当k<1）时，使用与引理5和定理6完全相同的方法。我们不需要详细阐述这一点，而只是将结果收集到下面的定理中。定理7（OTM看跌期权价格）。假设X ful满足风险中性条件且>K.（i）设σ>0，则p（T）=e-rTK公司∞Xn=1^bn+1 nn+∞Xn=1^cn+2^n（T；c）！，T≥ 0，其中c=-√2对数（k）σ。右侧的第一个序列收敛于T∈ C和秒收敛于T∈ H、 第二个级数在手的紧致子集上一致收敛，可以逐项微分。（ii）设σ=0，a<0，则p（T）=e-rTK公司∞Xn=1^bn+1 nn！+I（T≥ c）∞Xn=1^cn+1（T- c） nn！！，T≥ 0，其中c=log（k）a。右侧的每个系列收敛于T∈ C、 （iii）设σ=0，a≥ 0，则p（T）=e-rTK公司∞Xn=1^bn+1 nn！，T≥ 0，其中右侧的级数收敛于T∈ C、 示例3（期权价格的计算）。我们可以使用定理5、6和7的结果来计算欧洲看涨期权和看跌期权的价格。对于这些定理未明确涵盖的所有情况，例如ITM看涨期权，我们可以使用看跌期权平价关系。为了讨论我们的计算方法，假设我们希望计算σ>0的过程X的OTM看涨期权价格，以便定理7（i）的公式适用。回顾我们的步骤到引理5，并回顾系数{bn}的定义（4.25）≥2和{m\'，n}n≥0，1≤`≤我们看到，我们计算价格的第一项是∞Xn=10亿+1 nn=NX`=1∞Xn=1m\'，n+1Tnn！，i、 e.N系列的总和。由于我们假设σ>0，我们还需要计算额外的级数∞Xn=1cn+2хn（T；c）。总的来说，我们需要计算M=N+1系列的和。由于这些序列可能以不同的速率收敛，因此有必要单独计算/截断它们，以避免花费超出必要的更多的力。向前看，让M（resp.^M）表示向量，单位为NM（resp。

N^M）包含序列的截断点。我们计算了参数集为1、σ=0.042、a=0.141875、期权参数K=90、S=95和r=0.03的过程的ITM看涨期权价格。结果如表2所示。表3和表4分别显示了参数集为2、σ=0、a=0.133896和期权参数S=K=300、S=10和K=11的过程的ATM和OTM看涨期权价格。作为比较的基础，我们还包括通过数值傅里叶反演技术计算的价格。具体而言，我们认为价格C（T）不是T的函数，而是s的函数：=对数（K）对数罢工。仅出于本示例的目的，我们将编写CT来表示买入价格。然后，对于固定T，很容易证明，L{erTCT（s）}（z）=s（1-z） eTψ（1-z） z（z-1） ，1- ρ<<（z）<0。因此，我们可以通过计算Ct（s）=e来计算价格-rT2πiZc+iRS（1-z） eTψ（1-z） z（z- 1） dz=e-rT×<ecsπZ∞eisuS（1-c-iu）eTψ（1-c-iu）（c+iu）（c+iu- 1） du！，（4.28）其中1- ρ<c<0。我们使用前面提到的（示例1）filonquarture计算该积分，并在上限10处截断。根据T，我们使用2×10和4×10离散化步骤。我们发现，对于期限小于1的债券，通常可以使用分析公式快速准确地计算价格。对于更大的到期日，序列可能收敛得太慢（例如，见表2的T=0.9）。这种方法的主要好处是，可以非常快速地计算一系列中短期到期的期权价格。例如，我们可以从表2中看到，设置^M=（15，15，15，15，15，30，30，60）可以给出小于0.5的到期日的准确价格。计算间隔[0，0.5]内100个不同到期日的ITM看涨期权价格的时间（包括计算系列系数的时间）约为三秒。当σ=0时，即。

