6，该inturn意味着每个边界段{uk=0}，k∈ {1，…，d}，以正Q概率实现。但由于命题5.7，条件5.1相当于P下未达到边界段{ui=0}。因此，P和qc不能等价，根据资产定价的基本定理（见[10]），（NFLVR）不能满足。我们现在证明（NUPB R）满足。事实上，引理C.6存在一些函数eλ，使得e上的ebu=ecueλ（u）：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈ J} 式中，J表示一组指数J，其中buJ=0，在{uJ=0}上具有ebu，ecu定义于C.1中。由于u取5.7中证明的值inE，λ（ut）对所有t都有意义∈ [0，T]表示满足所谓的弱结构条件（见[30，第3章]）。Moreoverteλ（ut）ecuteλ（ut）dt是P-a.s.定义。事实上，如引理C.6的证明所示，eλ（ut）ecuteλ（ut）由λ给出（ut）ecuteλ（ut）=（ebut）（ecut）+ebut.（C.1）通过引理C.9，我们得到了ecu- γ*eau为正半定义，其中γ*= mini6=jγuij和eau在引理C.7中定义。此外，如引理C.9所述，矩阵ecu和eau的秩始终相同。

根据[45，推论2]，1/γ*（eaut）+-（ecut）+因此是积极的半确定性，我们可以估计（ebut）（ecut）+ebut≤γ*（ebut）随机投资组合理论中的（eaut）+ebut.（C.2）多项式过程33As onD存在eau（以及ecu）的逆矩阵，我们通过引理C.7和tPd-1=1ebuj=-bud（因为漂移分量bu的总和必须为0），γ*（ebut）（eaut）-1ebut=γ*dXi=1（but，i）uitond、 引理B。2（i），我们知道∈ J、 对于某些常数κJ，buJ=κJujj。因此γ*（ebut）（eaut）-1ebut=γ*Xj公司∈JκJujt+Xj/∈J（but，J）ujt在上d、 将其扩展到E，得到与（eaut）相同的等式-1用（eaut）+和（C.2）和（C.1）代替，我们得到λ（ut）ecuteλ（ut）≤γ*Xj公司∈JκJujt+Xj/∈J（but，J）ujt.由于u取E中的值，因此我们可以得出RTEλ（ut）ecuteλ（ut）dt是分类的P-a.s.定义。因此，所谓的结构条件（参见[30，第3章]）成立，[30，定理3.4]因此意味着（NUPB R）适用于过程eu，进而也适用于u。As（NFLVR）<=> （NUPBR）+（NA）（参见[10]），由于（NFLVR）不成立，因此这意味着必然存在相对套利。此外，由于模型是完整的，因此它们很强。根据命题5.4 a和相对套利的存在，P-a.s.Payoffy=1可以在初始资本严格小于1的情况下复制，由E[ZT]<1给出，其中Z是命题5.4（i）中唯一的严格正鞅。关于另一个方向。假设存在较强的相对套利机会。让我们证明，一定存在∈ {1，…，d}，使得对于{ui=0}中的so元素，bui>0。实际上，对于所有i，在{ui=0}上bui=0。根据Le mma B.2（i），这意味着Bui=κiui，因为索引集J={1，…，d}，上述集合为d

