（2.4）同样，假设k≥ f（z）收敛于某个球B，然后对于c>0和z∈ Bwe havecf（z）=∞Xn=0pnzn，p：=p（c，f）：=cf，（2.5），对于n∈ N、 pn：=pn（c，(R)fn）：=N！nXm=1cf（log（c））mBn，m（1！f，2！f，…，（n- m+1）！fn公司-m+1），（2.6），其中{Bn，m}n≥0，m≥0是指数部分Bell划分多项式（参见[8]中的定义11.2）。（2.6）的推导源自Fa\'a di Bruno对高导数链式规则的推广（见[21]中的引理1.3.1）。注意，我们将写pn（c，-(R)fn）用于c系列扩展的系数-f（z）。如果F={F（z），F（z），…fN（z）}是形式（2.1）的系列集合，我们将第i个系列的n-thcoefficient写为fi，n，第i个系列的第一个非零系数的索引写为ki。如果ki≥ 0表示所有fi（z）∈ F的所有成员都会聚在一个公共球B上，那么众所周知，对于z∈ BNXi=1fi（z）=∞Xn=jsnzn，sn：=sn（f1，n，f2，n，…，fN，n）：=NXi=1fi，n，（2.7），其中j=min{k，k，…，kN}，当n<ki时，我们设置fi，n=0。类似地，对于z∈ B、 NYi=1fi（z）=∞Xn=jmnzn，mn：=mn（\'f1，n，\'f2，n，…，\'fN，n）：=πNn，（2.8），其中j=PNi=1ki，πnni递归定义为πn：=f1，nandπin：=nXk=0πi-1kfi，n-k、 我∈ {2，3，…，N}；当n<ki时，我们再次遵守约定fi，n=0。对于某些映射t:C，我们还可以考虑形式为f（t（z））的对象→ C、 很明显，对于某些z，我们有f（t（z））∈ C、 那么f（z）在B上绝对收敛（| t（z）|），因此f（t（z））在t上绝对收敛-1[B（| t（z）|）]。然后，只需将（2.3）和（2.5）中的z替换为t（z），就可以导出t（z）幂的1/f（t（z））和cf（t（z））的级数表达式，并理解级数收敛于t（z）形式的集合上-1[B]；我们将避免这些集合为空的任何情况。

类似地，如果我们将z替换为t（z），那么公式（2.7）和（2.8）也适用，前提是我们考虑适当的域。这种级数，即z被z的某种变换所取代的级数，在我们想要推导逆级数时自然会出现。这可以通过拉格朗日反演定理（文献[27]中的定理3.4和3.6）实现。这告诉我们如果k≥ 1且w=B（R）上的f（z），则存在R>0这样的f（z）具有k值逆f-表格B（R）上的1（w）-1（w）=∞Xn=1lnwn/公里，（2.9），其中LN=n！dn-1dzn-1（κ（z））nz=0，κ（z）：=z（f（z））1/ks，（2.10），其中（f（z））1/ks是多值（f（z））1/km的任何单值分支。通过选择（κ（z））n=f，可以得到Ln的显式公式-n/kk1+fk+1fkz+fk+2fkz+。-n/k.（2.11），并应用Fa\'a di Bruno公式。该产量ln：=ln（k'fn+k-1） ：=n！fn/kkn-1Xm=1(-1） m级nk公司mBn公司-1，米1.fk+1fk，2！fk+2fk，···，（n- m） 哦！fk+n-mfk公司,（2.12）式中（x）i：=x（x+1）····（x+i）-1） 表示上升阶乘。公式2.12适用于所有n≥ 2.对于n=1，我们设置l：=l（k'fk）：=1/k√fk6=0，可通过（2.11）和（2.10）进行调整。备注1。虽然本节中的公式有点令人望而生畏，但应该注意的是，大多数具有符号计算组件的软件包都有处理序列操作的例程，即使对于参数的分数幂也是如此。因此，无需手动进行计算，甚至无需编写计算机程序来计算（例如）倒数或反级数的系数。在本文的其余部分，我们使用Mathematica实现来执行所有系列操作；相应的软件可以在作者的网页上找到。所有计算都是在一台内存为32GB、Intel i7-2600KCPU@3.40GHz的机器上进行的。

2.3以级数表示的拉普拉斯变换的逐项反演在这一简短的部分中，我们回顾了Doetsch[11]关于由级数给出的拉普拉斯变换反演的一个重要结果，并陈述了一个有用的推论。这些将是第4节中发展期权价格系列扩展的关键。在这里和整个过程中，我们使用符号L{f}（z）或{f（t）}（z）来表示函数f（t）的拉普拉斯变换，它被定义为L{f}（z）：=z∞e-ztf（t）dt。（2.13）拉普拉斯变换的一个关键结果是，如果积分收敛于某个z∈ 然后它会收敛到所有z∈ Hzand是z的解析函数。请注意，在本节中，符号Fn用于表示函数，而非上一节中的常数系数。定理1（Satz 30.1 in【11】）。假设，对于某些函数集合{fn（t）}n≥0，空间变换Gn（z）：=R∞e-zt | fn（t）| dt和fn（z）：=每n存在L{fn}（z）∈ Z+在一些公共半平面上Hz。此外，假设序列g（z）：=∞Xn=0Gn（z），因此F（z）：=∞Xn=0Fn（z），（2.14）收敛于Hz。那么，P∞n=0fn（t）绝对收敛，并且对于几乎所有t≥ 0到函数f（t）。进一步的L{f（t）}（z）=f（z）。以下推论直接来自定理6以及Satz 5.1、5.5和Satz 30.2in【11】。尤其是Satz 30.2是以下内容的通用版本。推论1。假设f（t）是[0]上的连续函数，∞) 因此，对于大约0≤ R<∞L{f}（z）=∞Xn=k+janzn/k，z∈ HR，其中k∈ {1，2}和j∈ Z+，级数在CR上收敛。Thenf（t）=∞Xn=1月+kΓnk+1tn/k，且级数收敛于所有t∈ C、 超指数过程的3个关键结果3.1概述回顾超指数过程X的拉普拉斯指数ψ（z）是形式（1.1）的有理函数，实数极点{ρ`}1≤`≤Nand{-^ρ`}1≤`≤^N，我们假设它是根据增加的震级排列的。

