快变粗糙随机波动下的期权定价

2022-6-1 02:09:14

《金融年鉴》第号手稿（将由编辑插入）快速变化和高度随机波动下的期权定价Josselin Garnier·Knut SolnaReceived:date/Accepted:date摘要最近的实证研究表明，与金融时间序列相关的波动性表现出短期相关性。这意味着波动过程非常粗糙，其自相关在原点处呈现出急剧衰减。波动性的另一个经典风格特征是均值回复。本文表明，快速均值回复粗糙波动率模型的价格影响与快速均值回复马尔可夫随机波动率模型的价格影响一致。这证明了粗糙波动路径的经验观察结果与隐含波动率曲面与快速均值回复马尔可夫波动率模型的良好拟合。此外，该结果与最近关于粗糙随机波动率模型的数值结果一致。它扩展了快速均值回复马尔可夫波动率的渐近结果有效的模型范围。本文最后对分数波动率渐近及其相互关系进行了一般性讨论。这里讨论的制度包括快速和慢速波动性因素，波动性波动性有强有小，且通常限制不可转换。引入了特征项结构指数的概念，该指数控制着各种渐近状态下的隐含波动性项结构。随机波动率·短期相关性·分馏-乌伦贝克过程·赫斯特指数·均值回归数学学科分类（2010）91G80·60H10·60G22·60K37J。GarnierCentre de Math'ematiques Applique'ees，巴黎理工学院，91128 Cedex宫，FranceE邮箱：josselin。garnier@polytechnique.eduK.

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2022-6-1 02:09:18

加利福尼亚大学欧文分校SolnaDepartment of Mathematics，加利福尼亚大学欧文分校92697电子邮件：ksolna@math.uci.edu2Josselin Garnier，Knut Solna1简介在标准Black–Scholes模型中，假设波动率是恒定的，这是不现实的。实际上，为了匹配观测到的价格，需要使用依赖于定价参数的隐含波动率。因此，需要对隐含波动率进行一致的参数化，以便在对隐含波动率模型进行校准后，可以将其用于在同一基础上编写的流动性较低的合同。随机波动率模型之所以被引入，是因为它们能够对隐含波动率进行一致的参数化。在此，我们将考虑一类特定的随机波动率模型，并确定价格修正的相关参数化以及波动率波动率之后的相关隐含波动率修正。实证研究表明，波动性可能表现出Bollerslev等人（2013）所述的“多尺度”特征；Breidt等人（1998年）；Chronopoulouand Viens（2012）；Cont（2001、2005）；恩格尔和巴顿（2001）；Oh等人（2008年）。也就是说，相关性在函数集中以幂律衰减，而不是在马尔可夫过程中以指数函数衰减。最近的经验证据特别表明，随机波动性通常很粗糙，在原点处相关性迅速衰减（见Gatheral et al.（2016））。Funahashi和Kijima（2017）的数据表明，在长时间到期的情况下，arough分数随机波动率模型的隐含波动率修正倾向于与马尔可夫情况相关的修正。这与本文得出的分析结果一致，在本文中，我们考虑的是恢复粗糙波动率的平均值。

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能者818

2022-6-1 02:09:21

本文利用鞅方法，得到了当波动率过程为快速均值回复且不稳定时，期权价格的解析表达式以及相应的隐含波动率。主要结论是，期权价格的修正和相应的隐含波动率与混合情况下（当随机波动率为马尔可夫时）的形式完全相同。我们推导的一个主要技术方面是仔细分析布朗运动和鞅过程之间的协变量的形式和性质，即条件平方波动率随时间的变化，见下面的等式（33）。在这种情况下，重要的是我们在模型中加入杠杆作用，以便这些过程相互关联，从而导致非平凡的共变。我们建模的另一个主要方面是，我们将随机波动率波动建模为平稳的。在最近的一些工作中，引入了波动率模型，其中初始时间起着特殊的作用，导致非平稳过程，从建模的角度来看，这是一个特殊的过程。然而，我们表明，事实上，在快速均值回归的情况下，非平稳情况的渐近结果与此处考虑的平稳情况的渐近结果一致，因为波动过程随后忘记了其初始状态。我们分析的一个中心方面是时间尺度和时间尺度分离的概念。因此，确定参考时间尺度很重要。在这里，我们将使用特征扩散时间τ=2/σ作为参考时间，其中快速变化和粗糙随机波动率3σ是有效波动率，见等式。（14）和（25）。

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kedemingshi

2022-6-1 02:09:23

然后，我们考虑一种情况，即到期时间和特征扩散时间具有相同的数量级，而波动率波动的平均逆转时间相对于特征扩散时间而言很小。请注意，在期权定价的背景下可以考虑各种渐近框架，我们将在本段中讨论其中的一些框架。合适的渐近框架的选择取决于所考虑的特定市场和合同。可以考虑一个渐进框架，其中波动率波动幅度较小，且波动率的成熟时间、特征扩散时间和平均逆转时间具有相同的数量级。这种方法对波动性的时间动态方面很敏感。例如，inFouque et al.（2011）在混合情况下以及在Garnier和Solna（2015）中，在粗糙波动率因素的背景下，考虑了这种渐近情况。然而，这种渐近情况并没有捕捉到在到期时间的时间尺度上波动性较大的情况。在本文所考虑的渐近框架中，相对于到期时间，波动率平均反转时间很小。在这样一个具有长时间期限的合同框架中，我们还可以在成熟期的时间序列中加入订单一或强波动性波动。在混合过程的背景下，inFouque等人（2003、2011）也认为这种渐近框架。请注意，随着期权合约接近成熟，对支付功能的敏感性增强，从而产生重要而有趣的问题。事实上，最近的许多作品都考虑了短期至成熟状态下的隐含波动性症状，参见instanceGulisashvili（2015）及其参考文献。

