命题2.6的证明首先，我们证明假设2.1成立。使用（2.11）、（2.13）和三角形不等式，我们发现|u（t，x，y）|≤ |u（0，Smin，Smin）|+|u（t，Smin∨ x个∧ Smax，Smin∨ y∧ Smax）- u（0，Smin，Smin）| 100101102103时间步长10-510-410-310-2无布朗桥插值的弱误差（与2N近似的差值）斜率为0.5的参考线，有布朗桥插值的（与2N近似的差值）斜率为1.0的参考线图5：欧洲呼叫支付的弱误差（有无布朗桥插值）与参数如（5.1）所述，走向为K=0.9，使用最多3.2×10 Monte Carlo路径计算（相对误差小于1%）。≤ |u（0，Smin，Smin）|+Cu，tt6=0+Cu，S |（Smin∨ x个∧ Smax）- Smin |+Cu，M |（Smin∨ y∧ Smax）- Smin公司|≤ |u（0，Smin，Smin）|+Cu，t+（Cu，S+Cu，M）（Smax- Smin）。（A.1）同样，使用（2.12）和（2.14），我们发现σ（t，x，y）≤ σ（0，Smin，Smin）+Cσ，t√T+NTXj=1Cσ，T，j+（Cσ，S+Cσ，M）（Smax- Smin）。（A.2）其次，我们证明假设2.2成立。使用（2.11）和（2.13），我们发现|u（t，x，y）- u（t，x，y）|≤ Cu，tt6=t+Cu，S |（Smin∨ x个∧ Smax）- （Smin∨ x个∧ Smax）|+Cu，M |（Smin∨ y∧ Smax）- （Smin∨ y∧ Smax）|。（A.3）为方便起见，定义函数fs:R+→ R+给定byfs（a）=Smin∨ 一∧ Smax。（A.4）根据中值定理，我们知道，对于a1,2∈ {x1,2，y1,2}，| fs（a）- fs（a）|≤ Smax | log（fs（a））- log（fs（a））|。（A.5）此外，由于fs（A）在增加-1fs（a）正在减少，我们有| log（fs（a））- log（fs（a））|=logfs（a∨ a） fs（a∧ （a）≤ 日志一∨ aa公司∧ 一= |日志（a）- 日志（a）|。（A.6）结合（A.3）、（A.5）和（A.6），我们推断|u（t，x，y）- u（t，x，y）|≤ Cu，tt6=t+Cu，SSmax | log（x）- 对数（x）|+Cu，MSmax |对数（y）- 对数（y）|。

（A.7）类似地，使用（2.12）和（2.14），我们推断|σ（t，x，y）- σ（t，x，y）|≤ Cσ，tp | t- t |+NTXj=1Cσ，t，jt∧t<jTNT≤t型∨t+Cσ，SSmax | log（x）- log（x）|+Cσ，MSmax | log（y）- log（y）|，（A.8），得出证明结论。附录B引理4.1的证明由于N是NT的倍数，利用（2.6）、（2.7）和三角不等式，我们得到uu、 苏，穆- uu、 \'S\'u，\'M\'u≤ Cu，x | xu- x | u |+Cu，x | x | u- \'x\'u |+Cu，m | mu- m | u |+Cu，m | m | u- \'m\'u |（B.1）和σu、 苏，穆- σ\'u，\'S\'u，\'M\'u≤ Cσ，t√δt+Cσ，x | xu- x | u |+Cσ，x | x | u- \'x\'u |+Cσ，m | mu- m | u |+Cσ，m | m | u- \'m\'u |。（B.2）首先，我们清楚地知道| xu- x'u'≤ 支持∈[0，u]| xt- x't'和'x'u- \'x\'u |≤ 支持∈[0，u]| xt- (R)xt |。（B.3）第二，注意| mu- m’u |=支持∈[0，u]xt- 支持∈[0，\'u]xt≤ 支持∈[0，u]（x't+| xt- x’t |）- 支持∈[0，u]x't≤ 支持∈[0，u]| xt- x’t |。（B.4）第三，注意- \'m\'u |=|支持∈[0，\'u]xt- 支持∈[0，\'u]\'x\'t |≤ 支持∈[0，\'u]| xt- \'x\'t |≤ 支持∈[0，\'u]| xt- x’t |+支持∈[0，\'u]| x\'t- \'\'x\'\'t|≤ 支持∈[0，u]| xt- x’t |+支持∈[0，u]| xt- (R)xt |。（B.5）用（B.3）–（B.5）中导出的上界替换回（B.1）和（B.2），得出结论。附录C引理4.4的证明（1）该论证遵循了[10]中命题3.12的论证。修复p>1并注意SPT≤ Spexppu最大值-pZtσu、 苏，穆vudu+pZtσu、 苏，穆√武德武苏. （C.1）考虑由q=1+rp给出的H¨older对（q，q）- 1和q=1+rpp- 1.（C.2）接下来，确定随机过程y=pqZtσ（u，Su，Mu）√vudWsu（C.3），带二次变量hy it=pqZtσ（u，Su，Mu）vudu。（C.4）根据（C.1）中的期望，我们推断标准贯入试验≤ SpepumaxtE经验值q年初至今-为什么它+p（pq- 1） Ztσ（u，Su，Mu）vudu. （C.5）对（C.2）中的一对应用H¨older不等式，并取[0，T]yieldssupt上的上确界∈[0，T]E标准贯入试验≤ SpepumaxTsupt∈[0，T]E经验值年初至今-为什么它q×E经验值pqpq- 1.σmaxZTvuduq、 （C.6）如果满足Novikov条件，则随机指数是鞅，因此ifE经验值为什么它≤ E经验值pqσmaxZTvudu< ∞.