此外，方程ψ（z）=q的解特别有趣。当q>0时，不难证明这些都是真实的；我们用{ζ`}1表示正（或负）解≤`≤M级({-^ζ`}1≤`≤其中M=N或M=N+1（分别为M=N或M=N+1）和M（分别为M）由σ和a值决定。如果我们想强调参数q，我们将写下，例如ζ`（q）。重要的是，我们有交错属性-^ρ^N<-^ζN<。- ^ρ< -^ζ< -^ρ< -ζ<0<ζ<ρ<ζ<ρ<…<ζN<ρN.（3.1）当σ6=0时，我们有M=N+1和^M=^N+1，即我们有两个附加解-^ζ^和ζMoccurring至-ρ与ρ分别为。否则，如果σ=0且a>0，则M=N+1且^M=^N，如果σ=0且a<0，则M=N且^M=^N+1。同样，在以下情况下-^ζ和ζM表示其他溶液，它们将出现在-ρ与ρ分别为。最后，如果σ=0和a=0，则^M=^N和M=N，并且没有其他解。这些想法如图1所示，其中显示了σ=0，a>0的情况。我们感兴趣的是随机变量Xe（q）的分布，它表示随机时间e（q）处的进程x。这里e（q）是一个指数随机变量，与X无关，平均值为q-1、为了确定Xe（q）的分布，我们采用拉普拉斯变换，其FORMF（z；q）：=E[Ezze（q）]=qq- ψ（z），-^ζ<Re（z）<ζ，并观察到，与ψ（z）一样，F（z；q）扩展到C上的有理函数。从上面的讨论中，很明显，F（z；q）在点{ρ`}1处有简单的零≤`≤Nand{-^ρ`}1≤`≤^和{ζ`}1点的简单极点≤`≤曼德{-^ζ`}1≤`≤^M.为了简化以下内容的表示，我们采用旋转γ：=q+PNn=1an+P^Nn=1^an, （3.2）并遵守约定ρ：=ρ：=0和ρN+1：=ρN+1：=+∞.ρNζm图1：ψ（z）的曲线图。

垂直虚线表示极点的位置，而水平虚线表示q的位置。定理2。随机变量Xe（q）具有分布PXe（q）∈ dx公司= qαδ（dx）+qI（x>0）MX`=1e-ζ\'xψ（ζ`）- I（x<0）^MX`=1e^ζ\'xψ(-^ζ`)dx，其中σ和a均为零时α=γ，否则α=0。证据F（z；q）的部分分数分解的形式为F（z；q）=c+MX`=1Res（F，ζ`）z- ζ`+^MX`=1Res（F，^ζ`）z+^ζ`=c-MX`=1qψ（ζ`）（z- ζ`）-^MX`=1qψ(-对于某些常数c，可以取极限z→ +∞ 在前面表达式的左侧和右侧。很容易看出，只有当σ和a都为零并且在这种情况下取值qγ时，c才是非零的。现在，反转拉普拉斯变换得到结果。utRemark 2。读者可能希望将定理2与[24]中的定理2（v）进行比较，后者给出了亚纯过程族的类似结果让我们通过定义两个特定的参数集来结束本节，我们将在本文的其余部分中使用这两个参数集作为数字示例。这些数据取自【18】，通过近似VG和NIG过程从股市数据中得出。

我们定义：参数集1：{a，a，a，a，a，a}={0.0255，0.0255，0.0510，0.3060，0.6120，0.9690，3.1110}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={5，10，15，25，30，60，80}{a，^a，^a，^a，^a，^a}={{0.3200、0.1920、0.7040、0.5120、0.6400、2.5600、1.4720}{ρ、ρ、ρ、ρ、ρ、ρ、ρ}={5、10、15、25、30、60、80}，参数集2：{a，a，a，a，a，a}={0.0066，0.0154，0.4620，0.1760，0.5720，0.4180，0.5500}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={5，10，15，25，30，60，80}{^a，^a，^a，^a，^a，^a，^a}={0.0300，0.2700，0.9300，0.9300，0.3000，0.2400，0.3000}{ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ，ρ}={2，5，10，30，50，80，100}。3.2ψ（z）=qIn的解本节，使用第2.2节中开发的工具，我们推导出ψ（z）=q的解的级数展开式，对于q∈ C使得| q |很大。我们注意到解的编号、顺序和多重性{ζ`}1≤`≤曼德{-^ζ`}1≤`≤^M，我们为实际q>0定义，特别是交错属性（3.1），如果我们允许q是复数，则失去其意义。然而，我们在这里显示，对于每个ζ`，1≤ ` ≤ M（分别为^ζ`，1≤ ` ≤当ψ（z）=q足够大时，存在一个解z`（分别为^z`），它是C+兰德上的一个解析函数，对应于{ζ`}M`=1的精确元素∪{-^ζ`}M`=1，即ζ`（分别为^ζ`）。也就是说，每个ζ`（分别为^ζ`）可以扩展到一个解析函数，该解析函数也可以解ψ（z）=q，前提是q∈ C+足够大。我们将使用相同的符号表示此扩展解，即ζ`（分别为^ζ`）。首先，让我们定义函数g（z；`）：=ψ（z+ρ`），1≤ ` ≤ N、 ^g（z；`）：=ψ（z- ^ρ`），1≤ ` ≤^N和h（z）：=ψz.我们的第一个目标是导出这些函数在0的洛朗级数展开式。