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2022-6-1 02:09:27

例如，拜耳等人（2017年）和Fukasawa（2017年）讨论了更接近资金的合同案例。例如，Benaim etal（2010）讨论了大罢工c上下文中的渐近性。我们最后指出，对于一些特殊模型，如赫斯顿模型（见赫斯顿（1993）），在波动率波动幅度较大且平均复归时间与到期时间顺序相同的情况下，可以得到显式或半显式期权价格公式。在这一段中，我们讨论了在各种渐近状态下长程和短程相关性质的一些特殊方面。在Garnier和Solna（2015）中，我们考虑了多尺度随机波动幅度较小的情况，我们也处理了变化缓慢的情况，从分析角度来看，这与后者类似，后者对应的是相对波动性波动的平均逆转时间较小的成熟度。期权价格的修正和相应的隐含波动率在此处得到了确定，并且这种情况与此处所考虑的情况有质的不同，因为价格修正在到期时具有分数行为。然后，特征项结构指数反映了基础波动路径的粗糙度，见下文第6节。在Garnier和Solna（2016）中，我们考虑了随机波动率波动的情况，这种波动是快速均值回复的，并且具有与均值相同顺序的标准4 Josselin Garnier、Knut Solnadeviation，正如我们在这里所做的那样。然而，Ingarnier和Solna（2016）的随机波动率波动具有长期相关性，因此路径比与马尔科夫情况相关的路径更平滑。

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2022-6-1 02:09:30

然后，波动性波动的“持续性”导致了一个分拆的期限结构，它还导致了价格修正的一个随机分量，该分量与价格过程产生的过滤相适应，其协方差结构可以详细定义。正如我们在下面的建模中所解释的那样，赫斯特指数H参数化了路径的平滑度，其中H<1/2对应于此处所考虑的短程或长程路径，H>1/2产生了长程情况。事实上，这两种制度都是从经验角度确定的。我们参考了instanceGatheral等人（2016）对粗糙波动率的观察，而在Chronopoulou和Viens（2012）中，报告了具有长期相关性的波动率案例。Waltheret等人（2017年）、Charfeddine等人（2014年）和inChia等人（2015年）的股票指数报告了货币的长期波动情况，而电力市场数据的分析通常给出了小于1/2的证据（2002年）；Rypdal和Lovsletten（2013）；Bennedsen（2015）。我们认为，粗略情况和长期情况都很重要，可以根据特定的市场和制度进行观察。pap ersGarnier和Solna（20152016）将Fouque et al.（20032011）的双因素模型与本论文一起推广到具有多尺度波动的过程，以及具有短期或长期相关特性的波动因子的一般光滑性。在这里，我们在期权定价的背景下考虑分数波动率，请参见Fouque和Hu（2017）以及Fouque和Hu（2017b），了解投资组合优化的应用。我们还注意到，尽管这里没有详细讨论，但模型校准是模型实际使用的一个重要问题。

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kedemingshi

2022-6-1 02:09:33

本文导出的渐近结果的一个重要方面是它们在校准中的应用。他们提供了一种稳健校准的工具，因为他们确定了在影响基础合同价格方面很重要的参数，即集团市场参数。因此，渐近结果可以用作避免过度拟合和噪声参数估计的工具。事实上，本文的分析表明，即使在修正水平上，赫斯特参数也不会影响价格。因此，对于长期合同，校准方案不应旨在确定赫斯特指数。我们还评论说，症状结果确定了通用参数，这些参数对于在同一基础上签订的不同合同是通用的。结果表明，与马尔可夫案例中使用的校准方案相同的校准方案是合适的。马尔科夫病例的校准方案被视为infor Instancefuque等人（2003、2004、2011）。fra方法考虑校准隐含波动率表面的参数。我们注意到，对波动率、s pot波动率或VIX指数等指标的估计也为校准提供了相关信息。这里，渐近分析再次提供了一个重要的工具，因为它确定了低估的基本方面如何影响可观测值，以及如何将波动率指数的快速变化和粗略随机波动率5中的信息与各种渐近机制中的金融合同定价联系起来。

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2022-6-1 02:09:36

这里，我们的重点是fas t均值回复粗略波动率及其对定价和隐含波动率的影响，但所提供的工具也可用于分析与使用历史数据相关的问题，例如用于校准的波动率指数。有人可能会问，为什么赫斯特指数不影响隐含波动率，正如我们将在下文所示，即使是在修正的顺序上。对此的直觉是，Small-Hurst指数H<1/2的粗糙情况在短时间尺度上主要是重要的，因为它是粗糙的，即初始点上相关性的快速衰减，这主要将这种情况与马尔可夫上下文区分开来。对于较大的波动集，相关性衰减很快，因此roug h波动过程的相关函数是可积的。因此，从“鸟瞰”的角度来看，相对于粗糙波动过程的平均恢复时间，在时间尺度上，粗糙度是感觉不到的，该过程似乎是马尔可夫过程。这与H>1/2的长程情况相反，在这种情况下，相关性会持续很长时间，并且相关函数具有严重的尾部且不可积。然后这种影响也会持续很长时间。事实上，我们向inGarnier和Solna（2016）表明，在H>1/2的情况下，在此处考虑的渐近框架中，赫斯特指数确实对价格指数的形式以及隐含波动率有着巨大的影响。在行为和分析方法方面实行这种二分法取决于H≤ 在物理系统建模中，也可以观察到1/2与H>1/2的对比。

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2022-6-1 02:09:39

例如，参见最近的paperKalbasi等人（20-17），他们分析了在驱动分馏布朗运动的背景下李雅普诺夫系数的行为。在第6节中，我们总结了分数期限结构指数的形式，它取决于波动率波动的平滑度、波动幅度和均值回归的时间尺度。另一方面，本文概述如下：在第2节中，我们介绍了分数或nstein–Uhlenbeck过程中的波动率因子，在第3节中介绍了完全随机波动率模型。在第4节中，我们给出了主要结果及其证明。附录中列出了在证明中使用的技术手册。2快速分数Ornstein-Uhlenbeck过程我们使用快速分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程作为挥发因子，并在这里描述如何用分数布朗运动来表示该过程。由于分数布朗运动可以用普通布朗运动来表示，我们也得出了治疗fOU过程作为过滤过程的表达式布朗运动的版本。分数布朗运动（fBM）是一个零均值高斯过程（WHt）∈R的协方差[WHtWHs]=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H, （1） 6 Josselin Garnier，Knut SolnawhereσHis为正常数。我们使用以下fBM的移动平均随机积分表示（见Mandelbrot和Van Ness（1968））：WHt=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWs，（2）式中（Wt）t∈Ris是R上的标准布朗运动。那么确实（WHt）t∈Ris是协方差为（1）的零均值高斯过程，σH=Γ（H+）hZ∞（1+s）小时-- 上海-ds+2Hi=Γ（2H+1）sin（πH）。（3）我们介绍了ε-标度fOU过程，即zεt=ε-HZt公司-∞e-t型-sεdWHs=ε-HWHt公司- ε-1.-HZt公司-∞e-t型-sεWHsds。（4）因此，fOU过程实际上是一个分数布朗运动，恢复力为零。

