[8、16、4、7]），半马尔可夫模型更适合描述健康状况随时间的演变动态。让我们d enote byaN（t）=sup{n∈ N：Tn≤ t | A=A}计算到时间t的转变次数的过程，并由此确定年龄指数半马尔可夫链byaZ（t）=JaN（t）。在估价过程中，引入后向递推时间过程B（t）=t将非常有用- 棕褐色（t）。它表示从系统最后一次转换开始经过的时间。该过程在残疾保险模型中的相关性已在[4]中描述。为了描述系统的概率演化，我们引入了以下转移概率函数：定义1。初始和最终向后的年龄指数半马尔可夫转移概率函数是矩阵值函数+s-uΦu、 s；u′，t=a+s-uφiju、 s；u′，t, i、 j∈ E、 u，s，u′，t∈ N、 其泛型元素A+s-uφij（u，s；u′，t）表示概率aZ（t）=j，B（t）=u′aZ（s）=i，B（s）=u，AaN（s）=a+TaN（s）. （3） 在残疾保险中，概率（3）可以解释为被保险人在时间t时的残疾程度为j，持续时间为u\'，考虑到当时她/他是i级残疾，持续时间为u，年龄为a+s。命题1。初始和最终向后的年龄指数半马尔可夫转移概率函数满足以下方程A+s的递归系统-uφiju、 s；u′，t= 1{i=j}{u′=t-s+u}a+s-uHi（s- ut） a+s-uHi（s- us） +Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1a+s-uqik（s）- uθ） a+s-uHi（s- us） ·a+θφkj0, θ; u′，t,（4） 式中，+sqij（s；t）=P[Jn+1=j，Tn+1=t | Jn=i，Tn=s，An=a+s]=a+sQij（s；t）-a+sQij（s；t）- 1） 如果t>s，如果t=s，则为0。（5）人寿保险131Proof中的转换选项。

让我们用P（i，s）表示-u、 a+s-u） （·）概率测度·aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u,通过P（i，s-u、 a+s-u、 >s）（·）概率测度·aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u、 TaN（s）+1>s.观察信息集{aZ（s）=i，B（s）=u，AaN（s）=a+TaN（s）}等价于{aZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 TaN（s）+1>s，AaN（s）=a+s- u} 因此，年龄指数半马尔可夫转移概率函数可以用A+s表示-uφiju、 s；u′，t= P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，B（t）=u′= P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，TaN（s）+1>t+ P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，TaN（s）+1≤ t型.（6） （6）的第一个和可以表示为：P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>t，aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′]P（i，s）-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]=P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]·P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）TaN（s）+1>t，aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′型· P（i，s-u、 a+s-u、 >秒）TaN（t）=t- u′型· PTaN（s）+1>taZ（s）=i，TaN（s）=s- u、 AaN（s）=a+s- u=a+s-uHi（s- us）·{i=j}·1{u′=t-s+u}·a+s-uHi（s- ut）.（6）的第二个和可以表示为：-u、 a+s-u） [aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，s<TaN（s）+1≤ t] P（i，s-u、 a+s-u、 >s）[TaN（s）+1>s]=a+s-uHi（s- us） Xk公司∈Et公司-u′Xθ=s+1P（i，s-u、 a+s-u）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′，JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ=a+s-uHi（s- us） ·Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1P（i，s-u、 a+s-u）aZ（t）=j，TaN（t）=t- u′型JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ· P（i，s-u、 a+s-u） [JaN（s）+1=k，TaN（s）+1=θ]=Xk∈Et公司-u′Xθ=s+1a+s-uqik（s）- uθ） a+s-uHi（s- us） ·a+θφkj0, θ; u′，t.132 G.D\'Amico等人。最后一个等式是通过假设（2）三元函数（Jn，Tn，An）的马尔可夫性与转移时间Tn以及公式（5）中给出的年龄指数半马尔可夫核的定义来获得的。上述跃迁概率将对应的跃迁概率与【6】中推导的初始后向跃迁概率进行了一般化，包括对最终后向跃迁的依赖关系。

