随机投资组合理论中的多项式过程

2022-5-31 12:19:21

随机Portfoliotheorycrista CUCHIEROAbstract中的多项式过程。我们在随机投资组合理论的背景下引入了[8]意义上的多项式过程，以同时模拟公司的市场资本化和相应的市场权重。这些模型极大地扩展了Robert Fernholzand Ioannis Karatzas在[18]中所考虑的波动稳定市场模型，特别是它们考虑了各个股票之间的相关性。同时，它们仍然具有很强的可处理性，这使得它们在实践中适用，尤其是对高维股票指数数据的估计和校准。在分歧情况下，我们利用溶质和相对量之间的转换完美地满足多项式过程的结构特性这一事实，刻画了市场资本化和相应权重的联合多项式特性。给出了保证局部鞅解存在的显式参数条件，并讨论了与未达到单位单纯形边界的关系。我们还考虑了带跳跃模型的扩展和最优相对ar比特率策略的计算。1、导言自从Rober t Fernholz（例如[17，22，16]）关于随机投资组合理论（SPT）的开创性著作以来，许多模型捕捉了公司市值的共同行为，用Sifor i=1表示，d、在大型股票指数中有人提出。这方面的主要目标之一是再现经验观察到的资本分配曲线的形状和动态，这些曲线随时间变得非常稳定（见【17，图5.1】）。

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2022-5-31 12:19:24

另一个主要方面是分析某些投资组合相对于市场投资组合的相对表现，进而开发出允许所谓相对表现的模型。迄今为止使用的模式ls可大致分为o以Atlas和混合Atlas模型为例的基于等级的模型[4，31]；o多样化的模式[17，20]；o将波动率稳定的有效波动率模型[20]和广义波动率稳定模型[41]作为子类。虽然基于排名的模型旨在与经验观察到的随时间变化的资本分布曲线的稳定性相匹配，但不同且有效的波动模型的定义取决于股票市场的某些描述性特征，这些市场有2000个数学科目分类。60J25、91G10、60H30。关键词和短语。随机投资组合理论、相对套利、多项式过程、单位单纯形上的扩散、边界达成、可处理建模。2 CHRISTA Cuchierot最终导致了相对套利。我们在此简要评论这些模型类的主要属性。作为SPT的整个领域，基于秩的类型模型吸引了理论方面的大量关注，是数学上有趣的问题的丰富来源，尤其是在相互作用粒子系统领域，这是研究的一个活跃领域（见参考文献[44，第6节]）。

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2022-5-31 12:19:27

然而，就实际适用性而言，有两个缺点，即资本化不相关（至少在Atlas模型中）的常见假设和基于等级（与名称相比）的建模的可处理性有限。第二类模型是由Diversity提出的，它结合了一种条件，即防止所有市场资本集中到一个单一的股票中（所谓的市场多样性），以及对数价格的瞬时协方差矩阵的强非退化性。s.R.Fernholz的关键见解是，在这两种条件下，系统性地跑赢市场组合是可能的，即使在任意的短时间范围内（见[20]）。然而，这种组合并不是唯一发生相关套利的组合，尤其是强非简并条件，在估计高维协方差矩阵时通常很难在实践中验证。事实上，导致引入高效挥发性模型的另一个条件与市场权重的波动性有关，更准确地说，与ΓH（·）=dXi=1Z·|itdhloguiit，（1.1）给出的累积超额增长率有关，其中ui表示时间t时第i支股票的市场权重≥ 0，对于i=1，d、事实上，假设ΓH（·）的斜率远离零是这类模型的定义属性。正如R.Fernholz andI所证明的那样。[18]中的Karatzas模型允许在具有一定功能生成的投资组合的足够长的时间范围内进行相对套利，但正如[21]中最近所示，通常不足以在套利短期内进行利率相对套利。有效波动性模型的例子是[18]中介绍的所谓波动性稳定市场模型。

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2022-5-31 12:19:30

正如综述文章[19]所述，这些模型之所以引人注目，有几个原因，特别是因为总体市场资本化过程遵循一个特定的Black-Scholes模型，而个别股票反映了一个经验事实，即较小股票的原木价格往往比较大股票的原木价格具有更大的波动性。尽管这与股票市场特征一致，有一个主要缺点，即个人股票之间缺乏相关性，因此，他们对现实市场情况建模的适用性受到限制。为了克服这一缺点，我们在本文中提出了这一模型类别的一个重要但仍然可以扩展的扩展，我们称之为多项式市场权重和资产价格模型。事实上，波动率稳定模型的另一个显著特性是，资产价格和市场权重分别遵循多项式过程。文献[8]中介绍的多项式过程（另见文献[24]）构成了一类时间齐次马氏It^o半鞅，从某种意义上说，（混合）矩的计算只需要矩阵指数的计算，这类半鞅本质上是可执行的。随机投资组合理论3中与此性质相关的计算优势多项式过程已在许多问题中得到利用。特别是，数学金融中的应用包括利息率、信用风险、随机波动率模型、人寿保险负债和方差掉期（se e[12、1、2、6、23]）。

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2022-5-31 12:19:33

在目前情况下，它可用于实施最优套利（见第4节）以及对高维均衡指数（如标准普尔500指数）进行模型校准，例如使用矩法或路径协方差估计技术，利用矩的分析知识以及协方差结构的特定函数形式。在一篇配套论文[7]中，我们实际研究了多项式模型对市场数据（MSCIworld指数，300只股票）的校准，并发现了非常令人失望的结果。特别是，它们能够很好地匹配典型的形状和波动的资本分布曲线。SPT设置的特殊性不同于其他金融应用，是市场投资组合的选择，因此市场权重成为主要关注的建模数量。因此，需要建立状态空间为单位单纯形的可处理模型。