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2022-6-1 02:09:42

这是一个零均值平稳高斯过程，方差E[（Zεt）]=σou，σou=Γ（2H+1）σH=2 sin（πH），（5）与ε无关，协方差：E[ZεtZεt+s]=σouCZsε,这只是s/ε的函数，其中cz（s）=Γ（2H+1）hZRe-|v | s+v | 2Hdv- |s | 2Hi=2 sin（πH）πZ∞cos（sx）x1-2H1+xdx。（6）这表明tε是fOU Zεt的自然变化尺度。请注意，随机过程Zε不是一个马尔可夫过程，也不是一个马尔可夫过程。对于H∈ （0，1/2）它具有短程相关特性，因为它的相关函数在0时是粗糙的：CZ（s）=1-Γ（2H+1）s2H+os2H公司, s<< 1，（7）当它是可积的并且它作为s2H衰减时-2单位：CZ（s）=Γ（2H- 1） s2H公司-2+os2H公司-2., s>> 1.（8）快速变化和粗糙随机波动率7使用等式。（2）（4）我们得出标度fOU的移动平均积分表示为：Zεt=σouZt-∞Kε（t- s） dWs，（9），其中kε（t）=√εKtε, K（t）=σouΓ（H+）htH--Zt（t- s） H类-e-sdsi。（10）在我们的上下文中，内核K的主要属性如下（对任何H有效∈ （0，1/2））：（i）K∈ L（0，∞) 带R∞K（u）du=1和K∈ L（0，∞).（ii）对于小时间t<< 1： K（t）=σouΓ（H+）tH公司-+ OtH公司+. （11）（iii）对于大倍数t>> 1： K（t）=σouΓ（H-)tH公司-+ OtH公司-. （12）备注。如果Kε（t）=K（t/ε），本文的结果可以推广到任何形式（14）和（9）的随机波动率模型/√ε使得核K满足（i）-（ii）-（iii）直至乘性常数的性质。3随机波动率模型风险资产的价格遵循随机微分方程：dXt=σεtXtdW*t、（13）随机波动率为σεt=F（Zεt），（14），其中Zε是带有赫斯特参数H的标度fOU∈ （0，1/2）在上一节中介绍，它适用于布朗运动Wt。

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2022-6-1 02:09:45

此外，W*这是一个布朗运动，与通过W的随机波动率相关*t=ρWt+p1- ρBt，（15），其中布朗运动Bt与Wt无关。函数F被假定为一对一、正值、光滑、有界和有界导数。因此，（Bt，Wt）生成的过滤Ft也是Xt生成的过滤Ft。实际上，它相当于（W）生成的*t、 Wt），或（W*t、 Zεt）。因为F是一对一，所以它是8 Josselin Garnier，Knut Solnae，等于（W*t、 σεt）。因为F是正值，所以它等价于由（W）生成的值*t、（σεt）），或Xt。如上所述，波动驱动过程Zεthas具有短期相关性。正如我们现在展示的波动过程σεtinherits这一性质。引理1表示，对于j=1，2：Fj公司=ZRF（σouz）jp（z）dz，DF′jE=ZRF′（σouz）jp（z）dz，（16），其中p（z）是标准正态分布的pdf。1、过程σε是一个平稳随机过程，平均值E[σεt]=hF i，方差Var（σεt）=F- hF i，与ε无关。2、formCov过程σεtis的协方差函数σεt，σεt+s=F- hF i型Cσsε, （17）其中，相关函数Cσ满足Cσ（0）=1和Cσ（s）=1-Γ（2H+1）σouDF′EhFi- hF为2h+os2H公司, 对于s<< 1，（18）Cσ（s）=Γ（2H- 1） σouhF′ihFi- hF为2h-2+os2H公司-2., 对于s>> 1.

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2022-6-1 02:09:47

（19）因此，过程σεthas具有短程相关特性，其协方差函数是可积的。根据σεt的定义（14），证明σε是一个具有平均hF i的平稳随机过程-1ou（Zεt，Zεt+s）是一个具有平均值（0，0）和2×2协方差矩阵的高斯随机向量：Cε=1 CZ（s/ε）CZ（s/ε）1.因此，表示Fc（z）=F（σouz）- hF i，过程σεtisCov（σεt，σεt+s）的协方差函数=EFc（σ-1ouZεt）Fc（σ-1ouZεt+s）=2π√det CεZZRFc（z）Fc（z）exp-zz公司TCε-1.zz公司dzdz=ψCZ公司sε,ψ（C）=2π√1.- CZZRFc（z）Fc（z）exp-z+z- 2Czz2（1- C）dzdz。快速变化和粗糙随机波动率9这表明Cov（σεt，σεt+s）仅是s/ε的函数。函数ψ可以用1的幂展开- 对于接近1的C：ψ（C）=2πZZRFcz√1+C√+ ζ√1.- C√Fc公司z√1+C√- ζ√1.- C√×经验值-z-ζdzdζ=√2πZRFc（z）exp-zdz+（1- C）√2πZRF′c（z）exp-zdz+OC→1((1 - C），它与σεt的相关函数的形式（18）相同。对于小的C，函数ψ可以用C的幂展开：ψ（C）=2πZZRFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz-C2πZZRzzFc（z）Fc（z）exp-z+zdzdz+OC→0（C），即σεt的相关函数的形式（19）。4期权价格我们旨在计算定义为鞅mt=E的期权价格高（XT）|英尺, （20）其中h是一个光滑的Payoff函数，t≤ T