现在考虑进程mt：=-中兴通讯λ（us）pecusdWs，其中W是d- 引理C.6中定义了一维布朗运动和λ。那么M的q值变化是z·eλ（us）ecuseλ（us）ds。与上述类似，我们在E=d估计z·eλ（us）ecuseλ（us）ds≤γ*Z·dXj=1κjujsds。因此，Novikov的条件herteλ（us）ecuseλ（us）dsi<∞因此，我们得出结论，e（M）是鞅。因此，通过Girsanov\'stheorem，我们获得了通过dQ/dP=E（MT）定义的等效测量值，例如在bui=0时，所有i∈ Q下的{1，…，d}。因此，u是Q下的鞅，这与存在强相对套利机会的事实相矛盾。因此存在一些i∈ {1，…，d}，使得对于{ui=0}中的某些元素，bui>0。现在，对于{ui=0}中的某些元素，bui>0。当（NUPBR）成立时，对于某些情况，它不可能以u=0的正概率发生∈ [0，T]并且对于某些T>s，uit>0，因为在这种情况下，可以生成无界函数。这意味着漂移必须足够强，以保证不以正概率到达边界段{ui=0}。根据命题5.7，当且仅当条件5.1满足时，情况就是这样。因此（ii）成立。为了证明命题5.4，回顾鞅的表示性质，或者通常是相对于具有连续轨迹的半鞅u的表示性质（参见[32，定义III.4.22]）。定义C.2。如果局部鞅M的形式mt=M+Zth，则它具有相对于u的表示性质sducs，其中ucdenotes是连续鞅部分，h∈ Lloc（uc）（见[32，定义III.4.3]）。多项式差分dhave表示性，因为鞅问题是适定的，如下所述。提案C.3。

设u为市场权重的多项式微分过程由容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）描述。然后，所有局部鞅都具有关于u的表示性质。证据根据[9，引理6.1]，通过备注3.5中的容许单纯形参数集（βu，Bu，γu）定义的多项式生成器G的鞅问题是适定的。因此，评估依据【32，Theo-rem II I.4.29（iv）】=> （i） 】。我们现在准备证明第5.4条的建议。命题5.4的证明。关于第一个断言，定理5.1的假设（i）意味着存在严格正的局部鞅偏差Z（见[43]）。根据严格正性和命题C.3，存在一个过程λ，使得zc可以表示为Z=E(-R·λsucs）。由于Zu需要是局部鞅，It^o的公式意味着λsatifiesbut=cutλt，P-a.s.（c.3），对于几乎所有t∈ [0，T]（与引理C.6比较）。虽然该方程不一定有唯一的解λ，但由·λ给出的Z的四次变化scusλsds是唯一确定的，因为√由于（c.3），c||λ是唯一的。关于第（ii）部分，定义：=E【Y ZT | Ft】，其中Z是第（i）部分的唯一严格正局部鞅定义。根据命题C.3，存在一些策略h∈ Lloc（uc），使mt=M+Zthsducs。随机投资组合理论中的多项式过程35现在考虑过程mtzt。然后根据它的乘积r规则和（C.3），很容易看出mtzt=M+ZtZs（hs+Msλs） dus。设置ψs=Zs（hs+Msλs），注意M=E[Y ZT]和MT/ZT=Yyields断言。引理5.6的证明。定义所有k∈ {1，…，d}，τk=inf{t≥ 0 |ukt=0}。我们证明了这个断言，它翻译了toPu[τk≤ T]>0，（C.4）对于所有T>0，k∈ {1，…，d}和u∈通过在尺寸d上的诱导。

Ford=2，我们有u∈Pu[τk≤ T]=（1- uk）1.-ZpT（u，dx）> 0，k=1，2，其中pT（u，dx）表示无漂移的一维雅可比过程的转移函数，如【37，方程13.26】中所示。这证明了d=2的断言。现在让我们看d≥ 3、对于d的感应步骤- 1 tod，我们首先显示集合A：={τk≤某些k}具有正概率。通过矛盾假设未达到边界，并用u（d）=miniui表示，用cu（d）（d）表示u（d）的瞬时方差。然后，如Remark5.2所示，我们有cu（d）（d），tu（d）t≥d- 1dmini6=jγuij，t∈0，T.根据【3】（另见备注5.2），该条件意味着在ho rizon【0，T】期间存在相对套利，但这与uisa鞅的fac T相矛盾，并证明P【A】>0。此外，还可以得出一定的固定指数k*∈ {1，…，d}使得*:= {τk*= 水貂τk∧T} 有正概率。请注意，Ak*是一组路径，其中边界段{uk*= 0}在其他和T/2之前或同时到达。现场Ak*, τk*< τk对于所有k 6=k*a、 由于d（见引理C.4）达到d的概率-三维模板（对应于d-2和d=3）的点dis 0。用eu表示k*组件已删除。根据上述论点，它认为在集合Ak上*, euτk*∈d-1、我们现在应用以Ak为条件的归纳假设*这意味着由于u的强马尔可夫性质，对于所有k∈ {1，…，d- 1} Peμτk*eτk≤TAk公司*> 0,36 CHRISTA CUCHIEROwhere eτk=inf{t≥ 0 | eukt=0}。自（Aj）j∈{1，…，d}连同Acis a分区Ohm, 我们有pu[τk≤ T]=dXj=1Pu[τk≤ T | Aj]P[Aj]+Pu[τk≤ T | Ac]P【Ac】≥ Peμτk*eτk≤TAk公司*P[Ak*]1{k6=k*}+ P[Ak*]1{k=k*}> 0命题5.7的证明。