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kedemingshi

2022-5-31 12:19:36

因此，一种是自然而然地导致多项式过程，因为通常认为最具可伸缩性的类，即L'evy和a'ne过程，在紧连通状态空间上是确定的（见[38]）。综上所述，多项式市场权重和资产价格模型为高维股票市场建模提供了一种工具，具有高度的可操作性（实际上，在直接建模市场权重时，它们可以被视为最具可操作性的类别）股票之间存在相关性的可能性；o与经验市场特征的一致性，如与资产规模成反比的波动性结构，以及排名市场权重的“正确”波动（资本分布曲线）。因此，本文的一个目标是描述这些模型，这些模型通过权重和资本化（ut，St）的联合过程≥0是多项式。对于差异模型，只有当总资本化过程（即Pdi=1Si）是一个对R++的多项式差异，独立于单位单纯形上市场权重的多项式差异时，才会出现这种情况（见定理4.10）。此外，如果不允许S的特性依赖于u，则PDI=1必然会遵循Black-Scholes模型，比波动率稳定模型更一般（见推论4.16）。关键点在于，市场权重过程可以具有更丰富的协方差结构，而在波动率稳定模型的情况下，它对应于WrightFisher微分，有时也称为多元Jacobi过程（参见例[28]）。在目前的情况下，市场权重过程是单位单纯形上的一般多项式微分，Damir Filipovi\'c和Martin Larsson首先描述了这一点（另见[9]）。

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2022-5-31 12:19:39

尽管灵活性显著提高，但它与波动率稳定模型的子类有许多共同的可取特性。例如，在定理5.1中精确规定的某些参数条件下，累积超额增长率的斜率有界远离零，因此多项式市场权重模型可以归入高波动性模型。特别是，它们允许在长期范围内进行相对套利，这种套利是由所谓的投资组合产生的【19，示例11.1】。此外，与波动率稳定模型一样，短期套利（即使只有长期投资组合）上存在（强）相对套利也是可能的，可以从[3]中推断出来。4 CHRISTA Cuchieror与此相关的是相对套利和局部鞅定义（参见[43]、[33]）存在的精确表征，我们提供了第5节。作为副产品，我们在单位单纯形上获得了多项式模型边界达到的精确条件。在未达到某些边界段的情况下，我们讨论了基于多项式的可计算近似最优任意策略。本文的其余部分结构如下：第2节和第3节专门介绍随机投资组合理论的一般背景和多项式过程的精确概念。在第4节中，我们回顾了波动率稳定市场模型的定义，展示了它们的多项式性质，以及多项式市场权重和资产评估价格差异模型的全貌，依赖于d×Rm+在附录B第4.2.1节中得到证明，我们考虑了带跳跃的扩展，而第5节完全致力于分析多项式市场权重模型的基本性质（相对轨道、局部鞅函数、完备性的存在）。1.1。

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2022-5-31 12:19:42

符号对于一个随机过程，我们通常用X表示（Xt）t≥0并对其组件使用上标索引，但使用下标索引的Semi-MartingalCharacteristics除外。在这种情况下，超级ipt索引表示它们所属的流程，例如，流程X的特征bXdenotes-dRift。我们用N表示自然数，N：=N∪ {0}非负整数，R+非负整数。符号Rn×n、Sn和Sn+分别表示n×n实、实对称和实对称正半有限元。此外，ithcanonical单位向量a nd1的eistands是其条目均等于1.2的向量。随机投资组合理论的背景和概念我们首先回顾了随机投资组合理论（SPT）的一般背景和一般概念。有关更详细的说明，请参阅[17、19、36、21]。2.1。市场模型和交易策略。设T>0表示某个时间范围，并设(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P）是具有右连续过滤的过滤概率空间。因此，我们认为≥ 2，具有S的Rd+-值半鞅∈ Rd++，对应于公司（未贴现）市场资本化，即股价乘以流通股数量。Wedenote by∑所考虑的股票市场的总资本，即∑=dXi=1Si，并要求∑是严格正的，即P[σt>0，t型≥ 0]=1。与此相反，个人资本化被允许消失。根据有关SPT的常见文献（特别是[36]），我们考虑只投资于这些d资产的交易策略，而不引入银行账户。定义2.1。

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2022-5-31 12:19:45

（i）我们称一个可预测的、Rd值的S-可积过程为财富过程Vv，θ的交易策略，其中Vv，θt=dXi=1θitSit，0≤ t型≤ T、在Vv，θ=v的情况下，随机投资组合理论5中的多项式过程是根据策略θ和初始资本v>0的投资的时间T值。每个θit代表在t时持有的股份数量≥ ithasset中的0。（ii）如果Vv，θsatisfiesvv，θt=v+ZtθsdSs，0，则交易策略称为自我融资≤ t型≤ T、其中，积分是在向量随机积分的意义上理解的。（iii）如果Vv，θ，则交易策略称为v-容许≥ 0和Vv，θ-≥ 0.（iv）如果交易策略从不卖空任何股票，即θ取Rd+的值，则称为仅多头策略。我们用J（S）表示所有自我融资、1-容许交易策略的集合。注释2.2。初始资本的标准值为1。为了简单起见，我们将为V1，θ写Vθ。如果半鞅S的每个分量都是严格正的，则可以通过乘法（与上述加法相反）建模方法，这在SPT中是标准的，有时也很方便。在这种情况下，一个Rather会考虑-而不是与股票数量对应的交易策略，即所谓的投资组合，其价值代表当前投资于每项资产的财富比例（更多详情请参见附录A）。2.2。相对于市场的相对套利。一个至关重要的兴趣量是两个可接受的投资组合相对于彼此的性能。在这方面，随后定义的相对套利概念起着重要作用。定义2.3（相对套利机会）。Let^1，θ∈ J（S）自我融资，1-可接受的交易策略。