尽管如此，他们还是通过包含对年龄的依赖性来概括了[4]中给出的初始和最终向后的转移概率。在本文的后续部分中，我们需要考虑年龄指数模型的生存函数。为此，我们引入了状态D（政治持有人死亡）的命中时间，假设状态i在时间s的占有率为a+s，且在该状态下的持续时间等于u:a+s-uTi，D（u，s）：=inft>s：aZ（t）=DaZ（s）=i，B（s）=u.定义2。年龄指数半马尔可夫链的生存函数是向量值f函数a+s-uS（u，s；t）=（a+s-uSi（u，s；t）），i∈ E、 u、s、t∈ N，通用元素由：a+s给出-uSi（u，s；t）：=PaTi，D（u，s）>t. （7） 它表示在时间间隔（s，t）内不进入状态d的概率，因为时间s的状态i的占用时间为a+s，在此状态下的进入时间为之前的最后一个过渡u期。此函数可以使用以下关系计算：a+s-uSi（u，s；t）=Xj6=Dt-s+uXu′=0a+s-uφiju、 s；u′，t.很容易注意到Pa+s-uTi，D（u，s）=t=a+s-uSi（美国；t- （1）-a+s-uSi（u，s；t）=：a+s-uSi（美国；t- 1). （8） 3人寿保险中的转换选项让我们考虑一下一般情况，即初始年龄为x的女性被保险人的健康状态为i∈ E购买n年期定期保险单（TIP）。当政策即将到期时，如果她还活着，她决定将政策延长到余生。扩展可以通过将初始TIP转换为PIP或购买新的PIP来完成。在图1中，我们报告了一个图表，总结了转换期权合同的时间表。

应该指出的是，在时间n时，将TIP转换为PIP或购买新PIP的决策应考虑投保人的新健康状态（aZ（n））、该状态下的持续时间（B（n））和年龄（x+n）。转换期权的估价需要研究此处涉及的两种合同：TIP和PIP合同。人寿保险中的转换选项133图。1、转换期权图3.1临时保单合同定期保单提供有限时间（n年）的保险范围，并在保单持有人死亡时向其提供保险。在本文中，在不丧失一般性的情况下，我们假设收益设定为1欧元。保单持有人在死亡事件发生或合同到期前（以较早发生者为准）支付年度保费后，才享有该保险。对于TIP合同，让我们引入随机变量（r.v.）（PVDB）i，u，x表示的死亡福利的条件现值。当保单持有人在任何时间死亡时，取δs值≤ n、 给定初始条件{aZ（0）=i，B（0）=u，A（0）=x}，第十个事件可能在时间s发生，概率为xsi（u，0；s- （1）-xSi（u，0；s），则结果为inAi，u（x，0，n）：=E（PVDB）i、u、x=nXs=1PxTi，D（u，0）=s· 1·δs=nXs=1xSi（u，0；s- 1） δs.让我们引入由（PVUP）i，u，x表示的单一保费的r.v.条件现值。由于保费是在适当的情况下支付的，r.v.（PVUP）i，u，x的价值-1r=0δR当政策持有人在时间s死亡时≤ n- 1和值pnr=0δrif她将存活时间n。让我们通过pi，u（x，0）计算n-TIP的年保费，1欧元可在x岁的被保险人死亡之年支付，在健康状态下，我在e前u年获得。然后r.v。