证明（二）=> （i） 我们将引理B.1 Mc Kean的论点（参见[39，命题4.3]）的证明同样应用于对数（ui）。然后通过It^o公式，我们得到t<τ：=inf{s≥ 0 |uis=0}log（uit）=log（ui）+Zt2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）ujs+2Buiiuis2uis+ZtPdj=1(√cus）ijuisdWs，其中W表示某种布朗运动。用J表示 {1，…，i-1，i+1，d} 表示fy arg mini6=j（2Buij）的指数- γuij）。n我们可以写2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）uj+2Buiiui2uit=2βui+mini6=j（2Buij- γuij）2ui+（2Buii- mini6=j（2Buij- γuij））+Xj∈Jc \\{i}（2Buij- γuij- mini6=j（2Buij- γuij））uj2ui。由于第一项和最后一项为非负项，第二项为常数，我们得出每T>0 inf∈[0，τ∧T） Zt2βui+Pj6=i（2Buij- γuij）ujs+2Buiiuis2uis>-∞, 因此，P-a.s.Mc Kean在[39，P位置4.3]的论证得出τ=∞ 而这意味着断言。对于相反方向，我们应用[24，定理5.7（iii）]，并假设（ii）不成立，即2βui+mini6=j（2Buij- γuij）<0。在[24，定理5.7（iii）]的术语中，我们有p（u）=ui，这样cup=-γu1iui。。。Pj6=iγuijujui。。。-γudiudui= uih（u），随机投资组合理论中的多项式过程37，h=(-γu1iu，···，Pj6=iγuijuj，···，-γudiud）. 让j*为arg minj6=i（2Buij-γuij）并设u=ej*. 然后Gp（(R)u）=βui+Bij*≥ 定义为0 4.9和2GP（°u）- h类p（°u）=2βui+最小值6=j2（Buij- γuij）<0。根据[24，定理5.7（iii）]，因此，对于任何时间范围T，我们都可以找到一些u∈数据丢失到||Μ，使得{ui=0}以正概率命中。这与（i）相矛盾，并证明了该断言。引理C.4。设γu为所有i 6=j的γuij>0。然后m atr ix ecu∈ Sd公司-1++和cu的等级为d-所有u为1∈d、 证明。注意，矩阵ecu严格对角占优，即| ecuii |>Pj6=i | ecuij |，如果u∈d