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2022-5-31 12:19:49

然后，战略θ被认为在时间范围[0，T]ifP内产生了一个与Д相关的相对轨道机会VθT≥ VхT= 1和PVθT>VθT> 此外，θ被称为强相对套利机会ifPVθT>VθT= 1、如果上述定义适用于Rd+值，我们称之为（强）长期相对套利。备注2.4。在上述定义中，我们考虑了具有初始资本1和1-容许交易策略的财富过程。然而，相对套利的存在显然并不依赖于此。事实上，就定义2.3而言，在时间范围[0，T]内，当且仅当phvv，vθT≥ Vv，vθTi=1，PhVv，vθT>Vv，vθTi>0。（2.1）请注意，vθ、vθ是自我融资、v-可接受的交易策略，初始资本为v.6 CHRISTA CUCHIEROWe现在提请我们注意与市场相关的相对套利机会。在本案例中，对于所有i，1-容许参考交易策略由νit=∑给出∈ {1，…，d}和t∈ [0，T]上述相对套利机会的定义如下：定义2.5（相对套利机会）。Letθ∈ J（S）是一种自我融资、1-可接受的交易策略。然后，据说θ会在时间范围[0，T]ifP内产生一个相对于市场的相对套利机会VθT≥∑T∑= 1和PVθT>∑T∑> 此外，相对于市场ifP，θ被称为强相对套利机会VθT>∑T∑= 1、如果上述定义适用于Rd+中的价值，我们称之为（强）相对于市场的长期相对套利。2.3。市场权重。从定义2.5可以明显看出，当选择总资本∑作为数字时，相对于市场的相对套利与经典套利相对应。这样做，将产生m个市场权重的过程，用u=（u，…）表示。

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2022-5-31 12:19:52

，ud），定义为ui=Si∑=SiPdi=1Si，i∈ {1，…，d}。（2.2）由于所有信号均假定为非负信号，u取单位单纯形中的值数据定义人d=（x∈ [0，1]d | dXi=1xi=1）。单位单纯形的内部，即{x∈ （0，1）d | Pdi=1xi=1}用表示d、注意，假设u∈d、备注2.6。（i） Le t us re mark，θ是资本化过程的自我融资交易策略，定义为2.1，当且仅当它是过程的自我融资交易策略时，后者定义为2.1，只需将S替换为u即可（见[26]和[36，命题2.3]）。特别是，用Yq表示相对财富过程，即Yq，t=Vq∑，t∑t，0≤ t型≤ T、对于Yq，θ=q∑=q，（2.3）我们有Yq，θT=q+Ztθsdus，0≤ t型≤ T、如前所述，我们将用Yθ表示Y1，θ。（ii）将其与定义2.5相结合，并使用（2.1）中v=∑的注释2.4得出以下关于horizo n[0，T]时期内市场的相对任意机会的等效公式，即Phy∑θT≥ 随机投资组合理论中的1i=1和PhY∑θT>1i>0多项式过程，以及PhY∑θT>1i=1的强相关套利机会。因此，市场相关套利的存在仅取决于市场权重过程u。3、多项式过程本节致力于对多项式过程进行非常简要的概述，这些过程已在[8]中介绍，并在几篇论文中进行了进一步的分析，特别是在[24]中，其中讨论了不同状态空间上多项式差分的存在性和唯一性问题。

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2022-5-31 12:19:56

对于特定状态空间上的跳跃差异d、由于对市场权重过程u建模特别重要，我们参考[9]。我们在此将多项式过程定义为一类具有状态空间D的时间齐次马氏It^o-半鞅定义在过滤概率空间上(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，F，P），右连续过滤和T∈（0，∞]. 关于It^o-半鞅le X，我们指的是一个半鞅，其特征（BX，CX，νX）（关于某个截断函数χ）相对于Lebesgue测度绝对连续，即BX=Z·bXtdt，CX=Z·cXtdt，νX（dt，dξ）=KXt（dξ）dt，我们称之为（BX，CX，KX）微分半鞅特征。时间齐次马尔可夫性质由以下事实表示：假设X相对于（Ft）是马尔可夫的，即对于所有t，E[f（Xt）| Fs]=E[f（Xt）|σ（Xs）]，P-a.s≥ s和所有Borel函数f:D→ R满足E[| f（Xt）|]<∞ 对于所有t∈[0，T]，其中σ（Xs）表示由Xs评级的σ-代数基因。具体而言，微分特性（bX、cX、KX）是函数（b（Xt）、c（Xt）、K（Xt、dξ））t∈进程当前状态的[0，T]，其中b:D→ Rn，c:D→ Sn+是Borelfunctions，K（x，dξ）是从d到Rn的Borel变换核。在给出多项式过程的精确定义之前，让我们介绍一些进一步的符号。设Pmdenote为m阶多项式的有限维向量空间≥ D上的0，即多项式对Rnto D的限制，定义为Pm：=D x 7→mX | k |=0αkxk，αk∈ R,其中，我们使用多索引表示法k=（k，…，kn）∈ Nn，| k |=k+····+knandxk=xk···xkn。此外，我们用P表示所有多项式的向量空间onD。