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2022-6-1 02:09:50

事实上，h的假设可能较弱，我们只需要控制下面定义的函数Q（0）t（x），如（Garnier和solna，2015，第4节）所述。我们引入了算子lbs（σ）=t+σxx、（21）即，零利率和恒弹性σ下的standa rd Black–Scholes算子。接下来，我们利用价格过程是一个鞅的事实，通过构造一个显式函数Qεt（x），使Qεt（x）=h（x），并使Qεt（Xt）是一个一阶修正项的鞅来获得近似。然后，实际上Qεt（Xt）给出了该阶期权价格mtt的近似值。以下命题给出了ε较小的区域中鞅mt表达式的一阶修正。10 Josselin Garnier，Knut Solnaproposion 1我们有limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E|Mt公司- Qεt（Xt）|1/2=0，（22），其中Qεt（x）=Q（0）t（x）+ε1/2ρQ（1）t（x），（23）Q（0）t（x）是确定性的，由Black–Scholes公式给出，具有常数σ，LBS（σ）Q（0）t（x）=0，Q（0）t（x）=h（x），（24）具有σ=F=ZRF（σouz）p（z）dz，（25）p（z）是标准正态分布的pdf，Q（1）t（x）是确定性校正Q（1）t（x）=（t- t） Dx个x（xx）Q（0）t（x），（26）D是由D=σouZ定义的系数∞hZZRF（σouz）（F F′）（σouz′）pCZ（s）（z，z′）dzdz′iK（s）ds，（27）pC（z，z′）是具有平均零和协方差矩阵的二元正态分布的pdf1立方厘米1, CZ（s）由（6）给出。这一命题表明，结果与inFouque等人（2000，201 1）提出的混合（Ma rkov）案例相似。在快变框架下，随机波动率的短期相关性在前序和第一次修正中都不明显。

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能者818

2022-6-1 02:09:53

这与inGarnier和Solna（2015）提出的slowlyvarying案例形成对比，这是本文的主要结果。4.1对于Riemann-Liouville分数布朗运动，分数过程建模的常见方法是使用WH，0t=Γ（H+）Zt（t）定义的theRiemann-Liouville分数布朗运动- s） H类-dWs，（28），其中Wis是标准布朗运动。从数学角度来看，这与（2）中的分数布朗运动相比很方便，因为人们不必处理负时间的积分和相关的补偿器。然而，从建模的角度来看，它有一个缺点，即时间零点起着特殊的作用，过程不快速变化，粗糙随机波动率11具有平稳的增量。另一方面，通过对（2）中的驱动过程进行建模，我们得到了一个时间均匀的过程。在Fukasawa（2017）一书中，通过使用Muralev（2011）介绍的分数布朗运动表示，使用了时间均匀分数过程建模的不同方法。在任何情况下，我们都可以使用（28）中的表示来定义类似于（4）byZε，0t=Ze的fOU过程-t/ε+ε-HZte-t型-sεdWH，0s=Ze-t/ε+ε-HWH，0t- ε-H-1中兴通讯-t型-sεWH，0sds，（29），其中Zis被视为常数。在这里考虑的建模上下文中，从过程协方差的角度来看，负时间的时间纪元实际上是很快得到的，因此对于任何t>0，s≥ 0:limε→0千伏Zε，0t，Zε，0t+εs= limε→0千伏Zεt，Zεt+εs= σouCZ（s），事实上，协方差仅在时间零点后持续时间ε的时间段内有所不同。结果是，当Zεt替换为Zε，0t时，命题1成立。我们在附录B.4.2 Proposition的Pro草图中对此进行了更详细的讨论。我们的目标是构建价格的近似值Qεt（Xt）。

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2022-6-1 02:09:56

请注意，自然的第一选择是选择近似值Q（0）t（Xt），即有效波动率下的Black-Scholes价格。为了构造一个更高阶的逼近，我们寻找一个修正，表示为Qεt（Xt），sothatQ（0）t（Xt）+Qεt（Xt）=鞅+“小项”，并带有QεT（XT）=0，因此修正后的近似值具有正确的payoff。事实上，修正后的近似值与精确价格的差别仅在于“小项”的大小，因为精确价格是阿马丁格尔。此外，波动率波动过程（σεs）-σ推动了检验价格与Q（0）t（Xt）之间的差异。确定价格修正的形式Qεt（Xt），为了证明所产生的（不可分割的）误差项很小，引入根据剩余波动率定义的市场价格是有用的。这就是为什么我们引入ψεt=EhZT的过程（σεs）-σds公司Fti。（30）在恒定波动率的情况下，该鞅为零。为了证明近似的准确性并控制误差项，了解它的性质及其与12 Josselin Garnier，Knut Solnaunderlieng驱动布朗运动相关的协变过程的性质是很重要的。这些性质在附录A的原始技术引理中给出。这些引理也可用于其他数量的渐近分析，而非此处所考虑的数量，但根据本文所建模的基础定义。4.3命题1的证明对于任何光滑函数qt（x），我们有^o的公式qt（Xt）=tqt（Xt）dt+x个x个qt（Xt）σεtdW*t型+x个x个qt（Xt）（σεt）dt=磅（σεt）qt（Xt）dt+x个x个qt（Xt）σεtdW*t、最后一学期是马丁加舞。此处和下方x个x个qt（Xt）代表Xxqt（x）在x=Xt时计算。

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2022-6-1 02:09:59

因此，通过（24），我们得到了dq（0）t（Xt）=（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+dN（0）t，（31）带N（0）ta鞅：dN（0）t=x个x个Q（0）t（Xt）σεtdW*t、设φεt定义为φεt=EhZTt（σεs）-σds公司Fti。（32）我们有φεt=ψεt-Zt公司（σεs）-σds，其中鞅ψε由ψεt=EhZT定义（σεs）-σds公司Fti。（33）我们可以写作（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt=x个x个Q（0）t（Xt）dψεt-x个x个Q（0）t（Xt）dφεt。根据It^o公式：dφεtx个x个Q（0）t（Xt）=x个x个Q（0）t（Xt）dφεt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+磅（σεt）x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*它快变粗糙随机波动率13lbs（σεt）=LBS（σ）+（σεt）-σx个x个和LBS（σ）x个x个Q（0）t（x）=0，这是给定的φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*it部门+x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt。我们有hφε，W*it=hψε，W*it=ρhψε，W Itan，因此（φεtx个x个Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σx个x个Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个x个x个Q（0）t（Xt）φεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（1）t，其中N（1）是鞅，dN（1）t=x个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t型+x个x个Q（0）t（Xt）dψεt，因此Q（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）=x个x个x个x个Q（0）t（Xt）（σεt）-σφεtdt+ρx个x个x个x个Q（0）t（Xt）σεtθεtdt+dN（0）t+dN（1）t.（34）这里，我们引入了Lemma2定义的协变量增量d hψε，W it=εtdt，（35）。由（26）满足Lbs（σ）Q（1）t（x）=-Dx个x（xx）Q（0）t（x），Q（1）t（x）=0。应用It^o公式Q（1）t（Xt）=LBS（σεt）Q（1）t（Xt）dt+x个xQ（1）t（Xt）σεtdW*t=磅（σ）Q（1）t（Xt）dt+（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt+x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t型=（σεt）-σx个x个Q（1）t（Xt）dt-x个x（xx）Q（0）t（Xt）Ddt+dN（2）t，14 Josselin Garnier，Knut Solnawhere N（2）tis a鞅，dN（2）t=x个x个Q（1）t（Xt）σεtdW*t、因此Q（0）t（Xt）+φεtx个x个Q（0）t（Xt）+ε1/2ρQ（1）t（Xt）=x个x（xx）Q（0）t（Xt）（σεt）-σφεtdt+ε1/2ρx个x个Q（1）t（Xt）（σεt）-σdt+ρx个x（xx）Q（0）t（Xt）σεtθεt- ε1/2Ddt+dN（0）t+dN（1）t+ε1/2ρdN（2）t。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:10:03