实际上，我们有| ecuii |=Xj6=iγuijuiuj>Xj6={i，d}γijuiuj=Xj6=i | ecuij |。根据【29，定理6.1.10】，ecu因此是严格的正定义，这意味着cu具有等级d- 1.备注C.5。通过类似的论证，实际上有必要假设存在一些指数j，使得所有i的γuij>0，以获得相同的结论。引理C.6。设γu为γuij>0，对于所有由容许参数（βu，bu）描述的i 6=j和bua漂移。设J={J，…，jk}，0≤ k≤ d、 表示在{uji=0}上buji=0且集E：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈J} 。然后存在一些函数Eλ：E→ 研发部-1在e.证明中，EBu=ecueλ（u）（C.5）。定义λ如下λ（u）=（ecu）+ebu，（C.6），其中（ecu）+表示摩尔-彭罗斯伪逆。设OuDu（Ou）是ecu与正交矩阵e s Ou和对角矩阵Xu的光谱分解。我们在这里写上标u表示对u的依赖性。然后（ecu）+由（cu）+=Ou（Du）+（Ou）给出,其中（Du）+ii=DuIIIif Duii6=0，否则为0。引理C。4，如果μ∈d、 和（ecu）+因此与（ecu）一致-1、这已经证明了d、 因此，当某些ji的uji=0时，（C.6）给出的Eλ也满足（C.5），这有待证明∈ J、 在这种情况下，假设buji=0，而cuji，k=0表示所有k∈ {1，…，d}由于cu的形式。特别注意，对于ud=0，上述考虑因素已经得出了该定理。让我们选择以Ou为单位的IGenvector的顺序，以便每当uji=0时，Duji=0。现在将（C.6）插入（C.5）yieldsebu=ecueλ（u）=ecu（ecu）+ebu=OuIu（Ou）ebu，38 CHRISTA Cuchierow其中Iu是对角线矩阵，除指数ji外，所有条目均等于1，其中uji=0。因此（C.5）相当于（Ou）ebu=Iu（Ou）ebu自（（Ou）起，此等式成立ebu）ji=0。实际上，0=ecujiji=dXk=1（Oujik）Dukk意味着当Dukk6=0时，Ojik=0。

当bk=0时，只要Dukk=0，则产生索赔（（Ou）ebu）ji=0，在tur n中是引理的断言。引理C.7。设γu为γuij=1表示所有i 6=j，并用eau表示该特定形式γ的ecu。然后，在上d、 eau的逆项由（eau）给出-1kk=uk+ud（eau）-1kl=ud，k 6=l.（C.7）验证。通过简单的计算，可以很容易地验证逆的形式。备注C.8。注意，γu的上述形式产生了挥发性稳定模型的扩散矩阵，其条目如命题4.3所述。此外，观察在这种情况下，eau将池塘与尺寸d的cu相对应- 引理C.9。设γu为γuij>0，所有i 6=j。设置γ*= mini6=jγuij，leteau如引理C.7所示。然后ecu- γ*eau为正半定义。此外，秩（ecu）=秩（eau）。证据注意，矩阵ecu-γ*eau将池塘与由bγuij=γij给出的某些矩阵bγu生成的扩散矩阵（删除最后一行和列）相关联- γ*, i 6=j。由于bγu的所有条目都是非负的，因此cu的正半不确定性- γ*au和US依次为ecu-γ*eau如下。对于最后的陈述，请注意，b oth矩阵的秩等于简单的相应边界段的维数，即d-1如果u∈d、 等等。命题5.11的证明。我们遵循备注5.10中概述的想法。实际上，考虑一个多项式序列（pn）n∈非DAP接近u7→ 1E（u）点方向，使pn(对于所有n，d\\E）=0。假设Z是命题5.4中的严格正局部鞅，定义q：=E[ZT]<1，这对应于定义5.9中给出的1的超高价格UTof，并且由于存在相对套利，它严格小于1。设δ>0，使得q+δ<1。B y支配收敛（选择多项式有界序列）存在一些n，因此对于所有n≥ n | E[pN（uT）ZT]- q |≤ δ。设ε>0。