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2022-5-31 12:20:01

每当s状态空间pm所指的有歧义时，我们用pm（D）表示它。以下多项式过程的定义不是[8]中给出的原始定义，但是，正如随后的理论所阐明的，在规定的力矩条件下，跳跃测量补偿器是等效的。对于略有不同的CHRISTA CUCHIEROde多项式过程的定义，依赖于相应鞅问题的解，而不是先验地假设马尔可夫过程的存在，请参见[24，9]。定义3.1。多项式过程X是状态空间为D且初值X=X的时间齐次马氏It^osemima鞅∈ D其差异特征（bXt、cXt、KXt（Dξ））t∈[0，T]=（b（Xt），c（Xt），K（Xt，dξ））T∈[0，T]，关于“截断”函数χ（ξ）=ξ，satisfyEZRnkξkmK（Xt，dξ）X=X< ∞ 对于所有m∈ N、 x个∈ D、 t型∈ [0，T]和bi（x）∈ Pi∈ {1，…，n}，cij（x）+ZRnξiξjK（x，dξ）∈ Pi，j∈ {1，…，n}，ZRnξkK（x，dξ）∈ P | k | k |=3。以下定理是对[8]中结果的重新表述。定理3。2、对于状态空间为D且[RRnkξkmK（Xt，Dξ）| X=X]的马氏It^o-半鞅X∞ 对于所有m∈ N、 x个∈ D、 t型∈ 以下是等价的：（i）X是一个多项式过程。（ii）x 7→ E[f（Xt）| X=X]∈ PK适用于所有k∈ N、 f级∈ Pk，x∈ D和t∈ [0，T]。证据方向（一）=> （ii）是【8，Theo-rem 2.15】的直接结果，而（ii）=> （i）源自[8，推论2.14]。请注意，多项式过程的原始定义对应于（ii）中的陈述。备注3.3。上述定理中的第二个断言至关重要，因为它意味着s e半群（Pt）t∈与马尔可夫过程相关的[0，T]将Pk映射到Pk。这反过来意味着，XT多项式的期望值可以通过矩阵指数来计算。

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2022-5-31 12:20:05

更准确地说，每k∈ N、存在一个线性映射a onPk，因此对于所有t∈ [0，T]，限制为Pk的半群（Pt）可以写为Pt | Pk=etA。多项式过程的这一关键特性允许在不知道概率分布或特征函数的情况下轻松高效地计算矩。备注3.4。正如引言中已经指出的，该模型类的另一个优点是在高维情况下进行模型c校准，这是我们在处理大型股票指数时通常会遇到的情况。事实上，可以应用积分或sp ot c方差的路径估计技术来确定扩散矩阵c的参数，其条目是过程当前状态下的二次多项式（更多详细信息，请参见备注4.13）。备注3.5。如上所述，引入多项式过程的另一种方法是通过鞅问题概念，例如随机投资组合理论中的多项式过程9【24，9】。为此，考虑以下线性运算符G:P→ 由gf（x）=nXi=1Dif（x）bi（x）+nXi定义，j=1Dijf（x）cij（x）+ZRnf（x+ξ）-f（x）-nXi=1Dif（x）ξi！K（x，dξ），与定义3.1中的（b，c，K）相比，这通常被称为扩展的单元生成器（比较[8，定义2.3]）。给定概率分布关于D，关于（G）鞅问题的一个解，) 是一个c\'adl\'ag处理s X，其中D中的值是P（X∈ ·) = 由mft给出的过程mf：=f（Xt）- f（X）-ZtGf（Xs）ds是每f的局部鞅∈ P关于由x生成的过滤，即Ft=Ts>tfxs，FXs=σ（Xr | r≤ s）。如果（G）的鞅问题存在唯一的（概率律意义上的）解，我们说G的鞅问题是适定的，) 对于任何初始分发 onD公司。

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2022-5-31 12:20:08

由于这种解是时间齐次马尔可夫It^o半鞅（马尔可夫性质见[13，定理4.4.2]），因此我们可以用定义3.1.4意义上的多项式过程来识别它。多项式市场权重和资产价格模型本节旨在介绍基于多项式过程的市场权重和资本化模型。我们首先回顾了[18]中介绍的波动稳定市场模型，并表明联合过程（u，S）是定义3.1意义上的多项式（见命题4.6）。随后，我们对所有多项式扩散模型（u，S）进行了特征化，取d×Rd+，其中u在其自身过滤中为马尔可夫，且（2.2）ho lds为真。本节结果的证明见附录B.4.1。容量稳定的市场模型。【18】中介绍的资产价格非相对稳定市场模型的动态通过hDSIT=Sit1+α2uitdt+puitdWit！定义！，Si=Si，i∈ {1，…，d}，（4.1）其中α≥ 0和（W，…，Wd）是标准布朗运动。我们在这里和在本文中始终考虑此类SDE的弱解，或相关鞅问题的等价解（比较备注3.5）。此外，我们假设过滤由S生成，即Ft=\\S>tfss，FSs=σ（Sr | r≤ s）。（4.2）通过变量的变化，很容易看出这些模型是多项式的，如下所述。对于其公式，请回忆符号∑=dXj=1Sj。10 CHRISTA CUCHIEROProposition 4.1。（4.1）的波动率稳定模型（S，…，Sd）满足以下性质：（i）（S。