（36）接下来，我们证明（36）右侧的前三项小于ε1/2。我们为任何t∈ [0，T]：R（1）T，T=ZTtx个x（xx）Q（0）s（Xs）（σεs）-σφεsds，（37）R（2）t，t=ZTtε1/2ρx个x个Q（1）s（Xs）（σεs）-σds，（38）R（3）t，t=ZTtρx个x（xx）Q（0）s（Xs）εsσεs- ε1/2D）ds。（39）我们将表明，对于j=1，2，3，limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（j）t，t）1/2= 0. （40）步骤1:j=1的（40）证明。由于Q（0）是光滑且有界的，而F是有界的，所以存在C这样的支持∈[0，T]E（R（1）t，t）≤ 中兴通讯（φεs）ds。通过引理5，我们得到了期望的结果。步骤2:j=2的（40）证明。我们表示（2）s=ρx个x个Q（1）s（Xs）和κεt=ε1/2Zt（σεs）-σds，（41）因此r（2）t，t=ZTtY（2）sdκεsdsds。快变粗糙随机波动率15注意，Y（2）是一个有界二次变化的有界半鞅。设N为正整数。我们表示tk=t+（t- t） k/N。我们有（2）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）sdκεsdsds=R（2，a）t，t+R（2，b）t，t，R（2，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）tkdκεsdsds=N-1Xk=0Y（2）tkκεtk+1- κεtk,R（2，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）s- Y（2）tkdκεsdsds。那么，一方面（R（2，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（2）k∞E[（κεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（2）k∞sups公司∈[0，T]E[（κεs）]1/2，因此，通过引理6，limε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2，a）t，t）1/2= 0.另一方面（R（2，b）t，t）1/2≤ ε1/2kF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（2）s- Y（2）tk]1/2秒≤ Kε1/2N-1Xk=0Ztk+1tk（s- tk）1/2ds=2KT3/2ε1/2√N、因此，我们得到lim supε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2）t，t）1/2≤ lim supε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（R（2，b）t，t）1/2≤2KT3/2√N、因为这对于任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。步骤3:j=3的（40）证明。我们重复与上一步相同的参数。

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2022-6-1 02:10:06

还有待证明eκεt=Ztεsσεs- ε1/2Dds16 Josselin Garnier，Knut Solnasatis fieslimε→0ε-1/2中断∈[0，T]E（eκεt）1/2= 0.自（a+b）≤ 2a+2b，我们有（eκεt）≤ 2ZtdsZtds’Covεsσεs，εs′σεs′+ 2.Zt公司E[εsσεs]- ε1/2Dds公司.根据L emma3，第1项和第3项，以及支配收敛定理，右侧的网格在t中一致为o（ε）∈ [0，T]。根据引理3第2项，右侧的第二项在t中均匀为o（ε）∈ [0，T]。这将得到所需的结果。现在我们可以完成命题1的证明。我们引入了近似：eQεt（x）=Q（0）t（x）+φεtx个x个Q（0）t（x）+ε1/2ρQ（1）t（x）。然后我们得到eqεT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φεT=0，Q（1）T（x）=0。让我们用（36）表示rt，T=R（1）T，T+R（2）T，T+R（3）T，T，（42）Nt=ZtdN（0）s+dN（1）s+ε1/2ρdN（2）s。（4 3）我们有等式εT（XT）-公式εt（Xt）=Rt，t+NT- Nt。ThereforeMt=E高（XT）|英尺= E公式εT（XT）| Ft=公式εt（Xt）+ERt，T | Ft+ ENT公司- Nt |英尺=公式εt（Xt）+ERt，T | Ft, （44）可获得预期结果Rt，T | Ft和φε皮重在L中均匀地为o（ε1/2）（Rt见（40），φεt见引理5）。5隐含波动率我们现在计算并讨论隐含波动率与P ropo位置1中给出的价格近似值相关。该隐含波动率是指在恒定波动率Black-Scholes定价公式中使用的波动率，该公式给出的价格与近似值相同，为近似值的阶数。快速变化和粗略随机波动率17上一节中介绍的欧元期权的隐含波动率由它=‘σ+ε1/2ρDh2’‘σ+log（K/Xt）’σ（T）给出- t） i+o（ε1/2）。（45）表达式（45）与（Fouque et al.，2000，Eq.（5.55））中获得的表达式一致，其中随机波动率是一个普通的Ornstein-Uhlenbeck过程，即一个相关性呈指数衰减的马尔可夫过程。参见InstanceFuque等人。

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2022-6-1 02:10:09

（2003、2004、2011）其中的数据校准示例参考。6分数随机波动渐近性的简要回顾本论文与Garnier和Solna（2015，2016）一起讨论了H<1/2或H>1/2的不同分数随机波动模型。我们在此总结一些主要方面。6.1特征期限结构指数我们将与欧元看涨期权相关的隐含波动率写入基本Xt的冲销K、到期日T、当前时间T和当前值（如公式（45））的一般形式：It=σT，T+σττζ（H）+ττζ（H）-1日志KXt公司, （46）σt，t=EhT- tZTt（σs）dsFti1/2=’σ+’σt，t，（47），其中σ是波动路径，’τ是由‘τ=σ，（48）和τ=t’定义的特征扩散时间-t是成熟的时间。请注意，在我们考虑的制度中，我们假设到期时间与特征扩散时间的顺序相同。我们将ζ（H）作为特征项结构指数。请注意，σt是相对于时间范围的价格路径预测波动率修正，是一个适应基础价格过程产生的过滤的随机过程。这是一个修正项，反映了波动性波动的多重性质和该过程的记忆方面。式（46）中的第二个修正项涉及σ是偏斜校正，在ρ=0的情况下为零。如上所述，将特征扩散时间作为参考时间尺度是很自然的，如果我们用τmr表示波动率波动的mea n回复时间，那么我们在特征项结构指数的背景下考虑了两个主要的多尺度渐近区域：18 Josselin Garnier，Knut Solna–缓慢的mea n回复波动率波动，τmr>> \'τ，（见Garnier andSolna（2015））。在这种情况下：ζ（H）=H+。