从h（z）开始，利用几何级数的求和公式，我们得到h（z）=σz-2+az-1.-NX`=1a`1- ρ\'z+^NX`=1^a\'1+ρ\'z=σz-2+az-1个+∞Xn=0ηnzn，（3.3）ηn：=-NX`=1a`（ρ`）n+(-1） n^NX`=1^a`（^ρ`）n, （3.4）在删除的邻域0<| z |<minnρN，ρ^No上有效。接下来，我们将写{hn}N≥-2参考h（z）的膨胀系数。继续，再次通过几何级数技术，我们得到g（z；`）=σ（z+ρ`）+a（z+ρ`）+（z+ρ`）NXn=1anρn- （z+ρ`）-^NXn=1^an^ρn+（z+ρ`）= -a`ρ\'z-1个+σρ`+aρ`+ω+σρ`+a+ωz+σ+ ωz+∞Xn=3ωnzn，（3.5）ωn：=ω\'，n：=NXi=1i6=`aiρ`ρi- ρ`-^NXi=1^aiρ`^ρi+ρ`- a` n=0NXi=1i6=` aiρi（ρi- ρ`）n+1+(-1） n^NXi=1^ai^ρi（^ρi+ρ`）n+1n∈ N、 （3.6）对于0<| z |<min{|ρ有效`-1.- ρ`|, |ρ`+1- ρ` |}。以类似的方式，我们得到^g（z；`）=σ（z- ^ρ`）+a（z- ^ρ`）+（z- ^ρ`)NXn=1anρn- （z）- ^ρ`）-^NXn=1^an^ρn+（z- ^ρ`)= ^a`^ρ\'z-1个+σ^ρ`- a^ρ`+ω+一- σρ`+ωz+σ+ ^ωz+∞Xi=3^ωnzn，（3.7）^ωn：=^ω\'，n：=^NXi=1i6=`^ai^ρ`ρi- ^ρ`-NXi=1ai^ρ`ρi+ρ`- ^a` n=0NXi=1aiρi（ρi+^ρ`）n+1+(-1） n^NXi=1i6=`^ai^ρi（^ρi- ^ρ`）n+1n∈ N、 （3.8）对于0<z<min{ρ`-1.- ^ρ`|, |^ρ`+1- ^ρ`|}. 接下来我们将写{g\'，n}n≥-1或{gn}n≥-1对于g（z；`）的展开系数，我们将采用类似的表示法表示^g（z；`）。此外，我们提醒读者k'fn表示集合{fn}n的第一个n+k+1元素≥k、 例如，序列的第一个n+k+1系数，以及sn、mn、rn、Pn和Ln分别表示通过求和、乘法、倒数、cz合成和换算得出的序列的系数。分别见第2.2节（2.2）、（2.7）、（2.8）、（2.4）、（2.6）、（2.12）。定理3。（i） 假设σ>0。

然后存在R>0，这样对于q∈ C+RζM=∞Xn=-1bnqn/2，且^ζ^M=-∞Xn=-1个(-1） nbnqn/2，（3.9），其中BN=rn（\'cn+2），ci=li（\'di+1），dj=rj(-2英寸hj-4） ，且（3.9）中的级数收敛于CR.（ii）如果σ=0且a>0（分别为a<0），则存在R>0，使得对于q∈ CR，ζM=∞Xn=-1BNQNREP。^ζ^M=-∞Xn=-1bnqn！，式中，bn=rn（\'cn+2），ci=li（\'di），dj=rj(-1英寸hj-2） ，级数收敛于CR.Proof。我们只证明σ>0的情况，其他情况可以用基本相同的方式证明。对于大的| q |，我们想求解ψ（z）=q。设置z=vand q=wwe请参见，对于较小的| w |，这相当于求解w=h（v）。我们首先确定h（v）倒数的展开式。这将产生w=∞Xj=2rj(-2英寸hj-4） vj公司=∞Xj=2djvj，在零附近有效。现在我们反转序列；选择我们得到的平方根函数的主分支作为一个解V=∞Xi=1li（(R)di+1）wi/2=∞Xi=1ciwi/2，这在接近零时仍然有效。将结果序列再次往复=∞Xn=-1rn（(R)cn+2）wn/2=∞Xn=-10亿/2=∞Xn=-10亿q第2页。（3.10）由于w中的级数在某些R>0时收敛于B（1/R1/2），因此（3.10）的右侧收敛于CR；此外，我们还有∞Xn=-10亿q编号/2=∞Xn=-这个表达式的右侧显然也收敛于CR。因此，我们得到z=（2q/σ）1/2+b+O（q-1/2）以便z→ +∞ 作为q→ +∞. 从交错性质（3.1）可知，ψ（z）=q的所有其他解的值都严格小于ρ，对于实q；因此，zm必须对应于ζM。类似的推理和选择平方根收益率的另一个分支的结果为^ζM。

UT以下推论或多或少直接遵循定理3和第2.2节讨论的级数运算；校样交给读者。推论2。假设σ>0且{bn}n≥-1如定理3（i）所示。（i） 存在R>0使得ζM=∞Xi=1 IQI/2，且^ζ^M=-∞Xi=1(-1） iciqi/2，q∈ C+R，其中{ci}i≥1如定理3（i）所示，级数收敛于CR。（ii）存在R>0，因此对于c：=b- 1，cn：=bn，n 6=0，dn：=(-1） ncn，n≥ -1，我们有ζM- 1个=∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qn/2和^ζM+1=-∞Xn=1rn(-1英寸dn-2） qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR.（iii）存在R>0，因此对于cn：=(-1） nbn，n≥ -1、我们有-ζM=k-（2q/σ）1/2∞Xn=0pn（k，-(R)bn）qn/2，k^ζ^M=k（2q/σ）1/2∞Xn=0pn（k，-中国）qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR.（iv）存在R，我们有ζM=∞Xn=12.- nbn公司-第2季度，以及-^ζ^M=∞Xn=1(-1） n个2.- nbn公司-2qn/2，q∈ C+R，级数收敛于CR3推论。假设σ=0，a>0（分别为a<0），且{bn}n≥-1如定理3（ii）所示。（i） 存在R>0使得ζM=∞Xi=1 IQIRESP。^ζ^M=-∞Xi=1ciqi！，q∈ CR，其中{ci}i≥1如定理3（ii）所示，级数收敛于CR。（ii）存在R>0，使得ζM- 1个=∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qnresp。^ζ^M+1=-∞Xn=1rn(-1中国大陆-2） qn！，q∈ CR，其中c：=b- 1，cn：=bn对于n 6=0，级数收敛于CR.（iii）存在R>0，使得k-ζM=k-问/答∞Xn=0pn（k，-十亿）QNREP。k^ζ^M=k-问/答∞Xn=0pn（k，-十亿）qn！，q∈ CR，其中级数收敛于CR。（iv）存在R>0，使得ζM=∞Xn=0（1- n） bn公司-1QNREP。-^ζ^M=∞Xn=0（1- n） bn公司-1qn！，q∈ CR，级数收敛于CR。现在，我们将注意力转向剩余解{ζ`}1≤`≤N、 和{ζ`}1≤`≤^N.将g（z；`）和^g（z；`）的洛朗级数表示的系数写成{gn}N是很方便的≥-1和{^gn}n≥-1不参考索引“”。