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2022-5-31 12:20:11

，Sd）是Rd++上的多项式过程，其不同特征（bS、cS、KS）的形式为BSI，t=1+αdXj=1Sjt，cSii，t=SitdXj=1Sjt, cSij，t=0，KSt=0。（4.3）（ii）总资本化过程的动态由BlackScholes模型描述，其形式为∑t=∑td（1+α）dt+dZt,（4.4）其中Z表示布朗运动。备注4.2。（i）波动率稳定模型的名称源于这样一个事实，即总资本化过程遵循一个特定的Black-Scholes模型，而单个资产具有形式（4.1）的动态性。（ii）如引言中所述，小股的对数价格往往比大股的对数价格具有更大的波动性，这一经验特征反映在该模型类别中。事实上，从（4.1）可以很容易看出，我们的阻塞Sii=ui，但没有相关性，因为阻塞Sij=0。以下命题断言，市场权重也遵循单位单纯形上的多项式过程，更准确地说是所谓的多元雅可比过程（参见，例如[28]）。【27】和【40】中也有类似的陈述。让我们介绍一下由（u，…，ud）生成的过滤，我们用（Gt）表示，即Gt=\\s>tGuswith Gus=σ（ur | r≤ s）。（4.5）注意Gt f自∑上的信息丢失后。提案4.3。在（4.1）的波动率稳定模型中，市场权重（u，…，ud）的动态可以通过mduit的多变量雅可比过程来描述=1+α-d（1+α）uitdt+quit（1- uit）dBit-Xi6=juitqujtdBjt，（4.6），其中B是d维标准布朗运动。尤其是（u，…，ud）是关于（Gt）的多项式过程，状态空间为d表bui，t=1+α的不同特征（bu，cu，Ku）- uitd（1+α），cuii，t=uit（1- uit），cuij，t=-uitujt，Kut=0。（4.7）随机投资组合理论中的多项式过程11备注4.4。

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2022-5-31 12:20:14

（i）作为有效波动模型的示例，波动稳定市场模型表现出恒定的正超额增长率γu*（与（1.1）相比），γu*=dXi=1uidhloguii=dXi=1uiclog（u）ii=dXi=1cuiiui。从上述命题可以很容易看出γu*=d-1因此，熵函数只能产生相对套利（见【19，示例11.1】）。（ii）如[21]最近所示，正的超额增长率通常不足以在任意短时间范围内存在相对任意增长率。然而，波动率稳定市场模型的类别也允许这种类型的套利，如[3]中首次证明的那样。实际上，本文中的假设（2.8），即最小市场权重的瞬时方差满足cu（d）（d）≥ Ku（d）对于某些常数K，可以从（4.7）中清楚地看出。这里，索引（d）表示最小值。注释4.5。在下面的命题和随后的定理中，我们写出了ui和sj之间的瞬时协方差cu，sij和c∑，ui和ui和类似的c∑，Si之间的瞬时协方差。提案4.6。考虑（4.1）的波动率稳定模型。然后，连接过程（u，S）是关于（Ft）的多项式过程，取值d×Rd++。具体而言，uiand Sji以及ujand Sifor i 6=j之间的惯性矩协方差由cu，Sij，t=cu，Sji，t=-uitSjt=-ujtSit，i 6=Sit和uitbycu之间的jand，Sii，t=Sit- uitSit。此外，∑和ui之间的瞬时协方差，即所有i的cu，∑i，t=0∈ {1，…，d}。因此u和∑是独立的。4.2。多项式市场权重和资产价格模型的定义和特征。

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2022-5-31 12:20:18

受上述分析的波动率稳定模型的启发，我们现在的目标是描述所有满足关系（2.2）的扩散过程（u，S）以及d×Rd+，使得（u，S）是多项式和uMarkovian inits自身过滤。假设后者的原因在于，我们主要关注市场的相对绩效，并对资本分布曲线log k 7进行建模→ 对数u（k）。如第2节所述，仅建模u就足以达到这些目的。因此，假设u是马尔可夫的是合理的，特别是考虑到我们感兴趣的高维应用。我们首先给出多项式市场权重和资产价格模型类别的形式定义：定义4.7。设（u，S）是在过滤概率空间上定义的随机过程(Ohm, （Ft），F，P）取值d×Rd+，使得∑>0且ui=Si∑，对于alli∈ {1，…，d}。我们将（u，S）称为多项式市场权重和总价格模型if12 CHRISTA CUCHIERO（i）权重过程u是（4.5）中定义的自然过滤（Gt）（完全连续）的马尔可夫过程，以及（ii）联合过程（u，S）是多项式过程。备注4.8。（i）请注意，上述定义的第二个要求很强，例如，分量u和S都可以是多项式过程，但它们的协方差结构是非二次形式的，因此jo int多项式特性丢失。我们将在4.14号提案中遇到这种情况，即“低”。然而，当计算u和的关节力矩时，关节多项式性质是相关的。（ii）请注意，我们无法在d×Rd+，因为（2.2）需要保持为真。

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kedemingshi

2022-5-31 12:20:21

换句话说，状态空间可以双射映射到d×R++。为了通过参数限制来描述多项式市场权重和资产价格模型，让我们引入以下定义。实际上，其中引入的参数集表征了d（见提案4.19和[24，提案6.6]）。定义4.9。我们称三重态（βu，Bu，γu）为βu∈ Rd，Bu∈ Rd×dandγu∈ 如果oγu具有非负的o f-对角线元素且其所有对角线元素s等于0，o（Bu），则设置允许的单纯形参数1+（β1） 1=0和βui+Buij≥ 0表示所有i，j 6=i∈ {1，…，d}。我们现在准备陈述多项式市场权重和资产价格模型的特征，以及连续轨迹。定理4.10。以下断言是等效的：（i）过程（u，S）是一个具有连续轨迹的多项式市场权重和资产价格模型。（ii）过程u和∑是分别为DADR+。上述每个条件都暗示了以下断言：（iii）存在一个可容许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）和参数κ，φ∈ R+满足2κ- φ≥ 0，λ，σ∈ R、使得（u，S，∑）的差异特征由bui给出，t=βui+dXj=1Buijujt，bSi，t=βui∑t+dXj=1BuijSjt+κuit+λSit，cuii，t=Xi6=jγuijuitujt，cuij，t=-γuijuitujt，i 6=j，cSii，t=φSituit+σ（Sit）+Xj6=iγuijSitSjt，cSij，t=φSituj+σSitSjt- γuijSitSjt，i 6=j，cu，Sii，t=Xj6=iγuijSitujt，cu，Sij，t=cu，Sji，t=-γuijuitSjt=-γuijujtSit，i 6=j，b∑t=κ+λ∑t，c∑t=φ∑t+σ∑t，c∑，Si，t=φSit+σSit∑t，c∑，ui，t=0。随机投资组合理论中的多项式过程13相反，对于容许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）和参数κ，φ∈ R+，λ，σ∈ R、存在多项式市场权重和资产价格模型，其差异特征为上述形式。备注4.11。