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2022-6-1 02:10:12

（49）-快速均值回复波动率波动，τmr<< \'τ，（参见Garnier和Solna（2016）关于H∈ （1/2，1）和本文∈ (0, 1/2)). 在这种情况下：ζ（H）=最大值H-, 0. （50）因此，我们看到，在快速均值回归导致单扰动扩展的情况下，只有在H>1/2的情况下，当我们具有长期相关特性时，我们才有分数特征项结构指数。虽然在导致常规扰动扩展的缓慢均值回归情况下，我们有一个分数特征项结构指数，用于Hurst ex-ponent H.InGarnier和Solna（2015）的所有值，但我们也考虑了小波动率波动的情况，其均值回归时间与特征扩散时间的顺序相同。这导致了一种渐近状态，其中特征项结构指数被更一般的特征项结构因子（假设fOU波动因子）所取代：ττζ（H）→ A.τ′τ，ττmr=ττH+1/2n1-Zτ/τmre-v1.-vτ/τmrH+dvo。然后，我们有一个后续的极限，即慢（τmr>> τ）或快速（τmr<< τ）均值回归：Aτ′τ，ττmr∝(τττ的H+1/2<< τmr，ττH-τ的1/2>> τmr，（51），其中我们有一个H的所有值的分数项结构。因此，特征项结构指数与在缓慢均值回复极限中获得的结果（49）一致。它也与在快速均值回复极限下得到的结果（50）一致，但仅在H的情况下∈(1/2, 1). 案例H中没有矛盾∈ （0，1/2），因为没有根本原因证明“小幅度”和“快速均值回归”的极限是可交换的。

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2022-6-1 02:10:15

这意味着H的预测（51）∈ （0，1/2）在“小幅度”和“快速均值回归”的极限中，没有捕捉到极限“快速均值回归”的前导阶贡献，它与到期时间无关，但对于小幅度波动率波动来说可以忽略不计。请注意，当波动率波动的标准偏差与平均波动率相同或不一致，且到期时间与平均逆转时间的顺序相同时，隐含波动率反映了模型的特定结构，请参见Al\'os和Yang（2014）中的Heston（Heston（1 993））模型分析。还请注意，对于隐含波动率如何依赖于赫斯特指数的快速变化和粗糙随机波动率19的模型，我们实际上可以根据隐含波动率的记录来估计赫斯特指数。一个基于隐含波动率衍生的标的交易波动率代理的赫斯特指数估计示例，由isin Livieri et al.（2017）得出，并得出一个粗略的波动率制度。Jacquier等人（2017）给出了使用波动率指数期货对H进行校准的一个例子，并得出了一个粗略的波动率制度。6.2隐含面摆动根据价格路径预测的波动率修正σt，t取决于价格历史，我们在快速均值回归制度下有以下图片：–粗略波动率，H<1/2：σt，t=o(σ). （52）-平滑波动率，H>1/2：￠σt，t=O(σ). （53）在平稳波动的情况下，我们在Arnier andSolna（2016）中详细讨论了“t-t”过程的统计结构∑t，t。我们在本文的讨论中指出σ/σ << 1.

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2022-6-1 02:10:18

正如Arnier和Solna（2015）所讨论的，在缓慢均值逆转的情况下，我们认为|σt，t=O（|σ），自那时起，当前的波动水平起着中心作用。7结论我们考虑了粗糙fr作用随机波动率模型。这种建模的动机是最近的一些经验发现，波动性不是由具有显著衰减相关性的马尔可夫过程很好地建模的，当然也不是由常数建模的。相反，它应该被建模为一个惊人的过程，其相关性在起源处迅速衰减，在质量上比与马尔可夫过程相关的衰减更快。一般来说，由于波动率因子既不是马尔可夫过程，也不是鞅，因此我们没有定价偏微分方程，因此使用此类模型很有挑战性。然而，在这里，我们考虑了波动率快速均值回复的情况，即其均值回复时间相对于价格过程的特征扩散时间较短。在这种情况下，定价表m和相关的隐含波动率面可以简化为与马尔可夫情形相对应的参数形式。我们建模的一个重要方面是将粗糙随机波动率建模为一个平稳过程。迄今为止，关于这一主题的许多论文（如果不是大多数的话）都使用了一个非平稳的框架，其中“时间零点”起着特殊的作用。20 Josselin Garnier，Knut SolnaIn对于具有过去记忆的过程，而不是马尔可夫过程，我们认为从建模的角度来看，这一方面至关重要。事实上，在一般情况下，历史（原则上从基础价格路径可以观察到）会影响隐含波动率。

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2022-6-1 02:10:21

然而，在快速均值回归的框架下，价格历史的影响相对于与随机波动率相关的主导修正变得更低，这一点在本文中得到了明确和识别。值得注意的是，当波动率因子路径比马尔可夫情况下的平滑，且其相关性衰减低于马尔可夫情况下的相关性时，在长范围随机波动率的情况下，这种情况实际上发生了破坏。当平均回归时间与价格过程的特征差异时间具有相同的顺序，但波动率波动与平均值相比具有几乎所有的标准差时，它也会在渐近情况下分解。在这些情况下，无论是短期（粗略波动率）还是长期相关性，价格修正模型的结构和隐含波动率都会发生变化，并导致出现分数期限结构的情况。这些结果源自inGarnier和Solna（20152016），并在本文第6节中总结。这些观察结果可以部分解释为什么尽管实证观察反驳了马尔可夫框架，但基于马尔可夫模型的隐含曲面参数化在捕获隐含波动率曲面方面取得了成功。最后，该分析结果证实了最近发表的论文Funahashi和Kijima（2017）的结果，其中对与粗糙随机波动率模型相关的价格进行了数值计算。承认：这项研究得到了中央古诺基金会、古诺基金会和巴黎萨克莱大学（chaire D\'Alembert）的部分支持。表示（z）的技术引理=F（z）-σ. （54）（33）定义的鞅ψεtde的形式为ψεt=EhZTG（Zεs）dsFti。（55）引理2（ψεt）t∈[0，T]是平方可积鞅，d hψε，W it=εtdt，εT=σouZTtEG′（Zεs）| FtKε（s- t） ds。

