对于分布u，（WN，…，WNN）的最小生成元在（26）中定义。此生成器具有粒子系统的形状，粒子（或个人）玩2×2游戏。与Ni、j（t）和“Ni（t）”相关，让过程Mi、Jan和“Mibed”定义为Mi，j（t）t型=Ni，j（t）-田纳西州- 1.坦德(R)英里（t）t型=镍（t）- t型t对于所有t≥ 证明的关注对象isMf，Ni（t）=NXj=1，j6=iZtfWNi（s）dMi，j（s）+ZtWNi（s）Xk=0zi（k）fWNi（s）- k- fWNi（s）d'Mi（s）引理1。对于任何种群大小N>1，任何一对个体i 6=j，i，j∈ {1，…，N}：EhMf，Ni（t）Mf，Nj（t）i≤4tkfk∞N- 1.t>0（28）证明：独立性：i 6=j：英里，兆焦耳= 0i 6=j，k：Mi、j、Mk= 0i 6=j，k 6=h：Mi、j、Mk、h= 0根据产品规则（Kurtz，2001）并编写u-对于左极限：EhMf，Ni（t）Mf，Nj（t）i==EhMf，Ni（0）Mf，Nj（0）i+EZtMf，镍（u-)dMf，新泽西州（u）+ 0+EDMf、Ni、Mf、NjEt= EZt公司fWNi（u）fWNj（u）dMi，j，Mi，juThe声称的不等式（28）来自hMi，ji=Ni，j.Q.E.D.这一事实。下一步是建立紧密性：引理2。L（WN）Nis紧。证明：我们应用Ethier和Kurtz（2009）中的定理3.9.1和3.9.4，因此必须验证他们的假设。首先，让（Ft）t进行过滤WN（t）tis Ft已调整。由于WN是一个马尔可夫过程，f（WN（t））- f（WN（0））-ZtLf（WN（u-))duis是一个（Ft）t-鞅。（这当然适用于任何个体i。）由于跳跃率和振幅是一致有界的（w.r.t.N），我们满足了紧包容条件，即对于每个ε>0和t>0存在一个有界子集K Nsuch thatinfNPWN（t）∈ Kt型≤ T≥ 1.- ε.此外，对于任何p∈ (0, +∞) T>0：仰卧ZT公司Lf（WN（u-))pdu≤ T 2PKPKP∞[2pDD+2pDH+2pHH+ε]<+∞因此，Ethier和Kurtz（2009）定理3.9.1和3.9.4的假设成立，并且L（WN）n以下。

Q、 E.D.根据Sznitman（1991）中的命题2.2，现在得出如下结论：L（uN）P（P（N））中的Nistight。接下来我们来看看鞅理论。Let∏∞成为的极限点L（uN）Nand让u具有分布∏∞. 我们证明了u满足一个具有初始分布ν的鞅问题。更准确地说：使用f∈ Cb，其中Hx（t）为D（R+，N）上的标准过程，L为定义in（27）：Mf（t）=f（X（t））- f（X（0））-ZtLf（X（u））定义了一个u-鞅，u（0）=ν∏∞a、 这是Gibaud（2016）中引理4.8证明的当前设置的应用。为了证实这一说法，让k∈ N、 对于k>1，则设0≤ t型≤t型≤ · · · ≤ tk公司≤ t<t。让g∈ Cb（Rk+，N）和f∈ Cb（R+，N）。最后，letG:P（N）→ R由G（R）定义=RMf（T）- Mf（t）g（X（t），X（tk））.使用与Graham andMéléard（1997）中定理4.5的证明相同的论点：对于所有0≤ t<t<···<tk≤ t<t在可数空间外，用D表示，G为∏∞a、 s.连续。让我们证明g（u）=0∏∞a、 事实上，如果对所有0≤ t<t<···<tk≤ t<D之外的t，对于任何连续且有界的函数g:Rk+→ R、 然后，单调类定理得出以下结论：对于所有 Tt（使用（Tt）D（R+，N）的自然过滤），u，Mf（T）1A=u，Mf（t）1A.所以u满足上述鞅问题。因此，仍需说明g（u）=0保持∏∞a、 为此，请注意gnnxi=1δWNi=NNXi=1fWNi（T）- fWNi（t）-ZTtLf公司WNi（u）杜邦gNi，其中gNi=gWNi（t）。