自pn（u）→ 1E（u）为n→ ∞ 由于P在setE外没有质量，因此存在一些en，对于N≥ enP[pN（uT）>q+δ]≥ 1.- ε。随机投资组合理论中的多项式过程现在取nε=max（n，en），这意味着pnε（uT）E[pnε（uT）ZT]>1≥ 1.- ε.我们现在的目标是找到命题陈述中给出的策略，即yεT=pnε（uT）E【pnε（uT）ZT】。为此，让Q表示F¨ollmer度量，正如Remark5.10中已经介绍的那样，满足P<< Q，其中|τ是鞅，其中τ=inf{t>0|ut/∈ E} =inf{t>0 | Zt=0}。进一步考虑一个与u具有相同协方差结构的多项式鞅^u，并用^Q表示其在路径空间上的定律。然后，通过相应鞅问题的唯一性，uτ和uuτ的定律重合。定义nowpnε（t，^ut）：=E^Q【pnε（^ut）| Ft】。多项式性质为u，u7→ pnε（t，u）是一个多项式，特别是在两个变量中都具有很好的正则性，以应用它的公式，其中yieldspnε（t，ut）=pnε（t，ut）=pnε（0，u）+ZTdXi=1Dipnε（t，ut）d，ut，^Q-a.s.自（pnε（t，ut））t∈[0，T]和^u是^Q-鞅。显然，通过在时间τwehavepnε（^uT）停止∧ τ） =pnε（0，^u）+ZT∧ τdXi=1Dipnε（t，^ut）d^ut，^Q-a.s。由于u和^uc定律与随机区间[0，τ∧ T）]。自P起<< Q和P[τ>T]=1，这意味着pnε（uT）=pnε（0，u）+ZTdXi=1Dipnε（T，uT）duT，P-a.s.define nowθi，εbyθi，ε=Dipnε（T，uT）E[pnε（uT）ZT]（C.8），注意E[pnε（uT）ZT]=EQhpnε（uT）1{ZT>0}i=E^Q pnε（uT）]=pnε（0，u），其中，第一个等式来自广义Bayes规则（例如[42，定理5.1]），第二个等式来自于|τ和|uτ定律重合且pnε(d\\E）=0。

因此，这是自u7年以来的第一个断言→ pnε（t，u）是一个与时间相关的多项式。关于第二个，Yθεtclarlay将P-a.s.收敛到由ut=E[ZT]给出的最佳仲裁年龄，因为pn（uT）→ 每年1个。s、 ，因为P在E之外没有质量。40 CHRISTA CUCHIEROReferences【1】D.Ackerer和D.Filipovi'c.线性信用风险模型。SSRN提供：http://ssrn.com/abstract=2782455，瑞士金融研究所，2016年。[2] D.Ackerer、D.Fil ipovi\'c和S.Pulido。雅可比随机波动率模型。https://arxiv.org/abs/1605.07099v1，2016年。[3] A.Banner和D.Fernholz。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》，2008年。[4] A.D.Banner、R.Fernholz、I.Karatzas等人，《股票市场的Atlas模型》。《应用概率年鉴》，15（4）：2296–23302005。[5] R·F·巴斯和E·A·珀金斯。具有H¨older连续系数和超马尔可夫链的退化随机微分方程。变速箱。美国。数学Soc。，355（1）：373-405（电子版），2003年。[6] S.Biagini和Y.Zhang。人寿保险负债的多项式微分模型。https://arxiv.org/abs/1602.07910，2016年。[7] C.Cuchiero、K.Gellert、M.Guirich、A.Platts、S.Shivan和J.Teichman。随机投资组合理论中区域相关多项式模型的实证研究。工作文件，2017年。[8] C.Cuchiero、M.Keller Ressel和J.Teichman。多项式过程及其在数学金融中的应用。《金融与随机》，16（4）：711–7402012。[9] C.Cuchiero、M.Larsson和S.Svaluto Ferro。单位单纯形上的多项式跳差。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1612.04266v1，2016年。[10] F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300（3）：463–5201994年。[11] F.Delbaen和W.Schachermayer。