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2022-6-1 02:10:24

（56）证明见引理B.1 inGarnier和Solna（2016）。随机过程θεtar的重要性质在下面的引理中说明。快变粗糙随机波动率21引理3 1。存在常数kt，对于任何t∈ [0，T]，我们几乎肯定σεtθεt≤ KTε1/2。(57)2. 对于任何t∈ [0，T]，我们有[σεTθεT]=ε1/2D+eDεT，（58），其中d是确定性常数（27），dεT小于ε1/2:supε∈（0,1）支持∈[0，T]ε-1/2eDεt< ∞, （59）和t型∈ [0，T），limε→0ε-1/2eDεt= 0. (60)3. 对于任何0≤ t<t′<t，我们有limε→0ε-1.冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′= 0.（61）使用θεt的表达式（56）证明：εtσεt≤ σoukF k∞kG′k∞Z∞|Kε（s）| d第一项的证明基于以下事实：Kε（t）=K（t/ε）/√ε、 K级∈ L（0，∞).σεtθεt等趾的期望值σεtθεt= σouZTtEF（Zεt）G′（Zεs）Kε（s- t） ds=σouε1/2Z（t-t） /εEF（Zε）G′（Zεs）K（s）ds=σouε1/2Z（T-t） /εhZZRF（σouz）G′（σouz′）pCZ（s）（z，z′）dzdz′iK（s）ds，其中pcs定义在命题1中。因此，差异σεtθεt- ε1/2D=σouε1/2Z∞（T-t） /εEF（Zε）G′（Zεs）K（s）dS的界限为Eσεtθεt- ε1/2D≤ kF k∞kG′k∞σouε1/2Z∞（T-t） /ε| K（s）| ds，（62），这给出了K之后的第二个i项∈ L（0，∞).让我们考虑0≤ t型≤ t′型≤ T我们有σεtθεtσεt′εt′= σouZTtdsKε（s- t） ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhEF（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft′i、所以我们可以写σεtθεt，σεt′εt′= σouZTtdsKε（s- t） ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhE公司F（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft我-EhE公司F（Zεt）G′（Zεs）| FtEF（Zεt′）G′（Zεs′）我,22 Josselin Garnier，Knut Solnaan，因此冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′≤ σoukF k∞kG′k∞ZTtds | Kε（s- t） | ZTt′ds′Kε（s′）- t′）×EhEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）i1/2。我们可以为任何τ>t写：Zετ=Aεtτ+Bεtτ，Aεtτ=σouZt-∞Kε（τ- u） dWu，Bεtτ=σouZτtKε（τ- u） dWu，其中Aεtτ与Ft相适应，而Bεtτ与Ft相独立。

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2022-6-1 02:10:27

因此（s′）≥ t′型≥ t）呃EF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）i=EhEF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft我- EF（Zεt′）G′（Zεs′）= EhF（Aεtt′+Bεtt′）G′（Aεts′+Bεts′）F（Aεtt′+～Bεtt′）G′（Aεts′+～Bεts′）-F（Aεtt′+Bεtt′）G′（Aεts′+Bεts′）F（▄Aεtt′+▄Bεtt′）G′（▄Aεts′+▄Bεts′）i，其中（▄Aεtt′，▄Bεtt′，▄Aεts′，▄Bεts′）是（Aεtt′，Bεtt′，Bεts′）的独立副本）。我们就可以写了EF（Zεt′）G′（Zεs′）| Ft- EF（Zεt′）G′（Zεs′）我≤ kF k∞kG′k∞呃F（Aεtt′+~Bεtt′）G′（Aεts′+~Bεts′）- F（▄Aεtt′+▄Bεtt′）G′（▄Aεts′+▄Bεts′）i1/2≤ CE（Aεtt′）-Aεtt′）1/2+E（Aεts′）-Aεts′）1/2≤ 2CE（Aεtt′）1/2+E（Aεts′）1/2≤ 2小时σouZt-∞Kε（t′）- u）杜邦1/2+σouZt-∞Kε（s′）- u）杜邦1/2英寸≤ 4Cσεt′-t，∞≤ C1.∧ （ε/（t′）- t））1-H,我们在上一个不等式中使用了引理7。然后，利用K∈ 五十、这给了冠状病毒σεtθεt，σεt′εt′≤ CZTtds | Kε（s- t） | ZTt′ds′Kε（s′）- t′）|1.∧ （ε/（t′）- t）））（1-H） /2个≤ Cε1.∧ （ε/（t′）- t）））（1-H） /2个,这证明了第三项。引理4对于任何具有有界导数的光滑函数f，我们有VarEf（Zεt）| f≤ kf′k∞（σεt，∞). （63）用meanE证明Zεt given-Fis-Gaussian的条件分布Zεt | F= σouZ-∞Kε（t- u） DWU和varianceVarZεt | F= （σε0，t）=σouZtKε（u）du。快速变化和粗糙随机波动率23ThereforeVarEf（Zεt）| f= 风险值ZRf公司EZεt | F+ σε0，tzp（z）dz,其中p（z）是标准正态分布的pdf。随机变量EZεt | F为高斯分布，均值为零，方差为（σεt，∞)所以thatVarEf（Zεt）| f=ZRZRdzdz′p（z）p（z′）ZRZRdudu′p（u）p（u′）×hfσεt，∞u+σε0，tz- fσt，∞u′+σε0，tzi×hfσεt，∞u+σε0，tz′- fσεt，∞u′+σε0，tz′我≤ kf′k∞（σεt，∞)ZRZRdudu′p（u）p（u′）（u- u′）=kf′k∞（σεt，∞),这是期望的结果。（32）定义的随机项φεtde的形式为φεt=EhZTtG（Zεs）dsFti，（64）和（54）中定义的G。任何t的引理5≤ T，φε是一个标准偏差为ε1阶的零均值随机变量-H： supε∈（0,1）支持∈[0，T]ε2H-2E[（φεt）]<∞.