用（PVP）i，u，xis表示的保费条件现值，简单定义为（PVP）i，u，x：=pi，u（x，0）·（PVUP）i，u，x，对于i 6=D，（PVP）i，u，x：=0，对于i=D，（9），然后结果为inPi，u（x，0，n）：=E（PVP）i、u、x=n-1Xs=1pi，u（x，0）s-1Xr=0δr！xSi（u，0；s- 1） +π，u（x，0）nXr=1δr！xSi（u，0；n）。134 G.D\'Amico等人。此外，如果我们假设保费是根据等价原则确定的，即保费的精算现值应等于福利的精算现值（参见例[8]），那么我们就得到了：Ai，u（x，0，n）=Pi，u（x，0，n），从中我们计算出公平保费，u（x，0）=Pns=1xSi（u，0；s- 1） δsPn-1s=1Ps-1r=1δrxSi（u，0；s- 1） +Pnr=1δr xSi（u，0；n）。（10） 3.2永久性保险保单永久性保险保单提供无限时间范围的保险，并在投保人死亡的情况下为其提供1欧元的福利。保单持有人在死亡事件发生前每年支付保费，才可获得该保险。相对于PIP合同，让我们引入由（^PVDB）i，u，x表示的死亡福利的r.v.条件现值。当保单持有人在时间s死亡时，它取δs∈ N、 与TIP情况类似，其结果为▄Ai，u（x，0）：=E（^PVDB）i、u、x=∞Xs=1PxTi，D（u，0）=s· 1·δs=∞Xs=1xSi（u，0；s- 1） δs.让我们引入由（^PVUP）i，u，x表示的单一保费的r.v.条件现值。保费在投保人死亡前的一个重复周期，正式的r.v.（^PVUP）i，u，x假设值p-1r=1δR当政策持有人在时间s死亡时∈ N、 让我们用π，u（x，0）表示，对于年龄为x岁的被保险人，在健康状态下，i在e之前u年获得的，在死亡年份可支付1欧元的PIP的年保费。然后，r.v。

以（]PVP）i，u，xis表示的保费的条件现值，简单地定义为（]PVP）i，u，x：=π，u（x，0）·（^ PVUP）i，u，x，对于i 6=D，（]PVP）i，u，x：=0，对于i=D，（11），然后它得到 pi，u（x，0）：=E（]PVP）i、u、x=∞Xs=1pi，u（x，0）s-1Xr=1δrxSi（u，0；s- 1).此外，如果我们假设保费是根据等价原则确定的，那么我们得到：▄Ai，u（x，0）=▄Pi，u（x，0），我们从中收取公平保费▄Pi，u（x，0）=P∞s=1δsxSi（u，0；s- 1） P∞s=1Ps-1r=1δrxSi（u，0；s- 1). （12） 人寿保险中的转换期权1353.3转换期权的估价在本小节中，当从投保人健康的多状态模型中推导出失效概率函数时，我们制定了转换期权的估价程序。估值利用了引入的ran dom变量来描述TIP和PIP合同以及我们所称的期权行使集。练习集的引入是我们模型的一项特权，在转换选项的早期研究中尚未出现。我们注意到，投保人拥有在时间零点发行的到期日为n的TIP，并且在时间n应决定通过将TIP转换为PIP或购买新的PI P来延长保险范围。我们将r.v.条件转换收益定义为（CG）i、u、x=（PVDB）i、u、x-（PVP）i、u、x转变, （13） 其中，[（PVDB）i，u，x]是指死亡抚恤金现值的r.v.，[（PVP）i，u，x |转换]是指当投保人有权在TIP到期之前将原始TIP转换为PIP时，描述保费现值的r.v。它们都是以信息集{aZ（0）=i，B（0）=u，A（0）=x}为条件的，该信息集描述了投保人在初始时间零点的初始高度条件。r.v.的正式定义。