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大多数88

2022-5-31 12:20:24

请注意，列出过程的所有特征（u，S，∑）当然是多余的，它们可以根据对S或（u，∑）特征的了解来确定。备注4.12。（i）对于波动率稳定模型，上述参数取以下值：βu=1+α1，Bu=-d1+αId，γuij=1，对于所有i 6=j，κ=φ=0，λ=d（1+α），σ=1。（ii）与备注4.2相比，我们发现总资本化过程∑不一定是Black-Scholes模型，但可以对应于一个有效过程，更准确地说，如果σ=0，则是一个CIR过程。（iii）个别股票仍然可以反映这样一个事实，即较小股票的原木价格比较大股票的原木价格具有更大的波动性，但考虑到其他相关性，特别是我们有CLOG Sii，t=uitσSit+Pi6=jγuijSjt+φuit∑t！，阻塞Sij，t=-γuij+σ+φ∑t。这是相对于波动率稳定模型的关键优势。备注4.13。在此，让我们简要评论这些模型在校准方面的实际适用性，更精确地估计u的瞬时协方差。注意，cu的结构允许从对数usinceTZTclog（u）ij，tdt=-γij，i 6=j。这种简单的关系能够估计任何维度的瞬时协方差参数，并已在[7]中成功实现，以将多项式市场权重和资产价格模型校准为构成MSCI世界指数的300只股票的市场数据。在这种特殊情况下，这意味着估计44700个γu参数s，这是在对资产之间的相关结构b进行一定假设的情况下，甚至在大约300个时间点的时间序列的scars e数据集上也是可能的。

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何人来此

2022-5-31 12:20:29

正如引言中所述，不仅可以证明该方法的可行性，而且可以证明多项式模型符合数据井，并且从资本分布曲线的形状和波动来看，显示出有希望的经验特征。如果我们只要求过程u和S中的每一个都是多项式（但不一定是联合的），那么我们在上述定理中获得的∑和u之间相当强的独立性就可以放宽。事实上，在这种情况下，我们有以下主张。提案4.14。考虑一个It^o扩散过程，它取Rd+中的值，∑=Pdi=1Si>0。设（Ft）为（4.2）中规定的S生成的过滤。对于所有i，定义ui=Si∑∈ {1，…，d}。那么以下断言是等价的：（i）过程S和u都是多项式（但不一定是联合的）。CHRISTA CUCHIERO（ii）S的不同特征由BSI给出，t=βui∑t+dXk=1BuikSkt+λiSit，cSii，t=（ζ+2λi）（Sit）+Xk6=iγuikSitSkt，cSij，t=（ζ+λi+λj- γuij）SitSjt，其中（βu，Bu，γu）是允许的单纯形参数集，参数ζ∈ R、 λ∈ rD应确保ζ11+ ∧- γu∈ Sd+，其中∧ij=λi+λj，尤其是ζ+2λi≥ 0代表所有i∈ . . . {1，…，d}。此外，上述每个条件都暗示了以下断言。（iii）（u，∑）的不同特征由bui给出，t=βui+dXj=1Buijujt，cuii，t=Xj6=iγuijuitujt，cuij，t=-γuijuitujt，i 6=j，b∑t=dXi=1λiSit，c∑t=ζ∑t+2∑tdXi=1λiSit，c∑，ui，t=λiSit- uitdXk=1λkSkt，and cu，Sii，t=Xj6=iγuijSitujt+λiuitSit- （uit）dXk=1λkSkt，cu，Sij，t=-γuijuitSjt+λiuitSjt+uitujtdXk=1λkSkt，i 6=j。备注4.15。注意，对于容许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）和参数ζ∈ R、 λ∈ Rd使ζ1 1+ ∧- γu∈ Sd+，其中∧ij=λi+λj，满足下面命题4.19中Rd+-值多项式过程的必要条件。

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2022-5-31 12:20:32

然而，让我们注意到，只有在特定的参数情况下，S的鞅问题的适定性才是已知的。对于ins tancet，如果cSij=0，即ζ+λi+λj=γuij，则为这种情况，根据[5，推论1.3]。与[24，备注6.5]中的断言进行比较。最后，将定理4.10和命题4.14结合起来，得出了一个次级推论，即在具有连续轨迹的多项式市场权重和资产价格模型中，其中S是关于其自身过滤的多项式，总资本化过程∑是Black-Scholes模型。因此，在这种情况下，我们发现了与命题4.1相似的结构，但资产之间的关联结构更为一般。推论4.16。以下断言是等效的：（i）过程（u，S）是一个多项式市场权重和资产价格模型，具有连续的系数，使得S是通过（4.2）定义的自身过滤的多项式。（ii）过程u和∑是dandR++分别具有∑是随机投资组合理论15中形式为d∑t=λ∑tdt+σ∑tdzt多项式过程的Black-Scholes模型，对于某些参数λ，σ∈ R和Z是布朗运动。4.2.1。jum ps扩展。在下面的命题中，我们考虑一个跳跃扩展，它仍然会产生多项式市场权重和设定价格模型。提案4.17。设u和∑是独立的多项式过程（两个分量都可能有跳跃）分别为dand和R++。假设各跳跃度量满足u7→Z（ξu）kK（u，dξu）∈ P(d）对于| k |=2∑7→Z（ξ∑）K（λ，dξ∑）∈ P（R++）。（4.8）对于i，定义Si=ui∑∈ {1，…，d}。然后（u，S）是多项式市场权重和资产价格模型。备注4.18。