，WNi（tk）.我们有所有的t∈ （0，T）fWNi（T）- fWNi（t）等于toNXj=1，j6=iZTtfWNi（u）dNi，j（u）+ZTtWNi（u）Xk=0zi（k）fWNi（u）- k- fWNi（u）d'Ni（u），等于toMf，Ni（T）- Mf，Ni（t）+ZTtLfWNi（u）duWith<u，φ>=RFφ（x）u（dx），其中F是一个抛光空间，u是一个概率度量，φ是从F到R.SoGNNXiδWNi的有界可测函数=NNXi=1Mf，Ni（T）- Mf，Ni（t）格尼安德GNNXi=1δWNi！!= A、 式中=ENNXi=1Mf，Ni（T）- Mf，Ni（t）国民总收入!.此外，A≤氖NXi=1（Mf，Ni（T）- Mf，Ni（t）gNi）！≤NXi，j∈{1，…，N}EhMf，Ni（T）- Mf，Ni（t）Mf，Nj（T）- Mf，Ni（t）gNigNjiBy可交换性WNi公司iwe getA公司≤Nkgk公司∞EMf，N（T）- Mf，N（t）+ B、 其中B=N（N- 1） NEhgNgN公司Mf，N（T）- Mf，N（t）Mf，N（T）- Mf，N（t）iSince g有界：B<kgk∞克格勃∞EhMf，N（T）Mf，N（T）i- EhMf，N（T）Mf，N（T）i-EhMf，N（t）Mf，N（t）i+EhMf，N（t）Mf，N（t）i通过FTA调节并应用引理1：EhMf，N（t）Mf，N（t）i≤ 4tkfk∞N-1、我们得到A→ 0作为N→ +∞.为了总结证明，我们使用了Fatou引理：E（| G（u）|）≤ 画→+∞E克（uN）= 0，其中G（u）=0。自映射X以来∈ D（R+，N）7→ X（0）是连续的，我们有u（0）=Δν∏∞a、 最后，自WN（t）这是一个马尔可夫跳跃过程，在具有Fellerproperty的情况下，我们可以使用Ethier和Kurz（2009）中的定理4.1来获得鞅问题的唯一性。（该定理的假设适用于任何具有Feller性质的Markov生成器。）因此，Δu是∏NNas编号→ +∞. 根据Sniztman（1991）的2.2号提案，西尼罗河Nisu-混乱。该u-混沌性给出（3）。

因为对于所有的t>0，Mf（t）是一个u-鞅，对于任何k，通过设置f=1k∈ N、 我们得到所有t>0:0=ZD（R+，N）X（t）=k- 1X（t）=0-ZtL1k（X（u））duu（dX）So带W（t）ta法律程序u，我们有所有k∈ N： P（W（t）=k）- P（W（t）=0）=中兴通讯L1kW（t）duWhen P（Zk∈ {0，k}）=1，得到P（~W（t）=k）- P（~W（0）=k）等式2PDD·PW（t）+v+y- P（W（t）=k）+ pDH公司·PW（t）+v+y=k- P（W（t）=k）+ pDH公司·PW（t）+y=k- P（W（t）=k）+ pHH公司·PW（t）+v+y=k- P（~W（t）=k）+PW（t）- c+y=k- P（W（t）=k）+ δ ·k=0- P（W（t）=k）这将导致方程（4）。7.4推论的证明1Let uw=P（~W（t）=W）。那么，对于所有w∈ 编号：tuw=2（c- v） cuw公司-v-v+2（c- v） vc公司华盛顿大学-v-y+uw-y+vcuw公司-v-y+vcuw+c-y- 2uw- δuw=uw-v-y·2（c- v） c+uw-v-y2（c- v） vc+vc+ uw+c-y·vc+2（c- v） vc·uw-y+uw[-2.- δ] 用mand mt表示~W（t）的一阶和二阶矩：m=Xw∈Zw·uwm=Xw∈Zw·uw。然后tm=Xw∈Z \\{0}w·tuw=2（c- v） cXw公司∈Zw·uw-v-y型+2（c- v） vc+vcXw公司∈Zw·uw-v-y+vcXw∈Zw·uw+c-y+2（c- v） vcXw∈Zw·uw-y+[-2.- δ] Xw公司∈Zw·uw=2（c- v） c·（m+v+y）+2（c- v） vc+vc· （m+v+y）+vc·（m- c+y）+2（c- v） vc·（m+y）+[-2.- δ] ·mHence，tm=v（c- v） c+y- δmThusm=v（c- v） δc+yδ+Ke-δt对于某些K∈ R