[（PVP）i、u、x |转换]在下面的定义4中给出。同样，可以将r.v.条件无转换增益定义为（NCG）i、u、x=（PVDB）i、u、x-（PVP）i、u、x无转换, （14） 其中[（PVP）i，u，x | no conversion]是表示保费现值的r.v.当投保人没有将原始T IP转换为aPIP的选择权，并且如果想要延长保险保护，则必须在时间n购买新的PIP时。下文给出了r.v.[（PVP）i、u、x |无转换]的正式定义3。转换收益和非转换收益之间的差额决定了r.v.条件下的净收益，即：（G）i，u，x=（CG）i，u，x- （NCG）i，u，x，（15），其期望值称为转换选项的条件值，即：（VCO）i，u，x=e（G） i、u、x. （16） 很容易认识到（VCO）i，u，x=E（PVP）i、u、x无转换- E（PVP）i、u、x转变.（17） 因此，我们需要计算公式（17）右侧的期望值。为此，我们首先对计算中涉及的两个随机变量进行正式定义。这需要引入一些辅助概念。让我们考虑一下时间n∈ N、 然后，三元组（i，u，x）被称为N情景ifaZ（N）=i，B（N）=u，an（N）=x- n+u.136 G.D\'Amico等人。我们说，如果n-情景为（i，u，x+n），则0-情景（i，u，x）在时间n时状态不变。两种状态不变的场景sh在此状态下具有相同的健康状态和持续时间，但投保人的年龄不同。现金价值由vi，u（x+n，n）确定：=pi，u（x+n，n）- pi，u（x+n，0）·^PVUPi，u，x·δn。

（18） 现金价值的预期是投保人在转换时必须向保险公司支付的数量：Vi，u（x+n，n）：=EVi，u（x+n，n）=pi，u（x+n，n）- pi，u（x+n，0）·∞Xh=n+1δhx+nSi（u，n；h- 1).（19） 数量Vi，u（x+n，n）表示在n情景不变的假设下，投保人预期实现购买转换期权的收益。该数量大于或等于零，因为▄pi，u（x+n，n）≥ pi，u（x+n，0），即对于相同的n-方案（i，u，x+n），一个PIP的保费f大于相应的pre-mium。与财务期权类似，我们可以确定一组转换期权的行使是否方便。这是本文[17]中所采用的多国模式的一项特权，如果被保险人在转换时仍然活着，那么通过行使操作延长保险期限总是很方便的。然而，在我们更一般的框架中，情况并非如此，因为考虑到最初的0情景（i、u、x），n年后，被保险人可能会显著改善健康状况和预期延长寿命。在HIV感染等几种疾病的演变过程中，未观察到这一点，参见例[7]。考虑到0情景（i，u，x），我们定义了练习集asCi，u（x，n）：=j、 u′型∈ E×N:Epi，u（x，0）·^PVUPi，u，x+Vi，u（x+n，n）≤~Pj，u′（x+n，n）.（20） 集合Ci，u（x，n）包含所有健康状态和持续时间的夫妇，便于投保人行使转换选择权。

从指数上看，如果通过转换选项E[pi，u（x，0）·^ PVUPi，u，x+Vi，u（x+n，n）]所面临的预期付款小于在新的n-方案（j，u′，x+n）中为新的PIP支付的预期现值，则转换选项很方便，因为投保人以较低的成本向自己保证相同的保险保护。因此，如果（j，u′）∈ Ci，u（x，n）投保人将转换期权；相反，如果（j，u′）∈ Cci，u（x，n）投保人不会转换期权。人寿保险中的转换选项137现在我们可以确定随机变量（PVP）i、u、x无转换,（PVP）i、u、x转变.定义3。r.v.[（PVP）i，u，x |无换算]由以下关系定义：（PVP）i、u、x无转换:= （PVP）i，u，x+（]PVP）aZ（n），B（n），A（n）·δn.（21）那么，不进行转换的条件保费现值等于TIP合同的条件保费现值加上根据n-scena rio（aZ（n），B（n），A（n））计算并在时间零点贴现的后续PIP的条件保费现值。可以计算其期望值，如下所示：E【PVP |无转换】=π，u（x，0，n）+Xj∈EXu′型≥0xφiju、 0；u′，n· δn·Pj，u′（x+n，n）。（22）定义4。r.v.[（PVP）i，u，x |转换]由以下关系定义：（PVP）i、u、x转变:= （PVP）i，u，x+δn（]PVP）aZ（n），B（n），A（n）·1{（aZ（n），B（n））∈Cci，u（x，n）}+δnpi，u（x，0）^PVUP+ Vi，u（x+n，n）· 1{（aZ（n），B（n））∈Ci，u（x，n）}。