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2022-5-31 12:20:35

（i）请注意，跳跃测量（4.8）的条件无论如何满足| k |≥ 3通过过程u和∑的多项式性质。（ii）有关u跳跃结构的规格，请参考【9，第6节】。（iii）如果∑是一个具有跳跃的有效CIR过程，则满足∑的假设。4.2.2。多项式过程开启d×Rm+。上述结果的证明基于以下命题，该命题给出了状态空间多项式扩散过程参数的必要条件d×Rm+。这是[2.4]中所得结果的推广。对于其公式，表示I={1，…，d}和j={d+1，…，d+m}。此外，xind xJstand表示向量x，分别由前t d和后m个元素组成。提案4.19。考虑一个多项式微分过程X ond×Rm+，and表示I={1，…，d}和J={d+1，…，d+m}。（i）然后其扩散矩阵cXt=c（Xt）由cii（x）=Xi6=j，j给出∈Iγijxixj，（I∈ 一），cij（x）=-γijxixj，（i，j∈ 一、 I 6=j），cij（x）=0，（I∈ 一、 j∈ J），cjj（x）=αjjxj+xj（φJ+θ（j） xI+π（j） xJ），（j∈ J），cij（x）=αijxixj，（i，J∈ J、 i 6=J），其中γij=γji∈ R+，θ（j）∈ Rd，π（j）∈ Rm+，π（j）j=0，φ∈ rm带φj≥ maxi公司∈Iθ-（j） iandα∈ Sm使得α+Diag（πxJ）诊断（xJ）-1.∈ Sm+适用于所有xJ∈ Rm++，其中∏∈ Rm×mis是π（j）列的矩阵。（ii）漂移向量bXt=b（Xt）满足性（x）=βI+BIIxIβJ+BJIxI+BJJxJ,16 CHRISTA CUCHIEROwhereβ∈ Rd+m，B∈ Rd+m×d+m这样的BII1+（βI1）1=0和βi+Bij≥ 0表示所有i，j∈ I，j 6=I，βj≥ maxi公司∈IB公司-jifor all j公司∈ J和BJJ∈ Rm×mhas非负o f-对角线元素。备注4.20。请注意，中部件的漂移部分d也可以写成βI+BIIxI=ebixi，其中ebii，ij=βI，I+BII，ij表示所有j∈ {1，…，d}满足BII1=0和BII，ij≥ 0对于所有i，j∈ 一、 I 6=j。

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2022-5-31 12:20:38

为了与文献一致，我们保留了一个常数项的符号。在上述参数条件下，还得到了鞅问题解的存在性。然而，通常不知道定义3.1意义上的适定性以及因此而存在的多项式过程。然而，在某些参数限制下，这是可以实现的。特别是，当m=1时，下列公式成立，并且与定理4.10的条件有关。提案4.21。考虑命题4.19中给出的参数。假设i 6=j的αij=0，则与命题4.19中所述特征相对应的鞅问题是适定的。5、多项式模型中的相对套利本节致力于描述在所谓的有界风险无无界利润（NUPBR）条件下，多项式差异市场权重和资产价格模型中存在的相对套利机会。注意，由于备注2.6，相对套利仅取决于市场权重过程u。因此，我们只考虑并称之为多项式市场权重模型。回想一下，它们是根据可容许的简单参数集（βu、Bu、γu）来表征的。回想一下，在[10]中引入的（NUPBR）条件意味着集合{YθT | Tθ∈ J（u）}概率有界。这里，J（u）表示与定义2.1类似的u相关的所有自我融资、1-容许交易策略的集合。这种（NUPBR）条件是连续时间经济合理模型的最低要求，也是随机投资组合理论中的常见假设。以下定理提供了（NUPBR）下相对ar比特率的特征。它的证明以及随后命题和引理的证明如附录C定理5所示。1.

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2022-5-31 12:20:42

让T∈ （0，∞) 表示某个特定的时间范围，并让u成为市场权重的非经济差异过程带u的数据∈d、由允许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）描述，对于alli 6=j，γuij>0∈ {1，…，d}。然后，以下断言是等效的：（i）模型满足性（NUPBR），存在较强的相对套利机会。（ii）存在一些i∈ {1，…，d}使得对于{ui=0}中的某些元素，bui>0，对于所有此类指数i，我们有2βui+mini6=j（2Buij- γuij）≥ 0.（5.1）随机投资组合理论中的多项式过程17备注5.2。（i）注意，（5.1）加上γuij的严格正性，尤其意味着{ui=0}上的bui>0。（ii）与波动稳定市场模型（见备注4.4）类似，多项式市场权重模型显示正超额增长率γu*=dXi=1uidhloguii=dXi=1uiclog（u）ii=dXi=1cuiiui≥ mini6=jγuijd- 1，当γuij>0时，所有i 6=j且u取值其中后者与（5.1）相当∈ {1，…，d}。因此，可以在足够长的时间范围内产生功能性产生的相对收入机会，如【19，示例11.1】所示。（iii）在uta kes va lues in的条件下dandγuij>0对于所有i 6=j，也可以从[3]中看出，在任意时间范围内存在强的仅长期相对套利。实际上，本文中的假设（2.8），即最小市场权重满意度的瞬时方差为u（d）（d）≥ 由于tocu（d）（d）u（d）=Xj6=（d）γu（d）juj，满足某些常数K的Ku（d）≥ mini6=jγuij（1- u（d））≥d- 1dmini6=jγuij，其中我们使用u（d）≤d、备注5.3。众所周知，（NUPBR）等价于asupermartingale偏差的存在，这是一个D=1且DT>0的非负过程D，因此DYθ是所有θ的超级Martingale∈ J（u）（参见例如[35]）。