绝对连续局部鞅测度的存在性。安。应用程序。概率。，5（4）：926–9451995年。[12] F.Delbaen和H.Shirakawa。具有上下限的利率模型。《亚洲金融市场》，2002年9:191–209。[13] S.N.Ethier和T.G.Kurtz。马尔可夫过程。概率与数理统计中的威利级数：概率与数理统计。约翰·威利父子公司，纽约，1986年。特征化和收敛。[14] D.Fernholz和I.Karatzas。关于最优套利。安。应用程序。概率。，20（4）：1179–12042010。[15] D.Fernholz和I.Karatzas。套利的概率方面。《当代定量金融》，第1-17页。柏林斯普林格，2010年。[16] R.Fernholz。关于股票市场的多样性。《数理经济学杂志》，31（3）：393–4171999。[17] R.Fernholz。随机投资组合理论。数学应用。Springer Verlag，纽约，2002年。[18] R.Fer nholz和I.Karatzas。波动稳定市场中的相对套利。《金融年鉴》，1（2）：149–1772005年。[19] R.Fernholz和I.Karatzas。随机投资组合理论：概述。数字分析手册，15:89–1672009。[20] R.Fernholz、I.Karatzas和C.Kardaras。股票市场的多样性和相对套利。财务Stoch。，9（1）：2005年1月1日至27日。[21]R.Fernholz、I.Karatzas和J.Ruf。波动性和套利。https://arxiv.org/abs/1608.06121，2016年。[22]R.Fernholz和B.Shay。随机投资组合理论与股票市场均衡。《金融杂志》，37（2）：615-6241982。[23]D.Filipovi\'c、E.Gourier和L.Mancini。二次方差交换模型。《金融经济学杂志》，119（1）：44–682016。[24]D.Filipovi\'c和M.Larsson。多项式微分和应用金融。《金融与随机》，20（4）：931–9722016。【25】H.F¨ollmer。超鞅的退出测度。Z

WAHRSCHEINLICHKEITSTOREIE和Verw。Gebiete，21:154–166，1972年。[26]H.Geman、N.El Karoui和J.-C.Rochet。计价方式的变化、概率测度和期权定价的变化。《应用概率杂志》，第443-4581995页。【27】I.戈亚。贝塞尔和波动稳定过程。哥伦比亚大学博士论文，2014年。随机投资组合理论中的多项式过程41【28】C。Gourieroux和J.Jasiak。应用于平滑过渡的多元Jacobi过程。《计量经济学杂志》，131（12）：475–5052006。【29】R.A.霍恩和C.R.约翰逊。矩阵分析。剑桥大学出版社，1985年。H.Hulley和M.Schweizer。最小市场模型和最小鞅测度。《当代定量金融》第35-51页。柏林斯普林格，2010年。【31】吨。Ichiba，V.Papathanakos，A.Banner，I.Karatzas，R.Fernholz等，《混合阿特拉斯模型》。《应用概率年鉴》，21（2）：609–6442011。[32]J.Jacod和A.N.Shiryaev。随机过程的极限定理，《数学科学基本原理》（Grandlehren der Mathematischen Wissenschapten）第288卷。Springer Verlag，柏林，第二版，2003年。【33】Y.Kabanov、C.Kardaras和S.Song。无arbi变换器和局部鞅分解器。https://arxiv.org/abs/1501.04363，2015年。【34】J.卡尔森。随机波动率模型的教学笔记。《从随机计算到数学金融》，第343-368页。柏林斯普林格，2006年。【35】I.Karatzas和C.Kardaras。半鞅金融模型中的num'eraire投资组合。财务Stoch。，11（4）：447–4932007年。【36】I.Karatzas和J.Ruf。由Lyapunov函数生成的交易策略。https://arxiv.org/abs/1603.08245，2016年。【37】S.Karlin和H。M、 泰勒。随机过程中的第二个过程。学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich出版社]，纽约-伦敦，1981年。[38]P.Kruhner和M.Larsson。

具有紧致状态空间的一类过程。工作文件，2016年。[39]E。Mayerhofer、O.Pfa Offel和R.Stelzer。积极定义跳跃效应的强大解决方案。随机过程。应用程序。，121（9）：2072–20862011年。【40】S.Pal.波动稳定市场模型下的市场权重分析。安。应用程序。概率。，21（3）：1180–121320011年。[41]R.Pickov\'a.广义波动稳定过程。《金融年鉴》，10（1）：101–1252014。【42】J.Ruf。套利套期保值。数学《金融》，23（2）：297–3172013年。【43】M.Schweizer和T.Kochiro。关于有界风险的无无界pro-fit条件的一个注记。《金融与随机》，18（2）：3934052014。【44】A.Vervuurt。随机投资组合理论主题。https://arxiv.org/abs/1504.02988，2015年。【45】H.-J.沃纳。关于广义逆的矩阵单调性。线性代数应用。，27:141–1451979年。维也纳大学，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Vienna电子邮件地址：christa。cuchiero@univie.ac.at