然而，读者应该注意到，当描述ζ`的{gn}n级数展开时≥-1我们总是想要g（z；`）的系数，同样地，对于^ζ`。定理4。对于每个1≤ ` ≤ N（分别为1≤ ` ≤^N），存在R>0，使得ζ`=∞Xn=0bnqnresp。^ζ`= -∞Xn=0^bnqn！，q∈ CR，其中b=ρ`（分别为^b=-ρ），bn=ln（\'cn），ci=ri(-1’gi-（2）响应。^bn=ln中国大陆, 和^ci=ri-1英寸gi-2.,级数收敛于CR.Proof。我们只证明了正解的结果，而负解的结果的证明是相似的。我们的目标是求解g（z；`）=q（对于大的| q |），或者通过改变变量q=w，来求解g（z；`）=w（对于小的| w |）。我们首先确定g（z；`）的倒数展开式。这就产生了，对于接近零的z，w=∞Xi=1rn(-1’gi-2） zi公司=∞Xi=1cizi。现在我们反转givingz系列=∞Xn=1ln（(R)cn）wn=∞Xn=1bnqn，（3.11），其中，对于某些R>0，左侧收敛于B（1/R），因此右侧收敛于CR。现在我们让v=z+ρ`。仍然需要证明ρ`-当q>0足够大时，1<v<ρ\'，或等于z<0。然而，如果情况并非如此，即如果每M>0，我们可以找到一个q>M，使得z≥ 0，那么，从z开始→ 0，对于至少一个这样的z，我们将使g（z；`）=ψ（v）<0 6=q或g（z；`）=ψ（ρ`）6=q；这可以从（1.1）中ψ（z）的定义以及图1的视觉效果来验证。根据交错特性（3.1），我们得出结论，v必须对应于ζ`。UTT使用定理4和级数运算规则可以直接证明以下推论；我们把证据留给读者。推论4是推论2和3的类似物。推论4。对于每个1≤ ` ≤ N（分别为1≤ ` ≤对于（i）、（ii）、（iii）和（iv）中的每一个，存在R>0，使得级数表示保持并收敛于所有q∈ 整个{bn}n的CR≥0（分别为。

{^bn}n≥0）如定理4所定义。（i） ζ`=∞Xn=0rn（(R)bn）qn响应。^ζ`= -∞Xn=0rn十亿欧元qn公司（ii）假设ρ>1，我们有ζ`- 1个=∞Xn=0rn（(R)cn）qnresp。^ζ`+1=-∞Xn=0rn中国大陆qn！，其中c=b- 1和cn=bn（分别为^c=^c- 1和^cn=^bn）否则。（iii）任何k>0k-ζ`=∞Xn=0pn（k，-十亿）QNREP。k^ζ`=∞Xn=0pn（k，-\'\'bn）qn！。（iv）ζ`=∞Xn=2（1- n） bn公司-1QNREP。-^ζ`=∞Xn=2（1- n） 十亿欧元-1qn！示例1（通过拉普拉斯变换的奇异期权定价）。设X为参数集1定义的过程，设置σ=0.042，a=0.141875。此外，我们将X定义为运行supremum进程，即Xt：=sups≤tXsand考虑计算D（t）：=D（t；k）：=e的问题-rtPXt<对数（k）对于某些固定的t，k，r>0。读者可能会认识到，D（t）代表欧洲升级和升级数字选项的价值。使用维纳-霍普夫因式分解，可以直接显示l{ertD（t）}（q）=1-P`=1β\'k-ζ\'q，其中β`:=β`（q）：=q`=k1.-ζ`（q）ρk第一季度≤k≤8k6=`1.-ζ`（q）ζk（q）, 1.≤ ` ≤ 8.有关推导的更多详细信息，请参见[18]。为了恢复ertD（t），我们需要计算2πiZc+iRetqL{ertD（t）}（q）dq=<ectπZ∞eitu1-P`=1β`（c+iu）k-ζ`（c+iu）c+iudu！式中，c>0，通常i：=√-右边的积分需要通过数值求积规则进行计算；特别是，对于求积中的每一步，我们需要计算{ζ`（c+iu）}1≤`≤8数字。虽然有几种很好的数值方法可以做到这一点，但thisDisc。步骤示例。LimitD（0.25）Method 1D（0.25）Method 2 TimeRoots Method 1 TimeRoots Method 2 Totalimemethod 1 Totalimemethod 20.896525 0.896525 2.852 0.956 3.364 1.4600.896764 0.896764 27.428 6.332 32.488 11.3920.896865 0.896865 273.224 56.300 323.876 106.976表1：D（0.25），采用两种方法，采用不同的离散化步骤数和集成上限。时间以秒为单位。

“时间根”是指算法计算根所花费的时间；“Total time”是计算D（0.25）所需的总时间。“根查找”通常是算法中时间最密集的部分。为了加快计算速度，我们可以用数值方法代替{ζ`（c+iu）}1≤`≤8一旦u足够大，则通过定理3和4的（截断的）系列展开（通常选择较大的c不会产生可靠的算法）。为了验证这一想法，我们使用了【23】第5节中提出的寻根算法，该算法可以描述如下：a）区分单位ψ（ζ`）=q与u的关系，b）使用中点法等数值方法在u的离散化过程中的每一点求解ζ`的最终ODE。在每一步中，通过应用牛顿寻根算法的两到三次迭代来提高估计值。为了计算积分，我们使用菲隆求积[13，14]。有关组合方法的概述，即寻根法和费隆求积法，请参见【15】中的第5.2章。固定t=0.25、k=1.1、r=0.03和c=0.5，我们使用上一段中描述的方法（方法1）计算D（0.25），并使用u>80的截断数列替换数值根查找技术（方法2）计算D（0.25）。为此，我们使用q级以下的系列-10对于所有1≤ ` ≤ 根据我们对精度的需要，我们可以在应用Filon求积时改变离散化步数和积分上限。表2对这两种方法进行了比较。我们发现，方法1查找根的时间是方法2的3到4.5倍，总时间大约是方法2的2到3倍。我们发现价格精确到小数点后12位。方法2的时间中不包括计算{ζ`}1级数展开系数所需的时间≤`≤8.