当我们不需要计算函数{νn（T；c）}n时≥时间更快了。设置M=（10、10、10、10、10、12、12、16）在表4的示例中，我们发现我们可以在不到半秒钟的时间内准确计算出100个到期日在区间[0、0.5]内的价格。相比之下，即使我们存储了不同到期日Laplacetransform数值反演所需的所有公共元素，对于上述所有情况，我们的计算对于100个价格至少需要16秒。请注意，这里不适用快速傅立叶方法，自^MT0.01 0.1 0.2 0.5 0.9时间（2、2、2、2、4、4、8）5.09974 5.94683 6.78061 7.23382-24.48527 0.160（4、4、4、4、4、6、6、10）5.09975 5 5.94753 6.79477 6.67534-158.31075 0.196（6、6、6、6、8、12）5.09975 5 5 5.94755 6.79746 7 7.95322-265.66525 0.244（8、8、8、8、8、8、10、10、14）5.09975 5.94755 6.79760 9.19484 155.77080 0 0.300（10、10、10、10、10、12、12、16）5.09975 5 5.94755 6.79759 9 9 9.496921457.00312 0.340（15、15、15、15、15、15、30、60）5.09975 5.94755 6.79759 8.95421-12.68581 1 1.892（15、15、20、20、20、40、40、100）5.09975 5 5.94755 6.79759 8.95421 11.32685 5.892（15、25、25、35、50、50、110）5.09975 5 5 5.94755 6.79759 8.95421 11.29891 7.692游客比较5.09975 5.94755 6.79759 8.95421 11.29892 1.94表2：参数集为1的过程的看涨期权价格，σ=0.042，a=0.141875。选项参数K=90，S=95，r=0.03。时间是以秒为单位计算5个期权价格的时间。transform在变量s中，而不是T中。如果我们想使用快速傅立叶方法，我们可以考虑反转表达式（4.3）–（4.5），它们是T中的变换。这将以计算解{ζ`}1为代价≤`≤M、 {^ζ`}1≤`≤^m算法的每个步骤（c.f.示例1）。+示例4（选项θ）。定理5、6和7也直接导出了选项θ的解析表达式，即。C坦德PT

这些可以通过区分定理中的公式推导出来；请注意，所有级数都可以逐项微分，以产生再次收敛的级数，并且函数的导数{νn（T；c）}n≥0很容易从{Hhn（T；c）}n的导数中派生出来≥-1函数和递归公式（4.21）。例如，考虑一个ITMput选项，使基础流程σ=0且a>0。根据看跌期权平价和定理6（ii），价格由p（T）=e给出-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿！+I（T≥ c）∞Xn=1cn+1（T- c） nn！+1.- S、 所以对于T<c，我们有p（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿-1（n- 1） 哦！- r∞Xn=10亿+1 nn！- r对于T>c，我们有p（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿-1（n- 1)!+∞Xn=1cn+1（T- c） n个-1（n- 1） 哦！- r∞Xn=10亿+1 nn！- r∞Xn=1cn+1（T- c） nn！- r在c处，导数将跳跃e-rcKc=e-rcK（akη/a）=ak（K/S）（η-r） /a.参数为S=10、K=11和r=0.03的期权的期权价格，其中，参考MT0.01 0.1 0.2 0.5 0.9时间（2、2、2、2、4、4、8）0.61954 5.25306 9.07478-515.10360-72839.82457 0.12（4、4、4、4、4、6、6、10）0.61954 5.25119 9.20011-637.32154-296414.11217 0.148（6、6、6、6、8、8、12）0.61954 5.251219.23466-544.43333-844397.61170 0.188（8，8，8，8，8，8，10，14）0.61954 5.251219.23939-339.58140-1776370.99729 0.232（10，10，10，10，10，12，12，16）0.61954 5.251219.23987-157.10396-2871257.37102 0.252（15，15，15，15，15，15，30，30，60）0.61954 5.251214 9.23991 18.14807 26.98182 1.304（15，15，20，20，40，100）0.61954 5.251219.23991 18.14807 26.98185 4.076傅立叶比较0.61954 5.251219.23991 18.14807 07 26.98185 1.04表3：参数集为2的过程的看涨期权价格，σ=0，a=0.133896。选项参数S=K=300，r=0.03。

时间是以秒为单位计算5个期权价格的时间。MT0.01 0.1 0.2 0.5 0.9时间（2、2、2、2、4、4、8）0.00128 0.01532 0.03684 0.14880 0.44918 0.18（4、4、4、4、4、6、6、10）0.00128 0.01532 0.03678 0.14508 0.38900 0.184（6、6、6、8、8、12）0.00128 0.01532 0.03678 0.14486 0.38104 0.228（8 8，8，8，8，10，10，14）0.001282 0.01532 0.03678 0.14489 0.38465 0.280（10，10，10，10，10，12，16）0.00128 0.01532 0.03678 0.14488 0.38463 0.308（15，15，15，15，15，20，20，30）0.00128 0.01532 0.03678 0.14488 0.38460 0.748（15，15，15，15，15，30，30，60）0.00128 0.01532 0.03678 0.14488 0.38460 1.712进一步比较0.00128 0.01532 0.03678 0.14488 0.38460 1.02表4：参数集为2的过程的看涨期权价格，σ=0，a=0.133896。选项参数S=10，K=11，r=0.03。时间是以秒为单位计算5个期权价格的时间。图6：6a中的卖出价及其6b中的衍生产品。该过程由参数集2定义，σ=0和a=0.133896，并与其时间导数一起绘制在图6中。在点c=0.71182处，导数的跳跃大小为0.03559。我们使用截断M=（15、15、15、15、15、15、20、20、30）来计算价格和导数。+为了计算期权delta和gamma，即关于S的一阶和二阶导数，我们必须付出更多的努力，并做出σ>0的额外假设。接下来，我们将为（4.1）中定义的函数f（t）写f（t，k），为Xt的密度写pt（x）。在命题1的附录中，我们证明了在风险中性和σ>0的假设下f（t，k）k=-P（外部>k），f（t，k）k=pt（log（k）），并且f（t，k）坎德f（t，k）k为固定k的t的连续函数。