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2022-6-1 02:10:30

（65）t的证明∈ [0，T]φεtis的二阶矩：E（φεt）= EhEhZTtG（Zεs）dsFtii=ZT-tdsZT公司-tds’CovEG（Zεs）| F, EG（Zεs′）| F.我们有LemmaE的（φεt）≤ZT公司-tdsVarEG（Zεs）| F1/2≤ kG′k∞ZT公司-tdsσεs，∞.鉴于Lemma7，我们有（φεt）≤ CTε + ε1-H≤ 4CTε2-2H，t均匀≤ T和ε∈ （0，1）对于一些常数CT。引理6，让我们定义任何t∈ 【0，T】：κεT=ε1/2Zt（σεs）-σds=ε1/2ZtG（Zεs）ds，（66）如（41）所示。我们有limε→0支持∈[0，T]ε-1/2E（κεt）1/2= 0. （67）24 Josselin Garnier，Knut SolnaProof，由于期望E[G（Zε）]=0，我们有（κεt）= εEhZtG（Zεs）dsi=2εZtds（t- s） Cov公司G（Zεs），G（Zε）ds。此外，我们还有冠状病毒G（Zεs），G（Zε）=EE[G（Zεs）| F]- E[G（Zεs）]G（Zε）≤ 克格勃∞风险值E[G（Zεs）| F]1/2.通过引理4，我们得到冠状病毒G（Zεs），G（Zε）≤ 克格勃∞kG′k∞σεs，∞.鉴于Lemma7，我们有（κεt）≤ CTεε + ε1-H≤ 2CTε2-H、在t中均匀∈ [0，T]和ε∈ （0，1），给出了期望的结果。引理7定义σεt，∞= σouZ∞tKε（s）ds1/2，（68）则存在C>0，使得σεt，∞≤ C1.∧ （ε/t）1-H. （69）证明如下| K（s）|≤ 肯尼亚先令-对于s≥ 1和K∈ 五十、 B林孔特和雷诺的替代模式（1998年）；Funahashi和Kijima（2017）作者认为随机波动率模型是一种分数Orstein-Uhlenbeck过程，但他们考虑了分数布朗运动的以下表示：WH，0t=Γ（H+）Zt（t- s） H类-dWs，（70），其中（Wt）t∈R+是R+上的标准布朗运动。（WH，0t）t∈R+是一个零均值自相似高斯过程，在这个意义上，（αHWH，0t/α）t∈R+和（WH，0t）t∈R+具有相同的分布，但它不是平稳的，也没有平稳的增量。

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2022-6-1 02:10:33

Its方差isE（WH，0t）=2HΓ（H+）t2H，其增量方差为（s>0时）：E（WH，0t+s- WH，0t）=Γ（H+）hZt/s（1+u）小时-- 嗯-du+2His2H，具有以下行为（WH，0t+s- WH，0t）t型→+∞-→Γ（2H+1）sin（πH）s2H。快速变化和粗糙随机波动率25由于时间零点起着特殊的作用，该模型是特殊的，我们认为处理本文所述的平稳情况是可取的。然而，事实证明，这两个模型在快速变化的情况下给出了相同的结果。事实上，对应于（70）的修正fOU过程是（与（4）相比）：Zε，0t=Ze-t/ε+ε-HZte-t型-sεdWH，0s=Ze-t/ε+ε-HWH，0t- ε-H-1中兴通讯-t型-sεWH，0sds，（71），其中Zis被视为常数，如inComte和Renault（1998）；Funahashi和Kijima（2017）。关于布朗运动，它是：Zε，0t=Ze-t/ε+σouZtKε（t- s） dWs，（72），其中Kε在（10）中定义。这是一个具有以下协方差（t，s）的高斯过程≥ 0）：CovZε，0t，Zε，0t+s= σouCt/εsε,这是t/ε和s/ε的函数，其中ct（s）=RtK（u）K（u+s）duR∞K（u）du。注意CT（s）t→+∞-→R∞K（u）K（u+s）duR∞K（u）du=CZ（s），CZ由（6）定义。换句话说，除了时间0之后的一小段时间（其持续时间为ε量级）外，修改后的过程与本文中介绍的过程具有相同的行为。然后，可以检查本文中进行的详细计算，并发现命题1在修改后的模型Zε，0t中仍然成立。参考。Al\'os和Y.Yang，《分数赫斯顿模型的封闭式期权定价近似公式》，经济学工作文件1446，蓬佩法布拉大学经济与商业系。C、拜耳，P.K.Friz，A.Gulisashvili，B.Horvath和B.Stemper，《粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜》，arXiv:1703.05132。S、 Benaim、P.Friz和R。

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nandehutu2022

2022-6-1 02:10:36

Lee，On Black–Scholes《极端打击下的隐含波动性》，《定量金融前沿：波动性和信用风险模型》（2010）。M、 Bennedsen，《粗糙电力：一种新的电力现货价格分形多因素模型》。工作文件（2015），可访问http://ssrn.com/abstract=2636829.T.B ollerslev、D.Osterrieder、N.Sizova和G.Tauchen，《风险与回报：长期关系、分数协整和回报可预测性》，金融经济学杂志108（2013），第409-424页。F、 J.Breidt，N.Crato和P.De Lima，《长记忆随机波动性的检测和估计》，计量经济学杂志83（1998），第325-348页。五十、 Charlfeddine，《波动中的真实或虚假长记忆：关于能源未来市场的进一步证据》，能源政策71（2014），第76-93页。K、 C.Chia、A.Bahar、I.L.Kane、C.-M.Ting和H.A.Rahman，《马来西亚富时证券交易所KLCI指数价格长记忆随机波动性估计》，AIP会议记录1643，73（2015）。26 Josselin Garnier，Knut SolnaA。Chronopoulou和F.G.Viens，《长记忆随机波动下的估计和定价》，《金融年鉴》第8期（2012），第379–403.2页，4F。Comte和E.Renault，《连续时间随机波动率模型中的长记忆》，数学金融8（1998），第291–323.2425R页。Cont，《资产收益率的经验性质：程式化事实和统计问题》，Quant。《金融学1》（2001），第1-14页。R、续，《金融市场中的长期依赖，工程中的分形》，J。L’evy V’ehel和E.Lutton，Springer，伦敦，2005年，第159-179页。R、 F.Engle和A.J.Patton，波动率模型有什么好处？，定量金融1（2001），第237-245页。J、 -P.Fouque、G.Papanicolaou和K.R.Sircar，《金融市场中具有短期波动性的衍生品》，剑桥大学出版社，2000.10，17J-P、福克，G.帕帕尼科劳，K.R。

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