然而，总的来说，这是可以忽略的：所有系数约为0.1秒。为了进一步了解级数展开的准确性，我们还在图2和图3中给出了一些图形实验。在所有情况下，我们在q阶截断级数-10、在图2a中，weseeζ（q）（蓝色）的曲线图o) 和^ζ（q）（红色), 式中，q=0.5+iu，u∈ [80, 150]. 对应误差|ψ（ζ）-q |和|ψ(-^ζ) -q |如图2b所示。此外，我们计算了图2c中的ζ和^ζ，并显示了误差|ζ-1/ψ（ζ）|和|-^ζ-1/ψ(-^ζ）|如图2d所示。请注意，一旦q很大，因此ζ`是一个解析函数，我们可以区分ψ（ζ`）=q的两侧，相对于q，表示ζ`=1/ψ（ζ`），类似地-^ζ`= 1/ψ(-^ζ`); 这是导数误差计算的基础。ζ和^ζ的相同信息如图3所示。+雷姆（a）5。' 10-81. '10-71.5'10-7（b）俎俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬俬Д5。' 10-91. \'10-81.5\'10-82。' 10-82.5 ' 10-83. \'10-8（d）图2：ζ（蓝色）曲线图o) 和^ζ（红色) 如2a所示，错误如2b所示。ζ和^ζ的曲线图显示在2c中，误差显示在2d中。4欧式期权价格的分析公式和Greek在本节中，我们通过指数超指数过程对股票价格S进行建模。也就是说，wesetSt：=SeXt，t>0，其中S>0是时间零点的股票价格，X是满足ψ（1）=r>0和ρ>1的超指数过程，r表示某种固定利率。后一个条件确保贴现过程e-RTSTI是一个鞅，换句话说，所谓的风险中性条件是满足的。

我们将简单地说，当ψ（1）=r>0且ρ>1时，X ful满足风险中性条件。众所周知，在这种情况下，欧洲看跌期权的理论价格由表达式C：=C（T）：=e给出-rTE[（ST- K） +]，响应。P：=P（T）：=e-rTE[（K- ST）+)（a）第59.8059.8559.9059.9560.0060.0560.10Re0.60.81.01.21.41.61.8Im（a）段第五节。' 10-71. \'10-61.5\'10-62。' 10-62.5 ' 10-63. 第10-6（b）条（b）条（a）条（b）条（a）条（b）条（a）条（a）条（b）条（b）条（b）条Д5。' 10-101. ' 10-91.5 ' 10-92. \'10-92.5\'10-93。\'10-93.5\'10-9（d）图3：ζ（蓝色）曲线图o) 和^ζ（红色) 如3a所示，错误如3b所示。ζ和^ζ的曲线图显示在3c中，误差显示在3d中。其中，K>0是履约价格，T>0是到期日期，（x）+=最大{0，x}，x∈ R、 写入C（T）=e-rT×S×f（T），f（T）：=E[（eXt- k） +]，k：=KS（4.1）允许我们专注于评估C（T）的困难部分，即评估f（T），而无需附带其他条款。让w（t）和w（q）类似地定义为put P（t）。如果我们取f（t）的拉普拉斯变换，我们会看到f（q）：=Z∞e-qtf（t）dt=qE[（eXe（q））- k） +]（4.2），其中e（q）再次是平均值为q的指数随机变量-由于我们从定理2中知道了Xe（q）的分布，我们可以用{ζn}1来计算F（q）的显式表达式≤n≤命令{ζn}1≤n≤^Mas我们在下面做。假设首先k>1，即看涨期权不在货币范围内（OTM），我们有f（q）=qZR（ex- k） +P（Xe（q）∈ dx）=Z∞对数（k）（ex- k） MX`=1e-ζ\'xψ（ζ`）dx=kMX `=1k-ζ`ψ(ζ`)ζ`(ζ`- 1） 。现在，如果q足够大，我们可以用ζ`替换1/ψ（ζ`），类似地，1/ψ(-^ζ`）由-^ζ`.

因此，对于足够大的q>0，当k>1时，我们有f（q）=kMX`=1ζ\'k-ζ`ζ`(ζ`- 1） ，（4.3）当k=1时，我们有f（q）=MX`=1ζ`ζ`（ζ`- 1） （4.4）最后，当k<1时，我们得到w（q）=k^MX`=1^ζ\'k^ζ` `（^ζ`+1）。（4.5）我们注意到，虽然公式4.3-4.5是在假设q为实的情况下推导出来的，请参见（4.2），但拉普拉斯变换的性质确保，由于（4.2）对所有q>0都成立，函数f（t）和w（t）的拉普拉斯变换，即L{f}（q）和L{w}（q）都得到了很好的定义和分析（请参见[11]中的定理3.4和6.1]）。此外，推论2、3和4（iv）以及{ζ`- 1, ζ`}1≤`≤M、 或{^ζ`+1，^ζ`}1≤`≤当Re（q）足够大时，q为零，表明公式4.3–4.5实际上定义了半平面hqf上的解析函数，对于某些q>0。但是，L{f}（q）和f（q）（分别是L{w}（q）和w（q））都是对HQ的分析，它们在HQ上是一致的∩ R、 调用解析延拓的参数（见[22]中的推论3.2.4.1）表明，事实上，Hq上的L{f}（q）=f（q）（分别为L{w}（q）=w（q）），即公式4.3–4.4（分别为4.5）在半平面hqa中有效，并且等于函数f（t）（分别为w（t））的拉普拉斯变换。现在，我们利用这一事实和上一节推导的级数展开式，从最简单的情况k=1开始，即在货币（ATM）情况下，发展期权价格C的收敛级数展开式。为了便于记法，我们定义ξ“：=1/ζ”和“：=1/（ζ`- 1） ，对于1≤ ` ≤ M、 和^ξ`：=1/^ζ`，和^`：=1/（^ζ`+1），对于1≤ ` ≤^M，（4.6），并提醒读者，一定数量系列的总和（相应乘积）的第n个系数表示为sn（相应mn）。引理1。