因此，我们可以对希腊人执行与期权价格本身相同的计划。我们仅以缩写形式呈现。的拉普拉斯变换f（t，k）kin tis提供人-Z∞e-qtP（外部>k）dt=-P（eXe（q）>k）q=-MX`=1ζ\'k-ζ`ζ`k>1，q-^MX`=1^ζ`k^ζ`k≤ 1，其中最后一个等式对于足够大的| q |有效。现在是{ξ`}1≤`≤M、 {ξ`}1≤`≤（4.6）和{β`}1中定义的Mas≤`≤M、 {β`}1≤`≤在（4.23）和（4.24）中定义，我们重新定义了n：=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），cn：=mM，n，m\'，n：=mN（\'ξ\'，n，\'β\'，n，\'ζ\'，n），1≤ ` ≤ M、 和^bn：=sn（^m1，n，^m2，n，…，^M^n，n），^cn：=^M^M，n，^M\'，n：=mn（\'^ξ\'，n，\'^β\'，n，^ζ\'，n），1≤ ` ≤^M，因此mx`=1ζ\'k-ζ`ζ`=∞Xn=2bnqn+∞Xn=2cnk-（2q/σ）1/2qn/2，且^MX`=1^ζ\'k^ζ\'`=∞Xn=2^bnqn+∞Xn=2^cnk（2q/σ）1/2qn/2。因此f（t，k）k级=-∞Xn=10亿+1 nn！-∞Xn=0cn+2хn（t；c）k>1，c=√2对数（k）σ∞Xn=1^bn+1 nn+∞Xn=0^cn+2^n（t；c）- 1千≤ 1，c=-√2对数（k）σ，t≥ 0，（4.29），其中相同的收敛性质适用于定理6（i）和7（i）中的级数。Fubini定理的应用表明pt（对数（k）k（q） =ddk-P（eXe（q）>k）q=k×MX`=1ζ\'k-ζ\'k>1^MX`=1^ζ\'k^ζ\'k≤ 1、重新定义n：=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），cn：=mM，n，m\'，n：=mN（\'β\'，n，\'ζ\'，n），1≤ ` ≤ M、 和^bn：=sn（^m1，n，^m2，n，…，^M^n，n），^cn：=^M^M，n，^p\'，n：=mn（\'^β\'，n，^ζ\'，n），1≤ ` ≤^M，给定Smx`=1ζ\'k-ζ`=∞Xn=2bnqn+∞Xn=1cnk-（2q/σ）1/2qn/2，且^MX`=1^ζ\'k^ζ`=∞Xn=2^bnqn+∞Xn=1^cnk（2q/σ）1/2qn/2，因此，f（t，k）k=k×∞Xn=10亿+1 nn+∞Xn=-1cn+2Дn（t；c）k>1，c=√2对数（k）σ∞Xn=1^bn+1 nn+∞Xn=-1^cn+2^n（t；c）k≤ 1，c=-√2对数（k）σ，t≥ 0，（4.30），其中我们定义了-1（t；c）：=经验(-c/（4t））√4定理6（i）和7（i）中的级数具有相同的收敛性质。因此，现在将看涨/看跌期权价格写为参数S的函数，通常k=k，我们有：定理8。