这建立了（5）。同样地：tm=Xw∈西北·tuw=2（c- v） cXw公司∈Nw-v-y+v+y· 华盛顿大学-v-y型+2（c- v） vc+vcXw公司∈N（w）- v-y+y+v）·uw-v+vcXw∈N（w+c-y+y- c） ·uw+c-y型+2（c- v） vc公司Xw公司∈N（w）-y+y）uw-y+(-2.- δ） Xw公司∈N（w）·uw-y=2（c- v） c类m+2v+ym级+v+y+2（c- v） vc+vcm+2v+ym级+v+y+vc公司m+2-c+ym级+-c+y+2（c- v） vc公司m+ym+y- （2+δ）m=-δm+Ke-δt+A+BδforA=v2c3c+2vc- v+y2c2vc+yc- vandB=2vcc- 2cv+2v+2yc公司vc+yc- 2伏因此，m=Kte-δt+Ke-K，K的δt+Aδ+Bδ∈ R、 7.5命题3的证明根据Ethier和Kurtz（2009）中的命题1.5，我们得到了所有σ∈ 实Banach空间中的nn和任意连续函数fEσfWN（t）= EσANfWN（t）forAN[f（w）]=ANg[f（w）]+和[f（w）]，其中Ei为单位向量，ANg定义于（24）和ANdin（25）。让我们来看看f:RN→ R由f（x，…，xN）=（x+····+xN）/N定义。然后所有N（N- 1） 上述金额中的条款相同，我们得到f（WN（t））= pDD（v+y）+pDH（v+y）+pHD（v+y）+pHH（v- c+y）=v1.-vc公司+ y、 此外，对于该特定函数f：和fWN（t）=NXi=1WNiXk=0zi（k）[f（w- kei）- f（w）]=NXi=1WNiXk=0-kNzi（k）=NXi=1-δWNiN=-因此，对于所有σ∈ nn使得“WN（0）=w:ddtEσfWN（t）= EσANfWN（t）= v1.-vc公司+ y- δEσ（(R)WN（t）），从而得到（11）。7.6命题4的证明考虑博弈G（v，c，p），并设x∈ [0，1]表示玩家1使用纯策略H的概率，并让y∈ [0，1]是玩家2使用策略H的概率。那么H是玩家1的最佳回答- y） v+y[（v+c）p- c]≥ 0（29）当y=0时，该不等式成立。当y=1 i ffp时，它也保持不变≥ c/（v+c）。当玩家角色1中的个人i，且p=f（wi，wj），p>c/（v+c）数量到条件（20）。在这个严格的不等式下，H因此在角色1中严格控制个人i的DF。现在假设p<c/（v+c）。

那么x=1，也就是说，对于玩家1来说，播放H是一个最好的回答≤ y*, 其中y*由（29）中的等式定义：y*=vv+2c- 2（v+c）p=v2（v+c）f（wj，wi）- v、 其中，最后一个等式假定个人i处于角色1中。同样，对于玩家2 i ffx，y=1是最好的回答≤ x个*, 其中X*=vv+2c- 2（v+c）（1- p） =v2（v+c）f（wi，wi）- v、 因此，有三个纳什均衡：（H，D），（D，H）和（x*, y*). 这确立了命题中的主张。参考文献[1]Barbe，P.和M.Ledoux（2007）：概率。Enseignment SUP Mathematics、EDP Sciences。德格鲁特：柏林。[2] Bardhan，P.、S.Bowles和H.Gintis（1999）：“财富不平等、财富约束和经济绩效”，A.Atkinson和F第10章。Bourguignon（编辑），《收入分配手册：第1卷》。爱思唯尔科学：阿姆斯特丹。[3] Bremaud，P.（2020）：概率论和随机过程。斯普林格·维拉格：柏林。[4] Childs，L.A.（2009）：高等代数的具体介绍。本科数学课本。斯普林格·维拉格：柏林。[5] Crowley，P.（2000）：“鹰、鸽和混合对称游戏”，《理论生物学杂志》204，543-563。[6] Davies J.和A.Shorrock（1999）：“财富分配”，A.Atkinson和F.Bourguignon（编辑）的第11章，《收入分配手册》，第1卷。阿姆斯特丹：Elsevier。[7] Enquist，M.和O.Leimar（1983）：“格斗行为的演变：决策规则和相对强度的评估”，《理论白化病杂志》102，387-410。[8] Enquist，M.和O.Leimar（1984）：“所有者冲突中不对称的影响”，《理论生物学杂志》111，475-491。[9] Enquist，M.和O.Leimar（1987）：“格斗行为的演变：资源价值变化的影响”，《理论生物学杂志》127187-205。[10] 恩奎斯特、M.和O。

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