假设X ful满足风险中性条件，S=K.（i）如果σ>0，则存在R>0，使得以下等式适用于q∈ C+Rand系列收敛于q∈ CR:F（q）=∞Xn=3bnqn/2，其中bn=（sn/2+mM，nn evenmM，nn odd，sn=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），m`，n：=mN（\'ξ\'，n，\'\'，n，\'ζ\'，n），对于1≤ ` ≤ M、 （ii）如果σ=0，则存在R>0，从而以下等式成立，级数收敛于q∈ CR:F（q）=∞Xn=2bnqn其中bn=sn（m1，n，m2，n，…，mM，n），和{m\'，n}1≤`≤如（i）所述。证据使用公式4.4并应用推论2、3和4。utTheorem 5（ATM看涨期权价格）。假设X ful满足风险中性条件andS=K.（i）让σ>0且{bn}n≥3如引理1（i）所示。ThenC（T）=e-rTS∞Xn=10亿+2万亿/2Γn+1, T≥ 0，（4.7），右侧的级数收敛于T∈ C、 （ii）设σ=0和{bn}n≥2be如引理1（ii）所示。ThenC（T）=e-rTS∞Xn=10亿+1万亿！，T≥ 0，（4.8），右侧的级数收敛于T∈ C、 证明。应用引理1和推论1以及f（t）是连续函数的事实；后一种说法源自L'evy过程的随机连续性。UT示例2（ATM隐含波动率）。我们考虑一个简单的情况：B是一个没有跳跃的超指数过程，即N=^N=0，因此σ>0，即B产生经典的Black-Scholes模型。进一步假设K=S=1，r=0。利用定理5，我们可以计算光学价格，我们用CB（σ，T）表示，象征性地达到一个合理的高阶。例如，在顺序T9/2之前，我们有：CB（σ，T）=σ√2πT1/2-σ√2πT3/2+σ√2πT5/2-σ√2πT7/2+O（T9/2）。

（4.9）我们发现，我们可以在大约0.2秒内象征性地计算该系列的前四十项。考虑到前几个术语的形式，我们可能会问（4.9）是否也可以解释为σT1/2的一系列幂函数；事实上，从布莱克-斯科尔斯公式可以明显看出这一点。现在，我们假设有一个带跳跃的超指数过程X，即N或^N中至少有一个不为零，高斯分量σ>0，并且X满足风险中性条件。让CX（T）表示过程X下的期权价格，同样假设r=0，k=S=1。此外，让我们隐式地定义一个函数^σ（T）作为该值，其yieldsCB（^σ（T），T）=CX（T），T>0。（4.10）我们有兴趣找到^σ（T）的渐近展开式，即所谓的at the moneyimplicated volatility–有关此概念的适当讨论，请参阅[31]第4节或[9]第11节。为此，我们将s中（4.10）的左侧展开：=^σ（T）T1/2（c.f.（4.9）），并将这些序列倒置，以求解s的w的幂：=CX（T），即s=^σ（T）T1/2=√2πw+π3/2√w+7π5/2√w+127π7/2√w+4369π9/2√w+34807π11/2√w+O（w）。（4.11）然后我们用定理5展开CX（T），w=CX（T）=σ√2π√T+2a+σ+NX`=1a`ρ`- 1.T+3a+6aσ+6ησ+2σ√2πσT3/2+2a+σ2a+4η+σ+ 4ησ+NX`=1a`(ρ`- 1)2ω′，0+2aρ′+ρ′σ+ a`（2ρ`- 1)2（ρ`- 1） 哦！T+O（T5/2）（4.12），其中{ηi}i≥0和{ω\'，i}1≤N、 我≥0分别根据（3.4）和（3.6）中的工艺参数定义。最后，我们将（4.11）与（4.12）合成（关于级数合成的有效性、计算公式和收敛性，请参见[17]中的定理1.9b和2.4d），通过T1/2除以后，得到^σ（T）=σ+√2πbT1/2+π3/2b√+√2πb！T+π3/2bb√+√2πb！T3/2+O（T），（4.13），其中Bi是Ti/2in的系数（4.12），（4.13）对足够小的T有效。

如果我们在基本的L'evy过程X中假设无高斯分量σ，那么我们得到σ（T）=√2πbT1/2+√2πbT3/2+π3/2b√+√2πb！T5/2+O（T7/2），（4.14），其中Bi是膨胀系数x（T）=δ+NX`=1a`ρ`- 1.T+δ+NX`=1a`（2（ρ`- 1） （ω\'，0+aρ\'）+a\'（2ρ`- 1))2 (ρ`- 1） 哦！T+δ+NX`=1a`6（ρ`- 1） “3a”（ρ`- 1） （ρ’（ρ’（a- ω`,1) + 2ω`,0+ ω`,1) - ω`,0)+ 3 (ρ`- 1） （ω`，0+aρ`）+a `（3（ρ`- 1) ρ`+ 1)#!T+O（T），（4.15），其中δ=a，δ=a（a+2η），δ=aa+3aη+3η（a+η）,当a>0，否则为零时。通常δiis等于ξMMζM展开式的（i+1）项，由i！当a>0，否则为零时（见引理1和定理5）。在两者中案例<pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad><pad>245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；245；2450.000.050.100.150.200.000.050.100.150.20（a）ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o0.050.100.150.200.0050.0100.015（b）。' 10-131. ' 10-121.5 ' 10-122. \'10-12（c）图4:4a中参数集为1的过程的σ（T），σ=0.042，a=0.111875。图4b中所有展开式的误差和4c中仅100项展开式的误差。我们可以证明与[31]的命题5中的一般一项结果一致。这些结果表明，对于具有有限二阶矩和高斯分量的过程，我们具有有限的→0^σ（T）=σ（比较公式4.13），对于有限变化过程，一项渐近展开式为^σ（T）~√最大2πZ（ex- 1） +ν（dx），Z（1- ex）+ν（dx）T1/2，其中ν（dx）是L'evy度量。