假设X ful满足风险中性条件，σ>0。然后C（T，S）S=e-rT公司f（T，k）- kf（T，k）k,C（T，S）S=e-rTSk公司f（T，k）K此处f（t，k）坎德f（t，k）分别保存表格（4.29）和（4.30）。备注4。put调用奇偶性意味着P（T，S）S=C（T，S）S- 1和P（T，S）S=C（T，S）S（b）第80.20.40.60.81.0（b）节俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘揘（c）图7：7a中的价格c（0.1，S），选项deltaC（0.1，S）Sin 7b和gamma选项C（0.1，S）自7C示例5（选项Delta和Gammas）起。我们计算C（0.1，S）沙C（0.1，S）对于参数K=10、r=0.03的期权，基本过程由参数集1定义，σ=0.042和a=0.141875。结果和价格如图7所示。符号M=^M={10、10、10、10、10、12、12、16}到处都使用。+备注5（扩展和潜在扩展）。我们在这里概述的技术并不局限于看涨期权和看跌期权或金融应用。例如，开发XT的累积分布函数和密度的分析公式相对简单（后者提供σ>0）；我们只需要稍微修改一下计算选项Delta和Gamma的方法。此外，回顾示例1，我们看到up和out数字选项的价格也表示为解{ζ`}1的基本变换之和≤`≤M

对于这种类型的选项，复制我们的方法并不困难（尽管可能会有点乏味）；事实上，应该有可能更普遍地调整方法，以适应障碍或回顾选项。此外，可以合理地假设也可以扩展到其他相关流程。例如，亚纯过程类（参见例如[24]）可以被认为是超指数过程的推广；关键区别在于我们允许N和^N取值+∞所以拉普拉斯指数不再是一个有理函数，而是一个可处理的亚纯函数。如果我们可以证明求和顺序的各种变化是合理的，最明显的是公式3.3、3.5、3.7，那么这种方法也应该推广到这一类。此外，我们可以考虑一类具有有理变换跳跃的过程，本质上是那些拉普拉斯指数为有理函数的L'evy过程（包括相位型L'evy过程）。这种情况的复杂性在于，我们可能会有具有更高多重性的非实数极点，并且我们会失去交错特性致谢这项工作得到了奥地利科学基金（FWF）项目F5508-N26的支持，该项目是“准蒙特卡罗方法：理论与应用”特别研究项目的一部分。附录A附加证明我们会说，一个L’evy过程X有一个k次指数矩，对于k∈ R、 如果E[ekXt]<∞ 对于所有t≥ 一个等价的陈述（见[25]中的定理3.6）是r | x |>1ekν（dx）<∞, 式中，ν（dx）是l'evy度量。我们注意到，任何满足风险中性条件的超指数过程都有（1+ε）-次指数矩，其中0<ε<ρ- 1、提案1。如果X是一个具有第一指数矩且σ>0的L'evy过程，则f（t，k）k=-P（外部>k），和kf（t，k）k=pt（log（k））k，其中pt（x），x∈ R、 是Xt的密度。

此外，对于固定k，两者f（t，k）坎德kf（t，k）kare t.Proof的连续函数。我们首先注意到，由于σ>0（见[29]中的E.29.14），XT对所有t>0的密度都是平滑的。第一个恒等式来自公式F（t，k）=Z∞log（k）exdFt（x），其中Ft（x）=P（Xt>x）。应用部分积分，然后对k进行微分，得出结果。从X的随机连续性可以看出，xs收敛于Xtas s的非分布→ t、 因为Xt有一个密度，（log（k），∞) 是Xt的连续集，通过Portmanteau引理，我们得到了lims→tP（eXs>k）=P（eXt>k），这证明了f（t，k）k、 然后，通过对k的微分，我们立即得到kf（t，k）k、 t的连续性有助于证明密度pt（x）的连续性。然而，展示thatlims相对容易→tZ公司∞-∞|φs（z）- φt（z）| dz→ 0，其中φs（z）=etψ（iz），z∈ R、 是Xs的特征函数。因此，对于x∈ R我们有| ps（x）- pt（x）|=2πZ∞-∞eixzφs（z）dz-2πZ∞-∞eixzφt（z）dz≤Z∞-∞|φs（z）- φt（z）| dz，事实上，遵循一致连续性。U参考文献[1]M.Abramowitz和I.A.Stegun，编辑。数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。国家标准局，华盛顿，第十版，1972年。[2] S.Asmussen、Pistorius Avram、F.和M.R.指数阶段型L'evy模型下的俄罗斯和美国看跌期权。随机过程及其应用，109:79–1112004。[3] S.Boyarchenko。跳跃扩散模型中的两点边界问题和永久美国扼杀。http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.896260，2006年。预印本。[4] N.Cai、N.Chen和X.Wan。在灵活跳跃差异模型下定价双障碍期权。运筹学快报，37:163–1672009。[5] 蔡先生和寇先生。混合指数跳跃扩散模型下的期权定价。

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