（23）那么，有可能转换的保费的条件现值等于TIP合同保费的条件现值加上在n-情景下计算的PIP保费的条件现值（aZ（n），B（n），A（n）），如果该情景不属于行权集，则在时间零点贴现，如果该情景属于行权集，则通过转换期权，再加上预期要面对的付款。可以计算下面给出的（23）的期望值：E【PVP |转换】=π，u（x，0，n）+x（j，u′）∈Cci，u（x，n）xφiju、 0；u′，n· δn·Pj，u′（x+n，n）+x（j，u′）∈Ci，u（x，n）xφiju、 0；u′，n· δn·“Vi，u（x+n，n）+∞Xh=n+1pi，u（x，0）hXr=n+1δrx+nSju′，n；h类#. （24）现在我们正在通过替换公式（）中的等式（）和（2 4）来计算转换选项的值。一些代数给出了以下138 G.D\'Amico等人的表示：（VCO）i，u，x=x（j，u′）∈Ci，u（x，n）xφiju、 0；u′，nδn·“~Pj，u′（x+n，n）- Vi，u（x+n，n）-∞Xh=n+1pi，u（x，0）hXr=n+1δrx+nSju′，n；h类-x+nSju′，n；h+1#,从中我们认识到VCO≥ 0，因为在练习集Ci，u（x，n）上，方括号内的术语为非负。我们想指出的是，除非练习集为空，否则转换选项的值不是nNegatives。此外，该值确实取决于投保人健康状态的动态，因此，在我们的模型中，该值对健康状态下的持续时间、时间和投保人的年龄敏感。4结论寿险转换期权的定价是现代精算数学中的一个重要课题。这项研究实现了几个目标。首先，我们提出了一个通用的多状态模型，可以重现寿险合同建模中的重要方面，并计算了模型的转移概率函数。

其次，我们确定了描述合同所需的主要变量，并在一个非常普遍的框架内计算了共转换期权的价值。在特殊情况下，我们可以获得转换期权合同中嵌入的临时保险单和永久保险单的估价公式。这篇论文有几个问题有待解决。首先，将模型应用于实际数据是目前最迫切需要完成的任务。一旦获得了可靠的数据集并编制了足够的计算机程序，就可以完成这项任务。然后，将结果扩展到更复杂的模型的可能性也是相关的，因此值得一提的是，可以将结果扩展到从属的半马尔科夫链。参考文献[1]D\'Amico，G.：年龄使用半马尔可夫模型。应用程序。数学模型35, 4354–4366(2011).MR2801959。内政部：10.1016/j.apm。2011.03.006【2】D\'Amico，G.，Petroni，F.：具有价格变化记忆的半马尔可夫模型。J、 静态机械。Theory Exp.，P12009（2011）[3]D\'Amico，G.，Petroni，F.：财务回报建模的加权指数半马尔可夫模型。J、 统计机械。Theory Exp.，P07015（2011）【4】D\'Amico，G.，Guillen，M.，Manca，R.：残疾保险模型的完全后向非齐次半马尔可夫过程：加泰罗尼亚真实数据应用。保险公司。数学经济。45, 173–179 (2009).MR2583371。内政部：10.1016/j.insmatheco。2009.05.01人寿保险中的转换选项139[5]D\'Amico，G.、Guillen，M.、Manca，R.：半马尔可夫残疾保险模型。公社。《统计》，理论方法42（16），2172–2188（2013）。MR3170905。doi:10.1080/03610926.2012.746982【6】D\'Amico，G.、Janssen，J.、Manca，R.：离散时间非齐次半马尔可夫可靠性转移信用风险模型和违约分布函数。计算机。

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