在我们的案例中，很容易证实这一点（例如- 1） ν（dx）=NX`=1a`ρ`- 1和Z（1- ex）ν（dx）=^NX`=1^a`ρ`+1，风险中性条件意味着a=P^N`=1^a`ρ`+1-PN`=1a`ρ`-1、换句话说，b=δ+PN`=1a`ρ`-1=最大值R（ex- 1） +ν（dx），R（1- ex）+ν（dx）.原则上，这项技术为我们提供了一种根据过程的原始参数计算at货币隐含波动率的完全短期渐近展开的方法。这应该与[12]的两项展开式进行比较，据作者所知，这是迄今为止指数L'evy模型的最佳结果，尽管是在更一般的情况下。实际上，我们看到公式很快变大，符号计算非常耗时。我们用符号计算了多达6项的^σ（T）；通过在作者的网站上使用该软件包，可以获得多达六个术语的结果。请注意，如果计算^σ（T）是目标，即如果我们预先确定参数的数值，那么我们可以轻松计算100个或更多项。在图4中，我们计算了由参数集1定义的过程的1、2、5、10和100项σ（T）展开式，σ=0.042和a=0.111875，以及误差| CB（σ（T），T）-CX（T）|。在图5中，我们对参数集2定义的过程进行了相同的处理，σ=0，a=0.103896。标记为蓝色o, 红色, 紫色4、绿色5和洋红色 分别表示1、2、5、10和100项扩展。我们发现，计算图中所示10项近似值的50个值大约需要0.2秒，计算100项近似值大约需要20秒。

+我们可能会计算出现金流（ITM）和OTM病例的结果，以及额外的并发症，我们将使用formk的总和进行序列分析-Dq1/2qn/2和K-对于某些常数D，在继续之前，让我们将这些函数视为拉普拉斯变换，并建立它们的一些性质。éééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééáááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o0.000.050.100.150.200.000.050.100.150.20（a）ééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééééááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o~o¨¨¨¨¨¨¨¨¨0.050.100.150.200.0010.0020.0030.0040.0050.006（b）。' 10-134. ' 10-136. \'10-138。\'10-13（c）图5：对于参数集为2的过程，σ=0，a=0.103896 in 5a。图5b中所有展开的误差和5c中仅100项展开的误差。引理2。如果k>1且D>0或k<1且D<0，则（i）L（t- c） n个-1（n- 1） 哦！I（t≥ c）（q） =k-Dqqn（ii）和L（t-3月2日√π（n-1） 哦！Z∞总工程师-τ/（4t）τ（τ- c） n个-1dτ）（q）=k-Dq1/2qn/2其中n∈ N和c=D对数（k）。证据可以使用拉普拉斯变换表证明（i）和（ii）。（i）参见【11】第339页第26条以及反转e的一般规则-csG（s），其中G（s）具有aknown逆（例如参见[11]中的第337页）。对于（ii），我们使用（i）的结果和规则来反转G（s1/2），其中G（s）有一个已知的逆；再次参见【11】第337页。UT前进letДn（t；c）：=t-3月2日√π（n+1）！Z∞总工程师-τ/（4t）τ（τ- c） n+1dτ，t>0，c≥ 0，n∈ Z+。（4.16）引理3。

以下不等式适用于νn（t；c）≤tn/2Γ1+n, t>0，c≥ 0，n∈ Z+，（4.17），c=0时相等。这就是极限→0+Дn（t；c）=0表示n∈ N、 c类≥ 0.证明。清楚地^1n（t；c）≤ νn（t；0），后者可以根据gammafunction显式地计算为Дn（t；0）=n+1Γn+2+√πΓ（n+2）tn/2。（4.18）使用众所周知的伽马函数复制公式，即Γ（z）Γ（z+1/2）=21-2z√πΓ（2z），表明（4.18）的右侧实际上等于tn/2/Γ（n/2+1）。在本文的其余部分中，我们将符号Дn（0；c）解释为limt→0+Дn（t；c）=0。推论5。设z=x+iy∈ K H、 其中K是一个紧集，定义u：=| z |/x。然后，存在M>0，使得| n（z；c）|<Mun/2Γ1+n, z∈ K、 c类≥ 0，n∈ Z+。证明|^1n（z，c）|≤|z|-3月2日√π（n+1）！Z∞cτ| e-τ/（4z）|（τ- c） n+1dτ=u | z|3/2Дn（u；c）<|z | x3/2un/2Γ1+n,其中最后一个不等式是引理3的结果。因为K是紧的，z是7→ （|z |/x）3/2是H上的一个连续函数，我们知道它的上确界是在K上得到的，这给出了结果。UT用于计算函数{νn（t；c）}n≥0我们引入{Hhn（z）}n≥-1函数，定义如下：Hhn（z）：=n！Z∞ze公司-w/2（w-z） ndw，n∈ Z+，Z∈ C、 （4.19）和Hh-1（z）：=ez/2。我们观察到Hh（z）=(√π/√2） erfc(-z/√2） 式中，fc（z）=（2/√π） R∞ze公司-w/2dw是互补误差函数。我们方便地得到了三项复发hhn（z）=nHhn-2（z）-xnHhn公司-1（z），n∈ N（4.20）和简单复发ddzhhn（z）=-Hhn公司-1（z）；（4.21）见引理4中的公式7.2.5、7.2.9、7.2.10和19.14。对于固定c≥ 0，函数{νn（t；c）}n≥0可以解析地继续到z∈ C+和wehaveДn（z；C）=（n+1）/2zn/2√πHhn（c/√2z），z∈ H、 c类≥ 0，n∈ Z+。（4.22）证明。首先，我们使用支配收敛定理证明，在（4.16）中，如果z∈ H、 也就是说，νn（z；c）在H上是解析的。