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2022-5-31 12:20:45

更准确地说，如【43】所示，这可以加强到严格正局部鞅定义的存在（另请参见【33】及其参考文献），即严格正局部鞅Z，Z=1，因此Zu是局部鞅。以下命题建立了多项式市场权重模型的完备性和严格正局部鞅的唯一性，这一性质与随后构建强相对套利相关。在定理5.1的证明中，还需要证明强相对套利的存在性。提案5.4。设u为市场权重的多项式微分过程定理5.1的das满足一个等价条件（i）或（ii）。然后，以下断言成立：（i）如备注5.3所述，存在一个唯一的严格正局部鞅。（ii）该模型是完整的，因为每个有界FT可测索赔Y都可以通过一些策略ψ进行复制。更精确地说，Y=E[Y ZT]+ZTψsdus，P-a.s.为真。备注5.5。严格正的局部鞅导数Z可以用E表示(-R·λ（u）duc），其中ucdenotes是u和λ的可分部分，在引理c.6.18 CHRISTA Cuchieroth中是特殊的。定理5.1的证明基于随后的引理和命题，这些引理和命题本身很有趣。我们首先断言，具有非退化扩散矩阵的连续多项式鞅，对于所有i 6=j，γuij>0在任意时间范围内以正概率到达每个边界段。引理5.6。设u为市场权重的连续多项式鞅d、由允许的单纯形参数集（βu，Bu，γu）描述，对于所有i 6=j，βu=0和Bu=0，γuij>0∈ {1，…，d}。然后对于任何T>0，k∈ {1。

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2022-5-31 12:20:48

，d}，u∈d、对于某些t，我们有ukt=0≤ T具有正概率。下一个命题用容许单纯形参数集上的精确条件刻画了边界的不可达性。提案5.7。设u为市场权重的多项式微分过程D由允许的单纯形参数集（βu、Bu、γu）描述，ui>0P-a.s。那么以下断言是等效的：（i）对于所有t>0，uit>0 P-a.s.（ii）2βui+mini6=j（2Buij- γuij）≥ 0、备注5.8。O观察该条件（5.1）因此准确地对应于{ui=0}的不附加。在确定了相对套利机会的存在性之后，让我们关注它们的实现。我们将考虑所谓的最优套利（见例[14]）。定义5.9。我们用UT表示时间T>0时1的超边际价格，即UT：=inf{q≥ 0个|θ∈ J（u），含Yq，θT≥ 我们称之为临时套利。以下备注描述了与第5.4条中严格的局部马丁格尔系数Z的关系以及如何实现这些最优套利。出于技术原因，在备注5.10 a和命题5.11的声明中，我们假设(Ohm, （Ft），F，P）为规范过滤概率空间，如【42，第5节】中所述。备注5.10。考虑从理论5.1开始的多项式差异市场权重模型，并假设（i）或等效（ii）成立。设J={J，…，jk}，0≤ k≤ d、表示在{uji=0}上buji=0且集E：={u∈ 对于所有j，d |uj>0/∈ J} 。然后，可以通过投资和复制收益1来实现最佳套利≡ 1E（uT）P-a.s.，其中最后一个身份是5.7号提案的结果。更精确地说，用Z表示命题5.4的严格正鞅。然后，通过超边缘二元性（参见。

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2022-5-31 12:20:53

【35，第32页】在目前的情况下，如命题5.4所证明的，只有（NUPBR）和模型的完整性成立，我们有UT=E【ZT】和“最佳套利时间的价格”由G（t，ut）=E【ZT | Ft】ZT=E【1E（ut）ZT | Ft】ZtP-a.s.=等式【1E（ut）| Ft】，（5.2）随机投资组合理论中的多项式过程19，其中Q表示所谓的F¨ollmer测度（见[25，11，15，42]及其参考文献），其中P<< Q保持不变，且在其下u是一个鞅，直到u离开E时为止。（5.2）中的最后一个等式来自于[42，定理5.1]，注意到Zt>0 P-a.s和Q-a.s.在E上。假设g是充分正则的，则复制增量对冲策略通过θit=Dig（T，uT）（5.3）（比较[42，orem 4.1]）来计算。注意，在乘法设置中（见附录A），这可以转换为投资组合权重g，由πit=uit得出Dig（t，ut）g（t，ut）+1-dXj=1uitDig（t，ut）g（t，ut）.为了至少大致实现上述策略，可以利用多项式特性。事实上，以下命题提供了多项式方面最佳仲裁策略的近似值，可以通过近似函数u7轻松实现→ 1E（u）通过多项式。提案5.11。考虑上文5.1中的多项式差异市场权重模型，并假设（i）或等效（ii）成立。然后，对于每个ε>0，存在一个时间相关多项式u7→ pε（t，u）和通过i定义的st策略，εt=倾角ε（t，ut），使得p[Yεt>1]≥ 1.- ε。此外，asε→ 0，Yθεt将P-a.s.收敛到最优套利。备注5.12。注意，“近似最优套利”策略可以通过矩阵指数显式计算，如（C.8）所示。附录A。

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