（C.7）（C.6）中的两个期望的一致性来自引理3.2。（2） 该论点遵循了[10]中命题3.13的论点。修正p>1并注意“Spt”≤ Spexppu最大值-pZtσ\'u，\'S\'u，\'M\'u\'vudu+pZtσ\'u，\'S\'u，\'M\'u√\'\'vudWsu. （C.8）从今以后，我们像以前一样进行论证，并使用引理3.4和3.7。附录D.命题5.1的证明，假设存在一个常数C>0，对于所有N≥ 1，呃装货单-\'ST，Npip公司≤ C对数（2N）βNα。（D.1）使用此上界和三角形不等式yieldsEh\'ST，N-\'ST，2Npip公司≤ 21-佩赫装货单-\'ST，Npip+21-佩赫装货单-\'ST，2Npip公司≤ 21-p1 + 2β-αC对数（2N）βNα。（D.2）相反，假设存在一个常数C>0，使得对于所有N≥ 1，呃\'ST，N-\'ST，2Npip公司≤ C对数（2N）βNα。（D.3）固定任何1<γ<ηpp-1并确定序列（ai）i≥0给定值AI=（i+1）-γ. （D.4）对于任何l∈ N∪ {0}和x，x，xl码≥ 0，H–older不等式yieldslXi=0xi！p≤lXi=0a1-pixpi！lXi=0ai！p-1.（D.5）此外，lXi=0ai<ζ（γ）<∞, （D.6）式中，ζ是黎曼-泽塔函数。使用三角形不等式（D.5）和（D.6），然后取期望值，我们得到装货单-\'ST，Npi≤ ζ（γ）p-1升-1Xi=0a1-皮埃尔\'ST，2英寸-\'ST，2i+1Npi+ζ（γ）p-1a1-请\'ST，2lN- 装货单圆周率。（D.7）然而，我们从（5.7）中知道，存在一个常数C>0，因此，对于所有N≥ 1，呃装货单-\'ST，Npip公司≤ C对数（2N）-η. （D.8）用（D.3）和（D.8）中的上界替换回（D.7），我们推断出装货单-\'ST，Npi≤ Cpζ（γ）p-1.对数（2N）βpNαpl-1Xi=0（i+1）γ（p-1） +βpiαp+Cp日志（2）-ηpζ（γ）p-1（l+1）γ（p-1)-ηp，（D.9），当l达到完整值时，取该极限，得到h装货单-\'ST，Npi≤ Cpαpζ（γ）p-1.对数（2N）βpNαp∞Xn=1nγ（p-1） +βpnαp.（D.10）根据右侧级数收敛的事实得出结论。参考文献【1】A.阿方西。关于CIR（和贝塞尔平方）过程的离散格式。蒙特卡罗方法与应用，11（4）：355–3842005。[2] A.阿方西。

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