将Hhn（z）限制为实际值z>0，按（4.19）中的部分进行一次迭代积分，然后使用替代w=τ/(√2t）为实z>0建立标识（4.22）。由于Hhn（z）是一个整体，因此该主张后面有一个解析延拓的参数。utRemark 3。在[19]中，根据{Hhn（x）}n的积分级数给出了双指数模型下欧式看涨期权价格的公式≥-1功能。因此，它们出现在这里并不奇怪；然而，我们将看到，我们不需要进一步积分，我们可以用函数{νn（t；c）}n来表示看涨期权和看跌期权的公式≥0直接。现在，我们已经准备好继续进行买入和卖出期权的OTM案例；请注意，一旦确定了这些价格，就可以通过看跌期权平价轻松计算ITM价格。正如所提到的，由于F（q）和W（q）涉及{k形式的项，事情变得更加复杂-ζ`}1≤`≤命令{k^ζ`}1≤`≤^M.为了使符号尽可能简单，让我们定义β\'：=k-ζ`，1≤ ` ≤ N、 ^β\'：=k^ζ\'1≤ ` ≤^N.（4.23）此外，对于σ>0的情况，我们定义βM：=k（2q/σ）1/2k-ζMand^β^M：=k-（2q/σ）1/2k^ζ^M，（4.24），当σ=0且a>0（分别为a<0）时，我们设置βM：=kq/ak-ζM响应。^β^M：=kq/ak^ζ^M.最后，对于下面的引理5、定理6和定理7，我们定义了每个n∈ Z+，bn：=sn（m1，n，m2，n，…，mN，n），cn：=mM，n，m\'，n：=mN（\'ξ\'，n，\'\'，n，\'β\'，n，\'ζ\'，n），1≤ ` ≤ M、 （4.25）和^bn：=sn（^m1，n，^m2，n，…，^M^n，n），^cn：=^M^M，n，^M\'，n：=mn（\'^ξ\'，n，\'^962;\'，n，\'M^β\'，n，^ζ\'，n），1≤ ` ≤^M，引理5。

假设X ful满足风险中性条件，S<K.（i）如果σ>0，则存在R>0，使得以下等式适用于q∈ C+Rand系列收敛于q∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn+k∞Xn=3cnk-（2q/σ）1/2qn/2。（ii）如果σ=0且a>0，则存在R>0，使得以下等式成立，且q的序列收敛∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn+k∞Xn=2cnk-q/aqn。（iii）如果σ=0和a≤ 0则存在R>0，这样以下等式成立，并且序列收敛于q∈ CR：F（q）=k∞Xn=2bnqn。证据使用公式4.3并应用推论2、3和4。utTheorem 6（OTM看涨期权价格）。假设X ful满足风险中性条件且<K.（i）设σ>0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1 nn+∞Xn=1cn+2хn（T；c）！，T≥ 0，其中c=√2对数（k）σ。右侧的第一个序列收敛于T∈ C和第二个收敛于T∈ H、 第二个级数在H的紧致子集上一致收敛，并且可能逐项微分。（ii）设σ=0且a>0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿！+I（T≥ c）∞Xn=1cn+1（T- c） nn！！，T≥ 0，其中c=log（k）a。右侧的每个系列收敛于T∈ C、 （iii）设σ=0和a≤ 0，则c（T）=e-rTK公司∞Xn=10亿+1万亿！，T≥ 0，其中右侧的级数收敛于T∈ C、 证明。我们只证明（i）as（ii）和（iii）是以类似的方式导出的。首先，让我们考虑TheSeresh（q）：=∞Xn=3cnk-（2q/σ）1/2qn/2。我们将分三步进行。步骤1：通过使用定理1，我们可以得出以下结论(∞Xn=1cn+2tn/2Γn+1)（q） =k（2q/σ）1/2H（q）（4.26），序列s（t）：=P∞n=1cn+2tn/2Γ（n+1）收敛于几乎所有t≥ 然而，这意味着它对所有t∈ C

第二步：再次使用定理1和引理2，我们发现(∞Xn=1cn+2хn（t；c））（q）=H（q）（4.27），级数H（t）的收敛性：=P∞n=1cn+2Дn（t；c）几乎对所有t都是绝对的≥ 然而，通过引理3，s（t）收敛于所有t∈ C、 通过对级数的比较检验，很明显，h（t）的绝对收敛性对所有t都成立≥ 步骤3：为了显示分析性，我们使用Weierstrass的M-检验和关于一致收敛的解析函数级数的定理（参见[26]中的定理15.2和15.6]）。这些告诉我们，如果对于每个紧集K 我们可以找到序列{Mn}n≥当z=x+iy时，使| cn+2|n（z；c）|<Mn∈ K、 n∈ N、 andP公司∞n=1Mn<∞, 那么h（t）：a）是h上的解析函数；b） 一致收敛于H的紧子集；和c）可以逐项微分，得到的级数再次在H的紧子集上一致收敛。从推论5我们知道，对于每个紧K H | cn+2Дn（z；c）|≤ M | cn+2 | un/2Γ（1+n），z∈ K、 n∈ Z+，其中u：=u（Z）：=| Z |/x，M是某个正常数。通过u的连续性和k的紧性，函数u（z）必须达到最大值0≤ S<∞ 关于K。从我们的讨论中可以清楚地看出，级数s（t）在s处绝对收敛，因此，如果我们取mn=M | cn+2 | Sn/2Γ（1+n），则满足上述标准，并遵循分析性、逐项微分和一致收敛。现在我们可以对序列H（q）：=P重复步骤1∞n=2bNqt以显示(∞Xn=10亿+1万亿！）（q） =H（q）和H（t）：=P∞n=10亿+1 nn！收敛于所有t∈ C、 然后k（h（t）+h（t））定义一个连续函数，其拉普拉斯变换k（h（q）+h（q））等于连续函数f（t）的拉普拉斯变换。因此，f（t）=k（h（t）+h（t）），t≥ 0，结果如下。UT从公式4.5可以清楚地看出，我们可以对OTM认沽期权价格（即。